2012年浙江省高考数学试题赏析
2012年浙江省高考数学(理)试卷分析
2012年浙江省高考数学试卷分析2012年浙江省高考数学试卷依然保持了浙江数学试卷“起点低、坡度缓、层次多、区分好”的鲜明特色，严格遵循国家课程标准、省教学指导意见及省考试说明，系统、全面地考查了高中数学的基础知识，多角度、多层次地考查了高中数学的基本技能、方法和数学思想。
在兼顾考查学生能力的同时，文理数学试卷难度与去年基本持平，整体贴近高中数学教学实际.试卷主要体现了以下特点：一、考查全面，注重基础全卷把基础知识、基本技能、基本思想作为考查的首要内容，这一命题原则在今年的高考数学试卷中体现得淋漓尽致.试题设计立足于教材，背景熟、入口宽、方法多。
如理科卷中第1、2、3、4、5、6、11、12、13、14、18、19、20、21第(Ⅰ)小题等，文科卷中第1、2、3、4、5、6、7、8、11、12、13、14、18、19、20、21第(Ⅰ)小题、22第(Ⅰ)小题等。
试卷设计符合数学学科特点，考核内容覆盖了中学数学教材中的主干知识模块,重点突出。
二、创新适度，经典频现理科第9题的设问新颖，理科第10题的动中求静，文科第17题(理科第16题)的新定义问题，文科第21题，理科第22题的含参数的函数问题都给人以耳目一新之感，但又没有造成学生“面对新题望而生畏”的尴尬现象，在区分学生、考查学生未来发展所需的能力上，这些试题为高考数学试题的命制提供了很好的范例，是试卷中的经典之作。
解决这些试题需要有观察能力、推理论证能力，很好地体现了能力立意的高考试题的特点。
如理科第16题(文科第17题)，这是一道阅读理解题，需要考生在考场上临阵思考、学习和运用，也真正考查了学生对数学问题的理解和分析能力，还说明了一种价值取向的观念。
理科第22题第(Ⅱ)小题，只需利用第(Ⅰ)小题结论，无需求出f (x)的最小值，右端恒成立，即f (x)的最大值不大于1，就能保证左端恒成立，接下来的问题便是线性规划问题了，本题考查了数形结合、化归转化等数学思想及考生的数学理性思维与创新意识。
2012年浙江省高考理科数学试卷解析版
2012年普通高等学校招生全国同一考试（浙江卷）数 学（理科）本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共5页，选择题部分1至3页，非选择题部分4至5页．满分150分，考试时间120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．选择题部分（共50分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上．2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
不能答在试题卷上．参考公式：如果事件A，B互斥，那么柱体的体积公式如果事件A，B相互独立，那么其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高锥体的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高球的表面积公式台体的体积公式球的体积公式其中分别表示台体的上底、下底面积，h表示台体的高其中R表示球的半径一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x 2－2x－3≤0}，则A∩(R B)＝A．(1，4) B．(3，4) C．(1，3) D．(1，2)【解析】A＝(1，4)，B＝(－3，1)，则A∩(R B)＝(1，4)．【答案】A2．已知i是虚数单位，则＝A．1－2i B．2－i C．2＋i D．1＋2i【解析】＝＝＝1＋2i．【答案】D3．设a R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【解析】当a＝1时，直线l1：x＋2y－1＝0与直线l2：x＋2y＋4＝0显然平行；若直线l1与直线l2平行，则有：，解之得：a＝1 or a＝﹣2．所以为充分不必要条件．【答案】A4．把函数y＝cos2x＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是【解析】把函数y＝cos2x＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得：y1＝cos x＋1，向左平移1个单位长度得：y2＝cos(x —1)＋1，再向下平移1个单位长度得：y3＝cos(x—1)．令x＝0，得：y3＞0；x＝，得：y3＝0；观察即得答案．【答案】B5．设a，b是两个非零向量．A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥bB．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得a＝λbD．若存在实数λ，使得a＝λb，则|a＋b|＝|a|－|b|【解析】利用排除法可得选项C是正确的，∵|a＋b|＝|a|－|b|，则a，b共线，即存在实数λ，使得a＝λb．如选项A：|a＋b|＝|a|－|b|时，a，b可为异向的共线向量；选项B：若a⊥b，由正方形得|a＋b|＝|a|－|b|不成立；选项D：若存在实数λ，使得a＝λb，a，b可为同向的共线向量，此时显然|a ＋b|＝|a|－|b|不成立．【答案】C6．若从1，2，2，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有A．60种 B．63种 C．65种 D．66种【解析】1，2，2，…，9这9个整数中有5个奇数，4个偶数．要想同时取4个不同的数其和为偶数，则取法有：4个都是偶数：1种；2个偶数，2个奇数：种；4个都是奇数：种．∴不同的取法共有66种．【答案】D7．设S n是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{a n}的前n项和，则下列命题错误的是A．若d＜0，则数列{S n}有最大项B．