数学选修4-4(A)参数方程综合练习1
新北师大版高中数学高中数学选修4-4第二章《参数方程》检测卷(含答案解析)(4)
一、选择题1．点(, )A x y 是曲线2cos 13sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩，（θ为参数）上的任意一点，则2 -x y 的最大值为（ ） AB5C ．3D3+2．若直线l ：y kx =与曲线C ：2cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）有唯一的公共点，则实数k等于（） AB．CD．±3．4sin 4πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭与直线122{12x y =-=（t 为参数）的位置关系是（ ） A ．相切 B ．相离C ．相交且过圆心D ．相交但不过圆心4．在方程sin {cos 2x y θθ==（θ为参数）所表示的曲线上的点是 （ ）A ．(2,7)B ．12(,)33C ．(1,0)D ．11(,)225．曲线C 的参数方程为2x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l的参数方程为12x y t⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，则AB 等于（ ） ABCD6．参数方程2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）和极坐标方程6cos ρθ=-所表示的图形分别是（ ） A ．圆和直线B ．直线和直线C ．椭圆和直线D ．椭圆和圆7．已知点(),P x y 在曲线2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数，且[),2θππ∈）上，则点P 到直线21x ty t =+⎧⎨=--⎩（t 为参数）的距离的取值范围是( )A．⎡⎢⎣⎦ B ．0tan 60x = C．D ．:::2x r r q q q e αα==8．在平面直角坐标系中以原点为极点，以x 轴正方向为极轴建立的极坐标系中，直线:20l y kx ++=与曲线2:cos C ρθ=相交，则k 的取值范围是( )A ．k ∈RB ．34k ≥-C ．34k <-D ．k ∈R 但0k ≠9．把曲线12cos 2sin x C y θθ=⎧⎨=⎩：（θ为参数）上各点的横坐标压缩为原来的14，纵坐标压缩为2C 为 A ．221241x y +=B ．224413y x +=C ．2213y x +=D ．22344x y +=10．直线320{20x tsin y tcos =+=- （t 为参数）的倾斜角是( )A ．20B ．70C ．110D ．16011．若动点(,)x y 在曲线2221(0)4x yb b+=>上变化，则22x y +的最大值为（ ）A ．24(04)42(4)b b b b ⎧+<⎪⎨⎪>⎩B ．24(02)42(4)b b b b ⎧+<<⎪⎨⎪⎩C ．244b +D ．2b12．已知点A 是曲线2213x y +=上任意一点，则点A到直线sin()6πρθ+=的距离的最大值是（ ）A．2BCD．二、填空题13．点(),M x y 为此曲线()2234x y ++=上任意一点，则x y +的最大值是______．14．已知直线l的参数方程为12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），圆C 的参数方程为cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），则圆心C 到直线l 的距离为___________． 15．坐标系与参数方程选做题）直线截曲线（为参数）的弦长为___________ 16．设点(),x y 是曲线C 2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数，且02θπ≤<）上的任意一点，则yx的最大值为________． 17．已知在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程是2sin 4cos 0ρθθ+=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，直线l 的参数方程是1123x t t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（为参数），M （03l 与曲线C 的公共点为P ，Q ，则11PM QM+=_______ 18．直线:30l x y ++=被圆14cos :24sin x C y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）截得的弦长为______.19．曲线4cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩上的点到直线220x y +=的最大距离为__________．20．圆1212x y θθ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）被直线0y =截得的弦长为__________．三、解答题21．已知直线l 过定点()1,1P ，且倾斜角为4π，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的坐标系中，曲线C 的极坐标方程为22cos 3ρρθ=+． （1）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的参数方程：（2）若直线l 与曲线C 相交于不同的两点A 、B ，求AB 及PA PB ⋅的值．22．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为1123x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），椭圆C 的参数方程为cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）（1）将直线l 的参数方程化为极坐标方程；（2）设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.23．在直角坐标系xOy 中，直线l 经过点()3,0P，倾斜角为6π，曲线C的参数方程为2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)写出直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求PA PB +的值．24．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），将曲线C 按伸缩变换公式12x x y y =⎧''⎪⎨=⎪⎩，变换得到曲线E（1）求E 的普通方程；（2）直线l 过点()0,2M -，倾斜角为4π，若直线l 与曲线E 交于,A B 两点，N 为AB 的中点，求OMN 的面积.25．在平面直角坐标系xOy 中，直线1l ：cos ,sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，π02α<<），曲线1C ：2cos 4+2sin x y ββ=⎧⎨=⎩,（β为参数），1l 与1C 相切于点A ，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求1C 的极坐标方程及点A 的极坐标； （2）已知直线2l ：()6R πθρ=∈与圆2C：2cos 20ρθ-+=交于B ，C 两点，记AOB ∆的面积为1S ，2COC ∆的面积为2S ，求1221S S S S +的值. 26．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0απ≤<）.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标中，曲线C ：4cos ρθ=.（1）当4πα=时，求C 与l 的交点的极坐标； （2）直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，线段AB 中点为(1,1)M ，求||AB 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D 解析：D 【分析】利用曲线的参数方程得32co sin -32s x y θθ=+-化简求解即可 【详解】由题()32cos 3sin 23-s x y θθθϕ=+-=++ 故当()cos 1θϕ+=时，2 -x y3+ 故选D 【点睛】本题考查参数方程求最值，考查辅助角公式，是基础题2．D解析：D 【分析】根据题意，将曲线C 的参数方程消去θ，得到曲线C 的普通方程22(2)1x y -+=，可知曲线C 为圆，又知圆C 与直线相切，利用圆心到直线的距离等于半径，求得k 。
2018学年数学人教A版选修4-4优化练习：第二讲一第一课时参数方程的概念
[课时作业 ] [A 组基础稳固 ]1．已知曲线的方程为x＝ 2t＋ 1，(t 为参数， t∈ R)，则以下点中在曲线上的是 () y＝ t＋ 1A ． (1,1) B． (2,2)C． (2,3) D． (1,2)分析：当 t＝ 0 时， x＝ 1， y＝ 1，即点 (1,1)在曲线上．答案： Ax＝ sin θ，(θ为参数 )所表示的曲线上的一点的坐标为 ()2．在方程y＝ cos 2θA ． (2，－ 7)1 2 B．(，) 3 3C． (1，1) D． (1,0) 2 2分析：将点的坐标代入参数方程，若能求出θ，则点在曲线上，经查验，知 C 知足条件．答案： C3．由方程 x2＋ y2－4tx－ 2ty＋ 3t2－ 4＝0(t 为参数 )所表示的一族圆的圆心的轨迹方程为() x＝2t ，x＝－ 2t，A. B.y＝t y＝tx＝ 2t ，x＝－ 2t，C. D.y＝－ t y＝－ t分析：设 (x， y)为所求轨迹上任一点．由 x2＋y2－4tx－2ty＋3t2－ 4＝ 0 得：(x－ 2t)2＋ (y－ t)2＝ 4＋2t2.x＝ 2t∴.y＝ t答案： A4．已知圆 (x－ a)2＋ y2＝ a2(a>0)，点 M 在圆上，O 为原点，以∠ MOx＝φ为参数，那么圆的参数方程为()x＝acos φ，x＝ a 1＋cos φ，A. B.y＝ asin φy＝ asin φx＝ acos φ，x＝a 1＋cos 2φ，C. D.y＝ a 1＋ sin φy＝ asin 2φ分析：如图，设圆心为O′，连结 O′ M，则∠MO ′ x＝ 2φ.x ＝ a ＋ acos 2φ，因此圆的参数方程为(φ为参数 )．y ＝ asin 2φ答案： D5．参数方程 x ＝ cos θ，(θ为参数 )表示的曲线是 ()y ＝ sin θ A ．直线 B ．线段 C ．圆D ．半圆分析： 由于 sin 2θ＋ cos 2θ＝ 1，因此一般方程为 x 2＋ y 2＝ 1.应选 C.答案： Cx ＝ 2sin θ＋1，6．已知曲线 ( θ为参数， 0≤ θ<2π)．