2019-2020学年山东省青岛市局属四校九年级(上)期中数学试卷

2019-2020学年山东省青岛市局属四校九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）下列每小题都给出A 、B 、C 、D 四个结论，其中只有一个是正确的，每小题选对得分；不选、错选或选出的标号超过一个的不得分1．（3分）方程2x x =的解是( ) A ．1x =B ．0x =C ．11x =-，20x =D ．11x =，20x =2．（3分）如图，在ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，添加下列条件不能判定ABCD 是菱形的只有( )A ．AC BD ⊥B ．AB BC =C ．AC BD =D ．12∠=∠3．（3分）随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，抽样调查显示，截止2015年底某市汽车拥有量为16.9万辆．已知2013年底该市汽车拥有量为10万辆，设2013年底至2015年底该市汽车拥有量的年平均增长率为x ，根据题意列方程得( ) A ．210(1)16.9x += B ．10(12)16.9x += C ．210(1)16.9x -=D ．10(12)16.9x -=4．（3分）在数字1，2，3，4中任选两个组成一个两位数，这个两位数能被3整除的概率为( ) A ．13B ．14C ．16 D ．185．（3分）如图，在ABC △中，//DE BC ，3BD AD =，12BC =，则DE 的长是( )A ．3B ．4C ．5D ．66．（3分）如图，把ABC △沿着BC 的方向平移到DEF △的位置，它们重叠部分的面积是ABC △面积的一半，若3BC =，则ABC △移动的距离是( )A ．32B ．33C ．62D ．632-7．（3分）一个菱形的边长为6，面积为28，则该菱形的两条对角线的长度之和为( ) A ．8B ．12C ．16D ．328．（3分）如图，点O 为正方形ABCD 的中心，1AD =，BE 平分DBC ∠交DC 于点E ，延长BC 到点F ，使BD BF =，连结DF 交BE 的延长线于点H ，连结OH 交DC 于点G ，连结HC ．则以下四个结论中：①//OH BF ；②:2:1OG GH =；③212GH -=；④2CHF EBC ∠=∠；⑤2CH HE HB =．正确结论的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）9．（3分）若一元二次方程220190ax bx --=有一个根为1x =-，则a b += ． 10．（3分）若一个直角三角形两条直角边的长分别是a ，b ，满足2222()(1)12a b a b +++=，则这个直角三角形的斜边长为 ．11．（3分）若点C 是线段AB 的黄金分割点()AC BC >，8AB cm =，则AC = ． 12．（3分）一个不透明的口袋里装有除颜色外都相同的10个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为估计口袋中红球的个数，采用了如下的方法：先把口袋中的球摇匀，再从口袋里随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，不断重复上述过程，小亮共摸了1000次，其中有200次摸到白球，因此小亮估计口袋中的红球大约为 个．13．（3分）经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD 是ABC △的“和谐分割线”， ACD △为等腰三角形，CBD △和ABC △相似，46A ∠=︒，则ACB ∠的度数为 ．14．（3分）如图，为了测量一棵树CD 的高度，测量者在B 处立了一根高为2.5m 的标杆，观测者从E 处可以看到杆顶A ，树顶C 在同一条直线上，若测得7BD m =，3FB m =，1.6EF m =，则树高为 m ．15．（3分）如图，将一张长方形纸板的四个角上分别剪掉2个小正方形和2个小长方形（阴影部分即剪掉的部分），剩余的部分可以折成一个有盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．若长方形纸板边长分别为40cm 和30cm ，且折成的长方体盒子表面积是2950cm ，此时长方体盒子的体积为 3cm ．16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB 的两边OA 、OC 分别在x 轴和y 轴上，且2OA =，1OC =．