7.2.2三角形的外角
七年级数学《三角形的外角》学案
7.2.2三角形的外角【知识脉络】【学习目标】1、使学生在操作活动中，探索并了解三角形的外角的两条性质2、利用学过的定理论证这些性质3、能利用三角形的外角性质解决实际问题【要点检索】（1）三角形的外角的性质；（2）三角形外角和定理；（3）三角形外角的定义及定理的论证过程。
【方法导航】（一）学习诱导【课前热身】1、上节课我们证明了三角形内角和定理，大家来回忆一下：它的证明思路是什么？2、那什么叫三角形的外角呢？三角形的一边与（）组成的角，叫做三角形的外角。
三角形的外角的性质三角形的一个外角等于（）。
三角形的一个外角大于任何一个（）。
【头脑风暴】三角形的外交和三角形的三个内角之间都有什么样的关系呢？【追根索源】∠1是△ABC 的一个外角， ∠1与图中的其他角有什么关系呢？ 能证明你的结论吗？证明：∵∠1+∠CAB=180。
（ ） ∠B+∠C+∠CAB=180。
（ ）∴∠1=∠-----+∠-----( 等量代换 ) 【学用结合】1.若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角,则这个三角形是( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定2.如果三角形的一个外角和与它不相邻的两个内角的和为180°,那么与这个外角相邻的内角的度数为( )A.30°B.60°C.90°D.120°3.已知三角形的三个外角的度数比为2:3:4,则它的最大内角的度数为( ) A.90° B.110° C.100° D.120°4.已知等腰三角形的一个外角是120°,则它是( )A.等腰直角三角形;B.一般的等腰三角形;C.等边三角形;D.等腰钝角三角形 5.如果一个三角形的各内角与一个外角的和是225°,则与这个外角相邻的内角是____度.6.已知等腰三角形的一个外角为150°,则它的底角为_____.7.如图所示,∠ABC,∠ACB 的内角平分线交于点O,∠ABC 的内角平分线与∠ACB 的外角平分线交于点D,∠ABC 与∠ACB 的相邻外角平分线交于点E,且∠A=60°, 则∠BOC=_______,∠D=_____,∠E=________.【拓展提升】1、如图所示,在△ABC 中,D 是BC 边上一点,∠1=∠2,∠3=∠4,∠BAC=63°, 求∠DAC 的度数.2、(2004·吉林)如图所示,∠CAB 的外角等于120°,∠B 等于40°,则∠C 的度数是_______._4 _3 _2 _1_D_C _B _A_B_AD CA120︒40︒CB A【再攀高峰】（1）已知△AB C 中，BO 、CO 分别是∠ABC 、∠ACB 的平分线，且BO 、CO 相交于点O ，试探索∠BOC 与∠A 之间是否有固定不变的数量关系。
三角形的外角的定义和定理
三角形的外角的定义和定理三角形的外角定义和定理三角形是由三条边连接而成的一个平面图形。
在三角形中，我们可以定义和研究三角形的内角和外角。
本文将重点讨论三角形的外角的定义和定理。
首先，让我们先来了解一下三角形的外角的定义。
在任何一个三角形的顶点上，都可以找到一个外角。
对于一个三角形ABC来说，如果我们在顶点A处向外画一条射线，使得射线与边AB和边AC都不重合，则射线与边AB和边AC所围成的角就是顶点A上的外角。
同样的，我们也可以找到顶点B和顶点C上的外角。
三角形的外角总共有3个。
现在，我们将重点介绍三角形外角的定理。
在三角形中，外角和内角之间存在一定的关系。
下面是三角形外角的定理：定理1：三角形的外角之和等于360度。
也就是说，三角形的外角A、B、C的度数之和等于360度。
证明：我们以三角形顶点A为例，来推导外角之和等于360度。
我们将顶点A的外角记为α，顶点B的内角记为β，顶点C的内角记为γ。
根据三角形的性质，可以得出β+γ=180度，可以表示为β=180度-γ。
由定义可知，外角α与内角β之和等于180度，即α+β=180度。
把β的表达式代入上式，得到α+(180度-γ)=180度，整理得α=γ。
同理，我们可以推导出顶点B和顶点C的外角与其对应的内角的关系。
根据上述证明，我们可以知道三角形外角之和是360度，即：α+β+γ=360度。
由此可见，无论是哪个顶点上的外角，其外角之和都等于360度。