以下各点 A(1,3) ， B(2,2) ， C(－ 3,5)，此中在曲线上y ＝ sin θ＋ 3的点是 ________．分析： 将 A 点坐标代入方程得： θ＝ 0 或 π，将 B 、 C 点坐标代入方程，方程无解，故 A 点在曲线上． 答案： A(1,3)7．以下各参数方程与方程 xy ＝ 1 表示同样曲线的序号是 ________．x ＝ t 2， x ＝ sin t ， x ＝ cos t ， x ＝ tan t ， ①② ③ y ＝ sec t ；④ y ＝－ t 2；y ＝ csc t ；y ＝ cot t.分析：一般方程中， x ，y 均为不等于0 的实数， 而①②③中 x 的取值挨次为： [0，＋ ∞)，[－ 1,1] ，[－ 1,1]，故①②③均不正确，而④中， x ∈R ， y ∈R ，且 xy ＝ 1，故④正确．答案： ④8．曲线的参数方程为：x ＝ 2t ，a ＝________.y ＝ 3t (t 为参数 )，已知点 (2， a)在曲线上，则2＋ 2t ＋ 2分析： ∵2＝ 2t ，t ＝ 1，∴y ＝ 3＋2＋ 2＝ 7，∴a ＝ 7.答案： 79．已知边长为 a 的等边三角形 ABC 的极点 A 在 y 轴的非负半轴上挪动，极点动，求极点 C 在第一象限内的轨迹的参数方程．分析： 如图，设 C 点坐标为 (x ，y)，∠ABO ＝ θ，过点 C 作 x 轴的垂线B 在 x 轴的非负半轴上移段 CM ，垂足为M.则∠CBM ＝ 120°－ θ，x ＝ acos θ＋acos 120 °－ θ，∴y ＝ asin 120 °－ θπ(θ为参数， 0≤ θ≤ 2)为所求．10．如下图， OA 是圆 C 的直径，且 OA ＝ 2a ，射线 OB 与圆交于 Q 点，和经过 A 点的切线交于 B 点，作 PQ ⊥OA 交 OA 于 D ，PB ∥ OA ，试求点 P 的轨迹 的参数方程．分析： 设 P(x ，y)是轨迹上随意一点，取∠ DOQ ＝ θ，由 PQ ⊥OA ， PB ∥OA ，得x ＝OD ＝ OQcos θ＝ OAcos 2 θ＝ 2acos 2 θ，y ＝AB ＝ OAtan θ＝ 2atan θ.因此 P 点轨迹的参数方程为2x ＝ 2acos θ， π πθ∈－ ，2.y ＝ 2atan θ2[B 组 能力提高 ]1．以下参数方程 (t 为参数 )与一般方程 x 2－ y ＝ 0 表示同一曲线的方程是 () A.x ＝|t|，B.x ＝ cos t ，y ＝t2y ＝cos tx ＝ tan t ，x ＝ tan t ， C. 1＋cos 2tD.1－cos 2ty ＝1－ cos 2ty ＝1＋ cos 2t分析： A 明显错误， B 中 x ∈[－ 1,1] 与原题中 1x 的范围不一样， C 可化为 y － 2＝ 0，应选 D.x 答案： Dx ＝ 1＋5cos θ， (θ为参数， 0≤θ<2π)的弦的中点，则该弦所在直线l 的方程2．若 P(2，－ 1)为圆 O ′：y ＝ 5sin θ是 ( )A ． x － y － 3＝ 0B ． x ＋ 2y ＝0C ． x ＋ y －1＝ 0D ． 2x － y － 5＝ 0分析： ∵圆心 O ′(1,0)，∴k PO ′＝－ 1.∴k l ＝ 1.∴直线 l 的方程为 x － y － 3＝0.答案： A23．设 x ＝ 2cos θ(θ为参数 )，则椭圆 x＋ y 2＝ 1 的参数方程为 ________．42分析： 将 x ＝2cos θ代入 x4 ＋ y 2＝ 1 得 cos 2 θ＋ y 2＝ 1，即 y 2＝ sin 2 θ.。
高三数学参数方程试题
高三数学参数方程试题1. [选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程（为参数），直线与抛物线相交于两点，求线段的长.【答案】【解析】可以把直线参数方程化为普通方程，与抛物线方程联立解得的坐标，可求线段的长，也可直接把直线的参数方程代入抛物线方程，解关于的方程，利用此直线参数方程中的几何意义，可得．试题解析：直线的普通方程为，即，与抛物线方程联立方程组解得，∴.【考点】直线的参数方程.2.在直角坐标平面内，以坐标原点为极点、轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点的极坐标为，曲线的参数方程为（为参数），则点到曲线上的点的距离的最小值为．【答案】【解析】由已知得，点的直角坐标为，曲线的普通方程为，表示以为圆心，为半径的圆，故点到曲线上的点的距离的最小值为．【考点】1、直角坐标和极坐标的互化；2、参数方程和普通方程的互化；3、点和圆的位置关系.3.参数方程中当为参数时，化为普通方程为_______________.【答案】【解析】由参数方程，两式平方作差得，．【考点】参数方程化普通方程．4.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρsin＋m＝0，曲线C2的参数方程为(0<α<π)，若曲线C1与C2有两个不同的交点，则实数m的取值范围是____________．【答案】.【解析】曲线的直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为，如图，直线与圆有两个不同的交点，即在直线（经过点的直线）与（经过点的直线）之间，当直线与重合时，，当直线经过点时，，综上得.【考点】直角坐标与极坐标的转化、参数方程与普通方程的转化、直线与圆的位置关系.5.在曲线C1:(θ为参数,0≤θ<2π)上求一点,使它到直线C2:(t为参数)的距离最小,并求出该点坐标和最小距离.【答案】(1-,-) 最小值1【解析】直线C2化成普通方程是x+y-1+2=0,设所求的点为P(1+cosθ,sinθ),则P到直线C2的距离d==|sin(θ+)+2|,当θ+=时,即θ=时,d取最小值1,此时,点P的坐标是(1-,-).6.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 (t为参数)，曲线C的参数方程为(θ为参数)．试求直线l和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐【答案】(2,2)，【解析】因为直线l的参数方程为 (t为参数)，由x＝t＋1，得t＝x－1，代入y＝2t，得到直线l的普通方程为2x－y－2＝0.同理得到曲线C的普通方程为y2＝2x.联立方程组解得公共点的坐标为(2,2)，7.已知在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数）．在极坐标系（与直角坐标取相同的长度单位，且以原点为极点，轴的非负半轴为极轴）中，曲线的方程为．（Ⅰ）求曲线直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线、交于A、B两点，定点，求的值．【答案】（Ⅰ）曲线直角坐标方程为；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）由已知，两边都乘以，得，结合即可求得曲线的直角坐标方程（普通方程）；（Ⅱ）由已知条件，把的参数方程为参数）代入，得由韦达定理可得：，进一步可计算出的值．试题解析：（Ⅰ）由已知，得，．3分（Ⅱ）把的参数方程代入，得．5分．7分【考点】直线的参数方程与极坐标方程．8.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），若以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标，曲线的极坐标方程为（其中为常数）.（1）若曲线与曲线只有一个公共点，求的取值范围；（2）当时，求曲线上的点与曲线上的点的最小距离【答案】（1）或；（2）.【解析】本题考查极坐标与直角坐标之间的转化，参数方程与普通方程之间的转化，考查学生的转化能力和计算能力，考查数形结合思想.第一问，把参数方程和极坐标方程先进行转化，再利用数形结合解题；第二问，考查点到直线的距离公式，利用配方法求最小值.试题解析：(1)曲线可化为，，曲线可化为，若曲线，只有一个公共点，则当直线过点时满足要求，此时，并且向左下方平行运动直到过点之前总是保持只有一个公共点，当直线N过点时，此时，所以满足要求；再接着从过点开始向左下方平行运动直到相切之前总有两个公共点，相切时仍然只有一个公共点，联立，得，，解得，综上可求得的取值范围是或.（5分）（2）当时，直线，设上的点为，，则曲线上的点到直线的距离为，当时取等号，满足，所以所求的最小距离为.(10分)【考点】1.参数方程与普通方程的互化；2.极坐标方程与直角坐标方程的互化；3.点到直线的距离公式；4.配方法求最值.9.在平面直角坐标系中，过椭圆的右焦点，且与直线（为参数）平行的直线截椭圆所得弦长为．【答案】【解析】椭圆的普通方程为，则右焦点为（1,0）；直线的普通方程为，过（1,0）与直线平行的直线为，由得，所以所求的弦长为.【考点】1.参数方程与普通方程的互化；2.两点间的距离公式和弦长公式.10.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，得曲线的极坐标方程为（）（Ⅰ）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）直线： (为参数)过曲线与轴负半轴的交点，求与直线平行且与曲线相切的直线方程【答案】（Ⅰ）、；（Ⅱ）或【解析】(Ⅰ) 利用参数方程化普通方程、极坐标方程化直角坐标方程来求；(Ⅱ)利用点到直线的距离来求试题解析：（Ⅰ）曲线的普通方程为：； 2分由得，∴曲线的直角坐标方程为： 4分(或：曲线的直角坐标方程为： )（Ⅱ）曲线：与轴负半轴的交点坐标为，又直线的参数方程为：，∴，得，即直线的参数方程为：得直线的普通方程为：， 6分设与直线平行且与曲线相切的直线方程为： 7分∵曲线是圆心为，半径为的圆，得，解得或 9分故所求切线方程为：或 10分【考点】参数方程化普通方程、极坐标方程转化为直角坐标方程，考查学生分析问题、解决问题的能力11.极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位，以原点为极点，以轴正半轴为极轴.已知直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为.（Ⅰ）求的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线与曲线交于两点，求弦长.【答案】(Ⅰ) ；（Ⅱ）.【解析】本题考查坐标系和参数方程.考查学生的转化能力和计算能力.第一问利用互化公式将极坐标方程转化为普通方程；第二问，先将直线方程代入曲线中，整理，利用两根之和、两根之积求弦长.试题解析：（Ⅰ）由，得，即曲线的直角坐标方程为． 5分（Ⅱ）将直线l的方程代入，并整理得，，，．所以． 10分【考点】1.极坐标方程与普通方程的互化；2.韦达定理.12.已知曲线直线将直线的极坐标方程和曲线的参数方程分别化为直角坐标方程和普通方程；设点P在曲线C上，求点P到直线的距离的最小值。
新人教A版选修4-4《椭圆的参数方程》习题及答案
