三角函数定义

π ∴S＝S扇形－S△AOB＝50 3－
3 . 2
弧度制下的扇形的弧长与面积公式，比角度制下的 扇形的弧长与面积公式要简洁得多，用起来也方便得多．因 此，我们要熟练地掌握弧度制下扇形的弧长与面积公式．
【训练3】 已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值 时，才使扇形面积最大？ 解 设圆心角是θ，半径是r，则2r＋rθ＝40，
中，采用的度量制度必须一致，不可混用． (3)注意熟记0° ～360° 间特殊角的弧度表示，以方便解题．
双基自测 9π 1．(人教A版教材习题改编)下列与 4 的终边相同的角的表达式 中正确的是( )． 9 B．k· 360° ＋4π(k∈Z) 5π D．kπ＋ (k∈Z) 4
A．2kπ＋45° (k∈Z) C．k· 360° －315° (k∈Z)
【示例】►(本题满分12分)(2011· 龙岩月考)已知角α终边经过点 3 P(x，－ 2)(x≠0)，且cos α＝ x，求sin α、tan α的值． 6 只要确定了r的值即可确定角α经过的点P的坐标，即 确定角α所在的象限，并可以根据三角函数的定义求出所要求 的值．
[解答示范] ∵P(x，－ 2)(x≠0)， ∴P到原点的距离r＝ x2＋2， 3 又cos α＝ x， 6 x 3 ∴cos α＝ 2 ＝ 6 x， x ＋2 (2分)
【试一试】 已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin α＋cos 4 α＋ tan α. 5 [尝试解答] 取直线3x＋4y＝0上的点P1(4，－3)，则|OP1|＝ 3 4 3 5，则sin α＝－ ，cos α＝ ，tan α＝－ ， 5 5 4 4 3 4 4 3 故sin α＋cos α＋ tan α＝－ ＋ ＋ ×－4 5 5 5 5 2 ＝－5；
∵x≠0，∴x＝± 10，∴r＝2 3.
(6分)
当x＝ 10时，P点坐标为( 10，－ 2)， 6 5 由三角函数定义，有sin α＝－ 6 ，tan α＝－ 5 ； 当x＝－ 10时，P点坐标为(－ 10，－ 2)， 6 5 ∴sin α＝－ 6 ，tan α＝ 5 . (12分) (9分)
当角的终边经过的点不固定时，需要进行分类讨 论，特别是当角的终边在过坐标原点的一条直线上时，在根据 三角函数定义求解三角函数值时，就要把这条直线看做两条射 线，分别求解，实际上这时求的是两个角的三角函数值，这两 个角相差2kπ＋π(k∈Z)，当求出了一种情况后也可以根据诱导 公式求另一种情况．
【训练1】 角α与角β的终边互为反向延长线，则( A．α＝－β B．α＝180° ＋β C．α＝k· 360° ＋β(k∈Z) D．α＝k· 360° ± 180° ＋β(k∈Z)
)．
解析 对于角α与角β的终边互为反向延长线，则α－β＝ k· 360° ± 180° (k∈Z)． ∴α＝k· 360° ± 180° ＋β(k∈Z)． 答案 D
(3)∵α是第二象限角， ∴k· 360° ＋90° ＜α＜k· 360° ＋180° ，k∈Z. ∴2k· 360° ＋180° ＜2α＜2k· 360° ＋360° ，k∈Z. ∴2α是第三、第四象限角或角的终边在y轴负半轴上． α ∵k· 180° ＋45° ＜ ＜k· 180° ＋90° ，k∈Z， 2 α 当k＝2m(m∈Z)时，m· 360° ＋45° ＜ ＜m· 360° ＋90° ； 2 当k＝2m＋1(m∈Z)时， α m· 360° ＋225° ＜2＜m· 360° ＋270° ； α ∴ 为第一或第三象限角． 2
(1)相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一 定相等，终边相同的角有无数个，它们之间相差360° 的整数 倍． (2)角的集合的表示形式不是唯一的，如：终边在y轴负半轴上
π 的角的集合可以表示为 xx＝2kπ－2 3π xx＝2kπ＋ ，k∈Z 2 . ，k∈Z ，也可以表示为
解
π (1)在(0，π)内终边在直线y＝ 3x上的角是 ， 3
∴终边在直线y＝ 3x上的角的集合为
π αα＝ ＋kπ，k∈Z 3 .
6π θ 2π 2kπ (2)∵θ＝ 7 ＋2kπ(k∈Z)，∴3＝ 7 ＋ 3 (k∈Z)． 2π 2kπ 3 18 依题意0≤ 7 ＋ 3 ＜2π⇒－7≤k＜ 7 ，k∈Z. θ 2π 20π 34π ∴k＝0,1,2，即在[0,2π)内终边与3相同的角为 7 ， 21 ， 21 .
2
∴m＝± 5， 故角θ是第二或第三象限角．
当m＝ 5 时，r＝2 2 ，点P的坐标为(－ 3 ， 5 )，角θ是第二 象限角， x － 3 6 ∴cos θ＝ ＝ ＝－ ， r 2 2 4 y 5 15 tan θ＝ ＝ ＝－ . x － 3 3 当m＝－ 5 时，r＝2 2 ，点P的坐标为(－ 3 ，－ 5 )，角θ是 第三象限角． x － 3 6 y － 5 15 ∴cos θ＝r ＝ ＝－ 4 ，tan＝x＝ ＝ 3 . 2 2 － 3
20 1 1 S＝2lr＝2r(40－2r)＝r(20－r)≤ 2 2＝100.
