上海市长宁区2019届九年级数学上学期期末质量检测试题沪科版
2019—2020年新沪科版九年级数学上学期期末模拟质量检测及答案解析(试题).doc
沪科版九年级上学期期末模拟测试数学试题一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．sin60°=（）A．B． C． D．2．抛物线y=3x2，y=﹣3x2，y=x2+3共有的性质是（）A．开口向上B．对称轴是y轴C．都有最高点D．y随x值的增大而增大3．在比例尺是1：8000的淮北市城区地图上，淮海路的长度约为25cm，它的实际长度约为（）A．2000m B．2000cm C．3200m D．3200cm4．下列四张扑克牌图案，属于中心对称的是（）A．B．C．D．5．如图，△ABC∽△DEF，相似比为1：2．若BC=1，则EF的长是（）A． 1 B． 2 C． 3 D． 46．某反比例函数的图象经过点（﹣1，6），则此函数图象也经过点（）A．（2，﹣3）B．（﹣3，﹣3）C．（2，3）D．（﹣4，6）7．如果两个圆心角相等，那么（）A．这两个圆心角所对的弦相等B．这两个圆心角所对的弧相等C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等D．以上说法都不对8．若ab＞0，则一次函数y=ax+b与反比例函数y=在同一坐标系数中的大致图象是（）A．B． C．D．9．如果三角形满足一个角是另一个角的4倍，那么我们称这个三角形为“实验三角形”，下列各组数据中，能作为一个“实验三角形”三边长的一组是（）A．1，1，B．1，1，C．1，2，D．1，2，310．如图，已知边长为4的正方形ABCD，E是BC边上一动点（与B、C不重合），连结AE，作EF⊥AE交∠BCD的外角平分线于F，设BE=x，△ECF的面积为y，下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）11．抛物线y=x2﹣2x+3的顶点坐标是．12．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，若AD=1，BC=3，则S△AOD：S△BOC的值为．13．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度，AC=7米，则树高BC为米（用含α的代数式表示）．14．如图，一次函数y=x+3的图象与x轴，y轴交于A、B两点，与反比例函数y=的图象相交于C，B两点，分别过C，D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E，F，连接CF，DE，有下列四个结论①△CEF与△DEF的面积相等；②△AOB∽△FOE；③△DCE≌△CDF；④AC=BD，其中正确结论的序号是．三、解答题（共9小题，满分90分）15．+2cos60°+（）﹣1﹣20150．16．已知抛物线y=x2+bx+c经过点（1，﹣4）和（﹣1，2）．求抛物线解析式．17．用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点，叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形．设格点多边形的面积为S，它各边上格点的个数和为x．（1）上图中的格点多边形，其内部都只有一个格点，它们的面积与各边上格点的个数和的对应关系如下表，请写出S与x之间的关系式；答：S=．多边形的序号①②③④…多边形的面积S 2 2.5 3 4 …各边上格点的个数和x 4 5 6 8 …（2）请你再画出一些格点多边形，使这些多边形内部都有而且只有2格点．此时所画的各个多边形的面积S与它各边上格点的个数和x之间的关系式是：S=；（3）请你继续探索，当格点多边形内部有且只有n个格点时，猜想S与x有怎样的关系？答：S=．18．如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，且CD⊥AB，已知AB=8，CM=2，求直径CD的长．19．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣4，3）、B（﹣3，1）、C（﹣1，3）．（1）请按下列要求画图：①将△ABC先向右平移4个单位长度、再向上平移2个单位长度，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；②△A2B2C2与△ABC关于原点O成中心对称，画出△A2B2C2．（2）在（1）中所得的△A1B1C1和△A2B2C2关于点M成中心对称，请直接写出对称中心M点的坐标．20．某商场为缓解我市“停车难”问题，拟建造地下停车库，如图是该地下停车库坡道入口的设计示意图，其中，AB⊥BD，∠BAD=18°，C在BD上，BC=0.5m．根据规定，地下停车库坡道入口上方要张贴限高标志，以便告知驾驶员所驾车辆能否安全驶入．小明认为CD的长就是所限制的高度，而小亮认为应该以CE的长作为限制的高度．小明和小亮谁说的对？请你判断并计算出正确的结果．（参考数据：sin18°=0.31，cos18°=0.95，tan18°=0.325）（结果精确到0.1m）21．某市对火车站进行了大规模的改建，改建后的火车站除原有的普通售票窗口外，新增了自动打印车票的无人售票窗口．某日，从早8点开始到上午11点，每个普通售票窗口售出的车票数y1（张）与售票时间x（小时）的正比例函数关系满足图①中的图象，每个无人售票窗口售出的车票数y2（张）与售票时间x（小时）的函数关系满足图②中的图象．（1）图②中图象的前半段（含端点）是以原点为顶点的抛物线的一部分，根据图中所给数据确定抛物线的表达式为，其中自变量x的取值范围是；（2）若当天共开放5个无人售票窗口，截至上午9点，两种窗口共售出的车票数不少于1450张，则至少需要开放多少个普通售票窗口？（3）上午10点时，每个普通售票窗口与每个无人售票窗口售出的车票数恰好相同，试确定图②中图象的后半段一次函数的表达式．22．设a，b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b]，对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当m≤x≤n时，有m≤y≤n，我们就称此函数是闭区间[m，n]上的“闭函数”．（1）反比例函数y=是闭区间[1，2015]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；（2）若一次函数y=kx+b（k＞0）是闭区间[m，n]上的“闭函数”，求此函数的解析式．23．类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整．原题：如图1，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，点F是线段AE上一点，BF 的延长线交射线CD于点G．若=3，求的值．（1）尝试探究在图1中，过点E作EH∥AB交BG于点H，则AB和EH的数量关系是，CG和EH的数量关系是，的值是．（2）类比延伸如图2，在原题的条件下，若=m（m＞0），则的值是（用含有m的代数式表示），试写出解答过程．（3）拓展迁移如图3，梯形ABCD中，DC∥AB，点E是BC的延长线上的一点，AE和BD相交于点F．若=a，=b，（a＞0，b＞0），则的值是（用含a、b的代数式表示）．答案及解析一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．sin60°=（）A．B． C． D．考点：特殊角的三角函数值．分析：根据特殊角的三角函数值可得答案．解答：解：sin60°=．故选C．点评：本题考查特殊角的三角函数值，要求学生牢记并熟练运用．2．抛物线y=3x2，y=﹣3x2，y=x2+3共有的性质是（）A．开口向上 B．对称轴是y轴C．都有最高点D． y随x值的增大而增大考点：二次函数的性质．分析：根据二次函数的性质分别分析解题即可．解答：解：（1）y=3x2开口向上，对称轴为y轴，有最低点，顶点为原点；（2）y=﹣3x2开口向下，对称轴为y轴，有最高点，顶点为原点；（3）y=x2+3开口向上，对称轴为y轴，有最低点，顶点为（0，3）．故选：B．点评：此题主要考查了二次函数顶点式y=a（x﹣h）2+k的性质，正确把握相关性质是解题关键．3．在比例尺是1：8000的淮北市城区地图上，淮海路的长度约为25cm，它的实际长度约为（）A．2000m B．2000cm C． 3200m D．3200cm考点：比例线段．分析：首先设它的实际长度是xcm，然后根据比例尺的定义，即可得方程：1：8000=25：x，解此方程即可求得答案，注意统一单位．解答：解：设它的实际长度为xcm，根据题意得：1：8000=25：x，解得：x=200000，∵200000cm=2000m，∴它的实际长度为2000m．故选A．点评：此题考查了比例线段．此题难度不大，解题的关键是理解题意，根据比例尺的定义列方程，注意统一单位．4．下列四张扑克牌图案，属于中心对称的是（）A．B． C．D．考点：中心对称图形．分析：根据中心对称图形的概念和各扑克牌的花色排列特点的求解．解答：解：A、不是中心对称图形，不符合题意；B、是中心对称图形，符合题意；C、不是中心对称图形，不符合题意；D、不是中心对称图形，不符合题意．故选B．点评：掌握好中心对称图形的概念是解题的关键．【链接】如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．5．如图，△ABC∽△DEF，相似比为1：2．若BC=1，则EF的长是（）A． 1 B． 2 C． 3 D． 4考点：相似三角形的性质．分析：根据相似三角形对应边的比等于相似比即可求解．解答：解：∵△ABC∽△DEF，相似比为1：2，∴=，∴EF=2BC=2．故选：B．点评：本题考查了相似三角形的性质：相似三角形对应边的比等于相似比．6．某反比例函数的图象经过点（﹣1，6），则此函数图象也经过点（）A．（2，﹣3）B．（﹣3，﹣3）C．（2，3）D．（﹣4，6）考点：反比例函数图象上点的坐标特征．分析：将（﹣1，6）代入y=即可求出k的值，再根据k=xy解答即可．解答：解：反比例函数的图象经过点（﹣1，6），则k=﹣1×6=﹣6，各选项中只有A中的纵横坐标的积为﹣6．故选A．点评：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式．反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上．7．如果两个圆心角相等，那么（）A．这两个圆心角所对的弦相等B．这两个圆心角所对的弧相等C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等D．以上说法都不对考点：圆心角、弧、弦的关系．分析：根据圆心角定理进行判断即可．解答：解：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，所对的弦的弦心距相等．故选D．点评：本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．8．若ab＞0，则一次函数y=ax+b与反比例函数y=在同一坐标系数中的大致图象是（）A．B．C．D．考点：反比例函数的图象；一次函数的图象．专题：压轴题．分析：根据ab＞0，可得a、b同号，结合一次函数及反比例函数的特点进行判断即可．解答：解：A、根据一次函数可判断a＞0，b＞0，根据反比例函数可判断ab＞0，故符合题意，本选项正确；B、根据一次函数可判断a＜0，b＜0，根据反比例函数可判断ab＜0，故不符合题意，本选项错误；C、根据一次函数可判断a＜0，b＞0，根据反比例函数可判断ab＞0，故不符合题意，本选项错误；D、根据一次函数可判断a＞0，b＞0，根据反比例函数可判断ab＜0，故不符合题意，本选项错误；故选A．点评：本题考查了反比例函数的图象性质和一次函数函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．9．如果三角形满足一个角是另一个角的4倍，那么我们称这个三角形为“实验三角形”，下列各组数据中，能作为一个“实验三角形”三边长的一组是（）A．1，1，B．1，1，C． 1，2，D．1，2，3考点：解直角三角形．专题：新定义．分析：根据勾股定理的逆定理对A、C进行判断；利用等腰三角形的性质和锐角三角函数对B进行判断；根据三角形三边的关系对D进行判断．解答：解：A、若三边为1，1，，由于12+12=（）2，则此三边构成一个等腰直角三角形，所以这个三角形不是“实验三角形”，所以A选项错误；B、由1，1，能构成，此三边构成一个等腰三角形，通过作底边上的高可得到底角为30°，顶角为120°，所以这个三角形是“实验三角形”，所以B选项正确；C、若三边为1，2，，由于12+（）2=22，则此三边构成直角三角形，最小角为30°，所以这个三角形不是“实验三角形”，所以C选项错误；D、由1，2，3不能构成三角形，所以D选项错误．故选B．点评：本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．10．如图，已知边长为4的正方形ABCD，E是BC边上一动点（与B、C不重合），连结AE，作EF⊥AE交∠BCD的外角平分线于F，设BE=x，△ECF的面积为y，下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．考点：动点问题的函数图象．分析：过E作EH⊥BC于H，求出EH=CH，求出△BAP∽△HPE，得出=，求出EH=x，代入y=×CP×EH求出解析式，根据解析式确定图象即可．解答：解：过E作EH⊥BC于H，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCH=90°，∵CE平分∠DCH，∴∠ECH=∠DCH=45°，∵∠H=90°，∴∠ECH=∠CEH=45°，∴EH=CH，∵四边形ABCD是正方形，AP⊥EP，∴∠B=∠H=∠APE=90°，∴∠BAP+∠APB=90°，∠APB+∠EPH=90°，∴∠BAP=∠EPH，∵∠B=∠H=90°，∴△BAP∽△HPE，∴=，∴=，∴EH=x，∴y=×CP×EH=（4﹣x）•xy=2x﹣x2，故选B．点评：本题考查了动点问题的函数图象，正方形性质，角平分线定义，相似三角形的性质和判定的应用，关键是能用x的代数式把CP和EH的值表示出来．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）11．抛物线y=x2﹣2x+3的顶点坐标是（1，2）．考点：二次函数的性质．专题：计算题．分析：已知抛物线的解析式是一般式，用配方法转化为顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标．解答：解：∵y=x2﹣2x+3=x2﹣2x+1﹣1+3=（x﹣1）2+2，∴抛物线y=x2﹣2x+3的顶点坐标是（1，2）．故答案为：（1，2）．点评：此题考查了二次函数的性质，二次函数y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h，此题还考查了配方法求顶点式．12．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，若AD=1，BC=3，则S△AOD：S△BOC的值为1：9．考点：相似三角形的判定与性质；梯形．分析：如图，证明△AOD∽△COB，列出比例式，求出即可解决问题．解答：解：如图，∵AD∥BC，∴△AOD∽△COB，∴，而AD=1，BC=3，∴S△AOD：S△BOC的值为1：9，故答案为1：9．点评：该题主要考查了相似三角形的判定及其性质等几何知识点及其应用问题；应牢固掌握相似三角形的判定及其性质．13．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度，AC=7米，则树高BC为7tanα米（用含α的代数式表示）．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．专题：几何图形问题．分析：根据题意可知BC⊥AC，在Rt△ABC中，AC=7米，∠BAC=α，利用三角函数即可求出BC的高度．解答：解：∵BC⊥AC，AC=7米，∠BAC=α，∴=tanα，∴BC=AC•tanα=7tanα（米）．故答案为：7tanα．点评：本题考查了解直角三角形的应用，关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解．14．如图，一次函数y=x+3的图象与x轴，y轴交于A、B两点，与反比例函数y=的图象相交于C，B两点，分别过C，D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E，F，连接CF，DE，有下列四个结论①△CEF与△DEF的面积相等；②△AOB∽△FOE；③△DCE≌△CDF；④AC=BD，其中正确结论的序号是①②③④．考点：反比例函数综合题．分析：①根据函数解析式，可得图象上的点的坐标，根据三角形的面积公式，可得答案；②根据等第三角形的高相等，可得EF∥CD，根据相似三角形的判定，可得答案；③根据联立函数解析式，可得方程，根据解方程，可得C、D点的坐标，可得CE与DF的关系，根据自变量与函数值的关系，可得A、B点的坐标，可得∠ABO=∠BAO=45°，根据平行线的性质，可得∠DCE=∠FDA=45°，根据SAS，可得答案；④根据平行四边的判定与性质，可得BD=EF，AC=BD，可得答案．解答：解：①设D（x，），则F（x，0），由图象可知x＞0，∴△DEF的面积是：×||×|x|=2，设C（a，），则E（0，），由图象可知：＜0，a＞0，△CEF的面积是：×|a|×||=2，∴△CEF的面积=△DEF的面积，故①正确；②△CEF和△DEF以EF为底，则两三角形EF边上的高相等，故EF∥CD，∴FE∥AB，∴△AOB∽△FOE，故②正确；③∵C、D是一次函数y=x+3的图象与反比例函数y=的图象的交点，∴x+3=，解得：x=﹣4或x=1，经检验：x=﹣4或1都是原分式方程的解，∴D（1，4），C（﹣4，﹣1），∴DF=4，CE=4，∵一次函数y=x+3的图象与x轴，y轴交于A，B两点，∴A（﹣3，0），B（0，3），∴∠ABO=∠BAO=45°，∵DF∥BO，AO∥CE，∴∠BCE=∠BAO=45°，∠FDA=∠OBA=45°，∴∠DCE=∠FDA=45°，在△DCE和△CDF中，∴△DCE≌△CDF（SAS），故③正确；④∵BD∥EF，DF∥BE，∴四边形BDFE是平行四边形，∴BD=EF，同理EF=AC，∴AC=BD，故④正确；正确的有4个．故选：C．点评：本题考查了反比例函数综合题，①利用了自变量与函数值的关系，三角形的面积公式，②利用了等底等高的三角形的面积相等，相似三角形的判定，③利用了函数与方程的关系，平行线的判定，全等三角形的判定，④利用了平行四边形的判定与性质．三、解答题（共9小题，满分90分）15．+2cos60°+（）﹣1﹣20150．考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．分析：原式第一项利用平方根代入化简，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用负指数幂法则计算，最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果．解答：解：原式=3+2×+2﹣1=3+1+2﹣1=5．点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．16．已知抛物线y=x2+bx+c经过点（1，﹣4）和（﹣1，2）．求抛物线解析式．考点：待定系数法求二次函数解析式．专题：计算题．分析：把点（1，﹣4）和（﹣1，2）分别代入二次函数y=x2+bx+c得到关于b与c的方程组，1+b+c=﹣4，1﹣b+c=2，然后解方程组求出b、c即可．解答：解：把点（1，﹣4）和（﹣1，2）分别代入y=x2+bx+c得，1+b+c=﹣4，1﹣b+c=2，解方程组得，b=﹣3，c=﹣2，∴抛物线解析式为y=x2﹣3x﹣2．点评：本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），然后把图象上三个点的坐标分别代入得到关于a、b、c的方程组，解方程组求出a、b、c的值，从而确定二次函数的解析式．17．用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点，叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形．设格点多边形的面积为S，它各边上格点的个数和为x．（1）上图中的格点多边形，其内部都只有一个格点，它们的面积与各边上格点的个数和的对应关系如下表，请写出S与x之间的关系式；答：S=x．多边形的序号①②③④…多边形的面积S 2 2.5 3 4 …各边上格点的个数和x 4 5 6 8 …（2）请你再画出一些格点多边形，使这些多边形内部都有而且只有2格点．此时所画的各个多边形的面积S与它各边上格点的个数和x之间的关系式是：S=x+1；（3）请你继续探索，当格点多边形内部有且只有n个格点时，猜想S与x有怎样的关系？答：S=+（n﹣1）．考点：一次函数综合题．专题：压轴题；规律型．分析：（1）由（1）可以直接得到S=x；（2）由图可知多边形内部都有而且只有2格点时，①的各边上格点的个数为10，面积为6，②的各边上格点的个数为4，面积为3，③的各边上格点的个数为6，面积为4，S=x+1；（3）由图可知多边形内部都有而且只有n格点时，面积为：S=+（n﹣1）．解答：解：（1）S=x；（2）S=x+1；（3）S=+n﹣1．点评：此题需要根据图中表格和自己所算得的数据，总结出规律．