定理2：三角形的外角与其对应的内角之间有如下关系：外角等于其对应的内角的补角。
换句话说，顶点的外角加上其对应的内角等于180度。
证明：我们同样以顶点A为例来推导外角与内角的关系。
假设顶点A的外角为α，内角为β。
由定义可知，外角α与内角β之和等于180度，即α+β=180度。
根据三角形的性质，内角β与其对应的外角γ之和等于180度，即β+γ=180度。
我们将α+β的结果代入到β+γ的等式中，得到α+β+γ=180度。
三角形外角的公式
三角形外角的公式三角形外角的公式是指一个三角形的一个外角等于其余两个内角的和。
在几何学中，三角形是最基本的图形之一，它由三条边和三个角组成。
三角形的外角是指一个角在三角形的外部，与其余两个内角相对应。
三角形的外角的度数等于其余两个内角的度数之和。
假设一个三角形的三个内角分别为A、B、C，则角A的外角等于角B和角C的度数之和。
同样地，角B的外角等于角A和角C的度数之和，角C的外角等于角A和角B的度数之和。
为了更好地理解三角形外角的公式，我们可以通过一个具体的例子来说明。
假设有一个三角形ABC，其中角A的度数为60°，角B的度数为80°，角C的度数为40°。
根据三角形外角的公式，我们可以计算出角A的外角等于角B和角C的度数之和，即外角A = 内角B + 内角C = 80° + 40° = 120°。
同样地，角B的外角等于角A 和角C的度数之和，即外角B = 内角A + 内角C = 60° + 40° = 100°。
角C的外角等于角A和角B的度数之和，即外角C = 内角A + 内角B = 60° + 80° = 140°。
三角形外角的公式可以帮助我们计算任意三角形的外角度数，从而更好地理解和研究三角形的性质和关系。
通过计算三角形的外角，我们可以得到有关三角形形状和角度的重要信息。
除了三角形外角的公式，我们还可以利用三角形内角的性质来计算外角。
根据三角形内角的性质，三角形的三个内角之和等于180°。
因此，我们可以通过计算三角形的两个内角之和，然后用180°减去这个和来得到剩余的内角，即为外角的度数。
三角形外角的公式在几何学和三角学中具有重要的应用价值。
它可以帮助我们更好地理解和解决与三角形相关的问题。
例如，在解决三角形的边长和角度问题时，我们可以利用外角的公式来计算未知角的度数，从而求解整个三角形的性质。
7.2.2三角形的外角
本节知识要点：1.利用学过的定理论证这些性质2.能利用三角形的外角性质解决实际问题能力测试：1 （基础题）在△ABC 中，∠A ＋∠B ＝100°，∠C ＝2∠B ，求∠A 、∠B 、∠C 的度数．2 （能力题）如图7-18所示，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，EF ⊥AD 交AB 于E ，交AC 于F ，交BC 的延长线于H ．求证：∠H ＝21（∠ACB －∠B ）．3 （基础题）一个三角形三个外角之比为2∶3∶4，求三个内角之比．答案：1精析与解答 解法一：设∠B ＝x °，则∠A ＝100°－x °，∠C ＝2x ° ∴ 100°—x °十x °十2x °＝180°（三角形内角和定理）解方程，得x °＝40°，即∠B ＝40°，∠A ＝60°，∠C ＝80°．解法二：根据题意可列出方程⎪⎩⎪⎨⎧︒∠∠∠∠∠︒∠∠③＝＋＋②＝①＝＋1802100C B A BC B A把①代入③，得∠C ＝④︒80 把④代入②，得∠B ＝⑤︒40 把⑤代入①，得∠A ＝︒60．2证明 如何把∠H 、∠B 、∠ACB 联系在一起是此题的关键．当注意到∠H 、∠B 是△EBH 的两个内角时，便会发现：∠3＝∠B ＋∠H ，即∠H ＝∠3－∠B ．而∠3＝90°－∠1＝90°－21∠BAC ＝21（180°－∠BAC ），然后把这个式子中的180°换成∠BAC ＋∠B ＋∠ACB ，就可以证出原结论了．∵ AD ⊥EF ，∴ ∠3＝90°－∠1．∵ AD 平分∠BAC ，∴ ∠1＝21∠BAC ．又∵ ∠3是△HEB 的一个外角，∴ ∠H ＝∠3－∠B ＝90°－∠1－∠B＝90°－21∠BAC －∠B ＝21（180°－∠BAC －B ∠2） ＝21（∠BAC ＋∠B ＋∠ACB －∠BAC －B ∠2） ＝21（∠ACB －∠B ）．故∠H ＝21（∠ACB －∠B ）．3精析与解答 三角形的外角与相邻内角是互补的关系，只要能求出三个外角，自然三个内角也就容易得到，它们的比也就轻而易举了．由题意，设三角形的三个外角分别为（2x ）°，（3x ）°，（4x ）°，则2x ＋3x ＋4x ＝360，解得x ＝40∴ 2x ＝80，3x ＝120，4x ＝160∴ 三角形的三个内角分别是100°、60°、20°∴ 它们的比为100∶60∶20＝5∶3∶1故三个内角的比为5∶3∶1．。
