2019高考数学二轮复习 专题五 解析几何 规范答题示例7 解析几何中的探索性问题学案 文
2019年高考数学 解答题高分宝典 专题05 解析几何(核心考点)理
备战2019年高考数学 解答题高分宝典 专题05 解析几何（核心考点）理直线与圆锥曲线的位置关系是圆锥曲线中的重要问题,也是高考考查的热点,研究此类一般要用到方程思想,常见类型为交点个数、切线、弦长、对称等问题.【经典示例】在直角坐标系xOy 中,直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ,交抛物线C ：y 2＝2px (p >0)于点P ,M 关于点P 的对称点为N ,连接ON 并延长交C 于点H . (1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外,直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由．答题模板解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤 第一步,联立方程,得关于x 或y 的一元二次方程；第二步,写出根与系数的关系,并求出Δ>0时参数范围(或指出直线过曲线内一点)； 第三步,根据题目要求列出关于x 1x 2,x 1＋x 2(或y 1y 2,y 1＋y 2)的关系式,求得结果； 第四步,反思回顾,查看有无忽略特殊情况.【满分答案】(1)由已知得M (0,t ),P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22p ，t , 又N 为M 关于点P 的对称点,故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2p ，t ,ON 的方程为y ＝p t x ,代入y 2＝2px 整理得px 2－2t 2x ＝0,解得x 1＝0,x 2＝2t2p ,因此H ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 2p ，2t .所以N 为OH 的中点,即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点,理由如下：直线MH 的方程为y －t ＝p 2t x ,即x ＝2tp(y －t )．代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0,解得y 1＝y 2＝2t ,即直线MH 与C 只有一个公共点,所以除H 以外直线MH 与C 没有其他公共点．【解题技巧】1.将直线方程与圆锥曲线方程联立,消去一个变量得到关于x (或y )的一元方程：ax 2＋bx ＋c ＝0(或ay 2＋by ＋c ＝0)．若a ≠0,可考虑一元二次方程的判别式Δ,有 ①Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交；②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切； ③Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离．2.判断直线与圆锥曲线的交点个数时,可直接求解相应方程组得到交点坐标,也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定,需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.3.依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时,联立方程并消元,得到一元方程,此时注意观察方程的二次项系数是否为0,若为0,则方程为一次方程；若不为0,则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解．4.设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点,则|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝1＋1k2|y 2－y 1|.5.有关圆锥曲线弦长问题的求解方法涉及弦长的问题中,应熟练的利用根与系数的关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题,可考虑用圆锥曲线的定义求解． 6.处理中点弦问题常用的求解方法(1)点差法：即设出弦的两端点坐标后,代入圆锥曲线方程,并将两式相减,式中含有x 1＋x 2,y 1＋y 2,y 1－y 2x 1－x 2三个未知量,这样就直接联系了中点和直线的斜率,借用中点公式即可求得斜率．(2)根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组,化为一元二次方程后,由根与系数的关系求解．(3)解决对称问题除掌握解决中点弦问题的方法外,还要注意：如果点A ,B 关于直线l 对称,则l 垂直直线AB 且A ,B 的中点在直线l 上的应用．模拟训练1．已知点P 是圆O ：x 2＋y 2＝1上任意一点,过点P 作PQ ⊥y 轴于点Q ,延长QP 到点M ,使QP →＝PM →. (1)求点M 的轨迹E 的方程；(2)过点C (m,0)作圆O 的切线l ,交(1)中曲线E 于A ,B 两点,求△AOB 面积的最大值．(2)由题意可知直线l 不与y 轴垂直,故可设l ：x ＝ty ＋m ,t ∈R ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)． ∵l 与圆O ：x 2＋y 2＝1相切,∴|m |t 2＋1＝1,即m 2＝t 2＋1.①联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，x ＝ty ＋m ，消去x ,得(t 2＋4)y 2＋2mty ＋m 2－4＝0.其中Δ＝(2mt )2－4(t 2＋4)(m 2－4)＝16(t 2－m 2)＋64＝48>0. ∴y 1＋y 2＝－2mt t 2＋4,y 1y 2＝m 2－4t 2＋4.②∴|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝[t y 1－y 22＋y 1－y 22＝t 2＋1y 1＋y 22－4y 1y 2.将①②代入上式得 |AB |＝t 2＋14m 2t2t 2＋2－m 2－t 2＋4＝43|m |m 2＋3,|m |≥1, ∴S △AOB ＝12|AB |·1＝12×43|m |m 2＋3＝23|m |＋3|m |≤2323＝1,当且仅当|m |＝3|m |,即m ＝±3时,等号成立．∴(S △AOB )max ＝1.核心考点二圆锥曲线中的定点、定值问题以直线与圆锥曲线为载体,结合其他条件探究直线或曲线过定点,或与动点有关的定值问题,一般常出现在解答题第二问中,难度多为中等.【经典示例】已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >0,b >0)过点(0,1),其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列．直线l 与x 轴正半轴和y 轴分别交于点Q 、P ,与椭圆分别交于点M 、N ,各点均不重合且满足PM →＝λ1MQ →,PN →＝λ2NQ →.(1)求椭圆的标准方程；(2)若λ1＋λ2＝－3,试证明：直线l 过定点并求此定点．答题模板证明直线过定点的步骤：第一步,设出直线方程为y kx b =+(或x my n =+)；. 第二步,证明b ks t =+ (或n ms t =+)；. 第三步,确定直线过点(),s t - (或(),t s -).【满分答案】(1)设椭圆的焦距为2c ,由题意知b ＝1,且(2a )2＋(2b )2＝2(2c )2, 又a 2＝b 2＋c 2,∴a 2＝3. ∴椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)证明 由题意设P (0,m ),Q (x 0,0),M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),设l 方程为x ＝t (y －m ),由PM →＝λ1MQ →知(x 1,y 1－m )＝λ1(x 0－x 1,－y 1), ∴y 1－m ＝－y 1λ1,由题意y 1≠0,∴λ1＝m y 1－1.同理由PN →＝λ2NQ →知λ2＝m y 2－1.∵λ1＋λ2＝－3,∴y 1y 2＋m (y 1＋y 2)＝0,①联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3y 2＝3，x ＝t y －m 得(t 2＋3)y 2－2mt 2y ＋t 2m 2－3＝0,∴由题意知Δ＝4m 2t 4－4(t 2＋3)(t 2m 2－3)>0,② 且有y 1＋y 2＝2mt 2t 2＋3,y 1y 2＝t 2m 2－3t 2＋3,③③代入①得t 2m 2－3＋2m 2t 2＝0, ∴(mt )2＝1,由题意mt <0,∴mt ＝－1,满足②,得直线l 方程为x ＝ty ＋1,过定点(1,0),即Q 为定点． 【解题技巧】1.圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量,再研究变化的量与参数何时没有关系,找到定点．(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关． 2.圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值．依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式、化简即可得出定值； (2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式,再利用题设条件化简、变形求得；(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式,再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．模拟训练2．如图,在平面直角坐标系xOy 中,点F (12,0),直线l ：x ＝－12,点P 在直线l 上移动,R 是线段PF 与y 轴的交点,RQ ⊥FP ,PQ ⊥l .(1)求动点Q 的轨迹C 的方程；(2)设圆M 过A (1,0),且圆心M 在曲线C 上,TS 是圆M 在y 轴上截得的弦,当M 运动时,弦长|TS |是否为定值？请说明理由．(2)弦长|TS |为定值．理由如下：取曲线C 上点M (x 0,y 0),M 到y 轴的距离为d ＝|x 0|＝x 0,圆的半径r ＝|MA |＝x 0－2＋y 20,则|TS |＝2r 2－d 2＝2y 20－2x 0＋1, ∵点M 在曲线C 上,∴x 0＝y 202,∴|TS |＝2y 20－y 20＋1＝2是定值．核心考点三圆锥曲线中的最值、范围问题以直线与圆锥曲线为载体,结合其他条件求某些量的最值与范围,一般常出现在解答题第二问中,最值问题是高考中的热点问题,常涉及不等式、函数的值域问题,综合性比较强,解法灵活多变,求解此类问题一般把所求量表示为某些量的函数,转化为函数求值域或利用基本不等式求最值,此类问题一般运算量较大,要注意运算的准确性.【经典示例】已知△ABP 的三个顶点都在抛物线C ：x 2＝4y 上,F 为抛物线C 的焦点,点M 为AB 的中点,PF ＝3FM .(1)若|PF |＝3,求点M 的坐标；(2)求△ABP 面积的最大值．答题模板求△ABP 面积的最大值的步骤第一步,设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ,并确定k ,m 的关系； 第二步,把面积表示为m 的函数()f m ； 第三步,求()f m 最大值；第四步,由()f m 最大值确定△ABP 面积的最大值.【满分答案】(1)由题意知焦点F (0,1),准线方程为y ＝－1. 设P (x 0,y 0),由抛物线定义知|PF |＝y 0＋1,得y 0＝2, 所以P (22,2)或P (－22,2),由PF ＝3FM ,得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，23或M ⎝ ⎛⎭⎪⎫223，23.(2)设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ,点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),P (x 0,y 0),由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＝4y ，得x 2－4kx －4m ＝0.于是Δ＝16k 2＋16m >0,x 1＋x 2＝4k ,x 1x 2＝－4m , 所以AB 中点M 的坐标为(2k,2k 2＋m )．由PF ＝3FM ,得(－x 0,1－y 0)＝3(2k,2k 2＋m －1),所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－6k ，y 0＝4－6k 2－3m .由x 20＝4y 0得k 2＝－15m ＋415,由Δ>0,k 2≥0,得－13<m ≤43.又因为|AB |＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝41＋k 2·k 2＋m ,点F (0,1)到直线AB 的距离为d ＝|m －1|1＋k2,所以S △ABP ＝4S △ABF ＝8|m －1|k 2＋m ＝16153m 3－5m 2＋m ＋1.记f (m )＝3m 3－5m 2＋m ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫－13<m ≤43,令f ′(m )＝9m 2－10m ＋1＝0, 解得m 1＝19,m 2＝1,可得f (m )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，19上是增函数,在⎝ ⎛⎭⎪⎫19，1上是减函数,在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43上是增函数, 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝256243>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝59.所以当m ＝19时,f (m )取到最大值256243,此时k ＝±5515.所以△ABP 面积的最大值为2565135.【解题技巧】1.解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； (3)利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围； (4)利用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域,从而确定参数的取值范围． 2.处理圆锥曲线最值问题的求解方法圆锥曲线中的最值问题类型较多,解法灵活多变,但总体上主要有两种方法：一是利用几何法,即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法,即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式),然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．