江苏省启东中学高一数学第一学期第三次月考试题-苏教版
江苏省启东中学高一数学上学期第一次月考试题(创新班,
江苏省启东中学2016~2017学年度创新班高一阶段考试 数学试卷 2016.9.20一、填空题：本题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题．．纸．相应位置上．．．．．． 1．不等式223x x -<的解集为 ．2．在ABC ∆中，已知3AB =，2BC =，60B ︒∠=，则AC = ． 3．已知等比数列{}n a 的各项都是正数，且41016a a =，则8a = ．4．ABC ∆的三边长分别为a ，b ，c ，若cos cos sin b C c B a A +=，则ABC ∆的形状为 ． 5．方程3sin 1cos2x x =+在区间[]02π， 上的解集为 ．6．在数列{}n a 中，12a =，*11(N )n n a a n +=-∈，n S 为数列的前n 项和，则2015201620172S S S -+的值为 ．7．函数()=(3sin cos )(3cos sin )f x x x x x +-的最小正周期是 ．8．若x ，y 满足错误!未找到引用源。
2030x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，，，则2x y +的最大值为 ．9．已知正数a ，b 满足3ab a b =++，则a b +的最小值为 ．10．已知数列{}n a 是以3为公差的等差数列，n S 是其前n 项和，若10S 是数列{}n S 中的唯一最小项，则数列{}n a 的首项1a 的取值范围是 ．11．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若223a b bc -=，sin 23sin C B =，则角A = ．12．各项均为正数的等比数列{}n a 中，若1a ≥1，2a ≤2，3a ≥3，则4a 的取值范围是 ．13．已知函数27()1x ax a f x x +++=+，R a ∈，若对于任意的*N x ∈，()f x ≥4恒成立，则a 的取值范围是 ． 14．无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和．若对任意*N n ∈，{}23n S ∈， ，则k 的最大值为 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题．．纸．指定区域．．．．内作答．解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在ABC ∆中，2222a c b ac +=+．⑴求B ∠的大小；⑵求2cos cos A C +的最大值．16．（本小题满分14分） 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知tan tan 2(tan tan )cos cos A BA B B A+=+．⑴证明：2a b c +=；⑵求cos C 的最小值．17．（本小题满分14分）对于实数π(0)2x ∈， ，2214()=9sin 9cos f x x x+． ⑴若()f x ≥t 恒成立，求t 的最大值M ；⑵在⑴的条件下，求不等式2|2|x x M +-+≥3的解集．18．（本小题满分16分）已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+．⑴求数列{}n b 的通项公式；⑵令1(1)(2)n n n nn a c b ++=+，求数列{}n c 的前n 项和n T ．19．（本小题满分16分）请用多种方法证明不等式：（用一种方法得8分，两种方法得14分，三种方法得16分．）已知a ，(0)b ∈+∞， ，证明：b a +≥a b +．20．（本小题满分16分）设A是由有限个正整数组成的集合，若存在两个集合B，C满足：①B C=∅I；②B C AU；③B的元素之和等于C的元素之和，则称集合A“可均分”．=⑴证明：集合{}A=， ， ， ， ， ， ，“可均分”；12345678⑵证明：集合{}， ， ，“可均分”；LA=+++2015120152201593⑶求出所有的正整数k，使得{}， ， ，“可均分”．L=+++A k20151201522015。
南通市启东中学2022-2023学年高三上学期第一次月考数学试题含解析
江苏省启东中学2022-2023学年度高三第一学期第一次月考一､单选题（本大题共8小题，共40.0分.）1.已知集合{}1,2A =，{}220B x x mx =+-=，若{}1A B ⋂=，则B =（）A.{}1,3 B.{}1 C.{}1,2- D.{}1,1,2-2.若1i z =-+，设zzω=，则ω=（）A.12B.1C.32D.23.牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：()100ektθθθθ-=-+，其中为时间（单位：min ），0θ为环境温度，1θ为物体初始温度，θ为冷却后温度），假设在室内温度为20C o 的情况下，一桶咖啡由100C 降低到60C 需要20min .则k 的值为（）A.ln 220B.ln 320 C.ln 210-D.ln 310-4.已知平面α和平面β不重合，直线m 和n 不重合，则//αβ的一个充分条件是（）.A .,m n αβ⊂⊂且//m nB.,m n αβ⊂⊂且//,//m n βαC.//,//m n αβ且//m nD.,m n αβ⊥⊥且//m n5.设()f x 是定义在实数集R 上的函数，且满足()()11f x f x +=-，()()22f x f x +=--，则()f x 是（）A.偶函数，又是周期函数B.偶函数，但不是周期函数C.奇函数，又是周期函数D.奇函数，但不是周期函数6.若()1tan022θθπ=<<，则sin 2θ的值为（）A.2425B.1516 C.1516-D.2425-7.在ABC 中,120BAC ∠=,AD 为BAC ∠的平分线,2AB AC =,则ABAD=（）A.2B.C.3D.8.已知 2.12.2a =， 2.22.1b =， 2.12.1c =，则（）A.a c b<< B.c b a<< C.b c a<< D.c a b<<二､多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）9.函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象如图所示，则（）A.2ω= B.6π=ϕC.对任意的x 都有()512f x f π⎛⎫≥⎪⎝⎭D.()f x 在区间[],ππ-上的零点之和为3π10.已知,D E 是 ABC 边BC 的三等分点，点P 在线段DE 上，若AP xAB yAC =+，则xy 的值可以是（）A.19B.29C.14D.1311.公比为q 的等比数列{}n a ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，满足11a >,202120221a a ⋅>，20212022101a a -<-.则下列结论正确的是（）A.01q <<B.202120231a a ⋅>C.n S 的最大值为2023S D.n T 的最大值为2021T 12.已知定义域为R 的函数()f x 的图象连续不断，且R x ∀∈，()()24f x f x x +-=，当()0,x ∈+∞时，()4f x x '<，若()()221682f m f m m m +--≤++，则实数m 的取值可以为（）A.－1B.13-C.12D.1三､填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知数列{}n a 满足()121n n a a n n N +++=+∈，1=1a ，则数列{}n a 的通项公式为___________.14.如图，△ABC 的外接圆的圆心为O ，AB ＝2，AC ＝3，7BC =AO BC ⋅=________．15.三棱锥P ABC -中，2PA AB PB AC ====，22CP =D 是侧棱PB 的中点，且7CD =则三棱锥P ABC -的外接球O 的表面积___________.16.不等式220x x ax a ---<的解集中只存在两个整数，则正数a 的取值范围是___________.四､解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知函数()243xf x x a-=-，a R ∈.