寻找规律是一件比较困难的活动，需要仔细观察和大量的验算．18．如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，且CD⊥AB，已知AB=8，CM=2，求直径CD的长．考点：垂径定理；勾股定理．分析：连接OA，先根据垂径定理求出AM的长，设⊙O的半径为r，则OM=r﹣CD=r ﹣2，根据勾股定理求出r的值，进而可得出结论．解答：解：连接OA，∵CD是直径，AB是弦，且CD⊥AB，AB=8，∴AM=AB=4．设⊙O的半径为r，则OM=r﹣CD=r﹣2，∵OM2+AM2=OA2，∴（r﹣2）2+42=r2，解得r=5，∴CD=2r=10．点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．19．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣4，3）、B（﹣3，1）、C（﹣1，3）．（1）请按下列要求画图：①将△ABC先向右平移4个单位长度、再向上平移2个单位长度，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；②△A2B2C2与△ABC关于原点O成中心对称，画出△A2B2C2．（2）在（1）中所得的△A1B1C1和△A2B2C2关于点M成中心对称，请直接写出对称中心M点的坐标．考点：作图-旋转变换；作图-平移变换．分析：（1）①根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；②根据网格结构找出A、B、C关于原点O的中心对称点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可；（2）连接B1B2，C1C2，交点就是对称中心M．解答：解：（1）①△A1B1C1如图所示；②△A2B2C2如图所示；（2）连接B1B2，C1C2，得到对称中心M的坐标为（2，1）．点评：本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．另外要求掌握对称中心的定义．20．某商场为缓解我市“停车难”问题，拟建造地下停车库，如图是该地下停车库坡道入口的设计示意图，其中，AB⊥BD，∠BAD=18°，C在BD上，BC=0.5m．根据规定，地下停车库坡道入口上方要张贴限高标志，以便告知驾驶员所驾车辆能否安全驶入．小明认为CD的长就是所限制的高度，而小亮认为应该以CE的长作为限制的高度．小明和小亮谁说的对？请你判断并计算出正确的结果．（参考数据：sin18°=0.31，cos18°=0.95，tan18°=0.325）（结果精确到0.1m）考点：解直角三角形的应用．分析：先根据CE⊥AE，判断出CE为高，再根据解直角三角形的知识解答．解答：解：在△ABD中，∠ABD=90°，∠BAD=18°，BA=10m，∵tan∠BAD=，∴BD=10×tan18°，∴CD=BD﹣BC=10×tan18°﹣0.5≈2.7（m）．在△ABD中，∠CDE=90°﹣∠BAD=72°，∵CE⊥ED，∴sin∠CDE=，∴CE=sin∠CDE×CD=sin72°×2.7≈2.6（m）．∵2.6m＜2.7m，且CE⊥AE，∴小亮说的对．答：小亮说的对，CE为2.6m．点评：此题考查了三角函数的基本概念，主要是正弦、正切概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．21．某市对火车站进行了大规模的改建，改建后的火车站除原有的普通售票窗口外，新增了自动打印车票的无人售票窗口．某日，从早8点开始到上午11点，每个普通售票窗口售出的车票数y1（张）与售票时间x（小时）的正比例函数关系满足图①中的图象，每个无人售票窗口售出的车票数y2（张）与售票时间x（小时）的函数关系满足图②中的图象．（1）图②中图象的前半段（含端点）是以原点为顶点的抛物线的一部分，根据图中所给数据确定抛物线的表达式为y=60x2，其中自变量x的取值范围是0≤x≤；（2）若当天共开放5个无人售票窗口，截至上午9点，两种窗口共售出的车票数不少于1450张，则至少需要开放多少个普通售票窗口？（3）上午10点时，每个普通售票窗口与每个无人售票窗口售出的车票数恰好相同，试确定图②中图象的后半段一次函数的表达式．考点：二次函数的应用；一次函数的应用．分析：（1）设函数的解析式为y=ax2，然后把点（1，60）代入解析式求得a的值，即可得出抛物线的表达式，根据图象可得自变量x的取值范围；（2）设需要开放x个普通售票窗口，根据售出车票不少于1450，列出不等式解不等式，求最小整数解即可；（3）先求出普通窗口的函数解析式，然后求出10点时售出的票数，和无人售票窗口当x=时，y的值，然后把运用待定系数法求解析式即可．解答：解：（1）设函数的解析式为y=ax2，把点（1，60）代入解析式得：a=60，则函数解析式为：y=60x2（0≤x≤）；（2）设需要开放x个普通售票窗口，由题意得，80x+60×5≥1450，解得：x≥14，∵x为整数且x取最小值，∴x=15，即至少需要开放15个普通售票窗口；（3）设普通售票的函数解析式为y=kx，把点（1，80）代入得：k=80，则y=80x，∵10点是x=2，∴当x=2时，y=160，即上午10点普通窗口售票为160张，由（1）得，当x=时，y=135，∴图②中的一次函数过点（，135），（2，160），设一次函数的解析式为：y=mx+n，把点的坐标代入得：，解得：，则一次函数的解析式为y=50x+60．点评：本题考查了二次函数及一次函数的应用，解答本题的关键是根据题意找出等量关系求出函数解析式，培养学生的读图能力以及把生活中的实际问题转化为数学问题来解决．22．设a，b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b]，对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当m≤x≤n时，有m≤y≤n，我们就称此函数是闭区间[m，n]上的“闭函数”．（1）反比例函数y=是闭区间[1，2015]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；（2）若一次函数y=kx+b（k＞0）是闭区间[m，n]上的“闭函数”，求此函数的解析式．考点：反比例函数的性质；一次函数的性质．专题：新定义．分析：（1）根据反比例函数y=的单调区间进行判断；（2）根据新定义运算法则列出关于系数k、b的方程组，通过解该方程组即可求得系数k、b的值．解答：解：（1）反比例函数y=是闭区间[1，2015]上的“闭函数”．理由如下：反比例函数y=在第一象限，y随x的增大而减小，当x=1时，y=2015；当x=2015时，y=1，所以，当1≤x≤2015时，有1≤y≤2015，符合闭函数的定义，故反比例函数y=是闭区间[1，2015]上的“闭函数”；（2）∵k＞0时，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是y随x的增大而增大，∴，解得．∴此函数的解析式是y=x．点评：本题考查的是反比例函数的性质，解题的关键是弄清楚“闭函数”的定义．解题时，也要注意“分类讨论”数学思想的应用．23．类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整．原题：如图1，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，点F是线段AE上一点，BF 的延长线交射线CD于点G．若=3，求的值．（1）尝试探究在图1中，过点E作EH∥AB交BG于点H，则AB和EH的数量关系是AB=3EH，CG 和EH的数量关系是CG=2EH，的值是．（2）类比延伸如图2，在原题的条件下，若=m（m＞0），则的值是（用含有m的代数式表示），试写出解答过程．（3）拓展迁移如图3，梯形ABCD中，DC∥AB，点E是BC的延长线上的一点，AE和BD相交于点F．若=a，=b，（a＞0，b＞0），则的值是ab（用含a、b的代数式表示）．考点：相似形综合题；平行四边形的性质；梯形；相似三角形的判定与性质．专题：代数几何综合题；压轴题．分析：（1）本问体现“特殊”的情形，=3是一个确定的数值．如答图1，过E点作平行线，构造相似三角形，利用相似三角形和中位线的性质，分别将各相关线段均统一用EH来表示，最后求得比值；（2）本问体现“一般”的情形，=m不再是一个确定的数值，但（1）问中的解题方法依然适用，如答图2所示．（3）本问体现“类比”与“转化”的情形，将（1）（2）问中的解题方法推广转化到梯形中，如答图3所示．解答：解：（1）依题意，过点E作EH∥AB交BG于点H，如右图1所示．则有△ABF∽△EHF，∴，∴AB=3EH．∵▱ABCD，EH∥AB，∴EH∥CD，又∵E为BC中点，∴EH为△BCG的中位线，∴CG=2EH．===．故答案为：AB=3EH；CG=2EH；．（2）如右图2所示，作EH∥AB交BG于点H，则△EFH∽△AFB．∴==m，∴AB=mEH．。
〖汇总3套试卷〗上海市长宁区2019年九年级上学期期末质量检测数学试题
九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，AB与⊙O相切于点A，BO与⊙O相交于点C，点D是优弧AC上一点，∠CDA＝27°，则∠B的大小是（）A．27°B．34°C．36°D．54°【答案】C【分析】由切线的性质可知∠OAB=90°，由圆周角定理可知∠BOA=54°，根据直角三角形两锐角互余可知∠B=36°．【详解】解：∵AB与⊙O相切于点A，∴OA⊥BA．∴∠OAB=90°．∵∠CDA=27°，∴∠BOA=54°．∴∠B=90°-54°=36°．故选C．考点：切线的性质．2．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．正三角形B．正五边形C．正六边形D．正七边形【答案】C【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．【详解】A、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；B、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；C、此图形既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项正确；D、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误．故选：C．【点睛】本题主要考查了轴对称图形与中心对称图形，掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．3．一元二次方程x²-4x-1=0配方可化为（）A．(x+2)²=3 B．(x+2)²=5 C．(x-2)²=3 D．(x-2)²=5【答案】D【分析】移项，配方，即可得出选项．【详解】x2−4x−1＝0，x2−4x＝1，x2−4x＋4＝1＋4，（x−2）2＝5，故选：D．【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，能正确配方是解此题的关键．4．如图，⊙O中，弦AB与CD交于点M，∠A=45°，∠AMD=75°，则∠B的度数是（）A．15°B．25°C．30°D．75°【答案】C【分析】由三角形外角定理求得∠C的度数，再由圆周角定理可求∠B的度数．【详解】∵∠A=45°，∠AMD=75°，∴∠C=∠AMD-∠A=75°-45°=30°，∴∠B=∠C=30°，故选C．5．如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2，周长分别是C1与C2，则下列说法正确的是（）A．123 2C C =B．1232SS=C．32OBCD=D．32OAOD=【答案】A【分析】根据相似三角形的性质判断即可．【详解】解：∵△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，∴123 2CC=，A正确；∴1294SS=，B错误；∴32OBOD=，C错误；∴OA：OC＝3：2，D错误；故选：A．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．6．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分(即四边形AEOF)的面积是( )A．4 B．6.25 C．7.5 D．9【答案】A【分析】先利用勾股定理判断△ABC为直角三角形，且∠BAC=90°，继而证明四边形AEOF为正方形，设⊙O 的半径为r，利用面积法求出r的值即可求得答案.【详解】∵AB=5，BC=13，CA=12，∴AB2+AC2=BC2，∴△ABC为直角三角形，且∠BAC=90°，∵⊙O为△ABC内切圆，∴∠AFO=∠AEO=90°，且AE=AF，∴四边形AEOF为正方形，设⊙O的半径为r，∴OE=OF=r，∴S四边形AEOF=r²，连接AO，BO，CO，∴S△ABC=S△AOB+S△AOC+S△BOC，∴11()22AB AC BC r AB AC ++=⋅， ∴r=2，∴S 四边形AEOF =r²=4，故选A.【点睛】本题考查了三角形的内切圆，勾股定理的逆定理，正方形判定与性质，面积法等，正确把握相关知识是解题的关键.7．已知x=﹣2是一元二次方程x 2+mx+4=0的一个解，则m 的值是（ ）A ．﹣4B ．4C ．0D ．0或4 【答案】B【分析】直接把x=﹣2代入已知方程就得到关于m 的方程，再解此方程即可．【详解】∵x=﹣2是一元二次方程x 2+mx+4=0的一个解，∴4−2m+4=0，∴m=4.故选B.【点睛】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是将x=﹣2代入已知方程.8．已知反比例函数y=﹣6x，下列结论中不正确的是( ) A ．图象必经过点(﹣3，2) B ．图象位于第二、四象限C ．若x ＜﹣2，则0＜y ＜3D ．在每一个象限内，y 随x 值的增大而减小 【答案】D【分析】根据反比例函数的性质对各选项进行逐一分析即可．【详解】A 、∵（﹣3）×2=﹣6，∴图象必经过点（﹣3，2），故本选项正确；B 、∵k=﹣6＜0，∴函数图象的两个分支分布在第二、四象限，故本选项正确；C 、∵x=-2时，y=3且y 随x 的增大而而增大，∴x ＜﹣2时，0＜y ＜3，故本选项正确；D 、函数图象的两个分支分布在第二、四象限，在每一象限内，y 随x 的增大而增大，故本选项错误． 故选D ．【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，在解答此类题目时要注意其增减性限制在每一象限内，不要一概而论． 9．如图，四边形ABCD 内接于O ，如果它的一个外角∠DCE=64°，那么∠BOD=（ ）A ．128°B ．100°C ．64°D ．32°【答案】A 【详解】∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠A=∠DCE=64°，∴∠BOD=2∠A=128°.故选A.10．如图，在Rt ABC ∆中，90C =∠，10AB =，8AC =，则sin A 等于（ ）A ．35B ．45C ．34D ．43 【答案】A【解析】分析：先根据勾股定理求得BC=6，再由正弦函数的定义求解可得．详解：在Rt △ABC 中，∵AB=10、AC=8，∴BC=2222=108=6AB AC --， ∴sinA=63105BC AB ==. 故选：A ．点睛：本题主要考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握勾股定理及正弦函数的定义．11．如图所示的物体组合，它的左视图是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】通过对简单组合体的观察，从左边看圆柱是一个长方形，从左边看正方体是一个正方形，但是两个立体图形是并排放置的，正方体的左视图被圆柱的左视图挡住了，只能看到长方形，邻边用虚线画出即可．【详解】从左边看圆柱的左视图是一个长方形，从左边看正方体的左视图是一个正方形，从左边看圆柱与正方体组合体的左视图是一个长方形，两图形的邻边用虚线画出，则如图所示的物体组合的左视图如D 选项所示，故选：D ．【点睛】本题考查了简单组合体的三视图．解答此题要注意进行观察和思考，既要丰富的数学知识，又要有一定的生活经验和空间想象力．12．抛物线y ＝x 2﹣2x+3的顶点坐标是（ ）A ．（1，3）B ．（﹣1，3）C ．（1，2）D ．（﹣1，2）【答案】C【分析】把抛物线解析式化为顶点式可求得答案．【详解】解：∵y ＝x 2﹣2x+3＝（x ﹣1）2+2，∴顶点坐标为（1，2），故选：C ．【点睛】本题考查了抛物线的顶点坐标的求解，解题的关键是熟悉配方法．二、填空题（本题包括8个小题）13．如图，二次函数()22y x m =++的图象与y 轴交于点C ,与x 轴的一个交点为()1, 0A -,点B 在抛物线上，且与点C 关于抛物线的对称轴对称．已知一次函数y kx b =+的图象经过,A B 两点,根据图象,则满足不等式()22x m kx b ++≤+的x 的取值范围是_____________【答案】41x --≤≤【分析】将点A 的坐标代入二次函数解析式求出m 的值，再根据二次函数解析式求出点C 的坐标，然后求出点B 的坐标，点A 、B 之间部分的自变量x 的取值范围即为不等式的解集. 【详解】解：抛物线()22y x m =++经过点() 1, 0A - 01m ∴=+1m ∴=-∴抛物线解析式为()222 143y x x x =+-=++∴点C 坐标()0,3∴对称轴为x=-2,B 、C 关于对称轴对称,∴点B 坐标()4, 3-由图象可知，满足()22 x m kx b ++≤+的x 的取值范围为41x --≤≤故答案为:41x --≤≤．【点睛】本题考查了利用二次函数的性质来确定系数m 和图象上点B 的坐标，而根据图象可知满足不等式()22x m kx b ++≤+的x 的取值范围是在B 、A 两点之间. 14．若439x =，则x =_______． 【答案】12【分析】根据比例的性质即可求解． 【详解】∵439x =， ∴49123x ⨯==， 故答案为：12．【点睛】本题考查了比例的性质，解答本题的关键是明确比例的性质的含义．15．小明身高是1.6m ，影长为2m ，同时刻教学楼的影长为24m ，则楼的高是_____．【答案】19.2m【分析】根据在同一时物体的高度和影长成正比，设出教学楼高度即可列方程解答．【详解】设教学楼高度为xm ， 列方程得： 1.6242x = 解得x ＝19.2，故教学楼的高度为19.2m ．故答案为：19.2m ．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题时关键是找出相等的比例关系，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．16．时钟上的分针匀速旋转一周需要60分钟，则经过10分钟，分针旋转了_____度．【答案】60【分析】时钟上的分针匀速旋转一周需要60min ，分针旋转了360°；求经过10分，分针的旋转度数，列出算式，计算即可．【详解】根据题意得，1060×360°=60°．故答案为60°．【点睛】本题考查了生活中的旋转现象，明确分针旋转一周，分针旋转了360°是解答本题的关键．17．半径为6 cm的圆内接正四边形的边长是____cm．.【答案】62【详解】解：如图：圆的半径是6cm，那么内接正方形的边长为：AB=CB，因为：AB2+CB2=AC2，所以：AB2+CB2=122即AB2+CB2=144解得AB=62故答案为：2．18．若34ab=，则2a bb-=___________.【答案】1 2【分析】根据题干信息，利用已知得出a= 34b，进而代入代数式2a bb-求出答案即可．【详解】解：∵34ab=，∴a= 34 b，∴2a bb-=32142b bb⨯-=．故答案为：12．【点睛】本题主要考查比例的性质，正确得出a=34b ，并利用代入代数式求值是解题关键． 三、解答题（本题包括8个小题） 19．如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，连接DE ，F 为线段DE 上一点，且∠AFE=∠B（1）求证：△ADF ∽△DEC ；（2）若AB=8，33，求AE 的长．【答案】（1）见解析（2）6【分析】（1）利用对应两角相等，证明两个三角形相似△ADF ∽△DEC.（2）利用△ADF ∽△DEC ，可以求出线段DE 的长度；然后在在Rt △ADE 中，利用勾股定理求出线段AE 的长度.【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AD ∥BC∴∠C+∠B=110°，∠ADF=∠DEC∵∠AFD+∠AFE=110°，∠AFE=∠B ，∴∠AFD=∠C在△ADF 与△DEC 中，∵∠AFD=∠C ，∠ADF=∠DEC ，∴△ADF ∽△DEC （2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD=AB=1．由（1）知△ADF ∽△DEC ，∴AD AF DE CD=， ∴AD CD 63DE 12AF 43⋅=== 在Rt △ADE 中，由勾股定理得：()2222AE DE AD 12636=-=-=20．如图，要设计一幅宽为20cm ，长30cm 的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条宽度相等，如果要使余下的图案面积为504cm 2，彩条的宽应是多少cm ．【答案】1cm ．