第4章多项式的运算
多项式运算与多项式因式分解
总结与展望
回顾多项式运算与 多项式因式分解的 基础知识
多项式运算包括加减乘除
等运算，多项式因式分解
是将多项式拆解成不可约
的因式
总结解决多项式运 算问题的方法和技 巧
递推法、质因数分解等方
法可以帮助解决多项式运
算中的问题
展望多项式运算在未 来的应用前景
多项式运算在人工智能、 大数据分析等领域有着广 泛的应用前景，未来将继 续发挥重要作用
乘法
应用分配律和乘 法公式展开式子
除法
根据长除法或因 式定理简化式子
减法
多项式相同次数 的式提取 法
找出所有项的最 高公因式
三项一次式 分解法
分解成两个一次 式相乘
待定系数法
设定未知数确定 系数
配方法
应用二项式平方 公式或公式法配
对
多项式运算与因式分解对比
多项式运算
多项式的高级因式分解
完全平方法
完全平方公式、 完全立方公式等
实例演练
应用所学知识解 决问题
选取合适的 因式分解方
法
根据题目特点灵 活选择
特殊类型多项式的因式分解
01 完全平方差公式
应用范围及示例
02 立方差公式
具体应用与实例分析
03 三角函数的因式分解
推导过程及应用案例
多项式因式分解在实际问题中的应用
基于代数式的计算 操作符号为加减乘除 简化复杂的代数式
多项式因式分解
根据公因式提取或特定方 法分解 拆分成简化的因式 用于化简及求解方程
共同点
都是对代数式进行操作 能够简化问题、方便计算
不同点
运算着重于计算结果 因式分解着重于式子形式 的变换
多项式因式分解步骤
高等代数 第4章多项式 4.5 多项式的因式分解
虽然根据多项式的标准分解式写出
f x, g x 是简单的，但由于任意多项式的典型
分解式并不容易求得，故求最大公因式的一般方法 还是采用辗转相除法。
2020/3/2
高等代数
问：如何求 f x 的标准分解式？
由定义可得：
① 一次多项式是不可约多项式（二次及二次以上 多项式是否可约是重点讨论对象）；
② 多项式的可约性与数域有关（例 x2 2 在C上
可约，在R中不可约）。 ③ 零多项式于零次多项式不讨论它们的可约性。
2. 性质
性质1 若 p x不可约，则 cp x 也不可约，
c 0, c F.
问题： f xF x, f 0, f x 是否可分解为
不可约多项式的乘积？
定理1.5.1： F x 中任一个nn 0 次多项式 f x
都可以分解成 F x 中不可约多项式的乘积。
2020/3/2
高等代数
证（归纳法）：
n=1时，命题显然成立。 假设命题对一切小于n的多项式成立，则当
其他因式，则称 f x 在数域F上可约。
等价定义：如果 F x 中一个 nn 0 次多项式 f x 可分解成 F x 中两个次数都小于 n 的多项式
g x,hx 的积，即 f x g xhx, 则称
f x 在数域F上可约。
2020/3/2
高等代数
高等代数
若 f x p1 x p2 xL pr x, 取 c1c2 L cr 1.
则 f x c1 p1 xc2 p2 xL cr pr x, 可见 f x 分解式不唯一。
定理1.5.2：F x 中任一个次数大于零的多项式
《多项式教案》
《多项式教案》word版一、教学目标：1. 让学生理解多项式的概念，掌握多项式的定义及其相关性质。
2. 培养学生运用多项式进行数学运算的能力，提高解决问题的能力。
3. 培养学生团队协作精神，提高学生数学思维能力。
二、教学内容：1. 多项式的定义与相关性质2. 多项式的运算规则3. 多项式在实际问题中的应用三、教学重点与难点：1. 重点：多项式的概念、性质及运算规则。
2. 难点：多项式在实际问题中的应用。
四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解多项式的定义、性质及运算规则。
2. 运用案例分析法，分析多项式在实际问题中的应用。
3. 组织小组讨论，培养学生的团队协作精神。
五、教学过程：1. 引入：通过生活中的实际例子，引导学生思考多项式的概念。
2. 讲解：详细讲解多项式的定义、性质及运算规则。
3. 案例分析：分析多项式在实际问题中的应用。
4. 小组讨论：学生分组讨论，分享各自的解题思路。
5. 总结：对本节课的内容进行归纳总结，强调重点知识点。
6. 作业布置：布置适量作业，巩固所学知识。
六、教学评价：1. 评价学生对多项式概念的理解程度，通过课堂提问和作业批改进行评估。
2. 评价学生多项式运算的熟练程度，通过课堂练习和小测验进行评估。
3. 评价学生在实际问题中应用多项式的能力，通过案例分析和课后项目进行评估。
七、教学资源：1. 教材：《高中数学教材》相关章节。
2. 课件：制作多媒体课件，辅助讲解多项式的定义和性质。
3. 练习题：准备一系列的多项式运算练习题，用于课堂练习和学生自学。
4. 案例分析材料：收集一些实际问题，用于引导学生应用多项式解决问题。