（1）若()y f x =在()()1,1f 处的切线斜率为5-，求a 的值；（2）若()f x 在1x =-处取得极值，求()f x 在[]22-,上的最大值.18.如图所示，在梯形ABCD 中，//AB CD ，2BAD π∠=，点E 是AD 上一点，2=4DE AE =，2cos cos cos BC BEC BE EBC CE ECB ∠=∠+∠.（1）求BEC ∠的大小；（2）若BCE 的面积S 为BC .19.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，1AA ⊥平面ABCD ,122AA AB ==，点M 在1DD 上，且1B D ⊥平面ACM.（1）求1DMDD 的值；（2）求二面角D AC M --的正弦值.20.已知各项都为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意的*n ∈N ，都有22(n n n pS a pa =+其中0p >，且p 为常数)，记数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为nH （1）求数列{}n a 的通项公式及n H （2）当=2p 时，将数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来的顺序恰为等比数列{}n b 的前3项，记{}n b 的前m 项和为m T ，若存在*N m ∈，使得对任意*n ∈N ，总有m n T H λ<+恒成立，求实数λ的取值范围21.已知椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>的离心率为2，点A ，B ，C 分别为Γ的上，左，右顶点，且||4BC =.（1）求Γ的标准方程；（2）点D 为线段AB 上异于端点的动点，过点D 作与直线AC 平行的直线交Γ于点P ，Q ，求||||PD QD ⋅的最大值.22.已知函数()e xf x x x =-．（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）证明：当0x >时，()ln 1f x x -≥．2022-2023学年度江苏省启东中学高三第一学期第一次月考一､单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知集合{}1,2A =，{}220B x x mx =+-=，若{}1A B ⋂=，则B =（）A.{}1,3 B.{}1 C.{}1,2- D.{}1,1,2-【答案】C 【解析】【分析】分析可知1B ∈，根据根与系数的关系求出m 的值，进而可求得集合B .【详解】因为{}1A B ⋂=，所以1B ∈，把1x =代入220x mx +-=得1m =，所以{}{}2201,2B x x x =+-==-，故选：C.2.若1i z =-+，设zzω=，则ω=（）A.12B.1C.32D.2【答案】B 【解析】【分析】利用复数的除法化简复数ω，利用复数的模长公式可求得结果.【详解】()()()21i 1i i 1i 1i 1i z z ω----====-+-+--，所以1ω=.故选：B.3.牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：()100e kt θθθθ-=-+，其中为时间（单位：min ），0θ为环境温度，1θ为物体初始温度，θ为冷却后温度），假设在室内温度为20C o 的情况下，一桶咖啡由100C 降低到60C 需要20min .则k 的值为（）A.ln 220B.ln 320C.ln 210-D.ln 310-【答案】A 【解析】【分析】把020θ=，1100θ=，60θ=，20t =代入()100e kt θθθθ-=-+可求得实数k 的值.【详解】由题意，把020θ=，1100θ=，60θ=，20t =代入()100e kt θθθθ-=-+中得2080e 2060k -+=，可得201e 2k -=，所以，20ln 2k -=-，因此，ln 220k =.故选：A.4.已知平面α和平面β不重合，直线m 和n 不重合，则//αβ的一个充分条件是（）.A.,m n αβ⊂⊂且//m n B.,m n αβ⊂⊂且//,//m n βαC.//,//m n αβ且//m nD.,m n αβ⊥⊥且//m n【答案】D 【解析】【分析】根据空间中直线、平面的平行关系进行逐项判断即可.【详解】A ．若,m n αβ⊂⊂且//m n ，此时α和β可以相交或平行，故错误；B ．若,m n αβ⊂⊂且//,//m n βα，此时α和β可以相交或平行，故错误；C ．若//,//m n αβ且//m n ，此时α和β可以相交或平行，故错误；D ．若,mn αβ⊥⊥且//m n ，则有m β⊥，两个不同平面和同一直线垂直，则两平面平行，所以//αβ，故正确；故选：D.5.设()f x 是定义在实数集R 上的函数，且满足()()11f x f x +=-，()()22f x f x +=--，则()f x 是（）A.偶函数，又是周期函数B.偶函数，但不是周期函数C.奇函数，又是周期函数D.奇函数，但不是周期函数【答案】C 【解析】【分析】利用题中条件推导出()()4f x f x =+，()()f x f x -=-，即可得出结论.【详解】因为()()11f x f x +=-，()()22f x f x +=--，所以()()()()()()()211112f x f x f x f x f x -=+-=--==-+，所以()()()24f x f x f x +=-+=-，故()()4f x f x =+，所以()f x 周期为4，因为()()()()()()()42222f x f x f x f x f x -=-=+-=---=-，所以()f x 是奇函数.故选：C.6.若()1tan022θθπ=<<，则sin 2θ的值为（）A.2425 B.1516 C.1516- D.2425-【答案】A 【解析】【分析】根据正切的倍角公式，求得tan θ，再利用正弦的倍角公式将sin 2θ转化为齐次式，结合同角三角函数关系即可求得结果.【详解】因为22tan42tan 31tan 2θθθ==-，又2222sin cos 2tan 24sin 2sin cos tan 125θθθθθθθ===+.故选：A .7.在ABC中,120BAC∠= ,AD 为BAC∠的平分线,2AB AC=,则ABAD=（）A.2B.C.3D.【答案】C 【解析】【分析】利用ABC ABD ACD S S S =+ ,得到AB和AD大小关系,即可得到结果.【详解】ABC ABD ACD S S S =+ ,且120BAC ∠= ,AD 为BAC ∠的平分线,∴1211sin sin sin 232323AB AC AB AD AC AD πππ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅,即AB AC AB AD AC AD⋅=⋅+⋅,(*)2AB AC =,∴(*)式可化为:1322AB AD =,即3AB AD=.故选:C.8.已知2.12.2a =， 2.22.1b =， 2.12.1c =，则（）A.a c b<< B.c b a<< C.b c a<< D.c a b<<【答案】B 【解析】【分析】利用幂函数的单调性可得出a 、c的大小关系，利用指数函数的单调性可得出b 、c 的大小关系，构造函数()ln xf x x=，利用函数()f x 在()0,e 上的单调性可得出a 、b 的大小关系，即可得出结论.【详解】因为2.1 2.12.2 2.1>， 2.2 2.12.1 2.1>，即a c >，b c >，构造函数()ln x f x x =，则()21ln xf x x-'=，当0e x <<时，()0f x '>，故函数()f x 在()0,e 上为增函数，因为0 2.1 2.2e <<<，则()()2.1 2.2f f <，即ln 2.1ln 2.22.1 2.2<，可得2.2ln 2.1 2.1ln 2.2<，即2.2 2.1ln 2.1ln 2.2<，故 2.2 2.12.1 2.2<，因此c b a <<.故选：B.二､多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）9.函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象如图所示，则（）A.2ω= B.6π=ϕ C.对任意的x 都有()512f x f π⎛⎫≥⎪⎝⎭D.