精品解析：2020届江苏省泰州市高三下学期调研测试数学试题(解析版)

江苏省泰州市2019—2020学年度第二学期调研测试高三数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1.已知集合{}1,2A =，{}2,48B =,，则A B =U _______． 【答案】{}1,2,4,8 【解析】 【分析】利用并集的定义可求得集合A B U .【详解】{}1,2A =Q ，{}2,48B =,，{}1,2,4,8A B ∴=U . 故答案为：{}1,2,4,8.【点睛】本题考查并集的计算，考查计算能力，属于基础题.2.若实数x 、y 满足()1x yi x y i +=-+-（i 是虚数单位），则xy =_______． 【答案】12【解析】 【分析】根据复数相等建立方程组，求出x 、y 的值，进而可得出xy 的值.【详解】()1x yi x y i +=-+-Q ，1x y x y =-⎧∴⎨=-⎩，解得112x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，因此，12xy =. 故答案为：12. 【点睛】本题考查利用复数相等求参数，考查计算能力，属于基础题.3.如图是容量为100的样本的频率分布直方图，则样本数据落在区间[)6,18内的频数为_______．【答案】80 【解析】 【分析】将样本数据落在区间[)6,18内的频率乘以100可得出结果.【详解】由直方图可知，样本数据落在区间[)6,18内的频率为()0.080.090.0340.8++⨯=， 因此，样本数据落在区间[)6,18内的频数为1000.880⨯=. 故答案为：80.【点睛】本题考查利用频率分布直方图计算频数，解题时要明确频率、频数与总容量之间的关系，考查计算能力，属于基础题.4.根据如图所示的伪代码，可得输出的S 的值为_______．【答案】8 【解析】 【分析】根据算法程序列举出算法的每一步，进而可得出输出的S 的值. 【详解】15I =<成立，123I =+=，336S =+=；35I =<成立，325I =+=，538S =+=； 55I =<不成立，跳出循环体，输出S值为8.故答案为：8.【点睛】本题考查利用算法程序计算输出的值，一般要求将算法的每一步计算出来，考查计算能力，属于基础题.5.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为2y x =，则离心率等于___.【解析】 【分析】根据双曲线方程得渐近线方程，再根据条件得ba＝2，最后得离心率. 【详解】双曲线的渐近线方程为：by x a=±， 所以，ba＝2，离心率为：c e a ==== 【点睛】本题考查双曲线渐近线方程以及离心率，考查基本分析求解能力，属基础题.6.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1、2、3、4、5、6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，这两次出现向上的点数分别记为x 、y ，则1x y -=的概率是_______． 【答案】518【解析】 【分析】计算出基本事件总数，列举出事件“1x y -=”所包含的基本事件，然后利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率.【详解】将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，基本事件总数为2636=，其中，事件“1x y -=”所包含的基本事件有：()1,2、()2,1、()2,3、()3,2、()3,4、()4,3、()4,5、()5,4、()5,6、()6,5，共10种情况，因此，所求事件的概率为1053618=. 故答案为：518. 【点睛】本题考查古典概型概率的计算，考查计算能力，属于基础题.7.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线24y x =上一点P 到焦点F 的距离是它到y 轴距离的3倍，则点P 的横坐标为_______． 【答案】12【解析】 【分析】设点P 的坐标为()00,x y ，根据抛物线的定义可得出关于0x 的方程，解出0x 的值即可得解. 【详解】设点P 的坐标为()00,x y ，则00x >，抛物线的准线方程为1x =-， 由于点P 到焦点F 的距离是它到y 轴距离的3倍，则0013x x +=，解得012x =. 因此，点P 的横坐标为12. 故答案为：12. 【点睛】本题考查抛物线上点的坐标的求解，考查了抛物线定义的应用，考查计算能力，属于基础题. 8.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关……”其大意为：“某人从距离关口三百七十八里处出发，第一天走得轻快有力，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程为前一天的一半，共走了六天到达关口……” 那么该人第一天走的路程为______________ 【答案】192 【解析】 【分析】根据题意，记每天走的路程里数为{a n }，可知{a n }是公比为12的等比数列，又由6天走完378里，利用求和公式即可得出．【详解】根据题意，记每天走的路程里数为{a n }，可知{a n }是公比为12的等比数列， 又由6天走完378里，则S 6611[1)2112a ⎛⎤- ⎥⎝⎦==-378， 解可得：a 1＝192，即该人第一天走的路程为192里．