2015-2016年广东省东莞市高一下学期数学期末试卷及参考答案(b卷)
东莞数学 (高一数学A卷)2015-2016学年度第一学期期末质量检查参考答案
2015—2016学年度第一学期期末教学质量检查高一数学（A 卷组题）考生注意：本卷共三大题，22小题，满分150分，时间120分钟.不准使用计算器.参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=（其中S 为底面面积，h 为高），球的表面积公式24R S =（其中R 为球的半径）.一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确.请用2B 铅笔把答题卡中所选答案的标号涂黑．）1．已知全集{}1,2,3,4,5,6,7U =，设集合{2,4,5}A =，集合{1,2,3,4}B =，则()U C A B = A．{2,4}B．{1,3}C．{1,3,6,7}D．{1,3,5,6,7}2．下列图形中，不可作为．．．．函数()y f x =图象的是3．设{}A x x =是锐角，()0,1B =，从A 到B 的映射是“求余弦”，与A 中元素030相对应的B 中的元素是 A.32B.22C.12D.334.直线30x y m -+=与圆22220x y x +--=相切，则实数m 等于A．3B．33-C．33-或3D．33-或335．下列四个命题：①平行于同一平面的两条直线相互平行；②平行于同一直线的两个平面相互平行；③垂直于同一平面的两条直线相互平行；④垂直于同一直线的两个平面相互平行其中正确的有A．4个 B.3个 C.2个 D.1个6．在平面直角坐标系内，一束光线从点(3,5)A -出发，被x 轴反射后到达点(2,7)B ，则这束光线从A 到B 所经过的路程为A．12B．13C．41D．5362+7.下列不等关系正确的是XY OXY OXYOXY OA B C DA．43log 3log 4<B．1132log 3log 3<C．113233<D．1233log 2<8．一个与球心距离为1的平面截球所得圆面面积为π，则球的表面积为A．82πB．8πC．42πD．4π9.已知b a ,为异面直线，α平面⊂a ，β平面⊂b ，m =⋂βα，则直线mA．与b a ,都相交B．至多与b a ,中的一条相交C．与b a ,都不相交D．至少与b a ,中的一条相交10．如图，Rt A O B '''∆是AOB ∆的直观图，且A O B '''∆为面积为1，则AOB ∆中最长的边长为A.22B.23C.1D.211．已知圆9)3()1(:221=-++y x O ，圆01124:222=-+-+y x y x O ，则这两个圆的公共弦长为（）A．524B．512C．59D．5112．已知0a >且1a ≠，函数()234,0(),0xa x a x f x a x ⎧-+-≤⎪=⎨>⎪⎩满足对任意实数12x x ≠，都有0)()(1212>--x x x f x f 成立，则a 的取值范围是A．()1,2B．523⎡⎫⎪⎢⎣⎭，C．51,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D．51,3⎛⎤ ⎥⎝⎦二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡中相应的位置上．）13．1lglg 254-=.14．一条线段的两个端点的坐标分别为()5,1、(),1m ，若这条线段被直线20x y -=所平分，则m =．15．右图是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为．16.已知函数)(x f y =和)(x g y =在]2,2[-的图象如下图表示：给出下列四个命题：B''A 'O 'x 'y '①方程0)]([=xgf有且仅有6个根；②方程0)]([=xfg有且仅有3个根；③方程0)]([=xff有且仅有5个根；④方程0)]([=xgg有且仅有4个根；其中正确命题的是__________(注：把你认为是正确的序号都填上).三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）已知集合}12|{>-≤=xxxA或关于x的不等式)(222Raxxa∈>+的解集为B，（1）当1=a时，求解集B；（2）如果A B B=，求实数a的取值范围．18．（本小题满分12分）如图，已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为(0,0)A，(2,1)B-，(4,2)C．（1）求直线CD的方程；（2）求平行四边形ABCD的面积．19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD为平行四边形，045ADC∠=，1AD AC==，PO⊥平面ABCD，O点在AC上，2PO=，M为PD中点．（1）证明：AD⊥平面PAC；（2）求三棱锥M ACD-的体积．ABCDyxD CA BPMO20．（本小题满分12分）经研究发现，学生的注意力与老师的授课时间有关．开始授课时，学生的注意力逐渐集中，到达理想的状态后保持一段时间，随后开始逐渐分散．用)(x f 表示学生的注意力，x 表示授课时间（单位：分），实验结果表明)(x f 与x 有如下的关系：59,(010)()59,(1016)3107(1630)x x f x x x x +<≤⎧⎪=<≤⎨⎪-+<≤⎩，.（1）开始授课后多少分钟，学生的注意力最集中？能维持多长的时间？（2）若讲解某一道数学题需要55的注意力以及10分钟的时间，老师能否及时在学生一直达到所需注意力的状态下讲完这道题？设3)4()(2+++=x m mx x f .（1）试确定m 的值，使得)(x f 有两个零点，且)(x f 的两个零点的差的绝对值最小，并求出这个最小值；（2）若1m =-时，在[]0,λ（λ为正常数）上存在x 使0)(>-a x f 成立，求a 的取值范围.定义在D 上的函数)(x f ，如果满足：对任意D x ∈，存在常数M ，都有()f x M ≥成立，则称)(x f 是D 上的有下界函数，其中M 称为函数)(x f 的一个下界.已知函数()()0x xe af x a a e=+>.（1）若函数)(x f 为偶函数，求a 的值；（2）求函数)(x f 在[ln ,)a +∞上所有下界构成的集合.2015—2016学年度第一学期期末教学质量检查高一数学（A 卷组题）参考答案一、选择题：BCAC CBAB DBAD二、填空题：13．-214．1-15．)7212(+16．①③④三、解答题：17.解：（1）因为x y 2=是增函数，所以xx x x212221>+⇔>+…………………2分解得1<x …………………3分于是解集)1,(-∞=B …………………4分（2）因为xy 2=是增函数，所以xx a x xa 2222>+⇔>+……………………5分所以(,)B a =-∞.……………………6分因为,A B B = 所以B A ⊆，……………………8分所以2a -≤，即a 的取值范围是(],2.-∞-……………………10分（注：分，扣的范围是1)2,(--∞a ）18.解：（1）由题知AB 和CD 的斜率相等……………………………2分所以，101202CD AB k k --===--……………………………4分∴直线CD 方程：()1242y x -=--，即280x y +-=………………6分（2）(0,0)A 到直线CD 的距离22885512d -==+……………………8分22(02)[0(1)]5CD AB ==-+--=…………………………10分∴平行四边形ABCD 的面积85585ABCD S CD d ===………………12分19.解：（1）证明：∵45ADC ∠=︒，且AD=AC=1，∴90DAC ∠=︒，即AD AC ⊥，……………………………2分又PO ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，∴PO AD ⊥，……………4分AC PO O ⋂=，AC PAC ⊂面，PO PAC⊂面∴AD ⊥平面PAC 。
广东省东莞市2015-2016学年高一数学下册期初考试题1
知识改变命运南开实验学校2015-2016学年第二学期期初考试高一文科数学2016.3本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1． 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
2． 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上。
3． 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4． 考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.1.下列各角中与0330角终边相同的角是（ ）A ．0510B ．0150C ．0390-D ．0150-2.sin 210°的值等于( )．知识改变命运A ．21 B ．－21 C ．23 D ．－233.如图所示，角θ的终边与单位圆交于点P，则()θπ-cos 的值为 ABCD4.下列关于函数y=tan （x+3π）的说法正确的是A ．在区间⎪⎭⎫⎝⎛-656ππ，上单调递增 B ．值域为[一1，1]C ．图象关于直线x=6π成轴对称 D ．图象关于点⎪⎭⎫⎝⎛-03，π成中心对称5．sin 20°sin 50°＋cos 20°sin 40°的值等于( )．A ．41B ．23C ．21D ．436.将函数x y cos =的图象经过怎样的平移，可以得到函数in()6y s x π=+的图象（ ）A ．向左平移6π个单位B ．向左平移3π个单位C ．向右平移3π个单位D ．向右平移6π个单位7.已知ααααα2222cos sin 22cos sin ,2tan ++-=则等于（ ）知识改变命运A ．913 B ．911 C ．76 D ．748.若函数()⎪⎭⎫⎝⎛+=3sin 2πωx x f 错误！未找到引用源。
广东省东莞市高二数学下学期期末试卷b 理(含解析)
2015-2016学年广东省东莞市高二（下）期末数学试卷（理科）（B卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确．请把正确选择支号在答题卡中的相应位置涂黑．1．复数z=i2+i的实部与虚部分别是（）A．﹣1，1 B．1，﹣1 C．1，1 D．﹣1，﹣12．对具有线性相关关系的两个变量y与x进行回归分析，得到一组样本数据（x1，y1），（x2，y2）…（x n，y n），则下列说法中不正确的是（）A．若最小二乘法原理下得到的回归直线方程=0.52x+，则y与x具有正相关关系B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C．在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适D．用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小说明拟合效果越好3．向量的运算常常与实数运算进行类比，下列类比推理中结论正确的是（）A．“若ac=bc（c≠0），则a=b”类比推出“若•=•（≠），则=”B．“在实数中有（a+b）c=ac+bc”类比推出“在向量中（+）•=•+•”C．“在实数中有（ab）c=a（bc）”类比推出“在向量中（•）•=•（•）”D．“若ab=0，则a=0或b=0”类比推出“若•=0，则=或=”4．用反证法证明命题：“已知a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A．方程x2+ax+b=0没有实根B．方程x2+ax+b=0至多有一个实根C．方程x2+ax+b=0至多有两个实根D．方程x2+ax+b=0恰好有两个实根5．已知随机变量ξ服从正态分布N（5，9），若p（ξ＞c+2）=p（ξ＜c﹣2），则c的值为（）A．4 B．5 C．6 D．76．已知具有线性相关关系的变量y与x之间的一组数据：x 1 2 3 4 5y 2 4 6 8 5若由最小二乘法原理得到回归方程=x+0.5，则的值为（）A．0.5 B．1 C．1.5 D．27．抛物线y=3﹣x2与直线y=2x与所围成图形（图中的阴影部分）的面积为（）A．10 B．C．11 D．8．若（3x+）n（n∈N*）的展开式中各项系数的和为P，所有二项式系数的和为S，若P+S=272，则正整数n的值为（）A．4 B．5 C．6 D．79．有3位老师和3 个学生站成一排照相，则任何两个学生都互不相邻的排法总数为（）A．36 B．72 C．144 D．28810．经检测有一批产品合格率为，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为ξ，则P（ξ=k）取得最大值时k的值为（）A．2 B．3 C．4 D．511．定义方程f（x）=f′（x）的实数根x0叫做函数f（x）的“异驻点”．若函数g（x）=2016x，h（x）=ln（x+1），φ（x）=x3﹣1的“异驻点”分别为α，β，γ，则α，β，γ的大小关系为（）A．α＞β＞γB．β＞α＞γC．β＞γ＞αD．γ＞α＞β12．已知函数f（x）=在点（1，2）处的切线与f（x）的图象有三个公共点，则b的取值范围是（）A．[﹣8，﹣4+2） B．（﹣4﹣2，﹣4+2）C．（﹣4+2，8] D．（﹣4﹣2，﹣8]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡中相应的位置上．13．用1，2，3，4这四个数字能组成_______个没有重复数字的四位数．14．已知函数f（x）=3x﹣x3，当x=a时f（x）取得极大值为b，则a﹣b的值为_______．15．（x+﹣2）5的展开式中的常数项为_______（用数字作答）16．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1，3，6，10，…记为数列{a n}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n}，可以推测：（1）b5=_______；（2）b2n﹣1=_______．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知复数z1=2+a2+i，z2=3a+ai（a为实数，i虚数单位）且z1+z2是纯虚数．（1）求a的值，并求z12的共轭复数；（2）求的值．18．某市教育局委托调查机构对本市中小学学校使用“微课掌上通”满意度情况进行调查．随机选择小学和中学各50所学校进行调查，调查情况如表：评分等级☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆小学 2 7 9 20 12中学 3 9 18 12 8（备注：“☆”表示评分等级的星级，例如“☆☆☆”表示3星级．）（1）从评分等级为5星级的学校中随机选取两所学校，求恰有一所学校是中学的概率；（2）规定：评分等级在4星级以上（含4星）为满意，其它星级为不满意．完成下列2×2列联表并帮助判断：能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为使用是否满意与学校类别有关系？学校类型满意不满意总计小学50中学50总计10019．“莞马”活动中的α机器人一度成为新闻热点，为检测其质量，从一生产流水线上抽取20件该产品，其中合格产品有15件，不合格的产品有5件．（1）现从这20件产品中任意抽取2件，记不合格的产品数为X，求X的分布列及数学期望；（2）用频率估计概率，现从流水线中任意抽取三个机器人，记ξ为合格机器人与不合格机器人的件数差的绝对值，求ξ的分布列及数学期望．20．已知f（x）=lnx+ax2﹣ax+5，a∈R．（1）若函数f（x）在x=1处有极值，求实数a的值；（2）若函数f（x）在区间（0，+∞）内单调递增，求实数a的取值范围．21．已知f（n）=1++++…+，g（n）=﹣，n∈N*．（1）当n=1，2，3时，试比较f（n）与g（n）的大小关系；（2）猜想f（n）与g（n）的大小关系，并给出证明．22．设f（x）=e x﹣ax（a∈R），e为自然对数的底数．（1）若a=1时，求曲线y=f（x）在x=0处的切线方程；（2）求函数f（x）在[0，1]上的最小值．2015-2016学年广东省东莞市高二（下）期末数学试卷（理科）（B卷）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确．