函数与方程思想在不等式教学中的应用

即
利用 不 等 式 的 有 关 性 质 很 难 直 接 得 到 本 题 的答 案 作 差 ， 通过 因式分 解判 断 （ ｎ ｓ ＋６ ｓ ） 一
．
（ ｎ ｂ 。 ＋ｎ 。 ｂ ） 的符 号可迅 速得 到答 案 ：
ｎ ＋ｂ ＞口 ｂ 。 ＋口 。 ｂ 。 ．
即 ｌ １ ３ ＋ ４ ３ — ２ 袅＋ 亳 ． 。 ＜ ’ 。 ， 解 解 得 得一 一 ＞ ０ ＞ 一 一 即 ， 即 。 。 ＞ ＞ 一 一 ．
推导 ａ ｚ ． ＋ｂ ｘ＋ｃ ＞Ｏ（ 口 ＜Ｏ ） 的解 集 时 ， 应 让 学 生 充 分理 解 函数 —ａ ｘ ＋ｂ ａ ｒ ＋Ｃ 、 方程 ｎ ＋ｂ ｘ＋ｆ 一０
一 一
Ｂ ＋ ｃ ＞ ０ （ ＜ ０ ） 若 可 化 为 ＞ 一 詈 ｚ 一 旨 ， 则 表 示 直 线
最值
设计课 蚤
遵赢 赣 曝 誊
◇ 山 东 薛 颖
基本 不等 式 一 节 经 常 考 查 已 知 ． ｚ ＋ｙ— ， 求ｘ ｙ 的最 值 ， 或 已知 ｘ ｙ—ｑ ， 求ｘ ＋ｙ的最 值 ， 于是 求 ＋
（ ｎ ＞Ｏ ） 型 的最值 就成 为本 节研 究 的重 点 内容 之 一．
间［ １ ， ２ ］ 上单 调递 增 ， 一ｚ 一（ ｎ ＋ｎ ） ＜ Ｏ在 区 间 （ １ ，
不等 关 系是 自然 界 中普 遍存 在 的数量 关 系． 高 中
数 学教 材较 少 直 接 地研 究 不 等 关 系 问 题 ， 这给“ 不 等
式” （ 本 文 以人 教 Ａ 版必修 ５为例 进行 说 明） 的教 学带 来 一 定 的 困难 ． 数 量 关 系 无 非 是 相 等 与 不 等 ２种 情
事 实 上， Ａ ． ｒ ＋ Ｂ ｙ ＋ Ｃ 一 ０ 可 化 为 一 一 号 ｚ 一
时可直 接得 到不 等 式 的解 集 ； 当 △一次方 程 根 的关 系 ， 先求 一 元 二 次方程 的根 ， 再根 据 函数 图象 与 轴 相 关位 置确 定 不 等式 的解集 ．
—
彝 董 兰
必需 向学 生说 明清楚 ， 引导 学 生养 成运 用 方 程 思想 解 决 不等 关 系问题 的 习惯．
拓 展 比较 ２个代数 式 的大小 ， 根 据 代数 式 的结 构 也可 采用 比商法 ．
２ 利 用 ＝ ａ ｘ ＋ｂ ｘ ＋ Ｃ（ ａ ＞Ｏ ） 图象 ， 推导 ａ Ｘ ＋ｂ ｘ ＋ ｃ ＞Ｏ （ ａ ＜Ｏ ｌ 的解 集 结合 ｙ —ｎ ＋ｂ ｘ＋ ｃ的 图 象 ， 当 △一 ｂ 。 ＋４ ａ ｃ ≤０
■， ■ ．
，
例３ 已知 二 次 函数 ＿ 厂 （ ） 一ａ ｘ 。 ＋ｂ ｘ ＋ ｌ（ ｎ ＞
Ｑ 解 析 记ｇ （ ｚ ） 一 厂 （ ） 一 ｚ — ａ ｘ 。 ＋ ｂ ｘ ＋１ 一 —