故答案为192里．【点睛】本题考查了等比数列求和公式的应用，考查了推理能力与计算能力，注重了数学文化的考查，属于基础题．9.若定义在R 上的奇函数()f x 满足()()4f x f x +=，()11f =，则()()()678f f f ++的值为_______． 【答案】1- 【解析】 【分析】利用函数()y f x =的周期性和奇偶性分别求出()6f 、()7f 、()8f 的值，进而可得出结果.【详解】由于定义在R 上的奇函数()y f x =满足()()4f x f x +=，则该函数是周期为4的周期函数，且()11f =，则()()800f f ==，()()()7111f f f =-=-=-，()()()622f f f =-=， 又()()22f f -=-，()20f ∴=，则()60f =， 因此，()()()6781f f f ++=-. 故答案为：1-.【点睛】本题考查利用函数的周期性和奇偶性求函数值，考查计算能力，属于中等题.10.将半径为R 的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，若圆锥的体积为，则R =_______． 【答案】6 【解析】 【分析】设圆锥的底面半径为r ，根据半圆弧长等于圆锥底面圆的周长可得出r 与R 的等量关系，并求出圆锥的高，得出圆锥的体积，由此可求得R 的值.【详解】设圆锥的底面半径为r ，由于半圆弧长等于圆锥底面圆的周长，则2r R ππ=，2Rr ∴=，圆锥的高为h R ==，则圆锥的体积为22311334R V r h R R ππ==⨯==，解得6R =.故答案为：6.【点睛】本题考查由圆锥的体积求参数，考查计算能力，属于中等题.11.若函数()2,1,x a x af x x x a+≥⎧=⎨-<⎩只有一个零点，则实数a 的取值范围为_______. 【答案】(](],10,1-∞-U 【解析】 【分析】分1a ≤-、11a -<≤、1a >三种情况讨论，结合函数()y f x =只有一个零点得出关于实数a 的不等式（组），即可求得实数a 的取值范围. 【详解】函数21y x =-的零点为±1.①当1a ≤-时，函数()y f x =在区间(),a -∞上无零点，则函数()y f x =在区间[),a +∞上有零点a -，可得a a -≥，解得0a ≤，此时1a ≤-； ②当11a -<≤时，函数()y f x =在区间(),a -∞上有零点1-，则函数()y f x =在区间[),a +∞上无零点，则a a -<，解得0a >，此时01a <≤； ③当1a >时，函数()y f x =在区间(),a -∞上的零点为±1，不合乎题意. 综上所述，实数a 的取值范围是(](],10,1-∞-U . 故答案为：(](],10,1-∞-U .【点睛】本题考查利用函数的零点个数求参数，解答的关键就是对参数进行分类讨论，考查运算求解能力，属于中等题.12.在平面直角坐标系xOy 中，已知点()11,A x y 、()22,B x y 在圆22:4O x y +=上，且满足12122x x y y +=-，则1212x x y y +++的最小值是_______．【答案】-【解析】 【分析】 求得23AOB π∠=，设点()2cos ,2sin A αα、()2cos ,2sin B ββ，设b a >，可得出()223k k N πβαπ=++∈，然后利用三角恒等变换思想结合正弦函数有界性可求得1212x x y y +++的最小值.【详解】由题意可得()11,OA x y =u u u r 、()22,OB x y =u u u r ，12122OA OB x x y y ⋅=+=-u u u r u u u r，所以，1cos 2OA OB AOB OA OB ⋅∠==-⋅u u u r u u u r u u ur u u u r ，0AOB π<∠<Q ，23AOB π∴∠=， 设点()2cos ,2sin A αα、()2cos ,2sin B ββ， 设b a >，则()223k k N πβαπ=++∈， 所以，12122cos 2cos 2sin 2sin x x y y αβαβ+++=+++222cos 2cos 22sin 2sin 233k k ππααπααπ⎛⎫⎛⎫=+++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭((()1sin 1cos αααϕ=++=--，ϕ为锐角，且tan 2ϕ==因此，1212x x y y +++的最小值-.故答案为：-.【点睛】本题考查代数式最值的计算，考查了平面向量数量积的应用，同时也考查了三角恒等变换思想的应用，考查计算能力，属于中等题.13.在锐角ABC V 中，点D 、E 、F 分别在边AB 、BC 、CA 上，若3AB AD =u u u r u u u r ，AC AF λ=u u u r u u u r，且26BC ED EF ED ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r，1ED =u u u r ，则实数λ的值为_______．【答案】3 【解析】 【分析】将EF u u u r表示为11133EF BC AC λ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r ，由题意得知ED u u u r 与AC u u u r 不垂直，由3ED EF ⋅=u u u r u u u r 可得出1103λ-=，进而可求得实数λ的值. 