特殊化思想在中学数学解题中的应用
特殊化思想在数学中的应用
象 函数 具 体 化 ，利 用 特 殊 函数 解 决
问题．
积
） ，则 Ｖ 的 最 大值 是 （ ）
Ａ． ３ Ｂ
．
等 Ｃ ． １ Ｄ ． １
从 题 干 或 选 择 支 出 发 ，通过 选
择 特 殊 值 代 入 ，或 将 情 形 特 殊 化 。
从 而 产 生 特 例 ；利 用 问 题 在 某一 特
分 析 ：函数 厂 （ ） ＝ 满足条件．
‘ ．
体 的 数 值 ，使参 数 变 为 常 数 ，转化
成简单熟悉的题型．
２ ． 特 殊 点 法
，（ ． － ２ ０ １ ２ ） ，（ ． － ２ ０ １ １ ） 一 （ ２ ０ １ １ ）
。 ＝
－ ２。
（ ２ ０ １ ２ ） ＝ ａ ‘ 啪 ‘ 如 …一 ‘ …
利 用 原 函 数 图 像 上 的 特 殊 点
＝
Ｍ
２ ｆ ）
） 且 ，（ ０ ） ≠０，可 以借 助
２一
（ 一个或多个 ） ，探 寻 新 函数 图像 上 点 的情 况 。能有 效 地 进行 选 项 排 除．
３ ． 特 殊 位 置 法
，
函数ｆ（ ｘ ） ＝ ｃ ｏ ｓ ｘ 进行分析．
ａ Ｏ ＝ｌ
Ｄ
例： 已知， ） ＝ ｆ １ ｘ ＋
ｌ ｘ Ｅ
，
［Ｉ ０ ）
－
，
２ ＋ １
，
∈
［ ０１ ］
，
，
分析：当 脚 时 ， ｒ － － ｆ（ － ｏ ） （ ０ ）
＝ １ ，可排 除 Ａ；
再如 ： （ １ ）若 ｘ ＞ ０ ，ｙ ＞ ０都 有
特殊化方法在数学解题中的应用
特殊化方法在数学解题中的应用大数学家希尔伯特说：“在讨论数学问题时，我相信特殊化比一般化起着更为重要的作用，可能在大多数场合，我们寻找一个问题的答案而未获成功的原因，就在于这样的事实，即有一些比手头问题更简单、更容易的问题没有完全解决，或者完全没有解决。
这一切都有赖于找出这些比较容易的问题，并用尽可能完善的方法和能够推广的概念来解决它们，这种方法是解决数学困难的最重要的杠杆之一。
”这段话深刻地说明了特殊化方法的重要作用。
以下是特殊化方法在具体环境中的一些应用：1、利用特殊值(图形)解选择题某些选择题按常规方法解比较困难或者运算繁琐，若利用特殊值(图形)来解则非常简捷。
例l 给定一个三角形，设它的周长、外接圆半径长、内切圆半径长分别为不妨考虑三角形的一些特殊情况。
当这个三角形的三个顶点彼此非常接近时，则该三角形各边的边长均远小于，这时(A)和（C）显然都不成立。
当这个三角形是顶角很小的等腰三角形时，腰长接近于外接圆直径长，显然(B)也不能成立。
因此应选(D)。
尤其在当下，初中数学，尤其是初三数学已经渗透了高中知识，但是有时候初中生的思维还无法达到高中生的思维，所以在解决这种类似的题目时，将题目中的信息特殊化一下，往往会得到意想不到的结果。
2、利用特殊化方法探求问题的结论有些与定值、定点、定直线有关的问题，可以用特殊化方法将问题引向极端，舍弃题中不确定的因素，先求出这个定值、定点、定直线，从而使解题有明确的方向。
都有一个共同的实数解，并求此实数解。
若能知道这个实数解是多少，则问题就变成，验证这个实数解是原方程的解。
题目很难吧，尤其还是四次方程，更是难上加难，但是不要忘了题目中曾说过“都有一个共同的实数解” ，我们就对式子进行特殊化处理一下，对取特殊值，就可以将等式左边消去一项，得到一个方程组，先应用我们学过的加减消元，然后，应用因式分解，最后通过验证得到它们的公共解。
看看，是不是全是我们初中生学过的方法？3、利用特殊化方法探索解题思路数学问题经过特殊化处理后，常常能帮助我们获得该问题某一侧面的信息，这样经过几次特殊化后，就能得到较多的信息，从而有助于找到解决问题的方法。
特殊化思想在高中数学教学中的应用
特殊化思想在高中数学教学中的应用摘要：数学思想较之于数学基础知识及常用数学方法处于更高层次。
它来源于数学基础知识及常用的数学方法，在运用数学基础知识及方法处理数学问题时，具有指导性的地位。
本文就特殊化思想在高中数学教学中的应用谈了一些教学体会。
关键词：特殊化思想；概念教学；公式教学；图象教学；解题教学作者简介：刘凤辉，任教于内蒙古通辽实验中学。
当前，高考一直把考查学生的数学思想方法作为重点考查内容。
因此，在课堂教学中渗透和运用数学思想方法应成为师生的共同意志。
教学中看似很难的某些问题，采用传统的方法去解相当麻烦，但是假若放开思维，从特殊情况入手去分析，就有可能使问题迎刃而解。