高中数学 2.2.1椭圆的参数方程练习 新人教A 版选修4-4►预习梳理1．平面上点P 到定点F 1、F 2距离之和等于|F 1F 2|，则点P 的轨迹是____________；到定点F 1、F 2距离之和大于|F 1F 2|，则点P 的轨迹是__________；到定点F 1、F 2距离之和小于|F 1F 2|，则点P 的轨迹________．2．椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为________________________(θ为参数)．规定θ的范围为θ∈[0，2π)．这是中心在________、焦点在________上的椭圆参数方程．►预习思考椭圆x 29＋y 24＝1的参数方程为______________________________．, 预习梳理1．线段F 1F 2 椭圆 不存在2.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ 原点O x 轴预习思考⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)一层练习1．椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)，若θ∈[0，2π)，则椭圆上的点(－a ，0)对应的θ＝( )A ．π B.π2C ．2π D.3π21．A2．椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos θ，y ＝1＋5sin θ(θ为参数)的焦距为( )A.21 B ．221 C.29 D ．229 2.B3．当参数θ变化时，动点P (2cos θ，3sin θ)所确定的曲线必过( ) A ．点(2，3) B ．点(2，0)C ．点(1，3)D ．点⎝⎛⎭⎪⎫0，π23.B4．二次曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)的左焦点的坐标是________．4．(－4，0)5．点P (x ，y )在椭圆4x 2＋y 2＝4上，则x ＋y 的最大值为______，最小值为________． 5. 5 － 5 二层练习6．点(2，33)对应曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝6sin θ(θ为参数)中参数θ的值为( )A ．k π＋π6(k ∈Z)B ．k π＋π3(k ∈Z)C ．2k π＋π6(k ∈Z)D ．2k π＋π3(k ∈Z)6．D7．设O 是椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的中心，P 是椭圆上对应于φ＝π6的点，那么直线OP 的斜率为( )A.33 B. 3 C.332 D.2397.D8．椭圆x 29＋y 24＝1的点到直线x ＋2y －4＝0的距离的最小值为( )A.55 B. 5 C.655D ．08.A9．曲线⎩⎨⎧x ＝4cos θ，y ＝23sin θ(θ为参数)上一点P 到点A (－2，0)，B (2，0)的距离之和为________．9．8三层练习10．在平面直角坐标系xOy 中，若l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值为________．10.311．直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t (t 为参数)与曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θ，y ＝3cos θ (θ为参数，a >0)有一个公共点在x 轴上，则a ＝________．11.3212．在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数，a >b >0)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 与圆O 的极坐标方程分别为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22m (m 为非零常数)与ρ＝b .若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，则椭圆C 的离心率为________．12.6313．在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝ 3 cos α，y ＝sin α(α为参数)． (1)已知在极坐标(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π2，判断点P 与直线l 的位置关系；(2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．13．解析：(1)把极坐标系下的点P ⎝⎛⎭⎪⎫4，π2化为直角坐标，得P (0，4)．因为点P 的直角坐标(0，4)满足直线l 的方程x －y ＋4＝0，所以点P 在直线l 上． (2)因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 的坐标为(3cos α，sin α)， 从而点Q 到直线l 的距离d ＝|3cos α－sin α＋4|2＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＋42＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＋2 2.由此得，当cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－1时，d 取得最小值，且最小值为 2.14．(2014·辽宁卷)将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C .(1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．14．解析：(1)设(x 1，y 1)为圆上的点，经变换为C 上点(x ，y )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝2y 1，由x 21＋y 21＝1得x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝1，即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.故C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.不妨设P 1(1，0)，P 2(0，2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，所求直线斜率为k ＝12，于是所求直线方程为y －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，化为极坐标方程并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，即ρ＝34sin θ－2cos θ.1．对椭圆的普通方程x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)(焦点在x 轴上)在解题时可利用参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)来寻求解决方案． 2．可利用椭圆的参数方程来解决最值、有关轨迹等问题． 3．要针对解题时的不同情况合理选择椭圆的方程形式．。
(压轴题)高中数学高中数学选修4-4第二章《参数方程》测试题(包含答案解析)(1)
一、选择题1．在直角坐标系xOy 中，曲线C ：22x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）上的点到直线l ：230x y -+=的距离的最小值为（ ）A ．23B ．223C ．233D ．22．已知22451x y +=，则25x y +的最大值是（ ） A ．2 B ．1C ．3D ．93．在参数方程cos sin x a t y b t θθ=+⎧⎨=+⎩，(0θπ<，t 为参数)所表示的曲线上有,B C 两点，它们对应的参数值分别为1t ，2t ，则线段BC 的中点M 对应的参数值是（ ） A ．122t t - B ．122t t + C ．122t t - D ．122t t + 4．曲线的离心率是（ ）A ．B ．C ．2D ．5．已知点()1,2A -，()2,0B ，P 为曲线2334y x =-上任意一点，则AP AB ⋅的取值范围为（ ） A ．[]1,7B ．[]1,7-C ．1,33⎡+⎣D ．1,323⎡-+⎣6．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为()y 4t?x t t 为参数=⎧⎨=+⎩，以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为=424πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则直线l 和曲线C 的公共点有 A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个7．已知抛物线的参数方程为2x 4t y 4t ⎧=⎨=⎩，若斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，则线段AB 的长为( )A ．22B ．42C ．8D ．48．若曲线2sin301sin30x t y t =-︒⎧⎨=-+︒⎩（t 为参数）与曲线22ρ=相交于B ，C 两点，则BC 的值为（ ）A ．27B ．60C ．72D ．309．已知点(),P x y 在曲线2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数，且[),2θππ∈）上，则点P 到直线21x t y t =+⎧⎨=--⎩（t 为参数）的距离的取值范围是( )A ．3232,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．0tan 60x = C ．(2,22⎤⎦D ．:::2x r r q q q e αα==10．圆ρ=r 与圆ρ=-2rsin （θ+4π）（r ＞0）的公共弦所在直线的方程为（ ） A ．2ρ（sin θ+cos θ）=r B ．2ρ（sin θ+cos θ）=-rC ．2ρ（sin θ+cos θ）=rD ．2ρ（sin θ+cos θ）=-r 11．在极坐标系下，已知圆的方程为，则下列各点在圆上的是 （ ）A ．B ．C ．D ．12．极坐标cos ρθ=和参数方程12x ty t=--⎧⎨=+⎩（t 为参数）所表示的图形分别是A ．直线、直线B ．直线、圆C ．圆、圆D ．圆、直线二、填空题13．在平面直角坐标系xOy 中，O 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数），过点(02)且倾斜角为α的直线l 与O 交于A ，B 两点．则α的取值范围为_________14．