(统编版)2020学年高中数学第一章推理与证明4数学归纳法教学案北师大版选修23

§4 数学归纳法[对应学生用书P10]在学校，我们经常会看到这样一种现象：排成一排的自行车，如果一个同学不小心将第一辆自行车弄倒了，那么整排自行车就会倒下．问题1：试想要使整排自行车倒下，需要具备哪几个条件？提示：(1)第一辆自行车倒下；(2)任意相邻的两辆自行车，前一辆倒下一定导致后一辆倒下．问题2：这种现象对你有何启发？提示：这种现象使我们想到一些与正整数n 有关的数学问题．数学归纳法及其基本步骤：数学归纳法是用来证明某些与正整数n 有关的数学命题的一种方法，它的基本步骤是： (1)验证：n ＝1时，命题成立；(2)在假设当n ＝k (k ≥1)时命题成立的前提下，推出当n ＝k ＋1时，命题成立． 根据(1)(2)可以断定命题对一切正整数n 都成立．1．数学归纳法仅适用于与正整数n 有关的数学命题的证明． 2．应用数学归纳法时应注意：(1)验证是证明的基础，递推是证明的关键，二者缺一不可；(2)在证明n ＝k ＋1命题成立时，必须使用归纳假设的结论，否则就不是数学归纳法．[对应学生用书P11]用数学归纳法证明等式[例1] 用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋...＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋ (12)(n ∈N ＋)．[思路点拨] 运用数学归纳法由n ＝k 到n ＝k ＋1，等式左边增加了两项．结合等式右边的结构特点，进一步确定所需要的项及多余项，最后凑成所需要的结构形式即可．[精解详析] (1)当n ＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝11＋1＝12. 左边＝右边，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1)时等式成立，即 1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋ (12)， 则当n ＝k ＋1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋1－12k ＋2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋12k ＋2＝1k ＋1＋1＋1k ＋1＋2＋…＋1k ＋1＋k ＋12k ＋1. 即当n ＝k ＋1时，等式也成立．综合(1)和(2)可知，对一切正整数n 等式都成立．[一点通] 用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式命题，关键在于“看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n 的取值是否有关，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式两边会增加多少项，增加了怎样的项．1．用数学归纳法证明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n (3n ＋1)＝n (n ＋1)2(其中n ∈N ＋)． 证明：(1)当n ＝1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，左边＝右边，等式成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N ＋)时等式成立，即1×4＋2×7＋3×10＋…＋k (3k ＋1)＝k (k ＋1)2， 那么，当n ＝k ＋1时，1×4＋2×7＋3×10＋…＋k (3k ＋1)＋(k ＋1)[3(k ＋1)＋1]＝k (k ＋1)2＋(k ＋1)[3(k ＋1)＋1]＝(k ＋1)(k 2＋4k ＋4)＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1]2，即当n ＝k ＋1时等式也成立．根据(1)和(2)，可知等式对任何n ∈N ＋都成立． 2．用数学归纳法证明： 当n ∈N ＋时，13＋23＋33＋…＋n 3＝n 2n ＋124.证明：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝12×224＝1，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N ＋)时，等式成立，即 13＋23＋33＋…＋k 3＝k 2k ＋124.那么，当n ＝k ＋1时，有 13＋23＋33＋…＋k 3＋(k ＋1)3＝k 2k ＋124＋(k ＋1)3＝(k ＋1)2⎝ ⎛⎭⎪⎫k 24＋k ＋1 ＝(k ＋1)2k 2＋4k ＋44＝k ＋12k ＋224＝k ＋12[k ＋1＋1]24.即当n ＝k ＋1时，等式也成立．