请把正确选择支号在答题卡中的相应位置涂黑．1．复数z=i2+i的实部与虚部分别是（）A．﹣1，1 B．1，﹣1 C．1，1 D．﹣1，﹣1【考点】复数的基本概念．【分析】利用复数的幂运算以及复数的基本概念求解即可．【解答】解：复数z=i2+i=﹣1+i．复数的实部与虚部分别是：﹣1；1．故选：A．2．对具有线性相关关系的两个变量y与x进行回归分析，得到一组样本数据（x1，y1），（x2，y2）…（x n，y n），则下列说法中不正确的是（）A．若最小二乘法原理下得到的回归直线方程=0.52x+，则y与x具有正相关关系B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C．在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适D．用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小说明拟合效果越好【考点】线性回归方程．【分析】可以用来衡量模拟效果好坏的几个量分别是相关指数，残差平方和和相关系数，只有残差平方和越小越好，其他的都是越大越好．【解答】解：若最小二乘法原理下得到的回归直线方程=0.52x+，b=0.52＞0，则y与x具有正相关关系，正确；残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，正确；可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适．带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高．故正确；相关指数R2取值越大，说明残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故不正确．故选：D．3．向量的运算常常与实数运算进行类比，下列类比推理中结论正确的是（）A．“若ac=bc（c≠0），则a=b”类比推出“若•=•（≠），则=”B．“在实数中有（a+b）c=ac+bc”类比推出“在向量中（+）•=•+•”C．“在实数中有（ab）c=a（bc）”类比推出“在向量中（•）•=•（•）”D．“若ab=0，则a=0或b=0”类比推出“若•=0，则=或=”【考点】类比推理．【分析】对四个选项，利用向量的数量积的定义与性质，分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：由条件，得出（﹣）•=0，∴（﹣）与垂直，则=，不一定成立，故A不正确；向量的乘法满足分配律，故B正确；在向量中（•）•与共线，•（•）与共线，故C不正确；若•=0，则⊥， =或=不一定成立，故D不正确．故选：B．4．用反证法证明命题：“已知a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A．方程x2+ax+b=0没有实根B．方程x2+ax+b=0至多有一个实根C．方程x2+ax+b=0至多有两个实根D．方程x2+ax+b=0恰好有两个实根【考点】反证法与放缩法．【分析】直接利用命题的否定写出假设即可．【解答】解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，∴用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是：方程x2+ax+b=0没有实根．故选：A．5．已知随机变量ξ服从正态分布N（5，9），若p（ξ＞c+2）=p（ξ＜c﹣2），则c的值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】随机变量ξ服从正态分布N（5，9），得到曲线关于x=5对称，根据P（ξ＞c+2）=P（ξ＜c﹣2），结合曲线的对称性得到点c+2与点c﹣2关于点5对称的，从而解出常数c 的值得到结果．【解答】解：随机变量ξ服从正态分布N（5，9），∴曲线关于x=5对称，∵P（ξ＞c+2）=P（ξ＜c﹣2），∴c+2+c﹣2=10，∴c=5，故选：B．6．已知具有线性相关关系的变量y与x之间的一组数据：x 1 2 3 4 5y 2 4 6 8 5若由最小二乘法原理得到回归方程=x+0.5，则的值为（）A．0.5 B．1 C．1.5 D．2【考点】线性回归方程．【分析】求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程，得到关于a的方程，解方程即可．【解答】解：∵=3， =5，∴这组数据的样本中心点是（3，5）把样本中心点代入回归直线方程=x+0.5∴5=3+0.5，∴=1.5故选：C．7．抛物线y=3﹣x2与直线y=2x与所围成图形（图中的阴影部分）的面积为（）A．10 B．C．11 D．【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】联解方程组，得直线与抛物线交于点A（﹣3，﹣6）和B（1，2），因此求出函数3﹣x2﹣2x在区间[﹣3，1]上的定积分值，就等于所求阴影部分的面积，接下来利用积分计算公式和法则进行运算，即可得到本题的答案．【解答】解：由抛物线y=3﹣x2与直线y=2x联立，解得交于点A（﹣3，﹣6）和B（1，2）∴两图象围成的阴影部分的面积为S=（3﹣x2﹣2x）dx==（3×1﹣×13﹣12）﹣[3×（﹣3）﹣×（﹣3）3﹣（﹣3）2]=，故选：D．8．若（3x+）n（n∈N*）的展开式中各项系数的和为P，所有二项式系数的和为S，若P+S=272，则正整数n的值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】二项式系数的性质．【分析】令x=1，可得4n=P，又2n=S，P+S=272，联立解出即可得出．【解答】解：令x=1，可得4n=P，又2n=S，P+S=272，∴4n+2n﹣272=0，解得2n=16，解得n=4．故选：A．9．有3位老师和3 个学生站成一排照相，则任何两个学生都互不相邻的排法总数为（）A．36 B．72 C．144 D．288【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】可以考虑到用插空法求解，先把3位老师排好，然后有4个空排学生，然后列出式子，根据分步计数原理求解即可．【解答】解：考虑3位学生不相邻排法，可以考虑到用插空法求解，先把3位老师排好，然后有4个空排学生，故有A33•A43=144排法．故选：C10．经检测有一批产品合格率为，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为ξ，则P（ξ=k）取得最大值时k的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】随机变量ξ～B（5，），P（ξ=k）=，由式子的意义知：概率最大也就是ξ最可能的取值．这和期望的意义接近．由Eξ=5×=3.75，知k=4是极值，由此能求出p（ξ=k）取最大值时k的值．【解答】解：由题意，随机变量ξ～B（5，），∴P（ξ=k）=，由式子的意义知：概率最大也就是ξ最可能的取值．这和期望的意义接近．∵Eξ=5×=3.75，∴k=4是极值，∴P（ξ=k）取最大值时k的值是4．故选：C．11．定义方程f（x）=f′（x）的实数根x0叫做函数f（x）的“异驻点”．若函数g（x）=2016x，h（x）=ln（x+1），φ（x）=x3﹣1的“异驻点”分别为α，β，γ，则α，β，γ的大小关系为（）A．α＞β＞γB．β＞α＞γC．β＞γ＞αD．γ＞α＞β【考点】导数的运算．【分析】由题设中所给的定义，对三个函数所对应的方程进行研究，分别计算求出α，β，γ的值或存在的大致范围，再比较出它们的大小即可选出正确选项．【解答】解：①∵g（x）=2016x，∴g′（x）=2016，由g（x）=g′（x），解得2016x=2016，∴α=1．②∵h（x）=ln（x+1），∴h′（x）=，由h（x）=h′（x），得到ln（x+1）=，令h（x）=ln（x+1）﹣，则h′（x）=+，因此函数h（x）在（﹣1，+∞）单调递增．∵h（0）=﹣1＜0，h（1）=ln2﹣＞0，∴0＜β＜1．③∵φ（x）=x3﹣1，∴φ′（x）=3x2，由φ（x）=φ′（x），得x3﹣1=2x2，∵2x2＞0，（x=0时不成立），∴x3﹣1＞0，∴x＞1，∴γ＞1．综上可知：γ＞α＞β．故选：D．12．已知函数f（x）=在点（1，2）处的切线与f（x）的图象有三个公共点，则b的取值范围是（）A．[﹣8，﹣4+2） B．（﹣4﹣2，﹣4+2）C．（﹣4+2，8] D．（﹣4﹣2，﹣8]【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先利用导数研究在点（1，2）处的切线方程，然后作出函数图象，随着b减小时，半圆向下移动，当点A（﹣4，b）落在切线上时，在点（1，2）处的切线与f（x）的图象有三个公共点，直到半圆与直线相切前，切线f（x）的图象都有三个公共点，只需求出零界位置的值即可．【解答】解：当x＞0时，f（x）=x2+1，则f′（x）=2x，∴f′（1）=2×1=2，则在点（1，2）处的切线方程为y=2x，当x≤0时，y=f（x）=+b，即（x+2）2+（y﹣b）2=4（y≥b）作出函数图象如右图随着b减小时，半圆向下移动，当点A（﹣4，b）落在切线上时，在点（1，2）处的切线与f（x）的图象有三个公共点，即b=2×（﹣4）=﹣8，再向下移动，直到半圆与直线相切前，切线f（x）的图象有三个公共点，相切时与f（x）的图象有两个交点即=2，解得b=﹣4﹣2＜﹣8∴b的取值范围是（﹣4﹣2，﹣8]．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡中相应的位置上．13．用1，2，3，4这四个数字能组成24 个没有重复数字的四位数．【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】本题属于排列问题，全排即可得到答案．【解答】解：把1，2，3，4全排列，故有A44=24个，故答案为：24．14．已知函数f（x）=3x﹣x3，当x=a时f（x）取得极大值为b，则a﹣b的值为﹣1 ．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求导数得到f′（x）=3﹣3x2，根据二次函数符号的判断便可判断导函数的符号，从而得出函数f（x）的极大值点和极大值，从而求出a﹣b的值．【解答】解：f′（x）=3﹣3x2；∴x＜﹣1时，f′（x）＜0，﹣1＜x＜1时，f′（x）＞0，x＞1时，f′（x）＜0；∴x=1时，f（x）取得极大值2；即a=1，b=2；∴a﹣b=﹣1．故答案为：﹣1．15．（x+﹣2）5的展开式中的常数项为﹣252 （用数字作答）【考点】二项式定理的应用．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的系数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．【解答】解：（x+﹣2）5==的展开式中，分子中含x5的项为•（﹣1）5•x5，故展开式的常数项为•（﹣1）5=﹣252，故答案为：﹣252．16．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1，3，6，10，…记为数列{a n}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n}，可以推测：（1）b5= 105 ；（2）b2n﹣1= ．【考点】归纳推理．【分析】（1）由题设条件及图可得出a n+1=a n+（n+1），由此递推式可以得出数列{a n}的通项为，a n=n（n+1），由此可列举出三角形数1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，105，120，…，从而可归纳出可被5整除的三角形数每五个数中出现两个，即每五个数分为一组，则该组的后两个数可被5整除，由此规律即可求出b5；（2）由（1）中的结论即可得出b2n﹣1═（5n﹣1）（5n﹣1+1）．【解答】解：（1）由题设条件可以归纳出a n+1=a n+（n+1），故a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=n+（n﹣1）+…+2+1=n（n+1）由此知，三角数依次为1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，105，120，…由此知可被5整除的三角形数每五个数中出现两个，即每五个数分为一组，则该组的后两个数可被5整除，∴b5=105；（2）由于2n﹣1是奇数，由（I）知，第2n﹣1个被5整除的数出现在第n组倒数第二个，故它是数列{a n}中的第n×5﹣1=5n﹣1项，所以b2n﹣1═（5n﹣1）（5n﹣1+1）=．故答案为：105；．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知复数z1=2+a2+i，z2=3a+ai（a为实数，i虚数单位）且z1+z2是纯虚数．（1）求a的值，并求z12的共轭复数；（2）求的值．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】（1）由已知复数z1，z2，求出z1+z2，再由z1+z2是纯虚数列出方程组，求解即可得a的值，进一步求出z12，则z12的共轭复数可求；（2）直接把z1，z2代入，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：（1）∵，∴，∵z1+z2是纯虚数，∴，解得a=﹣2．∴．故的共轭复数为：35﹣12i；（2）==．18．某市教育局委托调查机构对本市中小学学校使用“微课掌上通”满意度情况进行调查．随机选择小学和中学各50所学校进行调查，调查情况如表：评分等级☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆小学 2 7 9 20 12中学 3 9 18 12 8（备注：“☆”表示评分等级的星级，例如“☆☆☆”表示3星级．）（1）从评分等级为5星级的学校中随机选取两所学校，求恰有一所学校是中学的概率；（2）规定：评分等级在4星级以上（含4星）为满意，其它星级为不满意．完成下列2×2列联表并帮助判断：能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为使用是否满意与学校类别有关系？学校类型满意不满意总计小学50中学50总计100【考点】独立性检验的应用；古典概型及其概率计算公式．【分析】（1）由古典概型公式，分别求得从5星级的20所学校中随机选取2所总事件个数m及恰有1所学校是中学的事件个数n，P==，代入即可求得x和y的值；（2）根据所给数据，可得2×2列联表，求出K2，与临界值比较，在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为使用满意与学校类型有关系．【解答】解：（1）因为从5星级的20所学校中随机选取2所，共有=190种结果，…；其中恰有1所学校是中学的共有•=96种结果，…；故所求概率为P==；…；（2）由2×2列联表：学校类型满意不满意总计小学32 18 50中学20 30 50总计52 48 100…；经计算K2的观测值：K2=≈5.769＞3.841 …；所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为使用满意与学校类型有关系．…；19．“莞马”活动中的α机器人一度成为新闻热点，为检测其质量，从一生产流水线上抽取20件该产品，其中合格产品有15件，不合格的产品有5件．（1）现从这20件产品中任意抽取2件，记不合格的产品数为X，求X的分布列及数学期望；（2）用频率估计概率，现从流水线中任意抽取三个机器人，记ξ为合格机器人与不合格机器人的件数差的绝对值，求ξ的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）随机变量X的可能取值为0，1，2，求出相应的概率，可求X的分布列及数学期望；（2）合格机器人的件数可能是0，1，2，3，相应的不合格机器人的件数为3，2，1，0．所以ξ的可能取值为1，3，求出相应的概率，可求ξ的分布列及数学期望．【解答】解：（1）随机变量X的可能取值为0，1，2 …；P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，所以随机变量X的分布列为：X 0 1 2P…；∴E（X）=0×+1×+2×=．