在第二象限内，将矩形AOCB 以原点O 为位似中心放大为原来的32倍，得到矩形111AOC B ，再将矩形111AOC B 以原点O 为位似中心放大32倍，得到矩形222A OC B ⋯，以此类推，得到的矩形n n n A OC B 的对角线交点的坐标为 ．三、作图题（本题满分4分）17．（4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知：线段a和α∠．求作：菱形ABCD，使菱形ABCD的边长为a，其中一个内角等于α∠．四、解答题（本大题共8道小题，满分68分）18．（8分）用指定方法解方程：（1）2+-=（配方法解）2430x x（2）2-=-（公式法解）x x58219．（6分）第一盒中有2个白球、1个红球，第二盒中有1个白球、2个红球，这些球除颜色外无其他差别．分别从每个盒中随机取出1个球，求取出的2个球中有1个白球、1个红球的概率．请通过列表格或画树状图，说明理由．20．（6分）如图梯形ABCD 中，//AB CD ，且2AB CD =，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，EF 与BD 相交于点M（1）求证：EDM FBM △∽△； （2）若9DB =，求BM ．21．（6分）已知关于x 的一元二次方程26(21)0x x m -++=有实数根． （1）求m 的取值范围；（2）如果方程的两个实数根为1x ，2x ，且1212220x x x x ++，求m 的取值范围．22．（8分）如图，四边形ABCD 是正方形，点E 是边AB 上一点，延长AD 至F 使DF BE =，连接CF ．（1）求证：BCE DCF ∠=∠；（2）过点E 作//EG CF ，过点F 作//FG CE ，问四边形CEGF 是什么特殊的四边形，并证明．23．（10分）某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出500kg ，销售单价每涨2元，月销售量就减少20kg ，针对这种水产品情况，请解答以下问题：（1）当销售单价定为每千克56元时，计算销售量和月销售利润；（2）商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少？24．（12分）【阅读资料】同学们，我们学过用配方法解一元二次方程，也可用配方法求代数式的最值． （1）求241619x x ++的最小值．解：222416194161634(2)3x x x x x ++=+++=++因2(2)x +大于等于0，所以241619x x ++大于等于3，即241619x x ++的最小值是3．此时，2x =-（2）求22m m --+的最大值解：222211192()2()2()4424m m m m m m m --+=-++=-++-+=-++ 因21()2m +大于等于0，所以21()2m -+小于等于0，所以219()24m -++小于等于94，即22m m --+的最大值是94，此时，12m =-． 【探索发现】如图①，是一张直角三角形纸片，90B ∠=︒，8AB =，6BC =，小明想从中剪出一个以B∠为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE 、EF 剪下时，所得的矩形的面积最大．下面给出了未写完的证明，请你阅读下面的证明并写出余下的证明部分，并求出矩形的最大面积与原三角形面积的比值．解：在AC 上任取点E ，作ED BC ⊥，EF AB ⊥，得到矩形BDEF ．设EF x = 易证AEF ACB △∽△，则AF AE EF AB AC BC ==，8106AF AE x ==，45,33AF x AE x ==，2448833BDEFS EF BF x x x x ⎛⎫=⋅=-=-⋯ ⎪⎝⎭矩形请你写出剩余部分 【拓展应用】如图②，在ABC △中，BC a =，BC 边上的高AD h =，矩形PQMN 的顶点P 、N 分别在边AB 、AC 上，顶点Q 、M 在边BC 上，则矩形PQMN 面积的最大值为 ．（用含a ，h 的代数式表示） 【灵活应用】如图③，有一块“缺角矩形” ABCDE ，32AB =，40BC =，20AE =，16CD =，小明从中剪出了一个面积最大的矩形(B ∠为所剪出矩形的内角），该矩形的面积为 ．（直接写出答案） 【实际应用】如图④，现有一块四边形的木板余料ABCD ，经测量70AB cm =，108BC cm =，76CD cm =，且60B C ∠=∠=︒，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M 、N 在边BC 上且面积最大的矩形PQMN ，该矩形的面积为 ．（直接写出答案）25．（12分）如图，在矩形ABCD 中，4AB =，3BC =，BD 为对角线．