培养中学生数学思想提高课堂教学效率_2

培养中学生数学思想提高课堂教学效率
福州二十一中 陈飞
摘要：在初中数学教材中集中了大量的优秀例题和习题，它们所体现的数学知识和数学方法固然重要，但其蕴涵的数学思想却更显重要。

作为初中数学教师，要善于挖掘例题、习题的潜在功能，在教学中向学生充分提供从事数学活动的机会，帮助学生在自主探索和合作交流的过程中，真正理解和掌握基本的数学知识与数学思想，获得广泛的数学经验。

学生是数学学习的主人，一旦他们领会了数学思想方法，就能有效地应用知识，形成能力，从而达到提高课堂教学效率的目的。

因此，笔者认为在初中数学教学中，教师必须重视对学生进行数学思想方法的渗透与培养。

关键词：数学思想、转化思想、数形结合思想、分类讨论思想、整体思想
正文：什么是数学思想？数学思想是对数学知识和方法本质的认识，是解决数学问题的根本策略，它直接支配着数学的实践活动；数学思想揭示了数学各种定义、定理、规律的本质，是沟通基础与能力的桥梁。

在初中数学教学中，常见的数学思想有：转化思想、数形结合思想、分类讨论思想、整体思想等。

笔者根据多年的教学经验作如下的总结：
一、 应用转化思想，提高学生解决问题的能力
所谓“转化思想”也称“化归思想”方法，是指在研究未知领域时，通过元素之间因有联系向已知领域转化，从中找出它们之间的本质联系，进而解决问题的一种思想方法。

在中学数学教学中，主要表现为引导学生将数学问题的某一形式向另一形式转变，化未知为已知、化繁为简。

如：在解方程组时，通过消元这个手段，把二元一次方程组转化为一元一次方程去解；在解多边形问题时，又是通过添加辅助线这个手段，把多边形的问题转化为三角形的问题加以解决等等。

典型例题剖析：
如图3－1－1，反比例函数y=－8x
与一次函数y=－x+2的图象交于A 、B 两
点．
（1）求 A 、B 两点的坐标；
（2）求△AOB 的面积．
解：（1）解方程组82y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=-+⎩ 得121242;24x x y y ==-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩ 所以A 、B 两点的坐标分别为A （－2，4）B(4，－2
（2）因为直线y=－x+2与y 轴交点D 坐标是(0， 2）， 所以11222,24422
AOD BOD S S ∆∆=⨯⨯==⨯⨯= 所以246AOB S ∆=+=
点评：这是人教版八年级课本的一道习题，两个函数的图象相交，说明交点处的横坐标和纵坐标，既适合于第一个函数，又适合于第二个函数，所以根据题意可以将函数问题转化为方程组的问题，从而求出交点坐标．
因此，在初中数学教学中，要注重渗透转化思想，可以说转化思想是科学世界观在数学中的体现，是最重要的数学思想之一，不仅可以培养学生的科学意识，而且可以提高学生的观察能力、探索能力和分析解决问题的能力。

二、应用数形结合的思想方法，提高学生的迁移思维的能力
所谓“数形结合思想”是指将数与图形结合起来解决问题的一种思维方式。

我们在研究数量关系时，有时要借助于图形直观地去研究，而在研究图形时，又常常借助于线段或角的数量关系去探求。

如：在讲“圆与点、直线、圆的位置关系”时，可通过课件进行运动实验，激发学生积极主动探索，让学生首先从形的角度认识圆与以上各种图形位置关系，然后找出所对应的各种数量关系。

又如数学教学中，我们在学习研究相反数、绝对值的定义，有理数大小比较的法则等，正是借助数形结合的常用载体——数轴，利用这一载体大大减少了引进这些概念的难度，也加深了学生对这些知识的理解和记忆。

典型例题剖析：
两直线之间的位置关系包括：平行、相交、重合。

在初中数学中研究这种位置关系一般是通过
几何作图来研究。

但是如果知道两直线的函数解析式该如何通过代数的方法来研究这两条直线的位置关系呢？例如：直线1l ：11b x a y +=，直线2l ：b x a y +=2，利用代数的方法研究直线1l 、2l 之间的位置关系。