我们称这种思想方法为特殊化思想。
由于特殊问题常常比较简单，而且特殊问题的解决孕育着一般问题的解决，因此，特殊化是一种常用的解题思想和探索解题途径的重要方法。
在高中数学中，特殊性随处可见，函数的最值或极值反映的是函数值的特殊性；两个向量与两条直线的垂直或平行就是它们位置关系中的特殊性；圆、椭圆、双曲线和抛物线都是满足某种特殊条件的动点的轨迹；在高中数学教学中运用通过对这些特殊事物和现象的研究、感悟、体验、探寻、归纳、概括、提炼从而形成的特殊化思想就是数学教学和解决数学问题的一种重要策略。
注意特殊化思想的应用，有利于学生探索知识、理解知识、掌握知识以及提高解题能力。
这就叫抓事物的主要矛盾，它也是科学研究的一种重要方法。
下面将从四个方面来探讨特殊化思想在高中数学教学中的应用：一、特殊化思想在概念教学中的应用高度的抽象性和严谨性是数学概念的显著特点，让学生深刻理解概念的本质是概念教学的重要任务。
为此，数学教师往往对一些概念的内涵和外延做了深入的挖掘和研究后展示给学生，但有时带给学生更多的是数学的神秘感和困惑感，笔者认为，对某些数学概念的教学，若能运用特殊化思想，便可突出其本质，弄清其含义，加深学生对概念的理解。
如函数奇偶性概念中的“任意”二字，学生易于疏忽，认识不深。
特殊化思想在数学解答题中的运用
特殊化思想在数学解答题中的运用作者：童其林来源：《广东教育·高中》2011年第10期一个问题可能在整体上模糊到难以认识与鉴别，但在特殊情况下有时却十分清楚明白.既然如此，我们解题时，何不以退为进，由一般退到特殊呢？这种由一般退到特殊的解题思想，就是特殊化思想.用特殊化思想解客观题是特别有效的，而且特殊化还是解答某些解答题的绿色通道，比如，在数列中我们熟悉的归纳、猜想、证明，就是特殊到一般的例子.还是先让我们看一道例题题：例1 已知椭圆C:+=1（a>b>0）的左右焦点分别是F1（－c,0）,F2（c,0），直线l:x=my+c 与椭圆C交于两点M,N且当m=-时，M是椭圆C的上顶点，且△MF1F2的周长为6.（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的左顶点为A，直线AM,AN与直线x=4分别相交于点P,Q，问当m变化时，以线段PQ为直径的圆被x轴截得的弦长是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，说明理由.解析（1）当m=-时，直线的倾斜角为120°，所以2a+2c=6，=cos60°，解得a=2,c=1b=，所以椭圆方程是+=1.（2）当m=0时，直线l的方程为x=1，此时，M,N点的坐标分别是（1,），（1,-）,又A 点坐标是（-2,0），此时由图可知MN是?荭APQ的中位线，因此P,Q两点坐标分别是（4,3），（4，-3），以PQ为直径的圆（x-4）2+y2=9过右焦点(1,0).由于圆（x-4）2+y2=9与x轴交于（1，0）和（7，0），所以圆被x轴截得的弦长为6.猜测当变化时，以PQ为直径的圆恒过焦点F2，被x轴截得的弦长为定值6，证明如下：设点M,N点的坐标分别是（x1,y1），（x2,y2），则直线AM的方程是=，所以点P的坐标是（4，），同理，点Q的坐标是（4，），由方程组 +=1，x=my+1,得到3（my+1）2+4y2=12（3m2+4）y2+6my-9=0，所以y1+y2=，y1y2=,从而•=（4-1）（4-1）+=9+=9+=9+=0.所以以PQ为直径的圆一定过右焦点F2，又点F2到直径PQ的距离为3，由圆的性质知以PQ为直径的圆被x轴截得的弦长为定值6.说明在（2）的解答中是通过特殊探路，然后由此展开，证明满足条件的圆的弦长也是定值6.也可以直接探求，但方向不明.其实，在问题无路可走的情况下，特殊化不失为一条明智的选择.在强调特殊与一般的思想方法的今天，对此进行有益的探讨，是非常值得肯定的.对于解答题，特殊化还是大有用武之地的.让我们再看几例.1．特殊化直接求解或证明.几乎所有的主观题都存在一些特殊因素，在解题中你一旦发现了这些因素，要紧紧抓住不放，因为它可能为你提供最佳的解题途径.例2 已知二次函数f（x）=x2+ax+b(a,b∈R)的定义域为[-1,1]，且｜f（x）｜的最大值为M.