八、教学进度安排：1. 第一课时：介绍多项式的定义和基本性质。
2. 第二课时：讲解多项式的运算规则。
3. 第三课时：案例分析，展示多项式在实际问题中的应用。
4. 第四课时：小组讨论，学生展示自己的解题过程。
5. 第五课时：总结本单元内容，布置课后作业。
九、课后作业：1. 完成教材后的多项式练习题。
第四章 多项式
第四章 多项式基础训练1. 判断下列结论的正误：(1) f (x )＝3＋x ＋x －2是复数域上的多项式； (2) f (x )＝4＋1-x ＋x 3是实数域R 上的多项式；(3) f (x )＝51－x 3是有理数域Q 上的多项式； (4) f (x )＝x 3＋x 2＋x ＋1是复数域C 上的多项式. 解 （1）错；（2） 错；（3）对； （4）对 2. 求用g (x )去除f (x )所得的商和余式. (1) f (x )=x 4－2 x 3＋x －1, g (x )=3x 2＋x ＋1; (2) f (x )=x 3－2 x 2＋6x ＋7, g (x )=x 2－x ＋2;(3) f (x )= x 4＋3x 3－x 2－4x －3, g (x )= 3x 3＋10x 2＋2x －3. 解 （1）商为27497312+-x x ；余式为27312744-x(2) 商为1-x ；余式为93+x (3) 商为9131-x ；余式为31091952---x x3. 数域F 中的数m , p , q 适合什么条件时, 多项式x 2＋mx ＋1整除x 4＋ px 2＋q ?解：以12++mx x 除q px x ++4所得的商式为)1(22m p mx x +-+-，余式为)1()2()(22m p q x m p m x r -+-+--=.而多项式12++mx x 整除q px x ++24的充要条件是0)(=x r ，即10)2(22=-+-=--mp q m p m 且. 所以当{10+==q p m 或{212=+=mp q 时qpxx mx x ++++2421整除4. 设a ∈F . 证明, 对任意的正整数n , 有x －a 整除x n －a n . 证明：由于))((123221-----++⋅⋅⋅+++-=-n n n n n nn ax axa axxa x ax因此a x -在n n a x F -上整除．5. 设f (x )∈F [x ], k 是正整数. 证明, x 整除f k (x )当且仅当x 整除f (x ). 证明：充分性：当).()(x f x x f x k 整除时，显然有整除 必要性：作带余除法得rx xq x f +=)()(，.F r ∈ ki k i i ki i k i ki kk r x r x x q i k rx xq i k r x xq x f +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=--=-=∑∑))(())(())(()(110由于)(x f x k整除，因此krx |. 这说明0=r ，即有)()(x xq x f =， 因此).(x f x 整除6. 设k ,n 是正整数. 证明, x k －1整除x n －1当且仅当k 整除n . 证明：充分性：若n k |，令1kn n =，k x y =. 因为)1(|)1(1--n y y所以.1|1--n k x x必要性：设rkq n +=，这里.0k r <≤ 显然有.1)1(111-+-=-+-=-=-+rkqrrrrkqrkq nx x x x x x x x x 因为1|1--n k x x 且1|1--kqk x x （这一点利用了必要性），结合上式知.1|1--rkx x 这时必然有.0=r7. 用辗转相除法求f (x )=x 4＋3x 3-x 2-4x -3与 g (x )=3x 3＋10x 2＋2x -3的最大公因式(f (x ),g (x )), 并求u (x ), v (x ),使得(f (x ),g (x ))=u (x )f (x )＋v (x )g (x ).),279)(8110815(31092595,279)31092595)(9527()(),31092595()()9131()(222+--=---++---+-=---+-=x x x x x x x x x g x x x g x x f 解：由于因此3)()(+x x g x f 的最大公因式为与. 取259518)(,9527)(xx x v x x u -=-=即可符合要求。
第4章 代数式(单元小结)-2023-2024学年七年级数学上册同步精品课堂(浙教版)
单元小结
知识点二 同类项、合并同类项
1.同类项：所含字母__相__同____，并且相同字母的次数也__相__同__的项叫做同类 项．常数项与常数项也是同类项.