【详解】如下图所示：3AB AD =u u u r u u u r Q ，AC AF λ=u u ur u u u r ，13AD AB ∴=u u u r u u u r ，1AF AC λ=u u u r u u u r ，()11111333EF ED AD AF ED AB AC ED AC AB ACλλ⎛⎫∴=-+=-+=+-+- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r11133ED BC AC λ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r，ABC QV 是锐角三角形，则ED u u u r 与AC u u u r 不垂直，即0ED AC ⋅≠u u u r u u u r，1ED =u u u r Q ，6ED BC ⋅=u u u r u u u r，则21111113333ED EF ED ED BC AC ED ED BC ED ACλλ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅=⋅++-=+⋅+-⋅ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r11333ED AC λ⎛⎫=+-⋅= ⎪⎝⎭u u ur u u u r ，即1103ED AC λ⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭u u ur u u u r ， 0ED AC ⋅≠u u u r u u u r Q ，1103λ∴-=，因此，3λ=. 故答案为：3.【点睛】本题考查利用平面向量数量积求参数，解答的关键就是选择合适的基底表示向量，考查计算能力，属于中等题.14.在ABC V 中，点D 在边BC 上，且满足AD BD =，23tan 2tan 30B A -+=，则BDCD的取值范围为_______． 【答案】(]1,2 【解析】 【分析】作出图形，由23tan 2tan 30B A -+=得出()23tantan 12A B =+，利用正弦定理和三角恒等变换思想得出24tan 41133tan 2tan 33tan 2tan BD B CD B B B B=+=+-++-，然后利用不等式的性质和基本不等式可求得BD CD 的取值范围.【详解】如下图所示：23tan 2tan 30B A -+=Q ，()23tan tan 12A B ∴=+， AD BD =Q ，BAD B ∴∠=，CAD A B ∠=-，且B 为锐角，在ACD V 中，()()sin sin sin cos cos sin sin sin sin cos cos sin A B BD AD CA B A B CD CD CAD A B A B A B++====∠--()()222223tan 1tan tan tan 3tan 2tan 34tan 2113tan tan 3tan 2tan 33tan 2tan 3tan 1tan 2B BA B B B B A B B B B B B B +++++====+>--+-++-， 另一方面24tan 4111233tan 2tan 313tan 232tan 2tan tan BD B CD B B B B B B=+=+≤=-++-⨯⋅-， 当且仅当4B π=时，等号成立，因此，BDCD的取值范围是(]1,2. 故答案为：(]1,2.【点睛】本题考查三角形中边长比值的取值范围的计算，考查了正弦定理、两角和与差的正弦公式以及基本不等式的应用，考查计算能力，属于中等题.二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB AC =，点D 、E 、F 分別是AB 、AC 、BC 的中点．（1）求证：//BC 平面PDE ； （2）求证：平面PAF ⊥平面PDE ． 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）利用中位线的性质得出//DE BC ，然后利用线面平行的判定定理可证得//BC 平面PDE ； （2）证明出DE PA ⊥，DE AF ⊥，利用线面垂直的判定定理可证得DE ⊥平面PAF ，再利用面面垂直的判定定理可得出平面PAF ⊥平面PDE ．【详解】（1）在ABC V 中，因为D 、E 分别是AB 、AC的中点，所以//DE BC ，因为BC ⊄平面PDE ，DE ⊂平面PDE ，所以//BC 平面PDE ； （2）因为PA ⊥平面ABC ，DE ⊂平面ABC ，所以PA DE ⊥，在ABC V 中，因为AB AC =，F 是BC 的中点，所以AF BC ⊥， 因为//DE BC ，所以DE AF ⊥，又因为AF PA A =I ，AF ⊂平面PAF ，PA ⊂平面PAF ，所以DE ⊥平面PAF ， 因为DE ⊂平面PDE ，所以平面PAF ⊥平面PDE ．【点睛】本题考查线面平行和面面垂直的证明，考查推理能力，属于中等题. 16.已知函数()21sin sin cos 2f x x x x =+-，x ∈R ． （1）求函数()f x 的最大值，并写出相应的x 的取值集合； （2）若()26f α=，3,88ππα⎛⎫∈-⎪⎝⎭，求sin 2α的值． 