（1）证明：｜1+b｜≤M；（2）证明：M≥；（3）当M=时，试求出f（x）的解析式.解析（1）证明：｜f（x）｜的最大值为M，即｜f（x）｜≤M，又x∈[-1，1]，令x=-1，x=1，得｜1-a+b｜≤M，｜1+a+b｜≤M-M≤1-a+b≤M，-M≤1+a+b≤M-M≤1+b≤M｜1+b｜≤M.（2）令x=0,得｜b｜≤M，结合｜1+b｜≤M,得2M≥1+b+b≥1-｜b｜+｜b｜=1，∴M≥.（3）在｜f（x）｜≤M中，令x=0，则｜b｜≤M，再令M=，得｜b｜≤-≤b≤…①在｜1+b｜≤M中，令M=，得-≤1+b≤-≤b≤-…②又①②知b=-.在｜1-a+b｜≤M中,令M=,并把b=-代入，得-≤1-a-≤0≤a≤1…③在｜1+a+b｜≤M中，令M=,并把b=-代入，得-≤1+a-≤-1≤a≤0…④由③④得a=0，∴f（x）=x2-.点评本题是用特殊值证明和求解是一个典型例子，“夹逼法”在其中起到了非常重要的作用.例3 设函数f（x）定义于闭区间[0,1]，满足f（0）=0，f（1）=1，且对任意x,y∈[0,1]，x≤y，都有f（）=（1-a2）f（x）+a2f（y），其中常数a满足0解析因为f（）=f（）=a2，f（）=f（）=a2f（）=a4，f（）=f（）=（１－a2）f（）＋a2f（１）＝２a2－a4，所以f（）=f（）=(1-a2)f（）a2f（）=-2a6+3a4, 由此得a2=-2a6+3a4，而0点评通过求得特殊值，再建立方程是本题解答的关键，其中的特殊化取了非常重要的作用.2．特殊化猜测问题的结果，再给出一般性的证明或解答．在数列问题中，归纳、猜想、再用数学归纳法证明，就是我们熟悉的一个方法，我们也可以把这个方法迁移到数学的其它章节，比如在一些在立体几何问题中先考察图形的特殊位置，再考虑一般情形等等，特别是当你难于理解题意时，可以用特殊化方法探明目标，寻找破题的途径.例4能否将n个正方形剪拼成一个大的正方形？分析这里要解决的是个数为n的一般性问题，结论尚属未知.先考察一个最简单的特殊情形——将两个边长相等的正方形S1与S2剪拼成一个正方形S12，可按下左图所示的方法剪拼而成.这种特殊情况是将一般情况经两次特殊化（正方形个数特殊化、边长特殊化）而得到的. 在这种特殊情况下剪拼方法一目了然. 为了将其推向一般，我们也分两步走.第一步，考虑两个大小不同的正方形的情况.第二步，考虑n个任意正方形的情况.为将上述剪拼法推向两个大小不同的正方形，我们来对它作一定量的分析.要剪拼出新正方形S12，只需计算出其边长以及确定裁剪的路线. 由下右图，S12的一边x与S1的一边a和S2的一边b恰好组成一个直角三角形，x为斜边，a，b为两直角边.据此我们猜想：对两个边长分别为a，b的正方形S1,S2来说，比照上述做法，以a，b为两直角边作直角三角形，再以其斜边为边长和裁剪路线，也能剪拼出一个新的正方形S12来.实际验证说明上述猜想是正确的(如下图).如果给定三个正方形S1，S2，S3,那么我们可用上述方法先将S1，S2剪拼成一个正方形S12，再将S12与S3剪拼成一个正方形S123.由归纳法我们得出关于一般性问题的猜想：任意n个正方形都可以剪拼成一个正方形.由类比法我们还可得出关于证法的猜想：设给定n个正方形S1，S2，…，Sn，先将S1与S2按上述方法剪拼成一个正方形S12；再将S12与S3剪拼成一个正方形S123；…，最后将S12…(n-1)与Sn剪拼成一个正方形S12…n.我们发现，上述做法有递推关系，故我们不必一个一个地去验证，可使用数学归纳法，做一次验证就可以了.证明：（数学归纳法）当n=2时，按上右图所示的方法，可将任意两个给定的正方形剪拼成一个正方形.假设k(k≥2)个正方形能剪拼成一个正形，那么，对给定的k+1个正方形，我们可先将前k 个剪拼成一个正方形S12…k，再将S12…k与剪拼成一个正方形S12…k（k+1）.∴能将n个正方形剪拼成一个大的正方形.例5 已知线段AB是半径为r(r>0)的圆O的弦，且AB=2，试探究•是否为定值（与r的大小无关）？若为定值，请求出；若不为定值，请说明理由．解析可先从特殊情形下手，当弦AB为直径时，有•=2；当△AOB为正三角形时，有•=2，故猜想•为定值2，证明如下：如图，过点O作OH⊥AB交AB于点H，则•=cos∠OAB=（•cos∠OAB）×===2．点评运动定常问题通常可先从特殊值或特殊位置入手，进而讨论一般情形，注意向量的投影在圆中的运用，应当知道•的大小仅取决于弦AB的大小．