若数列{S n}有最大项，则d＜0C．若数列{S n}是递增数列，则对任意的n N*，均有S n＞0D．若对任意的n N*，均有S n＞0，则数列{S n}是递增数列【解析】选项C显然是错的，举出反例：—1，0，1，2，3，…．满足数列{S n}是递增数列，但是S n＞0不成立．【答案】C8．如图，F1，F2分别是双曲线C：(a，b＞0)的左右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M．若|MF2|＝|F1F2|，则C的离心率是A． B．C． D．【解析】如图：|OB|＝b，|O F1|＝c．∴k PQ＝，k MN＝﹣．直线PQ为：y＝(x＋c)，两条渐近线为：y＝x．由，得：Q(，)；由，得：P(，)．∴直线MN为：y－＝﹣(x－)，令y＝0得：x M＝．又∵|MF2|＝|F1F2|＝2c，∴3c＝x M＝，解之得：，即e＝．【答案】B9．设a＞0，b＞0．A．若，则a＞bB．若，则a＜bC．若，则a＞bD．若，则a＜b【解析】若，必有．构造函数：，则恒成立，故有函数在x＞0上单调递增，即a＞b成立．其余选项用同样方法排除．【答案】A10．已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝．将ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻着，在翻着过程中，A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D．对任意位置，三直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直【解析】最简单的方法是取一长方形动手按照其要求进行翻着，观察在翻着过程，即可知选项C是正确的．【答案】C2012年普通高等学校招生全国同一考试（浙江卷）数 学（理科）非选择题部分（共100分）注意事项：1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上．2．在答题纸上作图，可先使用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，则该三棱锥的体积等于___________cm3．【解析】观察三视图知该三棱锥的底面为一直角三角形，右侧面也是一直角三角形．故体积等于．【答案】112．若程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是______________．【解析】T，i关系如下图：T1i23456【答案】13．设公比为q(q＞0)的等比数列{a n}的前n项和为{S n}．若，，则q＝______________．【解析】将，两个式子全部转化成用，q表示的式子．即，两式作差得：，即：，解之得：(舍去)．【答案】14．若将函数表示为其中，，，…，为实数，则＝______________．【解析】法一：由等式两边对应项系数相等．即：．法二：对等式：两边连续对x求导三次得：，再运用赋值法，令得：，即．【答案】1015．在ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则＝______________．【解析】此题最适合的方法是特例法．假设ABC是以AB＝AC的等腰三角形，如图，AM＝3，BC＝10，AB＝AC＝．cos∠BAC＝．＝【答案】2916．定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离．已知曲线C1：y＝x 2＋a到直线l：y＝x的距离等于C2：x 2＋(y＋4) 2 ＝2到直线l：y＝x的距离，则实数a＝______________．【解析】C2：x2＋(y＋4)2 ＝2，圆心(0，—4)，圆心到直线l：y＝x 的距离为：，故曲线C2到直线l：y＝x的距离为．另一方面：曲线C1：y＝x2＋a，令，得：，曲线C1：y＝x2＋a到直线l：y＝x的距离的点为(，)，．【答案】17．设a R，若x＞0时均有[(a－1)x－1](x2－ax－1)≥0，则a＝______________．【解析】本题按照一般思路，则可分为一下两种情况：(A)，无解；(B)，无解．因为受到经验的影响，会认为本题可能是错题或者解不出本题．其实在x＞0的整个区间上，我们可以将其分成两个区间(为什么是两个？)，在各自的区间内恒正或恒负．(如下答图)我们知道：函数y1＝(a－1)x－1，y2＝x 2－ax－1都过定点P(0，1)．考查函数y1＝(a－1)x－1：令y＝0，得M(，0)，还可分析得：a＞1；考查函数y2＝x2－ax－1：显然过点M(，0)，代入得：，解之得：，舍去，得答案：．【答案】三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．(本小题满分14分)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cos A＝，sin B＝cos C．(Ⅰ)求tan C的值；(Ⅱ)若a＝，求ABC的面积．【解析】本题主要考察三角恒等变换，正弦定理，余弦定理及三角形面积求法等知识点。
2012年浙江省高考各科试卷评析
2012年浙江省高考各科试卷评析2012年浙江省高考各科试卷评析语文关注生活热点，突出能力立意浙江省教育厅教研室特级教师胡勤诸暨市教育局教研室特级教师周红阳慈溪中学特级教师黄孟轲今年我省语文试卷继续体现了浙江的命题特色关注生活热点，反映时代特征，突出能力立意，注重思辨探究，彰显人文内涵，尝试自主多元，体现课改宗旨，弘扬语文本色。
整体难度与去年大致相仿。
其主要特点有：一、凸现母语本质，给力语用语境首先是语料选材鲜活，贴近时代生活。
语言文字题的语料选择，与生活、政治、经济、艺术等社会生活热点紧密相关。
既重视生活用语，又关注语言的人文内涵，体现语言的实用性和时代性。
命题在注重知识和能力考查的同时，着眼于引导学生了解和关注社会生活。