【答案】（1）()f x 2，此时x 的取值集合为3,8x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；（2）42sin 2α+=【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换思想化简函数()y f x =的解析式为()224f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，可得出函数()y f x =的最大值，解方程()2242x k k Z πππ-=+∈可得出对应的x 的取值集合；（2）由()6f α=得出1sin 243πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，利用同角三角函数的基本关系求得cos 24πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值，然后利用两角和的正弦公式可求得sin 2α的值. 【详解】（1）因为()()211cos 2111sin sin cos sin 2sin 2cos 222222x f x x x x x x x -=+-=+-=-sin 2cos cos 2sin sin 224424x x x πππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当()2242x k k Z πππ-=+∈，即()38x k k Z ππ=+∈时，函数()y f x =取最大值2，所以函数()y f x =的最大值为2，此时x 的取值集合为3,8x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；（2）因为()f α=24πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭1sin 243πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 因为3,88ππα⎛⎫∈-⎪⎝⎭，所以2,422πππα⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，则cos 243πα⎛⎫-=== ⎪⎝⎭，所以sin 2sin 2sin 2cos cos 2sin 444444ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1432326+=⋅+=.【点睛】本题考查正弦型函数最值的求解，同时也考查了利用两角和的正弦公式求值，考查计算能力，属于中等题.17.某温泉度假村拟以泉眼C 为圆心建造一个半径为12米的圆形温泉池，如图所示，M 、N 是圆C 上关于直径AB 对称的两点，以A 为圆心，AC 为半径的圆与圆C 的弦AM 、AN 分别交于点D 、E ，其中四边形AEBD 为温泉区，I 、II 区域为池外休息区，III 、IV 区域为池内休息区，设MAB θ∠=．（1）当4πθ=时，求池内休息区的总面积（III 和IV 两个部分面积的和）；（2）当池内休息区的总面积最大时，求AM 的长． 【答案】（1）2144(22)m ；（2）(3333)AM m =+ 【解析】 【分析】（1）计算出BM 、DM 的长，利用三角形的面积公式可求得III 和IV 两个部分面积的和；（2）将BM 、DM 用含θ的代数式表示出来，可得出池内休息区的总面积S 关于θ的函数表达式，令()()sin 2cos 1f θθθ=-，利用导数求出()f θ的最大值，并求出对应的θ的值，由此可求得AM 的长.【详解】（1）在Rt ABM V 中，因为24AB =，4πθ=，所以24cos1224MB AM π===24cos12122124MD π=-=，所以池内休息区总面积)(()21212212212144222S MB DM m =⋅⋅==；（2）在Rt ABM V 中，因为24AB =，MAB θ∠=， 所以24sin BM θ=，24cos AM θ=，24cos 12MD θ=-，由24sin 0BM θ=>，24cos 120MD θ=->得πθ0,3骣琪Î琪桫， 则池内休息区总面积()()1224sin 24cos 12288sin 2cos 12S MB DM θθθθ=⋅⋅=-=-，πθ0,3骣琪Î琪桫； 设()()sin 2cos 1fθθθ=-，πθ0,3骣琪Î琪桫，因为()()22133cos 2cos 12sin 4cos cos 20cos 8f θθθθθθθ±=--=--=⇒='， 又1331cos 2θ+=>，所以00,3πθ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得0133cos 8θ+=， 则当()00,x θ∈时，()()0f f θθ'>⇒在()00,θ上单调增，当0,3x πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()0f f θθ'<⇒在()00,θ上单调递减，即()0fθ是极大值，也是最大值，所以()()0max f f θθ=，此时024cos 3333AM θ==+．【点睛】本题考查导数的实际应用，涉及三角函数的应用，解答的关键就是求出函数解析式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.18.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x y M a b a b+=>>的左顶点为A ，过点A 的直线与椭圆M 交于x 轴上方一点B ，以AB 为边作矩形ABCD ，其中直线CD 过原点O ．