…；（2）合格机器人的件数可能是0，1，2，3，相应的不合格机器人的件数为3，2，1，0．所以ξ的可能取值为1，3 …；由题意知：…；P（ξ=3）=+=…；所以随机变量ξ的分布列为：ξ 1 3P…；∴…；20．已知f（x）=lnx+ax2﹣ax+5，a∈R．（1）若函数f（x）在x=1处有极值，求实数a的值；（2）若函数f（x）在区间（0，+∞）内单调递增，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求导数得到，根据f（x）在x=1处有极值便可得到f′（1）=0，从而可求出a的值，并可验证该值成立；（2）根据f（x）在区间（0，+∞）内单调递增便可得出f′（x）≥0恒成立，进而得出2ax2﹣ax+1≥0在（0，+∞）上恒成立，这样讨论a的值：a＜0，a=0，和a＞0这三种情况，对每种情况验证是否满足条件，从而求出实数a的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），；∵f（x）在x=1处有极值，∴f′（1）=1+2a﹣a=0；解得：a=﹣1；此时；当0＜x＜1时f′（x）＞0，当x＞1时f′（x）＜0，符合题意；∴实数a的值为﹣1；（2）∵函数f（x）在区间（0，+∞）内单调递增；∴在（0，+∞）恒成立；即2ax2﹣ax+1≥0在（0，+∞）恒成立；当a＜0时，显然不符合题意；当a=0时，1≥0恒成立，符合题意；当a＞0时，要使恒成立；需，解得0＜a≤8；综上可知实数a的取值范围是[0，8]．21．已知f（n）=1++++…+，g（n）=﹣，n∈N*．（1）当n=1，2，3时，试比较f（n）与g（n）的大小关系；（2）猜想f（n）与g（n）的大小关系，并给出证明．【考点】用数学归纳法证明不等式；不等式比较大小．【分析】（1）根据已知，，n∈N*．我们易得当n=1，2，3时，两个函数函数值的大小，比较后，根据结论我们可以归纳推理得到猜想f（n）≤g（n）；（2）但归纳推理的结论不一定正确，我们可用数学归纳法进行证明，先证明不等式f（n）≤g（n）当n=1时成立，再假设不等式f（n）≤g（n）当n=k（k≥1）时成立，进而证明当n=k+1时，不等式f（n）≤g（n）也成立，最后得到不等式f（n）≤g（n）对于所有的正整数n成立；【解答】解：（1）当n=1时，f（1）=1，g（1）=1，所以f（1）=g（1）；当n=2时，，，所以f（2）＜g（2）；当n=3时，，，所以f（3）＜g（3）．（2）由（1），猜想f（n）≤g（n），下面用数学归纳法给出证明：①当n=1，2，3时，不等式显然成立．②假设当n=k（k≥3）时不等式成立，即即++…+＜，那么，当n=k+1时，，因为，所以．由①、②可知，对一切n∈N*，都有f（n）≤g（n）成立．22．设f（x）=e x﹣ax（a∈R），e为自然对数的底数．（1）若a=1时，求曲线y=f（x）在x=0处的切线方程；（2）求函数f（x）在[0，1]上的最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，计算f′（0），f（0），求出切线方程即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可．【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=e x﹣x，所以f′（x）=e x﹣1；∴f′（0）=e0﹣1=0，f（0）=e0﹣0=1；所以曲线y=f（x）在x=0的切线方程为y=1；（2）f′（x）=e x﹣a；（i）当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，即函数f（x）在[0，1]上为增函数，所以函数f（x）在[0，1]上的最小值为f（0）=1；（ii）当a＞0时，令f′（x）=0得到x=lna；若lna≤0，即0＜a≤1时，在[0，1]上，f′（x）＞0，函数f（x）在[0，1]上为增函数，所以函数f（x）在[0，1]上的最小值为f（0）=1；若lna≥1，即a≥e时，在[0，1]上，f′（x）＜0，函数f（x）在[0，1]上为减函数，所以函数f（x）在[0，1]上的最小值为f（1）=e﹣a；若0＜lna＜1，即1＜a＜e时，在[0，lna）上f′（x）＜0，在（lna，1]上f′（x）＞0，即函数f（x）在[0，lna）上单调递减，在（lna，1]上单调递增，所以函数f（x）在[0，1]上的最小值为f（lna）=a﹣alna；综上所述，当a≤1时，函数f（x）在[0，1]上的最小值为1；当1＜a＜e时，函数f（x）在[0，1]上的最小值为e﹣a；当a≥e时，函数f（x）在[0，1]上的最小值为a﹣alna．。
2015-2016学年广东省东莞市高二(下)期末数学试题(理科)(a卷)解析版
2015-2016 学年广东省东莞市高二（下）期末数学试卷（理科）（A 卷）一、选择题：本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分．每题各有四个选择支，仅有一个选择支正确．请把正确选择支号在答题卡中的相应地点涂黑．1．（ 5 分）（ 2016 春?东莞市期末）复数 z=i 2+i 的实部与虚部分别是（ ）A ．﹣ 1，1B ．1，﹣ 1C ．1，1D ．﹣ 1，﹣ 12．（5 分）（ 2016 春 ?东莞市期末）对拥有线性有关关系的两个变量 y 与 x 进行回归剖析，得到一组样本数据（ x 1 ，y 1），（ x 2， y 2） （x n ， y n ），则以下说法中不正确的选项是（ ） A ．若最小二乘法原理下获得的回归直线方程=0.52x+ ，则 y 与 x 拥有正有关关系B ．残差平方和越小的模型，拟合的成效越好C ．在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状地区内，说明采用的模型比较适合D ．用有关指数 R 2 来刻画回归成效， R 2越小说明拟合成效越好3．（5 分）（ 2016 春 ?东莞市期末）向量的运算常常与实数运算进行类比，以下类比推理中结 论正确的选项是（ ）A ． “若 ac=bc （ c ≠ 0），则 a=b ”类比推出 “若 ? = ? （≠），则=”B ． “在实数中有（ a+b ） c=ac+bc ”类比推出 “在向量中（ + ）? =?+?”C ． “在实数中有（ ab ） c=a （ bc ） ”类比推出 “在向量中（ ? ） ? =?（? ）”D ． “若 ab=0，则 a=0 或 b=0”类比推出 “若 ? =0，则 =或 = ”4．（ 5 分）（ 2014?潮安县校级模拟） 用反证法证明命题： “已知 a ，b 为实数，则方程 x 2+ax+b=0 起码有一个实根 ”时，要做的假定是（ ）A ．方程 x 2+ax+b=0 没有实根B ．方程 x 2+ax+b=0 至多有一个实根C ．方程 x 2+ax+b=0 至多有两个实根D ．方程 x 2+ax+b=0 恰巧有两个实根 5．（ 5 分）（ 2016 春?东莞市期末）已知随机变量 ξ听从正态散布 N （ 5， 9），若 p （ξ＞ c+2）=p （ ξ＜ c ﹣ 2），则 c 的值为（ ）A ． 4B ． 5C ． 6D ． 76．（ 5 分）（ 2016 春?东莞市期末）已知拥有线性有关关系的变量y 与 x 之间的一组数据：x 1 2 3 4 5 y24685若由最小二乘法原理获得回归方程 = x+0.5；可预计当 x=6 时 y 的值为（）A ．7.5B ． 8.5C ． 9.5D ． 10.57．（ 5 分）（ 2016 春?东莞市期末）若弹簧所受的力 x ＞ 1 与伸缩的距离按胡克定律F=kl （ k为弹性系数）计算，且 10N 的压力能使弹簧压缩10cm ；为在弹性限度内将弹簧从均衡地点拉到离均衡地点8cm 处，则战胜弹力所做的功为（）A ． 0.28JB ． 0.12JC ． 0.26JD ． 0.32J8．（ 5 分）（ 2016 春?东莞市期末）若（ 3x+ ） n （ n ∈ N *）的睁开式中各项系数的和为P ，全部二项式系数的和为 S ，若 P+S=272，则函数 f （ x ） =（ 3x+）n在（ 0， +∞）上的最小值为（）A ． 144B ． 256C ． 24D ．649．（ 5 分）（ 2016 春?东莞市期末）若 3 位老师和3 个学生随机站成一排照相，则任何两个学生都互不相邻的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．10．（ 5 分）（2016 春 ?东莞市期末）经检测有一批产品合格率为 ，现从这批产品中任取10件，设获得合格产品的件数为 ξ，则 P （ξ=k ）获得最大值时 k 的值为（ ）A ． 6B ． 7C ． 8D ． 911．（ 5 分）（ 2016 春 ?东莞市期末）已知函数 f （ x ）=在点（ 1， 2）处的切线与 f （x ）的图象有三个公共点，则b 的取值范围是（）A ． [ ﹣8，﹣ 4+2 ）B ．（﹣ 4﹣2 ，﹣ 4+2 ）C ．（﹣ 4+2， 8]D ．（﹣ 4﹣2，﹣ 8]12．（ 5 分）（ 2016 春 ?东莞市期末）设函数 f （x ） = ﹣ ax+a ，若存在独一的整数x 0，使得f （ x 0）＞ 1，则 a 的取值范围是（）A ．（1，2]B ．（1，]C ．（1，] D ．（ 1，2）二、填空题：本大题共 4 小题，每题5 分，共 20 分．请把答案填在答题卡中相应的地点上．13．（ 5 分）（ 2016 春 ?东莞市期末）用 0，2， 4，8 这四个数字能构成 个没有重复数 字的四位数．3，当 x=a 时 f （ x ）获得极大值14．（ 5 分）（ 2016 春?东莞市期末）已知函数 f （ x ）=3x ﹣ x 为 b ，则 a ﹣ b 的值为 ．15．（ 5 分）（ 2016 春?东莞市期末）设 f （ x ） =，若 f （ f （ 1）） =8则（ x 2﹣ ） m+4 睁开式中常数项为．16．（ 5 分）（ 2016 春?东莞市期末）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家常常在沙岸上边画点或用小石子表示数．他们研究过以下图的三角形数：将三角形数 1， 3， 6， 10， 记为数列 { a n } ，将可被 5 整除的三角形数按从小到大的次序构成一个新数列 { b n } ，能够推断：（1） b 5= ；（2） b 2n ﹣1=．三、解答题：本大题共6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（ 10 分）（ 2016 春 ?东莞市期末）复数 2z=（ 1﹣ i ）a ﹣ 3a+2+i （ a ∈ R ），（ 1）若 z= ，求 | z| ；（ 2）若在复平面内复数 z 对应的点在第一象限，求 a 的范围．18．（ 12 分）（ 2016 春 ?东莞市期末）某市教育局拜托检查机构对本市中小学使用 “微课掌上通”满意度状况进行检查．随机选择小学和中学各50 所学校进行检查，检查状况如表：评分等级 ☆ ☆☆ ☆☆☆ ☆☆☆☆ ☆☆☆☆☆ 小学 2 7 9 20 12 中学xy18128（备注： “☆ ”表示评分等级的星级，如 “☆☆☆ ”表示 3 星级．）（1）从评分等级为1 星级的学校中随机选用两所学校，恰有一所学校是中学的概率为 ，求整数 x ， y 的值； （2）规定：评分等级在4 星级及以上（含 4 星级）为满意，其余星级为不满意．达成以下2× 2 列联表并帮助教育局判断： 可否在出错误的概率不超出 0.05 的前提下以为使用 “微课掌上通 ”满意度与学校种类有关系？ 学校种类 满意不满意总计 小学 50 中学50 总计100注意：请将答案填入答题卡中的表格．19．（ 12 分）（2016 春 ?东莞市期末） “莞马 ”活动中的 α机器人一度成为新闻热门，为检测其质量，从一世产流水线上抽取 20 件该产品，此中合格产品有15 件，不合格的产品有 5 件．（1）现从这 20 件产品中随意抽取 2 件，记不合格的产品数为X ，求 X 的散布列及数学期望；（2）用频次预计概率，现从流水线中随意抽取三个机器人，记ξ为合格机器人与不合格机器人的件数差的绝对值，求ξ的散布列及数学希望．2﹣ ax+5， a ∈R ．20．（ 12 分）（ 2016 春 ?东莞市期末）已知 f （ x ） =lnx +ax （1）若函数 f （ x ）在 x=1 处有极值，务实数 a 的值；（2）若函数 f （ x ）在区间（ 0， +∞）内单一递加，务实数a 的取值范围．21．（ 12 分）（ 2016 春 ?东莞市期末）已知 f （ x ） =ln （ x+1）﹣ （ a ∈ R ）．（1）求证： a ≤ 1 且 x ≥ 0 时， f （ x ）≥ 0 恒建立；（2）设正项数列 { a n } 知足 a 1=1， a n =ln （a n ﹣ 1+1）（ n ≥2），求证： ≤ a n ≤（ n ∈N *）．x 222．（ 12 分）（ 2016 春?东莞市期末）设 f （ x ）=e ﹣ ax ， g （ x ）=kx +1（ a ∈ R ， k ∈R ），e 为 自然对数的底数．（ 1）若 a=1 时，直线 y=g （ x ）与曲线 y=f ′（ x ）相切（ f ′（x ）为 f （ x ）的导函数），求 k 的值；（2）设 h（ x） =f （ x）﹣ g（ x），若 h（ 1） =0，且函数 h（ x）在（ 0，1）内有零点，求 a 的取值范围．2015-2016 学年广东省东莞市高二（下）期末数学试卷（理科）（ A 卷）参照答案与试题分析一、选择题：本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分．每题各有四个选择支，仅有一个选择支正确．请把正确选择支号在答题卡中的相应地点涂黑．1．（ 5 分）（ 2016 春?东莞市期末）复数 z=i 2+i 的实部与虚部分别是（）A．﹣ 1，1 B．1，﹣ 1C．1，1 D．﹣ 1，﹣ 1【剖析】利用复数的幂运算以及复数的基本观点求解即可．【解答】解：复数 z=i 2+i= ﹣ 1+i．复数的实部与虚部分别是：﹣1； 1．应选： A．【评论】此题考察复数的基本观点，考察计算能力．2．（5 分）（ 2016 春 ?东莞市期末）对拥有线性有关关系的两个变量y 与 x 进行回归剖析，得到一组样本数据（x1，y1），（ x2， y2）（x n， y n），则以下说法中不正确的选项是（）A ．若最小二乘法原理下获得的回归直线方程=0.52x+ ，则 y 与 x 拥有正有关关系B．残差平方和越小的模型，拟合的成效越好C．在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状地区内，说明采用的模型比较适合D．用有关指数R 2来刻画回归成效，R2越小说明拟合成效越好【剖析】能够用来权衡模拟成效利害的几个量分别是有关指数，残差平方和和有关系数，只有残差平方和越小越好，其余的都是越大越好．【解答】解：若最小二乘法原理下获得的回归直线方程=0.52x + ， b=0.52 ＞ 0，则 y 与 x拥有正有关关系，正确；残差平方和越小的模型，拟合的成效越好，正确；可用残差图判断模型的拟合成效，残差点比较均匀地落在水平的带状地区中，说明这样的模型比较适合．带状地区的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高．故正确；2有关指数 R 取值越大，说明残差平方和越小，模型的拟合成效越好，故不正确．【评论】此题考察权衡两个变量之间有关关系的方法，要想知道两个变量之间的有关或没关的精准的可信程度，只有益用独立性查验的有关计算，才能做出判断．属于基础题．3．（5 分）（ 2016 春 ?东莞市期末）向量的运算常常与实数运算进行类比，以下类比推理中结论正确的选项是（）A ．“若 ac=bc（ c≠ 0），则 a=b”类比推出“若?= ?（≠），则=”B．“在实数中有（a+b） c=ac+bc”类比推出“在向量中（+）?= ? + ?”C．“在实数中有（ab） c=a（ bc）”类比推出“在向量中（?）?= ?（?）”D ． “若 ab=0，则 a=0 或 b=0”类比推出 “若 ?=0，则 = 或 = ”【剖析】 对四个选项，利用向量的数目积的定义与性质，分别进行判断，即可得出结论．【解答】 解：由条件，得出（﹣ ） ? =0，∴（﹣）与 垂直，则 = ，不必定建立，故 A 不正确；向量的乘法知足分派律，故 B 正确；在向量中（ ? ） ? 与 共线， ?（?）与 共线，故 C 不正确；若 ? =0，则⊥ ， =或 = 不必定建立，故D 不正确．