模拟训练3．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 23＝1(a >0)的一个焦点为F (－1,0),左、右顶点分别为A ,B .经过点F 的直线l 与椭圆M交于C ,D 两点．(1)当直线l 的倾斜角为45°时,求线段CD 的长；(2)记△ABD 与△ABC 的面积分别为S 1和S 2,求|S 1－S 2|的最大值．消去y ,得7x 2＋8x －8＝0,设C (x 1,y 1),D (x 2,y 2),Δ＝288,x 1＋x 2＝－87,x 1x 2＝－87,所以|CD |＝2|x 1－x 2|＝2x 1＋x 22－4x 1x 2＝247.(2)当直线l 的斜率不存在时,直线方程为x ＝－1, 此时△ABD 与△ABC 面积相等,|S 1－S 2|＝0；当直线l 的斜率存在时,设直线方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0),联立方程,得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k x ＋，消去y ,得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0, Δ>0,且x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2,x 1x 2＝4k 2－123＋4k2,此时|S 1－S 2|＝2||y 2|－|y 1||＝2|y 2＋y 1|＝2|k (x 2＋1)＋k (x 1＋1)|＝2|k (x 2＋x 1)＋2k |＝12|k |3＋4k 2,因为k ≠0,上式＝123|k |＋4|k |≤1223|k |·4|k |＝12212＝3当且仅当k ＝±32时等号成立,所以|S 1－S 2|的最大值为 3.核心考点四轨迹问题轨迹问题一般出现在解答题的第一问,难度中等或中等以下,求解轨迹问题关键是建立关于x ,y 的等式,求解过程中要注意变形的等价性,同时需注意轨迹的完备性.【经典示例】如图所示,抛物线C 1：x 2＝4y ,C 2：x 2＝－2py (p >0)．点M (x 0,y 0)在抛物线C 2上,过M 作C 1的切线,切点为A ,B (M 为原点O 时,A ,B 重合于O )．当x 0＝1－2时,切线MA 的斜率为－12.(1)求p 的值；(2)当M 在C 2上运动时,求线段AB 中点N 的轨迹方程(A ,B 重合于O 时,中点为O )．答题模板“相关点法”的基本步骤利用向量求空间角的步骤第一步,设点：设被动点坐标为(x ,y ),主动点坐标为(x 1,y 1)；第二步,求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式()()11,,x f x y y g x y =⎧⎪⎨=⎪⎩； 第三步,代换：将上述关系式代入已知曲线方程,便可得到所求动点的轨迹方程 第四步,反思回顾．查看关键点、易错点和答题规范【满分答案】(1)因为抛物线C 1：x 2＝4y 上任意一点(x ,y )的切线斜率为y ′＝x2,且切线MA 的斜率为－12,所以点A 的坐标为(－1,14),故切线MA 的方程为y ＝－12(x ＋1)＋14.因为点M (1－2,y 0)在切线MA 及抛物线C 2上, 所以y 0＝－12×(2－2)＋14＝－3－224,①y 0＝－(212p＝－3－222p.②由①②得p ＝2.(2)设N (x ,y ),A (x 1,x 214),B (x 2,x 224),x 1≠x 2.由N 为线段AB 的中点,知x ＝x 1＋x 22,③y ＝x 21＋x 228.④所以切线MA ,MB 的方程分别为y ＝x 12(x －x 1)＋x 214,⑤y ＝x 22(x －x 2)＋x 224.⑥由⑤⑥得MA ,MB 的交点M (x 0,y 0)的坐标为x 0＝x 1＋x 22,y 0＝x 1x 24.因为点M (x 0,y 0)在C 2上,即x 20＝－4y 0, 所以x 1x 2＝－x 21＋x 226.⑦由③④⑦得x 2＝43y ,x ≠0.当x 1＝x 2时,A ,B 重合于原点O ,AB 的中点N 为点O ,坐标满足x 2＝43y .因此AB 的中点N 的轨迹方程是x 2＝43y .【解题技巧】1.直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程,要注意翻译的等价性．通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤,但最后的证明可以省略,如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步,求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性．2.应用定义法求轨迹方程的关键在于由已知条件推出关于动点的等量关系式,由等量关系结合曲线定义判断是何种曲线,再设出标准方程,用待定系数法求解模拟训练4．如图,已知圆E ：(x ＋3)2＋y 2＝16,点F (3,0),P 是圆E 上任意一点,线段PF 的垂直平分线和半径PE 相交于点Q .(1)求动点Q 的轨迹Γ的方程；(2)设直线l 与(1)中轨迹Γ相交于A ,B 两点,直线OA ,l ,OB 的斜率分别为k 1,k ,k 2(其中k >0),△OAB 的面积为S ,以OA ,OB 为直径的圆的面积分别为S 1,S 2,若k 1,k ,k 2恰好构成等比数列,求S 1＋S 2S的取值范围． 【解析】(1)连接QF ,根据题意,|QP |＝|QF |,则|QE |＋|QF |＝|QE |＋|QP |＝4>|EF |＝23,故动点Q 的轨迹Γ是以E ,F 为焦点,长轴长为4的椭圆．设其方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0), 可知a ＝2,c ＝a 2－b 2＝3,则b ＝1,∴点Q 的轨迹Γ的方程为x 24＋y 2＝1.∵k 1,k ,k 2构成等比数列,∴k 2＝k 1k 2＝()()1212kx m kx m x x ++, 整理得km (x 1＋x 2)＋m 2＝0,∴－8k 2m 21＋4k 2＋m 2＝0,解得k 2＝14. ∵k >0,∴k ＝12. 此时Δ＝16(2－m 2)>0, 解得m ∈(－2,2)．又由A ,O ,B 三点不共线得m ≠0, 从而m ∈(－2,0)∪(0,2)．故S ＝12|AB |d ＝121＋k 2|x 1－x 2|·|m |1＋k 2＝2－m 2|m |.又x 214＋y 21＝x 224＋y 22＝1, 则S 1＋S 2＝π4(x 21＋y 21＋x 22＋y 22) ＝π4(34x 21＋34x 22＋2) ＝3π16 [(x 1＋x 2)2－2x 1x 2]＋π2＝5π4为定值． ∴S 1＋S 2S ＝5π4×≥5π4, 当且仅当m ＝±1时等号成立． 综上,S 1＋S 2S ∈[5π4,＋∞)．。
2019高考数学(江苏专用)二轮复习(优编增分)：专题五 解析几何 第3讲Word版含答案
第3讲 解析几何的综合问题[考情考向分析] 江苏高考解析几何的综合问题包括：探索性问题、定点与定值问题、范围与最值问题等，一般试题难度较大．这类问题以直线和圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，需要综合运用函数与方程、不等式等诸多知识以及数形结合、分类讨论等多种数学思想方法进行求解，对考生的代数恒等变形能力、计算能力等有较高的要求．热点一 最值、范围问题例1 (2018·南通模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点，右焦点分别为A ，F ，右准线为m ，(1)若直线m 上不存在点Q ，使△AFQ 为等腰三角形，求椭圆离心率的取值范围；(2)在(1)的条件下，当e 取最大值时，A 点坐标为(－2,0)，设B ，M ，N 是椭圆上的三点，且OB→＝35OM →＋45ON →，求以线段MN 的中点为圆心，过A ，F 两点的圆的方程． 解 (1)设直线m 与x 轴的交点是R ，依题意FR ≥F A ，即a 2c －c ≥a ＋c ，a 2c ≥a ＋2c ，a c ≥1＋2c a ，1e≥1＋2e ， 2e 2＋e －1≤0,0<e ≤12. (2)当e ＝12且A (－2,0)时，F (1,0)，故a ＝2，c ＝1, 所以b ＝3，椭圆方程是x 24＋y 23＝1， 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2) ，则x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1. 由OB →＝35OM →＋45ON →， 得B ⎝⎛⎭⎫35x 1＋45x 2，35y 1＋45y 2.因为B 是椭圆C 上一点，所以⎝⎛⎭⎫35x 1＋45x 224＋⎝⎛⎭⎫35y 1＋45y 223＝1， 即⎝⎛⎭⎫x 214＋y 213⎝⎛⎭⎫352＋⎝⎛⎭⎫x 224＋y 223⎝⎛⎭⎫452＋2·35· 45⎝⎛⎭⎫x 1x 24＋y 1y 23＝1，x 1x 24＋y 1y 23＝0，① 因为圆过A ，F 两点，所以线段MN 的中点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 1＋y 22， 又⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋y 222＝14(y 21＋y 22＋2y 1y 2) ＝14⎣⎡⎦⎤3⎝⎛⎭⎫1－x 214＋3⎝⎛⎭⎫1－x 224＋2y 1y 2，② 由①和②得⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋y 222 ＝14⎣⎡⎦⎤3⎝⎛⎭⎫1－x 214＋3⎝⎛⎭⎫1－x 224＋3⎝⎛⎭⎫－x 1x 22 ＝34⎣⎡⎦⎤2－14(x 1＋x 2)2＝34·⎝⎛⎭⎫2－14＝2116， 所以圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－12，±214， 故所求圆的方程为⎝⎛⎭⎫x ＋122＋⎝⎛⎭⎫y ±2142＝5716. 思维升华 处理求最值的式子常用两种方式(1)转化为函数图象的最值．(2)转化为能利用基本不等式求最值的形式．若得到的函数式是分式形式，函数式的分子次数不低于分母时，可利用分离法求最值；若分子次数低于分母，则可分子、分母同除分子，利用基本不等式求最值(注意出现复杂的式子时可用换元法)．跟踪演练1 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，且点⎝⎛⎭⎫－3，12在椭圆C 上． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，线段PQ 的中点为H ，O 为坐标原点，且OH ＝1，求△POQ 面积的最大值．解 (1)由已知得c a ＝32，3a 2＋14b2＝1， 解得a 2＝4，b 2＝1，椭圆C 的标准方程是x 24＋y 2＝1. (2)设l 与x 轴的交点为D (n,0)，直线l ：x ＝my ＋n ，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋n ，x 24＋y 2＝1，得(4＋m 2)y 2＋2mny ＋n 2－4＝0， Δ＝16(m 2－n 2＋4)＞0，y 1,2＝－2mn ±(2mn )2－4(4＋m 2)(n 2－4)2(4＋m 2)， 所以y 1＋y 22＝－mn 4＋m 2，y 1y 2＝n 2－44＋m 2， 所以x 1＋x 22＝m (y 1＋y 2)＋2n 2＝4n 4＋m 2， 即H ⎝ ⎛⎭⎪⎫4n 4＋m 2，－mn 4＋m 2， 由OH ＝1，得n 2＝(4＋m 2)216＋m 2， 则S △POQ ＝12·OD ·|y 1－y 2|＝12|n ||y 1－y 2|， n 2(y 1－y 2)2＝n 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2]＝12×16×4＋m 2(16＋m 2)2. 设t ＝4＋m 2(t ≥4)， 则4＋m 2(16＋m 2)2＝t t 2＋24t ＋144＝1t ＋144t ＋24≤148， 当且仅当t ＝144t，即t ＝12时取等号，此时S △POQ ＝1，所以△POQ 面积的最大值为1.热点二 定点问题例2 (2018·全国大联考江苏卷)如图，已知A ，B 是椭圆x 24＋y 23＝1的长轴顶点，P ，Q 是椭圆上的两点，且满足k AP ＝2k QB ，其中k AP ，k QB 分别为直线AP ，QB 的斜率．(1)求证：直线AP 和BQ 的交点R 在定直线上；(2)求证：直线PQ 过定点．证明 (1)根据题意，可设直线AP 的方程为y ＝k AP (x －2)，直线BQ 的方程为y ＝k QB (x ＋2)，则直线AP 和BQ 的交点R 的横坐标x 0满足x 0＋2x 0－2＝2，即x 0＝6. 因此直线AP 和BQ 的交点R 在定直线x ＝6上.(2)由(1)，可设点R 的坐标为(6，m )，则直线AP 的方程为y ＝m 4(x －2)，直线BQ 的方程为y ＝m 8(x ＋2)， 联立方程⎩⎨⎧ y ＝m 4(x －2)，x 24＋y 23＝1，得(m 2＋12)x 2－4m 2x ＋4(m 2－12)＝0，设P (x P ，y P )，则根据根与系数的关系，得2×x P ＝4(m 2－12)m 2＋12，即x P ＝2(m 2－12)m 2＋12， 代入直线AP 的方程得，y P ＝－12m m 2＋12， 故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2(m 2－12)m 2＋12，－12m m 2＋12. 联立方程⎩⎨⎧ y ＝m 8(x ＋2)，x 24＋y 23＝1，得(m 2＋48)x 2＋4m 2x ＋4(m 2－48)＝0，设Q (x Q ，y Q ), 则－2×x Q ＝4(m 2－48)m 2＋48，即x Q ＝2(48－m 2)m 2＋48， 代入直线BQ 的方程得，y Q ＝24mm 2＋48， 故Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫2(48－m 2)m 2＋48，24m m 2＋48， 当2(48－m 2)m 2＋48＝2(m 2－12)m 2＋12，即m 2＝24时，直线PQ 与x 轴的交点为T ⎝⎛⎭⎫23，0， 当2(48－m 2)m 2＋48≠2(m 2－12)m 2＋12，即m 2≠24时， 下面证直线PQ 过点T ⎝⎛⎭⎫23，0.k PT －k QT ＝－12mm 2＋12－02(m 2－12)m 2＋12－23－24m m 2＋48－02(48－m 2)m 2＋48－23＝－9m m 2－24－9m 24－m 2＝0， 故直线PQ 过定点T ⎝⎛⎭⎫23，0.思维升华 如果要解决的问题是一个定点问题，我们可以根据特殊情况先找到这个定点，明确解决问题的目标，然后再进行一般性证明．跟踪演练2 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2＋y 2＝4，椭圆C ：x 24＋y 2＝1，A 为椭圆右顶点．过原点O 且异于坐标轴的直线与椭圆C 交于B ，C 两点，直线AB 与圆O 的另一交点为P ，直线PD 与圆O 的另一交点为Q ，其中D ⎝⎛⎭⎫－65，0.设直线AB ，AC 的斜率分别为k 1，k 2.(1)求k 1k 2的值；(2)记直线PQ ，BC 的斜率分别为k PQ ，k BC ，是否存在常数λ，使得k PQ ＝λk BC ？若存在，求λ值；若不存在，说明理由；。