()f x 在区间[],ππ-上的零点之和为3π【答案】AB 解析】【分析】利用图象求得函数)f x 的解析式，可判断AB 选项的正误；计算512f π⎛⎫⎪⎝⎭的值，可判断C 选项的正误；利用正弦型函数的对称性可判断D 选项的正误.【详解】由题图可知函数()f x 的最小正周期为4113126T πππ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，则22πωπ==，所以，()()sin 2f x x ϕ=+，把,16π⎛⎫ ⎪⎝⎭代入得1sin 3πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()232k k Z ππϕπ+=+∈，得()26k k Z πϕπ=+∈，2πϕ< ，6πϕ∴=，则AB 选项均正确；()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，当512x π=时，()0f x =，不满足对任意的x 都有()512f x f π⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，C 错误；[],x ππ∈- ，11132,666x πππ⎡⎤∴+∈-⎢⎥⎣⎦，则()f x 共有4个零点，不妨设为a 、b 、c 、d ，且ab c d<<<，则222662ab πππ⎛⎫+++=⨯- ⎪⎝⎭，3222662c d πππ+++=⨯，两式相加，整理得422223ab c d π+++=，故()f x 的所有零点之和为23a b c d π+++=，D 错误，故选：AB.10.已知,D E 是 ABC 边BC 的三等分点，点P 在线段DE 上，若AP xAB yAC =+，则xy 的值可以是（）A.19B.29C.14D.13【答案】BC 【解析】【分析】根据平面向量共线定理的推论，求得1x y +=以及,x y 的取值范围，将xy 转化为关于x 的二次函数，求其值域，即可结合选项进行选择.【详解】因为,D E 是BC 边的三等分点，点P 在线段DE 上，若AP xAB yAC =+ ，可得1x y +=，12,,33x y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故()2211124xy x x x x x ⎛⎫=-=-=--+⎪⎝⎭，当12x =时，xy 取最大值14，当13x =或23x =时，x 取最小值29.故选：BC .11.公比为q 的等比数列{}n a ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，满足11a >,202120221a a ⋅>，20212022101a a -<-.则下列结论正确的是（）A.01q << B.202120231a a ⋅>C.n S 的最大值为2023S D.n T 的最大值为2021T 【答案】AD 【解析】【分析】推导出0q >，20211a >，202201a <<，可判断A 选项的正误；利用等比中项的性质可判断B 选项的正误；由数列{}n a 为正项等比数列可判断C 选项的正误；由20211a >，202201a <<可判断D 选项的正误.【详解】若0q <，则22021202220210a a a q =<不合乎题意，所以，0q >，故数列{}n a 为正项等比数列，11a >Q ，202120221a a ⋅>，20212022101a a -<-，20211a ∴>，202201a <<，所以01q <<，故A 正确；22021202320221a a a ⋅=<，故B 错误；11a >Q ，01q <<，所以，数列{}n a 为各项为正的递减数列，所以，n S 无最大值，故C 错误；又20211a >，202201a <<，所以，2021T 是数列{}n T 中的最大项，故D 正确.故选：AD.12.已知定义域为R 的函数()f x 的图象连续不断，且R x ∀∈，()()24f x f x x +-=，当()0,x ∈+∞时，()4f x x '<，若()()221682f m f m m m +--≤++，则实数m 的取值可以为（）A.－1B.13-C.12D.1【答案】BCD 【解析】【分析】利用已知条件得到()()()2222f x x f x x ⎡⎤-=----⎣⎦，构造函数()()22g x f x x =-，利用已知条件得到函数()g x 为奇函数且函数()g x 在()0,∞+上单调递减，可得函数()g x 在R 上单调递减，所给的不等式转化为()()21g m g m +≤-，利用单调性求解即可.【详解】依题意可得：()()24f x f x x +-=，故()()()2222f x x f x x ⎡⎤-=----⎣⎦，令()()22g x f x x =-，则()()g x g x =--，所以函数()g x 为奇函数，()()4g x f x x ''=-，因为当()0,x ∈+∞时，()4f x x '<，即当()0,x ∈+∞时，()()40g x f x x ''=-<，故()g x 在()0,∞+上单调递减，由()g x 为奇函数可知，()g x 在R 上单调递减，因为()()221682f m f m m m +--≤++，故()()()()22212212f m m f m m +-⋅+≤--⋅-，即()()21g m g m +≤-，故21m m +≥-，故13m ≥-，故实数m 的取值范围为1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.由选项可知：BCD 正确；故选：BCD.三､填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知数列{}n a 满足()121n n a a n n N +++=+∈，1=1a ，则数列{}n a 的通项公式为___________.【答案】=n a n 【解析】【分析】把n 变为1n -，得到()121121n n a a n n -+=-+=-，和原式相减得到112n n a a +--=，得到奇数项成等差，偶数项也成等差，公差为2，即可得解.【详解】当2n ≥时，由题得()121121n n a a n n -+=-+=-，联立()1+1+=21+1=21+=2+1n n n n a a n n a a n ---⎧⎨⎩得，112n n a a +--=，所以奇数项成等差，偶数项也成等差，公差为2，由1=1a 得当n 为奇数时，=n a n ，当=1n 时，由()121n n a a n n N +++=+∈得22a =，所以当n 为偶数时，=n a n ，从而=n a n .故答案为:=n a n .14.如图，△ABC 的外接圆的圆心为O ，AB ＝2，AC ＝3，BC =AO BC ⋅=________．【答案】52【解析】【详解】因为BC AC AB=- AO BC ⋅= 0()00A AC AB A AC A AB⋅-=⋅-⋅,根据向量数量积的几何意义得：35003232122A AC A AB AE AF ⋅-⋅=-=⨯-⨯= ．15.三棱锥P ABC -中，2PA AB PB AC ====，CP =，点D 是侧棱PB 的中点，且CD =P ABC -的外接球O 的表面积___________.【答案】283π##283π【解析】【分析】推导出AC ⊥平面PAB ，利用正弦定理计算出PAB △的外接圆半径r ，可得出三棱锥P ABC -的外接球半径为R =，利用球体的表面积公式可求得结果.【详解】如下图所示：圆柱12O O 的底面圆直径为2r ，母线长为h ，则12O O 的中点O 到圆柱底面圆上每点的距离都相等，则O 为圆柱12O O 的外接球球心，且有2R =.本题中，依题意，由2PA AC ==，CP =，得AP AC ⊥.连接AD ，由点D 是PB 的中点且2PA AB PB ===，则AD PB ⊥，且AD ==，又CD=2AC =，则222CD AC AD =+，可知AD AC ⊥，又AP AD A ⋂=，所以AC ⊥平面PAB .可将三棱锥CPAB -置于圆柱12O O 中，且PAB △的外接圆为圆2O ，圆2O 的半径为2sin 603AB r==，所以，三棱锥CPAB -的外接球的直径为23R ==，则3R =，故三棱锥P ABC -的外接球的表面积23428S R ππ==.故答案为：283π.16.不等式220x x ax a ---<的解集中只存在两个整数，则正数a 的取值范围是___________.【答案】10,2⎛⎤⎥⎝⎦【解析】【分析】画出22y x x=-与()1=+y a x 的图象，数形结合，找出临界状态从而得到a 的取值范围即可.