应选： B ．【评论】 类比推理的一般步骤是： （ 1）找出两类事物之间的相像性或一致性； （2）用一类事物的性质去推断另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．4．（ 5 分）（ 2014?潮安县校级模拟） 用反证法证明命题： “已知 a ，b 为实数，则方程 x 2+ax+b=0 起码有一个实根 ”时，要做的假定是（ ）A ．方程 x 2+ax+b=0 没有实根B ．方程 x 2+ax+b=0 至多有一个实根C ．方程 x 2+ax+b=0 至多有两个实根D ．方程 x 2+ax+b=0 恰巧有两个实根 【剖析】 直接利用命题的否认写出假定即可．【解答】 解：反证法证明问题时，反设实质是命题的否认，∴用反证法证明命题 “设 a ，b 为实数，则方程x 2+ax+b=0 起码有一个实根 ”时，要做的假定 2是：方程 x +ax+b=0 没有实根．【评论】 此题考察反证法证明问题的步骤，基本知识的考察． 5．（ 5 分）（ 2016 春?东莞市期末）已知随机变量=p （ ξ＜ c ﹣ 2），则 c 的值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7ξ听从正态散布N （ 5， 9），若p （ξ＞ c+2）【剖析】 随机变量 ξ听从正态散布 N （ 5， 9），获得曲线对于 x=5 对称，依据 P （ ξ＞c+2）=P （ ξ＜ c ﹣2），联合曲线的对称性获得点 c+2 与点 c ﹣ 2 对于点 5 对称的，从而解出常数 c的值获得结果．【解答】 解：随机变量 ξ听从正态散布 N （ 5， 9）， ∴曲线对于 x=5 对称，∵P （ ξ＞ c+2） =P （ξ＜ c ﹣ 2）， ∴c+2+c ﹣ 2=10， ∴c=5， 应选： B ．【评论】 此题考察正态散布曲线的特色及曲线所表示的意义，题．考察概率的性质， 是一个基础6．（ 5 分）（ 2016 春?东莞市期末）已知拥有线性有关关系的变量 y 与 x 之间的一组数据：x 1 2 3 4 5 y24685若由最小二乘法原理获得回归方程= x+0.5；可预计当 x=6 时 y 的值为（ ）A ． 7.5B ． 8.5C ． 9.5D ． 10.5【剖析】 求出横标和纵标的均匀数， 写出样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程，获得对于 b 的方程，解方程即可．求出 b ，从而预计当 x=6 时 y 的值．【解答】 解：∵ =3， =5 ，∴这组数据的样本中心点是（把样本中心点代入回归直线方程 = x+0.5∴ 5=3 +0.5，∴ =1.5，当 x=6 时 y=9+0.5=9.5． 应选： C ．【评论】 此题考察线性回归方程， 解题的要点是线性回归直线必定过样本中心点， 这是求解线性回归方程的步骤之一．7．（ 5 分）（ 2016 春?东莞市期末）若弹簧所受的力 为弹性系数）计算，且 10N 的压力能使弹簧压缩拉到离均衡地点 8cm 处，则战胜弹力所做的功为（A ． 0.28JB ． 0.12JC ． 0.26JD ． 0.32Jx ＞ 1 与伸缩的距离按胡克定律F=kl （ k10cm ；为在弹性限度内将弹簧从均衡地点）【剖析】 先求出 F （ x ）的表达式，再依据定积分的物理意义即可求出． 【解答】 解：∵ F=10N ， x=10cm=0.1m∴k=100 ，∴W= ∫100xdx=50x 2|=0.32J ，应选： D ．【评论】 此题考察了定积分在物理中的应用，依据条件先求出k 的值是解决此题的要点．8．（ 5 分）（ 2016春?东莞市期末）若（3x+） n （ n ∈ N * ）的睁开式中各项系数的和为P ，全部二项式系数的和为S ，若P+S=272，则函数f （ x ） =（ 3x+ ）n 在（ 0， +∞）上的最小值为（ ）A ． 144B ． 256C ． 24D ．64【剖析】 由题意求得 S 和 P 的值，依据 P+S=272 求得 n 的值，再利用基本不等式求得函数f （ x ）的最小值．P=4n ， S=2n ， 【解答】 解：由题意可得n n ，解得 n∴P+S=4 +2 =272 2 =16，∴n=4 ，3， 5）在（ 0， +∞）上，n（ 3x+4=144，当且仅当 x=时，等号建立，函数 f（ x） =（3x+ ） =）≥故函数 f（ x）=（ 3x+）n在（ 0， +∞）上的最小值为144，应选： A．【评论】此题主要考察二项式定理的应用，二项式系数的性质，注意各项系数和与各项的二项式系数和的差别，基本不等式的应用，属于基础题．9．（ 5 分）（ 2016 春?东莞市期末）若 3 位老师和 3 个学生随机站成一排照相，则任何两个学生都互不相邻的概率为（）A．B．C．D．【剖析】先求出基本领件总数，再求出两位男生不相邻包括的基本领件个数，由此能求出两位男生不相邻的概率．【解答】解： 3 位老师和 3 个学生随机站成一排照相，6，基本领件总数 n=A 6 =72033任何两个学生都互不相邻包括的基本领件个数m=A 3 A 4 =144，∴任何两个学生都互不相邻的概率P==．应选： C．【评论】此题考察概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．10．（ 5 分）（2016 春 ?东莞市期末）经检测有一批产品合格率为，现从这批产品中任取 10件，设获得合格产品的件数为ξ，则 P（ξ=k ）获得最大值时 k 的值为（）A．6B．7C．8D． 9【剖析】随机变量ξ～ B （10，）， P（ξ=k） =，由式子的意义知：概率最大也就是ξ最可能的取值．这和希望的意义靠近，由此能求出p（ξ=k）取最大值时 k 的值．【解答】解：由题意，随机变量ξ～ B（ 10，），∴P（ξ=k ）=，由式子的意义知：概率最大也就是ξ最可能的取值．这和希望的意义靠近．∵Eξ=10× =7.5，∴k=7 或 8 可能是极值，P（ξ=7） ==，P（ξ=8） ==∴P（ξ=k ）取最大值时k 的值是 7．应选： B．【评论】此题考察二项散布的性质和应用，解题时要认真审题，认真解答，等价转变．注意合理地进行11．（ 5 分）（ 2016 春 ?东莞市期末）已知函数f（ x）=在点（ 1， 2）处的切线与 f （x）的图象有三个公共点，则 b 的取值范围是（）A ． [ ﹣8，﹣ 4+2）B ．（﹣ 4﹣2，﹣ 4+2）C．（﹣ 4+2， 8] D ．（﹣ 4﹣2 ，﹣8]【剖析】先利用导数研究在点（1， 2）处的切线方程，而后作出函数图象，跟着 b 减小时，半圆向下挪动，当点 A （﹣ 4， b）落在切线上时，在点（1， 2）处的切线与 f （ x）的图象有三个公共点，直到半圆与直线相切前，切线f（ x）的图象都有三个公共点，只要求出零界地点的值即可．【解答】解：当 x＞0 时， f（ x）=x 2+1，则 f ′（ x）=2x ，∴f ′（ 1）=2× 1=2 ，则在点（ 1， 2）处的切线方程为y=2x ，当 x≤ 0 时， y=f （ x） =+b，即（ x+2）22+（ y﹣ b） =4 （ y≥ b）作出函数图象如右图跟着 b 减小时，半圆向下挪动，当点 A （﹣ 4， b）落在切线上时，在点（ 1，2）处的切线与f （ x）的图象有三个公共点，即b=2×（﹣ 4） =﹣ 8，再向下挪动，直到半圆与直线相切前，切线 f （ x）的图象有三个公共点，相切时与f（ x）的图象有两个交点即=2，解得 b=﹣ 4﹣2＜﹣ 8∴b 的取值范围是（﹣ 4﹣ 2，﹣8]．应选： D．以及函数图象，同时考察了数【评论】此题主要考察了利用导数研究曲线上某点切线方程，形联合的数学思想和剖析问题的能力，属于难题．12．（ 5 分）（ 2016 春 ?东莞市期末）设函数f（x） =﹣ ax+a，若存在独一的整数 x0，使得f （ x0）＞ 1，则 a 的取值范围是（）A．（1，2] B ．（1，]C．（1，] D ．（ 1，2）【剖析】把存在独一的整数 x0，使得 f（ x0）＞ 1，转变为存在独一的整数x0，使得，即．令 g（ x）=， h（x） =ax﹣a+1，求得剖析 g （x）的单一性，作g（ x）=，h（ x）=ax﹣ a+1 的图象，数形联合获得，则答案可求．【解答】解： f （ x） =﹣ ax+a，若存在独一的整数x0，使得f（ x0）＞ 1，即存在独一的整数x0，使得，也就是存在独一的整数x0，使得．令 g（ x）=，h（x）=ax﹣a+1，∵g′（ x） =，∴g（ x） =在（﹣∞，1]上是增函数，在（1， +∞）上是减函数，又∵ h（ x）=ax﹣ a+1 是恒过点（ 1， 1）的直线，∴作 g（ x） =，h（x）=ax﹣a+1的图象以下，则，即1 ．应选： B ．【评论】 此题考察利用导数研究函数的单一性， 考察根的存在性及根的个数判断， 表现了数形联合的解题思想方法，是压轴题．二、填空题：本大题共 4 小题，每题5 分，共 20 分．请把答案填在答题卡中相应的地点上．13．（ 5 分）（ 2016 春 ?东莞市期末）用 0，2， 4，8 这四个数字能构成 18 个没有重复数字的四位数．【剖析】 特别元素优先安排， 0 不可以在首位，先排 0，再排其余，依据分步计数原理可得． 【解答】 解：因为首位不可以为0，从 2， 4， 8 中选一个排在首位有 3 种方法， 其余地点随意排，故有33A 3 =18 个，故答案为： 18．【评论】 此题考察了简单的分步计数原理，属于基础题．14．（ 5 分）（ 2016 春?东莞市期末）已知函数 f （ x ）=3x ﹣ x 3，当 x=a 时 f （ x ）获得极大值 为 b ，则 a ﹣ b 的值为 ﹣ 1 ．【剖析】 求导数获得 f ′（ x ）=3﹣ 3x 2，依据二次函数符号的判断即可判断导函数的符号，从而得出函数 f （x ）的极大值点和极大值，从而求出a ﹣b 的值．2∴ x ＜﹣ 1 时， f ′（ x ）＜ 0，﹣ 1＜ x ＜ 1 时， f ′（x ）＞ 0，x ＞ 1 时， f ′（ x ）＜ 0；∴ x =1 时， f （ x ）获得极大值 2； 即 a=1， b=2； ∴a ﹣ b=﹣ 1． 故答案为：﹣ 1．【评论】 考察基本初等函数的求导公式， 二次函数符号的判断，熟习二次函数的图象，以及函数极大值的定义及求法．15．（ 5 分）（ 2016 春?东莞市期末）设 f （ x ） =，若 f （ f （ 1）） =8则（ x 2﹣ ） m+4 睁开式中常数项为15 ．【剖析】 利用分段函数的意义可得 f （1），再利用微积分基本定理解得m ．再利用二项式定理的通项公式即可得出．【解答】 解：∵ f （ 1） =ln1=0 ，23﹣ 0，∴f （f （1）） =f （ 0）=0+3t dt= =m∴m3=8，解得 m=2．的睁开式的通项公式： T r+1= r12 ﹣3r，=（﹣ 1） x令 12﹣ 3r=0 ，解得 r=4 ．∴（ x 2﹣ ） m+4 睁开式中常数项= = =15．故答案为： 15．【评论】 此题考察了分段函数的性质、二项式定理及睁开式的通项公式、微积分基本定理，考察了推理能力与计算能力，属于中档题．16．（ 5 分）（ 2016 春?东莞市期末）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家常常在沙岸上边画点或用小石子表示数．他们研究过以下图的三角形数：将三角形数 1， 3， 6， 10， 记为数列 { a n } ，将可被 5 整除的三角形数按从小到大的次序构成一个新数列 { b n } ，能够推断： （ 1） b 5= 105 ；（2） b 2n ﹣1=．【剖析】（1）由题设条件及图可得出 a n+1=a n +（n+1），由此递推式能够得出数列{ a n } 的通项为， a n = n （ n+1），由此可列举出三角形数1， 3， 6， 10，15， 21，28， 36，45， 55，66，78， 91， 105， 120， ，从而可概括出可被5 整除的三角形数每五个数中出现两个，即每五个数分为一组， 则该组的后两个数可被 5 整除，由此规律即可求出 b 5；（2）由（ 1）中的结论即可得出b 2n ﹣ 1═ （ 5n ﹣ 1）（ 5n ﹣ 1+1）．【解答】 解：（ 1）由题设条件能够概括出 a n+1=a n +（ n+1），故 a n =（ a n ﹣ a n ﹣1）+（ a n ﹣ 1﹣ a n ﹣2） + +（ a 2﹣ a 1） +a 1=n+（ n ﹣1） + +2+1= n （ n+1）由此知，三角数挨次为 1，3，6，10，15，21，28，36，45，55， 66，78，91，105，120， 由此知可被 5 整除的三角形数每五个数中出现两个， 即每五个数分为一组， 则该组的后两个数可被 5 整除，∴b 5=105 ；（2）因为 2n ﹣ 1 是奇数，由（ I ）知，第 2n ﹣ 1 个被 5 整除的数出此刻第 n 组倒数第二个，故它是数列 { a n } 中的第 n × 5﹣ 1=5n ﹣ 1 项，因此 b 2n ﹣ 1═ （ 5n ﹣1）（ 5n ﹣ 1+1） = ．故答案为： 105；．【评论】 此题考察数列的递推关系， 数列的表示及概括推理， 解题的要点是由题设得出相邻 两个三角形数的递推关系，由此列举出三角形数，得出结论 “被 5 整除的三角形数每五个数 中出现两个，即每五个数分为一组，则该组的后两个数可被5 整除 ”，此题综合性强，有一定的研究性，是高考的要点题型，解答时要注意总结此中的规律．三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .17．（ 10 分）（ 2016 春 ?东莞市期末）复数 2z=（ 1﹣ i ）a ﹣ 3a+2+i （ a ∈ R ）， （1）若 z= ，求 | z| ；（2）若在复平面内复数 z 对应的点在第一象限，求a 的范围．【剖析】（ 1）依据 z= ，确立方程即可求 | z| ；（2）利用复数的几何意义，即可获得结论．【解答】 解 z=（ 1﹣ i ） a 2﹣ 3a+2+i=a 2﹣ 3a+2+（ 1﹣ a 2） i ，（1）由 知， 1﹣a 2=0，故 a=±1．当 a=1 时， z=0；当 a=﹣ 1 时， z=6．（2）由已知得，复数的实部和虚部皆大于0，即，即，因此﹣ 1＜ a ＜ 1．【评论】 此题主要考察复数的几何意义，以及复数的有关观点，比较基础．18．（ 12 分）（ 2016 春 ?东莞市期末）某市教育局拜托检查机构对本市中小学使用 “微课掌上通”满意度状况进行检查．随机选择小学和中学各50 所学校进行检查，检查状况如表：评分等级 ☆ ☆☆ ☆☆☆ ☆☆☆☆ ☆☆☆☆☆ 小学2 7 9 20 12 中学xy18128（备注： “☆ ”表示评分等级的星级，如 “☆☆☆ ”表示 3 星级．）（1）从评分等级为 1 星级的学校中随机选用两所学校，恰有一所学校是中学的概率为 ，求整数 x ， y 的值；（2）规定：评分等级在4 星级及以上（含 4 星级）为满意，其余星级为不满意．达成以下2× 2 列联表并帮助教育局判断： 可否在出错误的概率不超出 0.05 的前提下以为使用 “微课掌上通 ”满意度与学校种类有关系？ 学校种类 满意不满意 总计 小学 50 中学50 总计100注意：请将答案填入答题卡中的表格．【剖析】（ 1）由古典概型公式， 分别求得评分等级为 1 星级的学校中随机选用两所学校总事件个数 m 及恰有一所学校是中学的事件个数 n ， P= = ，代入即可求得 x 和 y 的值；（2）依据所给数据，可得2×2 列联表，求出K 2，与临界值比较，在出错误的概率不超出0.05 的前提下以为使用满意与学校种类有关系．【解答】 解：（ 1）因为从 1 星级的 2+x 的学校中随机选用2 所学校，共有=种结果， （ 1 分）；此中恰有 1 所学校是中学的共有种结果，（2分）；故=．解得： x=3 ，（ 3 分）；因此 y=50 ﹣3﹣ 18﹣12﹣ 8=9 （ 4 分）；（2）达成列2× 2 列联表：学校种类满意不满意总计小学321850中学203050总计5248100（7 分）；22经计算 K的观察值： K =≈ 5.769＞ 3.841（ 11 分）；因此在出错误的概率不超出0.05 的前提下以为使用满意与学校种类有关系．（ 12 分）；【评论】此题考察古典概型概率公式，列联表，独立性查验的方法等知识，考察了学生办理数据和运算求解的能力，属于中档题．19．（ 12 分）（2016 春 ?东莞市期末）“莞马”活动中的α机器人一度成为新闻热门，为检测其质量，从一世产流水线上抽取20 件该产品，此中合格产品有15 件，不合格的产品有 5 件．（1）现从这20 件产品中随意抽取 2 件，记不合格的产品数为X，求 X 的散布列及数学期望；（2）用频次预计概率，现从流水线中随意抽取三个机器人，记ξ为合格机器人与不合格机器人的件数差的绝对值，求ξ的散布列及数学希望．