如第5题考查学生筛选信息后“下定义”的能力，其内容为“食品添加剂”，直逼当今时弊，有很强的现实时效性。
其次为突出考查语言的语境意义。
如第6题既考查学生使用所给词语进行描写的能力，又考查学生合理运用修辞方法的能力，对语文教学启示颇多。
又如第2题错别字、第3题词语运用，均需要联系语境，细加体察。
倘若考生只会死记硬背，不会具体分析体味词语语境意义，就难以做出正确选择。
二、拓展阅读空间，营造良好态势试卷的阅读材料特别引人注目。
无论是文学类文本还是文言文文本，均明显不同于去年：一是再次告别了外国小说，选用了当代散文《母亲的中药铺》，并在设题上不落俗套，引导考生深入解读内容和意蕴；二是“翻”过了人物传记这一页，将欧阳修的“私人信件”《与荆南乐秀才书》“公开”在试卷上，为我省高考语文阅读选材营造了一种“平稳而不凝固，变动而不唐突”的有序、稳妥的良性循环态势。
这种语文知识框架出现在高考试卷里，即使不是有意识“拨正”阅读指向，也至少丰富了阅读文类，多样了阅读选择，拓展了阅读空间。
不仅如此，论述类文本节选自《国学与诗学》（刘梦溪），呈现出浓郁的“文化味”，相应的试题（如第10题）也更注重考查对观点与材料之间内在逻辑关系的理解和揭示，较好体现了“文本细读”、“深度理解”等现代阅读理念。
2012年全国高考浙江理科数学试题详细解析
+ a5 (1 + x ) 两 边 连 续 对 x 求 导 三 次 得 ：
5
60 x 2 = 6a3 + 24a4 (1 + x ) + 60a5 (1 + x ) 2 ，再运用赋值法，令 x = −1 得： 60 = 6a3 ，即 a3 = 10 ．
【点评】本题是二项式定理与函数的综合，通过二项展开式的系数与函数是的系数比较求解是常见的做法. 15.在 ∆ABC 中， M 是 BC 的中点， AM = 3 ， BC = 10 ，则 AB ⋅ AC = ________.
3
2 。将 ∆ABD 沿矩形的对角线 BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程
故体积等于
1 1 × 3 × 1× 2 × = 1 ． 2 3
【点评】该题主要考察空间几何体的三视图以及多面体体积的计算，抓住其直观图的形状特点是关键. 12.若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是__________。
a b
D．若 2 − 2a = 2 − 3b ，则 a < b
a b
【答案】A 【解析】若 2a + 2a = 2b + 3b ，必有 2a + 2a > 2b + 2b ．构造函数： f ( x ) = 2 x + 2 x ，则 f ′ ( x ) = 2 x ⋅ ln 2 + 2 > 0 恒成立， 故有函数 f ( x ) = 2 x + 2 x 在 x > 0 上单调递增，即 a > b 成立．其余选项用同样方法排除． 【点评】此题主要考察函数的性质和比较大小，利用单调性比大小是常用的一种方法，而单调性除了根据基本初 等函数来 判断之外更重要的是导数法. 10. 已知矩形 ABCD ， AB = 1 ， BC = 中。 A.存在某个位置，使得直线 AC 与直线 BD 垂直. B.存在某个位置，使得直线 AB 与直线 CD 垂直. C.存在某个位置，使得直线 AD 与直线 BC 垂直. D.对任意位置，三对直线“ AC 与 BD ” ， “ AB 与 CD ” ， “ AD 与 BC ”均不垂直 【答案】B 【解析】 取一长方形动手按照其要求进行翻着， 观察在翻着过程， 即可知存在某个位置， 使得直线 AB 与直线 CD 垂直. 【点评】此题主要考察空间图形的形状大小位置的变化规律的，动手可以直观的感受到其中的奥妙. 二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分。 11.已知某三棱锥的三视图（单位： cm ）如图所示，则该三棱锥的体积等于________ cm . 【答案】 1 【解析】观察三视图知该三棱锥的底面为一直角三角形，右侧面也是一直角三角形．
2012年高考理数试题解析(浙江卷)
【答案】A绝密★考试结束前2012年普通高等学校招生全国同一考试（浙江卷）数学（理科）本试题卷分选择题和非选择题两部分. 全卷共5页，选择题部分1至3页，非选择题部分4至5页.满分150分，考试时间120分钟.请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.选择题部分（共50 分）注意事项：1 •答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上.2 •每小题选岀 答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
不能答在试题卷上 . 参考公式：如果事件A , B 互斥，那么柱体的体积公式P A B =P A - P Bv 二Sh如果事件A ，B 相互独立，那么 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高P A B =P A P B锥体的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是 p ,那么 1 v Sh 3n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生k 次的概率其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高k kn _kR(k 严C ：p k(1-p ) ,(k =0,1,2,…,n )球的表面积公式台体的体积公式2S =4 R1v =-h (s +*'SST+S 2)3球的体积公式其中S,S 2分别表示台体的上底、下底面积， 43VT R33h 表示台体的高其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共 10小题，每小题 5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合 A = {x|1v x v 4}，B = {x|x 2-2x — 3< 0}，则 A H （ C R B ）=A . （1，4）B . （3，4）C . （1，3）D . （1，2）【解析】A = （1, 4），B = （— 3，1），则 A H （C R B ）= （1，4）.