点P 从点B 出发，沿线段BA 向点A 运动，点Q 从点D 出发，沿线段DB 向点B 运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P 运动到A 时，两点都停止．设运动时间为t 秒．（1）是否存在某一时刻t ，使得//PQ AD ？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由． （2）设四边形BPQC 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式．（3）是否存在某一时刻t ，使得:9:20ABCD BPQC S S =矩形四边形？若存在，求出t 的值；若不存在，则说明理由．（4）是否存在某一时刻t ，使得PQ CQ ⊥？若存在，求出t 的值；若不存在，则说明理由．2019-2020学年山东省青岛市局属四校九年级（上）期中数学试卷参考答案一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）下列每小题都给出A 、B 、C 、D 四个结论，其中只有一个是正确的，每小题选对得分；不选、错选或选出的标号超过一个的不得分1．（3分）方程2x x =的解是( ) A ．1x =B ．0x =C ．11x =-，20x =D ．11x =，20x =【解答】解：2x x =， 移项得20x x -=， 提公因式得(1)0x x -=， 解得11x =，20x =． 故选：D ．2．（3分）如图，在ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，添加下列条件不能判定ABCD 是菱形的只有( )A ．AC BD ⊥B ．AB BC =C ．AC BD =D ．12∠=∠【解答】解：A 、正确．对角线垂直的平行四边形是菱形．B 、正确．邻边相等的平行四边形是菱形．C 、错误．对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形．D 、正确．可以证明平行四边形ABCD 的邻边相等，即可判定是菱形．故选：C ．3．（3分）随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，抽样调查显示，截止2015年底某市汽车拥有量为16.9万辆．已知2013年底该市汽车拥有量为10万辆，设2013年底至2015年底该市汽车拥有量的年平均增长率为x ，根据题意列方程得( )A ．210(1)16.9x +=B ．10(12)16.9x +=C ．210(1)16.9x -=D ．10(12)16.9x -=【解答】解：设2013年底至2015年底该市汽车拥有量的年平均增长率为x ， 根据题意，可列方程：210(1)16.9x +=， 故选：A ．4．（3分）在数字1，2，3，4中任选两个组成一个两位数，这个两位数能被3整除的概率为( ) A ．13B ．14C ．16 D ．18【解答】解：可以得到的所有两位数为：12，13，14，23，24，34，43，42，41，32，31，21，共有12个．其中能被3整除的有4个， 所以两位数能被3整除的概率是41123=， 故选：A ．5．（3分）如图，在ABC △中，//DE BC ，3BD AD =，12BC =，则DE 的长是( )A ．3B ．4C ．5D ．6【解答】解：3BD AD =， :1:3AD BD ∴=， :1:4AD AB ∴=， //DE BC ，ADE ABC ∴△∽△，∴14DE AD BC AB ==， 12BC =， 3DE ∴=，故选：A ．6．（3分）如图，把ABC △沿着BC 的方向平移到DEF ∆的位置，它们重叠部分的面积是ABC △面积的一半，若3BC =，则ABC △移动的距离是( )A 3B 3C 6D 63【解答】解：ABC △沿BC 边平移到DEF △的位置，//AB DE ∴，ABC HEC ∴△∽△，∴21()2HECABC S EC S BC ==△△，:2EC BC ∴= 3BC =，6EC ∴=63BE BC EC ∴=-=．故选：D ．7．（3分）一个菱形的边长为6，面积为28，则该菱形的两条对角线的长度之和为() A ．8 B ．12 C ．16 D ．32【解答】解：如图所示：四边形ABCD 是菱形，12AO CO AC ∴==，12DO BO BD ==，AC BD ⊥，面积为28， ∴12282AC BD OD AO ==①菱形的边长为6，2236OD OA ∴+=②，由①②两式可得：222()2362864OD AO OD OA OD AO +=++=+=．8OD AO ∴+=，2()16OD AO ∴+=，即该菱形的两条对角线的长度之和为16．故选：C ．8．