【剖析】（ 1）随机变量X 的可能取值为0， 1， 2，求出相应的概率，可求X 的散布列及数学希望；（2）合格机器人的件数可能是 0，1，2，3，相应的不合格机器人的件数为 3， 2，1，0．因此ξ的可能取值为 1， 3，求出相应的概率，可求ξ的散布列及数学希望．【解答】解：（ 1）随机变量 X 的可能取值为0，1，2（ 1 分）；P（X=0 ）== ，P（X=1 ）==，P（X=2 ）==，因此随机变量X 的散布列为：X012P（5 分）；∴E （ X ） =0 ×+1× +2×= ． （ 6 分）；（2）合格机器人的件数可能是因此 ξ的可能取值为 1，30， 1，2， 3，相应的不合格机器人的件数为3， 2， 1，0．（8 分）；由题意知：（ 9 分）；P （ ξ=3） =+=（10 分）；因此随机变量 ξ的散布列为：ξ13P（11 分）；∴（ 12 分）；【评论】 此题考察随机变量的散布列及数学希望， 考察学生的计算能力， 确立变量的取值与相应的概率是要点．220．（ 12 分）（ 2016 春 ?东莞市期末）已知 f （ x ） =lnx +ax ﹣ ax+5， a ∈R ． （1）若函数 f （ x ）在 x=1 处有极值，务实数 a 的值；（2）若函数 f （ x ）在区间（ 0， +∞）内单一递加，务实数 a 的取值范围．【剖析】（ 1）求导数获得，依据 f （ x ）在 x=1 处有极值即可获得f ′（ 1）=0，从而可求出 a 的值，并可考证该值建立；2ax 2 （2）依据 f （x ）在区间（ 0， +∞）内单一递加即可得出 f ′（ x ）≥ 0 恒建立，从而得出﹣ax+1≥ 0 在（ 0， +∞）上恒建立，这样议论 a 的值： a ＜ 0， a=0，和 a ＞ 0 这三种状况，对每种状况考证能否知足条件，从而求出实数a 的取值范围．【解答】 解：（ 1）函数 f （ x ）的定义域为（ 0， +∞），；∵ f （x ）在 x=1 处有极值，∴ f ′（1） =1+2a ﹣ a=0；解得： a=﹣ 1；此时；当 0＜ x ＜ 1 时 f ′（ x ）＞ 0，当 x ＞ 1 时 f ′（ x ）＜ 0，切合题意；∴实数 a 的值为﹣ 1；（2）∵函数 f （ x ）在区间（ 0， +∞）内单一递加；∴在（ 0， +∞）恒建立；即 2ax 2﹣ ax+1≥ 0 在（ 0， +∞）恒建立；当 a ＜ 0 时，明显不切合题意；当 a=0 时， 1≥ 0 恒建立，切合题意；当 a＞ 0 时，要使恒建立；需，解得0＜ a≤8；综上可知实数 a 的取值范围是[ 0， 8] ．【评论】考察基本初等函数导数的求法，函数极值的定义，函数在极值点处导数的取值状况，函数的单一性和函数导数符号的关系，要熟习二次函数的图象．21．（ 12分）（ 2016 春 ?东莞市期末）已知 f （ x） =ln （ x+1）﹣（ a∈ R）．（1）求证：a≤ 1 且x≥ 0 时， f （ x）≥ 0 恒建立；（2）设正项数列{ a n} 知足a1=1， a n=ln （a n﹣1+1）（ n≥2），求证：≤ a n≤（ n∈N *）．【剖析】（ 1）求出函数的导数，获得函数的单一性，从而证出结论；（2）a=1 时，在[ 0，+∞）内恒建立，在 [ 0，3）内恒建立，由 a1=1 及a n=ln （ a n﹣1+1）（ n≥ 2）知0＜ a n≤1，依据数学概括法证明即可．【解答】证明：（ 1）（ 1 分）；当 a≤ 1， x≥0 时， f'（ x）≥ 0 恒建立此时函数 f （ x）在（ 0，+∞）内单一递加因此 f（ x）≥ f （ 0） =0，得证（ 2 分）；（ 3 分）；（ 4 分）；（2）由（1）可知a=1 时，在 [ 0， +∞）内恒建立（ 6 分）；同理可证：在 [ 0， 3）内恒建立（ 7 分）；由 a1=1 及 a n=ln （ a n﹣1+1）（ n≥ 2）知 0＜ a n≤1（ 8 分）下边用数学概括法证明：当 n=1 时，，结论建立（9分）；设当 n=k 时结论建立，即那么当 n=k+1 时，（10 分）（11 分）即当 n=k +1 时有，结论建立，由此可知对随意n∈N *结论都建立，原不等式得证．（12分）【评论】此题考察了函数的单一性问题，考察导数的应用以及不等式的证明，数学概括法的应用，是一道综合题．22．（ 12 分）（ 2016 春?东莞市期末）设x2f（ x）=e﹣ ax ， g（ x）=kx +1（ a∈ R， k∈R），e 为自然对数的底数．（1）若 a=1 时，直线 y=g（ x）与曲线 y=f ′（ x）相切（ f ′（x）为 f（ x）的导函数），求 k 的值；（2）设 h（ x） =f （ x）﹣ g（ x），若 h（ 1） =0，且函数 h（ x）在（ 0，1）内有零点，求 a 的取值范围．【剖析】（ 1）求出函数的导数，求得切线的斜率和切点，由切线的方程，解得k 的值；（2）利用等价变换，若函数h（x）在区间（ 0，1）内有零点，则函数h（ x）在区间（ 0，1）内起码有三个单一区间，因此h′（ x）在（ 0，1）上应有两个不一样的零点．【解答】解：（ 1） a=1 时， f（ x）=e x﹣ x2， f'（ x） =e x﹣ 2x（ 1 分）设曲线 y=f' （ x）与直线 y=g （ x）的切点为（ x0， kx0+1）∵切点在曲线y=f' （x）上，∴（2 分）又 f'' （ x） =e x﹣2，由导数的几何意义知：（3 分）由此解得x0﹣+1=0（4 分）设 t（x） =xe x﹣ ex+1，则 t′（ x） =xex，当x＞0 时，t′（x）=xe x＞0，t（x）递加；当x＜0 时，t′（x）=xe x＜0，t（x）递减；∴t （ x）≥ t（ 0） =0，∴x0=0（5 分）∴k= ﹣ 1．（ 6 分）（2） h（ x） =e x﹣ ax2﹣ kx﹣ 1由 h（ 1）=0 得： k=e﹣ a﹣ 1又 h（ 0）=0，且函数 h（ x）在区间（ 0， 1）内有零点，∴函数 h（x）在区间（ 0， 1）内起码有三个单一区间，即 h′（ x） =0 在区间（ 0，1）内起码有两个实根，（7 分）x x﹣ 2ah′（ x）=e﹣ 2ax﹣ k， h''（ x） =e∵x∈（0，1），∴e x∈（ 1， e）当时， h''（ x）=e x﹣ 2a＞ 0，函数 h'（ x）在区间（ 0，1）单一递加，方程 h'（x） =0 在区间（ 0， 1）内至多一个实根，不切合题意．当时， h''（ x）=e x﹣ 2a＜ 0，函数 h'（ x）在区间（ 0，1）单一递减，方程 h'（x） =0 在区间（ 0， 1）内至多一个实根，不切合题意．（8分）当＜ a＜时，令h''（x）＜0得：0＜x＜ln（2a），令h''（x）＞0得：x＞ln（2a），即函数 h'（ x）在区间（ 0，ln （ 2a））内单一递减，在区间（ln（ 2a）， +∞）内单一递加∴h'（ x）min=h' （ln （2a）） =2a﹣ 2aln（2a）﹣ k=3a﹣ 2aln（ 2a）﹣ e+1（ 9 分）记 H （ x） =x﹣ xlnx ﹣ e+1 此中1＜ x＜ e，则，令 H'（ x）＞ 0 得： 1＜ x＜∴函数 H（ x）在（ 1，，令 H'（ x）＜ 0 得：＜x＜e，）内单一递加，在（， e）内单一递减（ 10 分）∴H （ x） max=H （） =﹣ln﹣ e+1=+1﹣ e故 H （ x）＜ 0，也即 h'（ x）min＜0∵函数 h（x）在区间（ 0， 1）内起码有三个单一区间，∴即解得：e﹣ 2＜ a＜ 1 切合＜ a＜综上可知，实数 a 的取值范围是（e﹣ 2，1）（ 12 分）【评论】此题考察了，利用导数求函数的单一区间，分类议论思想，等价变换思想，函数的零点等知识点．是一道导数的综合题，难度较大．。
2015年广东省东莞市高一下学期期末数学试卷与解析答案(a卷)
2014-2015学年广东省东莞市高一（下）期末数学试卷（A卷）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确．请把正确选择支号在答题卡中的相应位置涂黑．1．（5分）sin420°的值为（）A．B．﹣ C．D．﹣2．（5分）点O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，则++等于（）A．B．C．D．3．（5分）某班第一小组8位同学数学测试成绩用茎叶图表示（如图），其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的中位数是（）A．90.5 B．91.5 C．92 D．92.54．（5分）已知某简谐运动的图象经过点（0，2），且对应函数的解析式为f（x）=4sin（x+φ）（|φ|＜），则该简谐运动的初相φ的值为（）A．φ=B．φ=C．φ=D．φ=5．（5分）某高中学校三个年级共有学生2800名，需要用分层抽样的方法抽取一个容量为40的样本，已知高一年级有学生910名；高二年级抽出的样本人数占样本总数的；则抽出的样本中有高三年级学生人数为（）A．14 B．15 C．16 D．176．（5分）下列命题正确的是（）A．若•=•，则= B．若|+|=|﹣|，则•=0C．若∥，∥，则∥D．若与是单位向量，则•=17．（5分）在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么以为概率的事件是（）A．都不是一等品B．恰有一件一等品C．至少有一件一等品D．至多一件一等品8．（5分）已知△ABC中，cosA=，cosB=，则内角C等于（）A． B． C．D．9．（5分）假设△ABC为圆的内接正三角形，向该圆内投一点，则点落在△ABC 内的概率（）A．B．C．D．10．（5分）为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，a i∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h 0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．11010 B．01100 C．10111 D．00011二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡的相应位置上．11．（5分）已知向量=（3，5），=（1，x），且∥，则x=．12．（5分）一个扇形弧长等于2，面积等于1，则此扇形的圆心角等于弧度．13．（5分）将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的函数图象向左平移个单位，最后所得到的图象对应的解析式是．14．（5分）已知角α的终边与单位圆交于点P（x，y），且x+y=﹣，则tan（α+）=．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效．15．（12分）生物兴趣小组的同学到野外调查某种植物的生长情况，共测量了k∈Z株该植物的高度（单位：厘米），获得数据如下：6，7，8，9，10，14，16，17，17，18，19，20，20，21，24，26，26，27，28，29，29，30，30，30，31，31，33，36，37，41．根据上述数据得到样本的频率分布表如下：（1）确定样本频率分布表中n 1，n2，f1和f2的值；（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）用（2）的频率分布直方图估计该植物生长高度的平均值．16．（12分）某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，所得数据如表所示：（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；（2）试根据最小二乘法原理，求出y关于x的线性回归方程=x+，并在给定的坐标系中画出回归直线；（3）试根据（2）求出的线性回归方程，预测记忆力为9的学生的判断力．参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数公式：．17．（14分）已知0＜φ＜π，且满足sin（φ+）=sin（φ﹣），设函数f（x）=sin（2x+）．（1）求φ的值；（2）设＜α＜，且f（α）=﹣，求sin2α的值．18．（14分）运行如图所示的程序流程图．（1）若输入x的值为2，根据该程序的运行过程填写下面的表格，并求输出i 与x的值；（2）从问题（1）表格中填写的x的5个数值中任取两个数，求这两个数的平均数大于211的概率；（3）若输出i的值为2，求输入x的取值范围．19．（14分）已知平面内两点A（2acos2，1），B（1，asin（ωx+φ）﹣a），（a≠0，ω＞0，0＜φ＜），设函数f（x）=•，若f（x）的图象相邻两最高点的距离为π，且有一个对称中心为（，0）．（1）求ω和φ的值；（2）求f（x）的单调递增区间；（3）若a＞0，试讨论k为何值时，方程f（x）﹣k=0（x∈[0，a]）有解．20．（14分）如图，在平行四边形ABCD中，BD，AC相交于点O，设向量=，=．（1）若AB=1，AD=2，∠BAD=60°，证明：；（2）若点P是平行四边形ABCD所在平面内一点，且满足5，求△ACP与△ACD的面积的比；（3）若AB=AD=2，∠BAD=60°，点E，F分别在边AD，CD上，，，且，求λ+μ的值．2014-2015学年广东省东莞市高一（下）期末数学试卷（A卷）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确．请把正确选择支号在答题卡中的相应位置涂黑．1．（5分）sin420°的值为（）A．B．﹣ C．D．﹣【解答】解：sin420°=sin（360°+60°）=sin60°=．故选：C．2．（5分）点O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，则++等于（）A．B．C．D．【解答】解：因为点O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，则++==；故选：A．3．（5分）某班第一小组8位同学数学测试成绩用茎叶图表示（如图），其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的中位数是（）A．90.5 B．91.5 C．92 D．92.5【解答】解：根据茎叶图中的数据，把这组数据按从小到大的顺序排列如下；87，88，90，91，92，93，94，97；∴这组数的中位数是=91.5；故选：B．4．（5分）已知某简谐运动的图象经过点（0，2），且对应函数的解析式为f（x）=4sin（x+φ）（|φ|＜），则该简谐运动的初相φ的值为（）A．φ=B．φ=C．φ=D．φ=【解答】解：∵简谐运动的图象经过点（0，2），∴f（0）=2，即f（0）=4sinφ=2，即sinφ=，∵|φ|＜，∴φ=，故选：D．5．（5分）某高中学校三个年级共有学生2800名，需要用分层抽样的方法抽取一个容量为40的样本，已知高一年级有学生910名；高二年级抽出的样本人数占样本总数的；则抽出的样本中有高三年级学生人数为（）A．14 B．15 C．16 D．17【解答】解：高二年级的人数为2800×=840人，则高三人数为2800﹣840﹣910=1050，则高三抽取的人数为=15，故选：B．6．（5分）下列命题正确的是（）A．若•=•，则= B．若|+|=|﹣|，则•=0C．若∥，∥，则∥D．若与是单位向量，则•=1【解答】解：∵，∴，∴，∴，故选：B．7．（5分）在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么以为概率的事件是（）A．都不是一等品B．恰有一件一等品C．至少有一件一等品D．至多一件一等品【解答】解：5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，从5件产品中任取2件，有C52=10种结果，∵都不是一等品有1种结果，概率是，恰有一件一等品有C31C21种结果，概率是，至少有一件一等品有C31C21+C32种结果，概率是，至多有一件一等品有C31C21+1种结果，概率是，∴是至多有一件一等品的概率，故选：D．8．（5分）已知△ABC中，cosA=，cosB=，则内角C等于（）A． B． C．D．【解答】解：△ABC中，∵cosA=＞0，cosB=＞0，∴A、B均为锐角，∴sinA==，同理可得sinB==，∴cosC=cos[π﹣（A+B）]=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB=﹣×+×=﹣，∵0＜C＜π，∴可得：C=．