【答案】B 2.已知i 是虚数单位，则 = 1 -iA . 1 — 2iB . 2- iC . 2 + i【解析】3+i = 3+i 1+i= £!£ = 1 + 2i .1 —i2 2 【答案】D3. 设 R ，则“ a = 1 ”是“直线 11： ax + 2y — 1 = 0 与直线 R ： x + (a + 1)y + 4 = 0 平行”的A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件【解析】当a = 1时，直线 “ x + 2y — 1 = 0与直线l 2： x + 2y + 4= 0显然平行；若直线11 与直线12平行，则有：-，解之得：a = 1 or a =- 2.所以为充分不必要条件.1 a+1【答案】A4.把函数y = cos2x + 1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图像是【解析】把函数y = cos2x +1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2倍(纵坐标不变)得：y 1= cosx + 1,向左平移1个单位长度得：y 2= cos(x —1) + 1,再向下平移1个单位长度 得：y 3= cos(x — 1).令 x = 0，得：y 3>0; x = ' 1，得：y 3= 0;观察即得答案.25. 设a , b 是两个非零向量.D . 1+ 2i%A .若|a+ b|= |a|—|b|,贝U a丄b 【答案】BB .若a丄b,则a + b|= |a|- |b|C.若|a+ b|= |a|- |b|,则存在实数入使得a= ?bD •若存在实数入使得a=也则|a+ b|= |a|- |b|【解析】利用排除法可得选项C是正确的，T |a+ b|= |a|-|b|,则a, b共线，即存在实数入使得a = b如选项A : |a+ b|= |a|- |b|时，a, b可为异向的共线向量；选项B:若a 丄b,由正方形得|a + b|= |a|- |b|不成立；选项 D :若存在实数人使得a= ?b, a, b可为同向的共线向量，此时显然|a + b|= |a|- |b|不成立.【答案】C6. 若从1,2, 2, , , 9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有A . 60 种B. 63 种C. 65 种D. 66 种【解析】1, 2, 2, , , 9这9个整数中有5个奇数，4个偶数•要想同时取4个不同的数其和为偶数，则取法有：4个都是偶数：1种；2个偶数，2个奇数：C5C4 ^60种；4个都是奇数：C；=5种.•••不同的取法共有66种.【答案】D7. 设S n是公差为d(d z0)的无穷等差数列｛a n｝的前n项和，则下列命题错误.的是A .若d v 0，则数列｛S n｝有最大项B. 若数列｛S n｝有最大项，则d v 0C. 若数列｛S n｝是递增数列，则对任意的n N*，均有S n > 0D .若对任意的N*，均有S n> 0，则数列｛S n｝是递增数列【解析】选项C显然是错的，举出反例：一1, 0, 1, 2, 3,,.满足数列｛S n｝是递增数列，但【答案】C是S n> 0不成立.【答案】C【答案】A2 2&如图，F i , F 2分别是双曲线 C :二一厶=i (a , b > 0)的左右焦点，B 是虚轴的端点，直a b 线F I B 与C 的两条渐近线分别交于 P, Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M .若 【解析】如图：|OB|= b , |O F 1| = c .「. k pQ = b c即 e =6.2【答案】Bf x =2x l n 2 2 0亘成立，故有函数f x =2x 2x 在x > 0上单调递增，即a > b 成立. 余选项用同样方法排除.10.已知矩形 ABCD , AB = 1 , BC = 2 .将厶ABD 沿矩形的对角线 BD 所在的直线进行翻着，在翻着过程中，A ．存在某个位置，使得直线 AC 与直线 BD 垂直|MF 2|= IF 1F 2I ,则C 的离心率是B- ¥直线PQ 为：y = -(x + c)，两条渐近线为:cb y = x .a b/丄、 y = (x + c) 由 c，得:b y = xQ (王 c —aby = — (x + c)由 c| b y = - —x 、 a得:P (二,些)..・.直线M Nc a c a为：y -竺c +a-(xc-ac c a),令 y = 0 得: X M3c~~22c -a3c .又• |MF2 = |F I F 2|= 2c , .3 c = X M = —2 2 c — a,解之得：e 29.设, a > 0, b > 0.A . 若 2a 2a =2b 3b ，则 a > bB . 若 2a 2a =2b3b ，则 a v bC . 若 2a 「2a =2b -3b ，则 a > bD . 若 2a -2a =2b -3b ，则 a v b【解析】 若 2a 2a =2b 3b , 必有2a - 2af x ]=2x 2x ,• 2 • 2).构造函数:B ．存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直C.存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D .对任意位置，三直线“ AC与BD ”，“ AB与CD ”，“ AD与BC ”均不垂直【解析】最简单的方法是取一长方形动手按照其要求进行翻着，观察在翻着过程，即可知选项C 是正确的.