已知点B 在圆O ：2216x y +=上，()2,2,A OM OA OB =+，若存在点N 使得MN 为定长，则点N 的坐标是______． 15．直线1413x ty t=+⎧⎨=--⎩（t 为参数）的斜率为______.16．点(),M x y 是椭圆222312x y +=上的一个动点，则2m x y =+的最大值为______17．设直线315:{45x tl y t=+=（t 为参数），曲线1cos :{sin x C y θθ==（θ为参数），直线l 与曲线1C 交于,A B 两点，则AB =__________.18．已知椭圆C 的方程为2212x y +=，若F 为C 的右焦点，B 为C 的上顶点，P 为C 上位于第一象限内的动点，则四边形OBPF 的面积的最大值为__________． 19．曲线1C 的极坐标方程2cos sin ρθθ=，曲线2C 的参数方程为31x ty t =-⎧⎨=-⎩，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则曲线1C 上的点与曲线2C 上的点最近的距离为__________．20．设(,0)M p 是一定点，01p <<，点(,)A a b 是椭圆2214xy +=上距离M 最近的点，则()==a f p ________.三、解答题21．已知直线5:12x l y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的坐标方程为2cos ρθ=． （1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点M的直角坐标为(，直线l 与曲线C 的交点为A 、B ，求AB 的值．22．已知直线l的参数方程为12{2x ty ==(t 为参数)，曲线C 的参数方程为4cos {4sin x y θθ==(θ为参数)． (1)将曲线C 的参数方程化为普通方程；(2)若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求线段AB 的长．23．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程：1221x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴（取相同单位长度）建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为：2cos 0ρθ+=．（1）将直线l 的参数方程化为普通方程，圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）求圆C 上的点到直线l 的距离的最小值，并求出此时点的坐标． 24．已知曲线C 的参数方程为2cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以直角坐标系的原点o 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是：12cos sin 6θθρ+=（Ⅰ）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程：（Ⅱ）点P 是曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最大值与最小值.25．在平面直角坐标系xOy 中，直线1l ：cos ,sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，π02α<<），曲线1C ：2cos 4+2sin x y ββ=⎧⎨=⎩,（β为参数），1l 与1C 相切于点A ，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求1C 的极坐标方程及点A 的极坐标； （2）已知直线2l ：()6R πθρ=∈与圆2C：2cos 20ρθ-+=交于B ，C 两点，记AOB ∆的面积为1S ，2COC ∆的面积为2S ，求1221S S S S +的值. 26．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为32t x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.（t 为参数）.以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为24cos 30p ρθ-+=.（1）求l 的普通方程及C 的直角坐标方程； （2）求曲线C 上的点P 到l 距离的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】设曲线C上点的坐标为()2t ，利用点到直线的距离公式表示出距离，即可求出最小值. 【详解】设曲线C上点的坐标为()2t ， 则C 上的点到直线l的距离2233d===，即C 上的点到直线1． 故选：C. 【点睛】本题考查参数方程的应用，属于基础题.2．A解析：A 【分析】设1cos 2x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则2cos sin 4x πααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，利用三角函数有界性得到最值.【详解】22451x y +=，则设1cos 2x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ，则2cos sin 4x πααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭当4πα=，即4x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故选：A 【点睛】本题考查了求最大值，利用参数方程1cos 25x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩是解题的关键. 3．D解析：D 【解析】 【分析】根据参数的几何意义求解即可。
2020年高考数学 选修4-4：坐标系与参数方程 解答题专练(含答案)
2020年高考数学选修4-4：坐标系与参数方程解答题专练1.【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy中，直线，曲线（φ为参数）.以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点M的极坐标为.（1）求直线l1和曲线C的极坐标方程；（2）在极坐标系中，已知射线与,C的公共点分别为A,B，且，求MOB的面积．2.【选修4-4：坐标系与参数方程】已知曲线C的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，且取相等的单位长度，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是设点P(-1,2)．(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，将直线的参数方程化为普通方程；(2)设直线l与曲线C相交于M,N两点，求的值．3.【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为（t为参数），点P的坐标为(-2,0)(1)若点Q在曲线C上运动，点M在线段PQ上运动，且，求动点M的轨迹方程；(2)设直线l与曲线C交于A,B两点，求的值.4.【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线l：（t为参数）与曲线（φ为参数）相交于不同的两点A,B．（1）若，若以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程；（2）若直线的斜率为，点，求的值．5.【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是，射线OM与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．6.【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）设点P(-1,0)，直线l和曲线C交于A,B两点，求的值．7.【选修4-4：坐标系与参数方程】以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点M的直角坐标为(1,0)，若直线l的极坐标方程为，曲线C的参数方程是，（m为参数）．（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；（2）设直线l与曲线C交于A,B两点，求．8.【选修4-4：坐标系与参数方程】已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为，直线l与圆C交于A，B两点.（1）求圆C的直角坐标方程及弦AB的长；（2）动点P在圆C上（不与A，B重合），试求ABP的面积的最大值9.【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy中，点P（0，﹣1），直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ+ρcos2θ=8sinθ．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于不同的两点A，B，M是线段AB的中点，当|PM|=时，求sinα的值．10.【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数）．以坐标原点O为极点，z轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；(2)设点M(0，1)．若直线l与曲线C相交于A，B两点，求|MA|+|MB|的值．为参数)，在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点P的极坐标为，直线l的极坐标方程为.(1)求直线l的直角坐标方程与曲线C的普通方程；(2)若Q是曲线C上的动点，M为线段PQ的中点，直线l上有两点A，B，始终满足|AB|=4，求△MAB面积的最大值与最小值。
(北师大版)苏州市高中数学选修4-4第二章《参数方程》测试卷(答案解析)