2.合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项. 3.合并同类项法则：同类项系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的次 数不变． [注意] (1)同类项不考虑字母的排列顺序，如－7xy与yx是同类项； (2)只有同类项才能合并，如x2＋x3不能合并．
单元小结
2．化简： (1)(x＋2y)－(－2x－y)．
(2)6a－3(－a＋2b)．
解：(1)原式＝x＋2y＋2x＋y ＝3x＋3y；
(2)原式＝6a＋3a－6b ＝9a－6b；
(3)3(a2－ab)－5(ab＋2a2－1)． (3)原式＝3a2－3ab－5ab－10a2＋5
＝－7a2－8ab＋5.
数学（浙教版）
七年级 上册
第4章 代数式
单元小结
单元小结
知识点一 整式的有关概念
1.代数式：用加、乘、除及乘方等运算符号将数或表示数的字母连接而成 的式子，叫做代数式.单个的数或字母也是代数式.
2.单项式：都是数或字母的__积__，这样的式子叫做单项式，单独的一个数 或一个字母也是单项式．
3.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数． 4.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的 次数．
4,
其中x=-2.
解：原式=3x2 x2 6x 3 4 2x2 6x 1.
当x=-2时，原式=2×(-2)2+6×(-2)+1=-3.
（2）3x2＋(2x2－3x)－(－x＋5x2)，其中x＝314.
高等代数 第4章多项式 4.7 特殊域上的多项式
假设对结论次数<n的多项式结论成立， 现考虑 ( f ( x)) n ，由代数基本定理，f ( x) 有一复根 。 若 为实数 则 f ( x) ( x ) f1 ( x) ，其中 若 不为实数，则 也是 f ( x)的复根，于是
高等代数
f ( x) ( x )( x ) f2 ( x) ( x ( ) x ) f2 ( x)
2018/10/5 高等代数
f x 假设结论对n-1次多项式成立，则当 是n次多项式时，由于 f x 在C上至少有一个根， f1 x ，
多项式。由归纳假设知 f1 x 在C上有n-1个根， 它们也是 f x 在C上的根，所以 f x 在C上有 n个根。
2018/10/5 高等代数
f x a0 xn a1xn1
n a1 n1 a0 x x a0
an1x an
an1 an x a0 a0
a0 x 1
a1 a0 1
x n
n
x n
n2
x n 1
n x n 1
1i j n
i j x
1 1 2
n
n
—（2） 比较（1）与（2）的展开式中同次项的系数，
2018/10/5 高等代数
得根与系数的关系为：
a1 1 n
n1n a2 12 13
性可转化为求整系数多项式在Q上的可约性。 一、整系数多项式的可约性 定义1（本原多项式）： 若整系数多项式 f x 的系数互素，则称 f x 是一个本原多项式。 例如：f x 3x2 6x 4, g x 5x2 1 是本原多项式。 本原多项式的加、减运算所得的未必是本原多 项式，但相乘之后必是本原多项式。
多项式的概念及运算
多项式的除法运算
定义：多项式除以 除数 与被除数的每一项 分别相除，得到商 和余数
注意事项：除数不 能为0，否则无意 义
举例说明：多项式 除以单项式的具体 运算过程
多项式的代数式展开
第三章
代数式展开的概念
代数式展开是将多项式中的代数式按照一定的顺序进行展开，得到具体的数值或表达式。 代数式展开是多项式运算中的一种基本运算，是学习数学和其他学科的基础。 通过代数式展开，可以更好地理解多项式的结构和性质，掌握代数运算的技巧和方法。 代数式展开在解决实际问题中也有广泛应用，如求解方程、不等式、函数等。
多项式是由有限个 单项式通过加减运 算得到的代数式。
多项式的次数是所 有单项式中次数最 高的那一项的次数。
多项式中每一项的 系数不能为0。
多项式中单项式的 排列顺序不影响多 项式的值。
举例说明多项式的形式
二次多项式：ax² + bx + c
四次多项式：ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
三次多项式：ax³ + bx² + cx + d
任意次多项式：a_0 + a_1x + a_2x² + ... + a_nx^n
多项式的运算
第二章
多项式的加法运算
定义：将两个多项式的同类项的系数相加，得到新的多项式 举例：如 (2x^2 + 3x + 1) + (x^2 - 2x + 3) = 3x^2 + 1 注意事项：注意合并同类项时，系数相加，字母和字母的指数不变 运算律：满足交换律和结合律，即 (a+b)+c=a+(b+c)
高中数学第4章计数原理4-4二项式定理1湘教版选择性必修第一册
A．112
B．48 C．－112
D．－48
答案：C
解析：展开式的常数项为C53 (－2)3＋(－2)5＝－112.