口 ｚ ｚ ＋（ ｂ －１ ） ｚ ＋１ ， 设 ｇ （ ） 一０的 ２根 为 ｚ 、
课堂 教学 的 引入新课 环 节 ， 是 整 个课 堂教 学 中不
可缺 少 的有 机 组 成部 分 ． 传 统 教 学模 式 中 ， 大 多 数 教 师是 直接 灌输 ， 学 生 还 没有 准备 好 ， 教 师 就 直 接 将 枯 更谈 不上 探究 的欲 望． 《 普 通 高 中数 学 课 程标 准 》 倡 导
Ａｒ ＋Ｂ ＋ Ｃ一 ０上 方 的平 面 区 域 ；若 可 化 为 ｙ＜
，
和不 等式 ａ ３ ２ ４ － ｂ ｘ ＋ｃ ＞ Ｏ（ 口 ＜Ｏ ） 三者 之 间 的关 系 ， 可
则 表示直 线 Ａｘ＋Ｂ ｙ ＋ Ｃ一０下 方 的 平 面
先结合 图象 引入 函数 ． ｙ —ａ ｘ ＋ｂ与 方 程 ｎ ｚ＋６ —０和 不等式 ａ ｘ＋ｂ ＞Ｏ（ ｎ ＜０ ） 的关 系 ， 引导 学生 思考 函数 、
了方 程 与不 等式 之 间的关 系 ， 体 会 事 物 之 间联 系 的 普
遍性 ． 从 本质 上懂 得 了 Ａｘ ＋Ｂ ｙ ＋Ｃ ＞０ （ ＜０ ） 则 表 示 的平 面 区域 ， 运 用必将 更 加灵 活． ４ 构 造 函数 ，（ ） ＝ ＋ ａ （ ｎ ＞ ０） ， 求 ＋ ａ 型 的
－ ｚ ， 根据 ａ ＞ Ｏ和 ｚ ＜２ ＜ｚ ＜４ ， 结 合二 次 函数 图象有
例 １ 已知 ａ 、 ｂ ∈Ｒ ＋并 且 ａ ≠ｂ ， 试 比较 口 ＋ｂ 与ａ ｂ 。 ＋ａ 。 ｂ 大小 的关 系．
析
』 ｇ ２ ＜ ０ ， 即 』 ４ ａ ＋ ２ ｂ － ＜ ０ ，
理化
象通 过分 析点 Ｐ。 （ ｚ。 ， ｙ 。 ） ， Ｐ （ ｚ 。 ， ｙ ） ， Ｐｚ （ 。 ， ｙ ） （ 其
中点 Ｐ。 在直 线上 ， ＞ 。 ＞ ： ） 的位 置 关 系得 到． 这 里 与课本 不 同 的处 理 方 法 让 学 生 更 好 地 理 解
例２ 关 于 ｚ的不 等 式 一ｚ一 （ ｎ ＋口 ） ＜ ｏ在
Ｑ 二 次 函 数－ 厂 （ ｚ ） 一 ｚ － 。 一 ｚ 一 （ ＆ ｑ － ａ ） 的 对 称 轴
◇ 福建 杨 春 元
为ｚ ： ： ＝ ÷， 函数 ． 厂 （ ｚ ） 一ｚ 。 一ｚ 一（ ｎ ＋Ⅱ ） 在区
况， 通过 学生熟 悉 的相等 关 系 的研 究来 揭 发 和探 索 不 等关 系 问题 ， 运 用 函数与 方 程思 想 来指 导 不等 式 的教 与学 将 使学 生对 不等式 知识 的发 生 、 发展 和运 用 有 更 深 刻 的理解 ． 本 文 以教 材 中几 个 片段 的教 学 ， 谈谈 函 数 与方 程思 想在 不等式 教学 中的运用． １ 利用 ｎ —ｂ的 符号 ， 比较 实数 口 、 ｂ大 小关 系