一、选择题1．点(, )A x y 是曲线2cos 13sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩，（θ为参数）上的任意一点，则2 -x y 的最大值为（ ） AB5C ．3D3+2．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系取相同的单位长度，已知曲线C ：()2sin2cos 0a a ρθθ=>，过点()2,4P --的直线l的参数方程为：242x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），直线l 与曲线C 分别交于M 、N 两点.若PM 、MN 、PN 成等比数列，求a 的值（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．已知1F ，2F 分别是椭圆2222:1x y C a b+=(0,0)a b >>的左、右焦点，过1F 的直线l 交椭圆于D 、E 两点，115,DF F E=2DF =2DF x ⊥轴.若点P 是圆22:1O x y +=上的一个动点，则12PF PF ⋅的取值范围是（ ）A ．[3,5]B ．[2,5]C ．[2,4]D ．[3,4]4．过椭圆C：2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）的右焦点F 作直线l ：交C 于M ，N 两点，MF m =，NF n =，则11m n+的值为（） A ．23B ．43C ．83D ．不能确定5．已知圆的参数方程2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为3490cos sin ραρα--=，则直线与圆的位置关系是( ) A ．相切 B ．相离C ．直线过圆心D ．相交但直线不过圆心6．已知直线2sin 301sin 30x t y t ︒︒⎧=-⎨=-+⎩（t 为参数）与圆228x y +=相交于B 、C 两点，则||BC 的值为（ ）A ．27B ．30C ．72D ．3027．已知(,)P x y 是椭圆3cos sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩上任意一点，则点P 到340x y --=的距离的最大值为（ ） A ．426+ B ．23+C ．426- D ．23-8．已知直线3:2x tl y t ⎧=⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数），抛物线C 的方程22,y x l =与C 交于12,P P ，则点()0,2A 到12,P P 两点距离之和是（ ）A ．43+B ．2(23)+C ．4(23)+D ．83+9．记椭圆221441x ny n +=+围成的区域（含边界）为n Ω（12n =，，），当点()x y ，分别在1Ω，2Ω，…上时，x y +的最大值分别是1M ，2M ，…，则lim n n M →+∞=（ ） A ．0B ．14C ．2D ．2210．若圆的参数方程为12cos ,32sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数），直线的参数方程为21,61x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数），则直线与圆的位置关系是（ ） A ．相交且过圆心B ．相交但不过圆心C ．相切D ．相离11．极坐标cos ρθ=和参数方程12x ty t =--⎧⎨=+⎩（t 为参数）所表示的图形分别是A ．直线、直线B ．直线、圆C ．圆、圆D ．圆、直线12．已知两条曲线的参数方程1C ：5cos 5sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）和2C ：4cos 453sin 45x t y t =+︒⎧⎨=+︒⎩（t 为参数），则这两条曲线的交点为端点的线段的长度是（ ） A ．5B ．52C ．7D ．72二、填空题13．设直线315:{45x tl y t=+=（t 为参数），曲线1cos :{sin x C y θθ==（θ为参数），直线l 与曲线1C 交于,A B 两点，则AB =__________.14．直线被圆所截得的弦长为 ．15．在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点M的极坐标为4π⎛⎫ ⎪⎝⎭，曲线C的参数方程为1{x y αα=+=（α为参数），则点M 到曲线C 上的点的距离的最小值为 ．16．以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线的极坐标方程为()4R πθρ=∈，它与曲线1222x cos y sin αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）,相交于两点A 和 B ，则AB =__________． 17．已知曲线2cos 5:,0,sin 6x y θπθθ=⎧⎛⎫⎡⎤Γ∈⎨⎪⎢⎥=⎣⎦⎝⎭⎩上一动点P ，曲线Γ与直线1x =交于点Q ，则OP OQ ⋅的最大值是_________.18．将参数方程1212a x t t b y t t ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩（t 为参数），转化成普通方程为_______．19．曲线,1x cos y sin αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）与曲线22cos 0ρρθ-=的直角坐标方程分别为_____，_____，两条曲线的交点个数为_____个.20．设(,0)M p 是一定点，01p <<，点(,)A a b 是椭圆2214xy +=上距离M 最近的点，则()==a f p ________.三、解答题21．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程cos 1sin x t y t αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数，[0,)απ∈），曲线C的参数方程2sin x y ββ⎧=⎪⎨=⎪⎩（β为参数）．（1）求曲线C 在直角坐标系中的普通方程；（2）以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当曲线C 截直线l 所得线段的中点极坐标为2,6π⎛⎫⎪⎝⎭时，求α． 22．已知直线l 的方程为4y x =+，圆C 的参数方程为2cos 22sin x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系． （1）求直线l 与圆C 的交点的极坐标；（2）若P 为圆C 上的动点，求P 到直线l 的距离d 的最大值．23．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为12x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos 20ρρθ--=，点P的极坐标是23π⎫⎪⎪⎝⎭． （1）求直线l 的极坐标方程及点P 到直线l 的距离；（2）若直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，求PMN 的面积．24．在直角坐标系xoy 中，以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴，已知直线的极坐标方程为:cos 2sin 5l ρθρθ+=，曲线22:143x y C +=（1）写出直线l 的直角坐标方程和曲线C 的参数方程；（2）在曲线C 上求一点P ，使它到直线l 的距离最小，并求出最小值. 25．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0απ≤<），以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为24cos 6sin 120ρρθρθ--+=，已知直线l 与曲线C 交于不同的两点A ，B .（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）设()1,2P ，求22PA PB +的取值范围.26．已知曲线C 的参数方程为32cos 12sin x y αα=+⎧⎨=+⎩(α为参数),以直角坐标系原点为极点,以x轴正半轴为极轴并取相同的单位长度建立极坐标系. （1）求曲线C 的极坐标方程,并说明其表示什么轨迹； （2）若直线l 的极坐标方程为1sin 2cos θθρ-=,求曲线C 上的点到直线l 的最大距离.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】利用曲线的参数方程得32co sin -32s x y θθ=+-化简求解即可【详解】由题()32cos 3sin 23-s x y θθθϕ=+-=++ 故当()cos 1θϕ+=时，2 -x y3+ 故选D 【点睛】本题考查参数方程求最值，考查辅助角公式，是基础题2．A解析：A 【分析】本题首先可以求出曲线C 的直角坐标方程，然后将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程中，根据韦达定理得出12t t +以及12t t 的值，再然后根据PM 、MN 、PN 成等比数列得出21212t t t t -=，最后将12t t +以及12t t 的值带入21212t t t t -=中，通过计算即可得出结果. 【详解】 因为曲线C ：()2sin2cos 0a a ρθθ=>所以曲线C 的直角坐标方程为()220y ax a =>将直线l的参数方程24x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩代入曲线C 的直角坐标方程得：()2116402t t a -++=， 设交点M 、N 对应的参数分别为1t 、2t ，则()122t t +=，()122164t t a =+， 因为PM 、MN 、PN 成等比数列，所以21212t t t t -=，即212125t t t t =+，()()2410164a =+，解得1a =或4a =-（舍取），故满足条件的1a =， 故选：A. 【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化以及直线参数方程的几何意义，考查韦达定理以及等比中项的灵活应用，考查计算能力，考查化归与转化思想，是中档题.3．A解析：A 【分析】由题意可得,D E 两点坐标，代入椭圆方程可求出椭圆的焦点，然后设()cos ,sin P θθ， 利用两点间的距离公式以及三角函数的性质可求出12PF PF ⋅的范围. 【详解】由题意可知，(D c，7,55E c ⎛-- ⎝⎭，将,D E 代入椭圆方程得2222222222112492412525c c a b a c b a b ⎧⎧+=⎪=⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=+=⎩⎪⎩， 所以()12,0F -，()22,0F ， 设()cos ,sin P θθ， 则12PF PF ⋅==，所以12PF PF ⋅的取值范围是[3,5]. 故选：A 【点睛】本题考查了椭圆的性质，考查了转化与化归的思想，同时考查了圆的参数方程以及三角函数的性质，属于中档题.4．B解析：B 【分析】消去参数得到椭圆的普通方程，求得焦点坐标，写出直线l 的参数方程，代入椭圆的普通方程，写出韦达定理，由此求得11m n+的值. 