【详解】220x x ax a ---<，则22x x ax a -<+，分别画出22y x x=-与()1=+y a x 的图象，因为只存在两个整数x ，使得不等式成立，故而从图象上看，只需22y x x=-上有两个横坐标为整数的点在()1y a x =+的下方.数形结合可知：当1x =时，22y x x=-过点()1,1A ，此处为临界状态.此时直线()1y a x =+的斜率12a =，故而要满足题意，只需12a ≤.满足不等式解集的整数为0x =或2x =.又a >，故a 的取值范围为10,2⎛⎤ ⎝⎦.故答案为：10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.四､解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知函数()243xf x x a-=-，a R ∈.（1）若()y f x =在()()1,1f 处的切线斜率为5-，求a 的值；（2）若()f x 在1x =-处取得极值，求()f x 在[]22-,上的最大值.【答案】（1）0a=或75a =（2）32【解析】【分析】（1）由已知可得出()15f '=-，即可解得实数a 的值；（2）由已知可得()10f '-=，求得实数a 的值，然后利用导数分析函数()f x 在区间[]22-,上的单调性，即可求得函数()f x 在区间[]22-,上的最大值.【小问1详解】解：因为()243xf x x a-=-，则()()()()()2222223243383x a x x x x af x xa xa -----+'==--，因为()y f x =在()()1,1f 处的切线斜率为5-，所以()()235151a f a -'==--，整理得2570a a -=，解得0a =或75a =.【小问2详解】解：因为()f x 在1x =-处取得极值，即()()2311101a f a +'-==-，解得113a =-，所以()243113xf x x -=+，则()2223811113x x f x x --'=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，令()0f x '=，解得1113x =，21x =-，所以当()2,1x ∈--时，()0f x '>，()f x 单调递增，当()1,2x ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减，()()max 312f x f =-=.18.如图所示，在梯形ABCD 中，//AB CD ，2BAD π∠=，点E 是AD 上一点，2=4DE AE =，2cos cos cos BC BEC BE EBC CE ECB ∠=∠+∠.（1）求BEC ∠的大小；（2）若BCE 的面积S为BC .【答案】（1）∠BEC ＝3π；（2）B C =．【解析】【分析】（1）利用余弦定理将角化为边，从而可得1cos 2BEC ∠=，故可求其大小.（2）设AEB α∠＝，由解直角三角形可得,BE CE ，根据面积可求α的值，利用余弦定理可求BC 的长.【详解】（1）∵2cos cos cos BC BEC BE EBC CE ECB∠=∠+∠2222222•2•BE C BE BC CE CE BC BE BE BC CE E BCBC+-+-⋅⋅＝＋＝∴1cos 2BEC ∠=，而BEC ∠为三角形内角，故3BEC π∠=．（2）设AEB α∠＝，则23DECπα∠=-，其中203πα<<，∵DE ＝2AE ＝4，∴2cos cos AE BE αα==，422cos()cos()33CE DE ππαα=--=，∵△BCE的面积1sin 223cos cos()3S BE CE ππαα=⋅⋅=-22=2sin(2)16πα==--，∴由已知得2sin(21)6πα=--，∴sin 216πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为72666πππα-<-<，故262ππα-=，即3πα=，此时24cos BE α==，482cos()3CE πα==-，∴在△BCE 中，由余弦定理得：2222cos 48BC BE CE BE CE BEC +⨯∠＝－＝，∴B C =.19.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，1AA ⊥平面ABCD ,122AA AB ==，点M在1DD 上，且1B D ⊥平面ACM.（1）求1DM DD 的值；（2）求二面角D AC M --的正弦值.【答案】（1）14（2）3【解析】【分析】（1）以点A 为坐标原点，AB 、AD 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设()0,1,M a ，利用空间向量法可得出关于a 的等式，求出a 的值，即可得出结果；（2）利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得结果.【小问1详解】解：因为在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，1AA ⊥平面ABCD ，以点A 为坐标原点，AB 、AD 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，因为122AA AB ==，故可设()0,1,M a ，其中02a ≤≤，则()11,0,2B 、()0,1,0D 、()C ，所以()1,1,0AC = ，()0,1,AM a =，()11,1,2B D =-- ，设平面ACM 的一个法向量为(),,m x y z = ，则有00m AC m AM ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即00x y y az +=⎧⎨+=⎩，取x a =，得(),,1m a a =-，因为1B D ⊥平面ACM，所以1//B D m，即1112a a -==--，解得12a =，所以12DM =，114DM DD =.【小问2详解】易知平面ACD 的一个法向量为()0,0,1n =，设二面角D AC M --的大小θ为，而11,,122m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，cos ,3m n m n m n ⋅<>==⋅，则sin3θ=.20.已知各项都为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意的*n ∈N ，都有22(n n n pS a pa =+其中0p >，且p 为常数)，记数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n H （1）求数列{}n a 的通项公式及nH （2）当=2p 时，将数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来的顺序恰为等比数列{}n b 的前3项，记{}n b 的前m 项和为m T ，若存在*N m ∈，使得对任意*n ∈N ，总有m n T H λ<+恒成立，求实数λ的取值范围【答案】（1）n a np =，21n n H p n =⋅+（2）()0,+∞.【解析】【分析】（1）利用11,=1=,2n n n S n a S S n --≥⎧⎨⎩，求出10n n a a p --=>，得到数列{}n a 是等差数列，求出通项公式和n S ，利用裂项相消法求解n H ；（2）当=2p 时，2n a n =，可得1234111111112468a a a a ====，，，，只有111248，，成等比数列，利用等比数列的通项公式和前n 项和公式可得n b ､.n T 再利用m T 及n H 的单调性即可.【小问1详解】当=1n 时，21112paa pa =+，10a > ，12p a p ∴=+，解得1a p =.当2n ≥时，由22n n n pS a pa =+，21112n n n pS a pa ---=+，两式相减得：22112nn n n n paa pa a pa --=+-+（），化为()()110n n n n a a a a p --+--=，*N n ∀∈ ，都有0n a >，10n n a a p -∴-=>，∴数列{}n a 是等差数列，1n a p n p np∴=+-=（），222222n n p np n n pS p ++∴==（），12111n S p n n ∴=-+（），1211121111112231n n H S S S p n n ⎡⎤∴=++⋯+=-+-+⋯+-⎢⎥+⎣⎦（）（2121.11np n p n =-=⋅++（）即21nn na np H p n ==⋅+，.