)
方法归纳
求形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N＋)的展开式中与特定项相关的量的步
骤
61
巩固训练3 (x2＋1)(2x＋1)6展开式的x2的系数是_____．
解析：(x2＋1)(2x＋1)6＝x2(2x＋1)6＋(2x＋1)6，
1∶2，求含x2的项．
解析：由题设，得T2＝Cn1 xn－1(－ 2)＝－ 2nxn－1，
T4＝Cn3 xn－3(－ 2)3＝−2 23 n－3，
− 2
1
于是有
＝ ，化简得n2－3n－4＝0，
3
－2 2 2
解得n＝4或n＝－1(舍去)．
(x－ 2)4的展开式的通项为
4
3 12－3×3
3
①令r＝3，则T ＝ −1
＝－220x8.
4
4
12
9
②令12－ r＝0，则r＝9，从而，常数项为 −1 9 C12
＝－220.
3
3 8
③当r＝0，3，6，9，12时，Tr＋1 是有理项，分别为T1 ＝x12 ，T4 ＝−C12
x ＝－
6 4
9
220x8，T7＝C12
x ＝924x4，T10＝−C12
二项式(2x＋1)6的通项为Tr＋1＝C6r (2x)6－r.
所以当r＝6时，x2的系数为1 × C66 ＝1.
当r＝4时，x2的系数为22 × C64 ＝60.
所以(x2＋1)(2x＋1)6展开式的x2的系数为1＋60＝61.
角度3 形如(a＋b＋c)n的展开式中的特定项问题
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2012年上期新田县金盆圩中学导学案
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平方米。
平方米。
认真想一想，这几种算法正确吗？你能从中得到什么启动？
2012年上期新田县金盆圩中学导学案
2
x
示。
这个题目的几何意义如图:
2012年上期新田县金盆圩中学导学案
2
b的几何意义如图所示
使用公式时，应注意两个项中，有一个项符号是相同的，另一个
2012年上期新田县金盆圩中学导学案
2222)b ab a b a ++=+ 222)b ab a b a +-=-、计算：
(1) 2
)3(b a + (2)
2012年上期新田县金盆圩中学导学案
2012年上期新田县金盆圩中学导学案
小 结 与 复 习
教学目标：1、能较熟练地理解本章所学的公式及运算法则
2、能熟练地进行多项式的计算。
教学重点：正确选择运算法则和乘法公式进行运算。
教学难点：综合运用所学计算法则及计算公式。
教学方法：范例分析、归纳总结。
教学过程： 一、 各知识点复习
1、 整式包括单项式和多项式。
2、求多项式的和与差，解题的几个步骤：一是写出和或差的运算式；二是去括号；三是找出同类项，将它们放在一起；四是合并同类项。
3、多项式的排列(按某一个字母降幂、升幂排列)。
4、同底数幂相乘：a m
·a n
=a m+n
（m 、n 都是正整数） 语言叙述：同底数幂相乘，底数不变，指数相乘。
5、幂的乘方：（a m
）n
＝=a mn
(m 、n 为正整数) 语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
6、积的乘方：n n n b a ab ⋅=)( (n 为正整数)
文字叙述：积的乘方等于把各个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
7、单项式的乘法法则：
两个或两个以上的单项式相乘，把系数相乘，同底数幂的底数不变指数相加。
（对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式）
8、单项式与多项式相乘的法则：即利用乘法的分配律 a(b+c)=ab+ac 9、多项式与多项式相乘：(m+n)(a+b)= a(m+n)+b(m+n)=(am+an+bm+bn)
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
10、二项式的乘积：))((b x a x ++ =ab ax bx x +++2
=ab x b a x +++)(2 11、平方差公式： ()()22b a b a b a -=-+
文字叙述：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差。
12、完全平方公式：2
222)(b ab a b a +±=±
两数和(或差)的平方，等于它们的平方的和，加上(或减去)它们的积的2倍。
13*、立方和差公式：3
322)2)((b a b ab a b a ±=+± 14*、完全立方公式：3
223333)(b ab b a a b a ±+±=±
15*、三个数的和的平方公式：2
)(c b a ++＝＝bc ac ab c b a 2222
2
2
+++++
例1、 计算：
(1) 求454232++-ab b b a 与3223232a ab b a +-+的和与差。
(2) 432)()()(a a a a -∙-∙-∙- (3))4)(1()3)(3(+---+a a a a
(4))4)(12(3)32(2+--+a a a (5)22)1()1(--+xy xy
(6)22)32()32)(32()32(b a b a b a b a -++--+
(7))3)(3(+---b a b a (8)22)()(c b a c b a +---+
例2、先化简，再求值：
(1))4)(2)(2(22y x y x y x +-+ ，其中x=-2,y=-3
(2) 2
1,2)()())((22
2
==+++--+b a b a b a b a b a 其中
例3、解方程： 3)4)(1()3)(3(+=+---+x x x x x
例4、已知甲数是a ，乙数是甲数的2倍多1，丙数比乙数少2，试求甲、乙、丙三数
的和与积，并计算a=-5 时的各与积分别是多少。