什么是三角形的外角
引言概述：三角形是几何学中最基本的图形之一，而三角形的外角则是与三角形相关的一个重要概念。
本文将详细介绍什么是三角形的外角以及它的特性和性质。
正文内容：1.外角的定义1.1三角形的内角三角形由三条线段组成，而每个顶点都对应一个角度，称为内角。
三角形的内角之和一定为180度。
1.2外角的概念在三角形的一条边的延长线上，取一点使其与另外两条边的一条延长线上的点相连，所形成的角度称为三角形的外角。
一个三角形有三个外角，分别对应于三个顶点。
2.外角与内角的关系2.1外角与内角的关系2.2外角的性质2.2.1外角的度数三角形的外角可以是锐角、直角或钝角，具体取决于三角形的内角。
当内角为直角时，外角为直角；当内角为锐角时，外角也是锐角；当内角为钝角时，外角为钝角。
2.2.2外角与三角形的顶点三角形的外角是以三角形的顶点为中心的角度，外角的度数等于不与它相邻的两个内角的度数之和。
3.外角的特性3.1外角定理外角定理是三角形的一个重要性质，表明三角形的一个外角等于它不相邻的内角之和。
即一个三角形的外角A等于不与它相邻的内角B和C之和，也就是A=B+C。
3.2外角与内角和的关系对于任意一个三角形，它的三个外角之和等于360度。
即外角A+外角B+外角C=360度。
4.外角的应用4.1利用外角求内角通过知道三角形的一个外角的度数，可以利用外角与内角的关系推导出该外角对应的内角的度数。
4.2利用外角定理求解问题根据外角定理，可以求解一些与三角形的内角和外角相关的问题，例如寻找缺失的角度或计算三角形的内角和外角之和。
5.总结三角形的外角是相对于三角形顶点的角度，在三角形中具有重要的性质和特性。
外角与内角之间存在着一定的关系，可以利用这些关系求解三角形相关的问题。
通过对外角的研究，可以更好地理解三角形的性质和特点。
7.2.2三角形的外角doc
7.2.2三角形的外角丹凤县铁峪铺中学贺红星教学目标：1使学生在操作活动中，探索并了解三角形的外角的两条性质2利用学过的定理论证这些性质3能利用三角形的外角性质解决实际问题重点：（1）三角形的外角的性质；（2）三角形外角和定理难点：三角形外角的定义及定理的论证过程教法设计：引导分析学法设计：讨论探究教学过程：一、想一想1三角形的内角和定理是什么？二、做一做把ABC∠，它不是三角形的内角，那∆的一边AB延长到D，得ACD它是三角形的什么角？它是三角形的外角。
定义：三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角想一想：三角形的外角有几个？每个顶点处有两个外角，但这两个是对顶角三、议一议∆的内角有什么关系？∠与ABCACD（1）B∠∠=AACD∠+（2）A>ACD∠∠>∠，BACD∠再画三角形ABC的外角试一试，还会得到这个性质吗？同学用几何语言叙述这个性质：三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
你能用学过的定理说明这些定理的成立吗？已知：ACD∆的外角∠是ABC说明：（1）B=∠∠AACD∠+（2）A>ACD∠∠>∠，BACD∠结合下面图形给予说明四、猜一猜：三角形的外角和是多少？BC A312因为∠1＋∠ACB ＝∠2＋∠BAC ＝∠3＋∠ABC ＝180° 所以∠1＋∠2＋∠3＋∠ACB ＋∠ABC ＋∠BAC ＝180°×3 又因为∠ACB ＋∠BAC ＋∠ABC ＝180°所以∠1＋∠2＋∠3＝180°×3-180°＝360°结论 三角形的外角和等于360°.还有其他的证明方法吗？例：如图，D 是△ABC 的BC 边上一点，∠B ＝∠BAD ，∠ADC ＝80°，∠BAC =70°.求：（1）∠B 的度数；（2）∠C 的度数.五、练习1、求下列各图中∠1的度数.2、按图中所给的条件，求出∠1、∠2、∠3的度数.六、小结：1、三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角2、三角形的外角和等于360°.七、作业布置P76 5、6、。