2019高考数学江苏优编增分二轮文档：专题五 解析几何 高考提能 五大技巧简化几何的综合问题 Word版含答案
五大技巧，简化解析几何运算解析几何是通过建立平面直角坐标系，用方程的观点来研究曲线，体现了用代数的方法解决几何问题的优越性．解析几何题目的难度很大程度上体现在运算上，但有时运算量过大，或需繁杂的讨论，这些都会影响解题的速度，甚至会中止解题的过程，达到“望题兴叹”的地步．因此，探索减轻运算量的方法和技巧，合理简化解题过程，优化思维过程就成了突破解析几何问题的关键． 技巧一 利用定义，回归本质例1 (1)已知点F 为抛物线y 2＝－8x 的焦点，O 为原点，点P 是抛物线准线上一动点，A 在抛物线上，且AF ＝4，则P A ＋PO 的最小值是__________． 答案 213解析 如图，可求A ()－2，4，再求A ()－2，4关于抛物线的准线x ＝2的对称点A ′()6，4，因此P A ＋PO ＝P A ′＋PO ，当O ，P ，A ′三点共线时P A ＋PO 取到最小值．即()P A ＋PO min ＝A ′O ＝62＋42＝213.(2)如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是________．答案62解析 由已知，得F 1(－3，0)，F 2(3，0)， 设双曲线C 2的实半轴长为a ， 由椭圆及双曲线的定义和已知，可得⎩⎪⎨⎪⎧AF 1＋AF 2＝4，AF 2－AF 1＝2a ，AF 21＋AF 22＝12，解得a 2＝2，故a ＝ 2.所以双曲线C 2的离心率e ＝32＝62. 跟踪演练1 (1)已知椭圆x 225＋y 216＝1内有两点A (1,3)，B (3,0)，P 为椭圆上一点，则P A ＋PB的最大值为______． 答案 15解析 由椭圆方程可知点B 为椭圆的右焦点，设椭圆的左焦点为B ′，由椭圆的定义可知PB ＝2a －PB ′＝10－PB ′， 则P A ＋PB ＝10＋()P A －PB ′， 很明显，()P A －PB ′max ＝AB ′ ＝()－3－12＋()0－32＝5，据此可得P A ＋PB 的最大值为10＋5＝15.(2)抛物线y 2＝4mx (m ＞0)的焦点为F ，点P 为该抛物线上的动点，若点A (－m,0)，则PFP A 的最小值为______． 答案22解析 设点P 的坐标为(x P ，y P )，由抛物线的定义， 知PF ＝x P ＋m ，又P A 2＝(x P ＋m )2＋y 2P ＝(x P ＋m )2＋4mx P ，则⎝⎛⎭⎫PF P A 2＝(x p ＋m )2(x p ＋m )2＋4mx P＝11＋4mx P (x P ＋m )2≥11＋4mx P (2x P ·m )2＝12(当且仅当x P ＝m 时取等号)， 所以PF P A ≥22，所以PF P A 的最小值为22.技巧二 设而不求，整体代换例2 (1)已知直线l 交椭圆4x 2＋5y 2＝80于M ，N 两点，椭圆与y 轴的正半轴交于B 点，若△BMN 的重心恰好落在椭圆的右焦点上，则直线l 的方程是___________________________． 答案 6x －5y －28＝0解析 由4x 2＋5y 2＝80得x 220＋y 216＝1，∴椭圆上顶点为B (0,4)，右焦点F (2,0)为△BMN 的重心，故线段MN 的中点为C (3，－2)． 直线l 的斜率存在，设为k ， ∵点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)在椭圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧4x 21＋5y 21＝80，4x 22＋5y 22＝80，∴4(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋5(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0， ∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－45·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－45·6－4＝65.∴直线l 的方程为y ＋2＝65(x －3)，即6x －5y －28＝0.(2)设椭圆C ：x 24＋y 23＝1与函数y ＝tan x4的图象相交于A 1，A 2两点，若点P 在椭圆C 上，且直线P A 2的斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线P A 1斜率的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎦⎤38，34解析 由题意，得A 1，A 2两点关于原点对称， 设A 1(x 1，y 1)，A 2(－x 1，－y 1)，P (x 0，y 0)，则x 214＋y 213＝1，x 204＋y 23＝1， 即y 21＝34(4－x 21)，y 20＝34(4－x 20)， 两式相减整理，得y 0＋y 1x 0＋x 1＝－34×x 0－x 1y 0－y 1＝－34×1kP A 1.因为直线P A 2的斜率的取值范围是[－2，－1]， 所以－2≤y 0＋y 1x 0＋x 1≤－1，所以－2≤－34·11PA k ≤－1，解得38≤1PA k ≤34跟踪演练2 (2018·全国大联考江苏卷)已知椭圆M: x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，过其左焦点F (－c,0)的直线交椭圆M 于A ，B 两点，若弦AB 的中点为D (－4,2)，则椭圆M 的方程是________．答案 x 272＋y 236＝1解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由中点坐标公式得x 1＋x 2＝－8，y 1＋y 2＝4.将A ，B 的坐标分别代入M 的方程中得⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y22b 2＝1，两式相减，化简得y 1－y 2x 1－x 2＝2b 2a2，又因为A ，B ，D ，F 四点共线，所以2－0c －4＝y 1－y 2x 1－x 2＝2b 2a2，所以a 2＝b 2(c －4)．由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2(c －4)，c 2a 2＝12，b 2＋c 2＝a 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝72，b 2＝36，c ＝6，所以椭圆M 的方程为x 272＋y 236＝1.技巧三 根与系数的关系，化繁为简例3 已知椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，短轴的两个顶点与F 1，F 2构成面积为2的正方形．(1)求椭圆Γ的方程；(2)直线l 与椭圆Γ在y 轴的右侧交于点P ，Q ，以PQ 为直径的圆经过点F 2，PQ 的垂直平分线交x 轴于A 点，且OA →＝611OF 2→，求直线l 的方程．解 (1)因为椭圆C 的短轴的两个端点和其两个焦点构成正方形，所以b ＝c ， 因为S ＝a 2＝2，所以a ＝2，b ＝c ＝1， 故椭圆Γ的方程为x 22＋y 2＝1.(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，直线l 的斜率存在，设直线l ：y ＝kx ＋m ，显然k ≠0，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2(m 2－1)＝0， 因为x 1,2＝－4km ±8(2k 2－m 2＋1)2(1＋2k 2)所以x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2(m 2－1)1＋2k 2，Δ＝8(2k 2－m 2＋1)>0，(*)y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－2k 21＋2k 2，y 1＋y 2＝kx 1＋m ＋kx 2＋m ＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝2m1＋2k 2，由PF 2→·QF 2→＝0，得(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝0，即x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2＝0，得3m 2－1＋4km ＝0，即k ＝1－3m 24m，PQ 的中点为点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2km2k 2＋1，m 2k 2＋1，所以线段PQ 的中垂线AB 的方程为y －m2k 2＋1＝－1k ⎝⎛⎭⎫x ＋2km 2k 2＋1，令y ＝0，可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－km 2k 2＋1，0，由OA →＝611OF 2→，得－km 2k 2＋1＝611，将k ＝1－3m 24m 代入上式，得3m 4－m 29m 4＋2m 2＋1＝311， 即6m 4－17m 2－3＝0，解得m 2＝3，所以m ＝3，k ＝－233或m ＝－3，k ＝233，经检验满足(*)式，所以直线PQ 的方程为 2x ＋3y －3＝0或2x －3y －3＝0.跟踪演练3 (2018·连云港期末)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线与抛物线交于A, B 两点，若F A →＝2BF →，则直线AB 的斜率为________． 答案 ±2 2解析 当直线AB 的斜率不存在时，不满足题意．∵抛物线C 的焦点F (1,0)， 设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，联立⎩⎨⎧y ＝k ()x －1，y 2＝4x ，可得k 2x 2－2(2＋k 2)x ＋k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1,2＝2(2＋k 2)±4(2＋k 2)2－4k 42k 2，则x 1＋x 2＝2()2＋k 2k 2，x 1·x 2＝1，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)＝4k，①∵F A →＝(x 1－1，y 1)，BF →＝(1－x 2，－y 2)，∴F A →＝2BF →，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 1－1＝2(1－x 2)，y 1＝－2y 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3－2x 2，y 1＝－2y 2，②①②联立可得，x 2＝k 2－4k 2，y 2＝－4k ，代入抛物线方程y 2＝4x 可得k 2＝8， 故 k ＝±2 2.技巧四 平几助力，事半功倍例4 (1)已知直线y ＝kx ＋1(k ≠0)交抛物线x 2＝4y 于E ，F 两点，以EF 为直径的圆被x 轴截得的弦长为27，则k ＝________. 答案 ±1解析 直线y ＝kx ＋1()k ≠0恒过定点()0，1， 则EF ＝y E ＋y F ＋p ，圆心到x 轴的距离为d ＝y E ＋y F 2，圆的半径为r ＝EF2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，消去x 得，y 2－2()1＋2k 2y ＋1＝0，则y E ＋y F ＝2()1＋2k 2，所以根据垂径定理有⎝⎛⎭⎫EF 22＝⎝⎛⎭⎫y E ＋y F 22＋()72， 代入计算得k ＝±1.(2)已知P 是抛物线y 2＝4x 上的动点，点Q 在圆C ：()x ＋32＋()y －32＝1上，点R 是点P 在y 轴上的射影，则PQ ＋PR 的最小值是________． 答案 3解析 根据抛物线的定义，可知PR ＝PF －1，而PQ 的最小值是PC －1， 所以PQ ＋PR 的最小值就是PF ＋PC －2的最小值，当C ，P ，F 三点共线时，PF ＋FC 最小，最小值是CF ＝(－3－1)2＋(3－0)2＝5 ， 所以PQ ＋PR 的最小值是3.跟踪演练4 已知抛物线y 2＝2px 的焦点F 与双曲线x 27－y 29＝1的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上，且AK ＝2AF ，则△AFK 的面积为___________． 答案 32解析 双曲线x 27－y 29＝1的右焦点为点(4,0)，即为抛物线y 2＝2px 的焦点⎝⎛⎭⎫p 2，0，所以p2＝4，即p ＝8，所以抛物线的方程为y 2＝16x ，其准线为x ＝－4，所以K (－4,0)，过A 作AM 垂直于准线，垂足为M ，则AM ＝AF ，所以AK ＝2AM ，所以∠MAK ＝45°，所以AM ＝MK ＝AF ，从而易知四边形AMKF 为正方形，所以KF ＝AF ，所以△AFK 的面积为12KF 2＝32.技巧五 巧设参数，方便计算例5 (2018·无锡期末)在平面直角坐标系xOy 中，已知点M 是椭圆C ：x 24＋y 2＝1上位于第一象限的点，O 为坐标原点，A ，B 分别为椭圆C 的右顶点和上顶点，则四边形OAMB 的面积的最大值为________． 答案2解析 S 四边形OAMB ＝S △OAB ＋S △AMB ＝12()2＋AB ·d ＝12(2＋5d )，其中d 为点M 到直线AB 的距离，当M 到直线AB 距离最远时S 四边形OAMB 取得最大值，设M (2cos θ，sin θ)，直线AB ：x＋2y －2＝0，所以d ＝||2cos θ＋2sin θ－25＝⎪⎪⎪⎪22sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－25≤22－25，故S 四边形OAMB 的最大值为 2.跟踪演练5 过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点O 是原点，若AF ＝3，则△AOB 的面积为________．答案322解析 设∠AFx ＝θ(0＜θ＜π)及BF ＝m ， ∵AF ＝3，∴点A 到准线l ：x ＝－1的距离为3， ∴2＋3cos θ＝3，∴cos θ＝13，∵m ＝2＋m cos(π－θ)，∴m ＝21＋cos θ＝32，∵cos θ＝13，0＜θ＜π，∴sin θ＝223，∴△AOB 的面积为S ＝ 12×OF ×AB ×sin θ＝ 12×1×⎝⎛⎭⎫3＋32×223＝322.。
(浙江专用)2019高考数学二轮复习 专题四 解析几何 规范答题示例7 解析几何中的探索性问题课件
规范答题示例7
解析几何中的探索性问题
典例7 (15分)已知定点C(－1，0)及椭圆x2＋3y2＝5，过点C的动直线与椭 圆相交于A，B两点．
(1)若线段 AB 中点的横坐标是－12，求直线 AB 的方程； →→
(2)在 x 轴上是否存在点 M，使MA·MB为常数？若存在，求出点 M 的坐标； 若不存在，请说明理由．
(ⅱ)当直线AB与x轴垂直时，
此时点Leabharlann A，B的坐标分别为－1，
23，－1，－
23，
当 m＝－73时，也有M→A·M→B＝49.