【小问2详解】当=2p 时，2n a n =，1234111111112468a a a a ∴====，，，，只有111248，，成等比数列，∴数列{}n b 的首项112b =，公比12q =，1111222n nn b -∴=⋅=（）（.11112211212n n n T ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦==--（（）.112mm T =- （）是关于m 的单调递增数列，112m T ∴≤<.又2211nn nH n n =⋅=++因为()()11102121n n n n H H n n n n ++=-=>++++-，所以1n n H n =+的最小值为112H =，存在*N m ∈，使对任意*n ∈N ，总有m n T H λ<+恒成立，故只需()()min min m n T H λ<+11022λ∴>-=，故实数λ的取值范围是()0,+∞.21.已知椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>的离心率为2，点A ，B ，C 分别为Γ的上，左，右顶点，且||4BC =.（1）求Γ的标准方程；（2）点D 为线段AB 上异于端点的动点，过点D 作与直线AC 平行的直线交Γ于点P ，Q ，求||||PD QD ⋅的最大值.【答案】（1）2214x y +=（2）54【解析】【分析】（1）由题可得2a =，根据离心率即可求出；（2）求出直线AB 的方程，设出直线l 的方程12y x λ=-+，与椭圆联立，得出11λ-<<，联立两直线表示出D 坐标，表示出||||PD QD ⋅即可求出最值.【小问1详解】由题意得：2||4aBC ==，解得2a =.又因为2c e a ==，所以c =2221b a c =-=.所求Γ的标准方程为2214x y +=.【小问2详解】可得(0,1),(2,0),(2,0)A B C -，则12AC k =-，直线AB 的方程为：220x y -+=，设直线l 的方程为12y x λ=-+.联立方程组221214y x x y λ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消y ，得221442x x λ⎛⎫+-+=⎪⎝⎭，整理得：222220x x λλ-+-=①由l 与线段AB 有公共点，得11λ-<<，联立方程组12220y x x y λ⎧=-+⎪⎨⎪-+=⎩，解得D 的坐标为11,2λλ+⎛⎫- ⎪⎝⎭，设()()1122,,,P x y Q x y ，由①知12212222x x x x λλ+=⎧⎨=-⎩②又12||(1),||(1)PD QD λλ=--=--所以()212125||||(1)(1)4PD QD x x x x λλ⋅=--++-③②代入③，得25||||1,(1,1)4PD QD λλ⋅=-∈-所以当0λ=时，||||PD QD ⋅有最大值54.22.已知函数()e x f x x x =-．（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）证明：当0x >时，()ln 1f x x -≥．【答案】（Ⅰ）()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增；（Ⅱ）证明见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）求出导函数()'f x ，由()'f x 的正负确定()f x 的单调区间；（Ⅱ）不等式变形为()ln e ln 1x x x x +-+≥，令ln t x x =+，又变为e 1t t -≥．引入新函数()e t u t t =-，由导数求得最小值可证明不等式成立．【详解】（Ⅰ）由题意得()()1e 1x f x x =+-'，设()()1e x g x x =+，则()()2e x g x x '=+，当1x ≤-时，()0g x ≤，当1x >-时，()0g x '>，()g x 单调递增，又因为()01g =，所以当0x <时，()1g x <，即()0f x '<，当0x >时，()1g x >，即()0f x '>因此()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增．（Ⅱ）要证()ln 1f x x -≥，即证e ln 1x x x x --≥，即证()ln e ln 1x x x x +-+≥，令ln t x x =+，易知R t ∈，待证不等式转化为e 1t t -≥．设()e t u t t =-，则()e 1t u t '=-，当0t<时，()0u t '<，当0t >时，()0u t '>，故()u t 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增．所以()()01u t u ≥=，原命题得证．。
江苏省启东中学高三上学期第一次月考数学(理)试题Word版含答案
（1）求区域Ⅱ的总面积；
（2）若养殖区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的每平方千米的年收入分别是15万元、20万元、10万元，记年总收入为y万元． 试问当 为多少时，年总收入最大？
（3）若函数 存在极大值，且极大值点为1，证明： .
江苏省启东中学2018-2019学年度第一学期月考
高三年级数学答案
答题卷上只有第18题需要附图，其余按模式搞就行了
1. 2. 3.充分不必要4.1 5. 6. 7.
8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.
15.解： 或
16.解：（1）在△ABC中，因为 ， ， ，
则 的值为▲．
10．将函数 （ ）的图象向左平移 个单位后，所得图象关于直线
对称，则 的最小值为▲．
11．已知函数 ， ，则 的解集是▲．
12．若向量 满足 ， ，且对一切实数 ， 恒成立，则向量 的夹角的大小为▲.
13．在斜三角形ABC中，若 ,则sinC的最大值为▲．
14．已知函数 ， （ 为自然对数的底数），若函数
③若 ，则 时， ，
当 时， 的最小值为 ；
当 时， 的最小值为 .
因为 ， ，所以 的最小值为 .14分
综上所述： ………………………………16分
20.解（1）当 ，函数 在 上单调递增；
当 ，函数 在 上单调递减，在 上单调递增；
当 ，函数 在 上单调递增，在 上单调递减.……………4分
（2） 若对任意 ， 恒成立，求实数 的取值范围；
江苏省启东中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案
江苏省启东中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 函数f （x ）=1﹣xlnx 的零点所在区间是（ ）A ．（0，）B ．（，1）C ．（1，2）D ．（2，3）2． 已知全集I={1，2，3，4，5，6}，A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6}，那么∁I （A ∩B ）等于（ ） A ．{3，4} B ．{1，2，5，6} C ．{1，2，3，4，5，6} D ．∅3． 复数z=（其中i 是虚数单位），则z 的共轭复数=（ ）A ．﹣iB ．﹣﹣iC ． +iD ．﹣ +i4． 如图，1111D C B A ABCD -为正方体，下面结论：① //BD 平面11D CB ；② BD AC ⊥1；③ ⊥1AC 平面11D CB .其中正确结论的个数是（ ）A ．B ．C ．D ．5． 单位正方体（棱长为1）被切去一部分，剩下部分几何体的三视图如图所示，则（ ）A ．该几何体体积为B ．该几何体体积可能为C ．该几何体表面积应为+D ．该几何体唯一6． 设集合M={1，2}，N={a 2}，则“a=1”是“N ⊆M ”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件7． 若动点),(),(2211y x B y x A 、分别在直线： 011=-+y x 和2l ：01=-+y x 上移动，则AB 中点M 所在直线方程为（ ）A ．06=--y xB ．06=++y xC ．06=+-y xD ．06=-+y x 8． 