【分析】设每个彩条的宽度为xcm ，根据剩余面积为504cm 2，建立方程求出其解即可．【详解】设每个彩条的宽度为xcm ，由题意，得（30﹣2x ）（20﹣2x ）＝504，解得：x 1＝24（舍去），x 2＝1．答：每个彩条的宽度为1cm ．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据剩余面积=总面积-彩条面积列出方程. 21．如图，在△ABC 中，D 为AC 上一点，E 为CB 延长线上一点，且EB BH BG FH=，DG ∥AB ，求证：DF ＝BG ．【答案】详见解析【分析】证明△DFH ∽△EBH ，证出DF ‖BC ，可证出四边形BGDF 平行四边形，则DF=BG ．【详解】证明：∵DG ∥AB ，∴=EB EH BG DH， ∵EB BH BG FH= ， ∴EH BH DH FH =， ∵∠EHB ＝∠DHF ，∴△DFH ∽△EBH ，∴∠E ＝∠FDH ，∴DF//BC ，∴四边形BGDF 平行四边形，∴DF ＝BG ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，平行四边形的判定与性质等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．22．如图，一根竖直的木杆在离地面3.1m 处折断，木杆顶端落在地面上，且与地面成38°角，则木杆折断之前高度约为__________．（参考数据：sin380.62,cos380.79,tan380.78︒≈︒≈︒≈）【答案】8.1m【分析】由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度．【详解】解：如图：3.1,38AC m B =∠=︒， ∴ 3.15sin 0.62AC AB B ===， ∴木杆折断之前高度()3.158.1AC AB m =+=+=故答案为8.1m【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握运算法则是解题关键.23．综合与实践问题背景：综合与实践课上，同学们以两个全等的三角形纸片为操作对象，进行相一次相关问题的研究． 下面是创新小组在操作过程中研究的问题， 如图一，△ABC ≌△DEF ， 其中∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°．操作与发现：（1）如图二，创新小组将两张三角形纸片按如图示的方式放置，四边形ACBF 的形状是 ，CF= ；（2）创新小组在图二的基础上，将△DEF 纸片沿AB 方向平移至图三的位置，其中点E 与AB 的中点重合．连接CE ，BF ．四边形BCEF 的形状是 ，CF= ．操作与探究 ：（3）创新小组在图三的基础上又进行了探究，将△DEF 纸片绕点E 逆时针旋转至DE 与BC 平行的位置，如图四所示，连接AF ， BF ． 经过观察和推理后发现四边形ACBF 也是矩形，请你证明这个结论．【答案】（1）矩形，4 ；（2）菱形，23；（3）详见解析．【分析】（1）由题意及图形可直接解答；（2）根据题意及图形，结合直角三角形的性质定理可直接得到答案；（3）根据旋转的性质及题意易得AE EF BC ==，然后得到四边形ACBF 为平行四边形，最后问题得证．【详解】（1）如图所示：△ABC ≌△DEF ， 其中∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°，∴60,2ABC FED BC EF ∠=∠=︒==，∴90C F FAC ∠=∠=∠=︒，∴四边形ACBF 是矩形，AB=4∴，∴AB=CF=4；故答案为：矩形，4 ；（2）如图所示：△ABC ≌△DEF ， 其中∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°，∴60,2ABC FED BC EF ∠=∠=︒==，∴//BC EF ，∴四边形ECBF 是平行四边形，点E 与AB 的中点重合，∴CE=BE ，∴CBE △是等边三角形，∴EC=BC ，∴四边形ECBF 是菱形，∴CF 与EB 互相垂直且平分， ∴33OC EC ==，∴23CF =， 故答案为：菱形，23； （3）证明：如图所示：∵90,3060C A ABC ∠=︒∠=︒∴∠=︒∵//,DE BC DEF ABC ≌∴60DEB DEF ABC ∠=∠=∠=︒∴60AEF ∠=︒∵24,2AB BC AE ==∴=∵2EF BC AE EF ==∴=∴AEF ∆为等边三角形∴60FAE ABC ∠=︒=∠∴//BC AF ∵AE EF BC ==∴四边形ACBF 为平行四边形∵90C ∠=︒ ∴四边形ACBF 为矩形．【点睛】本题主要考查特殊平行四边形的性质及判定、全等三角形的性质，关键是由题意图形的变化及三角形全等的性质得到线段的等量关系，然后结合特殊平行四边形的判定方法证明即可．24．如图，在ABC 中，I 是内心，,AB AC O =是AB 边上一点，以点O 为圆心，OB 为半径的O 经过点I .()1求证：AI 是O 的切线； ()2已知O 的半径是5.①若E 是BI 的中点，5OE =，则BI = ； ②若16BC =，求AI 的长.【答案】（1）详见解析；（2）①45；②203【分析】(1)延长AI 交BC 于D ，连接OI .得出AD BC ⊥，再利用角之间的关系可得出OI BC ，即OI AD ⊥，结论即可得证.(2)①利用勾股定理即可求解②由()1知// OI BC ，AOIABD ，根据对应线段成比例，可得出AB ，AD 的值，从而可求出AI的长.【详解】解：(1)证明：延长AI 交BC 于D ，连接OI .I 是ABC 的内心，BI ∴平分,ABC AI ∠平分BAC ∠.13∠∠∴=.,AB AC AD BC =∴⊥.又OB OI =，32∴∠=∠.12∠∠∴=.// OI BD ∴.OI AI ∴⊥.AI ∴为O 的切线.()2①∵()22IE 552025=-==∴BI 45=. ②解：由()1知// OI BC ，AOIABD ∴. AO OI AI AB BD AD∴== 55 8AB AB -∴= 403AB ∴= 22323AD AB BD ∴=-=. ∴53220AI 833=⨯= . 【点睛】本题考查的知识点有圆的切线的判定定理，相似三角形的判定与性质，综合性较强，利用数形结合的方法可以更好的理解题目，有助于找出解题的方向.25．蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流I （A ）是电阻R （Ω）的反比例函数，其图象如图所示． （1）求这个反比例函数的表达式；（2）当R=10Ω时，求电流I （A ）．【答案】（1）36I R=；（2）3.6A ． 【分析】（1）利用待定系数法即可得出答案；（2）把R=10代入函数解析式即可求出电流I 的值．【详解】解：（1）由电流I （A ）是电阻R （Ω）的反比例函数，设k I R =（k≠0）， 把（4，9）代入得：k=4×9=36，∴36I R=． （2） 当R=10Ω时，3610I ==3.6A ． 【点睛】本题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，设出函数解析式，然后代入点的坐标是解决此题的关键．26．俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售量为y本，销售单价为x元．（1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；（2）当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？（3）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少元？【答案】（1）y=﹣10x+740（44≤x≤52）；（2）当每本足球纪念册销售单价是50元时，商店每天获利2400元；（3）将足球纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大，最大利润是2640元．【分析】（1）售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，则售单价每上涨（x﹣44）元，每天销售量减少10（x﹣44）本，所以y=300﹣10（x﹣44），然后利用销售单价不低于44元，且获利不高于30%确定x的范围；（2）利用每本的利润乘以销售量得到总利润得到（x﹣40）（﹣10x+740）=2400，然后解方程后利用x的范围确定销售单价；（3）利用每本的利润乘以销售量得到总利润得到w=（x﹣40）（﹣10x+740），再把它变形为顶点式，然后利用二次函数的性质得到x=52时w最大，从而计算出x=52时对应的w的值即可．【详解】（1）y=300﹣10（x﹣44），即y=﹣10x+740（44≤x≤52）；（2）根据题意得（x﹣40）（﹣10x+740）=2400，解得x1=50，x2=64（舍去），答：当每本足球纪念册销售单价是50元时，商店每天获利2400元；（3）w=（x﹣40）（﹣10x+740）=﹣10x2+1140x﹣29600=﹣10（x﹣57）2+2890，当x＜57时，w随x的增大而增大，而44≤x≤52，所以当x=52时，w有最大值，最大值为﹣10（52﹣57）2+2890=2640，答：将足球纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大，最大利润是2640元．【点睛】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，解决二次函数应用类问题时关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后利用二次函数的性质确定其最大值；在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．27．“脱贫攻坚战”打响以来，全国贫困人口减少了8000多万人。
[试卷合集3套]上海市长宁区2019年九年级上学期期末监测数学试题
![[试卷合集3套]上海市长宁区2019年九年级上学期期末监测数学试题](https://img.taocdn.com/s3/m/f2c1eb79d1f34693dbef3e07.png)
九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意） 1．下列说法正确的是（ ）①经过三个点一定可以作圆；②若等腰三角形的两边长分别为3和7，则第三边长是3或7；③一个正六边形的内角和是其外角和的2倍；④随意翻到一本书的某页，页码是偶数是随机事件；⑤关于x 的一元二次方程x 2-(k+3)x+k=0有两个不相等的实数根． A ．①②③ B ．①④⑤ C ．②③④ D ．③④⑤【答案】D【分析】利用不在同一直线上的三个点确定一个圆，等腰三角形的性质及三角形三边关系、正多边形内角和公式和外角和、随机事件的定义及一元二次方程根的判别式分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：经过不在同一直线上的三个点一定可以作圆，故①说法错误； 若等腰三角形的两边长分别为3和7，则第三边长是7，故②说法错误；③一个正六边形的内角和是180°×（6-2）=720°其外角和是360°，所以一个正六边形的内角和是其外角和的2倍，故③说法正确；随意翻到一本书的某页，页码可能是奇数，也可能是偶数，所以随意翻到一本书的某页，页码是偶数是随机事件，故④说法正确；关于x 的一元二次方程x 2-(k+3)x+k=0，[]222=4(3)41(1)80b ac k k k -=-+-⨯⨯=++>，所以方程有两个不相等的实数根，故⑤说法正确． 故选：D. 【点睛】本题考查了不在同一直线上的三个点确定一个圆，等腰三角形的性质及三角形三边关系、正多边形内角和公式和外角和、随机事件的定义及一元二次方程根的判别式，熟练掌握相关知识点是本题的解题关键． 2．如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝10，tanA ＝2，BE ⊥AC 于点E ，D 是线段BE 上的一个动点，则55CD BD +的最小值是( )A ．25B ．45C ．53D ．10【答案】B【解析】如图，作DH ⊥AB 于H ，CM ⊥AB 于M ．由tanA=BEAE=2，设AE=a ，BE=2a ，利用勾股定理构建方程求出a，再证明DH=5BD，推出CD+5BD=CD+DH，由垂线段最短即可解决问题．【详解】如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．∵BE⊥AC，∴∠AEB=90°，∵tanA=BEAE=2，设AE=a，BE=2a，则有：100=a2+4a2，∴a2=20，∴55，∴5∵AB=AC，BE⊥AC，CM⊥AB，∴5）∵∠DBH=∠ABE，∠BHD=∠BEA，∴5 sinDH AEDBHBD AB∠===，∴5 BD，∴5，∴CD+DH≥CM，∴55∴5的最小值为5故选B．【点睛】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．3．如图所示的几何体为圆台，其俯视图正确的是()A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】试题分析：俯视图是从物体上面看，所得到的图形．从几何体的上面看所得到的图形是两个同心圆. 故选C ．考点：简单几何体的三视图4．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝23，以点B 为圆心，BC 的长为半径作弧，交AB 于点D ，若点D 为AB 的中点，则阴影部分的面积是（ ）A ．2233π- B ．2433π C ．4233π-D ．23π 【答案】A【详解】解：∵D 为AB 的中点， ∴BC=BD=12AB ， ∴∠A=30°，∠B=60°． ∵AC=3 ∴BC=AC•tan30°=333=2， ∴S 阴影=S △ABC ﹣S 扇形CBD =216022322360π⨯⨯-=2233π-．故选A ． 【点睛】本题考查解直角三角形和扇形面积的计算，掌握公式正确计算是本题的解题关键． 5．对于反比例函数2y x=，下列说法中不正确的是（ ） A ．点()2,1--在它的图象上B．它的图象在第一、三象限C．y随x的增大而减小D．当0x<时，y随x的增大而减小【答案】C【解析】根据反比例函数的性质用排除法解答，当系数k＞0时，函数图象在第一、三象限，当x＞0或x ＜0时，y随x的增大而减小，由此进行判断．【详解】A、把点（-2，-1）代入反比例函数y=2x得-1=-1，本选项正确；B、∵k=2＞0，∴图象在第一、三象限，本选项正确；C、∵k=2＞0，∴图象在第一、三象限内y随x的增大而减小，本选项不正确；D、当x＜0时，y随x的增大而减小，本选项正确．故选C．【点睛】考查了反比例函数y=kx（k≠0）的性质：①当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．②当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限，y随x的增大而增大．6．如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠B = 30°，BC =" 4" cm，以点C为圆心，以2 cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是（）．A．相离B．相切C．相交D．相切或相交【答案】B【分析】作CD⊥AB于点D．根据三角函数求CD的长，与圆的半径比较，作出判断．【详解】解：作CD⊥AB于点D．∵∠B=30°，BC=4cm，∴12,2CD==BC cm即CD等于圆的半径．∴AB与⊙C相切．故选：B．7．甲、乙、丙三名射击运动员在某场测试中各射击20次，3人的测试成绩如下表．则甲、乙、丙3名运动员测试成绩最稳定的是（）A．甲B．乙C．丙D．3人成绩稳定情况相同【答案】A【分析】先算出甲、乙、丙三人的方差，比较方差得出最稳定的人选．【详解】由表格得：甲的平均数=7486961048.520⨯+⨯+⨯+⨯=甲的方差=2222 4(78.5)6(88.5)6(98.5)4(108.5)20⨯-+⨯-+⨯-+⨯-1.05=同理可得：乙的平均数为：8.5，乙的方差为：1.45丙的平均数为：8.5，乙的方差为：1.25∴甲的方差最小，即甲最稳定故选：A【点睛】本题考查根据方差得出结论，解题关键是分别求解出甲、乙、丙的方差，比较即可．8．下列事件为必然事件的是（）A．打开电视机，它正在播广告B．a取任一个实数，代数式a2+1的值都大于0C．明天太阳从西方升起D．抛掷一枚硬币，一定正面朝上【答案】B【分析】由题意直接根据事件发生的可能性大小进行判断即可．【详解】解：A、打开电视机，它正在播广告是随机事件；∴a 2+1≥1，∴a 取任一个实数，代数式a 2+1的值都大于0是必然事件； C 、明天太阳从西方升起是不可能事件； D 、抛掷一枚硬币，一定正面朝上是随机事件； 故选：B ． 【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．注意掌握必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 9．把函数212y x =-的图象，经过怎样的平移变换以后，可以得到函数()21112y x =--+的图象（ ） A ．向左平移1个单位，再向下平移1个单位 B ．向左平移1个单位，再向上平移1个单位 C ．向右平移1个单位，再向上平移1个单位 D ．向右平移1个单位，再向下平移1个单位 【答案】C【分析】根据抛物线顶点的变换规律作出正确的选项． 【详解】抛物线212y x =-的顶点坐标是00（，），抛物线线()21112y x =--+的顶点坐标是11（，）， 所以将顶点00（，）向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到顶点11（，）， 即将函数212y x =-的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到函数()21112y x =--+的图象． 故选：C ． 【点睛】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式． 10．华为手机锁屏密码是6位数，若密码的前4位数字已经知道，则一次解锁该手机密码的概率是（ ） A ．12B ．110C ．1100D ．11000【答案】C【分析】根据排列组合，求出最后两位数字共存在多少种情况，即可求解一次解锁该手机密码的概率． 【详解】根据题意，我们只需解锁后两位密码即可，两位数字的排列有210=100 种可能 ∴一次解锁该手机密码的概率是1100故答案为：C ． 【点睛】本题考查了排列组合的问题，掌握排列组合的公式是解题的关键． 11．已知x=1是方程x 2+px+1=0的一个实数根，则p 的值是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．﹣2【答案】D【分析】把x=1代入x 2+px+1=0，即可求得p 的值. 【详解】把x=1代入把x=1代入x 2+px+1=0，得 1+p+1=0， ∴p=-2. 故选D. 【点睛】本题考查了一元二次方程的解得定义，能使一元二次方程成立的未知数的值叫作一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程解得定义是解答本题的关键.12．如图，向量OA 与OB 均为单位向量，且OA ⊥OB ，令n =OA +OB ，则||n =（ ）A ．1B 2C 3D ．2【答案】B【解析】根据向量的运算法则可得:n =()222OAOB+=故选B.二、填空题（本题包括8个小题）13．已知关于x 的一元二次方程(k －1)x 2＋x ＋k 2－1＝0有一个根为0，则k 的值为________． 【答案】－1【解析】把x=0代入方程得k 2-1=0，解得k=1或k=-1， 而k-1≠0， 所以k=-1， 故答案为：-1．1423x +x 这样的方程，可以通过方程两边平方把它转化为2x+2＝x 2，解得x 1＝2，x 2＝﹣1．但由于两边平方，可能产生增根，所以需要检验，经检验，当x 1＝292满足题意；当x 2＝﹣1时，11不符合题意；所以原方程的解是x ＝2．运用以上经验，则方程5x +1的解为_____．【答案】x ＝﹣1【分析】根据等式的性质将x 移到等号右边，再平方，可得一元二次方程，根据解一元二次方程，可得答案．【详解】解：将x 移到等号右边得到：5x +＝1﹣x ， 两边平方，得 x+5＝1﹣2x+x 2， 解得x 1＝4，x 2＝﹣1，检验：x ＝4时，4+54+＝5，左边≠右边，∴x ＝4不是原方程的解， 当x ＝﹣1时，﹣1+2＝1，左边＝右边，∴x ＝﹣1是原方程的解， ∴原方程的解是x ＝﹣1， 故答案为：x ＝﹣1． 【点睛】本题主要考查解无理方程的知识点，去掉根号把无理式化成有理方程是解题的关键，注意观察方程的结构特点，把无理方程转化成一元二次方程的形式进行解答，需要同学们仔细掌握．15．如图，半径为3的⊙O 与边长为8的等边三角形ABC 的两边AB 、BC 都相切，连接OC ，则sin ∠OCB ＝___________．【答案】21 【分析】根据切线长定理得出1302OBC OBA ABC ∠=∠=∠=︒，解直角三角形求得BD ，即可求得CD ，然后解Rt △OCD 即可求得sin OCB ∠的值． 