需要强调的是，特殊化常常是和一般化联系在一起的.特殊探路，一般化解决.例6 如图，已知圆M为Rt△ABC的外接圆，A(-2,0)，B(0,-2)，点C在x轴上，点P为线段OA的中点，若DE是圆M中绕圆心M运动的一条直径，试探究•是否为定值？若为定值，请求出；若不为定值，请说明理由．解析设点C的坐标为（x，0），Rt△ABC中，AB⊥BC，故kAB•kBC=-1，即有×=-1，求得x=4，在圆M中，易得M（1，0），又点P为线段OA的中点，故P（-1，0）．探究•是否为定值，可先从特殊位置入手，当DE与AC重合时，•=•=1×5×cos180°=-5；当DE与AC垂直时，有D（1，3），E（1，-3），故=（2，3），=（2，-3），此时•=22-32=-5，故猜想•为定值-5，证明如下：法1（坐标法）思路1 （设而不求）设D（x1，y1），E（x2，y2），当直线DE的斜率存在时，不妨设其为k，则直线DE的方程为y=k(x-1)①，又圆M的方程为（x－１）2＋y2＝９②，由①②联立方程组消去y得：x2－２x＋＝０，利用根与系数的关系有：x1＋x２＝２，x1x２＝，所以y１y２＝k２（x1-１）（x２-１）＝k２•［x1x２－（x1＋x２）＋１］＝－，而＝（x1＋１，y １），＝（x２＋１，y２），则•＝（x1＋１）（x２＋１）＋y１y２＝３－＝－５，特别地，当直线DE的斜率不存在时，•＝－５，故总有•＝－５．思路2(整体思想) 设D（x，y），则E（2-x，y），此时＝（x＋１，y），＝（3-x，y），故•=（x＋１）（３－x）－y2＝４－［（x－１）２＋y2］＝４－９＝－５．法2（定义法）思路3 （化归思想）•＝（＋）•＋）＝＋•（＋）＋•＝４＋０－９＝－５.思路4 （利用向量的投影）如图，延长ＥＰ交圆Ｍ于点Ｑ，连结ＤＱ，则• ＝｜｜｜｜cos∠ＤＰＥ＝－（｜｜×cos∠ＤＰＡ）×｜｜＝－｜｜｜｜＝｜｜｜｜＝－５．点评思路１是多数考生在解该题时所想到的一种思路，但有一定的运算量，特别是直线ＤE的斜率是否存在的讨论容易被忽略；思路2利用圆的对称性在思路1的基础上优化了设法，进而利用整体思想巧妙求解；思路3由于、的长度、夹角均在变化，直接用定义求解不方便，故利用圆的性质将其转化成有长度、有夹角的向量后再求解，这体现了化归的思想；思路4揭示了本题中运动定常的内在原因．这些事例说明：解一些主观题可以从特殊化上路，但最后必须给予普遍意义上的解答或证明.而在这个证明过程中，又需随时注意摆脱特殊化的影响.3．特殊化可以帮助我们验证结果是否正确．特殊化还有一个功能，就是帮助我们检验解题的结果是否正确.例7 设定义在R上的单调函数f（x）是奇函数.若f（klog2t）+f（log2t-log22 t-2）>0对一切t∈R+成立，求实数k的范围.分析f（x）是R上的单调奇函数，则必f（0）=0且f（x）+f（-x）=0.解析由条件得：f（klog2t）>-f（log2t-log22 t-2）=f（log22 t-log2t+2），即有：f（klog2t）>f（log22 t-log2t+2）.（*）由已知 t＞0，在（*）中令t=1，得f（0）>f（２）.知f（x）为关于t∈R+上的减函数.故有：klog2t＜log22 t－log2t＋２，即有：log22 t－（k＋１）log2t＋２＞０.（**）再解：关于log2t的不等式对一切log2t∈R都成立.必△＜ 0.也就是（k＋１）２－８＜０k∈（－２－１，２－１）.点评这个答案是否正确？我们不妨用特值对（**）式进行检验.设M=（－２－１，２－１），令f（t）＝log22 t-（k＋１）log2t＋２，取0∈M，即 k=0，则f（t）＝log22 t-log2t＋２，显然t∈R＋,从而log2t∈R时，f（t）>0恒成立.而f（x）是R上的奇且减函数，∴（*）式也成立.取2?埸M，即k=2，则f（t）＝log22 t-3log2t＋２，至少t=2时，f（t）=1-3+2=0，即f （t）>0不成立.由此可放心作出终审后的答案：原题中实数K的取值范围为k∈（－２－１，２－１）.例8 已知函数f（x）=log2(x2＋ax－a)的值域为R，求实a的取值范围.解析因为值域为R，所以x2＋ax－a必须能取到一切正数，故有?荭＝a2-4(-a)对吗？