（3分）如图，点O 为正方形ABCD 的中心，1AD =，BE 平分DBC ∠交DC 于点E ，延长BC 到点F ，使BD BF =，连结DF 交BE 的延长线于点H ，连结OH 交DC 于点G ，连结HC ．则以下四个结论中：①//OH BF ；②:2:1OG GH =；③212GH -=；④2CHF EBC ∠=∠；⑤2CH HE HB =．正确结论的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：①BD BF =，BE 平分DBC ∠，DH HF ∴=，BH DF ⊥，OD OB =，OH ∴是DBF △的中位线，//OH BF ∴；故①正确；②③点O 为正方形ABCD 的中心，1AD =，BD BF =，2BD BF ∴==由三角形中位线定理知，1122OG BC ==，11(21)22GH CF ==-， :1:(21)OG GH ∴=， 故②错误，③正确；④90BCE BHD ∠=∠=︒，BEC DEH ∠=∠，EBC EDH ∴∠=∠，OH 是DBF △的中位线，DH HF ∴=， 又CD BF ⊥，DH CH ∴=，CDH DCH ∴∠=∠，2CHF DCH CDH EBC ∴∠=∠+∠=∠．故④正确；⑤ECH CBH ∠=∠，CHE CHB ∠=∠，HEC HCB ∴△∽△，::CH HB HE CH ∴=，即2CH HE HB =，故⑤正确．故选：D ．二、填空题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）9．（3分）若一元二次方程220190ax bx --=有一个根为1x =-，则a b += ．【解答】解：把1x =-代入一元二次方程220190ax bx --=得2019a b +-，所以2019a b +=．故答案为2019．10．（3分）若一个直角三角形两条直角边的长分别是a ，b ，满足2222()(1)12a b a b +++=，则这个直角三角形的斜边长为 ．【解答】解：a ，b 是一个直角三角形两条直角边的长设斜边为c ，2222()(1)12a b a b ∴+++=，根据勾股定理得：22(1)120c c +-=即22(3)(4)0c c -+=，240c +≠，230c ∴-=，解得c c =（舍去）．故答案为：3 11．（3分）若点C 是线段AB 的黄金分割点()AC BC >，8AB cm =，则AC = ．【解答】解：设AC 的长为xcm ，根据黄金分割定义可知：AC BC AB AC=即2AC AB BC =， 28(8)x x =-28640x x +-=，解得14(51)x =-，24(51)x =-+（不符合题意，舍去）．所以AC 的长为4(51)cm -．故答案为4(51)cm -．12．（3分）一个不透明的口袋里装有除颜色外都相同的10个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为估计口袋中红球的个数，采用了如下的方法：先把口袋中的球摇匀，再从口袋里随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，不断重复上述过程，小亮共摸了1000次，其中有200次摸到白球，因此小亮估计口袋中的红球大约为 个．【解答】解：小亮共摸了1000次，其中200次摸到白球，则有800次摸到红球， ∴白球与红球的数量之比为1:4，白球有10个，∴红球有41040⨯=（个)．故答案为：40．13．（3分）经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD 是ABC ∆的“和谐分割线”， ACD △为等腰三角形，CBD △和ABC △相似，46A ∠=︒，则ACB ∠的度数为 ．【解答】解：CBD ABC △∽△，46BCD A ∴∠=∠=︒，ACD △是等腰三角形，ADC BCD ∠>∠，ADC A ∴∠>∠，即AC CD ≠，①当AC AD =时，1(18046)672ACD ADC ∠=∠=︒-︒=︒， 6746113ACB ∴∠=︒+︒=︒，②当DA DC =时，46ACD A ∠=∠=︒，464692ACB ∴∠=︒+︒=︒，故答案为113︒或92︒．14．（3分）如图，为了测量一棵树CD 的高度，测量者在B 处立了一根高为2.5m 的标杆，观测者从E 处可以看到杆顶A ，树顶C 在同一条直线上，若测得7BD m =，3FB m =，1.6EF m =，则树高为 m ．【解答】解：作EH CD ⊥于H ，交AB 于G ，如图，则3EG BF m ==，7GH BD m ==， 1.6GB HD EF m ===，所以 2.5 1.60.9()AG AB GB m =-=-=，//AG CH ，EAG ECH ∴△∽△，∴AG EG CH EH =，即0.9310CH =， 解得：3CH =，4.6()CD CH DH m ∴=+=．