综上，在 x 轴上存在定点 M－73，0，使M→A·M→B为常数.
11 分 12 分
14 分 15 分
构建答题模板 第一步 先假定：假设结论成立． 第二步 再推理：以假设结论成立为条件，进行推理求解． 第三步 下结论：若推出合理结果，经验证成立则肯定假设；若推出矛盾则否定 假设． 第四步 再回顾：查看关键点，易错点(特殊情况、隐含条件等)，审视解题规范性.
消去y整理得(3k2＋1)x2＋6k2x＋3k2－5＝0.
3分
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
Δ＝36k4－43k2＋13k2－5>0，
①
则x1＋x2＝－3k62k＋2 1.
②
由线段 AB 中点的横坐标是－12，得x1＋2 x2＝－3k32k＋2 1＝－12，
解得 k＝± 33，适合①.
评分细则 (1)不考虑直线AB斜率不存在的情况扣1分； (2)不验证Δ>0，扣1分； (3)直线AB方程写成斜截式形式同样给分； (4)没有假设存在点M不扣分；
→→ (5)MA·MB没有化简至最后结果扣 1 分，没有最后结论扣 1 分．
(浙江专用)高考数学二轮复习专题四解析几何规范答题示例7解析几何中的探索性问题课件
板块三专题突破核心考点规范答题示例7解析几何中的探索性问题典例7 （15分）已知定点C（-1，0）及椭圆昭+ 3护二5,过点C的动直线与椭相交于4，B两点.（1）若线段中点的横坐标是-求直线的方程;⑵在兀轴上是否存在点M,使M4MB为常数？若存在，求出点M的坐标; 若不存在，请说明理由.审题路线图(1)1 设43 的方程y 二k(x+ 1) (2)设M存在即为M(加，0)待定系数法求写出方程求-＞在为常数的条件下求加规范解答•分步得分解⑴依题意，直线AB的斜率存在，设直线的方程为y二心+1), 将y二k(x + 1)代入兀2 + 3护二5,消去y整理得(3Q + 1)兀2 + 6k2x + 3Q _ 5 二0. 3分设心1，力)，B(X2,乃)，J 二36( - 4(3/ + 1)(3/ — 5)>0, 6k2xz二一亍T1 兀1 + 兀2 3k 1由线段皿中点的横坐标是得一亍二-諸二-》30所以直线AB 的方程为X-為+ 1二0或X +角+ 1 =0. ⑵假设在兀轴上存在点M (加，0),使M4MB 为常数. (i) 当直线AB 与x 轴不垂直时，由⑴知x i+x 2=-遵亍炯2 =等寸|.③ 所以MA ・MB = (%1 - m)(x 2 - m) + 力乃=(兀］一 m)(x 2 - m) + + l)(x 2 + 1) =(k2 + 1)兀M2 + W - m)(Xj + 兀2)+ 以 + m 2.、3 解得k = ± 3 适合①・将③代入，整理得MAMB (6m - 1)以—5 '3/+1 + m 2 6分1 2142m-^\pk + l)-2m-y ? ? 1 6m +14 二3^71 +m " +2加巧-3(3/+i).注意到MA MB是与P无关的常数，7 f f 4从而有6m +14 = 0,解得m-此时MAMB二g. (ii)当直线AB与兀轴垂直时，此时点A, 3的坐标分别为;-1,书｝1,-书｝7 f f 4 11分12分14分当加二―彳时，也有MAMB = g./ 7 ] f f 综上，在x轴上存在定点M-亍，0 ,使为常数.I J /构建答题模板第—步先假定：假设结论成立.第二步再推理：以假设结论成立为条件，进行推理求解.第三步下结论：若推出合理结果，经验证成立则肯定假设；若推出矛盾则否定假设.第四步再回顾：查看关键点,易错点（特殊情况、隐含条件等）,审视解题规范性.评分细则(1)不考虑直线AB斜率不存在的情况扣1分；(2)不验证/>0,扣1分；(3)直线方程写成斜截式形式同样给分；(4)没有假设存在点M不扣分；(5)蔼•倔没有化简至最后结果扣1分，没有最后结论扣1分.椭圆的短半轴长为半径的圆与直线何-眞+ 12二0相切.(1)求椭圆C 的方程;6Z = 4 5・・・"二2帝,c 二 2,跟踪演练7 已知椭圆C ： |1+話二1(说＞0)的离心率为£ 以原点为圆/故椭圆c的方程为話+舊二1-(2)设A(-4, 0),过点7?(3, 0)作与兀轴不重合的直线咬椭圆C于P, 0两点，连接仲，川2分别交直线x二学于M, N两点，若直线MR, 的斜率分别为S 心，试问：心他是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.。
(新人教版)新版高考数学二轮复习 专题四 解析几何 规范答题示例7 解析几何中的探索性问题学案【提分必备
规范答题示例7 解析几何中的探索性问题典例7 (15分)已知定点C (－1,0)及椭圆x 2＋3y 2＝5，过点C 的动直线与椭圆相交于A ，B 两点．(1)若线段AB 中点的横坐标是－12，求直线AB 的方程；(2)在x 轴上是否存在点M ，使MA →·MB →为常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．审题路线图 (1)设AB 的方程y ＝k (x ＋1)→待定系数法求k →写出方程 (2)设M 存在即为M (m ，0)→求MA →·MB →→在MA →·MB →为常数的条件下求m →下结论评分细则 (1)不考虑直线AB 斜率不存在的情况扣1分； (2)不验证Δ>0，扣1分；(3)直线AB 方程写成斜截式形式同样给分； (4)没有假设存在点M 不扣分；(5)MA →·MB →没有化简至最后结果扣1分，没有最后结论扣1分．跟踪演练7 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线7x －5y ＋12＝0相切． (1)求椭圆C 的方程；(2)设A (－4,0)，过点R (3,0)作与x 轴不重合的直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，连接AP ，AQ 分别交直线x ＝163于M ，N 两点，若直线MR ，NR 的斜率分别为k 1，k 2，试问：k 1k 2是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝12，127＋5＝b ，a 2＝b 2＋c 2，∴⎩⎨⎧a ＝4，b ＝23，c ＝2，故椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)设直线PQ 的方程为x ＝my ＋3，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫163，y M ，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫163，y N .由⎩⎪⎨⎪⎧x 216＋y 212＝1，x ＝my ＋3，得(3m 2＋4)y 2＋18my －21＝0， 且Δ＝(18m )2＋84(3m 2＋4)>0， ∴y 1＋y 2＝－18m 3m 2＋4，y 1y 2＝－213m 2＋4.由A ，P ，M 三点共线可知，y M163＋4＝y 1x 1＋4，∴y M ＝28y 13(x 1＋4).同理可得y N ＝28y 23(x 2＋4)，∴k 1k 2＝y M 163－3×y N 163－3＝9y M y N 49＝16y 1y 2(x 1＋4)(x 2＋4)∵(x 1＋4)(x 2＋4)＝(my 1＋7)(my 2＋7) ＝m 2y 1y 2＋7m (y 1＋y 2)＋49 ∴k 1k 2＝16y 1y 2m 2y 1y 2＋7m (y 1＋y 2)＋49＝－127，为定值．。
2019高考数学二轮复习专题五解析几何学案理
专题五 解析几何[全国卷3年考情分析]第一讲 小题考法——直线与圆考点(一) 直线的方程主要考查直线方程、两条直线的位置关系及三个距离公式的应用.[典例感悟][典例] (1)“ab ＝4”是“直线2x ＋ay －1＝0与直线bx ＋2y －2＝0平行”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件(2)过直线l 1：x －2y ＋3＝0与直线l 2：2x ＋3y －8＝0的交点，且到点P (0,4)距离为2的直线方程为( ) A ．y ＝2 B ．4x －3y ＋2＝0 C ．x ＝2D ．y ＝2或4x －3y ＋2＝0[解析] (1)因为两直线平行，所以2×2－ab ＝0，可得ab ＝4，必要性成立，又当a ＝1，b ＝4时，满足ab ＝4，但是两直线重合，充分性不成立，故选C.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3＝0，2x ＋3y －8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.∴l 1与l 2的交点为(1,2)．当所求直线斜率不存在，即直线方程为x ＝1时，显然不满足题意．当所求直线斜率存在时，设该直线方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y ＋2－k ＝0， ∵点P (0,4)到直线的距离为2，∴2＝|－2－k |1＋k 2，∴k ＝0或k ＝43. ∴直线方程为y ＝2或4x －3y ＋2＝0. [答案] (1)C (2)D[方法技巧]直线方程问题的2个关注点(1)求解两条直线平行的问题时，在利用A 1B 2－A 2B 1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的情况．(2)求直线方程时应根据条件选择合适的方程形式，同时要考虑直线斜率不存在的情况．[演练冲关]1．(2018·洛阳模拟)已知直线l 1：x ＋my －1＝0，l 2：nx ＋y －p ＝0，则“m ＋n ＝0”是“l 1⊥l 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C ①若m ＋n ＝0，当m ＝n ＝0时，直线l 1：x －1＝0与直线l 2：y －p ＝0互相垂直；当m ＝－n ≠0时，直线l 1的斜率为－1m ，直线l 2的斜率为－n ，∵－1m ·(－n )＝－1m·m ＝－1，∴l 1⊥l 2.②当l 1⊥l 2时，若m＝0，l 1：x －1＝0，则n ＝0，此时m ＋n ＝0；若m ≠0，则－1m·(－n )＝－1，即－n ＝m ，有m ＋n ＝0.故选C.2．若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2间的距离为( ) A. 2B.823C. 3D.833解析：选B 由l 1∥l 2，得(a －2)a ＝1×3，且a ×2a ≠3×6，解得a ＝－1，所以l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋23＝0，所以l 1与l 2间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6－2312＋－2＝823. 3．直线x ＋2y －3＝0与直线ax ＋4y ＋b ＝0关于点A (1,0)对称，则b ＝________.解析：因为两直线关于点A (1,0)对称，在直线x ＋2y －3＝0上取两点M (1,1)，N (5，－1)，M ，N 关于点A (1,0)对称的点分别为M ′(1，－1)，N ′(－3,1)，则M ′(1，－1)，N ′(－3,1)都在直线ax ＋4y ＋b ＝0上，即⎩⎪⎨⎪⎧a －4＋b ＝0，－3a ＋4＋b ＝0，解得a ＝b ＝2.答案：2考点(二) 圆 的 方 程主要考查圆的方程的求法，常涉及弦长公式、直线与圆相切等问题. [典例] (1)已知三点A (1,0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A.53 B.213C.253D.43(2)已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程为____________________．[解析] (1)设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，∴⎩⎨⎧1＋D ＋F ＝0，3＋3E ＋F ＝0，7＋2D ＋3E ＋F ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝－433，F ＝1，∴△ABC 外接圆的圆心为⎝⎛⎭⎪⎫1，233，故△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为1＋⎝⎛⎭⎪⎫2332＝213. (2)易知直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点为(－1,0)， 即圆C 的圆心坐标为(－1,0)． 因为直线x ＋y ＋3＝0与圆C 相切，所以圆心(－1,0)到直线x ＋y ＋3＝0的距离等于半径r ，即r ＝|－1＋0＋3|2＝2，所以圆C 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2. [答案] (1)B (2)(x ＋1)2＋y 2＝2[方法技巧]圆的方程的2种求法[演练冲关]1．(2018·长沙模拟)与圆(x －2)2＋y 2＝4关于直线y ＝33x 对称的圆的方程是( ) A ．(x －3)2＋(y －1)2＝4 B ．(x －2)2＋(y －2)2＝4 C ．x 2＋(y －2)2＝4 D ．(x －1)2＋(y －3)2＝4解析：选D 圆与圆关于直线对称，则圆的半径相同，只需圆心关于直线对称即可．由题意知已知圆的圆心坐标为(2,0)，半径为2，设所求圆的圆心坐标为(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧b －0a －2×33＝－1，b ＋02＝33×a ＋22，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3，所以所求圆的圆心坐标为(1，3)，半径为2. 从而所求圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4.2．(2018·广州模拟)若一个圆的圆心是抛物线x 2＝4y 的焦点，且该圆与直线y ＝x ＋3相切，则该圆的标准方程是________________．解析：抛物线x 2＝4y 的焦点为(0,1)，即圆心为(0,1)，设该圆的标准方程是x 2＋(y －1)2＝r 2(r ＞0)，因为该圆与直线y ＝x ＋3相切，所以r ＝|－1＋3|2＝2，故该圆的标准方程是x 2＋(y －1)2＝2.答案：x 2＋(y －1)2＝23．(2018·惠州调研)圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________________．