【详解】解：连接OB ，作ODBC 于D ，O 与等边三角形ABC 的两边AB 、BC 都相切，1302OBC OBA ABC ∴∠=∠=∠=︒，tan ODOBC BD∴∠=， 33tan 303ODBD ∴===︒，835CD BC BD ∴=-=-=，在Rt △OCD 中，()22223527OC OD CD =+=+=321sin 27OD OCB CO ∴∠===． 故答案为：2114． 【点睛】本题考查了切线的性质，等边三角形的性质，解直角三角形等，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键． 16．如图，公路互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为2.4km ，则两点间的距离为______km.【答案】1.1【解析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得MC= AB=1.1km ．【详解】∵在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，M 为AB 的中点， ∴MC=AB=AM=1.1(km).故答案为：1.1． 【点睛】此题考查直角三角形的性质，解题关键点是熟练掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，理解题意，将实际问题转化为数学问题是解题的关键.17．如图，将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放，三角板一边与量角器的零刻度线所在直线重合，重叠部分的量角器弧（AB ）对应的圆心角（∠AOB ）为120°，OC 的长为2cm ，则三角板和量角器重叠部分的面积为_____．【答案】21623cm 3π+． 【分析】由图可知，三角板和量角器重叠部分的面积为扇形OAB 的面积与△OBC 面积的和，由此其解 【详解】解： ∵∠AOB=120°，∴∠BOC=60°． 在Rt △OBC 中，OC=2cm ，∠BOC=60°， ∴0OC OB 4cm BC OC tan 6023cm cos60===⋅=，． ∴)22OBC OAB 1204116S S S 22323cm 36023ππ∆⋅⋅=+=+⋅⋅=+重叠扇形．故答案为：21623cm 3π+ 18．一种微粒的半径是1．11114米，这个数据用科学记数法表示为____． 【答案】5410-⨯【解析】试题分析：科学计数法是指a×10n ，且1≤a ＜11，小数点向右移动几位，则n 的相反数就是几． 考点：科学计数法三、解答题（本题包括8个小题）19．某网店准备经销一款儿童玩具，每个进价为35元，经市场预测，包邮单价定为50元时，每周可售出200个，包邮单价每增加1元销售将减少10个，已知每成交一个，店主要承付5元的快递费用，设该店主包邮单价定为x(元)(x ＞50)，每周获得的利润为y(元)． (1)求该店主包邮单价定为53元时每周获得的利润； (2)求y 与x 之间的函数关系式；(3)该店主包邮单价定为多少元时，每周获得的利润最大？最大值是多少？【答案】（1）2210；（2）y ＝﹣10x 2+1100x ﹣28000；（3）包邮单价定为55元时，每周获得的利润最大，最大值是1元．【分析】（1）根据利润=每件的利润×销售量即可． （2）根据利润=每件的利润×销售量即可． （3）根据（2）中关系式，将它化为顶点式即可．【详解】（1）（53﹣35﹣5）×[200﹣（53﹣50）×10]＝13×170＝2210（元）． 答：每周获得的利润为2210元；（2）由题意，y ＝（x ﹣35﹣5）[200﹣10（x ﹣50）] 即y 与x 之间的函数关系式为：y ＝﹣10x 2+1100x ﹣28000；（3）∵y＝﹣10x2+1100x﹣28000＝﹣10（x﹣55）2+1．∵﹣10＜0，∴包邮单价定为55元时，每周获得的利润最大，最大值是1元．【点睛】本题主要考查的是二次函数的应用，将实际问题转化为数学模型求解，注意配方法求二次函数最值的应用20．如图，为了估算河的宽度，在河对岸选定一个目标作为点A再在河的这边选点B和C，使AB⊥BC，然后，再选点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D．此时如果测得BD=120米，DC=60米，EC=50米，求两岸间的大致距离AB．【答案】100米【分析】由两角对应相等可得△BAD∽△CED，利用对应边成比例可得两岸间的大致距离AB．【详解】∵AB⊥BC，EC⊥BC∴∠B=∠C=90°又∵∠ADB=∠EDC∴△ABD∽△ECD∴AB BD CE CD=即120 5060 AB=∴AB=100答:两岸向的大致距高AB为100米.【点睛】本题考查相似三角形的应用；用到的知识点为：两角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例．21．二次函数图象过A，C，B三点，点A的坐标为(1,0)-，点B的坐标为(4,0)，点C在y轴正半轴上，且AB OC=，求二次函数的表达式.【答案】21.25 3.755y x x =-++【分析】根据题目所给信息可以得出点C 的坐标为(0,5)，把A 、B 、C 三点坐标代入可得抛物线解析式． 【详解】解∵点A 的坐标为(1,0)- 点B 的坐标为(4,0) ∴5OC AB == 又∵点C 在y 轴正半轴上 ∴点C 的坐标为(0,5)设二次函数关系式为25y ax bx =++ 把(1,0)A -，(4,0)B 代入得1.25a =-， 3.75b =∴21.25 3.755y x x =-++ 【点睛】本题考查的知识点是用待定系数法求二次函数解析式，根据题目信息得出点C 的坐标是解此题的关键． 22．如图，正比例函数13y x =-的图像与反比例函数2ky x=的图像交于A,B 两点.点C 在x 轴负半轴上，,AC AO ACO =∆的面积为12.（1）求k 的值；（2）根据图像，当12y y >时，写出x 的取值范围； （3）连接BC ，求ABC ∆的面积.【答案】（1）12k =-；（2）2x <-或02x <<；（3）24【分析】（1）过点A 作AD 垂直于OC ，由AC=AO ，得到CD=DO ，确定出三角形ADO 与三角形ACD 面积，即可求出k 的值；（2）根据函数图象，找出满足题意x 的范围即可； （3）分别求出△AOC 和△BOC 的面积即可.【详解】解：（1）如图，过点A 作AD OC ⊥，∵AC AO =， ∴CD DO =， ∴6ADO ACD S S ∆∆==， ∴12k =-；（2）根据题意，得：123y x y x⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，解得：26x y =-⎧⎨=⎩或26x y =⎧⎨=-⎩，即(2,6),(2,6)A B --，根据图像得：当12y y >时，x 的范围为2x <-或02x <<. （3）连接BC ，121224ABC AOC BOC S S S ∆∆∆=+=+=.【点睛】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，以及坐标系中的三角形面积，利用数形结合的思想，熟练掌握各函数的性质是解本题的关键．23．（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：如图（1），在ABC ∆中，点O 在线段BC 上，30BAO ∠=︒，75OAC ∠=︒，3AO =:1:3BO CO =，求AB 的长．经过社团成员讨论发现：过点B 作//BD AC ，交AO 的延长线于点D ，通过构造ABD ∆就可以解决问题，如图（2）．请回答：ADB =∠______︒． （2）求AB 的长．（3）请参考以上解决思路，解决问题：如图（3），在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AC AD ⊥，3AO =75ABC ACB ∠=∠=︒，:1:3BO OD =，求DC 的长．【答案】（1）75°；（2）33；（3）133． 【分析】（1）根据平行线的性质可得出∠ADB=∠OAC=75°；（2）结合∠BOD=∠COA 可得出△BOD ∽△COA ，利用相似三角形的性质可求出OD 的值，进而可得出AD 的值，由三角形内角和定理可得出∠ABD=75°=∠ADB ，由等角对等边可得出AB 的长；（3）过点B 作BE ∥AD 交AC 于点E ，同（1）可得出AE 的长．在Rt △AEB 中，利用勾股定理可求出BE 的长度，再在Rt △CAD 中，利用勾股定理可求出DC 的长，此题得解． 【详解】（1）∵BD ∥AC ， ∴∠ADB=∠OAC=75°．（2）∵∠BOD=∠COA ，∠ADB=∠OAC ， ∴△BOD ∽△COA ， ∴13OD OB OA OC ==． 又∵AO 3= ∴OD 13=AO 3=， ∴43∵∠BAD=30°，∠ADB=75°，∴∠ABD=180°﹣∠BAD ﹣∠ADB=75°=∠ADB ， ∴43（3）过点B 作BE ∥AD 交AC 于点E ，如图所示．∵AC ⊥AD ，BE ∥AD ， ∴∠DAC=∠BEA=90°． ∵∠AOD=∠EOB ， ∴△AOD ∽△EOB ， ∴BO EO BEDO AO DA ==． ∵BO ：OD=1：3， ∴13EO BE AO DA ==． ∵AO=3， ∴EO 3=， ∴AE=43． ∵∠ABC=∠ACB=75°， ∴∠BAC=30°，AB=AC ， ∴AB=2BE ．在Rt △AEB 中，BE 2+AE 2=AB 2，即(43)2+BE 2=(2BE)2， 解得：BE=43， ∴AB=AC=83，AD=1．在Rt △CAD 中，AC 2+AD 2=CD 2，即2228()43CD +=，解得：CD=413．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理以及平行线的性质，解答本题的关键是：（2）利用相似三角形的性质求出OD 的值；（3）利用勾股定理求出BE 、CD 的长度． 24．某商场秋季计划购进一批进价为每件40元的T 恤进行销售．(1)根据销售经验，应季销售时，若每件T 恤的售价为60元，可售出400件；若每件T 恤的售价每提高1元，销售量相应减少10件．①假设每件T 恤的售价提高x 元，那么销售每件T 恤所获得的利润是____________元，销售量是_____________________件(用含x 的代数式表示)；②设应季销售利润为y 元，请写y 与x 的函数关系式；并求出应季销售利润为8000元时每件T 恤的售价． (2)根据销售经验，过季处理时，若每件T 恤的售价定为30元亏本销售，可售出50件；若每件T 恤的售价每降低1元，销售量相应增加5条，①若剩余100件T 恤需要处理，经过降价处理后还是无法销售的只能积压在仓库，损失本金；若使亏损金额最小，每件T 恤的售价应是多少元？②若过季需要处理的T 恤共m 件，且100≤m≤300，过季亏损金额最小是__________________________元(用含m 的代数式表示)．（注：抛物线2(0)y ax bx c a =++≠顶点是24(,)24b ac b a a--）【答案】（1）①20＋x ，400－10x ；②y ＝﹣10x 2＋200x ＋8000，60元或80元；（2）①20元，②()402000m －元．【分析】（1）①每件T 恤获得的利润=实际售价-进价，销售量=售价为60元时销售量-因价格上涨减少的销售量；②根据：销售利润=单件利润×销售量可列函数解析式，并求y=8000时x 的值；（2）①根据：亏损金额=总成本-每件T 恤的售价×销售量，列出函数关系式，配方后可得最值情况； ②根据与（2）①相同的相等关系列函数关系式配方可得最小值.【详解】解：（1）①每件T 恤所获利润20＋x 元，这种T 恤销售量400－10x 个； ②设应季销售利润为y 元，由题意得：y ＝(20＋x)(400－10x)＝﹣10x 2＋200x ＋8000 把y ＝8000代入，得﹣10x 2＋200x ＋8000＝8000， 解得x 1＝0，x 2＝20，∴应季销售利润为8000元时，T 恤的售价为60元或80元． （2）①设过季处理时亏损金额为y 2元，单价降低z 元． 由题意得：y 2＝40×100－(30－z)(50＋5z)＝5(z －10)2＋2000 z ＝10时亏损金额最小为2000元，此时售价为20元 ②∵y 2＝40m －(30－z)(50＋5z) ＝5(z －10)2＋40m －2000， ∴过季亏损金额最小40m －2000元. 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解决本题的关键是在不同情形下理清数量关系、紧扣相等关系列出函数解析式，根据解析式结合自变量取值范围求函数最值是基本技能．25．某校为了弘扬中华传统文化，了解学生整体阅读能力，组织全校的1000名学生进行一次阅读理解大赛．从中抽取部分学生的成绩进行统计分析，根据测试成绩绘制了频数分布表和频数分布直方图：分组/分频数频率50≤x＜60 6 0.1260≤x＜70 a0.2870≤x＜80 16 0.3280≤x＜90 10 0.2090≤x≤100 4 0.08（1）频数分布表中的a ；（2）将上面的频数分布直方图补充完整；（3）如果成绩达到90及90分以上者为优秀，可推荐参加决赛，估计该校进入决赛的学生大约有人．【答案】（1）14；（2）补图见解析；（3）1.【解析】（1）根据第1组频数及其频率求得总人数，总人数乘以第2组频率可得a的值；（2）把上面的频数分布直方图补充完整；（3）根据样本中90分及90分以上的百分比，乘以1000即可得到结果．【详解】（1）∵被调查的总人数为6÷0.12=50人，∴a=50×0.28=14，故答案为：14；（2）补全频数分布直方图如下：（3）估计该校进入决赛的学生大约有1000×0.08=1人，故答案为：1．【点睛】此题考查了用样本估计总体，频数（率）分布表，以及频数（率）分布直方图，弄清题中的数据是解本题的关键．26．哈尔滨市教育局以冰雪节为契机，在全市校园内开展多姿多彩的冰雪活动．某校为激发学生参与冰雪体育活动热情，开设了“滑冰、抽冰尜、冰球、冰壶、雪地足球”五个冰雪项目，并开展了以“我最喜欢的冰雪项目”为主题的调查活动，围绕“在滑冰、抽冰尜、冰球、冰壶、雪地足球中，你最喜欢的冰雪项目是什么？（每名学生必选且只选一个）”的问题在全校范围内随机抽取了部分学生进行问卷调查，根据调查结果绘制了如图所示的不完整的统计图．请根据统计图的信息回答下列问题：（1）本次调查共抽取了多少名学生？（2）求本次调查中，最喜欢冰球项目的人数，并补全条形统计图；（3）若该中学共有1800名学生，请你估计该中学最喜欢雪地足球的学生约有多少名．【答案】（1）60；（2）12，图见解析；（3）450【分析】（1）用滑冰的人数除以滑冰的比例，即可解得本次调查共抽取的学生人数．（2）用总人数减去其他各项的人数，即可得到最喜欢冰球项目的人数，补全条形统计图．（3）用总人数乘以最喜欢雪地足球的学生的比例，即可进行估算．÷=（人）【详解】解：（1）1830%60∴本次抽样调查共抽取了60名学生----=（人）（2）6018961512∴本次调查中，最喜欢冰球项目的学生人数为12人．补全条形统计图（3）15180045060⨯=（人）∴由样本估计总体得该中学最喜欢雪地足球的学生约有450人．【点睛】本题考查了概率统计的问题，掌握条形图的性质、饼状图的性质是解题的关键．27．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（－3，2），B（0，4），C（0，2）．（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△C；平移△ABC，若A的对应点的坐标为（0，-4），画出平移后对应的△；（2）若将△C绕某一点旋转可以得到△，请直接写出旋转中心的坐标；（3）在轴上有一点P，使得PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标．【答案】（1）如下图；（2）（，）；（3）（－2，0）．【分析】（1）根据网格结构找出点A、B以点C为旋转中心旋转180°的对应点A1、B1的位置，然后与点C 顺次连接即可；再根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可；（2）根据中心对称的性质，连接两对对应顶点，交点即为旋转中心，然后写出坐标即可；（3）根据轴对称确定最短路线问题，找出点A关于x轴的对称点A′的位置，然后连接A′B与x轴的交点即为点P．【详解】（1）画出△A1B1C与△A2B2C2如图（2）如图所示,旋转中心的坐标为:（32，-1）(3)如图所示,点P的坐标为（-2，0）.九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．在ABC ∆中，90C ∠=︒，若3cos 2B =，则sin A 的值为( ) A ．3B ．3C ．3D ．12【答案】C 【分析】根据特殊角的三角函数值求出∠B ，再求∠A ，即可求解.【详解】在ABC ∆中，90C ∠=︒，若3cos 2B =，则∠B=30° 故∠A=60°，所以sinA=32故选：C【点睛】 本题考查的是三角函数，掌握特殊角的三角函数值是关键.2．西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表。
∥3套精选试卷∥2019年上海市长宁区九年级上学期期末学业质量监测数学试题
九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，A 、B 两点在双曲线4y x=上，分别经过点A 、B 两点向x 、y 轴作垂线段，已知=2S 阴影，则12S S +=( )A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】C 【解析】欲求S 1+S 1，只要求出过A 、B 两点向x 轴、y 轴作垂线段与坐标轴所形成的矩形的面积即可，而矩形面积为双曲线4y x=的系数k ，由此即可求出S 1+S 1． 【详解】解：∵点A 、B 是双曲线4y x =上的点，分别经过A 、B 两点向x 轴、y 轴作垂线段， 则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|=2，∴S 1+S 1=2+2-1×1=2．故选：C ．【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质及任一点坐标的意义，有一定的难度．2．下列各说法中：①圆的每一条直径都是它的对称轴；②长度相等的两条弧是等弧；③相等的弦所对的弧也相等；④同弧所对的圆周角相等；⑤ 90°的圆周角所对的弦是直径；⑥任何一个三角形都有唯一的外接圆；其中正确的有（ ）A ．3 个B ．4 个C ．5 个D ．6 个【答案】A【分析】根据对称轴、等弧、圆周角定理、三角形外接圆的定义及弦、弧、圆心角的相互关系分别判断后即可解答．【详解】①对称轴是直线，而直径是线段，圆的每一条直径所在直线都是它的对称轴，①错误； ②在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，不在同圆或等圆中不一定是等弧，②错误；③在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧也相等，不在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧不一定相等，③错误；④根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，④正确；⑤根据圆周角定理推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径，⑤正确； ⑥根据三角形外接圆的定义可知，任何一个三角形都有唯一的外接圆，⑥正确．综上，正确的结论为③④⑤.故选A ．【点睛】本题了考查对称轴、等弧、圆周角、外接圆的定义及其相互关系，熟练运用相关知识是解决问题的关键．3．已知关于x 的一元二次方程x 2+2x ﹣a=0有两个相等的实数根，则a 的值是（ ）A ．1B ．﹣1C ．14D ．14- 【答案】B【分析】根据关于x 的一元二次方程x 2+2x ﹣a=0有两个相等的实数根可知△=0，求出a 的取值即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程x 2+2x ﹣a=0有两个相等的实数根，∴△=22+4a=0，解得a=﹣1．故选B ．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，熟记公式正确计算是本题的解题关键．4．如图所示的是太原市某公园“水上滑梯”的侧面图，其中BC 段可看成是双曲线的一部分，其中，矩形AOEB 中有一个向上攀爬的梯子，5OA =米，入口//AB OD ，且2AB =米，出口C 点距水面的距离CD 为1米，则点B C 、之间的水平距离DE 的长度为（ ）A ．5米B ．6米C ．10米D ．8米【答案】D 【分析】根据题意B 、C 所在的双曲线为反比例函数，B 点的坐标已知为B （2,5），代入即可求出反比例函数的解析式：y=10x ，C （x ，1）代入y=10x中，求出C 点横坐标为10，可以得出DE=OD-OE 即可求出答案.【详解】解：设B 、C 所在的反比例函数为y=k x B （x B,y B ） ∴ x B =OE=AB=2 y B =EB=OA=5 代入反比例函数式中5=2k 得到 k=10 ∴y=10x ∵ C(x C, y C ) y C =CD=1 代入y=10x 中 ∴ 1= x C =10∴ DE=OD-OE= x C - x B =10-2=8故选D【点睛】此题主要考查了反比例函数的定义，根据已知参数求出反比例函数解析式是解题的关键.5．直角三角形的两边长分别为16和12，则此三角形的外接圆半径是（ ）A ．8或6B ．10或8C ．10D ．