【答案】C绝密★考试结束前2012年普通高等学校招生全国同一考试（浙江卷） 数学（理科）非选择题部分（共100 分）注意事项：1 •用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上2.在答题纸上作图，可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑二、填空题：本大题共 7小题，每小题4分，共28分. 11.已知某三棱锥的三视图 （单位：cm ）如图所示，则该三棱锥的体积等于 ____________ c m 3.【解析】观察三视图知该三棱锥的底面为一直角三角 形，右侧面也是一直角三角形.故体积等于（第】1题图）【答案】113. 设公比为q （q > 0）的等比数列｛a n ｝的前n 项和为｛ S n ｝.若S2 =3a 2 2, S 4 = 3a4 2，则 q =【解析】将S 2 =332 2 , S 4 =334 2两个式子全部转化成用即『1 ：31q：331? 2§3*，两式作差得：a^2+ae 3 =3ae （q 2 —1）, 即: 2q 2—q —3=0 ,a i ' a i q ' ag ' ag3ag ' 212•若程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是T 11 2 16 1 24 1i2 34■ 56i Ii=i+1Si【答案】丄120/输出T /（第12题图）a1, q 表示的式子.【解析】T , i 关系如下图: 足解之得：3q 一^ or q =-1（舍去）. 【答案】3214. 若将函数f x =x5表示为2 5f x = a^ a i 1 x a21 x 亠亠a51 x其中a。
2012年浙江省高考数学试卷(理科)详解
绝密★考试结束前2012年普通高等学校招生全国同一考试（浙江卷）数 学（理科）本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共5页，选择题部分1至3页，非选择题部分4至5页．满分150分，考试时间120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．选择题部分（共50分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其它答案标号。
不能答在试题卷上．参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么 柱体的体积公式()()()P A B P A P B +=+ V Sh =如果事件A ，B 相互独立，那么 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 锥体的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 13V Sh =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高()()()1,0,1,2,,n kk kn n P k C p p k n -=-= 球的表面积公式台体的体积公式 24πS R =()1213V h S S = 球的体积公式其中12,S S 分别表示台体的上底、下底面积， 34π3V R =h 表示台体的高 其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A ＝{x |1＜x ＜4}，B ＝{x |x 2－2x －3≤0}，则A ∩(C R B )＝A ．(1，4)B ．(3，4)C ．(1，3)D ．(1，2) 【解析】A ＝(1，4)，B ＝(－3，1)，则A ∩(C R B )＝(1，4)． 【答案】A2．已知i 是虚数单位，则3+i1i-＝ A ．1－2i B ．2－i C ．2＋i D ．1＋2i 【解析】3+i 1i -＝()()3+i 1+i 2＝2+4i2＝1＋2i ．【答案】D3．设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】当a ＝1时，直线l 1：x ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋2y ＋4＝0显然平行；若直线l 1与直线l 2平行，则有：211a a =+，解之得：a ＝1 or a ＝﹣2．所以为充分不必要条件． 【答案】A4．把函数y ＝cos2x ＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是【解析】把函数y ＝cos2x ＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得：y 1＝cos x ＋1，向左平移1个单位长度得：y 2＝cos(x —1)＋1，再向下平移1个单位长度得：y 3＝cos(x —1)．令x ＝0，得：y 3＞0；x ＝12π+，得：y 3＝0；观察即得答案．【答案】B5．设a ，b 是两个非零向量．A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥bB ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得a ＝λbD ．若存在实数λ，使得a ＝λb ，则|a ＋b |＝|a |－|b |【解析】利用排除法可得选项C 是正确的，∵|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ，b 共线，即存在实数λ，使得a ＝λb ．如选项A ：|a ＋b |＝|a |－|b |时，a ，b 可为异向的共线向量；选项B ：若a ⊥b ，由正方形得|a ＋b |＝|a |－|b |不成立；选项D ：若存在实数λ，使得a ＝λb ，a ，b 可为同向的共线向量，此时显然|a ＋b |＝|a |－|b |不成立． 【答案】C6．