解析：设圆心坐标为(a ，b )，半径为r .由已知⎩⎪⎨⎪⎧a －2b ＝0，b >0，又圆心(a ，b )到y 轴、x 轴的距离分别为|a |，|b |，所以|a |＝r ，|b |2＋3＝r 2.综上，解得a ＝2，b ＝1，r ＝2，所以圆心坐标为(2,1)，圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.答案：(x －2)2＋(y －1)2＝44．已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________． 解析：由二元二次方程表示圆的条件可得a 2＝a ＋2≠0，解得a ＝2或－1.当a ＝2时，方程为4x 2＋4y2＋4x ＋8y ＋10＝0，即x 2＋y 2＋x ＋2y ＋52＝0，配方得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y ＋1)2＝－54＜0，不表示圆；当a ＝－1时，方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，配方得(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，则圆心坐标为(－2，－4)，半径是5.答案：(－2，－4) 5考点(三) 直线与圆的位置关系主要考查直线与圆位置关系的判断、根据直线与圆的位置关系解决弦长问题、参数问题或与圆有关的最值范围问题.[典例感悟][典例] (1)(2019届高三·齐鲁名校联考)已知圆x 2－2x ＋y 2－2my ＋2m －1＝0，当圆的面积最小时，直线y ＝x ＋b 与圆相切，则b ＝( )A ．±1B ．1C ．± 2D. 2(2)(2018·全国卷Ⅲ)直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是( )A ．[2,6]B ．[4,8]C ．[2，32]D ．[22，32](3)已知点P (x ，y )在圆x 2＋(y －1)2＝1上运动，则y －1x －2的最大值与最小值分别为________． [解析] (1)由题意可知，圆x 2－2x ＋y 2－2my ＋2m －1＝0化为标准形式为(x －1)2＋(y －m )2＝m 2－2m ＋2，圆心为(1，m )，半径r ＝m 2－2m ＋2，当圆的面积最小时，半径r ＝1，此时m ＝1，即圆心为(1,1)，由直线和圆相切的条件可知|b |2＝1，解得b ＝± 2.故选C.(2)设圆(x －2)2＋y 2＝2的圆心为C ，半径为r ，点P 到直线x ＋y ＋2＝0的距离为d ， 则圆心C (2,0)，r ＝2，所以圆心C 到直线x ＋y ＋2＝0的距离为|2＋2|2＝22，可得d max ＝22＋r ＝32，d min ＝22－r ＝ 2. 由已知条件可得|AB |＝22，所以△ABP 面积的最大值为12|AB |·d max ＝6，△ABP 面积的最小值为12|AB |·d min ＝2.综上，△ABP 面积的取值范围是[2,6]． (3)设y －1x －2＝k ，则k 表示点P (x ，y )与点A (2,1)连线的斜率．当直线PA 与圆相切时，k 取得最大值与最小值．设过(2,1)的直线方程为y －1＝k (x －2)，即kx －y ＋1－2k ＝0.由|2k |k 2＋1＝1，解得k ＝±33. [答案] (1)C (2)A (3)33，－33[方法技巧]1．直线(圆)与圆位置关系问题的求解思路(1)研究直线与圆的位置关系主要通过将圆心到直线的距离同半径做比较实现，两圆位置关系的判断依据是两圆心距离与两半径差与和的大小关系．(2)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式．过圆外一点求解切线段长的问题，可先求出圆心到圆外点的距离，再结合半径利用勾股定理计算．2．与圆有关最值问题的求解策略处理与圆有关的最值问题时，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，利用转化思想和数形结合思想求解．与圆有关的最值问题，常见类型及解题思路如下：[演练冲关]1．(2018·宁夏银川九中模拟)直线l ：kx ＋y ＋4＝0(k ∈R )是圆C ：x 2＋y 2＋4x －4y ＋6＝0的一条对称轴，过点A (0，k )作斜率为1的直线m ，则直线m 被圆C 所截得的弦长为( )A.22B. 2C. 6D ．2 6解析：选C 圆C ：x 2＋y 2＋4x －4y ＋6＝0，即(x ＋2)2＋(y －2)2＝2，表示以C (－2,2)为圆心，2为半径的圆．由题意可得，直线l ：kx ＋y ＋4＝0经过圆心C (－2,2)，所以－2k ＋2＋4＝0，解得k ＝3，所以点A (0,3)，故直线m 的方程为y ＝x ＋3，即x －y ＋3＝0，则圆心C 到直线m 的距离d ＝|－2－2＋3|2＝12，所以直线m 被圆C 所截得的弦长为2×2－12＝ 6.故选C.2．(2018·江苏苏州二模)已知直线l 1：x －2y ＝0的倾斜角为α，倾斜角为2α的直线l 2与圆M ：x 2＋y 2＋2x －2y ＋F ＝0交于A ，C 两点，其中A (－1,0)，B ，D 在圆M 上，且位于直线l 2的两侧，则四边形ABCD的面积的最大值是________．解析：由题意知，tan α＝12，则tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝43.直线l 2过点A (－1,0)，则l 2：y ＝43(x ＋1)，即4x －3y ＋4＝0，又A 是圆M 上的点，则(－1)2＋2×(－1)＋F ＝0，得F ＝1， 圆M 的标准方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆心M (－1,1)， 其到l 2的距离d ＝|－4－3＋4|5＝35.则|AC |＝21－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝85. 因为B ，D 两点在圆上，且位于直线l2的两侧，则四边形ABCD 的面积可以看成是△ABC 和△ACD 的面积之和，如图所示，当BD 垂直平分AC (即BD 为直径)时，两三角形的面积之和最大，即四边形ABCD 的面积最大，此时AC ，BD 相交于点E ，则最大面积S＝12×|AC |×|BE |＋12×|AC |×|DE |＝12×|AC |×|BD |＝12×85×2＝85. 答案：853．(2018·广西桂林中学5月模拟)已知从圆C ：(x ＋1)2＋(y －2)2＝2外一点P (x 1，y 1)向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM |＝|PO |，则当|PM |取最小值时点P 的坐标为____________．r ＝ 2.因为解析：如图所示，连接CM ，CP .由题意知圆心C (－1,2)，半径|PM |＝|PO |，所以|PO |2＋r 2＝|PC |2，所以x 21＋y 21＋2＝(x 1＋1)2＋(y 1－2)2，即2x 1－4y 1＋3＝0.要使|PM |的值最小，只需|PO |的值最小即可．当PO 垂直于直线2x －4y ＋3＝0时，即PO 所在直线的方程为2x ＋y ＝0时，|PM |的值最小，此时点P为两直线的交点，则⎩⎪⎨⎪⎧2x －4y ＋3＝0，2x ＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－310，y ＝35，故当|PM |取最小值时点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－310，35.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－310，35[必备知能·自主补缺] 依据学情课下看，针对自身补缺漏；临近高考再浏览，考前温故熟主干[主干知识要记牢]1．直线方程的五种形式2．点到直线的距离及两平行直线间的距离(1)点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离为d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.(2)两平行线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.3．圆的方程(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.(2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)．(3)圆的直径式方程：(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0(圆的直径的两端点是A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2))． 4．直线与圆位置关系的判定方法(1)代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况)：Δ>0⇔相交，Δ<0⇔相离，Δ＝0⇔相切． (2)几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小)：设圆心到直线的距离为d ，则d <r ⇔相交，d >r ⇔相离，d ＝r ⇔相切．5．圆与圆的位置关系已知两圆的圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，则 (1)当|O 1O 2|＞r 1＋r 2时，两圆外离； (2)当|O 1O 2|＝r 1＋r 2时，两圆外切；(3)当|r 1－r 2|＜|O 1O 2|＜r 1＋r 2时，两圆相交； (4)当|O 1O 2|＝|r 1－r 2|时，两圆内切； (5)当0≤|O 1O 2|＜|r 1－r 2|时，两圆内含．[二级结论要用好]1．直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的位置关系 (1)平行⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0； (2)重合⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1＝0； (3)相交⇔A 1B 2－A 2B 1≠0； (4)垂直⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.[针对练1] 若直线l 1：mx ＋y ＋8＝0与l 2：4x ＋(m －5)y ＋2m ＝0垂直，则m ＝________. 解析：∵l 1⊥l 2，∴4m ＋(m －5)＝0，∴m ＝1.答案：12．若点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝r 2上，则圆过该点的切线方程为：x 0x ＋y 0y ＝r 2. [针对练2] 过点(1，3)且与圆x 2＋y 2＝4相切的直线l 的方程为____________． 解析：∵点(1，3)在圆x 2＋y 2＝4上， ∴切线方程为x ＋3y ＝4，即x ＋3y －4＝0. 答案：x ＋3y －4＝0[易错易混要明了]1．易忽视直线方程几种形式的限制条件，如根据直线在两坐标轴上的截距相等设方程时，未讨论截距为0的情况，直接设为x a ＋y a＝1；再如，未讨论斜率不存在的情况直接将过定点P (x 0，y 0)的直线设为y －y 0＝k (x －x 0)等．[针对练3] 已知直线过点P (1,5)，且在两坐标轴上的截距相等，则此直线的方程为__________________．解析：当截距为0时，直线方程为5x －y ＝0；当截距不为0时，设直线方程为x a ＋y a＝1，代入P (1,5)，得a ＝6， ∴直线方程为x ＋y －6＝0. 答案：5x －y ＝0或x ＋y －6＝02．讨论两条直线的位置关系时，易忽视系数等于零时的讨论导致漏解，如两条直线垂直，若一条直线的斜率不存在，则另一条直线斜率为0.如果利用直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的充要条件A 1A 2＋B 1B 2＝0，就可以避免讨论．[针对练4] 已知直线l 1：(t ＋2)x ＋(1－t )y ＝1与l 2：(t －1)x ＋(2t ＋3)y ＋2＝0互相垂直，则t 的值为________．解析：∵l 1⊥l 2，∴(t ＋2)(t －1)＋(1－t )(2t ＋3)＝0，解得t ＝1或t ＝－1. 答案：－1或13．求解两条平行线之间的距离时，易忽视两直线系数不相等，而直接代入公式|C 1－C 2|A 2＋B 2，导致错解．[针对练5] 两平行直线3x ＋4y －5＝0与6x ＋8y ＋5＝0间的距离为________． 解析：把直线6x ＋8y ＋5＝0化为3x ＋4y ＋52＝0，故两平行线间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－5－5232＋42＝32.答案：324．易误认为两圆相切即为两圆外切，忽视两圆内切的情况导致漏解．[针对练6] 已知两圆x 2＋y 2－2x －6y －1＝0，x 2＋y 2－10x －12y ＋m ＝0相切，则m ＝________. 解析：由x 2＋y 2－2x －6y －1＝0，得(x －1)2＋(y －3)2＝11，由x 2＋y 2－10x －12y ＋m ＝0，得(x －5)2＋(y－6)2＝61－m .当两圆外切时，有－2＋－2＝61－m ＋11，解得m ＝25＋1011；当两圆内切时，有－2＋－2＝||61－m －11，解得m ＝25－1011.答案：25±1011[课时跟踪检测] A 级——12＋4提速练一、选择题1．已知直线l 1：x ＋2ay －1＝0，l 2：(a ＋1)x －ay ＝0，若l 1∥l 2，则实数a 的值为( ) A ．－32B ．0C ．－32或0D ．2解析：选C 由l 1∥l 2得1×(－a )＝2a (a ＋1)，即2a 2＋3a ＝0，解得a ＝0或a ＝－32.经检验，当a ＝0或a ＝－32时均有l 1∥l 2，故选C.2．(2018·贵阳模拟)经过三点A (－1,0)，B (3,0)，C (1,2)的圆的面积S ＝( ) A ．π B ．2π C ．3πD ．