南通市2009届高三第二次调研测试答案及评分标准

左视图主视图 南通市2009届高三第二次调研测试数学参考答案及评分标准必做题部分一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知全集U ={1，2，3，4，5}，集合A ={1，3，5}，则U A =ð ▲ .2. 若复数z 满足z i=2+i （i 是虚数单位），则z = ▲ .3. 已知幂函数()f x k x α=⋅的图象过点1,2⎛ ⎝⎭，则k α+= ▲ .4. 如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1， 那么这个几何体的表面积为 ▲ .5. 设x 0是方程8－x =lg x 的解，且0(,1)()x k k k ∈+∈Z ，则k ＝ ▲ .6. 矩形ABCD 中，6,7AB AD ==. 在矩形内任取一点P ，则π2APB ∠>的概率为 ▲ .7. △ABC 中，π2C =，1,2AC BC ==，则()2(1)f CA CB λλλ=+-的最小值是 ▲ .8. 已知1cos21sin cos ααα-=，1tan()3βα-=-，则tan(2)βα-等于 ▲ .9. 右图是由所输入的x 值计算y 值的一个算法程序，若x 依次取数列{24n n+（n ∈*N ，n ≤2009）的项，则所得y 值中的最小值为 ▲ .10. 已知双曲线22221y x a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 是双曲线上一点，且PF 1⊥PF 2，P F 1⋅P F 2 =4ab ，则双曲线的离心率是 ▲ .11. 设函数f (x )=ax +b ，其中a ，b 为常数，f 1(x )＝f (x )，f n +1(x )＝f [f n (x )]，n ＝1，2，….若f 5(x )=32x +93, 则ab ＝ ▲ .12. 函数f (x )=222sin 3sin (2sin 3)x xx -+的值域为 ▲ .13. 设函数()11()21xf x x x =++, A 0为坐标原点，A n为函数y =f （x ）图象上横坐标为*()n n ∈NABCFED的点，向量11nn k k k A A -==∑a ，向量i =（1，0），设n θ为向量n a 与向量i 的夹角，则满足15tan 3nkk θ=<∑ 的最大整数n 是 ▲ .14. 已知l 1和l 2是平面内互相垂直的两条直线，它们的交点为A ，动点B 、C 分别在l 1和l 2上，且BC =，过A 、B 、C 三点的动圆所形成的区域的面积为 ▲ . 【填空题答案】1．{2，4}; 2．1－2i ; 3．32；4； 5．7；6．3π28；7 8．1-； 9．17；10；11．6； 12．1,516⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； 13．3； 14．18π．二、解答题：本大题共6小题,共90分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. （本题满分14分）某高级中学共有学生3000名，各年级男、女生人数如下表：已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.17. （1）问高二年级有多少名女生？（2）现对各年级用分层抽样的方法在全校抽取300名学生，问应在高三年级抽取多少名学生？ 【解】（1）由题设可知0.173000x=， 所以x =510. ………………………6分 （2）高三年级人数为y ＋z ＝3000－（523＋487＋490+510）＝990，………………9分 现用分层抽样的方法在全校抽取300名学生，应在高三年级抽取的人数为：300990993000⨯= 名.………………………12分 答：（1）高二年级有510名女生；（2）在高三年级抽取99名学生．……………14分16. （本题满分14分）如图， ABCD 为矩形，CF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ，AB =4a ，BC = CF =2a ， P 为AB 的中点. （1）求证：平面PCF ⊥平面PDE ； （2）求四面体PCEF 的体积.【证明】（1）因为ABCD 为矩形，AB =2BC , P 为AB 的中点，所以三角形PBC 为等腰直角三角形，∠BPC =45°. …………………………2分 同理可证∠APD =45°.所以∠DPC =90°，即PC ⊥PD . …………………………3分 又DE ⊥平面ABCD ，PC 在平面ABCD 内，所以PC ⊥DE. ………………………4分 因为DE ∩PD =D ，所以PC ⊥PDE . …………………………5分 又因为PC 在平面PCF 内，所以平面PCF ⊥平面PDE . …………………………7分 【解】（2）因为CF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ， 所以DE //CF . 又DC ⊥CF ，所以211424.22CEF S DC CF a a a ∆=⋅=⨯⨯= ……………………… 10分在平面ABCD 内，过P 作PQ ⊥CD 于Q ，则 PQ //BC ，PQ =BC =2a . 