人教七年级下 7.2.2三角形外角 课件
∠ACD =130°
※你能说出∠ACD与∠A ，∠B有什么
A
关系吗？
70°
∠ACD = ∠A + ∠B
60°
B
C
D
※你能进一步说明任意一个三角形的一个外角 与它不相邻的两个内角有什么关系吗？
∠ACD=∠A+∠B
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和. 三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.
拓
E
广
1A
探
索
B
F2
3
C
D
通过这节课的学习你有什么收获？
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和. 三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角. 三角形的外角和为360°.
谢 谢 光 临
7.2.2
三角形的外角
于晶波
三角形的外角
A
B
C
D
∠ACD是△ABC的一个外角
∠ACD= ∠BCE
A
B
C
D
E
A
1
2
6 B
5
3 4C
思考：
三角形的一个外角与它相邻的内角有什么关系？
A
B
C
D
∠ACD ＋ ∠ACＢ＝ 180°
探究
三角形的一个外角与它不相邻的两个内角的关系
如图，△ABC中, ∠A =70°, ∠B=60 °， ∠ACD是△ABC的一个外角.
A
B
C
D
练一练
说出下列图形中
21
(1)
练一练
说出下列图形中∠1和∠2的度数：
1 2
30°
（2）
40°
三角形的外角性质
三角形的外角性质◎ 三角形的外角性质的定义三角形的外角：三角形的一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角，叫做三角形的外角。
∠1是三角形的外角。
◎ 三角形的外角性质的知识扩展三角形的外角：三角形的一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角，叫做三角形的外角。
性质：①顶点是三角形的一个顶点，一边是三角形的一边，另一边是三角形的一边的延长线；②三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；③三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
三角形的外角和定理：三角形的外角和是360°。
◎ 三角形的外角性质的特性三角形的外角特征：①顶点在三角形的一个顶点上，如∠ACD的顶点C是△ABC的一个顶点；②一条边是三角形的一边，如∠ACD的一条边AC正好是△ABC的一条边；③另一条边是三角形某条边的延长线如∠ACD的边CD是△ABC的BC边的延长线。
性质：①. 三角形的外角与它相邻的内角互补。
②. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
③. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
④. 三角形的外角和等于360°。
设三角形ABC 则三个外角和=（A+B）+（A+C）+（B+C）=360度。
定理：三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和。
定理：三角形的三个内角和为180度。
◎ 三角形的外角性质的教学目标1、了解三角形的外角概念。
2、掌握三角形外角的性质，初步学会数学说理。
3、通过小组学习、动手操作、探索发现等活动经历，培养比较、猜想、类比、转化的思想方法。
4、初步学会建立数学模型、运用简单的说理来计算三角形相关的角。
◎ 三角形的外角性质的考试要求能力要求：掌握课时要求：50考试频率：必考分值比重：2。
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注意：每个顶点只取一个外角。
例2
如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD 是△ABC的三个外角， 它们的和是多少？
E A
1