4π解析：选D 法一：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，将A (－1,0)，B (3,0)，C (1,2)的坐标代入圆的方程可得⎩⎪⎨⎪⎧1－D ＋F ＝0，9＋3D ＋F ＝0，1＋4＋D ＋2E ＋F ＝0，解得D ＝－2，E ＝0，F ＝－3，所以圆的方程为x 2＋y2－2x －3＝0，即(x －1)2＋y 2＝4，所以圆的半径r ＝2，所以S ＝4π.故选D.法二：根据A ，B 两点的坐标特征可知圆心在直线x ＝1上，设圆心坐标为(1，a )，则r ＝4＋a 2＝|a －2|，所以a ＝0，r ＝2，所以S ＝4π，故选D.3．已知圆(x －1)2＋y 2＝1被直线x －3y ＝0分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为( ) A ．1∶2 B ．1∶3 C ．1∶4D ．1∶5解析：选A (x －1)2＋y 2＝1的圆心为(1,0)，半径为1.圆心到直线的距离d ＝11＋3＝12，所以较短弧所对的圆心角为2π3，较长弧所对的圆心角为4π3，故两弧长之比为1∶2，故选A.4．(2018·山东临沂模拟)已知直线3x ＋ay ＝0(a >0)被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则a 的值为( )A. 2B. 3C ．2 2D ．2 3解析：选B 由已知条件可知，圆的半径为2，又直线被圆所截得的弦长为2，故圆心到直线的距离为3，即69＋a2＝3，得a ＝ 3.5．(2018·郑州模拟)已知圆(x －a )2＋y 2＝1与直线y ＝x 相切于第三象限，则a 的值是( ) A. 2 B ．－ 2 C ．± 2D ．－2解析：选B 依题意得，圆心(a,0)到直线x －y ＝0的距离等于半径，即有|a |2＝1，|a |＝ 2.又切点位于第三象限，结合图形(图略)可知，a ＝－2，故选B.6．(2018·山东济宁模拟)已知圆C 过点A (2,4)，B (4,2)，且圆心C 在直线x ＋y ＝4上，若直线x ＋2y －t ＝0与圆C 相切，则t 的值为( )A ．－6±2 5B ．6±2 5C ．25±6D ．6±4 5解析：选B 因为圆C 过点A (2,4)，B (4,2)，所以圆心C 在线段AB 的垂直平分线y ＝x 上，又圆心C 在直线x ＋y ＝4上，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x ＋y ＝4，解得x ＝y ＝2，即圆心C (2,2)，圆C 的半径r ＝－2＋－2＝2.又直线x ＋2y －t ＝0与圆C 相切，所以|2＋4－t |5＝2，解得t ＝6±2 5.7．若过点A (1,0)的直线l 与圆C ：x 2＋y 2－6x －8y ＋21＝0相交于P ，Q 两点，线段PQ 的中点为M ，l 与直线x ＋2y ＋2＝0的交点为N ，则|AM |·|AN |的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选B 圆C 的方程化成标准方程可得(x －3)2＋(y －4)2＝4，故圆心C (3,4)，半径为2，则可设直线l 的方程为kx －y －k ＝0(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋2＝0，kx －y －k ＝0，得N ⎝⎛⎭⎪⎫2k －22k ＋1，－3k 2k ＋1，又直线CM 与l 垂直，得直线CM 的方程为y －4＝－1k(x －3)．由⎩⎪⎨⎪⎧y －4＝－1k x －，kx －y －k ＝0，得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋4k ＋3k 2＋1，4k 2＋2k k 2＋1， 则|AM |·|AN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋4k ＋3k 2＋1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋2k k 2＋12·⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －22k ＋1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k 2k ＋12＝2|2k ＋1|1＋k 2×1＋k 2×31＋k2|2k ＋1|＝6.故选B.8．(2019届高三·湘东五校联考)圆(x －3)2＋(y －3)2＝9上到直线3x ＋4y －11＝0的距离等于2的点有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选B 圆(x －3)2＋(y －3)2＝9的圆心为(3,3)，半径为3，圆心到直线3x ＋4y －11＝0的距离d ＝|3×3＋4×3－11|32＋42＝2，∴圆上到直线3x ＋4y －11＝0的距离为2的点有2个．故选B. 9．圆x 2＋y 2＝1上的点到直线3x ＋4y －25＝0的距离的最小值为( ) A ．4 B ．3 C ．5D ．6解析：选A 易知圆x 2＋y 2＝1的圆心坐标为(0,0)，半径为1，圆心到直线3x ＋4y －25＝0的距离d ＝|－25|5＝5，所以圆x 2＋y 2＝1上的点到直线3x ＋4y －25＝0的距离的最小值为5－1＝4.10．(2019届高三·西安八校联考)若过点A (3,0)的直线l 与曲线(x －1)2＋y 2＝1有公共点，则直线l 斜率的取值范围为( )A ．(－3，3)B ．[－3， 3 ] C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 解析：选D 数形结合可知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －3)，则圆心(1,0)到直线y ＝k (x －3)的距离应小于等于半径1，即|2k |1＋k2≤1，解得－33≤k ≤33，故选D. 11．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (－1,0)，B (0,1)，则满足|PA |2－|PB |2＝4且在圆x 2＋y 2＝4上的点P 的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C 设P (x ，y )，则由|PA |2－|PB |2＝4，得(x ＋1)2＋y 2－x 2－(y －1)2＝4，所以x ＋y －2＝0.求满足条件的点P 的个数即为求直线与圆的交点个数，圆心到直线的距离d ＝|0＋0－2|2＝2＜2＝r ，所以直线与圆相交，交点个数为2.故满足条件的点P 有2个．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0，－2)，点B (1，－1)，P 为圆x 2＋y 2＝2上一动点，则|PB ||PA |的最大值是( )A ．1B ．3C ．2D. 2解析：选C 设动点P (x ，y )，令|PB ||PA |＝t (t >0)，则－x 2＋－1－y 2－x2＋－2－y2＝t 2，整理得，(1－t 2)x 2＋(1－t 2)y 2－2x ＋(2－4t 2)y ＋2－4t 2＝0，(*)易知当1－t 2≠0时，(*)式表示一个圆，且动点P 在该圆上，又点P 在圆x 2＋y 2＝2上，所以点P 为两圆的公共点，两圆方程相减得两圆公共弦所在直线l 的方程为x －(1－2t 2)y －2＋3t 2＝0，所以圆心(0,0)到直线l 的距离d ＝|－2＋3t 2|1＋－2t22≤2，解得0<t ≤2，所以|PB ||PA |的最大值为2.二、填空题13．(2018·全国卷Ⅰ)直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＋2y －3＝0交于A ，B 两点，则|AB |＝________. 解析：由x 2＋y 2＋2y －3＝0，得x 2＋(y ＋1)2＝4.∴圆心C (0，－1)，半径r ＝2.圆心C (0，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝|1＋1|2＝2，∴|AB |＝2r 2－d 2＝24－2＝2 2. 答案：2 214．如果直线ax ＋2y ＋3a ＝0与直线3x ＋(a －1)y ＝a －7平行，则a ＝________.解析：由直线ax ＋2y ＋3a ＝0与直线3x ＋(a －1)y ＋7－a ＝0平行，可得⎩⎪⎨⎪⎧aa －－2×3＝0，a －a －3×3a ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3或a ＝－2，a ≠0且a ≠－2，故a ＝3.答案：315．过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝4交于A ，B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l的方程为____________________．解析：易知当CM ⊥AB 时，∠ACB 最小，直线CM 的斜率为k CM ＝1－012－1＝－2，从而直线l 的斜率为k l ＝－1k CM ＝12，其方程为y －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即2x －4y ＋3＝0. 答案：2x －4y ＋3＝016．(2018·南宁、柳州模拟)过点(2，0)作直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于________．解析：令P (2，0)，如图，易知|OA |＝|OB |＝1，所以S △AOB ＝12|OA |·|OB |·sin∠AOB ＝12sin ∠AOB ≤12，当∠AOB ＝90°时，△AOB 的面积取得最大值，此时过点O 作OH ⊥AB 于点H ，则|OH |＝22，于是sin ∠OPH ＝|OH ||OP |＝222＝12，易知∠OPH 为锐角，所以∠OPH ＝30°，则直线AB 的倾斜角为150°，故直线AB 的斜率为tan 150°＝－33. 答案：－33B 级——难度小题强化练1．(2018·重庆模拟)已知圆C ：(x －2)2＋y 2＝2，直线l ：y ＝kx ，其中k 为[－3，3]上的任意一个数，则事件“直线l 与圆C 相离”发生的概率为( )A.33B.34C.14D.3－33解析：选D 当直线l 与圆C 相离时，圆心C 到直线l 的距离d ＝|2k |k 2＋1>2，解得k >1或k <－1，又k∈[－3，3]，所以－3≤k <－1或1<k ≤3，故事件“直线l 与圆C 相离”发生的概率P ＝3－＋－1＋323＝3－33，故选D. 2．(2018·合肥质检)设圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0的圆心为C ，直线l 过(0,3)与圆C 交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则直线l 的方程为( )A ．3x ＋4y －12＝0或4x －3y ＋9＝0B ．3x ＋4y －12＝0或x ＝0C ．4x －3y ＋9＝0或x ＝0D ．3x －4y ＋12＝0或4x ＋3y ＋9＝0解析：选B 圆的方程化为标准形式为(x －1)2＋(y －1)2＝4，圆心C (1,1)，半径r ＝2，当直线l 的斜率不存在时，方程为x ＝0，计算出弦长为23，符合题意；当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为y ＝kx ＋3，由弦长为23可知，圆心到该直线的距离为1，从而有|k ＋2|k 2＋1＝1，解得k ＝－34，此时方程为y ＝－34x ＋3，即3x ＋4y －12＝0.综上，直线l 的方程为x ＝0或3x ＋4y －12＝0，故选B.3．(2018·安徽黄山二模)已知圆O ：x 2＋y 2＝1，点P 为直线x 4＋y2＝1上一动点，过点P 向圆O 引两条切线PA ，PB ，A ，B 为切点，则直线AB 经过定点( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12C.⎝⎛⎭⎪⎫34，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34 解析：选B 因为点P 是直线x 4＋y2＝1上的一动点，所以设P (4－2m ，m )．因为PA ，PB 是圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，所以OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，所以点A ，B 在以OP 为直径的圆C 上，即弦AB 是圆O 和圆C 的公共弦．因为圆心C 的坐标是⎝⎛⎭⎪⎫2－m ，m 2，且半径的平方r 2＝－2m2＋m24，所以圆C 的方程为(x －2＋m )2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －m 22＝－2m 2＋m24，①又x 2＋y 2＝1，②所以②－①得，(2m －4)x －my ＋1＝0，即公共弦AB 所在的直线方程为(2x －y )m ＋(－4x ＋1)＝0，所以由⎩⎪⎨⎪⎧－4x ＋1＝0，2x －y ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14，y ＝12，所以直线AB 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12.故选B.4.(2018·南昌第一次模拟)如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝2x ＋1与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则cos ∠AOB ＝( )A.510 B ．－510C.910D ．－910解析：选D 法一：因为圆x 2＋y 2＝4的圆心为O (0,0)，半径为2，所以圆心O 到直线y ＝2x ＋1的距离d ＝|2×0－0＋1|22＋－2＝15，所以弦长|AB |＝222－⎝ ⎛⎭⎪⎫152＝2195.在△AOB 中，由余弦定理得cos ∠AOB ＝|OA |2＋|OB |2－|AB |22|OA |·|OB |＝4＋4－4×1952×2×2＝－910.法二：取AB 的中点D ，连接OD (图略)，则OD ⊥AB ，且∠AOB ＝2∠AOD ，又圆心到直线的距离d ＝|2×0－0＋1|22＋－2＝15，即|OD |＝15，所以cos ∠AOD ＝|OD ||OA |＝125，故cos ∠AOB ＝2cos 2∠AOD －1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1252－1＝－910. 