故选：A．9．（5分）假设△ABC为圆的内接正三角形，向该圆内投一点，则点落在△ABC 内的概率（）A．B．C．D．【解答】解：设圆的半径为R，则其内接正三角形的边长R构成试验的全部区域的面积：S=πR2记“向圆O内随机投一点，则该点落在正三角形内”为事件A，则构成A的区域的面积由几何概率的计算公式可得，P（A）=故选：A．10．（5分）为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，a i∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．11010 B．01100 C．10111 D．00011【解答】解：A选项原信息为101，则h0=a0⊕a1=1⊕0=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为11010，A选项正确；B选项原信息为110，则h0=a0⊕a1=1⊕1=0，h1=h0⊕a2=0⊕0=0，所以传输信息为01100，B选项正确；C选项原信息为011，则h0=a0⊕a1=0⊕1=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为10110，C选项错误；D选项原信息为001，则h0=a0⊕a1=0⊕0=0，h1=h0⊕a2=0⊕1=1，所以传输信息为00011，D选项正确；故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡的相应位置上．11．（5分）已知向量=（3，5），=（1，x），且∥，则x=．【解答】解：∵向量=（3，5），=（1，x），且∥，∴3x﹣1×5=0，解得x=．故答案为：．12．（5分）一个扇形弧长等于2，面积等于1，则此扇形的圆心角等于2弧度．【解答】解：根据扇形的面积公式S=lr可得：1=×2r，解得r=1，再根据弧长公式l==2，解得n=2扇形的圆心角的弧度数是2．故答案为：2．13．（5分）将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的函数图象向左平移个单位，最后所得到的图象对应的解析式是．【解答】解：由题意可得：若将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），即周期变为原来的两倍，所以可得函数，再将所得的函数图象向左平移个单位，可得，所以．所以答案为．14．（5分）已知角α的终边与单位圆交于点P（x，y），且x+y=﹣，则tan（α+）=±．【解答】解：由题意可得x+y=﹣，x2+y2=1，tanα=，求得或，∴tanα=﹣或tanα=﹣．当tanα=﹣，tan（α+）==；当tanα=﹣，tan（α+）==﹣，故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效．15．（12分）生物兴趣小组的同学到野外调查某种植物的生长情况，共测量了k ∈Z株该植物的高度（单位：厘米），获得数据如下：6，7，8，9，10，14，16，17，17，18，19，20，20，21，24，26，26，27，28，29，29，30，30，30，31，31，33，36，37，41．根据上述数据得到样本的频率分布表如下：（1）确定样本频率分布表中n1，n2，f1和f2的值；（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）用（2）的频率分布直方图估计该植物生长高度的平均值．【解答】（本小题满分12分）解：（1）n1=12，f1=0.4，n2=3，f1=0.1，（2）（3）用（2）的频率分布直方图估计该植物生长高度的平均值为：10×0.2+20×0.3+30×0.4+40×0.1=24（厘米）16．（12分）某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，所得数据如表所示：（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；（2）试根据最小二乘法原理，求出y关于x的线性回归方程=x+，并在给定的坐标系中画出回归直线；（3）试根据（2）求出的线性回归方程，预测记忆力为9的学生的判断力．参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数公式：．【解答】解：（1）散点图如图所示．…（1分）（2），…（3分）…（4分）…（5分）…（7分）…（8分）故线性回归方程为．…（9分）画出回归方程…（10分）（3）由题意，该同学的记忆力为9，则预测他的判断力为：…（11分）预测这位同学的判断力约为4．…（12分）17．（14分）已知0＜φ＜π，且满足sin（φ+）=sin（φ﹣），设函数f（x）=sin（2x+）．（1）求φ的值；（2）设＜α＜，且f（α）=﹣，求sin2α的值．【解答】解：（1）由已知得，化简得，即cosφ=0．又0＜φ＜π，所以．（2）由（1）得，由，得，因为，所以＜2α+＜，可得．则sin2α===．18．（14分）运行如图所示的程序流程图．（1）若输入x的值为2，根据该程序的运行过程填写下面的表格，并求输出i 与x的值；（2）从问题（1）表格中填写的x的5个数值中任取两个数，求这两个数的平均数大于211的概率；（3）若输出i的值为2，求输入x的取值范围．【解答】（本小题满分14分）解：（1）…（5分）（注：每填对一个空格给1分）因为202＜211，607＞211，故输出的i的值为5，x的值为607．…（6分）（2）问题（1）表格中填写的x的5个数值为：7，22，67，202，607，从中任取两个数，共有10种不同的取法，Ω={（7，22），（7，67），（7，202），（7，607），（22，67），（22，202），（22，607），（67，202），（67，607），（202，607）}…（7分）其平均数分别是：14.5、37、104.5、307、44.5、112、314.5、134.5、337、404.5，设A表示“两个数的平均数大于211”，则A={（7，607），（22，607），（67，607），（202，607）}其平均数分别是307、314.5、337、404.5满足条件…（9分）所以…（10分）（3）因为输出i的值为2，所以该程序执行了循环体2次．…（11分）即：…（13分）解得23＜x≤70．故输入x的取值范围为（23，70]．…（14分）19．（14分）已知平面内两点A（2acos2，1），B（1，asin（ωx+φ）﹣a），（a≠0，ω＞0，0＜φ＜），设函数f（x）=•，若f（x）的图象相邻两最高点的距离为π，且有一个对称中心为（，0）．（1）求ω和φ的值；（2）求f（x）的单调递增区间；（3）若a＞0，试讨论k为何值时，方程f（x）﹣k=0（x∈[0，a]）有解．【解答】解：（1）…（1分）=…（2分）=…（3分）∵f（x）的图象相邻两最高点的距离为π，∴，ω=2…（4分）又其图象的一个对称中心为，故，∴，由得…（5分）（2）由（1）知当a＞0时，由，得f（x）单调增区间为，k∈Z…（7分）当a＜0时，由，得f（x）单调增区间为，k∈Z…（9分）（3）当时，由x∈[0，a]得，…（10分）当时，由x∈[0，a]得，…（11分）当时，由x∈[0，a]得，…（12分）当时，由x∈[0，a]得，…（13分）综上所述：要使方程f（x）﹣k=0（x∈[0，a]）有解，当时，；当时，；当时，；当时，﹣2a≤k≤2a…（14分）20．（14分）如图，在平行四边形ABCD中，BD，AC相交于点O，设向量=，=．（1）若AB=1，AD=2，∠BAD=60°，证明：；（2）若点P是平行四边形ABCD所在平面内一点，且满足5，求△ACP与△ACD的面积的比；（3）若AB=AD=2，∠BAD=60°，点E，F分别在边AD，CD上，，，且，求λ+μ的值．【解答】解：（1），∵，又∵AB=1，AD=2，∠BAD=60°，∴，，∴．即．（2）由，得，即，故D，P，O三点共线，且x，所以i=0与i=i+1对于边x≤211的两高之比为i，x，所以x=3x+1与△ACD的面积比为．（3），==﹣2+4（λ+μ）﹣2λμ=1，所以①又==，所以②由①②得．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.P2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。
广东省东莞市2016-2017学年高一下学期期末教学质量检查数学试题附答案解析
东莞市2016-2017学年度第二学期教学质量检查高一数学一、选择题1.的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，应选答案A。
2.某高级中学共有学生1500人，各年级学生人数如下表，现用分层抽样的方法在全校抽取45名学生，则在高一、高二、高三年级抽取的学生人数分别为（）A. 12，18，15B. 18，12，15C. 18，15，12D. 15，15，15【答案】C【解析】由分层抽样的思想方法可得在三个年级分别抽得的人数是，应选答案C。
3.远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，就是现在人们熟悉的“进位制”，下图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满六进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（）A. 36B. 56C. 91D. 336【答案】B【解析】试题分析：由题意满六进一，可得该图示为六进制数, 化为十进制数为,故选B.考点：1、阅读能力及建模能力；2、进位制的应用.4.一个人投篮时连续投两次，则事件“至多投中一次”的互斥事件是（）A. 只有一次投中B. 两次都不中C. 两次都投中D. 至少投中一次【答案】C【解析】由互斥事件的定义可知“至多投中一次”的反面是“两次都投中”，应选答案C。
5.某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒，绿灯持续时间为45秒，若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等街15秒才出现绿灯的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由几何概型的计算公式可得所求概率是，应选答案B。
6.在平行四边形中，，，，则等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：因为，所以故答案选考点：平面向量的加减运算法则．7.某程序框图如图，该程序运行后输出的值是（）A. 8B. 9C. 10D. 11【答案】B【解析】由题设中提供的算法流程图可知程序执行的是求和运算：由于的周期是，所以，应选答案B。
广东省东莞市2016-2017学年高一数学期末试卷及答案(K12教育文档)
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广东省东莞市2016—2017学年度上学期期末考试高一数学试卷考试时间：120分钟 试题分数：150分参考公式：球的表面积公式: 24S R π=，其中R 为球半径． 锥体体积公式：Sh V 31=，柱体体积公式：V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高 第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1。
集合{}{}R x y y B R x x y y A x ∈==∈+==,2,,1,则A B ⋂等于A. ()+∞,0B. {}1,0C. {}1,2 D 。
{})2,1(),1,0(2。
函数23212---=x x x y 的定义域 A 。
]1,(-∞ B 。
]2,(-∞ C 。
]1,21()21,(-⋂--∞ D. ]1,21()21,(-⋃--∞ 3。
若直线10mx y +-=与直线230x y -+=平行，则m 的值为A 。
2B 。
2- C. 12 D 。
12- 4．直线0ax by c ++=经过第一、第二、第四象限，则,,a b c 应满足A ．ab ＞0，bc ＞0B ．ab ＞0，bc ＜0C ．ab ＜0，bc ＞0D ．ab ＜0，bc ＜05．已知两条不同的直线n m ,，两个不同的平面βα,，则下列命题中正确的是A.若,,//,βαβα⊥⊥n m 则n m ⊥B.若,,,//βαβα⊥⊥n m 则n m //C 。
2014-2015年广东省东莞高中高一下学期数学期末试卷与解析PDF
2014-2015学年广东省东莞高中高一（下）期末数学模拟试卷一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）4cos50°﹣tan40°=（）A．B．C．D．2﹣12．（5分）已知集合A={（x，y）|x，y为实数，且x2+y2=1}，B={（x，y）|x，y 为实数，且y=x}，则A∩B的元素个数为（）A．0 B．1 C．2 D．33．（5分）若向量，，满足∥且⊥，则•（+2）=（）A．4 B．3 C．2 D．04．（5分）某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为（）A．11 B．12 C．13 D．145．（5分）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100）．若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（）A．45 B．50 C．55 D．606．（5分）某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则（）A．a=4 B．a=5 C．a=6 D．a=77．（5分）过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（）A．2x+y﹣3=0 B．2x﹣y﹣3=0 C．4x﹣y﹣3=0 D．4x+y﹣3=08．（5分）将函数y=cosx+sinx（x∈R）的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）A．B．C．D．9．（5分）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别为（）A．2，﹣B．2，﹣C．4，﹣D．4，10．（5分）在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、．若m、M分别为（++）•（++）的最小值、最大值，其中{i，j，k}⊆{1，2，3，4，5}，{r，s，t}⊆{1，2，3，4，5}，则m、M满足（）A．m=0，M＞0 B．m＜0，M＞0 C．m＜0，M=0 D．m＜0，M＜0二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡中相应的位置上．）11．（5分）函数y=4sinx+3cosx的最大值是．12．（5分）直线2x﹣3y+1=0的一个方向向量是．13．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为4，则输出s的值为．14．（5分）某数学老师身高176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm、170cm和182cm．因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为cm．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（12分）某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．（1）根据茎叶图计算样本均值；（2）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？（3）从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率．16．（12分）某企业自行设计了两条某种大型设备的生产线，分别称为1号线和2号线，经过两年的运行，每条生产线生产一台合格的该大型设备的时间数据统计如表：其中m～n表示生产一台合格的该大型设备的时间大于m天而不超过n天，m，n为正整数．