当点B 为椭圆M 的上顶点时，AOB V 的面积为b ，且3AB b =．（1）求椭圆M 的标准方程； （2）求矩形ABCD 面积S 的最大值； （3）矩形ABCD 能否为正方形？请说明理由．【答案】（1）22142x y +=；（2）22（3）ABCD 为正方形，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）根据题意得出关于a 、b 的方程组，解出a 、b 的值，即可得出椭圆M 的标准方程；（2）设直线AB 的方程为()2y k x =+，其中0k >，将直线AB 的方程与椭圆M 的方程联立，求出点B 的坐标，利用两点间的距离公式求出AB ，并求出BC ，可得出四边形ABCD 的面积S 关于k 的表达式，然后利用基本不等式可求得S 的最大值；（3）由四边形ABCD 为正方形得出AB BC =，可得出()3222200k k k k -+-=>，构造函数()()322220f k k k k k =-+->，利用零点存在定理来说明函数()y f k =在()0,k ∈+∞时有零点，进而说明四边形ABCD 能成为正方形.【详解】（1）由题意：12ab b =⎨=⎪⎩，解得2a =，b =所以椭圆M 的标准方程为22142x y +=；（2）显然直线AB 的斜率存在，设为k 且0k >，则直线AB 的方程为()2y k x =+，即20kx y k -+=，联立()222142y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得()2222128840k x k x k +++-=，解得222412B k x k-=+，2412B k y k =+，所以AB ==， 直线CD 的方程为y kx =，即0kx y -=，所以BC ==，所以矩形ABCD面积2881122k S k kk====++≤所以当且仅当2k =时，矩形ABCD 面积S 取最大值为； （3）若矩形ABCD 为正方形，则AB BC=，即212k =+，则()3222200k k k k -+-=>， 令()()322220f k k k k k =-+->，因为()110f =-<，()280f =>，又()()322220f k k k k k =-+->的图象不间断，所以()()322220f k k k k k =-+->有零点，所以存在矩形ABCD 为正方形.【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了四边形面积最值的计算，以及动点问题的求解，考查运算求解能力，属于中等题.19.定义：若一个函数存在极大值，且该极大值为负数，则称这个函数为“YZ 函数”． （1）判断函数()1x xf x e=-是否为“YZ 函数”，并说明理由； （2）若函数()()ln g x x mx m R =-∈是“YZ 函数”，求实数m 的取值范围； （3）已知()32111323h x x ax bx b =++-，()0,x ∈+∞，a 、b R ∈，求证：当2a ≤-，且01b <<时，函数()h x 是“YZ 函数”．【答案】（1）()f x 是“YZ 函数”，理由见解析；（2）1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（3）证明见解析.【解析】 【分析】（1）利用导数求出函数()y f x =的极大值，结合题中定义判断即可；（2）分0m ≤和0m >两种情况讨论，利用导数分析函数()y g x =的单调性，利用题中定义得出关于m 的不等式，进而可解得实数m 的取值范围；（3）求出函数()y h x =的导数()2h x x ax b =++'，利用导数分析函数()y h x =的单调性，设函数()y h x =的极值点分别为1x 、2x ，可知1x 、2x 是方程()0h x '=的两根，进而可列出韦达定理，结合韦达定理证明出函数()y h x =的极大值为负数，由此可证得结论.【详解】（1）函数()1x xf x e=-是“YZ 函数”，理由如下： 因为()1x x f x e =-，则()1x xf x e='-，当1x <时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<，所以函数()1x x f x e =-的极大值()1110f e =-<，故函数()1x xf x e=-是“YZ 函数”； （2）函数()ln g x x mx =-的定义域为()0,+∞，()1g x m x'=-.当0m ≤时，()10g x m x-'=>，函数()y g x =单调递增，无极大值，不满足题意；当0m >时，当10x m<<时，()10g x m x -'=>，函数单调递增，当1x m>时，()10g x m x -'=<，函数单调递减，所以函数()y g x =的极大值为111ln ln 1g m m m m m ⎛⎫=-⋅=--⎪⎝⎭， 易知1ln 10g m m ⎛⎫=--<⎪⎝⎭，解得1m e >， 因此，实数m 的取值范围是1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（3） ()2h x x ax b =++'，因为2a ≤-，01b <<，则240a b ∆=->，所以()20h x x ax b =++='有两个不等实根，设为1x 、2x ，因为12120x x a x x b +=->⎧⎨=>⎩，所以1>0x ，20x >，不妨设120x x <<，当10x x <<时，()0h x '>，则函数()y h x =单调递增； 当12x x x <<时，()0h x '<，则函数()y h x =单调递减. 