这个问题实质上就是二元一次方程组⎩
⎨⎧+=+=2211b x a y b x a y 的几何意义。

关于二元一次方程组⎩⎨⎧+=+=2
211b x a y b x a y 的解有三种情况：①无解；②无数个解；③ 只有一个解。

这三种情况可以转化为直线1l ：11b x a y +=与直线2l ：b x a y +=2的三种位置关系：①平行；②重合；③ 相交。

方程组的解转化为两条直线的交点。

当21a a =，21b b ≠时，两条直线的斜率相同，在y 轴上的截距不同。

此时两条直线平行，无交点，因而方程组无解。

进一步来说当方程组⎩⎨⎧+=+=2
211b x a y b x a y 无解时，直线1l 、2l 平行。

当21a a =，21b b =时，两条直线的斜率相同，在y 轴上的截距也相同。

此时两条直线重合，
有无数个公共点，因而方程组有无数个解。

进一步来说当方程组⎩⎨⎧+=+=2
211b x a y b x a y 有无数个解时，直线
1l 、2l 重合。

当21a a ≠时，两条直线的斜率不相同，两条直线相交，只有一个交点，因而方程组只
有一个解。

进一步来说当方程组⎩
⎨⎧+=+=2211b x a y b x a y 仅有一个解时，直线1l 、2l 相交。

点评：这个问题正是利用以数助形的方法给出了判断两直线之间的位置关系的代数方法。

因此这种借助于形通过数的运算推理研究问题的数形结合思想，在教学中要不失时机地渗透，这样不仅可以提高学生的迁移思维能力，还可以培养学生的数形转换能力和多角度思考问题的习惯。

三、 应用分类思想方法提高学生分析问题的能力。

所谓“分类思想”也称“类比思想”是指根据数学本质属性的相同点和不同点，将数学研究对象分为不同种类的一种数学思想。

分类以比较为基础，比较是分类的前提，分类是比较的结果。

分类讨论思想，贯穿于整个中学数学的全部内容中。

需要运用分类讨论的思想解决的数学问题，就其引起分类的原因，可归结为：
3.1涉及数学概念、定义的分类；
如：课本对有理数是这样定义的：“整数和分数统称有理数”，它揭示了有理数的所有外延，既不扩大也不遗漏。

3.2运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的；
如：当我们应用一元二次方程根的判别式，直线与圆的位置关系（交点的个数多少、半径与圆心到直线的距离的数量大小比较），两圆的位置关系（交点的个数多少、两圆半径的和、差与圆心距的数量大小比较），这些性质解题时，可以考虑使用分类讨论的方法。

3.3求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能；
如：等腰三角形的周长为16，其中一条边的长为6，求另两条边的长。

3.4数学问题中含有参变量，这些参变量的取值会导致不同结果的。

如：解关于x 的不等式（a －1）x －ax +a>0，由于a －1>0,或a －1<0导致系数化一时结果的不等号方向发生改变。

因此应用分类讨论，往往能使复杂的问题简单化。

分类的过程，可培养学生思考的周密性，条理性，而分类讨论，又促进学生研究问题，探索规律的能力。

四、应用整体思想方法巧解难题
所谓“整体思想”，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法。

整体思想的最主要及最常用形式就是整体代入法。

典型例题剖析：
已知11
4
a b
-=，则
2
227
a a
b b
a b ab
--
-+
的值等于（）
A.6
B.6-
C.12
5
D.
2
7
-
分析：根据条件显然无法计算出a，b的值，只能考虑在所求代数式中构造出11
a b
-的形式，
再整体代入求解。

解：
11
2
242
b6
11
2272(4)7
2()7
a a
b b a
a b ab
b a
--
----
=== -+⨯-+
-+
点评：本题也可以将条件变形为4
b a ab
-=，即4
a b ab
-=-，再整体代入求解．用整体思想解题不仅使解题过程简捷明快，而且富有创造性。

学生有了整体思维的意识，在思考问题时，才能使复杂问题简单化，提高解题速度，优化解题过程。

同时，强化整体思想观念，灵活选择恰当的整体思想方法，常常能帮助我们走出困境，走向成功。

结论：数学思想的内容是相当丰富的，方法也有难有易；因此，必须分层次地进行渗透和教学。

这就需要教师全面地熟悉初中三个年级的教材，钻研教材，努力挖掘教材中的数学思想、方法。

对教材中的数学知识从思想方法的角度作认真分析，按照初中三个年级不同的年龄特征、知识掌握的程度、认知能力、理解能力和可接受性能力由浅入深，由易到难分层次地贯彻数学思想、方法进行教学。

相信广大教师如果能用好数学思想这把钥匙，不但可以培养、提高学生的解题能力，还可以大大提高我们的课堂教学效率。

参考文献：略。