湖南省衡阳市祁东县2017-2018学年高三数学月考试题理

湖南省衡阳市祁东县2017-2018学年高三数学 月考试题 理时量：120分钟；分值：150分。

命题人：周北桥（2016/09/28） 注意事项：1、本套试题分为试题卷（四页）和答题卷（四页）两部分。

2、作答前，请同学们在试卷规定的位置相应地填好自己的班次、姓名、学号及座位号。

3、答题时，请将答案填写在答题卷上指定位置，否则不给分；务必保持字体工整、笔迹清晰，卷面清洁。

4、考试结束后，请保留好试题卷，只收交答题卷。

一、选择题：每小题5分，共60分。

在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把符合要求的选项填到指定的答题框中，否则不给分。

1、喜洋洋从家步行到学校，一般需要10分钟，则10分钟时间钟表的分针走过的角度是( ) A ．30° B ．－30° C ．60° D －60°2、设集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，B ＝{(x ，y )|x －y ＝3}，则满足M ⊆(A ∩B )的集合M 的个数是 ( )A ．0B ．1C ．2D ．33、已知cos 31°＝a ，则sin 239°·tan 149°的值是 ( ) A.1－a 2a B.1－a 2 C.a 2－1aD ．－1－a 24、已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c 若A ＝π3，b ＝2a cos B ，c ＝1，则△ABC 的面积等于 ( ) A.32 B.34 C.36 D.385、一质点运动时速度与时间的关系为v (t )＝t 2－t ＋2，质点做直线运动，则此质点在时间[1,2]内的位移为 ( ) A.176 B.143 C.136 D.1166、已知α为第二象限角，则cos α1＋tan 2α＋sin α1＋1tan 2α＝ ( ) A 、2cos α B 、0 C 、2sin α D 、27、设x ∈R ，函数f (x )＝e x＋a e －x的导函数y ＝f ′(x )是奇函数，若曲线y ＝f (x )的一条切线的斜率为32，则切点的横坐标为 ( ) A.ln 23B.－ln 22C.ln 2D.－ln 28、设x 1，x 2是方程ln|x －2|＝m (m 为实常数)的两根，则x 1＋x 2的值为( ) A.4 B.2 C.－4 D.与m 有关9、将函数y ＝3sin2x －cos2x 的图象向右平移π4个单位长度，所得图象对应的函数g (x )( )A ．有最大值，最大值为3＋1B ．对称轴方程是x ＝7π12＋k π，k ∈ZC ．是周期函数，周期T ＝π2D ．在区间[π12，7π12]上单调递增10、设函数y ＝f (x )在(0，＋∞)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x，f x K ，K ，f x K ，取函数f (x )＝ln x ＋1ex，恒有f K (x )＝f (x )，则( )A ．K 的最大值为1eB ．K 的最小值为1e C ．K 的最大值为2 D ．K 的最小值为211、若a ≥0，函数f (x )＝(x 2－2ax )e x，又f (x )在[－1,1]上是单调减函数，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1212、已知a cos α＋b sin α＝c ，a cos β＋b sin β＝c (ab ≠0，α－β≠k π，k ∈Z )，则cos 2α－β2＝( ) A.c 2a 2＋b2B.a 2c 2＋b2C.b 2a 2＋c2D.ac 2＋b 2二．填空题：每小题5分，共20分，将答案填在指定位置处。

13、若“x ∈[2,5]或x ∈{x |x ＜1或x ＞4}”是假命题，则x 的取值范围是________．14、函数错误！未找到引用源。

的定义域为________.15、已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a 和函数g (x )＝2x ＋x ＋1，对任意x 1∈[－1，＋∞)，总存在x 2∈R 使g (x 1)＝f (x 2)成立，则实数a 的取值范围是________．16、已知f (x )＝x 3－6x 2＋9x －abc ，a ＜b ＜c ，且f (a )＝f (b )＝f (c )＝0.现给出如下结论： ①、f (0)f (1)＞0； ②、f (0)f (1)＜0； ③、f (0)f (3)＞0； ④、f (0)f (3)＜0. 其中正确结论的序号是________．三．解答题：共6个大题，各大题的分值分配依次为10分、12分、12分、12分、12分、12分，共70分；在规定的地方作答，要有必要的步骤和格式，否则不给分。