数列1,3,6,10，…的一个通项公式是（ ）A ．21n a n n =-+B ．(1)2n n n a -=C ．(1)2n n n a += D ．21n a n =+ 9． 已知等差数列{}n a 的前项和为n S ，且120a =-，在区间()3,5内任取一个实数作为数列{}n a的公差，则n S 的最小值仅为6S 的概率为（ ） A ．15 B ．16 C ．314 D ．1310．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（ ） A.7B.8C. 9D. 10【命题意图】本题考查阅读程序框图，理解程序框图的功能，本质是循环语句循环终止的条件.1110y -+=的倾斜角为（ ）A ．150B ．120C ．60D ．3012．已知f （x ）=m •2x +x 2+nx ，若{x|f （x ）=0}={x|f （f （x ））=0}≠∅，则m+n 的取值范围为（ ） A ．（0，4） B ．[0，4） C ．（0，5] D ．[0，5]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．已知函数y=f （x ），x ∈I ，若存在x 0∈I ，使得f （x 0）=x 0，则称x 0为函数y=f （x ）的不动点；若存在x 0∈I ，使得f （f （x 0））=x 0，则称x 0为函数y=f （x ）的稳定点．则下列结论中正确的是 ．（填上所有正确结论的序号）①﹣，1是函数g （x ）=2x 2﹣1有两个不动点；②若x 0为函数y=f （x ）的不动点，则x 0必为函数y=f （x ）的稳定点； ③若x 0为函数y=f （x ）的稳定点，则x 0必为函数y=f （x ）的不动点； ④函数g （x ）=2x 2﹣1共有三个稳定点；⑤若函数y=f （x ）在定义域I 上单调递增，则它的不动点与稳定点是完全相同．14．幂函数1222)33)(+-+-=m m xm m x f （在区间()+∞,0上是增函数，则=m ． 15．函数1()lg(1)1f x x x=++-的定义域是 ▲ ．16．定义在R 上的函数)(x f 满足：1)(')(>+x f x f ，4)0(=f ，则不等式3)(+>x x e x f e （其中为自然对数的底数）的解集为 .三、解答题（本大共6小题，共70分。
江苏省启东中学高一数学月考试卷答案
江苏省启东中学高一数学月考试卷答案1、72、32π 3、10 4、007515或 5、 -n+3 6、156 7、直角三角形 8、3 9、1 10、338≤<d 11、 ③ 12、 3 13、⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+)21()24()21()32(22k k k k ππ 14、2002 15．8616.解（1）由(3)23n n m S ma m -+=+，得11(3)23,n n m S ma m ++-+=+两式相减，得1(3)2,(3)n n m a ma m ++=≠-12,3n n a m a m +∴=+ {}n a ∴是等比数列． 111111112(2)1,(),2,3233()22311133.311{}131121,333.2n n n n n n n n n n n n n m b a q f m n N n m b b f b b b b b b b b b n n b b n ------====∈≥+==⋅++=⇒-=∴-+∴=+==+由且时，得是为首项为公差的等差数列,故有 17．（1）0120；（2）10；（3）23 18．解：（1）依题意，10,1001091212==+=a a a a 故，…………………………2分当109,21+=≥-n n S a n 时 ① 又1091+=+n n S a ②…………………………………4分②－①整理得：}{,101n nn a a a 故=+为等比数列，且n a q a a n n n n =∴==-log ,1011 *1}{lg ,1)1(lg lg N n a n n a a n n n ∈=-+=-∴+即是等差数列.…………………6分（2）由（1）知，)1(1321211(3+++⋅+⋅=n n T n ………………………………8分133)1113121211(3+-=+-++-+-=n n n ……………………………………10分,23≥∴n T 依题意有,61),5(41232<<-->m m m 解得 故所求最大正整数m 的值为5.……………………………………………………15分19.解:（１）为了计算前三项321,,a a a 的值，只要在递推式1,)1(2≥-+=n a S n n n 中，对n 取特殊值1,2,3n =，就可以消除解题目标与题设条件之间的差异．由111121,1;a S a a ==-=得由2122222(1),0;a a S a a +==+-=得由31233332(1), 2.a a a S a a ++==+-=得……………………………6分（２）为了求出通项公式，应先消除条件式中的n S ．事实上当2≥n 时，有,)1(2)(211n n n n n n a a S S a -⨯+-=-=--即有 ,)1(2211---⨯+=n n n a a从而 ,)1(22221----⨯+=n n n a a32322(1),n n n a a ---=+⨯-…….2212-=a a接下来，逐步迭代就有122111)1(2)1(2)1(22-----⨯++-⨯+-⨯+=n n n n n a a ].)1(2[323])2(1[2)1(2)]2()2()2[()1(21211211--------+=----=-++-+--+=n n n n n n n n n经验证a 1也满足上式，故知 .1],)1(2[3212≥-+=--n a n n n 其实，将关系式1122(1)n n n a a --=+⨯-和课本习题1n n a ca d -=+作联系，容易想到：这种差异的消除，只要对1122(1)n n n a a --=+⨯-的两边同除以(1)n -，便得1122(1)(1)n n n n a a --=-⋅---． 令,(1)n n na b =-就有122n n b b -=--，于是 1222()33n n b b -+=-+， 这说明数列23n b ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，公比2,q =- 首项11b =-，从而，得 111221()(2)()(2)333n n n b b --+=+⋅-=-⋅-， 即121()(2)(1)33n n n a -+=-⋅--，故有.1],)1(2[3212≥-+=--n a n n n 20．解：（1）设}{n a 的公差为d ，由题意0>d ，且⎩⎨⎧=++=+28)2)(3(52111d a d a d a 2分 11,2a d ==，数列}{n a 的通项公式为12-=n a n ………………4分（2）由题意)11()11)(11(12121n n a ++++≤ 对*N n ∈均成立 …5分 记)11()11)(11(121)(21n a a a n n F ++++= 则1)1(2)1(21)1(4)1(2)32)(12(22)()1(2=++>-++=+++=+n n n n n n n n F n F ()0F n > ，∴(1)()F n F n +>，∴()F n 随n 增大而增大 ……8分 ∴()F n 的最小值为332)1(=F∴a ≤a 的最大值为332 …………………9分 （3）12-=n a n∴在数列}{n b 中，m a 及其前面所有项之和为22)222()]12(531[212-+=++++-++++-m m m m …11分 21562211200811222210112102=-+<<=-+ ，即11102008a a <<12分又10a 在数列}{n b 中的项数为：521221108=++++ … 14分且244388611222008⨯==-， 所以存在正整数964443521=+=m 使得2008=m S。
江苏省启东中学2022-2023学年高三上学期第一次月考数学试卷(含答案)