根据(1)和(2)，可知对任何n ∈N ＋等式都成立.用数学归纳法证明不等式[例2] 求证：1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n >56(n ≥2，n ∈N ＋)． [思路点拨] 在由n ＝k 到n ＝k ＋1的推证过程中可考虑使用“放缩法”，使问题简单化，这是利用数学归纳法证明不等式的常用方法之一．[精解详析] (1)当n ＝2时， 左边＝13＋14＋15＋16>56，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N ＋)时不等式成立，即 1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k >56， 则当n ＝k ＋1时， 1k ＋1＋1＋1k ＋1＋2＋…＋13k ＋13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋1＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋⎝⎛13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－⎭⎪⎫1k ＋1>56＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1>56＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3×13k ＋3－1k ＋1＝56， 所以当n ＝k ＋1时不等式也成立．由(1)(2)可知，原不等式对一切n ≥2，n ∈N ＋均成立．[一点通] 对于与正整数有关的不等式的证明，如果用其他方法比较困难，此时可考虑使用数学归纳法证明．使用数学归纳法的难点在第二个步骤上，这时除了一定要运用归纳假设外，还要较多地运用不等式证明的其他方法，对所要证明的不等式加以变形，寻求其与归纳假设相联系的突破口．3．数列{a n }满足a 1＝1且a n ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n 2＋n a n ＋12n (n ≥1，且n ∈N ＋)，用数学归纳法证明：a n ≥2(n ≥2，且n ∈N ＋)．证明：(1)当n ＝2时，a 2＝2≥2，不等式成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N ＋，k ≥2)时不等式成立， 即a k ≥2(k ≥2)， 那么a k ＋1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1kk ＋1a k ＋12k≥2.即当n ＝k ＋1时不等式也成立．根据(1)(2)可知：a n ≥2对所有n ≥2(n ∈N ＋)都成立．4．用数学归纳法证明：当n ∈N ＋时，1＋22＋32＋…＋n n <(n ＋1)n. 证明：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝2,1<2，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N ＋)时不等式成立，即1＋22＋33＋…＋k k <(k ＋1)k， 那么，当n ＝k ＋1时，左边＝12＋22＋33＋…＋k k ＋(k ＋1)k ＋1<(k ＋1)k ＋(k ＋1)k ＋1＝(k＋1)k(k ＋2)<(k ＋2)k ＋1＝[(k ＋1)＋1]k ＋1＝右边，即左边<右边，即当n ＝k ＋1时不等式也成立．根据(1)和(2)，可知不等式对任意n ∈N ＋都成立 .归纳——猜想——证明[例3] 已知数列11×4，14×7，17×10，…，13n －23n ＋1，….设S n 为数列前n 项和，计算S 1，S 2，S 3，S 4，根据计算结果，猜想S n 的表达式，并用数学归纳法证明．[精解详析] S 1＝11×4＝14，S 2＝14＋14×7＝27， S 3＝27＋17×10＝310， S 4＝310＋110×13＝413， 可以看到，上面表示四个结果的分数中，分子与项数一致，分母可用项数n 表示为3n ＋1，可以猜想S n ＝n3n ＋1.下面用数学归纳法证明：(1)显然当n ＝1时，S 1＝11×4＝14成立．(2)假设当n ＝k 时，等式成立，即S k ＝k 3k ＋1. 则当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝S k ＋1[3k ＋1－2][3k ＋1＋1]＝k 3k ＋1＋13k ＋13k ＋4 ＝k 3k ＋4＋13k ＋13k ＋4＝3k ＋1k ＋13k ＋13k ＋4＝k ＋13k ＋1＋1，即当n ＝k ＋1时等式也成立．根据(1)和(2)可知，等式对任何n ∈N ＋都成立．[一点通] “观察—归纳—猜想—证明”模式的题目的解法： ①观察：由已知条件写出前几项；②归纳：根据前几项的规律，找到项与项数的关系； ③猜想：猜想一般项的表达式； ④证明：用数学归纳法证明猜想的结论．