（1）现该企业接到甲、乙两公司各一个订单，每个公司需要生产一台合格的该大型设备，甲、乙两公司要求交货时间分别为不超过45天和55天，为了尽最大可能在甲、乙两公司订单要求的时间内交货，该企业应如何选择生产甲、乙两公司订购的该大型设备的生产线；（2）该企业生产的这种大型设备的质量，以其质量等级系数t来衡量，t的值越大，表明质量越好，下面是两条生产线生产的6台合格的该大型设备的质量等级系数的茎叶图．试从质量等级系数的平均数和方差的角度对该企业的两条生产线生产的这种合格的大型设备的质量做出分析．17．（14分）已知向量=（m，cos2x），=（sin2x，n），设函数f（x）=•，且y=f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2）．（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ）将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y=g（x）的图象．若y=g（x）的图象上各最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，求y=g （x）的单调增区间．18．（14分）已知函数f（x）=2sin（x﹣），x∈R（1）求f（）的值；（2）设α，β∈[0，]，f（3α+）=，f（3β+2π）=，求cos（α+β）的值．19．（14分）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2，0），AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6=0，点T（﹣1，1）在AD边所在直线上．（1）AD边所在直线的方程；（2）矩形ABCD外接圆的方程．20．（14分）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4，设圆C 的半径为1，圆心在l上．（1）若圆心C也在直线y=x﹣3上，过点A作圆C的切线，求切线方程；（2）若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|，求圆心C的横坐标的取值范围．2014-2015学年广东省东莞高中高一（下）期末数学模拟试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）4cos50°﹣tan40°=（）A．B．C．D．2﹣1【解答】解：4cos50°﹣tan40°=4sin40°﹣tan40°======．故选：C．2．（5分）已知集合A={（x，y）|x，y为实数，且x2+y2=1}，B={（x，y）|x，y 为实数，且y=x}，则A∩B的元素个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：联立两集合中的函数解析式得：，把②代入①得：2x2=1，解得x=±，分别把x=±代入②，解得y=±，所以两函数图象的交点有两个，坐标分别为（，）和（﹣，﹣），则A∩B的元素个数为2个．故选：C．3．（5分）若向量，，满足∥且⊥，则•（+2）=（）A．4 B．3 C．2 D．0【解答】解：∵∴存在λ使∵∴=0∴=2=0故选：D．4．（5分）某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为（）A．11 B．12 C．13 D．14【解答】解：使用系统抽样方法，从840人中抽取42人，即从20人抽取1人．所以从编号1～480的人中，恰好抽取=24人，接着从编号481～720共240人中抽取=12人．故选：B．5．（5分）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100）．若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（）A．45 B．50 C．55 D．60【解答】解：∵成绩低于60分有第一、二组数据，在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为0.005，0.01，每组数据的组距为20，则成绩低于60分的频率P=（0.005+0.010）×20=0.3，又∵低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是=50．故选：B．6．（5分）某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则（）A．a=4 B．a=5 C．a=6 D．a=7【解答】解：由已知可得该程序的功能是计算并输出S=1++…+=1+1﹣=2﹣．若该程序运行后输出的值是，则2﹣=．∴a=4，故选：A．7．（5分）过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（）A．2x+y﹣3=0 B．2x﹣y﹣3=0 C．4x﹣y﹣3=0 D．4x+y﹣3=0【解答】解：因为过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，所以圆的一条切线方程为y=1，切点之一为（1，1），显然B、D选项不过（1，1），B、D不满足题意；另一个切点的坐标在（1，﹣1）的右侧，所以切线的斜率为负，选项C不满足，A满足．故选：A．8．（5分）将函数y=cosx+sinx（x∈R）的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）A．B．C．D．【解答】解：y=cosx+sinx=2（cosx+sinx）=2sin（x+），∴图象向左平移m（m＞0）个单位长度得到y=2sin[（x+m）+]=2sin（x+m+），∵所得的图象关于y轴对称，∴m+=kπ+（k∈Z），则m的最小值为．故选：B．9．（5分）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别为（）A．2，﹣B．2，﹣C．4，﹣D．4，【解答】解：由题意可知T==π，∴ω=2，x=时，函数取得最大值2，可得：2sin（2×+φ）=2，﹣＜φ＜，φ=．故选：A．10．（5分）在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、．若m、M分别为（++）•（++）的最小值、最大值，其中{i，j，k}⊆{1，2，3，4，5}，{r，s，t}⊆{1，2，3，4，5}，则m、M满足（）A．m=0，M＞0 B．m＜0，M＞0 C．m＜0，M=0 D．m＜0，M＜0【解答】解：由题意，以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、，∴利用向量的数量积公式，可知只有，其余数量积均小于等于0，∵m、M分别为（++）•（++）的最小值、最大值，∴m＜0，M＜0故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡中相应的位置上．）11．（5分）函数y=4sinx+3cosx的最大值是5．【解答】解：∵函数y=4sinx+3cosx=5（sinx+cosx）=5sin（x+∅），（其中，cos∅=，sin∅=）故函数的最大值为5，故答案为5．12．（5分）直线2x﹣3y+1=0的一个方向向量是（1，）．【解答】解：由题意可得：直线2x﹣3y+1=0的斜率为k=，所以直线2x﹣3y+1=0的一个方向向量（1，）故答案为（1，）．13．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为4，则输出s的值为7．【解答】解：当i=1时，S=1+1﹣1=1；当i=2时，S=1+2﹣1=2；当i=3时，S=2+3﹣1=4；当i=4时，S=4+4﹣1=7；当i=5时，退出循环，输出S=7；故答案为：7．14．（5分）某数学老师身高176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm、170cm和182cm．因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为185cm．【解答】解：设X表示父亲的身高，Y表示儿子的身高则Y随X的变化情况如下；建立这种线性模型：用线性回归公式，求解得线性回归方程y=x+3当x=182时，y=185故答案为：185．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（12分）某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．（1）根据茎叶图计算样本均值；（2）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？（3）从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率．【解答】解：（1）样本均值为；（2）抽取的6名工人中有2名为优秀工人，所以12名工人中有4名优秀工人；（3）设“从该车间12名工人中，任取2人，恰有1名优秀工人”为事件A，所以，即恰有1名优秀工人的概率为．16．（12分）某企业自行设计了两条某种大型设备的生产线，分别称为1号线和2号线，经过两年的运行，每条生产线生产一台合格的该大型设备的时间数据统计如表：其中m～n表示生产一台合格的该大型设备的时间大于m天而不超过n天，m，n为正整数．（1）现该企业接到甲、乙两公司各一个订单，每个公司需要生产一台合格的该大型设备，甲、乙两公司要求交货时间分别为不超过45天和55天，为了尽最大可能在甲、乙两公司订单要求的时间内交货，该企业应如何选择生产甲、乙两公司订购的该大型设备的生产线；（2）该企业生产的这种大型设备的质量，以其质量等级系数t来衡量，t的值越大，表明质量越好，下面是两条生产线生产的6台合格的该大型设备的质量等级系数的茎叶图．试从质量等级系数的平均数和方差的角度对该企业的两条生产线生产的这种合格的大型设备的质量做出分析．【解答】（本小题满分12分）解：（1）用A k表示事件“k号线生产甲公司订购的合格的大型设备时，在规定的时间内交货”，用B k表示事件“k号线生产乙公司订购的合格的大型设备时，在规定的时间内交货”，其中k=1，2．用频率估计相应的概率可得P（A1）=0.1+0.15+0.45=0.7，P（A2）=0.25+0.4=0.65．P（A1）＞P（A2），所以用1号线生产甲公司订购的合格的大型设备．P（B1）=1﹣0.1=0.9，P（B 2）=0.25+0.4+0.3=0.95．P（B2）＞P（B1）．所以用2号线生产乙公司订购的合格的大型设备．（7分）（2）1号线与2号线生产合格的该大型设备的质量等级系数的平均数都是17．1号线生产合格的该大型设备的质量等级系数的方差S=，2号线生产合格的该大型设备的质量等级系数的方差S=，∴S＜S．所以1号线与2号线生产合格的该大型设备的质量等级系数的平均数相同，但2号线生产合格的该大型设备的质量稳定性较高．（12分）17．（14分）已知向量=（m，cos2x），=（sin2x，n），设函数f（x）=•，且y=f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2）．（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ）将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y=g（x）的图象．若y=g（x）的图象上各最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，求y=g （x）的单调增区间．【解答】解：（Ⅰ）已知：，，则：=msin2x+ncos2x，y=f（x）的图象过点y=f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2）．则：解得：，即：m=，n=1（Ⅱ）由（Ⅰ）得：=，f（x）向左平移φ个单位得到：g（x）=2sin（2x+2Φ+），设g（x）的对称轴x=x0，最高点的坐标为：（x0，2）点（0，3）的距离的最小值为1，则：，则：g（0）=2，解得：Φ=，所以：g（x）=2sin（2x+）=2cos2x．令：﹣π+2kπ≤2x≤2kπ （k∈Z）则：单调递增区间为：[]（k∈Z）故答案为：（Ⅰ）m=，n=1（Ⅱ）单调递增区间为：[]（k∈Z）18．（14分）已知函数f（x）=2sin（x﹣），x∈R（1）求f（）的值；（2）设α，β∈[0，]，f（3α+）=，f（3β+2π）=，求cos（α+β）的值．【解答】解：（1）把x=代入函数解析式得：f（）=2sin（×﹣）=2sin=；（2）由f（3α+）=，f（3β+2π）=，代入得：2sin[（3α+）﹣]=2sinα=，2sin[（3β+2π）﹣]=2sin（β+）=2cosβ= sinα=，cosβ=，又α，β∈[0，]，所以cosα=，sinβ=，则cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ=×﹣×=．19．（14分）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2，0），AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6=0，点T（﹣1，1）在AD边所在直线上．（1）AD边所在直线的方程；（2）矩形ABCD外接圆的方程．【解答】解：（1）∵AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6=0，且AD与AB垂直，∴直线AD的斜率为﹣3．又因为点T（﹣1，1）在直线AD上，∴AD边所在直线的方程为y﹣1=﹣3（x+1），3x+y+2=0．（2）由，解得点A的坐标为（0，﹣2），∵矩形ABCD两条对角线的交点为M（2，0）．∴M为矩形ABCD外接圆的圆心，又|AM|2=（2﹣0）2+（0+2）2=8，∴．从而矩形ABCD外接圆的方程为（x﹣2）2+y2=8．20．（14分）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4，设圆C 的半径为1，圆心在l上．（1）若圆心C也在直线y=x﹣3上，过点A作圆C的切线，求切线方程；（2）若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|，求圆心C的横坐标的取值范围．【解答】解：（1）由题设，圆心C在y=x﹣3上，也在直线y=2x﹣4上，2a﹣4=a ﹣3，∴a=1，∴C（1，﹣2）．∴⊙C：（x﹣1）2+（y+2）2=1，由题，当斜率存在时，过A点切线方程可设为y=kx+3，即kx﹣y+3=0，则=1，解得：k=﹣，…（4分）又当斜率不存在时，也与圆相切，∴所求切线为x=0或y=﹣x+3，即x=0或12x+5y﹣15=0；（2）设点M（x，y），由|MA|=2|MO|，化简得：x2+（y+1）2=4，∴点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，又∵点M在圆C上，∴圆C与圆D的关系为相交或相切，∴1≤|CD|≤3，其中|CD|=，∴1≤≤3，解得：0≤a≤．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。