解：∵ ∠BAE +∠1 = 180° ∠CBF +∠2 = 180° ∠ACD +∠3 = 180°
B F
2
3
C
D
∴ ∠BAE+∠CBF+∠ACD +∠1+∠2+∠3 = 540° 又∵ ∠1+∠2+∠3 = 180° ∴ ∠BAE+∠CBF+∠ACD = 540°- 180°= 360°
第七章
7.2.2
三角形
三角形的外角
1. 三角形三个内角的和等于多少度？ 三角形三个内角的和等于180°
2. 在ABC中，
（1）∠C=90°，∠A=30°，则∠B= 60° ； （2）∠A=50°，∠B=∠C， 则∠B= 65° . 3. 在△ＡＢＣ中， ∠Ａ：∠Ｂ：∠Ｃ＝２：３：４ 则∠Ａ＝ 40° ，
B A
解：∵ ∠A+∠B=∠1， ∠C+∠D=∠2， ∠E+∠F=∠3
1
C D
3 2
F
∴ ∠A+∠B+∠C+∠D+
∠E+∠F =∠1+∠2+∠3
E
又∵ ∠1+∠2+∠3=360°
∴ ∠A+∠B+∠C+∠D+
友情提示：利用中间小三角形的外角
∠E+∠F = 360°
1.三角形的外角的定义： 2.三角形的一个外角与它相邻的内角互补； 3.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； 4.三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。 5.三角形的外角和等于360°
归纳： 每一个三角形都有６个外角． 每一个顶点处的外角都有２个, 这两个外角是对顶角．
B
A
C
探究 如图，△ABC中，∠A＝70°, ∠Ｂ＝60°, ∠ACD是△ABC的 一个外角。能由∠A，∠B求出∠ACD吗？ 如果能，∠ACD与 ∠A，∠B有什么关系？ ∵ ∠A+∠B+∠ACB =180° ∴ ∠ACB =180°-（∠A +∠B） =180°-（70°+ 60°） =50° 又∵ ∠ACB+∠ACD＝180° ∴ ∠ACD =180°- ∠ACB =180°- 50° B
∠ACD =∠A+∠B B C D
例2
如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD 是△ABC的三个外角， 它们的和是多少？
E A
1
解：∵ ∠BAE = ∠2 + ∠3 ∠CBF = ∠1 + ∠3 ∠ACD = ∠1 + ∠2
B F
2
3
C
D
∴ ∠BAE+∠CBF+∠ACD = 2（∠1+∠2+∠3） 又∵ ∠1+∠2+∠3 = 180° ∴ ∠BAE+∠CBF+∠ACD = 2×180°= 360° 结论：三角形的外角和等于360° 你还有别的证明 方法吗？
作业：
活页：
P53～54
∠Ｂ＝
60° , ∠Ｃ＝＿＿＿＿＿ 80° .
任意画一个三角形，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD. 这个角有什么特点？ 这个角的一边CA是三角形的一个边，另一边CD是三角形BC
边的延长线。
三角形的外角的定义：
三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
A
B
C
D
画图并思考：
画一个△ABC ，你能画出它的所有外角来吗？请动手试一试． 同时想一想△ABC的外角共0° 110°
140°
50°
65°
65° 70°
40°
30° 80° 40° 60°
练习：☞
1.把图中∠1、 ∠2、 ∠3 按由大到小的顺序排列.
A
解：∵ ∠1是△BDE的外角
∴ ∠1＞∠2
D
E
C
又∵ ∠2是△ACD的外角
∴ ∠2＞∠3 ∴ ∠1＞∠2＞∠3
B
练习：☞
2.如图,∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数.
A
70°
60°
C D
=130° ∴ ∠ACD =∠A+∠B
这个关系你能用一句话来叙述吗？
结论1：
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。 你能说出三角形的一个外角与它不相邻的任何一个内角之间 的不等关系吗？ ∵ ∠ACD =∠A+∠B ∴ ∠ACD＞∠A， ∠ACD＞∠B
结论2：
三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。 A