因为BC ⊥CD ，BC ⊥CF ，所以BC ⊥平面PCEF ，即PQ ⊥平面PCEF ，亦即P 到平面PCEF 的距离为PQ =2a . ………………………12分2311842.PCEF P CEF CEF V V PQ S a a a -∆==⋅=⋅⋅= ………………………14分（注：本题亦可利用31863P CEF B CEF E BCF D BCF V V V V DC BC CF a ----====⋅⋅=求得）17 . （本题满分15分）△ABC 中，角A 的对边长等于2，向量m =()222cos 12B C +-，，向量n =()sin ,12A -. （1）求m ·n 取得最大值时的角A 的大小； （2）在（1）的条件下，求△ABC 面积的最大值. 【解】（1）m ·n ＝2sin2A－()22cos 12sin cos()22B C A B C +-=-+. …………………3分因为 A ＋B ＋C π=，所以B ＋C π=－A ， 于是m ·n ＝2sin2A ＋cos A ＝－22sin 2sin 122A A ++＝－2213(sin )222A -+.……………5分 因为()π0,A ∈，所以当且仅当sin 2A ＝12，即A ＝π3时，m ·n 取得最大值32.故m ·n 取得最大值时的角A ＝π3. …………………………7分（2）设角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，由余弦定理，得 b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ， …………………………9分 即bc ＋4＝b 2＋c 2≥2bc ， ……………………… 11分所以bc ≤4，当且仅当b ＝c ＝2时取等号.……………………… 12分又S △ABC ＝12bc sin Abc当且仅当a ＝b ＝c ＝2时，△ABC………………………15分18. （本题满分15分）在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 、OC 分别在x 轴和y 轴上（如图），且 OC =1，OA =a +1(a >1)，点D 在边OA 上，满足OD =a . 分别以OD 、OC 为长、短半轴的 椭圆在矩形及其内部的部分为椭圆弧CD . 直线l ：y =－x +b 与椭圆弧相切，与AB 交于 点E .（1）求证：221b a -=；（2）设直线l 将矩形OABC 分成面积相等的两部分，求直线l 的方程；（3）在（2）的条件下，设圆M 在矩形及其内部，且与l 和线段EA 都相切，求面积最大的圆M 的方程．【解】题设椭圆的方程为2221x y a +=.…………………………1分 由2221,x y a y x b⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩消去y 得22222(1)2(1)0a x a bx a b +-+-=. …………………………2分由于直线l 与椭圆相切，故△＝(－2a 2b )2－4a 2(1+a 2) (b 2－1)＝0，化简得221b a -=. ① …………………………4分 （2）由题意知A （a +1，0），B （a +1，1），C （0，1），于是OB 的中点为()11,22a +.…………………………5分因为l 将矩形OABC 分成面积相等的两部分，所以l 过点()11,22a +，即(1)122a b -+=+，亦即22b a -=. ② …………………………6分 由①②解得45,33a b ==，故直线l 的方程为5.3y x =-+ …………………………8分（3）由（2）知()()57,0,,033E A .因为圆M 与线段EA 相切，所以可设其方程为2220()()(0)x x y r r r -+-=>.………9分 因为圆M 在矩形及其内部，所以0010,25,37.3r x x r ⎧<⎪⎪⎪>⎨⎪⎪+⎪⎩≤≤ ④ ……………………… 10分圆M 与 l 相切，且圆M 在lr =，即03()5x r +=+.………………………12分代入④得10,25,37,3r ⎧<⎪>≤即0r <………………………13分所以圆M面积最大时，r =，这时，0x =.故圆M面积最大时的方程为222.9x y ⎛⎛+= ⎝⎝ ………………………15分19. （本题满分16分）已知函数()2)g x x ≥=的导数为()2)g'x x ≥=. 记函数()()f x x kg x =-(2,x ≥ k 为常数）.（1）若函数f (x )在区间()2,+∞上为减函数，求k 的取值范围；（2）求函数f (x )的值域.【解】（1）因为f (x )在区间()2,+∞上为减函数，所以对任意的()12,2,,x x ∈+∞且12x x <恒有12()()0f x f x ->成立.即1212()()()0f x f x x x -=-+恒成立.…………………………3分 因为210x x ->，所以12k >对()12,2,,x x ∈+∞且12x x <时，恒成立.12，所以 1.k ≥ …………………………6分（2）()112)f x x '=-=≥. …………………………7分下面分两种情况讨论：（1）当0k ≤时，()f x x =-x的增函数，值域为[2,)+∞…………………………9分（2）当0k >时，又分三种情况： ①当1k >时，因为x >10,-即()0f x '<.所以f (x )是减函数，()(2)2f x f =≤.