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2015-2016学年广东省东莞市高一（下）期末数学试卷（B卷）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确.请用2B铅笔把答题卡中所选答案的标号涂黑．）1．（5分）已知=（x，3），=（3，1），且⊥，则x等于（）A．﹣1 B．﹣9 C．9 D．12．（5分）某校高中生共有2700人，其中高一年级900人，高二年级1200人，高三年级600人，现采取分层抽样法抽取容量为27的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为（）A．6，12，9 B．9，9，9 C．3，9，15 D．9，12，63．（5分）如果某种彩票的中奖概率为，那么下列选项正确的是（）A．买1000张彩票一定能中奖B．买999张这种彩票不可能中奖C．买1000张这种彩票可能没有一张中奖D．买1张这种彩票一定不能中奖4．（5分）当输入x=1，y=2时，如图中程序运行后输出的结果为（）A．5，2 B．1，2 C．5，﹣1 D．1，﹣15．（5分）已知0＜θ＜π，sinθ+cosθ=，则角θ的终边落在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．（5分）为了得到函数y=cos（2x+），x∈R的图象，只需要把y=cos2x曲线上所有的点（）A．向左平行移动个单位B．向右平行移动个单位C．向左平行移动个单位D．向右平行移动个单位7．（5分）已知x，y的值如表所示：如果y与x呈线性相关且回归直线方程为y=x﹣1.4，则b=（）A．1.6 B．2.6 C．3.6 D．4.68．（5分）如图是某校十大歌手比赛上，七位评委为某同学打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）A．85，4.84 B．85，1.6 C．86，1.6 D．86，49．（5分）设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则+=（）A．B．C．D．10．（5分）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）A．0 B．C．D．11．（5分）函数f（x）=（+cosx）x在[﹣4，4]的图象大致为（）A． B．C．D．12．（5分）若f（x）=cos（2x+φ）+b，对任意实数x都有f（x）=f（﹣x），f （）=﹣1，则实数b的值为（）A．﹣2或0 B．0或1 C．±1 D．±2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡中相应的位置上．）13．（5分）已知=（1，2），=（﹣3，2），则|﹣3|的值为．14．（5分）要在半径OA=90cm的圆形木板上截取一块扇形，使其弧的长为30πcm，则圆心角∠AOB=（填弧度）15．（5分）如图，有一圆盘其中的阴影部分的圆心角为75°，若向圆内投镖，如果某人每次都投入圆内，那么他投中阴影部分的概率为．16．（5分）已知tan（α﹣π）=，化简计算：sin2α+2cos2α=（填数值）．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答过程必须写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效．）17．（10分）已知向量=（4，3），=（1，﹣1）．（1）求与的夹角的余弦值；（2）若向量3+4与λ﹣平行，求λ的值．18．（10分）为了解某地房价环比（所谓环比，简单说就是与相连的上一期相比）涨幅情况，如表记录了某年1月到5月的月份x（单位：月）与当月上涨的百比率y之间的关系：（1）根据如表提供的数据，求y关于x的线性回归方程y=x+；（2）预测该地6月份上涨的百分率是多少？（参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数公式=，=﹣）19．（12分）从某次知识竞赛中随机抽取100名考生的成绩，绘制成如图所示的频率分布直方图，分数落在区间[55，65），[65，75），[75，85）内的频率之比为4：2：1．（Ⅰ）求这些分数落在区间[55，65]内的频率；（Ⅱ）用分层抽样的方法在区间[45，75）内抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意抽取2个分数，求这2个分数都在区间[55，75]内的概率．20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边做锐角α和钝角β，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点，已知A、B的纵坐标分别为，．（1）求tan（2α﹣β）的值；（2）求β﹣α的值．21．（12分）已知函数f（x）=sin2x+2cos2x（x∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）若f（x0）=，x0∈[，]，求sin（2x0﹣）的值．22．（14分）已知△OAB的顶点坐标为O（0，0），A（1，3），B（6，﹣2），又点P（﹣2，1），点Q是边AB上一点，且•=﹣10．（1）求点Q的坐标；（2）若R为线段OQ（含端点）上的一个动点，试求（+）•（+）的取值范围．2015-2016学年广东省东莞市高一（下）期末数学试卷（B卷）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确.请用2B铅笔把答题卡中所选答案的标号涂黑．）1．（5分）已知=（x，3），=（3，1），且⊥，则x等于（）A．﹣1 B．﹣9 C．9 D．1【解答】解：∵=（x，3），=（3，1），又∵⊥，∴•=3x+3=0解得x=﹣1故选：A．2．（5分）某校高中生共有2700人，其中高一年级900人，高二年级1200人，高三年级600人，现采取分层抽样法抽取容量为27的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为（）A．6，12，9 B．9，9，9 C．3，9，15 D．9，12，6【解答】解：根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为=，则在高一年级抽取的人数是900×=9人，高二年级抽取的人数是1200×=12人，高三年级抽取的人数是600×=6人，那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为9，12，6．故选：D．3．（5分）如果某种彩票的中奖概率为，那么下列选项正确的是（）A．买1000张彩票一定能中奖B．买999张这种彩票不可能中奖C．买1000张这种彩票可能没有一张中奖D．买1张这种彩票一定不能中奖【解答】解：如果某种彩票的中奖概率为，则买1000张这种彩票可能没有一张中奖，故选：C．4．（5分）当输入x=1，y=2时，如图中程序运行后输出的结果为（）A．5，2 B．1，2 C．5，﹣1 D．1，﹣1【解答】解：模拟执行程序代码，可得x=1，y=2，满足条件x＜y，则得x=2+3=5，输出x的值为5，y的值为2．故选：A．5．（5分）已知0＜θ＜π，sinθ+cosθ=，则角θ的终边落在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：因为0＜θ＜π，sinθ+cosθ=，所以（sinθ+cosθ）2=1+2sinθcosθ=，所以sinθcosθ＜0，又sinθ＞0，所以cosθ＜0，所以角θ的终边落在第二象限；故选：B．6．（5分）为了得到函数y=cos（2x+），x∈R的图象，只需要把y=cos2x曲线上所有的点（）A．向左平行移动个单位B．向右平行移动个单位C．向左平行移动个单位D．向右平行移动个单位【解答】解：由于y=cos（2x+）=cos2（x+），故把y=cos2x曲线上所有的点向左平行移动个单位，可得函数y=cos2（x+）=cos（2x+）的图象．故选：C．7．（5分）已知x，y的值如表所示：如果y与x呈线性相关且回归直线方程为y=x﹣1.4，则b=（）A．1.6 B．2.6 C．3.6 D．4.6【解答】解：由题意，=4，=5，∴样本中心坐标（4，5），回归直线经过样本中心，可得5=4b﹣1.4，解得b=1.6．故选：A．8．（5分）如图是某校十大歌手比赛上，七位评委为某同学打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）A．85，4.84 B．85，1.6 C．86，1.6 D．86，4【解答】解：由茎叶图知，去掉一个最高分94和一个最低分78后，所剩数据85，85，87，85，88的平均数为86；方差为[（85﹣86）2+[（85﹣86）2+[（87﹣86）2+[（85﹣86）2+[（88﹣86）2]=1.6．故选：C．9．（5分）设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则+=（）A．B．C．D．【解答】解：∵D、E、F分别为△ABC三边BC、CA、AB的中点，∴，=，=．∴+=﹣﹣﹣==．故选：C．10．（5分）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）A．0 B．C．D．【解答】解：如图，这个循环结构是当型循环结构，第一次循环：S=，n=2；第二次循环：S=，n=3；第三次循环：S=，n=4；第四次循环：S=，n=5；第五次循环：S=0，n=6；…n=2015÷5=403，S=0n+1=2016，退出循环，∴输出S=0．故选：A．11．（5分）函数f（x）=（+cosx）x在[﹣4，4]的图象大致为（）A． B．C．D．【解答】解：∵函数f（x）=（+cosx）x为奇函数，故它的图象关于原点对称，故排除C；∵f（x）=+xcosx 在（0，）上的值大于零，故排除D；∵当x=或x=时，当cosx=﹣，f（x）=0，故排除B，故选：A．12．（5分）若f（x）=cos（2x+φ）+b，对任意实数x都有f（x）=f（﹣x），f（）=﹣1，则实数b的值为（）A．﹣2或0 B．0或1 C．±1 D．±2【解答】解：若f（x）=cos（2x+φ）+b，对任意实数x都有f（x）=f（﹣x），∴f（x）的图象关于直线x=对称，∴+φ=kπ，即φ=kπ﹣，k∈Z．∵f（）=cos（+φ）+b=cos（+kπ﹣）+b=cos（k+1）π+b=﹣1，b=﹣1﹣cos（k+1）π，当k为偶数时，b=2；当k为奇数时，b=0，故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡中相应的位置上．）13．（5分）已知=（1，2），=（﹣3，2），则|﹣3|的值为2．【解答】解：因为=（1，2），=（﹣3，2），所以﹣3=（1﹣3×（﹣3），2﹣3×2）=（10，﹣4），所以|﹣3|==2．故答案为：．14．（5分）要在半径OA=90cm的圆形木板上截取一块扇形，使其弧的长为30πcm，则圆心角∠AOB=（填弧度）【解答】解：由题意可知扇形的弧长l=30π，扇形的半径r=OA=90，∴则圆心角∠AOB的弧度数α==，故答案为：．15．（5分）如图，有一圆盘其中的阴影部分的圆心角为75°，若向圆内投镖，如果某人每次都投入圆内，那么他投中阴影部分的概率为．【解答】解：圆盘对应的圆心角的度数为360°，阴影部分的圆心角为75°故投中阴影部分的概率P==．故答案为：．16．（5分）已知tan（α﹣π）=，化简计算：sin2α+2cos2α=（填数值）．【解答】解：∵tan（α﹣π）=tanα=，∴sin2α+2cos2α===，故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答过程必须写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效．）17．（10分）已知向量=（4，3），=（1，﹣1）．（1）求与的夹角的余弦值；（2）若向量3+4与λ﹣平行，求λ的值．【解答】解：（1）设与的夹角为θ，则，∴与的夹角的余弦值为．（2）∵=（4，3），=（1，﹣1）．∴，，∵向量与平行，∴16（3λ+1）=5（4λ﹣1）．解得．18．（10分）为了解某地房价环比（所谓环比，简单说就是与相连的上一期相比）涨幅情况，如表记录了某年1月到5月的月份x（单位：月）与当月上涨的百比率y之间的关系：（1）根据如表提供的数据，求y关于x的线性回归方程y=x+；（2）预测该地6月份上涨的百分率是多少？（参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数公式=，=﹣）【解答】解：（1）由题意，=3，=0.2…（2分）12+22+32+42+52=55，…（3分）1×0.1+2×0.2+3×0.3+4×0.3+5×0.1=3.1…（4分）所以…（6分）…（7分）∴回归直线方程为y=0.01x+0.17…（8分）（2）当x=6时，y=0.01×6+0.17=0.23…（9分）预测该地6月份上涨的百分率是0.23…（10分）19．（12分）从某次知识竞赛中随机抽取100名考生的成绩，绘制成如图所示的频率分布直方图，分数落在区间[55，65），[65，75），[75，85）内的频率之比为4：2：1．（Ⅰ）求这些分数落在区间[55，65]内的频率；（Ⅱ）用分层抽样的方法在区间[45，75）内抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意抽取2个分数，求这2个分数都在区间[55，75]内的概率．【解答】解：（Ⅰ）设区间[75，85）内的频率为x，则区间[55，65），[65，75）内的频率分别为4x和2x．…（1分）依题意得（0.004+0.012+0.019+0.030）×10+4x+2x+x=1，…（3分）解得x=0.05．所以区间[55，65]内的频率为0.2．…（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得，区间[45，55），[55，65），[65，75）内的频率依次为0.3，0.2，0.1．用分层抽样的方法在区间[45，75）内抽取一个容量为6的样本，则在区间[45，55）内应抽取件，记为A1，A2，A3．在区间[55，65）内应抽取件，记为B1，B2．在区间[65，75）内应抽取件，记为C．…（6分）设“从样本中任意抽取2件产品，这2件产品都在区间[55，75]内”为事件M，则所有的基本事件有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，C}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，C}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，C}，{B1，B2}，{B1，C}，{B2，C}，共15种．…（8分）事件M包含的基本事件有：{B1，B2}，{B1，C}，{B2，C}，共3种．…（10分）所以这2件产品都在区间[55，75]内的概率为．…（12分）20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边做锐角α和钝角β，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点，已知A、B的纵坐标分别为，．（1）求tan（2α﹣β）的值；（2）求β﹣α的值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）根据题意得sinα=，sinβ=，…（1分）∴，，…（2分）∴，，…（3分），…（4分）∴tan（2α﹣β）==3．…（6分）（2）cos（β﹣α）=cosβcosα+sinβsinα…（7分）=，…（10分）∵由题意β﹣α∈（0，π），∴β﹣α=．…（12分）21．（12分）已知函数f（x）=sin2x+2cos2x（x∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）若f（x0）=，x0∈[，]，求sin（2x0﹣）的值．【解答】解：（I）由，得，∴函数f（x）的最小正周期为π．由得单调增区间是：，k∈z．（Ⅱ）由（1）可知得=，∵x0∈[，]，∴∈．∴．∴sin（2x0﹣）==﹣=．22．（14分）已知△OAB的顶点坐标为O（0，0），A（1，3），B（6，﹣2），又点P（﹣2，1），点Q是边AB上一点，且•=﹣10．（1）求点Q的坐标；（2）若R为线段OQ（含端点）上的一个动点，试求（+）•（+）的取值范围．【解答】解：（1）=（﹣3，﹣2），=（5，﹣5），∵点Q是边AB上一点，∴设=λ=（5λ，﹣5λ），=+=（1，3）+（5λ，﹣5λ）=（1+5λ，3﹣5λ），∵•=﹣10．∴﹣3（1+5λ）﹣2（3﹣5λ）=﹣10，即λ=，则=（1+5×，3﹣5×）=（2，2）．即Q（2，2）．（2）∵R为线段OQ上的一个动点，∴设R（2t，2t），且0≤t≤1，则=（﹣2t，﹣2t），=（﹣2﹣2t，1﹣2t），=（1﹣2t，3﹣2t），=（6﹣2t，﹣2﹣2t），则（+）•（+）=（﹣2﹣4t，1﹣4t）•（7﹣4t，1﹣4t）=（﹣2﹣4t）（7﹣4t）+（1﹣4t）（1﹣4t）=32t2﹣28t﹣13=32（t﹣）2﹣，∵0≤t≤1，∴当t=时，函数取得最小值﹣，当t=1时，函数取得最大值﹣9，即（+）•（+）的范围是[﹣，﹣9]．。