8 【答案】B【分析】分两种情况：①16为斜边长；②16和12为两条直角边长，由勾股定理易求得此直角三角形的斜边长，进而可求得外接圆的半径．【详解】解：由勾股定理可知： ①当直角三角形的斜边长为16时，这个三角形的外接圆半径为8； ②当两条直角边长分别为16和12，则直角三角形的斜边长=22161220,+= 因此这个三角形的外接圆半径为1． 综上所述：这个三角形的外接圆半径等于8或1．故选：B ．【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆是解题的关键．6．如图，一次函数y ＝ax+a 和二次函数y ＝ax 2的大致图象在同一直角坐标系中可能的是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据a的符号分类，当a＞0时，在A、B中判断一次函数的图象是否相符；当a＜0时，在C、D 中判断一次函数的图象是否相符．【详解】解：①当a＞0时，二次函数y＝ax2的开口向上，一次函数y＝ax+a的图象经过第一、二、三象限，A错误，B正确；②当a＜0时，二次函数y＝ax2的开口向下，一次函数y＝ax+a的图象经过第二、三、四象限，C错误，D错误．故选：B．【点睛】此题主要考查了二次函数与一次函数的图象，利用二次函数的图象和一次函数的图象的特点求解．7．已知Rt△ABC中，∠C=900，AC=2，BC=3，则下列各式中，正确的是（）A．2sin3B=；B．2cos3B=；C．2tan3B=；D．以上都不对；【答案】C【分析】根据勾股定理求出AB，根据锐角三角函数的定义求出各个三角函数值，即可得出答案．【详解】如图：由勾股定理得：AB=22222133AC BC++＝＝，所以cosB=313BCAB＝，sinB=21233AC ACtanBAB BC=＝，＝，所以只有选项C正确；故选：C．【点睛】此题考查锐角三角函数的定义的应用，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键．8．如果反比例函数的图像经过点（－3，－4），那么该函数的图像位于（）A．第一、二象限B．第一、三象限C．第二、四象限D．第三、四象限【答案】B【解析】根据反比例函数图象上点的坐标特点可得k=12，再根据反比例函数的性质可得函数图象位于第一、三象限．【详解】∵反比例函数y＝的图象经过点（-3，-4），∴k=-3×（-4）=12，∵12＞0，∴该函数图象位于第一、三象限，故选：B ．【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质，关键是根据反比例函数图象上点的坐标特点求出k 的值． 9．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是BC 、AC 上的点，且DE ∥AB ，若S △CDE ：S △BDE ＝1：3，则S △CDE ：S △ABE ＝（ ）A ．1：9B ．1：12C ．1：16D ．1：20【答案】B 【分析】由S △CDE ：S △BDE ＝1：3得CD ：BD ＝1：3，进而得到CD ：BC ＝1：4，然后根据DE ∥AB 可得△CDE ∽△CAB ，利用相似三角形的性质得到116CDE CBA S S ，然后根据面积和差可求得答案. 【详解】解：过点H 作EH ⊥BC 交BC 于点H ，∵S △CDE ：S △BDE ＝1：3，∴CD ：BD ＝1：3，∴CD ：BC ＝1：4，∵DE ∥AB ，∴△CDE ∽△CBA ，∴21()16CDECBA S CD S CB ， ∵S △ABC ＝S △CDE ＋S △BDE ＋S △ABE ，∴S △CDE ：S △ABE ＝1：12，故选：B ．【点睛】 本题综合考查相似三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，解题关键是掌握相似三角形的判定与性质．10．若整数a 使关于x 的不等式组1252652x x x a ++⎧≤⎪⎨⎪->-⎩至少有4个整数解，且使关于x 的分式方程1223ax x -=+有整数解，那么所有满足条件的a 的和是（ ）A ．13-B ．15-C ．17-D ．20-【答案】A【分析】根据不等式组求出a 的范围，然后再根据分式方程求出a 的取值范围，综合考虑确定a 的值，再求和即可. 【详解】解不等式组1252652x x x a ++⎧≤⎪⎨⎪->-⎩得：225-<≤a x ∵至少有4个整数解 ∴215-<-a ，解得3a <- 分式方程去分母得()1223-=+ax x 解得：62x a =+ ∵分式方程有整数解，a 为整数∴21a +=±、2±、3±、6±∴=1a 、3-、0、4-、1、5-、4、8- ∵632=≠-+x a ， ∴4a ≠-又∵3a <-∴=5-a 或=8-a满足条件的a 的和是-13，故选A.【点睛】本题考查了不等式组与分式方程，解题的关键是解分式方程时需要舍去增根的情况.11．下列事件中必然发生的事件是（ ）A ．一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等B ．不等式的两边同时乘以一个数，结果仍是不等式C ．200件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是正品D ．随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数【答案】C【分析】直接利用随机事件、必然事件、不可能事件分别分析得出答案．【详解】A 、一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等，是不可能事件，故此选项错误； B 、不等式的两边同时乘以一个数，结果仍是不等式，是随机事件，故此选项错误；C 、200件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是正品，是必然事件，故此选项正确；D 、随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数，是随机事件，故此选项错误；故选C ．【点睛】此题主要考查了随机事件、必然事件、不可能事件，正确把握相关定义是解题关键．12．下列说法不正确的是（ ）A ．所有矩形都是相似的B ．若线段a ＝5cm ，b ＝2cm ，则a ：b ＝5：2C ．若线段AB ，C 是线段AB 的黄金分割点，且AC ＞BC ，则AC ＝52 cm D ．四条长度依次为lcm ，2cm ，2cm ，4cm 的线段是成比例线段【答案】A【解析】根据相似多边形的性质，矩形的性质，成比例线段，黄金分割判断即可．【详解】解：A.所有矩形对应边的比不一定相等，所以不一定都是相似的，A 不正确，符合题意；B.若线段a ＝5cm ，b ＝2cm ，则a ：b ＝5：2，B 正确，不符合题意；C.若线段AB ，C 是线段AB 的黄金分割点，且AC ＞BC ，则AC cm ，C 正确，不符合题意；D. ∵1：2=2：4，∴四条长度依次为lcm ，2cm ，2cm ，4cm 的线段是成比例线段，D 正确，不符合题意； 故选：A ．【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，矩形的性质，成比例线段，黄金分割，掌握它们的概念和性质是解题的关键．二、填空题（本题包括8个小题）13．玫瑰花的花粉直径约为0.000084米，数据0.000084用科学记数法表示为__________．【答案】-58.410⨯【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a ×10-n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】数据0.000084用科学记数法表示为-58.410⨯故答案为：-58.410⨯【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a ×10-n ，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．14．如图，直线l ：13y x b =-+（0b <）与x ，y 轴分别交于A ，B 两点，以AB 为边在直线l 的上方作正方形ABCD ，反比例函数11k y x =和22k y x =的图象分别过点C 和点D .若13k =，则2k 的值为______.【答案】-1【分析】作CH ⊥y 轴于点H ，证明△BAO ≌△CBH ，可得OA=BH=-3b ，OB=CH=-b ，可得点C 的坐标为（-b ，-2b ），点D 的坐标为（2b ，-3b ），代入反比例函数的解析式，即可得出k 2的值．【详解】解：如图，作CH ⊥y 轴于点H ，∵四边形ABCD 为正方形，∴AB=BC ，∠AOB=∠BHC=10°，∠ABC=10°∴∠BAO=10°-∠OBA=∠CBH ，∴△BAO ≌△CBH （AAS ），∴OA=BH ，OB=CH ，∵直线l ：13y x b =-+（b ＜0）与x ，y 轴分别交于A ，B 两点， ∴A （3b ，0），B （0，b ），∵b ＜0，∴BH=-3b ，CH=-b ，∴点C 的坐标为（-b ，-2b ），同理，点D 的坐标为（2b ，-3b ），∵k 1=3，∴（-b ）×（-2b ）=3，即2b 2=3，∴k 2=2b×（-3b ）=-6b 2=-1．故答案为：-1．【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标的特征，直线与坐标轴的交点，正方形的性质，全等三角形的判定和性质．解题的关键是用b来表示出点C，D的坐标．15．如图，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，如果AP=3，那么PP′=______．【答案】2【分析】根据旋转的性质，可得∠BAC＝∠PAP′＝90°，AP＝AP′，故△APP′是等腰直角三角形，由勾股定理得PP′的大小．【详解】解：根据旋转的性质，可得∠BAC＝∠PAP′＝90°，AP＝AP′，∴△APP′是等腰直角三角形，由勾股定理得PP′2222'3332AP AP．故答案为32【点睛】本题考查了图形的旋转变化，旋转得到的图形与原图形全等，解答时要分清旋转角和对应线段．16．已知圆锥的侧面积为16πcm2，圆锥的母线长8cm，则其底面半径为_____cm．【答案】1【解析】圆锥的底面圆的半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式得到12×1π×r×8＝16π，解得r＝1，然后解关于r的方程即可．【详解】解：设圆锥的底面圆的半径为r，根据题意得12×1π×r×8＝16π，解得r＝1，所以圆锥的底面圆的半径为1cm．故答案为1．【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．17．在△ABC中，边BC、AC上的中线AD、BE相交于点G，AD=6，那么AG=____．【答案】4【分析】由三角形的重心的概念和性质，即可得到答案．【详解】解：如图，∵AD，BE是△ABC的中线，且交点为点G，∴点G是△ABC的重心，∴226433AG AD==⨯=；故答案为：4.【点睛】此题考查了重心的概念和性质：三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．18．将边长为1的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到FECG的位置（如图），使得点D落在对角线CF上，EF与AD相交于点H，则HD＝_________.（结果保留根号）21【分析】先根据正方形的性质得到CD=1，∠CDA=90°，再利用旋转的性质得2，根据正方形的性质得∠CFE=45°，则可判断△DFH为等腰直角三角形，从而计算CF-CD即可．【详解】∵四边形ABCD为正方形，∴CD=1，∠CDA=90°，∵边长为1的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到FECG的位置，使得点D落在对角线CF上，∴2，∠CFDE=45°，∴△DFH为等腰直角三角形，∴2-1．故答案为2-1．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．三、解答题（本题包括8个小题）19．有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中有2个完全相同的小球，分别标有数字0和－2；乙袋中有3个完全相同的小球，分别标有数字－2，0和1，小明从甲袋中随机取出1个小球，记录标有的数字为x，再从乙袋中随机取出1个小球，记录标有的数字为y，这样确定了点Q的坐标(x，y)．（1）写出点Q所有可能的坐标；（2）求点Q在x轴上的概率．【答案】（1）（0，﹣2），（0，0），（0，1），（2，﹣2），（2，0），（2，1）；（2）1 3【分析】（1）树状图展示所有6种等可能的结果数；（2）根据点在x轴上的坐标特征确定点Q在x轴上的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】（1）画树状图为：共有6种等可能的结果数，它们为（0，﹣2），（0，0），（0，1），（2，﹣2），（2，0），（2，1）；（2）点Q在x轴上的结果数为2，所以点Q在x轴上的概率=26=13．考点：列表法与树状图法；点的坐标．20．如图，直线y1=3x﹣5与反比例函数y2=1kx-的图象相交A（2，m），B（n，﹣6）两点，连接OA，OB．（1）求k和n的值；（2）求△AOB的面积；（3）直接写出y1＞y2时自变量x的取值范围．【答案】（1）k=3，n=；（1）13-；（3）103x-＜＜或x＞1．【分析】（1）把A ，B 的坐标代入直线的解析式求出m ，n 的值，再把B 点坐标代入反比例函数解析式求出k 的值；（1）先求出直线与x 轴、y 轴的交点坐标，再求出即可．（3）由图象可知取一次函数图象在反比例函数图象上方的x 的取值范围即可．【详解】解：（1）∵点B （n ，﹣6）在直线y=3x ﹣5上．∴-6=3n-5，解得：n=13-． ∴B （13-，-6）；∵反比例函数k 1y x -=的图象也经过点B （13-，-6）， ∴k-1=-6×(13-)=1，解得：k=3；（1）设直线y=3x ﹣5分别与x 轴，y 轴相交于点C ，点D ，当y=0时，即3x ﹣5=0，x=53， ∴OC=53， 当x=0时，y=3×0-5=-5，∴OD=5，∵点A （1，m ）在直线y=3x ﹣5上，∴m=3×1-5=1，即A （1，1）．155135(155)23336AOB AOC COD BOD S S S S ∴=++=⨯⨯+⨯+⨯=． （3）由图象可知y 1＞ y 1时自变量x 的取值范围为：103x -＜＜ 或 x ＞1．【点睛】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数与一次函数的交点问题、函数图象上点的坐标特征等知识点，能求出反比例函数的解析式是解此题的关键．21．为加快城乡对接，建设美丽乡村，某地区对A 、B 两地间的公路进行改建，如图，A ，B 两地之间有一座山．汽车原来从A 地到B 地需途经C 地沿折线ACB 行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB 行驶，已知BC ＝80千米，∠A ＝45°，∠B ＝30°．(1)开通隧道前，汽车从A 地到B 地要走多少千米？(2)开通隧道后，汽车从A地到B地可以少走多少千米？(结果保留根号)【答案】(1)开通隧道前，汽车从A地到B地要走(80+402)千米；(2)汽车从A地到B地比原来少走的路程为[40+40(2﹣3)]千米．【分析】（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，在直角△ACD中，解直角三角形求出CD，进而解答即可；（2）在直角△CBD中，解直角三角形求出BD，再求出AD，进而求出汽车从A地到B地比原来少走多少路程．【详解】(1)过点C作AB的垂线CD，垂足为D，∵AB⊥CD，sin30°＝CDBC，BC＝80千米，∴CD＝BC•sin30°＝80×12＝40(千米)，AC＝CD402sin45︒=(千米)，AC+BC＝80+402(千米)，答：开通隧道前，汽车从A地到B地要走(80+402)千米；(2)∵cos30°＝BDBC，BC＝80(千米)，∴BD＝BC•cos30°＝80×3=403(千米)，∵tan45°＝CDAD，CD＝40(千米)，∴AD＝CD40tan45︒=(千米)，∴AB＝AD+BD＝40+403(千米)，∴汽车从A地到B地比原来少走多少路程为：AC+BC﹣AB＝80+402﹣40﹣403＝40+40(23)-(千米)．答：汽车从A地到B地比原来少走的路程为[40+40(23)-]千米．【点睛】本题考查了勾股定理的运用以及解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．22．如图，某实践小组为测量某大学的旗杆BH 和教学楼CG 的高，先在A 处用高1米的测角仪测得旗杆顶端H 的仰角30HDE ∠=︒，此时教学楼顶端G 恰好在视线DH 上，再向前走15米到达B 处，又测得教学楼顶端G 的仰角45GEF ∠=︒，点、、A B C 三点在同一水平线上，(参考数据：3 1.7≈)（1）计算旗杆BH 的高；（2）计算教学楼CG 的高．【答案】（1）旗杆BH 的高约为9.5米；（2）教学楼CG 的高约为21.25米．【分析】（1）根据题意可得15DE AB ==，1AD BE CF ===，在Rt DEH ∆中，利用∠HDE 的正切函数可求出HE 的长，根据BH=BE+HE 即可得答案；（2）设GF x =米，由45GEF ∠=︒可得EF=GF=x ，利用∠GDF 的正切函数列方程可求出x 的值，根据CG=GF+CF 即可得答案．【详解】（1）由已知得，15DE AB ==，1AD BE CF ===，∵在Rt DEH ∆中，30HDE ∠=︒，∴tan HE HDE DE∠=， ∴3tan tan 301553HE DE HDE DE =⋅∠=⋅∠︒== ∴15315 1.79.5BH BE HE =+=+≈+⨯=，∴旗杆BH 的高约为9.5米．（2）设GF x =米，在Rt GEF ∆中，45GEF ∠=︒，∴GF EF x ==，在Rt GDF ∆中，30GDF ∠=︒，∴tan GF GDF DF∠=，tan GF DF GDF =⋅∠， ∴()tan30DE EF GF +⋅︒=，即()315x x +=， 解得：15(31)2x =，∴CG=CF+FG=1+1)2=172≈21.25， ∴教学楼CG 的高约为21.25米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题关键．23．已知抛物线2234y x mx m =-++（1）抛物线经过原点时，求m 的值；（2）顶点在x 轴上时，求m 的值.【答案】（1）m ＝43-；（2）m ＝4或m ＝﹣1 【分析】（1）抛物线经过原点，则0c ，由此求解；（2）顶点在x 轴上，则240b ac -=，由此可以列出有关m 的方程求解即可；【详解】解：（1）∵抛物线y ＝x 2﹣2mx+3m+4经过原点，∴3m+4＝0，解得：m ＝43- （2）∵抛物线y ＝x 2﹣2mx+3m+4顶点在x 轴上，∴b 2﹣4ac ＝0，∴（﹣2m ）2﹣4×1×（3m+4）＝0，解得：m ＝4或m ＝﹣1【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的有关性质是解决此类题的关键．24114sin 3012-︒⎛⎫-+- ⎪⎝⎭． 【答案】-1【分析】直接利用绝对值的性质以及负指数幂的性质分别化简得出答案．【详解】解：原式＝2）﹣12＝﹣12＝﹣1．【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．25．一艘观光游船从港口A 以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C 处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里每小时的速度前往救援，（1）求点C 到直线AB 的距离；（2）求海警船到达事故船C处所需的大约时间．（温馨提示：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）【答案】（1）40海里；（2）54小时．【分析】（1）作CD⊥AB，在Rt△ACD中，由∠CAD＝30°知CD＝12AC，据此可得答案；（2）根据BC＝sin CDCBD∠求得BC的长，继而可得答案．【详解】解：（1）如图，过点C作CD⊥AB交AB延长线于D．在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，∠CAD＝30°，AC＝80海里，∴点C到直线AB距离CD＝12AC＝40(海里）．（2）在Rt△CBD中，∵∠CDB＝90°，∠CBD＝90°﹣37°＝53°，∴BC＝sin CDCBD∠≈400.8＝50（海里），∴海警船到达事故船C处所需的时间大约为：50÷40＝54（小时）．【点睛】此题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟知三角函数的定义.26．问题提出：如图所示，有三根针和套在一根针上的若干金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上．a．每次只能移动1个金属片；b．较大的金属片不能放在较小的金属片上面．把n个金属片从1号针移到3号针，最少移动多少次？