2022-2023学年度江苏省启东中学高三第一学期第一次月考一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知集合A={1,2}，B={x|x2+mx−2=0}，若A∩B={1}，则B=( )A. {1,3}B. {1}C. {1,−2}D. {−1,1,2}2.若z=−1+i，设ω=zz，则|ω|=( )A. 12B. 1 C. 32D. 23.牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：θ=(θ1−θ0)e−kt+θ0，其中t为时间(单位：min)，θ0为环境温度，θ1为物体初始温度，θ为冷却后温度)，假设在室内温度为20℃的情况下，一桶咖啡由100℃降低到60℃需要20min，则k的值为( )A. ln220B. ln320C. −ln210D. −ln3104.已知平面α和平面β不重合，直线m和n不重合，则α//β的一个充分条件是( )A. m⊂α，n⊂β且m//nB. m⊂α，n⊂β且m//β，n//αC. m⊥α，n⊥β且m//nD. m//α，n//β且m//n5.设f(x)是定义在实数集R上的函数，且满足f(1+x)=f(1−x)，f(2+x)=−f(2−x)，则f(x)是( )A. 奇函数，又是周期函数B. 奇函数，但不是周期函数C. 偶函数，又是周期函数D. 偶函数，但不是周期函数6.若tanθ2=12(0<θ<π)，则sin2θ的值为( )A. 2425B. 1516C. −1516D. −24257.在△ABC中，∠BAC=120∘，AD为∠BAC的平分线，|AB|=2|AC|，则|AB||AD|=( )A. 2B. √3C. 3D. 2√38.已知a=2.22.1，b=2.12.2，c=2.12.1，则( )A. a<c<bB. c<b<aC. b<c<aD. c<a<b二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。
江苏省启东市高一数学上学期期初考试试题
2021－2021学年度第一学期期初考试高一数学试卷【总分值160分考试时间120分钟】一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分．1．不等式x 3 x 2 7的解为．2．分解因式：(2x23x 1)222x233x 1＝．13．函数f(x)＝x＋1＋2－x的定义域是；4．化简：〔式中字母都是正数〕(36a9)2·(63a9)2＝__________．5．f(x)＝3x－b(2≤x≤4，b为常数)的图象过点(2,1)，那么f(x)的值域为________．6．不等式16x1的解为．x17．假定对于x的方程x2＋x＋a＝0的一个根大于1、另一个根小于1，那么实数a的取值范围为．8.会合M {2，3，5}，且M中起码有一个奇数，那么这样的会合共有________个．9.假定会合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B A，那么m的取值范围为．ax－110.会合A＝x x－a<0，且2∈A，3A，那么实数a的取值范围是________．11．f〔x＋1〕＝x3＋1，那么f〔x〕；x x312．函数f(x)＝x3＋x，对随意的m∈[－2，2]，f(mx－2)＋f(x)<0恒建立，那么x的取值范围为____________．13．函数ya x(a0,a1)在区间[1,1]上的最大值与最小值的差是1，那么实数a的值为．14.函数f(x)的定义域为D，假定知足①f(x)在D内是单一函数，②存在[a，，使f(x)在[a，b]上的值域为[a，b]，那么y＝f(x)叫做闭函数，现有f(x)＝x＋2＋k是闭函数，那么k的取值范围是________．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解允许写出文字说明、证明过程或演算步骤．〔本题总分值14分〕x1、x2是一元二次方程4kx24kx k10的两个实数根．〔1〕能否存在实数k，使(2x1x2)(x12x2)3建立？假定存在，求出k的值；假定不存在，请说2明原因．〔2〕求使x1x22的值为整数的实数k的整数值．x2x1〔本题总分值14分〕会合A＝{x|x2－1＝0}，B＝{x|x2－2ax＋b＝0}，假定A∪B＝A，务实数a，b知足的条件．17.〔本题总分值15分〕5x ＋4(1)求函数f (x )＝2x ＋41－x 的值域；(2)求函数f (x )＝x －2的值域．(3) 函数f (x )＝x 2－2x －3,x ∈(－1,4]的值域．18.〔本题总分值15分〕某工厂生产一种机器的固定本钱为5000元，且每生产100台需要增添投入2500元，对销售市场进行检查后得悉，市场对此产品的需求量为每年500台，销售收入函数为：H(x)1＝500x －2(1) x 2，此中x 是产品售出的数目，且 0≤x ≤500. (2)假定x 为年产量，y 为收益，求y ＝f(x)的分析式；当年产量为什么值时，工厂的年收益最大，其最大值是多少？〔本题总分值16分〕函数f(x)ax b是定义在 1,1上的奇函数,且f(1) 2．1 x 22 51〕确立函数f(x)的分析式；2〕用定义证明f(x)在1,1上是增函数；〔3〕解不等式 f(t 1) f(t) 0．20.〔本题总分值16分〕11 3函数f(x)＝a x－1＋2 x(a>0 且a ≠1)．(1) 求函数f(x)的定义域；(2)议论函数f(x)的奇偶性；(3) 求a 的取值范围，使f(x)>0在定义域上恒建立．2021年江苏省启东中学高一年级开学考试数学答案答案：4x32. 答案： x(2x 3)(x 3)(2x 3){x |x ≥－1且x ≠2}a 2． [1,9]3x1或x5a2 6 {m|m ≤3} 13，2∪(2，3] f 〔x 〕＝x 3－3x12. 2－2， 313. 15 15a2或a2914. －，－2415.答案：〔1〕由k ≠0和△≥0k ＜0，∵x 1x 21，x 1x 2k14k∴(2x 1x 2)(x 1 2x 2) 2(x 1 x 2)29x 1x 2k93，∴k9 ，而k ＜0，∴不存在。
江苏省南通市启东中学高一数学上学期第一次月考试卷(含解析)
2015-2016学年江苏省南通市启东中学高一（上）第一次月考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在相应位置上．1．若集合A={x|﹣1＜x＜3}，B={x|2＜x＜4}，则集合A∩B=．2．已知A={﹣1，3，m}，集合B={3，4}，若B⊆A，则实数m= ．3．函数y=定义域．（区间表示）4．若f（1﹣x）=x2，则f（1）= ．5．若集合A={1，2，3}，B={1，3，4}，则A∪B的真子集个数为．6．函数的单调增区间为．7．给定映射f：（x，y）→（x+2y，2x﹣y），则映射f下的对应元素为（3，1），则它原来的元素为．8．若函数的定义域和值域都是[1，b]，则b的值为．9．若集合A={x|kx2+4x+4=0}，x∈R中只有一个元素，则实数k的值为．10．函数f（x）=1﹣的最大值是．11．若函数y=的定义域为R，则实数a的取值范围．12．函数f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且它为单调增函数，若f（1﹣a）+f（1﹣a2）＞0，则a的取值范围是．13．函数f（x）是偶函数，当x∈[0，2]时，f（x）=x﹣1，则不等式f（x）＞0在[﹣2，2]上的解集为．（用区间表示）14．对于实数a和b，定义运算*：，设f（x）=（2x﹣1）*（x ﹣1），若直线y=m与函数y=f（x）恰有三个不同的交点，则m的取值范围．二、解答题（本大题6小题，共90分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．已知集合A={x|x2=1}，B={x|ax=1}．若B⊆A，求实数a的值．16．已知函数f（x）的定义域为D，若存在x0∈D，使等式f（x0）=x0成立，则称x=x0为函数f（x）的不动点，若x=±1均为函数f（x）=的不动点．（1）求a，b的值．（2）求证：f（x）是奇函数．17．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v（单位：千克/年）是养殖密度x （单位：尾/立方米）的函数．当x不超过4（尾/立方米）时，v的值为2（千克/年）；当4≤x≤20时，v是x的一次函数；当x达到20（尾/立方米）时，因缺氧等原因，v的值为0（千克/年）．（1）当0＜x≤20时，求函数v（x）的表达式；（2）当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．18．已知集合A={x|x2﹣2x﹣8＜0}，B={x|x2+2x﹣3＞0}，C={x|x2﹣3ax+2a2＜0}试求实数a 的取值范围使C⊆A∩B．19．已知二次函数f（x）=x2﹣4x﹣4在闭区间[t，t+2]（t∈R）上的最大值记为g（t），求g（t）的表达式，并求出g（t）的最小值．