故答案为：4.6．15．（3分）如图，将一张长方形纸板的四个角上分别剪掉2个小正方形和2个小长方形（阴影部分即剪掉的部分），剩余的部分可以折成一个有盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．若长方形纸板边长分别为40cm 和30cm ，且折成的长方体盒子表面积是2950cm ，此时长方体盒子的体积为 3cm ．【解答】解：设剪掉的小正方形的边长为xcm ，根据题意，得：222023040950x x +⨯=⨯-，2201250x x +-=，解这个方程得：15x =，225x =-（不合题意，应舍去），当5x =时，长方体盒子的体积为：3(302)(20)5(3025)(205)1500()x x x cm --=⨯-⨯⨯-=， 答：此时长方体盒子的体积31500cm故答案为：1500．16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB 的两边OA 、OC 分别在x 轴和y 轴上，且2OA =，1OC =．在第二象限内，将矩形AOCB 以原点O 为位似中心放大为原来的32倍，得到矩形111AOC B ，再将矩形111AOC B 以原点O 为位似中心放大32倍，得到矩形222A OC B ⋯，以此类推，得到的矩形n n n A OC B 的对角线交点的坐标为 ．【解答】解：在第二象限内，将矩形AOCB 以原点O 为位似中心放大为原来的32倍， ∴矩形111AOC B 与矩形AOCB 是位似图形，点B 与点1B 是对应点，2OA =，1OC =．点B 的坐标为(2,1)-，∴点1B 的坐标为3(22-⨯，31)2⨯， 将矩形111AOC B 以原点O 为位似中心放大32倍，得到矩形222A OC B ⋯， 233(222B ∴-⨯⨯，331)22⨯⨯， 3(22n n n B ∴-⨯，31)2nn ⨯， 矩形n n n A OC B 的对角线交点31(222n n -⨯⨯，311)22n n ⨯⨯，即3(2n n -，13)2nn +， 故答案为：3(2n n -，13)2nn +． 三、作图题（本题满分4分）17．（4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知：线段a 和α∠．求作：菱形ABCD ，使菱形ABCD 的边长为a ，其中一个内角等于α∠．【解答】解：如图菱形ABCD 即为所求．四、解答题（本大题共8道小题，满分68分）18．（8分）用指定方法解方程：（1）22430x x +-=（配方法解）（2）2582x x -=-（公式法解）【解答】解：（1）22430x x +-=，2322x x ∴+=， 25(1)2x ∴+=， 101x ∴+=， 101x ∴=-（2）2582x x -=-，5a ∴=，8b =-，2c =，∴6445224∆=-⨯⨯=，8244610x ±∴=； 19．（6分）第一盒中有2个白球、1个红球，第二盒中有1个白球、2个红球，这些球除颜色外无其他差别．分别从每个盒中随机取出1个球，求取出的2个球中有1个白球、1个红球的概率．请通过列表格或画树状图，说明理由．【解答】解：列表如下：白 红 红 白（白，白） （红，白） （红，白） 白 （白，白） （红，白） （红，白）红（白，红）（红，红）（红，红）所有等可能的情况有9种，其中取出的2个球中有1个白球、1个红球的情况有5种，所以P（取出的2个球中有1个白球、1个红球）59 =．20．（6分）如图梯形ABCD中，//AB CD，且2AB CD=，E，F分别是AB，BC的中点，EF与BD相交于点M（1）求证：EDM FBM△∽△；（2）若9DB=，求BM．【解答】（1）证明：2AB CD=，点E是AB的中点，DC EB∴=．又//AB CD，∴四边形BCDE为平行四边形．//ED BC∴．EDB FBM∴∠=∠．又DME BMF∠=∠，EDM FBM∴△∽△．（2）解：由F为BC的中点，得到2BC FB=，又四边形DCBE为平行四边形，得到DE BC=，则2DE FB=，即:1:2FB DE=，FBM∴△与EDM△的相似比为1:2，即:2:1DM MB=，又9BD=，设2DM k=，MB k=，所以29BD BM MD k k=+=+=，解得3k=，则3BM=．21．（6分）已知关于x 的一元二次方程26(21)0x x m -++=有实数根．（1）求m 的取值范围；（2）如果方程的两个实数根为1x ，2x ，且1212220x x x x ++，求m 的取值范围．