若从1，2，2，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有A ．60种B ．63种C ．65种D ．66种【解析】1，2，2，…，9这9个整数中有5个奇数，4个偶数．要想同时取4个不同的数其和为偶数，则取法有：4个都是偶数：1种；2个偶数，2个奇数：225460C C =种；4个都是奇数：455C =种． ∴不同的取法共有66种． 【答案】D7．设S n 是公差为d (d ≠0)的无穷等差数列{a n }的前n 项和，则下列命题错误．．的是 A ．若d ＜0，则数列{S n }有最大项 B ．若数列{S n }有最大项，则d ＜0C ．若数列{S n }是递增数列，则对任意的n ∈N*，均有S n ＞0D ．若对任意的n ∈N*，均有S n ＞0，则数列{S n }是递增数列【解析】选项C 显然是错的，举出反例：—1，0，1，2，3，…．满足数列{S n }是递增数列，但是S n ＞0不成立． 【答案】C8．如图，F 1，F 2分别是双曲线C ：22221x y a b-=(a ，b ＞0)的左右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M ．若|MF 2|＝|F 1F 2|，则C 的离心率是 ABCD【解析】如图：|OB |＝b ，|O F 1|＝c ．∴k PQ ＝b c ，k MN ＝﹣b c．直线PQ 为：y ＝b c (x ＋c )，两条渐近线为：y ＝b a x ．由()b y x c c b y x a ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＋＝，得：Q (ac c a -，bc c a -)；由()b y x c cb y xa ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＋＝-，得：P (ac c a -+，bc c a +)．∴直线MN 为：y －bc c a +＝﹣b c(x －acc a -+)， 令y ＝0得：x M ＝322c c a -．又∵|MF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，∴3c ＝x M＝322c c a -，解之得：2232a c e a ==，即e． 【答案】B9．设a ＞0，b ＞0A ．若2223a b a b +=+，则a ＞bB ．若2223a b a b +=+，则a ＜bC ．若2223a b a b -=-，则a ＞bD ．若2223a b a b -=-，则a ＜b【解析】若2223a b a b +=+，必有2222a b a b +>+．构造函数：()22x f x x =+，则()2ln220x f x '=⋅+>恒成立，故有函数()22x f x x =+在x ＞0上单调递增，即a ＞b 成立．其余选项用同样方法排除． 【答案】A10．已知矩形ABCD ，AB ＝1，BC ∆ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻着，在翻着过程中，A ．存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直B ．存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直C ．存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直D ．对任意位置，三直线“AC 与BD ”，“AB 与CD ”，“AD 与BC ”均不垂直【解析】最简单的方法是取一长方形动手按照其要求进行翻着，观察在翻着过程，即可知选项C 是正确的． 【答案】C2012年普通高等学校招生全国同一考试（浙江卷）数 学（理科）非选择题部分（共100分）注意事项：1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上．2．在答题纸上作图，可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，则该三棱锥的体积等于___________cm 3．【解析】观察三视图知该三棱锥的底面为一直角三角 形，右侧面也是一直角三角形．故体积等于11312123⨯⨯⨯⨯=．【答案】112．若程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是______________． 【解析】T ，i 关系如下图：【答案】112013．设公比为q (q ＞0)的等比数列{a n }的前n 项和为{S n }．若2232S a =+，4432S a =+，则q ＝______________．【解析】将2232S a =+，4432S a =+两个式子全部转化成用1a ，q 表示的式子． 即111233111113232a a q a q a a q a q a q a q +=+⎧⎨+++=+⎩，两式作差得：2321113(1)a q a q a q q +=-，即：2230q q --=，解之得：312q or q ==-(舍去)． 【答案】3214．若将函数()5f x x =表示为()()()()250125111f x a a x a x a x =+++++++其中0a ，1a ，2a ，…，5a 为实数，则3a ＝______________． 【解析】法一：由等式两边对应项系数相等．即：545543315544310100a C a a a C a C a a =⎧⎪+=⇒=⎨⎪++=⎩． 法二：对等式：()()()()2550125111f x x a a x a x a x ==+++++++两边连续对x 求导三次得：2234560624(1)60(1)x a a xa x =++++，再运用赋值法，令1x =-得：3606a =，即310a =．【答案】1015．在∆ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB AC ⋅＝______________． 