当且仅当r＝20－r，即r＝10时，Smax＝100. ∴当r＝10，θ＝2时，扇形面积最大，即半径为10，圆心角为2 时，扇形面积最大．
规范解答7——如何利用三角函数的定义求三角函数值
【问题研究】 三角函数的定义：设α是任意角，其终 x y x ＋y ＞0)，则sin α＝r 、cos α＝r 、tan α＝x分别是α的正弦、
在利用三角函数的定义求角α的三角函数值时，若角 α的终边上点的坐标是以参数的形式给出的，则要根据问题的 实际及解题的需要对参数进行分类讨论．任意角的三角函数值 仅与角α的终边位置有关，而与角α终边上点P的位置无关．若 角α已经给出，则无论点P选择在α终边上的什么位置，角α的 三角函数值都是确定的．
9π 9 解析 与 4 的终边相同的角可以写成2kπ＋ 4 π，(k∈Z)，但是 角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确． 答案 C
2．若α＝k· 180° ＋45° (k∈Z)，则α在( A．第一或第三象限 C．第二或第四象限 解析
)． B．第一或第二象限 D．第三或第四象限
当k＝2m＋1(m∈Z)时，α＝2m· 180° ＋225° ＝m· 360° ＋
对圆弧的长，r 为半径．
l ③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制， 比值r与所取 的 r 的大小 无关 ，仅与角的大小有关． 弧度；180° ＝π 弧度．
④弧度与角度的换算：360° ＝ 2π ⑤弧长公式： l＝|α|r ，
1 1 2 扇形面积公式：S 扇形＝ 2lr ＝ 2|α|r .
2．任意角的三角函数定义 设 α 是一个任意角，角 α 的终边上任意一点 P(x，y)，它与原点 的距离为 r(r＞0)，那么角 α 的正弦、余弦、正切分别是：sin α y x y ＝ r ，cos α＝ r ，tan α＝ x ，它们都是以角为 自变量 ， 以比值为 函数值 的函数．
考向二
三角函数的定义
2 【例2】►已知角θ的终边经过点P(－ 3 ，m)(m≠0)且sin θ＝ 4 m，试判断角θ所在的象限，并求cos θ和tan θ的值． [审题视点] 根据三角函数定义求m，再求cos θ和tan θ. m 2 解 由题意得，r＝ 3＋m ，∴ ＝ m，∵m≠0， 3＋m2 4
2 2
余弦、正切，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函 数，这样的函数称为三角函数，这里x，y的符号由α终边所在 象限确定，r的符号始终为正，应用定义法解题时，要注意符 号，防止出现错误．三角函数的定义在解决问题中应用广泛， 并且有时可以简化解题过程．
【解决方案】 利用三角函数的定义求三角函数值时，首先要 根据定义正确地求得x，y，r的值；然后对于含参数问题要注 意分类讨论．
解
(1)由⊙O的半径r＝10＝AB，知△AOB是等边三角形，
π ∴α＝∠AOB＝60° ＝ . 3 π (2)由(1)可知α＝3，r＝10， π 10π ∴弧长l＝α· r＝3×10＝ 3 ， 1 1 10π 50π ∴S扇形＝ lr＝ × ×10＝ ， 2 2 3 3 1 10 3 1 10 3 50 3 而S△AOB＝2· AB· 2 ＝2×10× 2 ＝ 2 ，
一条规律 三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三 正切、四余弦．
两个技巧 (1)在利用三角函数定义时，点P可取终边上任一点，如有可能则 取终边与单位圆的交点，|OP|＝r一定是正值． (2)在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小 技巧． 三个注意 (1)注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90° 的角是概 念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角． (2)角度制与弧度制可利用180° ＝π rad进行互化，在同一个式子
限，再加上横坐标为正，断定该角为第四象限角，∴y＜0， y 2 5 sin θ＝ 2＝－ 5 ⇒y＝－8. 16＋y 答案 －8
考向一
角的集合表示及象限角的判定
【例1】►(1)写出终边在直线y＝ 3x上的角的集合； 6π θ (2)若角θ的终边与 7 角的终边相同，求在[0,2π)内终边与 3 角的 终边相同的角； α (3)已知角α是第二象限角，试确定2α、2所在的象限． [审题视点] 利用终边相同的角进行表示及判断．
第1讲 任意角、弧度制及任意角的三角函数
【2013年高考会这样考】 1．考查三角函数的定义及应用． 2．考查三角函数值符号的确定． 【复习指导】 从近几年的高考试题看，这部分的高考试题大多为教材例题或 习题的变形与创新，因此学习中要立足基础，抓好对部分概念 的理解．
基础梳理 1．任意角 (1)角的概念的推广 ①按旋转方向不同分为 ②按终边位置不同分为 (2)终边相同的角
考向三
弧度制的应用
【例3】►已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10. (1)求弦AB所对的圆心角α的大小； (2)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S. [审题视点] (1)由已知条件可得△AOB是等边三角形，可得圆心 角α的值； (2)利用弧长公式可求得弧长，再利用扇形面积公式可得扇形 面积，从而可求弓形的面积．