又222222(1)()k k x x f x x -+=-， 当,()x f x →+∞→-∞，所以f (x )值域为(,2]-∞. ………………………10分 ②当k =1时，()0f x x =-，且f (x )是减函数，故f (x )值域是(0,2-. ………………………12分 ③当01k <<时，()f x '是增函数，(2)2f =-，222222(1)()k k x x f x x -+=-=. 下面再分两种情况：（a）当0k <()0f x '=的唯一实根2x =，故()0(2)f x x '>≥，()f x x =-x的增函数，值域为[2,)+∞； （b1k <<时，()0f x '=的唯一实根2x =，当2x?()0f x '<；当x >()0f x '>； 所以f (x)f ≥=故f (x )的值域为)+∞. ………………………15分 综上所述，f (x )的值域为[2,)k ⎛+∞ ⎝⎭；)+∞1k <）；(0,2-（1k =）；(,2]-∞（1k >）.………………………16分20．（本题满分16分）设{a n }是等差数列，其前n 项的和为S n . （1）求证：数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列； （2）设{a n }各项为正数，a 1=115，a 1≠a 2，若存在互异正整数m ，n ，p 满足：①m +p =2n ；=求集合{}**(,)1,,x y x y S S x y ⋅=∈∈N N 的元素个数； （3）设b n =n a a (a 为常数，a >0，a ≠1，a 1≠a 2)，数列{b n }前n 项和为T n . 对于正整数c ，d ，e ，f ，若c <d <e <f ，且c +f =d +e ， 试比较(T c )-1+(T f )-1与(T d )-1+(T e )-1的大小. 【证】（1）{a n }为等差数列，设其公差为d'，则11(1)2(1)2nn n na d'S d'a n nn -+==+-，于是112n n S S d'n n +-=+（常数）， 故数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列.…………………………3分 【解】（2）因为{a n }为等差数列，所以n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列， 于是可设(,nS n nαβαβ=+为常数)，从而2n S n n αβ=+. 因为m +p =2n4m p n S S S ++，即222()()4()m p m p n n αβαβ+++++，亦即2222()42()2m p n n m p n ααβαβ+++=++，………………………4分mp n αβ+，两边平方并整理得22()0n mp β-=，即22()0m p β-=.…………………………6分因为m ≠p ，所以0β=，从而2n S n α=，而a 1=115，所以115α=.故2115n S n =. …………………………7分所以{}()2****1(,)1,,(,)1,,15x y x y S S x y x y xyx y ⎧⎫⋅=∈∈==∈∈⎨⎬⎩⎭N NN N{}**(,)15,,x y xy x y ==∈∈N N .因为15有4个正约数，所以数对（x ，y ）的个数为4个.即集合{}**(,)1,,x y x y S S x y ⋅=∈∈N N 中的元素个数为4.………………………9分（3）因为111n n n n a a a d n a n b a a a b a ++-+===（常数）， 所以数列{b n }是正项等比数列.因为a 1≠a 2，所以等比数列{b n }的公比q ≠1.………………………10分（解法一）()()()()1111d e c f T T T T ----+<+ ①()()()()1111f e d ce f c d e fc dT T T T T T T T T T T T ------?<-?. ② 因为0f d T T >>，所以要证②，只要证f e d ce cT T T T T T --<， ③…………………13分 而③()()()()1111c f d e de cf c fd e T T T T q q q q q q q q ??-<--?<+()()()()11110c d c e f e c e c d c q q q q q q q ----?>-?->. ④④显然成立，所以③成立，从而有()()()()1111d e c f T T T T ----+<+.…………………16分（解法二）注意到当n >m 时，n m n n n m m T T T q T -->-= . ……………………12分 于是()()()()()()()()11111111d e c f e f c d T T T T T T T T --------+<+?<-e cf e f e e c d c d cc de f e f c d e fc dT T q T T T q T q T T T T T T T T T T T T -----???. ……………………14分而e c c d e d e f q T T T T T T -<<，故()()()()1111d e c f T T T T ----+<+.……………………16分（注：第（3）问只写出正确结论的，给1分）附加题部分21. （选做题）本大题包括A ，B ，C ，D 共4小题，请从这4题中选做2小题. 每小题10分，共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. 