【解答】解：（1）根据题意得2(6)4(21)0m ∆=--+， 解得4m ；（2）根据题意得126x x +=，1221x x m =+，而1212220x x x x ++，所以2(21)620m ++，解得3m ，而4m ，所以m 的范围为34m ．22．（8分）如图，四边形ABCD 是正方形，点E 是边AB 上一点，延长AD 至F 使DF BE =，连接CF ．（1）求证：BCE DCF ∠=∠；（2）过点E 作//EG CF ，过点F 作//FG CE ，问四边形CEGF 是什么特殊的四边形，并证明．【解答】（1）证明：四边形ABCD 是正方形， 90B ADC BCD ∴∠=∠=∠=︒，BC CD =，90B CDF ∴∠=∠=︒，在BCE △与DCF △中BE DF B CDF BC DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BCE DCF SAS ∴△≌△，BCE DCF ∴∠=∠；（2）解：四边形CEGF 是正方形，理由：//EG CF ，//FG CE ，∴四边形CEGF 是平行四边形，BCE DCF △≌△，CE CF ∴=，∴四边形CEGF 是菱形，BCE DCF ∠=∠，90ECF BCD ∴∠=∠=︒，∴四边形CEGF 是正方形．23．（10分）某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出500kg ，销售单价每涨2元，月销售量就减少20kg ，针对这种水产品情况，请解答以下问题：（1）当销售单价定为每千克56元时，计算销售量和月销售利润；（2）商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少？【解答】解：（1）当销售单价定为每千克56元时，月销售量为：500(5650)10440--⨯=（千克），所以月销售利润为：(5640)4407040-⨯=元；（2）由于水产品不超过1000040250kg ÷=，定价为x 元，则(40)[50010(50)]8000x x ---=，解得：180x =，260x =．当180x =时，进货50010(8050)200250kg kg --=<，符合题意，当260x =时，进货50010(6050)400250kg kg --=>，舍去．答：商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为80元．24．（12分）【阅读资料】同学们，我们学过用配方法解一元二次方程，也可用配方法求代数式的最值．（1）求241619x x ++的最小值．解：222416194161634(2)3x x x x x ++=+++=++因2(2)x +大于等于0，所以241619x x ++大于等于3，即241619x x ++的最小值是3．此时，2x =-（2）求22m m --+的最大值 解：222211192()2()2()4424m m m m m m m --+=-++=-++-+=-++ 因21()2m +大于等于0，所以21()2m -+小于等于0，所以219()24m -++小于等于94，即22m m --+的最大值是94，此时，12m =-． 【探索发现】如图①，是一张直角三角形纸片，90B ∠=︒，8AB =，6BC =，小明想从中剪出一个以B ∠为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE 、EF 剪下时，所得的矩形的面积最大．下面给出了未写完的证明，请你阅读下面的证明并写出余下的证明部分，并求出矩形的最大面积与原三角形面积的比值．解：在AC 上任取点E ，作ED BC ⊥，EF AB ⊥，得到矩形BDEF ．设EF x =易证AEF ACB △∽△，则AF AE EF AB AC BC ==，8106AF AE x ==，45,33AF x AE x ==，2448833BDEF S EF BF x x x x ⎛⎫=⋅=-=-⋯ ⎪⎝⎭矩形 请你写出剩余部分【拓展应用】如图②，在ABC △中，BC a =，BC 边上的高AD h =，矩形PQMN 的顶点P 、N 分别在边AB 、AC 上，顶点Q 、M 在边BC 上，则矩形PQMN 面积的最大值为 ．（用含a ，h 的代数式表示）【灵活应用】如图③，有一块“缺角矩形” ABCDE ，32AB =，40BC =，20AE =，16CD =，小明从中剪出了一个面积最大的矩形(B ∠为所剪出矩形的内角），该矩形的面积为 ．（直接写出答案） 【实际应用】如图④，现有一块四边形的木板余料ABCD ，经测量70AB cm =，108BC cm =，76CD cm =，且60B C ∠=∠=︒，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M 、N 在边BC 上且面积最大的矩形PQMN ，该矩形的面积为 ．