17、已知命题p ：“∀x ∈[0，1]，a ≥e x”，命题q ：“∃x ∈R ，x 2＋4x ＋a ＝0”，若命题“p ∧q ”是真命题，求实数a 的取值范围18、如图，函数f (x )＝3sin x 2·cos x 2＋cos 2x 2＋m 的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，0.(1)、求实数m 的值及f (x )的单调递增区间；(2)、设y ＝f (x )的图象与x 轴、y 轴及直线x ＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<t <2π3所围成的曲边四边形的面积为S ，求S 关于t 的函数S (t )的解析式．19、△ABC 的外接圆半径为1，角A ，B ，C 的对边分别为a ，ｂ，ｃ．向量m =(4cos )a B ，n =(cos )A b ，满足m //n . （1）、求sin sin A B +的取值范围；（2）、若实数x 满足abx =a +b ，试确定x 的取值范围.20、已知f (x )＝x ln x (x >0). (1)、求f (x )的最小值.(2)、F (x )＝ax 2＋f ′(x )，(a ∈R )，讨论函数f (x )的单调性.21、某地政府为科技兴市，欲将如图所示的一块不规则的非农业用地AOCB 规划建成一个矩形的高科技工业园区．已知AB ⊥BC ，OA ∥BC ，AB ＝BC ＝2AO ＝4 km ，曲线段OC 是以点O 为顶点且开口向上的抛物线的一段．如果要使矩形的相邻两边分别落在AB ，BC 上，且一个顶点P 落在曲线段OC 上，问应如何规划才能使矩形工业园区的用地面积最大？并求出最大的用地面积(精确到0.1 km 2)．（要求：以O 为原点，AO 所在直线为x 轴建立直角坐标系）22、已知函数f (x )＝ax －ln(1＋x 2)．(1)、当a ＝45时，求函数f (x )在(0，＋∞)上的极值；(2)、证明：当x >0时，ln(1＋x 2)<x ；(3)、证明：(1＋12)(1＋13)…(1＋1n )<e(n ∈N *，n ≥2，e 为自然对数的底数)．理科数学一、选择题：每小题5分，共60分。