【详解】消去参数得到椭圆的普通方程为22143x y +=，故焦点()1,0F ，设直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），代入椭圆方程并化简得()223sin 6cos 90t t αα++⋅-=.故1212226cos 9,03sin 3sin t t t t ααα+=-⋅=-<++（12,t t 异号）.故11m n m n mn ++=1212t t t t -===⋅43.故选B. 【点睛】本小题主要考查椭圆的参数方程化为普通方程，考查直线和椭圆的位置关系，考查利用直线参数的几何意义解题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.5．D解析：D 【分析】分别计算圆和直线的普通方程，根据圆心到直线的距离判断位置关系. 【详解】圆的参数方程2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)224x y ⇒+= 直线的极坐标方程为34903490cos sin x y ραρα--=⇐--=圆心到直线的距离为：925d r =<=相交 圆心坐标代入直线不满足，所以直线不过圆心. 故答案选D 【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，直线和圆心的位置关系，综合性较强，意在考查学生的综合应用能力.6．B解析：B 【分析】根据参数方程与普通方程的互化方法，然后联立方程组，通过弦长公式，即可得出结论． 【详解】曲线2sin 301sin 30x t y t ︒︒⎧=-⎨=-+⎩（t 为参数），化为普通方程1y x =-， 将1y x =-代入228x y +=，可得22270x x --=， ∴BC ==B ． 【点睛】本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．7．A解析：A【分析】设点,sin )P αα，求得点P到直线的距离为d =数的性质，即可求解. 【详解】由题意，点(),P x y是椭圆x y sin αα⎧=⎪⎨=⎪⎩上任意一点，设点,sin )P αα，则点P到直线40x -=的距离为d ==当cos()14πα+=-时，距离dA. 【点睛】本题主要考查了椭圆的参数方程的应用，以及点到直线的距离公式和三角函数的性质的应用，其中解答中合理利用椭圆的参数方程，设点,sin )P αα，再利用点到直线的距离公式和三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.8．C解析：C 【分析】先写出直线的标准参数方程，再代入y 2＝2x ，利用直线参数方程t 的几何求解. 【详解】将直线l参数方程化为122x y t ''⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t′为参数)，代入y 2＝2x ，得t′2＋4(2＋16＝0，设其两根为t 1′，t 2′，则t 1′＋t 2′＝－4(2， t 1′t 2′＝16>0.由此知在l 上两点P 1，P 2都在A(0，2)的下方， 则|AP 1|＋|AP 2|＝|t 1′|＋|t 2′|＝|t 1′＋t 2′|＝4(2． 故答案为C 【点睛】(1)本题主要考查直线的参数方程和t 的几何意义，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 过定点()00,P x y 、倾斜角为α的直线的参数方程00x x tcos y y tsin αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）.当动点A 在定点()00,P x y 上方时,0,||t t PA >=且. 当动点B 在定点()00,P x y 下方时,0,|t t PB =-且.(3)解答本题不能直接把参数方程代入圆的方程，一定要化成标准形式，才能利用参数方程t 的几何意义解答.9．D【解析】分析：先由椭圆221441x nyn +=+得到这个椭圆的参数方程为：2x cos y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），再由三角函数知识求x+y 的最大值，从而求出极限的值．详解：把椭圆221441x ny n +=+得，椭圆的参数方程为：2x cos y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）， ∴， ∴（x+y ）max∴nlim →∞M n=n lim故选D ．点睛：本题考查数列的极限，椭圆的参数方程和最大值的求法，解题时要认真审题，注意三角函数知识的灵活运用．10．B解析：B 【分析】根据题意，将圆和直线的参数方程变形为普通方程，分析可得圆心不在直线上，再利用点到直线的距离公式计算可得圆心(1,3)-到直线320y x --=的距离2d <，得到直线与圆的位置关系为相交． 【详解】根据题意，圆的参数方程为1232x cos y sin θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数），则圆的普通方程为22(1)(3)4x y ++-=，其圆心坐标为(1,3)-，半径为2.直线的方程为2161x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数），则直线的普通方程为13(1)y x +=+，即320y x --=，圆心不在直线上.∴圆心(1,3)-到直线320y x --=的距离为2d ==<，即直线与圆相交.【点睛】本题考查直线、圆的参数方程，涉及直线与圆的位置关系，解答本题的关键是将直线与圆的参数方程变形为普通方程.11．D解析：D 【解析】由ρ＝cos θ得ρ2＝ρcos θ，∴x 2＋y 2＝x ，即12x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 2＋y 2＝14. 它表示以1,02为圆心，以12为半径的圆． 由x ＝－1－t 得t ＝－1－x ，代入y ＝2＋t 中，得y ＝1－x 表示直线．12．D解析：D 【分析】利用直线参数方程参数的几何意义求解即可. 【详解】曲线1C 的直角坐标方程为2225x y +=，2C的参数方程为4232x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数） 设这两条曲线的交点为,A B ，其对应的参数为,A B t t将4232x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入2225x y +=中，整理得20t += 0A t ∴=，B t =-则A B t AB t =-=故选：D 【点睛】本题主要考查了直线参数方程参数的几何意义的应用，属于中档题.二、填空题13．【解析】试题分析：由题意得曲线的普通方程为直线的直角坐标方程为所以圆心到直线的距离为所以直线与曲线交于考点：直线与圆的位置的弦长的计算解析：65【解析】试题分析：由题意得，曲线1C 的普通方程为221x y +=，直线l 的直角坐标方程为4340x y --=，所以圆心到直线的距离为224454(3)d ==+-，所以直线l 与曲线1C 交于224621()55AB =-=． 考点：直线与圆的位置的弦长的计算．14．【解析】试题分析：由题意得直线与圆的普通方程分别为与则弦心距则弦长为考点：曲线的参数方程；直线与圆的位置关系【方法点晴】本题主要考查了曲线的参数方程与普通方程的互化直线与圆的位置关系的判定与应用其中解析：．【解析】试题分析：由题意，得直线与圆的普通方程分别为与，则弦心距，则弦长为．考点：曲线的参数方程；直线与圆的位置关系．【方法点晴】本题主要考查了曲线的参数方程与普通方程的互化、直线与圆的位置关系的判定与应用，其中把曲线的参数方程化为普通方程和牢记直线与圆的弦长公式是解答本题的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力及推理、运算能力，属于基础题，本题的解答中，先把直线与圆的参数化为普通方程与，利用直线与圆的弦长公式，即可求解．15．【解析】试题分析：依题意点M 的直角坐标为曲线C 的普通方程为圆心（10）半径则点M 到曲线C 上的点的距离的最小值为考点：参数方程与极坐标 解析：52【解析】试题分析：依题意点M 的直角坐标为()4,4，曲线C 的普通方程为22(1)2x y -+=，圆心（1,02M 到曲线C 上的点的距离的最小值为52 考点：参数方程与极坐标16．【解析】直线的普通方程为曲线的普通方程∴ 14【解析】直线的普通方程为y x =，曲线的普通方程22(1)(2)4x y -+-=∴AB ==17．【分析】先计算出交点的坐标设出点的参数形式利用向量的数量积运算将其表示为关于的函数再求函数的最大值即可【详解】因为曲线与直线交于点故令又因为解得故可得则点的坐标为设点则其中又因为故则故故答案为：【点【分析】先计算出交点Q 的坐标，设出点P 的参数形式，利用向量的数量积运算，将其表示为关于θ的函数，再求函数的最大值即可. 【详解】因为曲线Γ与直线1x =交于点Q ，故令21cos θ=，又因为50,?6πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，解得θ60=︒，故可得60y sin =︒=Q 的坐标为⎛ ⎝⎭. 设点()2,P cos sin θθ，则()2,1,222OP OQ cos sin cos sin θθθθ⎛⋅=⋅=+ ⎝⎭()2θϕ=+，其中0,2tan πϕϕ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭又因为tan4tan πϕ>，故,42ππϕ⎛⎫∈⎪⎝⎭，则4,43ππθϕ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭故()maxOP OQ ⋅=.故答案为：2. 【点睛】本题考查椭圆的参数方程，以及参数方程的应用，属综合基础题.18．【分析】将参数方程变形为两式平方再相减可得出曲线的普通方程【详解】将参数方程变形为两等式平方得上述两个等式相减得因此所求普通方程为故答案为：【点睛】本题考查参数方程化为普通方程在消参中常用平方消元法解析：22221x y a b-=【分析】将参数方程变形为112112x t a t y t b t ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩，两式平方再相减可得出曲线的普通方程.【详解】将参数方程变形为112112x t a t y t b t ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩，两等式平方得2222222211241124x t a t y t b t ⎧⎛⎫=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+- ⎪⎪⎝⎭⎩，上述两个等式相减得22221x y a b -=，因此，所求普通方程为22221x y a b-=，故答案为：22221x y a b-=.【点睛】本题考查参数方程化为普通方程，在消参中，常用平方消元法与加减消元法，考查计算能力，属于中等题.19．