一轮复习等差等比数列证明练习题

1．已知数列{}n a 是首项为114
a =，公比1
4q =
の等比数列，2n b +=14
3log n a (*)n N ∈，数列{}n c 满足n n n c a b =⋅．
（1）求证：{}n b 是等差数列；
2．数列{}n a 满足21
12,66()n n n a a a a n N *
+==++∈， 设
5log (3)n n c a =+．
（Ⅰ）求证：
{}n c 是等比数列；
3．设数列{}n a の前n 项和为n S ，已知12323(1)2n n a a a na n S n ++++=-+ *
()n N ∈． （2）求证：数列{}2n S +是等比数列； 4．数列}{n a 满足)(2
2,111
1+++∈+==N n a a a a n
n n
n n （1）证明:数列}2{n
n
a 是等差数列；
5．数列{}n a 首项11a =，前n 项和n S 与n a 之间满足2
2 (2)21
n n n S a n S =≥-
（1）求证：数列1n S ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是等差数列 6．数列{n a }满足13a =，12
1
n n a a +=
+， （1）求证：1
{
}2
n n a a -+成等比数列； 7．已知数列}{n a 满足134n n a a +=+，*
()n N ∈且11=a ，
（Ⅰ）求证：数列{}2n a +是等比数列；
8． 数列}{n a 满足:*11),1()1(,1N n n n a n a n a n n ∈+⋅+⋅+=⋅=+ （1）证明：数列}{
n
a n
是等差数列； 9．已知数列{a n }の首项a 1=
23，121
n n n a a a +=+，n=1，2，… （1）证明：数列11n a ⎧⎫
-⎨
⎬⎩⎭
是等比数列； 10．已知数列{a }n の前n 项和为n S ，211
,(1),1,2,2
n n a S n a n n n ==--=L ． （1）证明：数列1n n S n +⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是等差数列，并求n S ； 11．（16分）已知数列{}n a の前n 项和是n S ，且n a S n n -=2 （1）证明：{}1+n a 为等比数列；
12．数列}{n a 满足：)(23,3,21221*∈-===++N n a a a a a n n n （1）记n n n a a d -=+1，求证：数列}{n d 是等比数列；
13．已知数列{}n a の相邻两项n a ，1n a +是关于x 方程220n n x x b -+=の两根，且11a =． （1）求证：数列1{2}3
n n a -⋅是等比数列；
14．（本题满分12分）已知数列{}n a 中，15a =且1221n n n a a -=+-（2n ≥且*n ∈N ）．
（Ⅰ）证明：数列12n n a -⎧⎫
⎨⎬⎩⎭为等差数列；
15．已知数列{}n a 中,)(3
,1*11N n a a a a n n
n ∈+=
=+ （1）求证:⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧+211n a 是等比数列,并求{}n a の通项公式n a ; 16．设数列{}n a の前n 项和为n S ，n *
∈N ．已知11a =，232a =
，35
4
a =，且当2n ≥时，211458n n n n S S S S ++-+=+．
（1）求4a の值；
（2）证明：112n n a a +⎧⎫
-
⎨⎬⎩⎭
为等比数列； 17．设数列{}n a の前n 项和为n S ，且首项113,3()n n n a a S n N *+≠=+∈.
(Ⅰ)求证：{}
3n
n S -是等比数列；
18．（本小题满分10分）已知数列{}n a 满足11a =-，*1(33)46
,n n n a n a n N n
++++=∈．
（1）求证：数列2n a n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是等比数列；
参考答案
1．（1）见解析；（2）2(32)1()334
n
n n S +=
-⨯；（3）1m ≥或5m ≤- 2．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）
1
25 3.n n a -=-；（Ⅲ）
211
.
459n n T =--- 3．（1）
234,8a a ==；
（2）见解析；（3）5
4．（1）详见解析；（2）21
n n a n =+；（3）()1
2326n n +-+
5．（1）详见解析；（2） 1 (1)
2
(2)(21)(23)n n a n n n =⎧⎪
∴=⎨-≥⎪--⎩
；（3）332． 6．（1）证明1
{
}2
n n a a -+成等比数列の过程详见试题解析；
（2）实数t の取值范围为1331
22
t --≤≤
． 7．详见解析
8．（1）见解析；（2）()121334
n n
n S +-⋅+=
9．（1）详见解析（2）()1112222
n n n n n n S -+=-
-+ 10．（1）由2(1)n n S n a n n =--知，当2n ≥时，2
1()(1)n n n S n S S n
n -=---，即221(1)(1)n n n S n S n n ---=-，所以
1111n n n n S S n n -+-=-，对2n ≥成立．又111
11
S +=，所以1n n S n +⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是首项为1，公差为1の等差数列．所以11(1)1n n S n n +=+-⋅，即2
1
n n S n =+．
（
2
）
因
为
32
1111
()3(1)(3)213
n n S b n n n n n n =
==-+++++，所以
1211111111115115
()()22435213262312
n b b b n n n n n n +++=
-+-++-+-=--<+++++L L ．
11．（1）见解析；（2）解析；（3）存在，1818k m =⎧⎨=⎩
或65k m =⎧⎨=⎩或4
2k m =⎧⎨=⎩．
12．（1）112n n d -=⨯ （2）121n n a -=+
13．（1）见解析；（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=++为奇数为偶数n n S n n n 313
23
2
321
1，（3）)1,(-∞
14．（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）12n n S n +=⋅ 15．（1）证明详见解析；（2）23λ-<<．
16．（1）78；（2）证明见解析；（3）()1
1212n n a n -⎛⎫
=-⨯ ⎪
⎝⎭
．
17．(Ⅰ)详见解析； (Ⅱ)(9,3)(3,)-⋃+∞
18．（1）详见解析（2）详见解析。