（直接写出答案） 【解答】解：【探索发现】2244488(3)12333BDEF S EF BF x x x x x ⎛⎫=⋅=-=-=--+ ⎪⎝⎭矩形， 24(3)03x --， ∴24=(3)12123BDEF S EF BF x =⋅--+矩形，∴矩形BDEF 的面积的最大值为12． 【拓展应用】设PN b =， //PN BC ，APN ABC ∴△∽△，∴AE PN AD BC=， BC a =，BC 边上的高AD h =，∴h PQ b h a -=，ah bh PQ a-=， 222()244abh hb h h a ah ah S b PQ b bh b a a a -∴===-+=--+ S ∴的最大值为：4ah ； 则矩形PQMN 面积的最大值为4ah ； 故答案为：4ah ．【灵活应用】如图③，延长BA、DE交于点F，延长BC、ED交于点G，延长AE、CD 交于点H，取BF中点I，FG的中点K，由题意知四边形ABCH是矩形，32AB =，40BC=，20AE=，16CD=，20EH∴=、16DH=，AE EH∴=、CD DH=，在AEF△和HED△中，FAE DHEAE AHAEF HED∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()AEF HED ASA∴△≌△，16AF DH∴==，同理CDG HDE△≌△，20CG HE∴==，242AB AFBI+∴==，2432BI=<，∴中位线IK的两端点在线段AB和DE上，过点K作KL BC⊥于点L，由【探索发现】知矩形的最大面积为1111(4020)(3216)7202222BG BF⨯=⨯+⨯+=，故答案为720．【实际应用】如图④，延长BA、CD交于点E，过点E作EH BC⊥于点H，60B C ∠=∠=︒，EB EC ∴=，EH BC ⊥，BH HC ∴=，tan 603EHHC =︒=设CH BH x ==，则3EH x =，1082BC BH CH x =+==，54x =，54BH CH ∴==，543EH ==2108EB EC BH ∴==，70AB =，38AE ∴=，BE ∴的中点Q 在线段AB 上，76CD =，CE ∴的中点P 在线段CD 上，∴中位线PQ 的两端点在线段AB 、CD 上，由【拓展应用】知，矩形PQMN 的最大面积为2111085431458344BC EH cm =⨯⨯， 故答案为214583cm ．25．（12分）如图，在矩形ABCD 中，4AB =，3BC =，BD 为对角线．点P 从点B 出发，沿线段BA 向点A 运动，点Q 从点D 出发，沿线段DB 向点B 运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P 运动到A 时，两点都停止．设运动时间为t 秒．（1）是否存在某一时刻t ，使得//PQ AD ？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．（2）设四边形BPQC 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式．（3）是否存在某一时刻t ，使得:9:20ABCD BPQC S S =矩形四边形？若存在，求出t 的值；若不存在，则说明理由．（4）是否存在某一时刻t ，使得PQ CQ ⊥？若存在，求出t 的值；若不存在，则说明理由．【解答】解：（1）四边形ABCD 是矩形，90A ∴∠=︒，4AB =，3AD BC ==， 2222345BD AB AD ∴=+=+=，由题意BP t =，DQ t =，//PQ AD ，∴BP BQ BA BD =， ∴545t t -=， 209t ∴=， ∴满足条件的t 的值为209．（2）作OE AB ⊥于E ，OF BC ⊥于F ．//QE AD ，∴QE BQ AD DB =， ∴535QE t -=， 3(5)5QE t ∴=-， //QF CD ， ∴QF BQ CD BD =， ∴545QF t -=， 4(5)5QF t ∴=-， 211131433(5)3(5)62225251010PBQ BCQ S S S PB QE BC QF t t t t t ∴=+=+=-+⨯⨯-=-++△△．（3）由题意：233(6):129:201010t t -++=， 整理得：220t t --=，解得2t =或1-（舍弃）， ∴满足条件的t 的值为2．（4）如图1中，作OE AB ⊥于E ，OF BC ⊥于F ． 当PQ QC ⊥时，QEP QFC △∽△，则EQ PE QF CF=， ∴34(5)(5)5543(5)3(5)55t t t t t ---=---， 解得169t =， ∴满足条件的t 的值为169．。