【分析】利用平方法把参数方程化为普通方程利用互化公式把极坐标方程化为直角坐标方程根据两圆的圆心距大于两圆的半径之差小于两圆的半径之和即可得到两圆是相交的位置关系【详解】由题设知：把参数方程化为平方相 解析：()2211x y +-=()2211x y -+=【分析】利用平方法把参数方程化为普通方程，利用互化公式把极坐标方程化为直角坐标方程，根据两圆的圆心距大于两圆的半径之差小于两圆的半径之和，即可得到两圆是相交的位置关系． 【详解】由题设知：把参数方程cos 1sin x y αα=⎧⎨=+⎩化为cos 1sin x y αα=⎧⎨-=⎩，平方相加消去参数化为普通方程得22x (y 1)1+-=，极坐标方程两边同乘以ρ，利用222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==把极坐标方程化为直角方程得 2220x y x +-=，即22(1)1x y -+=；011112=-<<+=，故两圆相交，故有2个公共点．故答案为2222(1)1,(1)1,2y y x x +-=-+=．【点睛】本题考查把参数方程化为普通方程的方法，把极坐标方程化为普通方程的方法，以及圆与圆的位置关系．两圆半径为,R r ，两圆心间的距离d ，比较d 与R r -及d 与R r +的大小，即可得到两圆的位置关系.20．【分析】设根据题意换元后利用配方法即可得出结论【详解】由椭圆可知由椭圆的对称性可设根据题意令当时有最小值此时故答案为：【点睛】本题主要考查了椭圆的参数方程考查距离公式考查配方法的运用属于中档题解析：43p【分析】设(2cos ,sin ),0A αααπ≤≤，根据题意222(2cos )sin AM p αα=-+，换元后利用配方法，即可得出结论. 【详解】由椭圆2214x y +=，可知2,1a b ==，由椭圆的对称性，可设(2cos ,sin ),0A αααπ≤≤，根据题意222(2cos )sin AM p αα=-+， 令cos ,11,t t α=-222223413133p p y t pt p t ⎛⎫=-++=-+-⎪⎝⎭2201,033p p <<<< 当23p t =时，y 有最小值213p -，此时2cos 3pα=， 42cos 3p a α∴==， 故答案为：43p 【点睛】本题主要考查了椭圆的参数方程，考查距离公式，考查配方法的运用，属于中档题.三、解答题21．（1）221124x y +=（2）56πα=【分析】（1）消去参数β，即可得曲线的普通方程；（2）利用点差法求出直线的斜率k 的值，从而求得直线的倾斜角. 【详解】（1）由2sin x y ββ⎧=⎪⎨=⎪⎩得cos sin 2y ββ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩β得221124x y +=，所以曲线C 的普通方程为221124x y +=；（2）直线l 所得线段的中点极坐标为2,6π⎛⎫⎪⎝⎭化成直角坐标为． 设直线l 与曲线C 相交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，则122x x +=1212y y+=，2211222211241124x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①②， 由-②①得222221210124x x y y --+=，所以()211221123y y x x x x y y -+=-==-+，即tan 3l k α=-=，又∵[0,)απ∈，∴直线l 的倾斜角为56π． 【点睛】本题考查参数方程化为普通方程、极坐标与直角坐标的互化、点差法的应用，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 22．(1)对应的极坐标分别为34π⎛⎫ ⎪⎝⎭，4,2π⎛⎫⎪⎝⎭(2) 2+【分析】（I ）由圆C 的参数方程为222x cos y sin θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数），利用cos 2θ+sin 2θ=1化为普通方程，与直线方程联立解得交点坐标，利用222x y y tan x ρθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩可得极坐标．（II ）圆心（0，2）到直线l 的距离为d 1，可得P 到直线l 的距离d 的最大值为d 1+r ． 【详解】解：（I ）直线l :4y x =+,圆C :()2224x y +-=联立方程组()22424y x x y =+⎧⎪⎨+-=⎪⎩,解得22x y =-⎧⎨=⎩或04x y =⎧⎨=⎩对应的极坐标分别为34π⎛⎫ ⎪⎝⎭,4,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭. （II ）设()2cos ,22sin P θθ+,则14d πθ⎛⎫==++ ⎪⎝⎭,当cos 14πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时,d取得最大值2 【点睛】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 23．（1）()3θρπ=∈R2【分析】（1）由122x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去t，得到y =，再利用sin ,cos y x ρθρθ==，求得极坐标方程.然后利用直线的极坐标方程求点23P π⎫⎪⎪⎝⎭到直线l 的距离. （2）由曲线C 的极坐标方程和直线的极坐标方程联立得到220ρρ--=，再将韦达定理代入12||MN ρρ=-，求得||MN ，再由1||2PMN S MN d =⨯△求解.【详解】（1）由12x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去t，得到y =，则sin cos ρθθ=，∴tan θ=3πθ∴=，所以直线l 的极坐标方程为()3θρπ=∈R ．所以点23P π⎫⎪⎪⎝⎭到直线l的距离为2sin 33d ππ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭（2）由22cos 203ρρθπθ⎧--=⎪⎨=⎪⎩，得220ρρ--=， 所以121ρρ+=，122ρρ=-， 所以12||3MN ρρ=-==，所以PMN的面积为11||322PMN S MN d =⨯=⨯=△.【点睛】本题主要考查参数方程，直角坐标方程，极坐标方程的转化，点到直线的距离以及三角形的面积，还考查了运算求解的能力，属于中档题.24．（1）:250l x y +-= 2cos :x C y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）（2）3(1,)2P，min d =【分析】（1）由公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可化极坐标方程为直角坐标方程，由公式22cos sin 1αα+=可得曲线C 的参数方程．（2）利用曲线C 参数方程设P 点坐标，求出点到直线的距离，结合三角函数的性质得最大值． 【详解】（1）由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得l 的直角坐标方程为25x y +=，即250x y +-=，由22cos sin 1αα+=得曲线22:143x y C+=的参数方程为2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）；（2）设(2cos )P αα，则P 到直线l的距离为d==，所以sin()16πα+=时，min 5d =． sin()16πα+=，2,62k k Z ππαπ+=+∈，所以sin 2α=，1cos 2α=，所以3(1,)2P ．【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查参数方程与普通方程的互化，考查椭圆参数方程的应用，点到直线的距离公式，正弦函数的性质，属于中档题． 25．（1）l ：sin cos sin 2cos 0x y αααα--+=，C ：22231x y ；（2）(]2,6.【分析】（1）根据消元法消去参数t ，得到直线l 的普通方程，利用cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ=+，将曲线C 极坐标方程化为直角坐标方程；（2）直线l 参数方程与曲线C 的直角方程联立，结合直线参数方程的几何意义和根与系数关系，将22PA PB +表示为关于α的函数，通过确定α的取值范围，即可求解. 【详解】 （1）因为1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩，所以sin sin cos sin cos 2cos sin cos x t y t αααααααα=+⎧⎨=+⎩，两式相减可得直线l 的普通方程为sin cos sin 2cos 0x y αααα--+=. 因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ+=， 所以曲线C 的直角坐标方程2246120x y x y +--+=， 即22231x y .（2）将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，22cos α1sin α11t t ，整理得关于t 的方程()22sin cos 10t t αα-++=.因为直线l 与曲线C 有两个不同的交点，所以上述方程有两个不同的解， 设为1t ，2t ，则()122sin cos t t αα+=+，121t t =. 并且()24sin cos 48sin cos 0αααα∆=+-=>， 注意到0απ≤<，解得02πα<<，故可知10t >，20t >，因为直线l 的参数方程为标准形式，所以根据参数t 的几何意义，有()222221212122PA PB t t t t t t +=+=+-()24sin cos 24sin 22ααα=+-=+，因为02πα<<，所以(]sin 20,1α∈，(]4sin 222,6α+∈.因此22PA PB +的取值范围是(]2,6. 【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化，极坐标方程与直角坐标方程互化，应用直线参数方程的几何意义是解题的关键，考查计算求解能力，属于中档题.26．（1）26cos 2sin 40ρρθρθ--+=，表示圆心为()3,1，半径为2的圆；（2）25+ 【分析】（1）根据参数得到直角坐标系方程()()22314x y -+-=，再转化为极坐标方程得到答案. （2）直线方程为21y x -=，计算圆心到直线的距离加上半径得到答案. 【详解】 （1）32cos 12sin x y αα=+⎧⎨=+⎩，即()()22314x y -+-=，化简得到：226240x y x y +--+=.即26cos 2sin 40ρρθρθ--+=，表示圆心为()3,1，半径为2的圆.（2）1sin 2cos θθρ-=，即21y x -=，圆心到直线的距离为d ==.故曲线C 上的点到直线l 的最大距离为2d r +=. 【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，直线和圆的距离的最值，意在考查学生的计算能力和应用能力.。