5．已知圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0上存在两点关于直线l ：x ＋my ＋1＝0对称，经过点M (m ，m )作圆C的切线，切点为P ，则|MP |＝________.解析：圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0的圆心坐标为C (1,2)，半径r ＝2，因为圆上存在两点关于直线l 对称，所以直线l ：x ＋my ＋1＝0过点(1,2)，所以1＋2m ＋1＝0，得m ＝－1，所以M (－1，－1)，|MC |2＝(1＋1)2＋(2＋1)2＝13，r 2＝4，所以|MP |＝13－4＝3.答案：36．(2019届高三·湘中名校联考)已知m >0，n >0，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是____________．解析：因为m >0，n >0，直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，所以圆心C (1,1)到直线的距离d ＝|m ＋1＋n ＋1－2|m ＋2＋n ＋2＝1，即|m ＋n |＝m ＋2＋n ＋2，两边平方并整理得m ＋n＋1＝mn ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22，即(m ＋n )2－4(m ＋n )－4≥0，解得m ＋n ≥2＋22，所以m ＋n 的取值范围为[2＋22，＋∞)．答案：[2＋22，＋∞)第二讲 小题考法——圆锥曲线的方程与性质[典例感悟][典例] (1)(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( )A.x 28－y 210＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 25－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 (2)(2018·重庆模拟)已知点F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，P 是该抛物线上任意一点，M (5,3)，则|PF |＋|PM |的最小值是( )A ．6B ．5C ．4D ．3(3)(2018·湖北十堰十三中质检)一个椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆的方程为( )A.x 28＋y 26＝1B.x 216＋y 26＝1 C.x 24＋y 22＝1 D.x 28＋y 24＝1 [解析] (1)根据双曲线C 的渐近线方程为y ＝52x ，可知b a ＝52.①又椭圆x212＋y23＝1的焦点坐标为(3,0)和(－3,0)，所以a 2＋b 2＝9.②根据①②可知a 2＝4，b 2＝5， 所以C 的方程为x 24－y 25＝1.(2)由题意知，抛物线的准线l 的方程为x ＝－1，过点P 作PE ⊥l 于点E ，由抛物线的定义，得|PE |＝|PF |，易知当P ，E ，M 三点在同一条直线上时，|PF |＋|PM |取得最小值，即(|PF |＋|PM |)min ＝5－(－1)＝6，故选A.(3)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由点P (2，3)在椭圆上，知4a 2＋3b 2＝1.又|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|，即2a ＝2×2c ，则c a ＝12.又c 2＝a 2－b 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋3b 2＝1，c 2＝a 2－b 2，c a ＝12，得a 2＝8，b 2＝6，故椭圆的方程为x 28＋y 26＝1.[答案] (1)B (2)A (3)A[方法技巧]求解圆锥曲线标准方程的思路方法(1)定型，即确定圆锥曲线的类型、焦点位置，从而设出标准方程．(2)计算，即利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2或p .另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为y 2＝2px 或x 2＝2py (p ≠0)，椭圆常设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0)，双曲线常设为mx 2－ny 2＝1(mn >0)．[演练冲关]1.(2018·合肥一模)如图，椭圆x 2a 2＋y 24＝1(a >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于M ，N 两点，交y 轴于点H .若F 1，H 是线段MN 的三等分点，则△F 2MN的周长为( )A ．20B ．10C ．2 5D ．4 5解析：选D 由F 1，H 是线段MN 的三等分点，得H 是F 1N 的中点，又F 1(－c,0)，∴点N 的横坐标为c ，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝c ，x 2a 2＋y24＝1，得N ⎝⎛⎭⎪⎫c ，4a ，∴H ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a ，M ⎝⎛⎭⎪⎫－2c ，－2a .把点M 的坐标代入椭圆方程得4c 2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 24＝1，化简得c 2＝a 2－14，又c 2＝a 2－4，∴a 2－14＝a 2－4，解得a 2＝5，∴a ＝ 5.由椭圆的定义知|NF 2|＋|NF 1|＝|MF 2|＋|MF 1|＝2a ，∴△F 2MN 的周长为|NF 2|＋|MF 2|＋|MN |＝|NF 2|＋|MF 2|＋|NF 1|＋|MF 1|＝4a ＝45，故选D.2．(2018·河北五个一名校联考)如果点P 1，P 2，P 3，…，P 10是抛物线y 2＝2x 上的点，它们的横坐标依次为x 1，x 2，x 3，…，x 10，F 是抛物线的焦点，若x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 10＝5，则|P 1F |＋|P 2F |＋|P 3F |＋…＋|P 10F |＝________.解析：由抛物线的定义可知，抛物线y 2＝2px (p >0)上的点P (x 0，y 0)到焦点F 的距离|PF |＝x 0＋p2，在y2＝2x 中，p ＝1，所以|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P 10F |＝x 1＋x 2＋…＋x 10＋5p ＝10.答案：103.如图，F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 224＝1(a >0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线交于点A ，B ，若△ABF 2为等边三角形，则双曲线的标准方程为________________，△BF 1F 2的面积为________．解析：由|AF 1|－|AF 2|＝|BF 1|＝2a ，|BF 2|－|BF 1|＝2a ，得|BF 2|＝4a ，在△AF 1F 2中，|AF 1|＝6a ，|AF 2|＝4a ，|F 1F 2|＝2c ，∠F 1AF 2＝60°，由余弦定理得4c 2＝36a 2＋16a 2－2×6a ×4a ×12，化简得c ＝7a ，由a 2＋b2＝c 2得，a 2＋24＝7a 2，解得a ＝2，则双曲线的方程为x 24－y 224＝1，△BF 1F 2的面积为12|BF 1|·|BF 2|sin ∠F 1BF 2＝12×2a ×4a ×32＝8 3. 答案：x 24－y 224＝1 8 3考点(二) 圆锥曲线的几何性质主要考查椭圆、双曲线的离心率的计算、双曲线渐近线的应用以及抛物线 的有关性质.[典例感悟][典例] (1)(2018·全国卷Ⅱ)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±22x D ．y ＝±32x(2)(2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( ) A.23 B.12 C.13D.14(3)(2018·全国卷Ⅲ)已知点M (－1,1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________.[解析] (1)∵e ＝c a ＝a 2＋b 2a＝3，∴a 2＋b 2＝3a 2，∴b ＝2a . ∴渐近线方程为y ＝±2x .(2)如图，作PB ⊥x 轴于点B .由题意可设|F 1F 2|＝|PF 2|＝2，则c ＝ 1.由∠F 1F 2P ＝120°，可得|PB |＝3，|BF 2|＝1， 故|AB |＝a ＋1＋1＝a ＋2，tan ∠PAB ＝|PB ||AB |＝3a ＋2＝36，解得a ＝4， 所以e ＝c a ＝14.(3)法一：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，∴y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2. 设AB 中点M ′(x 0，y 0)，抛物线的焦点为F ，分别过点A ，B 作准线x ＝－1的垂线，垂足为A ′，B ′， 则|MM ′|＝12|AB |＝12(|AF |＋|BF |)＝12(|AA ′|＋|BB ′|)． ∵M ′(x 0，y 0)为AB 中点， ∴M 为A ′B ′的中点， ∴MM ′平行于x 轴， ∴y 1＋y 2＝2，∴k ＝2.法二：由题意知，抛物线的焦点坐标为F (1,0)， 设直线方程为y ＝k (x －1)， 直线方程与y 2＝4x 联立，消去y ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝1，x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.由M (－1,1)，得AM ―→＝(－1－x 1,1－y 1)， BM ―→＝(－1－x 2,1－y 2)．由∠AMB ＝90°，得AM ―→·BM ―→＝0， ∴(x 1＋1)(x 2＋1)＋(y 1－1)(y 2－1)＝0， ∴x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1＝0.又y 1y 2＝k (x 1－1)·k (x 2－1)＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)，∴1＋2k 2＋4k2＋1＋k 2⎝⎛⎭⎪⎫1－2k 2＋4k2＋1－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋4k 2－2＋1＝0，整理得4k 2－4k＋1＝0，解得k ＝2.[答案] (1)A (2)D (3)2[方法技巧]1．椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的求法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系或不等关系，然后把b 用a ，c 代换，求c a的值．2．双曲线的渐近线的求法及用法(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得． (2)用法：①可得b a 或a b的值；②利用渐近线方程设所求双曲线的方程． 3．抛物线几何性质问题求解策略涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性，还要注意抛物线定义的转化应用．[演练冲关]1．(2018·长郡中学模拟)已知F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，其关于双曲线C 的一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线C 的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2D. 5解析：选C 依题意，设双曲线的渐近线y ＝b a x 的倾斜角为θ，则由双曲线的对称性得3θ＝π，θ＝π3，b a ＝tan π3＝3，双曲线C 的离心率e ＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＝2，选C.2．(2018·福州四校联考)已知抛物线C 的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，直线l 过抛物线C 的焦点F ，且与抛物线的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，且|AB |＝8，M 为抛物线C 的准线上一点，则△ABM 的面积为( )A ．16B ．18C ．24D ．32解析：选A 不妨设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，如图，因为直线l 过抛物线C 的焦点，且与抛物线的对称轴垂直，所以线段AB 为通径，所以2p ＝8，p ＝4，又M 为抛物线C 的准线上一点，所以点M 到直线AB 的距离即焦点到准线的距离，为4，所以△ABM 的面积为12×8×4＝16，故选A.3．(2018·福州模拟)过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点作x 轴的垂线，交C 于A ，B 两点，直线l 过C 的左焦点和上顶点．若以AB 为直径的圆与l 存在公共点，则C 的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，55B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫55，1 C.