问题探究：为了探究规律，我们采用一般问题特殊化的方法，先从简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性结论．探究一：当1n =时，只需把金属片从1号针移到3号针，用符号()1,3表示，共移动了1次．探究二：当2n =时，为了避免将较大的金属片放在较小的金属片上面，我们利用2号针作为“中间针”，移动的顺序是：a ．把第1个金属片从1号针移到2号针；b ．把第2个金属片从1号针移到3号针；c ．把第1个金属片从2号针移到3号针．用符号表示为：()1,2，()1,3，()2,3．共移动了3次．探究三：当3n =时，把上面两个金属片作为一个整体，则归结为2n =的情形，移动的顺序是： a ．把上面两个金属片从1号针移到2号针；b ．把第3个金属片从1号针移到3号针；c ．把上面两个金属片从2号针移到3号针．其中（1）和（3）都需要借助中间针，用符号表示为：()1,3，()1,2，()3,2，()1,3，()2,1，()2,3，()1,3．共移动了7次．（1）探究四：请仿照前面步骤进行解答：当4n =时，把上面3个金属片作为一个整体，移动的顺序是：___________________________________________________．（2）探究五：根据上面的规律你可以发现当5n =时，需要移动________次．（3）探究六：把n 个金属片从1号针移到3号针，最少移动________次．（4）探究七：如果我们把n 个金属片从1号针移到3号针，最少移动的次数记为n a ，当2n ≥时如果我们把1n -个金属片从1号针移到3号针，最少移动的次数记为1n a -，那么n a 与1n a -的关系是n a =__________．【答案】（1）当4n =时，移动顺序为：（1,2），（1,3），（2,3），（1,2），（3,1），（3,2），（1,2），（1,3），（2,3），（2,1），（3,1），（2,3），（1,2），（1,3），（2,3）．（2）31，（3）21n -，（4）12 1.n a -+【分析】根据移动方法与规律发现，随着盘子数目的增多，都是分两个阶段移动，用盘子数目减1的移动次数都移动到2柱，然后把最大的盘子移动到3柱，再用同样的次数从2柱移动到3柱，从而完成，然后根据移动次数的数据找出总的规律求解即可．【详解】解：（1）当4n =时，把上面3个金属片作为一个整体，移动的顺序是：（1,2），（1,3），（2,3），（1,2），（3,1），（3,2），（1,2），（1,3），（2,3），（2,1），（3,1），（2,3），（1,2），（1,3），（2,3）．故答案为：（1,2），（1,3），（2,3），（1,2），（3,1），（3,2），（1,2），（1,3），（2,3），（2,1），（3,1），（2,3），（1,2），（1,3），（2,3）．（2）解：设()f n 是把n 个盘子从1柱移到3柱过程中移动盘子之最少次数n=1时，f （1）=1；n=2时，小盘→2柱，大盘→3柱，小柱从2柱→3柱，完成，即2(2)321,f ==-n=3时，小盘→3柱，中盘→2柱，小盘从3柱→2柱，大盘从1柱→3柱，小盘从2柱→1柱，中盘从2柱→3柱，小盘从1柱→3柱，完成．[用(2)f 种方法把中、小两盘移到2柱，大盘3柱；再用(2)f 种方法把中、小两盘从2柱3柱，完成]， 3(3)2(2)1321721,f f ∴=+=⨯+==-4(4)2(3)17211521,f f =+=⨯+==-5(5)2(4)115213121,f f =+=⨯+==-故答案为：31.（3）由（2）知：()2(1)121,n f n f n =-+=-故答案为：2 1.n -（4）1121,21,n n n n a a --=-=-111221,21,n n n n a a ---∴=⨯-=+12(1)1,n n a a -∴=+-12 1.n n a a -∴=+故答案为：12 1.n a -+【点睛】本题考查了归纳推理、图形变化的规律问题，根据题目信息，得出移动次数分成两段计数，利用盘子少一个时的移动次数移动到2柱，把最大的盘子移动到3柱，然后再用同样的次数从2柱移动到3柱，从而完成移动过程是解题的关键，本题对阅读并理解题目信息的能力要求比较高．27．关于x 的一元二次方程()200ax bx c a ++=>有两个不相等且非零的实数根，探究,,a b c 满足的条件．小华根据学习函数的经验，认为可以从二次函数的角度研究一元二次方程的根的符号．．．．。
2019年沪科版九年级数学上册期末综合复习检测试卷(有答案)[精]
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期末专题复习：沪科版九年级数学上册期末综合检测试卷一、单选题（共10题；共30分）1.如图，在△ABC中，AB=24，AC=18，D是AC上一点，AD=12．在AB上取一点E ．使A、D、E三点组成的三角形与△ABC相似，则AE的长为（）.A. 16B. 14C. 16或14D. 16或92.在平面直角坐标系中，将抛物线y=2-4先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（）A. y=(+2)2+2B. y=(-2)2-2C. y=(-2)2+2D. y=(+2)2-23.反比例函数的大致图象为（）A. B. C. D.4.在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，则tanA等于A. B. 1 C. D.5.已知二次函数y=﹣﹣7+ ，若自变量分别取1，2，3，且﹣13＜1＜0，3＞2＞2，则对应的函数值y1，y2，y3的大小关系正确的是（）A. y1＞y2＞y3B. y1＜y2＜y3C. y2＞y3＞y1D. 无法确定6.二次函数的最大值( )A. 3B. 4C. 5D. 67.两个相似三角形的面积比为1：4，则它们的相似比为（）A. 1：4B. 1：2C. 1：16D. 无法确定8.将一个矩形纸片ABCD沿AD和BC的中点的连线对折，要使矩形AEFB与原矩形相似，则原矩形的长和宽的比应为（）A. B. C. D.9.关于反比例函数y= ，下列说法中正确的是（）A. 它的图象分布在第二、四象限B. 它的图象过点（﹣6，﹣2）C. 当＜0时，y的值随的增大而减小D. 与y轴的交点是（0，3）10.如图是二次函数y=a2+b+c图像的一部分，其对称轴是直线=－1，且过点(－3,0)，下列说法：①abc＞0；②2a－b=0；③4a+2b+c＜0；④若(－5,y1)，(2.5,y2)是抛物在线两点，则y1＞y2，其中正确的是（）A. ②B. ②③C. ②④D. ①②二、填空题（共10题；共30分）11.已知函数y＝(m＋2) 是二次函数，则m等于________12.反比例函数y= 与y=的图象没有交点，则的取值范围为________．13.设A是函数y= 图象上一点，过A点作AB⊥轴，垂足是B，如图，则S△AOB=________．14.如图，已知D ，E分别是△ABC的边BC和AC上的点，AE=2，CE=3，要使DE∥AB ，那么BC：CD 应等于________．15.已知：如图，△ABC的面积为12，点D、E分别是边AB、AC的中点，则四边形BCED的面积为________．16.用配方法把二次函数y=22+3+1写成y=a（+m）2+的形式________17.如图，△ABC与△DEF是位似图形，相似比为5：7，已知DE=14，则AB的长为 ________18.已知经过原点的抛物线y=﹣22+4与轴的另一个交点为A，现将抛物线向右平移m（m＞0）个单位长度，所得抛物线与轴交于C，D，与原抛物线交于点P，设△PCD的面积为S，则用m表示S=________．19.如图，△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，将△ABC沿DE折叠，使点C落在AB上的F处，并且FD∥BC，则CD长为________．20.二次函数（a＜0图象与轴的交点A、B的横坐标分别为﹣3，1，与y轴交于点C，下面四个结论：①16a ﹣4b+c＜0；②若P（﹣5，y1），Q（，y2）是函数图象上的两点，则y1＞y2；③a=﹣c；④若△ABC 是等腰三角形，则b=﹣．其中正确的有________（请将结论正确的序号全部填上）三、解答题（共9题；共60分）21.如图,△ABC与△A′B′C′是位似图形,且顶点都在格点上,每个小正方形的边长都为1.（1）在图上标出位似中心D的位置,并写出该位似中心D的坐标是；（2）求△ABC与△A′B′C′的面积比．22.（2017·金华）(本题6分)计算：2cos60°+(−1)2017+|−3|−(2−1)0.23.甲、乙两船同时从港口A出发，甲船以12海里/时的速度向北偏东35°航行，乙船向南偏东55°航行，2小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若C、B两船相距30海里，问乙船的速度是每小时多少海里？24.（2017•乌鲁木齐）一艘渔船位于港口A的北偏东60°方向，距离港口20海里B处，它沿北偏西37°方向航行至C处突然出现故障，在C处等待救援，B，C之间的距离为10海里，救援船从港口A出发20分钟到达C处，求救援的艇的航行速度．（sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，≈1.732，结果取整数）25.如图，一次函数y1=﹣﹣1的图象与轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数y2=图的一个交点为M （﹣2，m）．（1）求反比例函数的解析式；（2）求△MOB的面积．26.在△ABC中，AB=4，如图（1）所示，DE∥BC，DE把ABC分成面积相等的两部分，即SⅠ=SⅡ，求AD 的长．如图（2）所示，DE∥FG∥BC，DE、FG把△ABC分成面积相等的三部分，即SⅠ=SⅡ=SⅢ，求AD的长；如图（3）所示，DE∥FG∥H∥…∥BC，DE、FG、H、…把△ABC分成面积相等的n部分，SⅠ=SⅡ=SⅢ=…，请直接写出AD的长．27.如图(1)，直线y=+与轴交于点A、与y轴交于点D，以AD为腰，以轴为底作等腰梯形ABCD(AB ＞CD)，且等腰梯形的面积是，抛物线经过等腰梯形的四个顶点.图(1)(1) 求抛物线的解析式；(2) 如图（2）若点P为BC上的—个动点（与B、C不重合），以P为圆心，BP长为半径作圆，与轴的另一个交点为E，作EF⊥AD，垂足为F，请判断EF与⊙P的位置关系，并给以证明；图（2）(3) 在（2）的条件下，是否存在点P，使⊙P与y轴相切，如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由.28.如图，平面直角坐标系中，抛物线y=2﹣2与轴交于O、B两点，顶点为P，连接OP、BP，直线y=﹣4与y轴交于点C，与轴交于点D．（Ⅰ）直接写出点B坐标 ；判断△OBP的形状 ；（Ⅱ）将抛物线沿对称轴平移m个单位长度，平移的过程中交y轴于点A，分别连接CP、DP；（i）若抛物线向下平移m个单位长度，当S△PCD= S△POC时，求平移后的抛物线的顶点坐标；（ii）在平移过程中，试探究S△PCD和S△POD之间的数量关系，直接写出它们之间的数量关系及对应的m的取值范围．29.（2017·台州）在平面直角坐标系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根，比如对于方程，作步骤是：第一步：根据方程系数特征，确定一对固定点A（0，1），B（5，2）;第二步：在坐标平面中移动一个直角三角板，使一条直角边恒过点A，另一条直角边恒过点B；第三步：在移动过程中，当三角板的直角顶点落在轴上点C处时，点C 的横坐标m即为该方程的一个实数根（如图1）第四步：调整三角板直角顶点的位置，当它落在轴上另一点D处时，点D 的横坐标为n即为该方程的另一个实数根。
2019年沪科版九年级数学上册期末综合检测试卷(有答案)
沪科版九年级数学上册期末综合检测试卷一、单选题（共10题；共30分）1.下列函数是二次函数的是( )A. y=2+1B. y=-2+1C. y=2+2D. y=-22.在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=a，∠ACB=θ，那么下面各式正确的是（）A. ；B. ；C. ；D. .3.已知二次函数，当=3时,y的值为（）A.4B.-4C.3D.-34.在平面直角坐标系中，将抛物线y=2-4先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（）A. y=(+2)2+2B. y=(-2)2-2C. y=(-2)2+2D. y=(+2)2-25.如图，在△ABC中，EF//BC，，EF=3，则BC的长为A. 6B. 9C. 12D. 276.在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，AD⊥BC，垂足为D，BE是边AC上的中线，AD与BE相交于点G，那么AG 的长为( )A. 1B. 2C. 3D. 无法确定．7.若点M、N是一次函数y1=﹣+5与反比例函数y2=（0，＞0）图象的两个交点，其中点M的横坐标为1，下列结论：①一次函数y1=﹣+5的图象不经过第三象限；②点N的纵坐标为1；③若将一次函数y1=﹣+5的图象向下平移1个单位，则与反比例函数y2=（0，＞0）图象有且只有一个交点；④当1＜＜4时，y1＜y2．其中结论正确的个数是（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个8.抛物线y=52向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的新抛物线的顶点坐标是（）A. （2，3）B. （﹣2，3）C. （2，﹣3）D. （﹣2，﹣3）9.如图，半圆O的直径AB=4，与半圆O内切的动圆O1与AB切于点M，设⊙O1的半径为y，AM=，则y 关于的函数关系式是（）A. B. C. D.10.下表中所列y的数值是某二次函数y=a2+b+c图象上的点所对应的坐标，其中1＜2＜3＜4＜5＜6＜7，根据表中所提供的信息，以下判断正确的是（）．①a＞0；②9＜m＜16；③≤9；④b2≤4a（c﹣）．①③④二、填空题（共10题；共30分）11.抛物线的对称为________．12.已知二次函数，当________时，随的增大而减小．13.抛物线与y轴的交点坐标________.14.设函数与的图象交点坐标为（a，b），则的值为________．15.如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC=1200m，从飞机上看地平面指挥台B的俯角α=16°31′，则飞机A与指挥台B的距离等于________（结果保留整数）（参考数据sin16°31′=0.28，cos16°31′=0.95，tan16°31′=0.30）16.如图，EF为△ABC的中位线，△ABC的周长为12cm，则△AEF的周长为________cm．17.a、b、c是实数，点A（a+1、b）、B（a+2，c）在二次函数y=2﹣2a+3的图象上，则b、c的大小关系是b________c（用“＞”或“＜”号填空）18.已知△ABC与△DEF相似且周长比为2：5，则△ABC与△DEF的相似比为________19.已知抛物线的顶点坐标为（1，﹣1），且经过原点（0，0），则该抛物线的解析式为________．20.如图，已知双曲线（＞0经过矩形OABC的边AB、BC上的点F、E，其中CE= CB，AF= AB，且四边形OEBF的面积为2，则的值为________．三、解答题（共8题；共60分）21.如图，在△ABC中，DE ∥BC，DF∥AB，求证：△ADE∽△DCF．22.如图为护城河改造前后河床的横断面示意图，将河床原竖直迎水面BC改建为坡度1：0．5的迎水坡AB，已知AB=4米，则河床面的宽减少了多少米．(即求AC的长)23.已知反比例函数y=（常数，≠1）．（Ⅰ）其图象与正比例函数y=的图象的一个交点为P，若点P的纵坐标是2，求的值；（Ⅱ）若在其图象的每一支上，y随的增大而减小，求的取值范围；（Ⅲ）若其图象的一支位于第二象限，在这一支上任取两点A（1，y1）、B（2，y2），当y1＞y2时，试比较1与2的大小．24.太阳能光伏建筑是现代绿色环保建筑之一，老张准备把自家屋顶改建成光伏瓦面，改建前屋顶截面△ABC如图2所示，BC=10米，∠ABC=∠ACB=36°，改建后顶点D在BA的延长线上，且∠BDC=90°，求改建后南屋面边沿增加部分AD的长．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95．tan18°≈0.32，sin36°≈0.59．cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）25.如图，在平面直角坐标系Oy中，一次函数y1=a+b（a，b为常数，且a≠0）与反比例函数y2= （m为常数，且m≠0）的图象交于点A（﹣2，1）、B（1，n）（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）连接OA、OB，求△AOB的面积；（3）直接写出当y1＜y2时，自变量的取值范围．26.小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B、C两点的俯角分别为45°、35°．已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为100m，求热气球离地面的高度．（结果保留整数）【参考数据：sin35°=0.57，cos35°=0.82，tan35°=0.70】27.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，E为BC上一点，连接AE，作EF⊥AE交AB于F．（1）求证：△AGC∽△EFB．（2）除（1）中相似三角形，图中还有其它相似三角形吗？如果有，请把它们都写出．28.如图，大海中有A和B两个岛屿，为测量它们之间的距离，在海岸线PQ上点E处测得∠AEP=74°，∠BEQ=30°；在点F处测得∠AFP=60°，∠BFQ=60°，EF=1m。
2019-2020年新沪科版数学九年级上学期期末模拟检测卷及答案解析
第一学期期终教学质量监控测试初三数学试卷（满分150分，考试时间100分钟）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．]1．已知α为锐角，如果2α=，那么α等于sin2A．30︒；B．45︒；C．60︒；D．不确定．【考点】特殊角的三角函数值【试题解析】为锐角，，则=45°，故选B【答案】B2．把二次函数241=++的形式是y a x m k=-+化成2y x x()A．2=-+； D.2y x(2)3(2)3y x=--．=-+；B．2(2)1y x(2)1=--；C．2y x【考点】二次函数的概念及表示方法【试题解析】 原式=，故选D【答案】D3．若将抛物线平移，得到新抛物线2(3)y x =+，则下列平移方法中，正确的是 A ．向左平移3个单位； B ．向右平移3个单位； C ．向上平移3个单位； D ．向下平移3个单位． 【考点】二次函数图像的平移 【试题解析】对称轴为x=0，顶点坐标(0，0);平移后对称轴x=-3，顶点(-3，0);可知为向左平移3个单位，故选A【答案】A4．若坡面与水平面的夹角为α，则坡度i 与坡角α之间的关系是A ．cos i α=；B ．sin i α=；C ．cot i α=；D ．tan i α=． 【考点】锐角三角函数 【试题解析】坡度定义为坡角的正切值，则，故选D【答案】D5．如图，□ABCD 对角线AC 与BD 相交于点O ，如果AB m =，AD n =，那么下列选项中，与向量1()2m n +相等的向量是A ．OA ；B ．OB ；C ．OC ；D ．OD ．【考点】对角线【试题解析】在□ABCD中，=，故选C【答案】C6．如图，点A、B、C、D的坐标分别是（1，7）、（1，1）、（4，1）、（6，1），若△CDE 与△ABC相似，则点E的坐标不可能是A．（4，2）；B．（6，0）；C．（6，4）；D．（6，5）．【考点】相似三角形判定及性质【试题解析】图中△ABC为直角三角形，且BC=3，AC=6;A选项△ECD为直角三角形，CD=2，CE=1，故△CDE与△ABC相似;B选项Rt△CDE中，CD=2，DE=1，，故△CDE，与△ABC相似;C选项Rt△CDE中，CD=2，DE=3，，故△CDE与△ABC不相似;D选项Rt△CDE中，CD=2，DE=4，，故△CDE与△ABC相似;故选C【答案】C二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）[请将结果直接填入答题纸的相应位置]7．若:5:2x y =，则():x y y +的值是 ▲ ． 【考点】比例线段的相关概念及性质 【试题解析】=【答案】8. 计算：13(2)2a ab --= ▲ ．【考点】函数 【试题解析】=【答案】9．二次函数22y x x =-的图像的对称轴是直线 ▲ ． 【考点】二次函数图像与a,b,c 的关系 【试题解析】的对称轴为.【答案】1x =10. 如果抛物线231y x x m =-+-+经过原点，那么m = ▲ ． 【考点】二次函数表达式的确定 【试题解析】将原点(0，0)代入抛物线解析式，得-1+m=0，解得m=1. 【答案】111．已知点11(,)A x y 、22(,)B x y 为二次函数图像上的两点，若，则▲ ．（填“>”、“<”或“=”） 【考点】二次函数的图像及其性质 【试题解析】开口向上，对称轴为x=1，则当x ＜1时，y 随x 的增大而减小;因为，所以y1＞y2 【答案】12．用“描点法”画二次函数2y ax bx c =++的图像时，列出了下面的表格：x … ﹣2 ﹣1 0 1 … y…﹣11﹣21﹣2…根据表格上的信息回答问题：当2x =时，y = ▲ ． 