所以函数()y h x =的极大值为()321111111323h x x ax bx b =++-， 由()21110h x x ax b =++='得()3211111x x ax b ax bx =--=--， 因为2a ≤-，01b <<， 所以()()322211111111111111323323h x x ax bx b ax bx ax bx b =++-=--++- ()()22211111121121111063333333ax bx b x bx b x b b b =+-≤-+-=--+-<． 所以函数()y h x =是“YZ 函数”．【点睛】本题考查函数的新定义“YZ 函数”的应用，考查利用导数求函数的极值、利用极值求参数，同时也考查了利用导数证明不等式，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题. 20.已知数列{}n a 、{}n b 、{}n c 满足2n n n b a a +=-，12n n n c a a +=+． （1）若数列{}n a 是等比数列，试判断数列{}n c 是否为等比数列，并说明理由； （2）若n a 恰好是一个等差数列的前n 项和，求证：数列{}n b 是等差数列；（3）若数列{}n b 是各项均为正数的等比数列，数列{}n c 是等差数列，求证：数列{}n a 是等差数列．【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）见解析；（3）见解析. 【解析】 【分析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，分12q =-和12q ≠-两种情况讨论，结合等比数列的定义判断即可； （2）设n a 是公差为d 的等差数列{}n d 的前n 项和，推导出11n n n a a d ++-=，由2n n n a a b +=+推导出12n n b b d +-=，进而可证得结论成立；（3）利用数列{}n c 是等差数列结合12n n n c a a +=+推导出212n n n b b b ++=+，再结合数列{}n b 是等比数列，推导出1n n b b +=，由数列{}n c 是等差数列得出212n n n c c c +++=，推导出3223n n n a a a +++=，并将321n n n n a a a a +++=+-代入化简得212n n n a a a +++=，从而可证明出数列{}n a 是等差数列.【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则()12221n n n n n n c a a a q a q a +=+=+=+， 当12q =-时，0n c =，数列{}n c 不是等比数列； 当12q ≠-时，因为0n c ≠，所以()()112121n n n n q a c q c q a +++==+，所以数列{}n c 是等比数列； （2）因为n a 恰好是一个等差数列的前n 项和，设这个等差数列为{}n d ，公差为d ， 因12n n a d d d =+++L ，所以1121n n n a d d d d ++=++++L ，两式相减得11n n n a a d ++-=， 因为2n n n a a b +=+，所以()()()()1312321312n n n n n n n n n n n n b b a a a a a a a a d d d +++++++++-=---=---=-=， 所以数列{}n b 是等差数列；（3）因为数列{}n c 是等差数列，所以321n n n n c c c c +++-=-，又因为12n n n c a a +=+，所以()()43322112222n n n n n n n n a a a a a a a a ++++++++-+=+-+， 即 ()()()423122n n n n n n a a a a a a +++++-=-+-，则212n n n b b b ++=+，又因为数列{}n b 是等比数列，所以212n n n b b b ++=，则2112n nn n b b b b +++=⋅， 即()()1120n n n n b b b b ++-+=，因为数列{}n b 各项均为正数，所以1n n b b +=， 则312n n n n a a a a +++-=-，即321n n n n a a a a +++=+-， 又因为数列{}n c 是等差数列，所以212n n n c c c +++=，即()()()321212222n n n n n n a a a a a a ++++++++=+，化简得3223n n n a a a +++=，将321n n n n a a a a +++=+-代入得2122()3n n n n n a a a a a ++++-+=，化简得212n n n a a a +++=， 所以数列{}n a 是等差数列．【点睛】本题考查等差数列和等比数列的证明，考查了等差、等比中项法以及等差、等比数列定义的应用，考查推理能力，属于中等题.21.