只需取特殊值就可以判断，取a=－2时，则x2＋ax－a≥1，f（x）≥0，此时f（x）的值域不是R.所以答案有误.其实，应该是?荭＝a2-4(-a)≥0a≤-4或a≥0.当?荭≥0时， f（x）值域才能保证取到一切实数.但有考生会说，?荭≥0不是使x2＋ax－a 取到非正数吗？没有意义啊！其实，取到非正数的x我们不要，这可以由x的范围来限制.例如，取a=－4,则f（x） = log2 (x－2)2，定义域x≠2就可保证f(x)值域为R了！如果这样仍不能理解，我们还可以用方程的观点来解：原函数的值域为R，就是指关于x的方程f（x）=log2(x2＋ax－a)=y对任意实数y都有实数解.x2＋ax－a=2y恒有实数解?圳?荭≥a2+4（a＋2y）≥0对y∈R恒成立?圳a2+4a≥－４•2y对一切y∈R恒成立.又－４•2y＜０，∴a2＋４a≥0a≤-4或a≥0.故a的取值范围是(-∞,-4]∪[0，+∞）.在高考解答题中,体现特殊化思想的试题包括: (1)由具体数据建模函数关系式；(2)由已知几项求通项公式，或前n项和公式；(3)由动点性质求轨迹方程；（4）由几个等式或不等式得到一般结论，还有如上面的一些的问题，等等.练习题：1. 求证：直线（2m+1）x+(m+1)y=7m+4(m∈R)恒过某一定点P，并求该定点的坐标.2. 已知函数f（x）=ax2+bsinx+ccosx+d(a，b，c，d为常数），对任意∈R恒有f（sin２－４sin－１）≥0且f（５－cos）≤0.试证，函数f（x）的图像恒过定点.3. 求证：Con+C1n+C2n+...+Cnn=2n（n∈N+）.4. 试探究：一个周长为2l的封闭曲线一定可以被一个直径为l的圆盖住吗？练习题参考答案：1．证明: 直线（2m+1）x+(m+1)y=7m+4，取2m+1=0m=-.此时直线方程为y=7×(- )+4y=1……①取m+1=0m=-1，此时x=3……②由①②得点P（3，1）.将点P（3，1）代入直线方程得（2m+1）x+(m+1)y=(2m+1)×3+(m+1)=7m+4,即方程对任意m∈R 恒成立.故直线（2m+1）x+(m+1)y=7m+4恒过定点P（3，1）.2．证明: 注意到sin2-4sin-1=(sin-2)2-5，其中-1≤sin≤1,∴-4≤sin2-4sin-1≤4,∴f（4）≥0.又注意到4≤5-cos≤6,∴f（4）≤0.因而f（4）=0，所以函数f（x）的图像恒过定点（４，０）.3. 证明: ∵（ａ＋ｂ）ｎ＝Conａｎ+C1nａｎ－１ｂ+C2nａｎ－２ｂ２+…+Cn－１nａｂｎ－１+Conｂｎ，令a=b=1，则有2n=Con+C1n+C2n+…+Cn－１n+Cnn，∴Con+C1n+C2n+…+Cn－１n+Cnn=2n（n∈N+）.4. 分析：着手探究一时看不到头绪，我们不妨先从特殊的情形入手.比如，分析周长为2l 的平行四边形的情形. 设ABCD是周长为2l的平行四边形(如下图左)，由于OD=BD≤（BC+CD）=. 同理：OC≤.显然，这个平行四边形能被以O点为圆心，直径为l的圆盖住.对于周长为2l的任意形状的封闭曲线（如上图右），设A，C两点恰好把这封闭曲线平分为长为l的两段，O是线段AC的中点，P是该曲线上任意一点，连接PO，PA，PC，则有：PO≤（AP+CP）≤（曲线AP的长+曲线CP的长）=曲线AC的长=l，所以P在一个以O为圆心，直径是l的圆内.因为P是该曲线上的任一点，所以该封闭曲线一定可以被一个直径为l的圆盖住.(作者单位：福建省永定县城关中学)责任编校徐国坚“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”。
特殊化思维在数学解题中的运用
＝ 2000x( x x 1) 2000 x 2000x ＝ 2000( ＝2000 由此，将
2
EDC A 100
0
0
x
2
x 1) 2000
2
x
x 1 当 作 一 个 整 体 ， 比 直 接 解
BDE 80 0 ABC C DEC 40 DE DC ∠ABC＝∠C =>∠1=∠2=200
2 x 3 x 的解是（
C.x=3
） D.x=－1
B. x1 3 ， x 2 1
分析：考虑到二次根式的非负性，若 x=3，则－x=－3 ＜0，此时与二次根式的非负性矛盾，故即可弃 B、C，而－x 并非一定为负数，故方程必有解，从而知答案为 D。 例 3：当 分析： 由