在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把符合要求的选项填到指定的答题框中，否则不给分。

1、喜洋洋从家步行到学校，一般需要10分钟，则10分钟时间钟表的分针走过的角度是( ) A ．30° B ．－30° C ．60° D －60° [解析] 分针走过的角度是－60°.故选D.2、设集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，B ＝{(x ，y )|x －y ＝3}，则满足M ⊆(A ∩B )的集合M 的个数是 ( )A ．0B ．1C ．2D ．3[解析] 选C ，由题中集合可知，集合A 表示直线x ＋y ＝1上的点，集合B 表示直线x －y ＝3上的点，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －y ＝3可得A ∩B ＝{(2，－1)}，M 为A ∩B 的子集，可知M 可能为{(2，－1)}，∅，所以满足M ⊆(A ∩B )的集合M 的个数是2，故选C.3、已知cos 31°＝a ，则sin 239°·tan 149°的值是 ( ) A.1－a 2a B.1－a 2 C.a 2－1aD ．－1－a 2[解析] sin 239°·tan 149°＝sin(270°－31°)·tan(180°－31°)＝(－cos 31°)·(－tan 31°)＝sin31°＝1－a 2.[答案] B4、已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c 若A ＝π3，b ＝2a cos B ，c ＝1，则△ABC 的面积等于( ) A.32 B.34 C.36 D.38析B [由正弦定理得sin B ＝2sin A cos B ，故tan B ＝2sin A ＝2sin π3＝3，又B ∈(0，π)，所以B ＝π3，又A ＝π3，所以△ABC 是正三角形，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×1×1×32＝34.]5、一质点运动时速度与时间的关系为v (t )＝t 2－t ＋2，质点做直线运动，则此质点在时间[1,2]内的位移为( )A.176B.143C.136D.116[解析] ∵v (t )＞0，∴质点在[1,2]内的位移s 即为v (t )在[1,2]上的定积分，∴s ＝⎠⎛12v (t )d t ＝⎠⎛12(t 2－t ＋2)d t ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3－12t 2＋2t 21＝176.故选A.[答案] A6、已知α为第二象限角，则cos α1＋tan 2α＋sin α1＋1tan 2α＝ ( ) A 、2cos α B 、0 C 、2sin α D 、2 [解析] B 原式＝cos αsin 2α＋cos 2αcos 2α＋sin α sin 2α＋cos 2αsin 2α＝cos α1|cos α|＋ sin α1|sin α|，因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0，所以cos α1|cos α|＋sinα1|sin α|＝－1＋1＝0，即原式等于0.7、设x ∈R ，函数f (x )＝e x＋a e －x的导函数y ＝f ′(x )是奇函数，若曲线y ＝f (x )的一条切线的斜率为32，则切点的横坐标为( ) A.ln 23B.－ln 22C.ln 2D.－ln 2解析 y ＝f ′(x )＝e x－a e －x，∵y ＝f ′(x )为奇函数，∴f ′(0)＝1－a ＝0，∴a ＝1，∴f ′(x )＝e x－e －x ，由e x －e －x ＝32得e x＝2，x ＝ln 2.答案 C8、设x 1，x 2是方程ln|x －2|＝m (m 为实常数)的两根，则x 1＋x 2的值为( ) A.4B.2C.－4D.与m 有关解析 方程ln|x －2|＝m 的根即函数y ＝ln|x －2|的图象与直线y ＝m 的交点的横坐标，因为函数y ＝ln|x －2|的图象关于x ＝2对称，且在x ＝2两侧单调，值域为R ，所以对任意的实数m ，函数y ＝ln|x －2|的图象与直线y ＝m 必有两交点，且两交点关于直线x ＝2对称，故x 1＋x 2＝4，选A. 9、将函数y ＝3sin2x －cos2x 的图象向右平移π4个单位长度，所得图象对应的函数g (x )( )A ．有最大值，最大值为3＋1B ．对称轴方程是x ＝7π12＋k π，k ∈ZC ．是周期函数，周期T ＝π2D ．在区间[π12，7π12]上单调递增析： [化简函数得y ＝3sin2x －cos2x ＝2sin(2x －π6)，所以g (x )＝2sin(2x －2π3)易求最大值是2，周期是π，由2x －2π3＝π2＋k π(k ∈Z )，得对称轴方程是x ＝7π12＋k π2(k ∈Z )．根据正弦函数的单调递增区间可得－π2＋2k π≤2x －2π3≤π2＋2k π(k ∈Z )⇔π12＋k π≤x ≤7π12＋k π(k ∈Z )，故选D.]10、设函数y ＝f (x )在(0，＋∞)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x，f x K ，K ，f x K ，取函数f (x )＝ln x ＋1ex，恒有f K (x )＝f (x )，则( )A ．K 的最大值为1eB ．K 的最小值为1eC ．K 的最大值为2D ．K 的最小值为2[解析] 由f (x )＝ln x ＋1ex，令f ′(x )＝exx －x ＋xe2x＝1x－x＋ex＝0，得x ＝1.当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，即f (x )＝ln x ＋1ex在x ＝1时取得最大值1e ，而f (x )≤K 恒成立，所以1e ≤K ，故K 的最小值为1e，选B.11、已知a ≥0，函数f (x )＝(x 2－2ax )e x，若f (x )在[－1,1]上是单调减函数，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 [解析] f ′(x )＝(2x －2a )e x＋(x 2－2ax )e 2＝[x 2＋(2－2a )x －2a ]e x，由题意当x ∈[－1,1]时，f ′(x )≤0恒成立，即x 2＋(2－2a )x －2a ≤0恒成立．令g (x )＝x 2＋(2－2a )x －2a ，则有⎩⎪⎨⎪⎧g －，g ，即⎩⎪⎨⎪⎧－2＋－2a －－2a ≤0，12＋2－2a －2a ≤0，解得a ≥34.[答案] C12、已知a cos α＋b sin α＝c ，a cos β＋b sin β＝c (ab ≠0，α－β≠k π，k ∈Z )，则cos 2α－β2＝( ) A.c 2a 2＋b2B.a 2c 2＋b2C.b 2a 2＋c2D.ac 2＋b 2[答案] A [解析] 在平面直角坐标系中，设A (cos α，sin α)，B (cos β，sin β)，点A (cos α，sin α)与点B (cos β，sin β)是直线l ：ax ＋by ＝c 与单位圆x 2＋y 2＝1的两个交点，如图，从而|AB |2＝(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2＝2－2cos(α－β)，又∵单位圆的圆心(0,0)到l 的距离d ＝|c |a 2＋b 2，由平面几何知识知|OA |2－(12|AB |)2＝d 2，即1－2－α－β4＝c 2a 2＋b 2，∴cos 2α－β2＝c2a 2＋b2.二．填空题：每小题5分，共20分，将答案填在指定位置处。