【解析】此题最适合的方法是特例法．假设∆ABC 是以AB ＝AC 的等腰三角形，如图， AM ＝3，BC ＝10，AB ＝AC cos ∠BAC ＝3434102923434+-=⨯．AB AC ⋅＝cos 29AB AC BAC ⋅∠= 【答案】2916．定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离．已知曲线C 1：y ＝x 2＋a 到直线l ：y ＝x 的距离等于C 2：x 2＋(y ＋4) 2 ＝2到直线l ：y ＝x 的距离，则实数a ＝______________．【解析】C 2：x 2＋(y ＋4) 2 ＝2，圆心(0，—4)，圆心到直线l ：y ＝x的距离为：d ==，故曲线C 2到直线l ：y ＝x的距离为d d r d '=-= 另一方面：曲线C 1：y ＝x 2＋a ，令20y x '==，得：12x =，曲线C 1：y ＝x 2＋a 到直线l ：y ＝x 的距离的点为(12，14a +)，74d a '==⇒=． 【答案】7417．设a ∈R ，若x ＞0时均有[(a －1)x －1]( x 2－ax －1)≥0，则a ＝______________． 【解析】本题按照一般思路，则可分为一下两种情况： (A )2(1)1010a x x ax ≤⎧⎨≤⎩－－－－， 无解； (B )2(1)1010a x x ax ≥⎧⎨≥⎩－－－－， 无解． 因为受到经验的影响，会认为本题可能是错题或者解不出本题．其实在x ＞0的整个区间上，我们可以将其分成两个区间(为什么是两个？)，在各自的区间内恒正或恒负．(如下答图) 我们知道：函数y 1＝(a －1)x －1，y 2＝x 2－ax －1都过定点P (0，1)． 考查函数y 1＝(a －1)x －1：令y ＝0，得M (11a -，0)，还可分析得：a ＞1； 考查函数y 2＝x 2－ax －1：显然过点M (11a -，0)，代入得：211011a a a ⎛⎫--= ⎪--⎝⎭，解之得：a =，舍去a =，得答案：a =【答案】a =三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．(本小题满分14分)在∆ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知cos A ＝23，sin Bcos C ． (Ⅰ)求tan C 的值；(Ⅱ)若a∆ABC 的面积．【解析】本题主要考察三角恒等变换，正弦定理，余弦定理及三角形面积求法等知识点。
2012高考数学浙江卷评析定稿
与基本不等式求最值
集合的运算、函数的奇偶性、复数的概念及充要条件、直线与圆、 向量法求异面直所成的角、茎叶图、导数求极值点、排列组合、
余弦定理及重要不等式、几何概型
集合元素的性质、函数的概念、分段函数、同角三角公式、命题 的真假、归纳推理、向量运算、线性规划、统计中的平均数、立
几何概型、导数的几何意义
集合运算、复数运算、三视图、充要条件、点线面的位置关系、 三角函数的图象平移、向量运算、线性规划、椭圆与双曲线的离
心率、函数性质与不等式的性质
复数运算、集合的关系与运算、向量垂直、三视图、双曲线离心 率、三角函数的图象、分段函数的值域、线性规划、数列的求和、
函数的单调性与极值
积的定义及性质
实系数方程的根与系数，充要条件、解三角形，三角函数的性 质与数列的前n项和
几何概型、函数的性质及数形结合、利用导数证不等式
集合运算、复数运算、充要条件、三角函数的图象平移、向量运 算、排列组合、等差数列前n项和、双曲线的离心率、函数性质
与不等式的性质、点线面的位置关系
复数运算、等差数列运算、命题真假与充要条件、三视图、基本 不等式、几何概型与积分、函数的性质、圆锥曲线、线性规划、
实系数方程的根与系数，正、余弦定理，离散型随机变量的期 望与方差，三角函数的性质与数列的前n项和
集合的概念、计数原理、复数的概念、椭圆的离心率、等比数列、 流程图、三视图、双曲线与抛物线的性质、三角函数的单调区间、
函数的图象、三棱锥体积、互为反函数的关系
集合的运算、几何概型、复数的概念、流程图、圆的切线、计数 原理、三视图、直线斜率问题
2012年理数高考试题答案及解析-浙江-(5451)
b c
， kMN ＝﹣
y＝ b c b a
b c
．
b c y＝ b a x
直线 PQ 为： y＝
b c
(x＋ c)，两条渐近线为：
y＝
b a
( x＋ c )
x ．由
y＝
，得： Q(
x
ac c a
，
bc c a
y＝
( x＋ c)
)；由
，得：
P(
ac bc bc b ac ， ＝﹣ (x － )．∴直线 MN 为： y － )， c a c a c a c c a c c
选择题部分
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上 2．每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干
．
净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上 参考公式： 如果事件 A， B 互斥，那么 P A B P A P B
a5 1 a4 C 4a 4
1
即：
C5 a 5 C5 a5
3
4
0 a3 0
a3
10 ．
法 二 ： 对 等 式 ：
60 x
2
f x
60 a5 (1
x
5
a0
2
a1 1 x
a2 1 x
2
a5 1 x 1 得： 60
5
两 边 连 续 对
10 ．
x
求 导 三 次 得 ：
6a3
24 a 4 (1
x)
x) ，再运用赋值法，令
S2 3a2 2 ， S4 3a4 3a 2 2 a1q
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2012年浙江省高考数学试题赏析
2012年浙江省数学高考试题，延续了浙江卷一贯清新、隽永的风格，简洁、明了、寓意深刻，令人回味.现仅举一偶，作为赏析.