x x
2
x 5 0 时，则 x x
第二次相遇于 D 处，此时甲实走 2s-4，乙实走 s+4
2015 年 26 期
23
2s 4
v
s4
甲
v
乙
v v
甲
乙
2s 4 2s 4 s 6 s4 s4 6
巧妙利用速度之比确立方程，问题便迎刃而解了。
x y 40 2 x 4 y 100
诚然能解，但繁琐难计，若要注“全体兔子起立！ ” ，此 时鸡和兔都只有两只脚， 故共有脚 40×2＝80 （只） ， 而 100-80 ＝20（只）脚自然是兔子的所有前脚，从而轻易得出兔子的 数目为 10 只。 例 2：方程 A.无解 例 5：在△ABC 中，∠ABC=∠C，∠A=1000，BE 是∠ABC 的角平分线，求证：AE+BE＝BC 分析：这是一个比较繁杂的直线形问题，因为需要通过 一系列的计算推导，若想到圆，则可避开这一系列的过程， 使问题化难为易。
特殊化与一般化在中学数学解题中的应用
苏州大学本科生毕业设计（论文）目录摘要-------------------------------------------------------------------------------------（1）Abstract---------------------------------------------------------------------------------（1）前言-------------------------------------------------------------------------------------（2）第1章中学数学中的特殊化-----------------------------------（3）第1.1节何为特殊化---------------------------------------------------------（3）第1.2节特殊化的应用------------------------------------------------------（3）第1.3节如何培养中学生的特殊化思维---------------------------------（5）第2章中学数学中的一般化-----------------------------------（5）第1.1节何为一般化---------------------------------------------------------（5）第1.2节一般化的应用------------------------------------------------------（5）第1.3节如何培养中学生的一般化思维---------------------------------（7）第3章特殊化与一般化的辩证关系-----------------------------（8）结论-------------------------------------------------------------------------------------（9）参考文献-------------------------------------------------------------------------------（9）苏州大学本科生毕业设计（论文）摘要在中学学习过程中，数学思想方法是学习数学、运用数学的灵魂。
特殊化思想在初中数学解题中的应用策略研究
特殊化思想在初中数学解题中的应用策略研究作者：刘松风来源：《中学课程辅导·教师通讯》2020年第14期【内容摘要】数学是一门具备较强逻辑性的学科，在实际教学过程中，数学学科更加注重习题解答步骤本身的规划性。
在此背景下，为了能够帮助学生更好的了解以及掌握数学解题方法，教师需要教授学生一些特殊化的解题策略，以此解决那些用普通解题思路无法解决的难题。
本文对这种特殊化的解题策略进行了分析，并通过典型实例探究了初中数学解题过程中特殊化思想的应用策略。
【关键词】特殊化思想初中数学解题培养学生的数学意识与应用数学方法之间存在着密切的联系，数学方法包括了待定系数法、换元法、归纳法、基本图形法以及综合分析法等。
数学家G·波利亚提出，数学存在两个方面的内容，一方面数学被认为是一门严谨科学，由此可见，数学更加像是一个系统化的演绎科学，可是从另一方面来看，数学也像是一种实验性归纳科学。