高中数学选修4-4习题(含答案)
统考作业题目——4-46.21．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为12,(2x t t y t =+⎧⎨=-⎩为参数），以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系取相同的长度单位。
曲线C 的极坐标方程为 22cos 4sin 40ρρθρθ+++=. （1）求l 的普通方程和C 的直角坐标方程；（2）已知点M 是曲线C 上任一点，求点M 到直线l 距离的最大值.2．已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点处，极轴与轴的正半轴重合，且长度单位相同。
直线的极坐标方程为：，点，参数．（I ）求点轨迹的直角坐标方程； （Ⅱ）求点到直线距离的最大值．1、【详解】（1）12,2x t y t=+⎧⎨=-⎩10x y ∴+-= 因为222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==，所以222440x y x y ++++=，即22(1)(2)1x y +++= （2）因为圆心(1,2)--到直线10x y +-=距离为222=， 所以点M 到直线l 距离的最大值为2222 1.r +=+ 2、解：（Ⅰ）设，则，且参数，消参得：所以点的轨迹方程为（Ⅱ）因为所以所以，所以直线的直角坐标方程为法一：由（Ⅰ）点的轨迹方程为圆心为（0,2），半径为2．，点到直线距离的最大值等于圆心到直线距离与圆的半径之和， 所以点到直线距离的最大值．法二：当时，，即点到直线距离的最大值为．6.33．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（，t 为参数）.(1)求曲线的普通方程和曲线的极坐标方程；(2)设P 为曲线上的动点，求点P 到上点的距离的最小值，并求此时点P 的坐标.4．在直角坐标系xOy 中曲线1C 的参数方程为cos 3x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩ （α为参数，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin 224πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求||PQ 的最小值及此时P 的直角坐标.3、【详解】 （1）对曲线：，，∴曲线的普通方程为．对曲线消去参数可得且∴曲线的直角坐标方程为．又，从而曲线的极坐标方程为。
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参数方程 综合练习1
一、选择题（每小题4分，共48分）
1．参数方程⎩⎨⎧+-=+=θ
θ2cos 1sin 22y x （θ为参数）化为普通方程是（ ）。
A.042=+-y x
B. 042=-+y x
C. 042=+-y x ]3,2[∈x
D. 042=-+y x ]3,2[∈x
2．已知过曲线{()3cos 4sin x y θθπθθ≤≤==为参数，0上一点P 原点O 的直线PO 的倾 斜角为4
π，则P 点坐标是（ ） A 、（3，4） B 、1212(,)55-- C 、(-3，-4) D 、1212(,)55
3．若圆的方程为⎩⎨⎧+=+-=θθsin 23cos 21y x （θ为参数），直线的方程为⎩
⎨⎧-=-=1612t y t x （t 为 参数），则直线与圆的位置关系是（ ）。
A. 相交过圆心
B.相交而不过圆心
C.相切
D.相离
4．参数方程12
x t t y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩ (t 为参数)所表示的曲线是 ( )
A.一条射线
B.两条射线
C.一条直线
D.两条直线
5．直线12+=x y 的参数方程是（ ）。
A.⎩⎨⎧+==1
222t y t x B. ⎩⎨⎧+=-=1412t y t x C. ⎩⎨⎧-=-=121t y t x D. ⎩⎨⎧+==1sin 2sin θθy x 6．直线1x y +=与圆2220(0)x y ay a +-=>没有公共点，则a 的取值范围是（ ）
A
．1) B
．1) C
．(1) D
．1)
7．已知动园：),,(0sin 2cos 222是参数是正常数θθθb ，a b a by ax y x ≠=--+， 则圆心的轨迹是（ ）
A 、直线
B 、圆
C 、抛物线的一部分
D 、椭圆
8．曲线的参数方程为⎩⎨⎧-=+=1
2322t y t x (t 是参数)，则曲线是（ ） A 、线段 B 、双曲线的一支 C 、圆 D 、射线
9．设0>r ,那么直线()是常数θθθr y x =+sin cos 与圆()是参数ϕϕ
ϕ⎩⎨⎧==sin cos r y r x 的位
置关系是（ ）
A 、相交
B 、相切
C 、相离
D 、视的大小而定
10．点P 在椭圆22
1169
x y +=上，求点P 到直线3424x y -=的最大距离为（ ） A ．125 B ．365
C
．12(25 D
．12(25 11．点P 从（1，0）出发，沿单位圆122=+y x 逆时针方向运动
32π弧长到达Q 点，则Q 的坐标为（ ）
（A ）（)23,21- （B ）（)21,23-- （C ）（)23,21-- （D ）（)2
1,23- 12．曲线() 为参数θθθ⎩
⎨⎧==sin cos y x 上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是（ ） 2
1)(A 22)(B 1)(C 2)(D 二、填空题（每小题3分，共18分）
13．曲线的参数方程是211()1x t t y t ⎧=-⎪≠⎨⎪=-⎩
为参数,t 0，则它的普通方程为__________________。
14．设直线参数方程为⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 23322（t 为参数），则它的斜截式方程为 。
15
．2221x t t x y y =+⎧⎪-=⎨=⎪⎩直线为参数）被双曲线上截得的弦长为________ 16．对任意实数K ，直线：y kx b =+
与椭圆：2cos (02)14sin x y θθπθ
⎧=⎪≤≤⎨=+⎪⎩恰有 一个公共点，则b 取值范围是_______________
17．直线cos sin x t y t θθ=⎧⎨=⎩
与圆2x y αα
⎧=+⎪⎨=⎪⎩相切，则θ=_______________。
18．圆锥曲线()为参数θθθ⎩
⎨⎧==sec 3tan 2y x 的准线方程是 。
三、解答题（19~21每题6分，22、23题各8分，共34分）
19．把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线：
⑴⎩⎨⎧==ϕϕsin 4cos 5y x （ϕ为参数）； ⑵⎩⎨⎧=-=t
y t x 431（t 为参数）
20．如图，过抛物线px y 22=（p ＞0）的顶点作两条互相垂直的弦OA 、OB 。
⑴设OA 的斜率为k ，试用k 表示点A 、B 的坐标；
⑵求弦AB 中点M 的轨迹方程。
21．已知x 、y 满足4)2()1(22=++-y x ，求y x S -=3的最值。
22．求以椭圆22416x y +=内一点A(1，－1)为中点的弦所在直线的方程。
23．设直线 022:=-+y x l ，交椭圆14
9:2
2=+y x C 于A 、B 两点，在椭圆C 上 找一点P ，使ABP ∆面积最大。
参考答案
一、DDBCC ABDBC AD
二、13．211(1)
y x =--；14．3233-+=x y ；15
． 16．[－1，3]；17．4
π或34π；18
．y =。
三、19．解：⑴．∵⎩⎨⎧==ϕϕsin 4cos 5y x ∴⎪⎩⎪⎨⎧==ϕϕsin 4
cos 5y x 两边平方相加，得ϕϕ2222sin cos 1625+=+y x 即 116
252
2=+y x ∴曲线是长轴在x 轴上且为10，短轴为8，中心在原点的椭圆。
⑵．∵⎩⎨⎧=-=t
y t x 431∴由4y t =代入t x 31-=，得 431y x ⋅-=∴0434=-+y x ∴它表示过（0，
43）和(1, 0)的一条直线。
20．解：⑴．∵依题意可知直线OA 的斜率存在且不为0
∴设直线OA 的方程为kx y =（0k ≠）
∴联立方程⎩
⎨⎧==px y kx y 22 解得 22k p x A = k p y A 2= 以k 1-代上式中的k ，解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=px
y x k y 212 解得 22pk x B = pk y B 2-=∴A（22k
p ，k p 2），B （22pk ，pk 2-）。
⑵．设AB 中点M （x ，y ），则由中点坐标公式，得⎪⎩
⎪⎨⎧-=+=)1()1(22k k p y k k p x 消去参数k ，得222p px y -= ；即为M 点轨迹的普通方程。
21．解：由4)2()1(22=++-y x 可知曲线表示以（1，-2）为圆心，半径等于2的圆。
令 θcos 21+=x θsin 22+-=y ，则
)sin(1025sin 2cos 65)sin 22()cos 21(33ϕθθθθθ++=-+=+--+=-=y x S （其中32
6tan -=-=ϕ）∵-1≤1)sin(=+ϕθ≤1
∴当1)sin(=+ϕθ时，S 有最大值，为1025max +=S 当1)sin(-=+ϕθ时，S 有最小值，为1025min -=S ∴S 最大值为1025max +=S ；S 最小值为1025min -=S 。
22．设以A(1，－1)为中点的弦所在的直线方程为{
()1cos 1sin x t y t θθθ=+=-+为参数， 把它代入22416x y +=得22(1cos )4(1sin )16t t θθ++-+= 即222(cos 4sin )2(cos 4sin )110t t θθθθ++--= ∵弦以A(1，－1)为中点，∴交点所对应的参数1t 和2t 有：1t ＋2t ＝0 ∴22cos 4sin 0cos 4sin θθθθ--
=+ ∴cos 4sin θθ-＝0，∴1tan 4
θ= ∴所求的直线方程为11(1)4y x +=-即x －4y －5＝0 23．解：设椭圆的参数方程为()为参数θθ
θ⎩⎨⎧==sin 2cos 3y x ，
则()θθs i n 2,c o s 3P ，到直线022:=-+y x l 的距离为：()52sin 552sin 4cos 3-+=-+=
ϕθθθd ，当()1sin -=+ϕθ，即2
3πϕθ=+时，此时 ⎪⎩
⎪⎨⎧-==-==58sin 259cos 3θθy x ，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛58,59P 。