已知列向量5a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦在矩阵 3 41 2M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换下得到列向量2 b b -⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求1b M a -⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【答案】1611⎡⎤⎢⎥-⎣⎦【解析】 【分析】 利用25a b M b -⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦列出方程组求出a 、b 的值，求出矩阵M 的逆矩阵1M -，利用矩阵的乘法可求得矩阵1b Ma -⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【详解】因为342125a b b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以320210a b a b +=-⎧⎨+=⎩，解得64a b =-⎧⎨=⎩， 设1m p Mn q -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则34101201m p n q ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即3413402021m n p q m n p q +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，解得112232m n p q =⎧⎪⎪=-⎪⎨=-⎪⎪=⎪⎩， 所以1121322M --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦，所以112416=1361122M b a --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 【点睛】本题考查矩阵的变换，同时也考查了逆矩阵的求解以及矩阵乘法的应用，考查计算能力，属于中等题.22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭P 为曲线C 上任一点，求点P 到直线l 距离的最大值．【答案】【解析】 【分析】将直线l的极坐标方程化为普通方程，设点()cos P αα，利用点到直线的距离公式结合正弦型函数的有界性可求得点P 到直线l 距离的最大值．【详解】由题：直线方程即为sin coscos sin44ππρθθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭由cos x ρθ=，sin y ρθ=得直线l 的直角坐标方程为80x y +-=， 设P点的坐标为()cos αα，∴点P到直线的距离6d πα⎛⎫===+ ⎪⎝⎭， 当()262k k Z ππαπ+=-∈，即()223k k Z αππ=-∈时，d取得最大值此时点P 的坐标为13,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查利用椭圆的参数方程求点到直线距离的最值，同时也考查了三角恒等变换思想的应用，考查计算能力，属于中等题.23.已知实数a 、b 、c 满足0a >，0b >，0c >，2223a b cb c a++=，求证：3a b c ++≤．【答案】见解析【解析】 【分析】利用柯西不等式证明出()()2222a b c b c a a b c b c a ⎛⎫++++≥++⎪⎝⎭，由此可证明出3a b c ++≤. 【详解】由柯西不等式，得()()2223a b c a b c b c a b c a ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭ ()()()222222b c a b c a ⎡⎤⎡⎤=++⋅++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()22b c a a b c b c a ⎛≥⋅+⋅+⋅=++ ⎪⎝⎭， 所以3a b c ++≤．【点睛】本题考查利用柯西不等式证明不等式，解答的关键在于对代数式进行合理配凑，考查推理能力，属于中等题.【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．24.如图，在多面体ABCDEF 中，平面ADE ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为2的正方形，ADE V 是等腰直角三角形，且2ADE π∠=，EF ⊥平面ADE ，1EF =．（1）求异面直线AE 和DF 所成角的余弦值； （2）求二面角B DF C --的余弦值． 【答案】（110（2）23.【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理证明出DE ⊥平面ABCD ，然后以D 为坐标原点，{},,DA DC DE u u u r u u u r u u u r为一组基底建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求出异面直线AE 和DF 所成角的余弦值；（2）求出平面BDF 和CDF 的法向量，然后利用空间向量法可求出二面角B DF C --的余弦值．