特殊化思想更像是数学发现以及创造过程中相对具体的一面，这些内容主要凸显在数学基础教育工作中。
当前，随着新课程改革的持续深入，让学生合作交流、自主探讨，获得问题解决的最终结论，在探讨以及交流的整个过程中，让学生自主发挥自身的能力，以后遇到与之类似的问题，能够先讨论特殊情况，然后将其划归为一般方法，以此提升学生学习能力，实现减负和增效的目的。
数学课程并非是将现有的结论转移给学生，而是按照数学思想的实际发展脉络，创设问题的情境，然后利用多种方法，设计一系列的问题，使得学生能够通过对大量图形以及实际问题的分析，从直观想象———猜想———归纳，最终对内容进行验证和证明，使得学生能够参与到数学建构的整个构成中，逐渐的认识与掌握事物，培养创造能力，有效提升数学素质。
一、特殊化思想概述特殊化思想是将原问题作为一般，形成特殊问题，在对特殊问题进行解决的过程中实现对原问题的解答。
特殊化思想被看作是一种划归策略。
相较于一般思想来说，特殊化问题更加的具体、简单以及直观，容易被理解，并且在解决特殊问题的进程中，通常会孕育了一般问题解决方法。
小议特殊化方法在解题中的应用
由 Ｏ ｚ＜ １ ｉ ＜ （ 一１， ， ， ， ｌ ２ … ） ｚ ＋ｚ２ … ＋ｚ ＋ 一１，
贝 （ ｌ ２ ｚ ３ 卜… ＋ ｚ ｚ ＋ｚ ｚ … ＋ｚ 十 … ＋ ０ ｚｚ ＋ ｌ — ２ ｌ ２ ３ ２ ｚ 一 ） （ １ （ ｝ ７ ＋ …ｚ ） （ 一 １ ［ｚ ＋ ｚ ＋ １ ≤ 一 ） ｚ 十． Ｃ ； ：一 ， ） （１ ２ ｚ
一
＋ ｚ 十… 十ｚ 一 １ 求 ｚ 。 ２ ＋ … ＋ 的 最 小 值 ． ２ ｚ ， １ ＋ｚ 分析 ： 对 个 元 的情 况 证 明 ， 路 不 易 明 确 ． 们 思 我 不 妨 考 虑 是 用 特 殊 化 方 法 ， 从 少 元 的 情 况探 探 路 ． 先 解 ：（ ）先 考 虑 二元 的情 况 ： 已知 有 ０ ｘ 、 ｚ １ 由 ＜ ｚ ＜ １ Ｉ ２ １ 则 ２ ２ ≤ ｝ － 一 （ ＋ｚ ） ， ＋ｚ — ， ｚ ２ ＋ｚ ； ｌ ２ 一２ １７ － ． ２ ２
１
Ｐ
困 难 是 其 定 值 不 知 ， 果 我 们 先 找 如 出这 一 定 值 ， 许 可 使 问题 简 单 ， 或 甚 至 可 以 发 现 解 题 的 途 径 ． 以 这 里 所 我 们 考 虑 先 用 特 殊 化 的 方 法 寻 找 这
图 １
了‘ 由上 述 的特 殊 探 索 ， 们 不 仅 可 猜 测 到 ｚ ＋ ｚ ＋ 我 ；
ｒ ｆ
是 等腰 梯形 ， 对 角 线 长 为 ｎ 两 底 角 为 ６ 。 １ ｏ． 其 ， Ｏ和 ２ 。
在 △ ＰＢＭ 中 ， 。一 Ｐ ａ 一 ｄ｝ ｄ ＋ ｛一 ２ ｌ ２ ｏ ｌ Ｏ ｄ ｄ ｃｓ ２。
１
…
＋ｚ ：的 最 小 值 为 ， 且 也 找 到 证 明 的途 径 ． 而
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２ ＜ｌ 即 ｏ ＜－ ， ａ ， ＜口 去 故选 Ａ 然而这里运用 ＿ ．
了特殊值 求解 ， 更显 方法 之 优．
３ 分析 特殊 因素 。 发现 一般 规律 对一 些较 为抽 象 的数 学 问题 ， 般 规 律 一 又无显 露 ， 时 ， 此 可利 用 特 殊 因素 来探 路 ， 进
而发现 规律 ， 出正 确结论 ． 得
求， 寻求 出问题 的解 题思路 和 结论． ２ 巧用特 殊 因素 ， 化解 题方 案 优
规律 ， 一 般 或 抽 象 复 杂 的数 学 问 题 ， 用 对 采 “ 以退 为进 ” 的策 略 ， 过特 殊 的情形 、 通 简单 的 事例探 求 问题 的 结论 ， 一思 想 称 为 数 学 解 这
０ 给 出下 列不 等式 ： ，
①， ６ － ｆ － ａ ＞ｇ 口 一ｇ －ｂ ； （ ） （ ） （ ） （ ） ②厂 ６ 一， － ａ ＜ｇ 口 一ｇ －ｂ ； （） （ ） （） （ ） ③， ｎ －ｆ（ ｂ ＞－ （） ｇ（ ａ ； （） － ） ｇ ｂ － － ）
④ 厂 口 一 厂 －ｂ ＜ ｇ ６ 一ｇ －ａ ． （） （ ） （） 为突破 口 ， 并 去探求 解
题思 路．
例 １ 定 义 在 区间 （ ｏ ， 。 的 奇 函 一 。 ＋ｏ ）