【考点】二次函数的图像及其性质 【试题解析】观察表格中数据可以看出，当x=-1与x=1时y值相等，可得该二次函数的对称轴为，所以x=2时y值与x=-2时y值相等，查表为-11【答案】－1113．如果两个相似三角形的周长的比为，那么周长较小的三角形与周长较大的三角形对应角平分线的比为▲ ．【考点】相似三角形判定及性质比例线段的相关概念及性质【试题解析】令两相似三角形分别为△ABC与△A’B’C’，其中△ABC周长较小，相似比为k，则由题意可，即两三角形的相似比为1:4;又相似三角形得：对应的角平分线比等于相似比，故角平分线之比为1:4【答案】1：414．如图，在□ABCD中，E是边BC上的点，分别联结AE、BD相交于点O，若AD=5，，则= ▲ ．【考点】相似三角形判定及性质比例线段的相关概念及性质【试题解析】如图，过C 点作CF//AE 交AD 与点F ，则可知在□ABCD 中BO=DG,又已知，则;又AE//CF ，故;又BC=AD=5，所以【答案】215．如图，正方形DEFG 的边EF 在△ABC 的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上.若△ABC的边BC 长为40厘米，高AH 为30厘米，则正方形DEFG 的边长为 ▲ 厘米． 【考点】三角形的面积梯形的有关概念和性质 【试题解析】令正方形边长为a ，则由图可知：S △ABC=S 梯形DGCB+S △ADG ，代入数值得方程为，解得a=，即正方形DEFG 的边长为厘米.【答案】16．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，若点G 是△ABC 的重心，2cos 3BCG ∠=，BC=4，则CG=▲ ．【考点】相似三角形判定及性质三角形的内心、外心和重心 【试题解析】如图，延长CG 交AB 于D ，连接AG 延长交BF 于E ，过D 点作DF//AE;在Rt △ABC 中，D 为斜边中点，则AD=CD=DB ，.所以∠BCG=∠B ，即cos ∠B=，AB=BC ×=6，故CD=3;又在△ABE中，DF//AE，D为AB中点，则可得F为BE中点，即EF=BE=CE;又在△CDF中，GE//DF，EF=CE，所以DG=CG=CD=1，CG=2【答案】217．如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AB=3，BC=2，4A=，则CD= ▲ ．tan3【考点】直角三角形与勾股定理解直角三角形【试题解析】如图，延长AD、BC交于点E;AB=3，，得BE=4，又BC=2，所以EC=2;由题意可得tan ∠ECD=tan∠A=，令CD=a，则DE=a;在△CDE中，根据勾股定理得，解得a=，所以CD=【答案】18．如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=10，点E是边BC的中点，联结AE，若将△ABE沿∠= ▲ ．AE翻折，点B落在点F处，联结FC，则cos ECF【考点】解直角三角形图形的翻折【试题解析】由题知△ABE≌△AFE，∠AEB=∠AEF，所以∠AEB+∠AEF+∠FEC=2∠AEB+∠FEC=180°;又E 为BC中点，EC=BE=EF，得∠ECF=∠EFC，所以在△EFC中，∠ECF+∠EFC+∠FEC=2∠ECF+∠FEC=180°;所以∠ECF=∠BEA，cos∠ECF=cos∠BEA=【答案】三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）计算：【考点】特殊角的三角函数值【试题解析】原式= =1【答案】120．（本题满分10分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分4分）已知一个二次函数的图像经过A(0，-3)、B(2，-3)、C(-1，0)三点.（1）求这个二次函数的解析式；（2）将这个二次函数图像平移，使顶点移到点P(0，-3)的位置，求所得新抛物线的表达式．【考点】二次函数图像的平移二次函数表达式的确定【试题解析】解：（1）设所求二次函数的解析式为：，由题意得：解得：∴这个二次函数的解析式为（2）∵新抛物线是由二次函数的图像平移所得∴a=1又∵顶点坐标是（0，-3）∴【答案】（1）（2）G C AED B第21题图F H 21．（本题满分10分）如图，DC //EF //GH //AB ，AB=12，CD=6，DE ∶EG ∶GA=3∶4∶5． 求EF 和GH 的长．【考点】比例线段的相关概念及性质【试题解析】过点D 作CB 的平行线，分别交EF 、GH 、AB 于点I 、J 、K ∵DC ∥AB ∴KB=DC=6 ∴AK=6 ∵EF ∥AB ∴∵DE ∶EG ∶GA=3∶4∶5 ∴∴ ∴同理:∴∴【答案】EFGH;22．（本题满分10分）如图，已知楼AB高36米，从楼顶A处测得旗杆顶C的俯角为60°，又从该楼离地面6米的一窗口E处测得旗杆顶C的仰角为45°，求该旗杆CD的高．（结果保留根号）【考点】解直角三角形的实际应用【试题解析】过点C作CG⊥AE，垂足为点G由题意得∠CEF=45°=∠CEG，∠ACG=60°设CG=x，在Rt△ACG中，在Rt△ECG中，∵AG+EG=AE∴解得：又可求得：CF=EG=∴答：该旗杆CD的高为（）米．【答案】23．（本题满分12分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分）如图，点E是四边形ABCD的对角线BD上的一点，∠BAE=∠CBD=∠DAC．⋅=⋅；（1）求证：DE AB BC AE（2）求证：∠AED +∠ADC=180°．【考点】二次函数与一次函数综合二次函数与几何综合二次函数表达式的确定【试题解析】（1）∵当时，，∴C（0,3）在Rt△COB中，∵∴∴∴点B（6，0）把A（2，0）、B(6，0)分别代入，得：得解得：∴该抛物线表达式为（2）∵∴顶点D （4，-1） ∴（3）点E 的坐标是（10,8）或（16,35）【答案】（1）（2）8（3）（10,8）或（16,35）24．（本题满分12分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分4分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线与轴分别交于点A(2，0)、点B （点B 在点A 的右侧），与轴交于点C ，1tan 2CBA ∠=． （1）求该抛物线的表达式；（2）设该抛物线的顶点为D ，求四边形ACBD 的面积；（3）设抛物线上的点E 在第一象限，△BCE 是以BC 为一条直角边的直角三角形，请直接写出点E 的坐标．【考点】相似三角形判定及性质比例线段的相关概念及性质【试题解析】（1）在□ABCD 中，AD=BC ， AD ∥BC∴∵x=1，即∴∴AD=AB，AG=BE∵E为BC的中点∴∴即∵（2）∴不妨设AB=1，则AD=x，∵AD∥BC ∴∴，∵GH∥AE ∴∠DGH=∠DAE ∵AD∥BC ∴∠DAE=∠AEB ∴∠DGH=∠AEB在□ABCD中，∠D=∠ABE∴△GDH ∽△EBA∴∴∴（3）①当点H在边DC上时，∵DH=3HC ∴∴∵△GDH ∽△EBA ∴∴解得②当H在DC的延长线上时，∵DH=3HC ∴∴∵△GDH ∽△EBA ∴∴解得综上所述，可知的值为或【答案】（1）（2）（3）或25．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分4分）如图，在□ABCD 中，E 为边BC 的中点，F 为线段AE 上一点，联结BF 并延长交边AD 于点G ，过点G 作AE 的平行线，交射线DC 于点H.设AD EF x AB AF ==． （1）当1x =时，求:AG AB 的值；（2）设GDH EBAS y S ∆∆=，求关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； （3）当3DH HC =时，求x 的值.【考点】相似三角形判定及性质【试题解析】（1）∵∠BAE=∠DAC ∴∠BAE+∠EAC =∠DAC+∠EAC即∠BAC=∠EAD∵∠ABC=∠ABE +∠CBD ∠AED=∠ABE +∠BAE∵∠CBD=∠BAE∴∠ABC=∠AED∴△ABC ∽△AED ∴ ∴（2）∵△ABC ∽△AED ∴ 即∵∠BAE=∠DAC∴△ABE∽△ACD∴∠AEB=∠ADC∵∠AED +∠AEB =180°∴∠AED+∠ADC=180°【答案】见解析。
(汇总3份试卷)2019年上海市长宁区九年级上学期期末达标检测数学试题
九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．某校决定从三名男生和两名女生中选出两名同学担任校艺术节文艺演出专场的主持人，则选出的恰为一男一女的概率是（）A．45B．35C．25D．15【答案】B【解析】试题解析：列表如下：∴共有20种等可能的结果，P（一男一女）=123= 205．故选B．2．如图，正方形ABCD的边长是4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值（）A．2B．4C．D．【答案】C【分析】过D作AE的垂线交AE于F，交AC于D′，再过D′作AP′⊥AD，由角平分线的性质可得出D′是D 关于AE的对称点，进而可知D′P′即为DQ+PQ的最小值．【详解】作D关于AE的对称点D′，再过D′作D′P′⊥AD于P′，∵DD′⊥AE，∴∠AFD=∠AFD′，∵AF=AF，∠DAE=∠CAE，∴△DAF≌△D′AF，∴D′是D关于AE的对称点，AD′=AD=4，∴D′P′即为DQ+PQ的最小值，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAD′=45°，∴AP′=P′D′，∴在Rt△AP′D′中，P′D′2+AP′2=AD′2，AD′2=16，∵AP′=P′D’，2P′D′2=AD′2，即2P′D′2=16，∴P′D′=2，即DQ+PQ的最小值为2，故答案为C．【点睛】本题考查了正方形的性质以及角平分线的性质和全等三角形的判定和性质和轴对称-最短路线问题，根据题意作出辅助线是解答此题的3．已知△ABC，以AB为直径作⊙O，∠C＝88°，则点C在（）A．⊙O上B．⊙O外C．⊙O内【答案】B【解析】根据圆周角定理可知当∠C=90°时，点C在圆上，由由题意∠C＝88°，根据三角形外角的性质可知点C在圆外.【详解】解：∵以AB为直径作⊙O，当点C在圆上时,则∠C=90°而由题意∠C＝88°，根据三角形外角的性质∴点C 在圆外．故选：B ．【点睛】本题考查圆周角定理及三角形外角的性质，掌握直径所对的圆周角是90°是本题的解题关键. 4．如图所示几何体的主视图是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】根据主视图的定义即可得出答案.【详解】从正面看，共有两列，第一列有两个小正方形，第二列有一个小正方形，在下方，只有选项C 符合故答案选择C.【点睛】本题考查的是三视图，比较简单，需要熟练掌握三视图的画法.5．二次函数y ＝x 2﹣2x+2的顶点坐标是（ ）A ．（1，1）B ．（2，2）C ．（1，2）D ．（1，3）【答案】A【分析】根据顶点坐标公式，可得答案． 【详解】解：2y x 2x 2=-+的顶点横坐标是212--=，纵坐标是2412(2)141⨯⨯--=⨯， 2y x 2x 2=-+的顶点坐标是()1,1．故选A ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的顶点坐标是2b 4ac b ,.2a 4a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 6．坡比常用来反映斜坡的倾斜程度．如图所示，斜坡AB 坡比为（ ）.A ．2：4B ．22：1C ．1：3D ．3：1【答案】A 【分析】利用勾股定理可求出AC 的长，根据坡比的定义即可得答案.【详解】∵AB=3，BC=1，∠ACB=90°， ∴AC=22AB BC -=22，∴斜坡AB 坡比为BC ：AC=1：22=2：4，故选：A.【点睛】本题考查坡比的定义，坡比是坡面的垂直高度与水平宽度的比；熟练掌握坡比的定义是解题关键. 7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．4πB ．3πC ．2π+4D ．3π+4【答案】D 【解析】试题解析：观察该几何体的三视图发现其为半个圆柱，半圆柱的直径为2，表面积有四个面组成：两个半圆，一个侧面，还有一个正方形.故其表面积为： 212π1π12223π42⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯=+， 故选D.8．在ABC 中，90C ∠=︒，若已知3tan 4A =，则cos A =（ ） A ．35 B ．45 C ．34 D ．43【答案】B【分析】根据题意利用三角函数的定义，定义成三角形的边的比值，进行分析计算即可求解．【详解】解：在ABC 中，90C ∠=︒，∵3tan 4BC A AC==， 设BC=3x ，则AC=4x ， 根据勾股定理可得：22(3)(4)5AB x x x =+=， ∴44cos 55AC x A AB x ===. 故选：B.【点睛】本题主要考查三角函数的定义，注意掌握求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．9．与y=2（x ﹣1）2+3形状相同的抛物线解析式为（ ）A ．y=1+12x 2B ．y=（2x+1）2C ．y=（x ﹣1）2D ．y=2x 2【答案】D【分析】抛物线的形状只是与a 有关，a 相等，形状就相同．【详解】y=1（x ﹣1）1+3中，a=1．故选D ．【点睛】本题考查了抛物线的形状与a 的关系，比较简单．10．下列方程是一元二次方程的是（ ）A ．2x ﹣3y +1B ．3x +y ＝zC ．x 2﹣5x ＝1D ．x 2﹣1x+2＝0 【答案】C【分析】根据一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为1．逐一判断即可．【详解】解：A 、它不是方程，故此选项不符合题意；B 、该方程是三元一次方程，故此选项不符合题意；C 、是一元二次方程，故此选项符合题意；D 、该方程不是整式方程，故此选项不符合题意；故选：C ．【点睛】此题主要考查了一元二次方程定义，一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为1．11．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，其中点B的坐标为B（1，0），抛物线的对称轴交x轴于点D，CE∥AB，并与抛物线的对称轴交于点E．现有下列结论：①a＞0；②b ＞0；③1a+2b+c＜0；④AD+CE＝1．其中所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．②③D．②④【答案】D【分析】①根据抛物线开口方向即可判断；②根据对称轴在y轴右侧即可判断b的取值范围；③根据抛物线与x轴的交点坐标与对称轴即可判断；④根据抛物线与x轴的交点坐标及对称轴可得AD=BD，再根据CE∥AB，即可得结论．【详解】①观察图象开口向下，a＜0，所以①错误；②对称轴在y轴右侧，b＞0，所以②正确；③因为抛物线与x轴的一个交点B的坐标为(1，0)，对称轴在y轴右侧，所以当x=2时，y＞0，即1a+2b+c＞0，所以＞③错误；④∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A，B两点，∴AD=BD．∵CE∥AB，∴四边形ODEC为矩形，∴CE=OD，∴AD+CE=BD+OD=OB=1，所以④正确．综上：②④正确．故选：D．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解决本题的关键是综合运用二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x 轴的交点进行计算．12．二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，在ab 、ac 、b 2﹣4ac ，2a+b ，a+b+c ，这五个代数式中，其值一定是正数的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 【解析】试题分析：根据图象可知：a 0b 0c 0><<，，，则ab 0ac 0<<，；图象与x 轴有两个不同的交点，则24ac 0b ->；函数的对称轴小于1，即12b a-<，则2a b 0+>；根据图象可知：当x=1时，y 0<，即a b c 0++<；故本题选B ．二、填空题（本题包括8个小题）13．某县为做大旅游产业，在2018年投入资金3.2亿元，预计2020年投入资金6亿元，设旅游产业投资的年平均增长率为x ，则可列方程为____．【答案】23.2(1)6x +=【分析】根据题意，找出题目中的等量关系，列出一元二次方程即可.【详解】解：根据题意，设旅游产业投资的年平均增长率为x ，则 23.2(1)6x +=；故答案为：23.2(1)6x +=.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用——增长率问题，解题的关键是熟练掌握增长率问题的等量关系，正确列出一元二次方程.14．两幢大楼的部分截面及相关数据如图，小明在甲楼A 处透过窗户E 发现乙楼F 处出现火灾，此时A,E,F 在同一直线上.跑到一楼时，消防员正在进行喷水灭火，水流路线呈抛物线，在1.2m 高的D 处喷出，水流正好经过E,F. 若点B 和点E 、点C 和F 的离地高度分别相同，现消防员将水流抛物线向上平移0.4m ，再向左后退了____m ，恰好把水喷到F 处进行灭火．11010【详解】设直线AE 的解析式为:y=kx+21.2.把E （20,9.2）代入得，20k+21.2=9.2,∴k=-0.6,∴y=-0.6x+21.2.把y=6.2代入得，-0.6x+21.2=6.2，∴x=25,∴F(25,6.2).设抛物线解析式为：y=ax 2+bx+1.2,把E （20,9.2）, F(25,6.2)代入得，40020 1.29.262525 1.2 6.2a b a b ++=⎧⎨++=⎩ ，解之得：0.041.2a b =-⎧⎨=⎩， ∴y=-0.04x 2+1.2x+1.2，设向上平移0.4m ，向左后退了hm, 恰好把水喷到F 处进行灭火由题意得y=-0.04(x+h)2+1.2(x+h)+1.2+0.4,把F(25,6.2)代入得，6.2=-0.04×(25+h)2+1.2(25+h)+1.2+0.4，整理得：h 2+20h-10=0, 解之得：110110x =-,210110x =-（舍去）. ∴向后退了11010)m 11010【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的实际应用，设直线AE 的解析式为:y=kx+21.2.把E （20,9.2）代入求出直线解析式，从而求出点F 的坐标.把E （20,9.2）, F(25,6.2)代入y=ax 2+bx+1.2求出二次函数解析式.设向左平移了hm ，表示出平移后的解析式，把点F 的坐标代入可求出k 的值. 15．二次函数解析式为21y x mx =--，当x>1时，y 随x 增大而增大，求m 的取值范围__________【答案】m ≤1【分析】先确定图像的对称轴x=2m ，当x>1时，y 随x 增大而增大，则2m ≤1，然后列不等式并解答即可． 【详解】解：∵21y x mx =--∴对称轴为x=2m ∵当x>1时，y 随x 增大而增大∴2m ≤1即m≤1 故答案为m≤1．【点睛】本题考查二次函数的增减性，正确掌握二次函数得性质和解一元一次不等式方程是解答本题的关键． 16．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90º ，将△ABC 绕顶点C 逆时针旋转得到△A′B′C ，M 是BC 的中点，N 是A′B′的中点，连接MN ，若BC=2 cm,∠ABC=60°，则线段MN 的最大值为_____.【答案】3 cm【分析】连接CN ．根据直角三角形斜边中线的性质求出122CN A B =''=，利用三角形的三边关系即可解决问题．【详解】连接CN ．在Rt △ABC 中，∵∠ACB=90°，BC=2，∠B=60°，∴∠A=30°，∴AB=A ′B ′=2BC=4，∵NB ′=NA ′，∴122CN A B =''=， ∵CM=BM=1，∴MN ≤CN+CM=3，∴MN 的最大值为3，故答案为3cm ．【点睛】本题考查旋转的性质，直角三角形斜边中线的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．17．如果抛物线y=﹣x 2+（m ﹣1）x+3经过点（2，1），那么m 的值为_____．【答案】2【分析】把点（2，1）代入y=﹣x 2+（m ﹣1）x+3，即可求出m 的值.【详解】∵抛物线y=﹣x 2+（m ﹣1）x+3经过点（2，1），∴1= -4+2(m-1)+3,解得m=2,故答案为2.【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是找出二次函数图象上的点的坐标满足的关系式. 18．如图，平行四边形,ABCD O 分别切,,CD AD BC 于点,,E F G ，连接CO 并延长交AD 于点H ，连接,AG AG 与HC 刚好平行，若4,5AB AD ==，则O 的直径为______．【答案】3【分析】先证得四边形AGCH 是平行四边形，则AH CG =，再证得DH DC =，求得1AH =， 3DE ＝，证得DO ⊥HC ，根据~Rt OCE Rt DOE ，即可求得半径，从而求得结论．