⎝⎛⎦⎥⎤0，22 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 解析：选A 由题设知，直线l ：x －c ＋yb＝1，即bx －cy ＋bc ＝0，以AB 为直径的圆的圆心为(c,0)，根据题意，将x ＝c 代入椭圆C 的方程，得y ＝±b 2a ，即圆的半径r ＝b 2a .又圆与直线l 有公共点，所以2bc b 2＋c 2≤b 2a，化简得2c ≤b ，平方整理得a 2≥5c 2，所以e ＝c a ≤55.又0<e <1，所以0<e ≤55.故选A.[典例感悟][典例] (1)(2018·开封模拟)过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点F (－c,0)作圆x 2＋y 2＝a 2的切线，切点为E ，延长FE 交抛物线y 2＝4cx 于点P ，若E 为线段FP 的中点，则双曲线的离心率为( )A. 5B.52C.5＋1D.5＋12(2)(2018·洛阳模拟)已知F 是抛物线C 1：y 2＝2px (p >0)的焦点，曲线C 2是以F 为圆心，p2为半径的圆，直线4x －3y －2p ＝0与曲线C 1，C 2从上到下依次相交于点A ，B ，C ，D ，则|AB ||CD |＝( )A ．16B ．4 C.83D.53(3)(2018·南宁模拟)已知椭圆x 2a ＋y 2b＝1(a >b >0)的一条弦所在的直线方程是x －y ＋5＝0，弦的中点坐标是M (－4,1)，则椭圆的离心率是( )A.12B.22C.32D.55[解析] (1)抛物线y 2＝4cx 的焦点F 1(c,0)，准线l ：x ＝－c ，连接PF 1和EO (O 为坐标原点)，如图，则|PF 1|＝2|EO |＝2a ，所以点P 到准线l ：x ＝－c 的距离等于2a ，所以点P 的横坐标为2a －c ，由点P 在抛物线y 2＝4cx 上，得P (2a －c,2ca －c )．连接OP ，则|OP |＝|OF |＝c ，所以(2a －c )2＋[2ca －c ]2＝c 2，解得e ＝c a ＝5＋12，故选D.(2)因为直线4x －3y －2p ＝0过C 1的焦点F (C 2的圆心)， 故|BF |＝|CF |＝p2，所以|AB ||CD |＝|AF |－p2|DF |－p2.由抛物线的定义得|AF |－p 2＝x A ，|DF |－p2＝x D .由⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y －2p ＝0，y 2＝2px 整理得8x 2－17px ＋2p 2＝0，即(8x －p )(x －2p )＝0，可得x A ＝2p ，x D ＝p 8，故|AB ||CD |＝x A x D＝2pp8＝16.故选A. (3)设直线x －y ＋5＝0与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，因为AB 的中点M (－4,1)，所以x 1＋x 2＝－8，y 1＋y 2＝2.易知直线AB 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，两式相减得，x 1＋x 2x 1－x 2a 2＋y 1＋y 2y 1－y 2b 2＝0，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2，所以b 2a 2＝14，于是椭圆的离心率e＝c a＝1－b 2a2＝32，故选C. [答案] (1)D (2)A (3)C[方法技巧]处理圆锥曲线与圆相结合问题的注意点(1)注意圆心、半径和平面几何知识的应用，如直径所对的圆周角为直角，构成了垂直关系；弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形等．(2)注意圆与特殊线的位置关系，如圆的直径与椭圆长轴(短轴)，与双曲线的实轴(虚轴)的关系；圆与过定点的直线、双曲线的渐近线、抛物线的准线的位置关系等．[演练冲关]1．已知椭圆的短轴长为8，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为椭圆上任意一点，△PF 1F 2的内切圆面积的最大值为9π4，则椭圆的离心率为( )A.45B.22C.35D.223解析：选C 不妨设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则2b ＝8，即b ＝4，设△PF 1F 2内切圆的半径为r ，则有S △PF 1F 2＝12(2a ＋2c )r ＝12×2c |y P |，即r ＝c |y P |a ＋c ，当点P 运动到椭圆短轴的端点时，r 有最大值32，此时|y P |＝b ，于是有4c a ＋c ＝32，即3a ＝5c ，故椭圆的离心率e ＝c a ＝35. 2．(2018·全国卷Ⅲ)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，O 是坐标原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若|PF 1|＝6|OP |，则C 的离心率为( )A. 5 B ．2 C. 3D. 2解析：选C 法一：不妨设一条渐近线的方程为y ＝b ax ， 则F 2到y ＝b ax 的距离d ＝|bc |a 2＋b 2＝b .在Rt △F 2PO 中，|F 2O |＝c ， 所以|PO |＝a ，所以|PF 1|＝6a ，又|F 1O |＝c ，所以在△F 1PO 与Rt △F 2PO 中， 根据余弦定理得cos ∠POF 1＝a 2＋c 2－6a22ac＝－cos ∠POF 2＝－a c，即3a 2＋c 2－(6a )2＝0，得3a 2＝c 2，所以e ＝c a＝ 3.法二：如图，过点F 1向OP 的反向延长线作垂线，垂足为P ′，连接P ′F 2，由题意可知，四边形PF 1P ′F 2为平行四边形，且△PP ′F 2是直角三角形．因为|F 2P |＝b ，|F 2O |＝c ，所以|OP |＝a .又|PF 1|＝6a ＝|F 2P ′|，|PP ′|＝2a ， 所以|F 2P |＝2a ＝b ，所以c ＝a 2＋b 2＝3a ， 所以e ＝c a＝ 3.3．(2018·贵阳模拟)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F ，且倾斜角为60°的直线交抛物线于A ，B 两点，若|AF |>|BF |，且|AF |＝2，则p ＝________.解析：过点A ，B 向抛物线的准线x ＝－p2作垂线，垂足分别为C ，D ，过点B 向AC 作垂线，垂足为E ，∵A ，B 两点在抛物线上，∴|AC |＝|AF |，|BD |＝|BF |.∵BE ⊥AC ，∴|AE |＝|AF |－|BF |，∵直线AB 的倾斜角为60°，∴在Rt △ABE 中，2|AE |＝|AB |＝|AF |＋|BF |， 即2(|AF |－|BF |)＝|AF |＋|BF |，∴|AF |＝3|BF |. ∵|AF |＝2，∴|BF |＝23，∴|AB |＝|AF |＋|BF |＝83.设直线AB 的方程为y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，代入y 2＝2px ，得3x 2－5px ＋3p 24＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝53p ，∵|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝83，∴p ＝1.答案：1[必备知能·自主补缺] 依据学情课下看，针对自身补缺漏；临近高考再浏览，考前温故熟主干[主干知识要记牢]圆锥曲线的定义、标准方程和性质[二级结论要用好]1．椭圆焦点三角形的3个结论设椭圆方程是x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)，点P 的坐标是(x 0，y 0)．(1)三角形的三个边长是|PF 1|＝a ＋ex 0，|PF 2|＝a －ex 0，|F 1F 2|＝2c ，e 为椭圆的离心率． (2)如果△PF 1F 2中∠F 1PF 2＝α，则这个三角形的面积S △PF 1F 2＝c |y 0|＝b 2tan α2.(3)椭圆的离心率e ＝sin ∠F 1PF 2sin ∠F 1F 2P ＋sin ∠F 2F 1P .2．双曲线焦点三角形的2个结论P (x 0，y 0)为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上的点，△PF 1F 2为焦点三角形．(1)面积公式S ＝c |y 0|＝12r 1r 2sin θ＝b 2tanθ2(其中|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，∠F 1PF 2＝θ)．(2)焦半径若P 在右支上，|PF 1|＝ex 0＋a ，|PF 2|＝ex 0－a ；若P 在左支上，|PF 1|＝－ex 0－a ，|PF 2|＝－ex 0＋a . 3．抛物线y 2＝2px (p >0)焦点弦AB 的4个结论 (1)x A ·x B ＝p 24；(2)y A ·y B ＝－p 2；(3)|AB |＝2psin 2α(α是直线AB 的倾斜角)；(4)|AB |＝x A ＋x B ＋p . 4．圆锥曲线的通径。
高考数学二轮复习专题
高考数学二轮复习专题汇总1专题一：集合、函数、导数与不等式。
此专题函数和导数以及应用导数知识解决函数问题是重点，特别要注重交汇问题的训练。
每年高考中导数所占的比重都非常大，一般情况是在客观题中考查导数的几何意义和导数的计算，属于容易题;二是在解答题中进行综合考查，主要考查用导数研究函数的性质，用函数的单调性证明不等式等，此题具有很高的综合性，并且与思想方法紧密结合。
2专题二：数列、推理与证明。
数列由旧高考中的压轴题变成了新高考中的中档题，主要考查等差等比数列的通项与求和，与不等式的简单综合问题是近年来的热门问题。
3专题三：三角函数、平面向量和解三角形。
平面向量和三角函数的图像与性质、恒等变换是重点。
近几年高考中三角函数内容的难度和比重有所降低，但仍保留一个选择题、一个填空题和一个解答题的题量，难度都不大，但是解三角形的内容应用性较强，将解三角形的知识与实际问题结合起来将是今后命题的一个热点。
平面向量具有几何与代数形式的“双重性”，是一个重要的知识交汇点，它与三角函数、解析几何都可以整合。
4专题四：立体几何。
注重几何体的三视图、空间点线面的关系及空间角的计算，用空间向量解决点线面的问题是重点。
5专题五：解析几何。
直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹方程的探求以及最值范围、定点定值、对称问题是命题的主旋律。
近几年高考中圆锥曲线问题具有两大特色：一是融“综合性、开放性、探索性”为一体;二是向量关系的引入、三角变换的渗透和导数工具的使用。
我们在注重基础的同时，要兼顾直线与圆锥曲线综合问题的强化训练，尤其是推理、运算变形能力的训练。
6专题六：概率与统计、算法与复数。
要求具有较高的阅读理解和分析问题、解决问题的能力。
高考对算法的考查集中在程序框图，主要通过数列求和、求积设计问题。
高考数学二轮复习策略1.加强思维训练，规范答题过程解题一定要非常规范，俗语说：“不怕难题不得分，就怕每题都扣分”，所以大家要形成良好的思维品质和学习习惯，务必将解题过程写得层次分明结构完整。
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规范答题示例7 解析几何中的探索性问题
典例7 (12分)已知定点C (－1,0)及椭圆x 2
＋3y 2
＝5，过点C 的动直线与椭圆相交于A ，B 两点．
(1)若线段AB 中点的横坐标是－1
2
，求直线AB 的方程；
(2)在x 轴上是否存在点M ，使MA →·MB →
为常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
审题路线图 (1)设AB 的方程y ＝k (x ＋1)→待定系数法求k →写出方程 (2)设M 存在即为M (m ，0)→求MA →·MB →→在MA →·MB →
为常数的条件下求m →下结论
评分细则 (1)不考虑直线AB 斜率不存在的情况扣1分； (2)不验证Δ>0，扣1分；
(3)直线AB 方程写成斜截式形式同样给分； (4)没有假设存在点M 不扣分；
(5)MA →·MB →
没有化简至最后结果扣1分，没有最后结论扣1分．
跟踪演练7 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为1
2
，以原点为圆心，椭圆的短半轴长
为半径的圆与直线7x －5y ＋12＝0相切． (1)求椭圆C 的方程；
(2)设A (－4,0)，过点R (3,0)作与x 轴不重合的直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，连接AP ，AQ 分别交直线x ＝16
3于M ，N 两点，若直线MR ，NR 的斜率分别为k 1，k 2，试问：k 1k 2是否为定值？
若是，求出该定值，若不是，请说明理由．
解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧
c a ＝1
2
，12
7＋5＝b ，
a 2
＝b 2
＋c 2
，
∴⎩⎨⎧
a ＝4，
b ＝23，
c ＝2，
故椭圆C 的方程为x 216＋y 2
12＝1.
(2)设直线PQ 的方程为x ＝my ＋3，
P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫16
3，y M ，N ⎝ ⎛⎭
⎪⎫163
，y N .
由⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
16＋y 2
12＝1，
x ＝my ＋3，
得(3m 2
＋4)y 2
＋18my －21＝0， 且Δ＝(18m )2
＋84(3m 2
＋4)>0， ∴y 1＋y 2＝－18m 3m 2＋4，y 1y 2＝－21
3m 2＋4.
由A ，P ，M 三点共线可知，
y M
163
＋4＝
y 1
x 1＋4，
∴y M ＝28y 1
3(x 1＋4).
同理可得y N ＝28y 2
3(x 2＋4)
，
∴k 1k 2＝y M 163－3×y N 163
－3＝9y M y N
49
＝
16y 1y 2
(x 1＋4)(x 2＋4)
∵(x 1＋4)(x 2＋4)＝(my 1＋7)(my 2＋7) ＝m 2
y 1y 2＋7m (y 1＋y 2)＋49 ∴k 1k 2＝16y 1y 2m 2
y 1y 2＋7m (y 1＋y 2)＋49＝－12
7
，为定值．。