数 ， ） （ 为增 函 数 ， 函数 ｇ（ 在 区 间 ［ ， 偶 ｚ） ０ ＋ｏ ） ｏ 的图像 与 厂 ｚ 的 图像 重 合 ． ｎ ６ （） 设 ＞ ＞
法求 出结果 ， 时 ， 巧 妙 地 运 用 特 殊 因素 ， 此 应
寻求最 优方案 ， 能 收到事半 功倍 之效 ． 方
例 ２ 若定 义 在 区 间 （ １ Ｏ 内 的 函数 一 ，） ， ｚ 一ｌｇ （ ＋ １ 满足 ， ） ， 口的取 （ ） ｏｚ ｚ ） （ ＞Ｏ 则 值 范 围是 （ ） ．
题 中的特殊化 思想 ， 在数 学解 题 中 ， 当运用 恰 这一思 想 ， 往往 能 快速求 得 问题 的真解 ， 能 并 在探索解 题 方法 等方 面 收 到 良好 的实 效 ． 本 文谈谈 特 殊 化 思 想 在 中 学 数 学 解 题 中的 应
用．
对有些 外形 貌 似 熟 题 的数 学 问题 ， 如果 轻易 套用 常规方 法 ， 是会加 大 计算 量 ， 甚至无
＿ 一
１
ｘ
１
ｘ ｚ
ｘ
３
ｚ
故 所得数 列不 符合题 意 ．
当 ｎ 一ｌ时 ， 入 （ ） 得 ４ ｄ一 （ ＋ 代 ２， ＋６ ２
一
２’
ｄ 解得 一０或 ：２ ）， ＝ ． ：
Ｆ Ｇ
、
Ｅ
Ｅ
Ｆ
若 ｎ 一 １ 一０ 则 ｎ 一 １ Ｓ 一 从 而 ｌ ， ， ， ，
１ 抓住 特殊 因素 。 寻求 解题 思路
（ （１ Ａ０ ） ），
（）专， 。 ｃ （ ＋。 ｝
（（１ Ｂｏ ］ ），
（）ｏ＋ Ｄ （， ∞）
某些 数学 问题 ， 时难 以识 别 它 属 于 我 有
们所 熟悉 的哪 一 类 常 规 问题 ， 或虽 有 常 规 方 法 ， 解法 将不 胜 其 烦． 于 这 类 问题 ， 着 但 对 应 眼 于问题本 身 的特殊性 ， 紧紧抓 住一 、 两个 重
ｆｘ ，（） （ ）ｇ ｚ 满足题 目条件． ａ ，＝ｌ代 设 ＝２６ ，
人验证 易知 ， ， 成 立 ， ① ③ 故选 Ｃ ．
评注 本 例 据抽 象 函数 的性 质 和 特 征 ， 从 满足条 件 的特殊 函数 （ 特殊 值 ） 手分 析探 人
Ａ Ｅ 一昔， Ｆ与面Ａ Ｂ，Ｆ Ｅ Ｃ的距离为 ２则该 ，
其 中成立 的是 （
） ．
（ ①④ （ ） Ａ） Ｂ ②③ （ ） Ｃ ①③ （ ） Ｄ ②④
例 ３ 如 图 １ 在 多 面 体 ＡＢＣ Ｆ 中， ， ＤＥ
解 特 取 厂（ 一 ｚ， ）＝ Ｉ ｌ 则 ） ｇ（ ，
已知面 ＡＢ Ｄ 是 边 长 为 ３的 正 方 形 ， Ｆ∥ Ｃ Ｅ
解特 口１＝ 丢 ，一 ） 取 ＝， － 时， 丢＝ ＝ｘ ＝ （ ＝ ：
ｌ２ ｏ 寺＝一１ ， ｇ ＜ｏ 可排除 Ｃ Ｄ 而当 日 ，； ＝寺
时，（） ． ｚ 无意 义 ， 厂 故选 Ａ． 评注 本例 常规解 法 是 ： 于 一ｌ 由 ＜ ＜ ０知 ０ ， ＜ｘ＋１ １ 则 由对 数 函数 性质 得 Ｏ ＜ ， ＜
多 面体 的体积 为 （ ） ．
（ 舌 Ａ）
（ ） Ｂ５
（） ｃ６
（） Ｄ
３ ４
数 学教 学研 究
第 ２ 卷第 ７ ９ 期
２１ ００年 ７月
解 特 取 直 三 棱 柱 ＢＣＦ ＡＧＤ ， 图 ２ － 如 ，
上 ＾ Ｄ— Ｖ导 Ｇ ｃ ｃ ＾Ｄ
—
若 ｎ 一０ ｄ一 ０ 贝 ０ Ｓ 一 ０ 从 而 ｌ ， ， ０以 ＝ ， ，
第２ ９卷第 ７ 期
２１ ００年 ７ 月
数 学 教 学 研 究
３ ３
特殊 化 思 想在 中 学数 学解 题 中的 应 用
黄俊 峰 袁 方 程
４ ５０ ） ３ １ ０ （ 北省大冶市第一中学 湖
辩 证 唯物 主 义认 识 论 认 为 ， 特 殊 到 一 从 般 ， 具体 到抽 象 ， 是人 们普 遍遵 循 的认 识 从 这
Ｓ 一 （ ０ 立 ； Ｓ） 成
ｓ ・Ｉ △ Ｉ ＡＢ —ｉ 一 ・ｌ Ｇ｝ ｓ △ Ｅ
１ Ｘ ３ Ｘ ２Ｘ ３
若 ｎ ＝ ０ ｄ ６ 则 ｎ ＝ ６ ｎ ） 由 Ｓ １ ＝ ， 一 ， （ 一１ ， ： ９
— １ ， Ｓ ） ３ ４ Ｓ — ２ ６ 知 Ｓ ≠ （ 。。 ８ （ ３ ； ２ ， ９ １， 。 Ｓ ），
Ｓｚ＝（ ｔ。 立 ； ＝ Ｓ ） 成 ＝
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若 ｎ 一１ ｄ ｌ ， 一２ 则 ｎ 一２ 一 １ Ｓ ＝１ ， ， ＋３