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∵AG ∥HC ，∴四边形AGCH 是平行四边形，∴AH CG =，∵CG CE 、是⊙O 的切线，且切点为G 、E ，∴CG CE AH ==，∠GCH=∠HCD ，∵AD ∥BC ，∴∠DHC=∠GCH ，∴∠DHC=∠HCD ，∴三角形DHC 为等腰三角形，∴4DH DC AB ===，∴541AH AD DH =-=-=，∴1CE AH ==，413DE DC CE =-=-=，连接OD 、OE ，如图，∵DE DF 、是⊙O 的切线，且切点为E 、F ，∴DO 是∠FDE 的平分线，又∵DH DC =，∴DO ⊥HC,∴∠DOC=90︒，∵CD 切⊙O 于E ，∴OE ⊥CD,∵∠OCE+∠COE=90︒，∠DOE+∠COE=90︒，∴∠OCE=∠DOE ，∴~Rt OCE Rt DOE ， ∴OE CE DE OE =，即13OE OE=， ∴3OE =∴⊙O 的直径为：23故答案为：3【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，切线长定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，证得DHC 为等腰三角形是解题的关键．三、解答题（本题包括8个小题） 19．如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝kx+b （k≠0）与反比例函数y ＝m x （m≠0）的图象交于第二、四象限A 、B 两点，过点A 作AD ⊥x 轴于D ，AD ＝4，sin ∠AOD ＝45，且点B 的坐标为（n ，﹣2）．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）请直接写出满足kx+b＞mx的x的取值范围；（3）E是y轴上一点，且△AOE是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的E点坐标．【答案】（1）y＝﹣12x，y＝﹣23x+1；（2）x＜﹣3或0＜x＜6；（3）点P的坐标为P（0，5）或（0，﹣5）或（0，8）或（0，25 8）【分析】（1）先利用三角函数求出OD，得出点A坐标，进而求出反比例函数解析式，进而求出点B坐标，将点A，B坐标代入直线解析式中，建立方程组，求解即可得出结论；（2）根据图象直接得出结论；（3）设出点E坐标，进而表示出AE，OE，再分OA=OE，OA=AE，OE=AE三种情况，建立方程求解即可得出结论．【详解】∵AD⊥x轴，∴∠ADO＝90°，在Rt△AOD中，AD＝4，∴sin∠AOD＝ADOA＝4OA＝45，∴OA＝5，根据勾股定理得，OD＝3，∵点A在第二象限，∴A（﹣3，4），∵点A在反比例函数y＝mx的图象上，∴m＝﹣3×4＝﹣12，∴反比例函数解析式为y＝﹣12x，∵点B（n，﹣2）在反比例函数y＝﹣12x上，∴﹣2n＝﹣12，∴n＝6，∴B（6，﹣2），∵点A（﹣3，4），B（6，﹣2）在直线y＝kx+b上，∴3462k b k b -+=⎧⎨+=-⎩， ∴2k 3b 1⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴一次函数的解析式为y ＝﹣23x+1； （2）由图象知，满足kx+b ＞m x 的x 的取值范围为x ＜﹣3或0＜x ＜6； （3）设点E 的坐标为（0，a ），∵A （﹣3，4），O （0，0），∴OE ＝|a|，OA ＝5，AE∵△AOE 是等腰三角形，∴①当OA ＝OE 时，|a|＝5，∴a ＝±5，∴P （0，5）或（0，﹣5），②当OA ＝AE 时，5＝∴a ＝8或a ＝0（舍），∴P （0，8），③当OE ＝AE 时，|a|∴a ＝258， ∴P （0，258）， 即：满足条件的点P 的坐标为P （0，5）或（0，﹣5）或（0，8）或（0，258）． 【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，锐角三角函数，等腰三角形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．20．如图，在ABC 中，,40=∠=︒AB AC A ，求B 的度数.【答案】70°【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可求得.【详解】AB AC =B C ∴∠=∠180,40A B C A ∠+∠+∠=︒∠=︒402180B ∴︒+∠=︒70B ∴∠=︒故B 的度数为70︒.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，根据等腰三角形的性质：等边对等角得出B C ∠=∠是解题关键.21．一个斜抛物体的水平运动距离为x （m ），对应的高度记为h （m ），且满足h ＝ax 1+bx ﹣1a （其中a ≠0）．已知当x ＝0时，h ＝1；当x ＝10时，h ＝1．（1）求h 关于x 的函数表达式；（1）求斜抛物体的最大高度和达到最大高度时的水平距离．【答案】（1）h ＝﹣x 1+10x+1；（1）斜抛物体的最大高度为17，达到最大高度时的水平距离为2．【分析】（1）将当x ＝0时，h ＝1；当x ＝10时，h ＝1，代入解析式，可求解；（1）由h ＝−x 1＋10x ＋1＝−（x−2）1＋17，即可求解．【详解】（1）∵当x ＝0时，h ＝1；当x ＝10时，h ＝1．∴222100102a a b a =-⎧⎨=+-⎩解得：110a b =-⎧⎨=⎩∴h 关于x 的函数表达式为：h ＝﹣x 1+10x+1；（1）∵h＝﹣x1+10x+1＝﹣（x﹣2）1+17，∴斜抛物体的最大高度为17，达到最大高度时的水平距离为2．【点睛】本题考查了二次函数的应用，求出二次函数的解析式是本题的关键．22．如图所示，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm．点D由点A出发沿AB方向向点B匀速运动，同时点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接DE，设运动时间为t （s）（0＜t＜10），解答下列问题：（1）当t为何值时，△BDE的面积为7.5cm2；（2）在点D，E的运动中，是否存在时间t，使得△BDE与△ABC相似？若存在，请求出对应的时间t；若不存在，请说明理由．【答案】（1）t为3秒时，△BDE的面积为7.3cm3；（3）存在时间t为5013或8013秒时，使得△BDE与△ABC相似．【分析】（1）根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定和性质求三角形BDE边BE的高即可求解；（3）根据等腰三角形和相似三角形的判定和性质分两种情况说明即可．【详解】解：（1）分别过点D、A作DF⊥BC、AG⊥BC，垂足为F、G如图∴DF∥AG，DFAG＝BDAB∵AB＝AC＝10，BC＝11∴BG＝8，∴AG＝1．∵AD＝BE＝t，∴BD＝10﹣t，∴DF6＝1010t解得DF＝35（10﹣t）∵S△BDE＝12BE•DF＝7.3∴35（10﹣t）•t＝13解得t＝3．答：t为3秒时，△BDE的面积为7.3cm3．（3）存在．理由如下：①当BE＝DE时，△BDE与△BCA，∴BEAB＝BDBC即10t＝1016t-，解得t＝50 13，②当BD＝DE时，△BDE与△BAC，BE BC ＝BDAB即16t＝1010t-，解得t＝80 13．答：存在时间t为5013或8013秒时，使得△BDE与△ABC相似．【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，解决本题的关键是动点变化过程中形成不同的等腰三角形．23．计算：2cos45°﹣tan60°+sin30°﹣12tan45°【分析】将各特殊角的三角函数值代入即可得出答案．【详解】解：原式=2×212﹣12×1【点睛】此题考查特殊角的三角函数值，属于基础题，熟练记忆一些特殊角的三角函数值是关键．24．某公司研制出新产品，该产品的成本为每件2400元．在试销期间，购买不超过10件时，每件销售价为3000元；购买超过10件时，每多购买一件，所购产品的销售单价均降低5元，但最低销售单价为2600元。
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上海市长宁区2018届九年级数学上学期期末质量检测试题（考试时间：100分钟 满分：150分）一、选择题（本大题共6题, 每题4分, 满分24分）【每小题只有一个正确选项, 在答题纸相应题号的选项上用2B 铅笔正确填涂】 1．在Rt ∆ABC 中，∠C =90°，α=∠A ，AC =3，则AB 的长可以表示为（ ▲ ）（A ）αcos 3； （B ） αsin 3； （C ） αsin 3； （D ） αcos 3． 2．如图，在∆ABC 中，点D 、E 分别在边BA 、CA 的延长线上，2=ADAB，那么下列条件中能判断DE ∥BC 的是（ ▲ ） （A ）21=EC AE ； （B ） 2=AC EC； （C ）21=BC DE ； （D ）2=AEAC． 3． 将抛物线3)1(2++-=x y 向右平移2个单位后得到的新抛物线的表达式为（ ▲ ） （A ） 1)1(2++-=x y ； （B ） 3)1(2+--=x y ； （C ） 5)1(2++-=x y ； （D ）3)3(2++-=x y ．4． 已知在直角坐标平面内，以点P (-2,3)为圆心，2为半径的圆P 与x 轴的位置关系是（ ▲ ） （A ） 相离； （B ） 相切； （C ） 相交； （D ） 相离、相切、相交都有可能． 5． 已知e 是单位向量，且e a 2-=，e b 4=，那么下列说法错误．．的是（ ▲ ） （A ）b a //； （B ） 2||=a ；（C ） ||2||a b -=； （D ）21-=． 6． 如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AC平分∠DAB ，且∠DAC =∠DBC ，那么下列结论不一定正确．．．．．的是（ ▲ ） （A ）AOD ∆∽BOC ∆； （B ）AOB ∆∽DOC ∆； （C ）CD =BC ； （D ）OA AC CD BC ⋅=⋅．二、填空题（本大题共12题, 每题4分, 满分48分） 【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】 7．若线段a 、b 满足21=b a ，则bba +的值为 ▲ ． 8．正六边形的中心角等于 ▲ 度．第2题图AB DE 第6题图O ABCD9．若抛物线2)2(x a y -=的开口向上，则a 的取值范围是 ▲ ． 10．抛物线342+-=x x y 的顶点坐标是 ▲ ．11．已知∆ABC 与∆DEF 相似，且∆ABC 与∆DEF 的相似比为2:3，若∆DEF 的面积为36，则∆ABC 的面积等于 ▲ ．12．已知线段AB=4，点P 是线段AB 的黄金分割点，且AP<BP ，那么AP 的长为 ▲ ． 13．若某斜面的坡度为3:1，则该坡面的坡角为 ▲ 度．14．已知点A (-2,m )、B (2,n )都在抛物线t x x y -+=22上，则m 与n 的大小关系是m ▲ n ．（填“>”、“<”或“=”） 15．如图，在Rt ∆ABC 中，∠BAC =90°，点G 是重心， 联结AG ，过点G 作DG//BC ，DG 交AB 于点D ， 若AB=6，BC=9，则∆ADG 的周长等于 ▲ ．16．已知⊙1O 的半径为4，⊙2O 的半径为R ，若⊙1O 与⊙2O 相切，且1021=O O ，则R 的值为 ▲ ．17．如果一个四边形的某个顶点到其他三个顶点的距离相等，我们把这个四边形叫做等距四边形，这个顶点叫做这个 四边形的等距点.如图，已知梯形ABCD 是等距四边形，AB//CD ，点B 是等距点. 若BC =10，1010cos =A ， 则CD 的长等于 ▲ ．18．如图，在边长为2的菱形ABCD 中，︒=∠60D ，点E 、F 分别在边AB 、BC 上. 将∆BEF 沿着直线EF 翻折， 点B 恰好与边AD 的中点G 重合，则BE 的长等于 ▲ ．三、解答题（本大题共7题, 满分78分）【将下列各题的解答过程, 做在答题纸的相应位置上】 19．（本题满分10分）计算：︒--︒︒30cos 60tan 45sin 445cot 02．第18题图A B CDBCDA 第17题图第15题图D AG20．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）如图，在∆ABC 中，点D 在边AB 上，DE //BC ，DF //AC ，DE 、DF 分别交边AC 、BC于点E 、F ，且23=EC AE ． （1）求BCBF的值；（2）联结EF ，设=，=，用含、的式子表示．21．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）如图，点C 在⊙O 上，联结CO 并延长交弦AB 于点D ，AC BC =， 联结AC 、OB ，若CD =40，520=AC ． （1）求弦AB 的长； （2）求ABO ∠sin 的值． 22．（本题满分10分）如图，一栋居民楼AB 的高为16米，远处有一栋商务楼CD ， 小明在居民楼的楼底A 处测得商务楼顶D 处的仰角为60°，又在商 务楼的楼顶D 处测得居民楼的楼顶B 处的俯角为45°．其中A 、C 两点分别位于B 、D 两点的正下方，且A 、C 两点在同一水平线上， 求商务楼CD 的高度．(参考数据：414.12≈，732.13≈.结果精确到0.1米)23．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）如图，在∆ABC 中，点D 在边BC 上，联结AD ，∠ADB=∠CDE ，DE 交边AC 于点E ，DE 交BA 延长线于点F ，且DF DE AD ⋅=2．（1）求证：BFD ∆∽CAD ∆； （2）求证：AD AB DE BF ⋅=⋅． 24．（本题满分12分，每小题4分）在直角坐标平面内，直线221+=x y 分别与x 轴、y 轴交于点A 、C . 抛物线c bx x y ++-=221经过点A 与点C ，且与x 轴的另一个交点为点B . 点D 在该抛物线上，且位于直线AC 的上方． （1）求上述抛物线的表达式；（2）联结BC 、BD ，且BD 交AC 于点E ，如果∆ABE 的面积与∆ABC 的面积之比为4:5，求∠DBA 的余切值；F E DABC第23题图第20题图FAD E 第21题图（3）过点D 作DF ⊥AC ，垂足为点F ，联结CD . 若∆CFD 与∆AOC 相似，求点D 的坐标．25．（本题满分14分，第（1）小题3分，第（2）小题6分，第（3）小题5分）已知在矩形ABCD 中，AB =2，AD =4. P 是对角线BD 上的一个动点（点P 不与点B 、D 重合），过点P 作PF ⊥BD ，交射线BC 于点F . 联结AP ，画∠FPE =∠BAP ，PE 交BF 于点E . 设PD=x ，EF =y ．（1）当点A 、P 、F 在一条直线上时，求∆ABF 的面积；（2）如图1，当点F 在边BC 上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数定义域； （3）联结PC ，若∠FPC =∠BPE ，请直接写出PD 的长．备用图第24题图备用图备用图图1DCBA DCBA F EP DCB A 第25题图长宁区2017-2018学年第一学期初三数学参考答案和评分建议2018.1一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．A ； 2．D ； 3．B ； 4．A ； 5．C ； 6．D ． 二．填空题：（本大题共12题，满分48分）7．23； 8．060； 9．a >2；10．)1,2(-； 11．16； 12．526-； 13．030； 14．<； 15．10；16．6或14； 17．16； 18．57．三、（本大题共7题，第19、20、21、22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分，满分78分） 19. （本题满分10分）解：原式=233)22(412--⨯ (4分) =23321-- (2分) =2332-+ (2分) =232+(2分) 20．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）解：（1）∵23=EC AE ∴52=AC EC （1分） ∵DE//BC ∴52==AC EC AB BD （2分） 又∵DF//A ∴52==AB BD BC BF （2分） （2）∵52=BC BF ∴53=BC FC ∵=，CF 与BC 方向相反 ∴a CF 53-= （2分）同理：52= （2分）又∵→+=CF ∴→-=a 5352 （1分）21．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分） 解：（1）∵CD 过圆心O, AC BC =∴C D ⊥AB ,AB=2AD=2BD （2分）∵CD =40，520=AC 又∵∠ADC=090 ∴2022=-=CD AC AD （2分）∴AB=2AD=40 （1分） （2）设圆O 的半径为r ,则OD =40-r （1分） ∵BD =AD =20, ∠ODB=090 ∴222OB OD BD =+∴222)40(20r r =-+ （1分） ∴r =25,OD =15 （2分） ∴532515sin ===∠OB OD ABO （1分） 22．（本题满分10分）解：过点B 作BE ⊥CD 与点E ，由题意可知∠DBE=045，∠DAC=060，CE=AB=16 （2分）设AC=x ,则x CD 3=，BE=AC=x （1分） ∵163-=-=x CE CD DE （1分） ∵045,90=∠=∠DBE BED ∴BE=DE ∴163-=x x （2分） ∴1316-=x （1分） ∴)13(8+=x （1分） ∴9.3738243≈+==x CD （1分）答： 商务楼CD 的高度为37.9米。
（1分） 23．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分） 证明：（1）∵DF DE AD ⋅=2∴ADDFDE AD = ∵EDA ADF ∠=∠ ∴ADF ∆∽EDA ∆ （2分）∴DAE F ∠=∠ （1分） 又∵∠ADB=∠CD E ∴∠ADB+∠ADF =∠CDE+∠ADF即∠BDF =∠CDA （2分） ∴BFD ∆∽CAD ∆ （1分）（2）∵BFD ∆∽CAD ∆ ∴ADDFAC BF = （2分） ∵AD DF DE AD = ∴DEADAC BF = （1分） ∵BFD ∆∽CAD ∆ ∴C B ∠=∠∴AC AB = （1分）∴DEADAB BF = ∴AD AB DE BF ⋅=⋅． （2分） 24．（本题满分12分，每小题4分）解：（1）由已知得A (-4,0),C (0,2) （1分） 把A 、C 两点的坐标代入c bx x y ++-=221得 ⎩⎨⎧=-=0482b C （1分） ∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=223c b （1分） ∴223212+--=x x y （1分）（2）过点E 作EH ⊥AB 于点H 由上可知B （1,0） ∵ABC ABE S S ∆∆=54∴OC AB EH AB ∙⨯=∙215421 ∴5854==OC EH （2分） ∴)58,54(-E ∴59154=+=HB （1分）∵090=∠EHB ∴895859cot ===∠EH HB DBA （1分）（3）∵DF ⊥AC ∴090=∠=∠AOC DFC①若CAO DCF ∠=∠，则CD//AO ∴点D 的纵坐标为2把y=2代入223212+--=x x y 得x=-3或x=0（舍去） ∴D (-3,2) （2分）②若ACO DCF ∠=∠时，过点D 作DG ⊥y 轴于点G ，过点C 作CQ ⊥DG 交x 轴于点Q∵090=∠=∠AOC DCQ ∴090=∠+∠=∠+∠CAO ACO ACQ DCF ∴CAO ACQ ∠=∠∴CQ AQ =设Q (m ,0),则442+=+m m ∴23-=m ∴)0,23(-Q 易证：COQ ∆∽DCG ∆∴34232QO CO GC DG ===设D(-4t,3t+2)代入223212+--=x x y 得t=0(舍去)或者83=t∴)825,23(-D （2分）25．（本题满分14分，第（1）小题3分，第（2）小题6分，第（3）小题5分） 解：（1）∵矩形ABCD ∴090=∠=∠ABF BAD∴090=∠+∠ADB ABD ∵A 、P 、F 在一条直线上，且PF ⊥BD ∴090=∠BPA ∴090=∠+∠BAF ABD ∴BAF ADB ∠=∠ ∵2142tan ===∠AD AB ADB ∴21tan ==∠AB BF BAF ∴1=BF （2分） ∴1122121=⨯⨯=∙=∆BF AB S ABF（1分） （2）∵PF ⊥BP ∴090=∠BPF∴090=∠+∠PBF PFB ∵090=∠ABF ∴090=∠+∠ABP PBF ∴PFB ABP ∠=∠ 又∵∠BAP =∠FPE∴BAP ∆∽FPE ∆ ∴EFBPPF AB = （2分） ∵AD//BC ∴PBF ADB ∠=∠∴21tan tan =∠=∠ADB PBF 即21=BP PF ∵x BP -=52 ∴)52(21x PF -= （2分）∴y xx-=-522522 ∴)52552(4)52(2<≤-=x x y （1分+1分） （3）15±（3分） 或514557-（2分）。