选修4－1：几何证明选讲如图，AB 是⊙O 的直径，弦BD 、CA 的延长线 相交于点E ，EF 垂直BA 的延长线于点F . 求证： DEADFA ? .【证明】连结AD ，因为AB 为圆的直径，所以∠ADB =90°， 又EF ⊥AB ，∠EF A =90°，所以A 、D 、E 、F 四点共圆.所以∠DEA =∠DF A . …………………………10分B. 选修4－2：矩阵与变换已知1 0 4 31 2 4 1-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦B , 求矩阵B . 【解】设 , a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B 则1 01 22 2a b a c b d ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦B ， …………………………5分 故4,4,3,3,4 3.24,4, 4 221, 2.a ab b ac c bd d =-=-⎧⎧⎪⎪==-⎡⎤⎪⎪=⎨⎨⎢⎥+==-⎣⎦⎪⎪⎪⎪+=-=-⎩⎩解得故B ………………………10分C. 选修4－4：坐标系与参数方程.在平面直角坐标系xOy 中，动圆2228cos 6sin 7cos 80x y x y θθθ+--++=（q ÎR ）的 圆心为(,)P x y ，求2x y -的取值范围..【解】由题设得4cos ,3sin x y ì=ïïíï=ïîq q （q 为参数，Îq R ）.…………………………5分 于是28cos 3sin)x y θθθϕ-=-+，所以 2x y - ………………………10分D ．选修4－5：不等式证明选讲已知函数()12f x x x =-+-. 若不等式()a b a b a f x ≥++-对a ≠0, a 、b ∈R 恒成立， 求实数x 的范围.【解】 由()a b a b a f x ≥++-|且a ≠0得||||()||a b a b f x a ++-≥.又因为||||||2||||a b a b a b a b a a ++-++-=≥，则有2()f x ≥. …………………………5分解不等式 122x x -+-≤ 得 15.22x ≤≤ ……………………… 10分22. 必做题, 本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．如图，在底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱1111ABCD A B C D -中，P 是侧棱1CC 上 的一点，CP m =.（1）试确定m ，使直线AP 与平面BDD 1B 1所成角为60º； （2）在线段11A C 上是否存在一个定点Q ，使得对任意的m ，1D Q ⊥AP ，并证明你的结论.【解】（１）建立如图所示的空间直角坐标系，则 A (1,0,0), B (1,1,0), P (0,1,m )，C (0,1,0), D (0,0,0), B 1(1,1,1), D 1(0,0,2).所以1(1,1,0),(0,0,2),BD BB =--=(1,1,),(1,1,0).AP m AC =-=-又由110,0AC BD AC BB AC D D ⋅=⋅=1知为平面BB 的一个法向量. 设AP 与11BDD B 面　所成的角为θ，则()||πsin cos ||||2AP AC AP AC θθ⋅=-==⋅，解得m =故当m =时，直线AP 与平面11BDD B 所成角为60º. …………………………5分 （２）若在11A C 上存在这样的点Q ，设此点的横坐标为x ， 则1(,1,2),(,1,0)Q x x D Q x x -=-.依题意，对任意的m 要使D 1Q 在平面APD 1上的射影垂直于AP . 等价于1110(1)02D Q AP AP D Q x x x ⊥⇔⋅=⇔+-=⇔=即Q 为11A C 的中点时，满足题设的要求. ………………………10分23．必做题, 本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．某电器商经过多年的经验发现本店每个月售出的电冰箱的台数ξ是一个随机变量，它的 分布列为：1()(1,2,,12)12P i i x ===L ；设每售出一台电冰箱，电器商获利300元.如销售不出，则每台每月需花保管费100元. 问电器商每月初购进多少台电冰箱才能使 月平均收益最大？【解】设x 为电器商每月初购进的冰箱的台数，依题意，只需考虑112x ≤≤的情况. 设电器商每月的收益为y 元，则y 是随机变量ξ的函数，且300,(),300100(),().x x y x x ξξξξ⎧=⎨--<⎩≥ …………………4分于是电器商每月获益的平均数,即为数学期望1121300()[300100(1)]x x Ey x P P P x P +=++++--L 2[2300100(2)]x P+⨯-- 1[(1)300100]x x P -++-⨯-L (1)(1)11300(121)[300100]121222x x x xx x --=-+⋅+⋅-⋅225(238)3x x =-+. …………………………8分因为*x ∈N , 所以当910x x ==或时, 数学期望最大.答：电器商每月初购进9台或10台电冰箱, 收益最大，最大收益为1500元.………………………10分。