理科卷第22题：
已知a>0，b∈R，函数f（x）=4ax3-2bx-a+b.
（1）证明：当0≤x≤1时，
①函数f（x）的最大值为2a-b+a；
②f（x）+2a-b+a≥0.
（2）若-1≤f（x）≤1对x∈[0，1]恒成立，求a+b的取值范围.
第一，对于问题（1），常规的思路应该考虑求f（x）在区间[0，1]上的最大值与最小值，因为问题（1）中的②实际上要证明的是fmin（x）+2a-b+a≥0.因此需要对三次函数有一定的了解.
由于f′（x）=12ax2-2b，f（x）在区间[0，1]内或者是单调函数，或者只有唯一的极小值点x=，因此fmax（x）=max{f（1），f（0）}，而f（1）=3a-b，f（0）=b-a，且f（1）-f（0）=4a-2b，因此
fmax（x）= f（1），2a-b≥0，f（0），2a-b0；当f（x）在区间[0，1]内不单调，即∈（0，1）时，00；
（2）当2a-b0；所以φ（t）是（，1）上的增函数，所以φ（t）>φ（）=1->0，即f（x）+2a-b+a ≥0成立.
综上：当0≤x≤1时，f（x）+2a-b+a ≥0.
其次，由于函数f（x）含有两个参数a与b，可以通过a与b的关系转化为仅含一个参数的a问题.
考虑到0≤x≤1，（1）当2a-b≥0，即b≤2a时，f（x）+2a-b+a=4ax3-2bx+2a≥4ax3-4ax+2a=2a（2x3-2x+1）；
（2）当2a-b0，所以f（x）+2a-b+a≥0.
（2）由题意可知：对于任意的x∈[0，1]，-1≤f（x）≤1恒成立，只要2a-b+a≤1，此时f（x）≥-（2a-b+a）≥-1，于是有：a>0，3a-1≤b≤a+1作出可行域，得-11，-1≤f （1）≤1，-1≤f（-1）≤1，
或者②-1≤≤1，f（1）≤1，f（-1）≤1，b-a-≥-1.
由①得：b4a，3a-1≤b≤3a+1，-≤a+b≤其可行域见图2，所以-≤a+b0，b∈R，函数f（x）=4ax3-2bx-a+b，若-1≤f（x）≤1对x∈[-1，1]恒成立，求a+b的取值范围.那么情况会发生怎样的变化？
同样，因f′（x）=12ax2-2b，所以
（1）若b≤0时，f（x）≥0，f（x）是[-1，1]上的增函数，则只需f（-1）=-5a+3b≥-1，f（1）=3a-b≤1.即b≥a-，b≥3a-1.其可行域见图4，于是-0，由f′（x）=0，得x=±，若≥1，即b≥6a时，于是f（x）是[-1，1]上的减函数，只需f（-1）=3a-b≥-1，f （1）=-5a+3b≤1.即b≤3a+1，b≤a+.
且b≥6a，由b=6a，b=a+，得A（，），因此00；可用
f2（x）=zeros（8y3-27xy2+54x2y+54xy-27x3-54x2-27x，y）画出这个方程的曲线.（如图6）
解方程组：3a-b=1，+b-a=1.
得（3a-2）（3a+1）2=0，所以a=，b=1，于是-0，-1≤t≤3.作出曲线y=g（t）
的图象（图7）：设C（t，g（t））是函数y=g（t）图象上的一点，则直线tx+g （t）y=±1与直线OC（O为坐标原点）垂直，且在y轴上的截距为±，利用几何画板可作出直线tx+g（t）y=±1（如图8），观察与直线运动时的轨迹可知，其可行域为图中y轴上方的浅色区域.
当t>0时，由-x+3y=1，tx+g（t）y=1，得x==-=-1-≥1，所以当t=2时，xmin=1，即D点的坐标为（1，）；由3x-5y=1，当y=0时，x=-，即E点的坐标为（-，0），于是-<x+y≤，即-<a+b≤.
一个好的问题是能够引发思考的问题，作为一个关于三次函数的题目，命题者能提出如此简洁、深刻的问题，足见命题者的功底.这也值得我们在教学中思考应该怎样教数学. 由于函数f（x）+a-b是奇函数，且若设m=（t，g（t）），n=（b，a），则f（x）=m·n，能否利用函数的奇偶性及向量的运算去思考提出问题与解决问题的途径，也值得探究.。