【详解】（1）2ADE π∠=Q ，即DE AD ⊥，因为平面ADE ⊥平面ABCD ，平面ADE I 平面ABCD AD =，DE ⊂平面ADE ，DE ∴⊥平面ABCD ，由于四边形ABCD 为边长为2的正方形, 所以DA 、DC 、DE 两两互相垂直．以D 为坐标原点，{},,DA DC DE u u u r u u u r u u u r为一组基底建立如图所示的空间直角坐标系.EF ⊥Q 平面ADE 且1EF =，()0,0,0D ∴、()2,0,0A 、()0,0,2E 、()0,2,0C 、()2,2,0B 、()0,1,2F ，()2,0,2AE =-u u u r ，()0,1,2DF =u u u r ，则10cos ,225AE DF A AE DF E DF ⋅<===⨯⋅>u u u r u u u r u u u u r u u u u ur r u u u r ， 所以AE 和DF 10 （2）()2,2,0DB =u u u r ，()0,1,2DF =u u u r ，设平面BDF 的一个法向量为(),,n x y z =r ，由22020n DB x y n DF y z ⎧⋅=+=⎨⋅=+=⎩u u u v v u u u v v ，取1z =，得()2,2,1n =-r ， Q 平面CDF 的一个法向量为()1,0,0m =u r ，22cos ,313m n m n m n ⋅∴<>===⨯⋅u r r u r r u r r ， 由二面角B DF C --的平面角为锐角，所以二面角B DF C --的余弦值为23. 【点睛】本题考查利用空间向量法计算异面直线所成角和二面角的余弦值，解答的关键就是建立合适的空间直角坐标系，考查计算能力，属于中等题.25.给定()3,n n n N *≥∈个不同的数1、2、3、L 、n ，它的某一个排列P 的前(),1k k N k n *∈≤≤项和为k S ，该排列P 中满足2k n S S ≤的k 的最大值为P k ．记这n 个不同数的所有排列对应的P k 之和为n T ． （1）若3n =，求3T ；（2）若41n l =+，l N *∈.①证明：对任意的排列P ，都不存在(),1k k N k n *∈≤≤使得2k n S S =； ②求n T （用n 表示）．【答案】（1）38T =；（2）①见解析；②()!12n n T n =-. 【解析】【分析】（1）列出1、2、3的所有排列，求出6个排列P 中P k 的值，进而可求得3T 的值；（2）①设n 个不同数的某一个排列P 为1a 、2a 、L 、n a ，求得()()()141212n n n S l l +==++为奇数，再由2k S 为偶数可得出结论；②由题意可得出2k n S S <，可得出1212k k k n a a a a a a ++++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+且1212k k k n a a a a a a ++++⋅⋅⋅++>+⋅⋅⋅+，考虑排列P 的对应倒序排列P '，推导出1P k n k '=--，由此可得出1P P k k n '+=-，再由1、2、3、L 、n 这n 个不同数可形成!2n 个对应组合(),P P '，进而可求得n T 的值.【详解】（1）1、2、3的所有排列为1、2、3；1、3、2；2、1、3；2、3、1；3、1、2；3、2、1.因为36S =，所以对应的P k 分别为2、1、2、1、1、1，所以38T =；（2）（i ）设n 个不同数的某一个排列P 为1a 、2a 、L 、n a ，因为41n l =+，l N *∈，所以()()()141212n n n S l l +==++为奇数， 而2k S 为偶数，所以不存在(),1k k N k n *∈≤≤使得2k n S S =（ii ）因为2k n S S ≤，即1212k k k n a a a a a a ++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤，又由（i ）知不存在(),1k k N k n *∈≤≤使得2k n S S =， 所以1212k k k n a a a a a a ++++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+；所以满足2k n S S ≤的最大下标k 即满足1212k k k n a a a a a a ++++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+①，且1212k k k n a a a a a a ++++⋅⋅⋅++>+⋅⋅⋅+②，考虑排列P 的对应倒序排列:P 'n a 、1n a -、L 、1a ，①②即2121n k k k a a a a a a +++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅++，2121n k k k a a a a a a +++⋅⋅⋅++>+⋅⋅⋅++，由题意知1P k n k '=--，则1P P k k n '+=-；又1、2、3、L 、n 这n 个不同数共有!n 个不同的排列，可以构成!2n 个对应组合(),P P '， 且每组(),P P '中1P P k k n '+=-，所以()!12n n T n =-． 【点睛】本题考查数列中的新定义，着重考查分析，对抽象概念的理解与综合应用的能力，对（3）观察，分析寻找规律是难点，是难题.。