5．数列{a n }满足S n ＝2n －a n (n ∈N ＋)．(1)计算a 1，a 2，a 3，a 4，并由此猜想通项a n 的表达式； (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想． 解：(1)a 1＝1，a 2＝32，a 3＝74，a 4＝158，由此猜想a n ＝2n－12n －1(n ∈N ＋)．(2)①当n ＝1时，a 1＝1，结论成立．②假设当n ＝k (k ∈N ＋)时，结论成立，即a k ＝2k－12k －1，那么当n ＝k ＋1(k ∈N ＋)时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝2(k ＋1)－a k ＋1－2k ＋a k ＝2＋a k －a k ＋1， 则a k ＋1＝2＋a k 2＝2＋2k－12k －12＝2k ＋1－12k＝2k ＋1－12k ＋1－1， 即当n ＝k ＋1时，结论也成立．根据①和②，可知猜想对任何n ∈N ＋都成立， 即a n ＝2n－12n －1(n ∈N ＋)．6．设函数y ＝f (x )，对任意实数x ，y 都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋2xy . (1)求f (0)的值；(2)若f (1)＝1，求f (2)，f (3)，f (4)的值；(3)在(2)的条件下，猜想f (n )(n ∈N ＋)的表达式并用数学归纳法证明． 解：(1)令x ＝y ＝0，得f (0＋0)＝f (0)＋f (0)＋2×0×0，得f (0)＝0.(2)由f(1)＝1，得f(2)＝f(1＋1)＝f(1)＋f(1)＋2×1×1＝4；f(3)＝f(2＋1)＝f(2)＋f(1)＋2×2×1＝9；f(4)＝f(3＋1)＝f(3)＋f(1)＋2×3×1＝16.(3)由(2)可猜想f(n)＝n2.用数学归纳法证明如下：①当n＝1时，f(1)＝12＝1显然成立．②假设当n＝k(k∈N＋)时，命题成立，即f(k)＝k2，则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝f(k)＋f(1)＋2×k×1＝k2＋1＋2k＝(k＋1)2，即当n＝k＋1时命题也成立，由①②可知，对一切n∈N＋都有f(n)＝n2成立．运用数学归纳法时易犯的错误：(1)对项数估算的错误，特别是寻找n＝k与n＝k＋1的关系时，项数发生什么变化被弄错．(2)不利用归纳假设：归纳假设是起桥梁作用的，桥梁断了就通不过去了．(3)步骤不严谨、不规范，在利用假设后，不作任何推导或计算而直接写出所要结论．[对应课时跟踪训练四]1．在用数学归纳法证明“2n>n2对从n0开始的所有正整数都成立”时，第一步验证的n0＝( )A．1 B．3C．5 D.7解析：n的取值与2n，n2的取值如下表：n 123456……2n248163264……n 21 49 16 25 36 ……由于2n的增长速度要远大于n 2的增长速度，故当n >4，即n ≥5时，恒有2n>n 2. 答案：C2．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n＋y n能被x ＋y 整除”的第二步是( ) A ．假设n ＝2k ＋1时正确，再推n ＝2k ＋3正确 B ．假设n ＝2k －1时正确，再推n ＝2k ＋1正确 C ．假设n ＝k 时正确，再推n ＝k ＋1正确D ．假设n ≤k (k ≥1)，再推n ＝k ＋2时正确(以上k ∈N ＋)解析：因为n 为正奇数，据数学归纳法证题步骤，第二步应先假设第k 个正奇数也成立，本题即假设n ＝2k －1正确，再推第(k ＋1)个正奇数即n ＝2k ＋1正确．答案：B3．凸n 边形有f (n )条对角线，则凸n ＋1边形的对角线条数f (n ＋1)为( ) A ．f (n )＋n ＋1 B ．f (n )＋n C ．f (n )＋n －1D.f (n )＋n －2解析：凸n 边形有f (n )条对角线，每增加1条边，增加的那个顶点对应n －2条对角线，它的相邻的两个顶点连成1条对角线，故凸n ＋1边形的对角线条数f (n ＋1)比f (n )多n －1条．答案：C4．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n >1324的过程中，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，不等式左边的变化情况为( )A ．增加12k ＋1B ．增加12k ＋1＋12k ＋1C ．增加12k ＋1＋12k ＋1，减少1k ＋1D ．增加12k ＋1，减少1k ＋1解析：当n ＝k 时，不等式的左边＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k ＋k，当n ＝k ＋1时，不等式的左边＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋1k ＋1＋k ＋1，又1k ＋2＋1k ＋3＋…＋1k ＋1＋k ＋1－⎝⎛⎭⎪⎫1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k ＋k ＝12k ＋1＋12k ＋1－1k ＋1，所以由n ＝k 到n ＝k ＋1时，不等式的左边增加12k ＋1＋12k ＋1，减少1k ＋1. 答案：C5．用数学归纳法证明 1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n－1(n ∈N ＋)的过程如下：①当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立． ②假设当n ＝k 时，等式成立，即 1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k－1，则当n ＝k ＋1时， 1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1，所以，当n ＝k ＋1时等式成立． 由此可知，对任何n ∈N ＋，等式都成立． 上述证明的错误是________． 解析：当n ＝k ＋1时正确的解法是 1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝2k －1＋2k ＝2k ＋1－1，即一定用上第二步中的假设． 答案：没有用上归纳假设进行递推6．用数学归纳法证明121×3＋223×5＋…＋n 22n －12n ＋1＝n n ＋122n ＋1，推证当n＝k ＋1时等式也成立时，只需证明等式____________________________________成立即可．解析：当n ＝k ＋1时， 121×3＋223×5＋…＋k 22k －12k ＋1＋k ＋122k ＋12k ＋3＝k k ＋122k ＋1＋k ＋122k ＋12k ＋3，故只需证明k k ＋122k ＋1＋k ＋122k ＋12k ＋3＝k ＋1k ＋222k ＋3即可．答案：k k ＋122k ＋1＋k ＋122k ＋12k ＋3＝k ＋1k ＋222k ＋37．数列{a n }满足a n >0(n ∈N ＋)，S n 为数列{a n }的前n 项和，并且满足S n ＝12⎝⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n ，求S 1，S 2，S 3的值，猜想S n 的表达式，并用数学归纳法证明．解：由a n >0，得S n >0，由a 1＝S 1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋1a 1，整理得a 21＝1，取正根得a 1＝1，所以S 1＝1.由S 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2及a 2＝S 2－S 1＝S 2－1，得S 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫S 2－1＋1S 2－1，整理得S 22＝2，取正根得S 2＝ 2. 同理可求得S 3＝ 3. 由此猜想S n ＝n . 用数学归纳法证明如下：(1)当n ＝1时，上面已求出S 1＝1，结论成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N ＋)时，结论成立，即S k ＝k . 那么，当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫S k ＋1－S k ＋1S k ＋1－S k ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫S k ＋1－k ＋1S k ＋1－k . 整理得S 2k ＋1＝k ＋1，取正根得S k ＋1＝k ＋1. 即当n ＝k ＋1时，结论也成立．由(1)(2)可知，对任意n ∈N ＋，S n ＝n 都成立．8．用数学归纳法证明1＋n 2≤1＋12＋13＋…＋12n ≤12＋n (n ∈N ＋)．解：(1)当n ＝1时，左式＝1＋12，右式＝12＋1，且32≤1＋12≤32，命题成立． (2)假设当n ＝k (n ∈N ＋)时， 命题成立，即1＋k 2≤1＋12＋13＋…＋12k ≤12＋k ，则当n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k >1＋k 2＋2k ·12k ＋1＝1＋k ＋12.11 又1＋12＋13＋…＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k <12＋k ＋2k ·12k ＝12＋(k ＋1)， 即当n ＝k ＋1时，命题成立．由(1)和(2)可知，命题对所有的n ∈N ＋都成立．。