20．已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）=2，任取a，b∈[﹣1，1]，a+b≠0，都有＞0成立．（1）证明函数f（x）在[﹣1，1]上是单调增函数．（2）解不等式f（x）＜f（x2）．（3）若对任意x∈[﹣1，1]，函数f（x）≤2m2﹣2am+3对所有的a∈[0，]恒成立，求m 的取值范围．2015-2016学年江苏省南通市启东中学高一（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在相应位置上．1．若集合A={x|﹣1＜x＜3}，B={x|2＜x＜4}，则集合A∩B={x|2＜x＜3} ．【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={x|﹣1＜x＜3}，B={x|2＜x＜4}，∴A∩B={x|2＜x＜3}．故答案为：{x|2＜x＜3}【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．已知A={﹣1，3，m}，集合B={3，4}，若B⊆A，则实数m= 4 ．【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题．【分析】先由B⊆A知，集合B是集合A的子集，然后利用集合子集的定义得集合A必定含有4求出m即可．【解答】解：已知A={﹣1，3，m}，集合B={3，4}，若B⊆A，即集合B是集合A的子集．则实数m=4．故填：4．【点评】本题主要考查了集合的关系，属于求集合中元素的基础题，也是高考常会考的题型．3．函数y=定义域（﹣2，﹣1）∪（﹣1，+∞）．（区间表示）【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数成立的条件，即可求出函数的定义域．【解答】解：要使函数f（x）有意义，则，即，解得x＞﹣2且x≠﹣1，即函数的定义域为（﹣2，﹣1）∪（﹣1，+∞），故答案为：（﹣2，﹣1）∪（﹣1，+∞）【点评】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．4．若f（1﹣x）=x2，则f（1）= 0 ．【考点】函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数的解析式，进行转化即可．【解答】解：∵f（1﹣x）=x2，∴f（1）=f（1﹣0）=02=0，故答案为：0【点评】本题主要考查函数值的计算，比较基础．5．若集合A={1，2，3}，B={1，3，4}，则A∪B的真子集个数为15 ．【考点】并集及其运算．【专题】集合．【分析】由A与B，求出两集合的并集，找出并集的真子集个数即可．【解答】解：∵A={1，2，3}，B={1，3，4}，∴A∪B={1，2，3，4}，则A∪B的真子集个数为24﹣1=15．故答案为：15【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．6．函数的单调增区间为[，1）和（1，+∞）．【考点】复合函数的单调性．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用换元法结合复合函数单调性之间的关系进行求解即可．【解答】解：由x（1﹣x）≠0得x≠0且x≠1，即函数的定义域为{x|x≠0且x≠1}，设t=x（1﹣x）=﹣x2+x，对称轴为x=，则函数等价y=，由t=x（1﹣x）＞0得0＜x＜1，此时y=为减函数，要求函数f（x）的单调递增区间，则求函数t=x（1﹣x）在0＜x＜1上的递减区间，∵当≤x＜1时，函数t=x（1﹣x）单调递减，此时函数f（x）的单调递增区间为[，1）．由t=x（1﹣x）＜0得x＞1或x＜0，此时y=为减函数，要求函数f（x）的单调递增区间，则求函数t=x（1﹣x）在x＞1或x＜0的递减区间，∵当x＞1时，函数t=x（1﹣x）单调递减，此时函数f（x）的单调递增区间为（1，+∞）．∴函数的单调递增区间为[，1）和（1，+∞）．故答案为：[，1）和（1，+∞）．【点评】本题主要考查函数单调区间的求解，利用换元法，结合复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键．注意要对分母进行讨论．7．给定映射f：（x，y）→（x+2y，2x﹣y），则映射f下的对应元素为（3，1），则它原来的元素为（1，1）．【考点】映射．【专题】函数的性质及应用．【分析】本题已知映射f的对应法则和映射的象，可列出参数x、y相应的关系式，解方程组求出原象，得到本题题结论．【解答】解：∵映射f：（x，y）→（x+2y，2x﹣y），映射f下的对应元素为（3，1），∴，∴．∴（3，1）原来的元素为（1，1）．【点评】本题考查的是映射的对应关系，要正确理解概念，本题运算不大，属于容易题．8．若函数的定义域和值域都是[1，b]，则b的值为 3 ．【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法．【专题】计算题．【分析】先根据f（x）在[1，b]上为增函数，当x=1时，f（x）=1，当x=b时，f（x）=（b ﹣1）2+1=b，可得然后把b代入即可得出答案．【解答】解：∵函数的定义域和值域都是[1，b]，且f（x）在[1，b]上为增函数，∴当x=1时，f（x）=1，当x=b时，f（x）=（b﹣1）2+1=b，解得：b=3或b=1（舍去），∴b的值为3，故答案为：3．【点评】本题考查了函数的值域及函数的定义域的求法，属于基础题，关键是根据f（x）在[1，b]上的单调性求解．9．若集合A={x|kx2+4x+4=0}，x∈R中只有一个元素，则实数k的值为0或1 ．【考点】集合关系中的参数取值问题．【专题】计算题．【分析】集合A表示的是方程的解；讨论当二次项系数为0时是一次方程满足题意；再讨论二次项系数非0时，令判别式等于0即可．【解答】解：当k=0时，A={x|4x+4=0}={﹣1}满足题意当k≠0时，要集合A仅含一个元素需满足△=16﹣16k=0解得k=1故k的值为0；1故答案为：0或1【点评】本题考查解决二次型方程的根的个数问题时需考虑二次项系数为0的情况、考虑判别式的情况．10．函数f（x）=1﹣的最大值是 1 ．【考点】函数的值域．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】由观察法可直接得到函数的最大值．【解答】解：∵≥0，∴1﹣≤1，即函数f（x）=1﹣的最大值是1．故答案为：1．【点评】本题考查了函数的最大值的求法，本题用到了观察法，属于基础题．11．若函数y=的定义域为R，则实数a的取值范围[0，）．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】由题意得不等式组，解出即可．【解答】解：由题意得：，解得：0≤a＜，故答案为：[0，）．【点评】本题考查了二次函数，二次根式的性质，是一道基础题．12．函数f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且它为单调增函数，若f（1﹣a）+f（1﹣a2）＞0，则a的取值范围是0＜a＜1 ．【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】将不等式进行转化，利用函数的单调性和奇偶性，即可得到结论．【解答】解：∵f（x）为奇函数，∴f（1﹣a）+f（1﹣a2）＞0可化为f（1﹣a）＞﹣f（1﹣a2）=f（a2﹣1），又f（x）在定义域（﹣1，1）上递增，∴﹣1＜a2﹣1＜1﹣a＜1，解得0＜a＜1．∴a的取值范围为：0＜a＜1．故答案为：0＜a＜1．【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性的综合应用，考查抽象不等式的求解，考查学生的转化能力．综合考查函数的性质．13．函数f（x）是偶函数，当x∈[0，2]时，f（x）=x﹣1，则不等式f（x）＞0在[﹣2，2]上的解集为[﹣2，﹣1）∪（1，2] ．（用区间表示）【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】先求出当x∈[0，2]时，解集为（1，2]，再由函数的奇偶性求出当x∈[﹣2，0]时，解集为（1，2]，即可求出不等式f（x）＞0在[﹣2，2]上的解集．【解答】解：当x∈[0，2]时，f（x）=x﹣1＞0，即有x＞1，解集为（1，2]，函数f（x）是偶函数，所以图象是对称的，当x∈[﹣2，0]时，解集为[﹣2，﹣1），综上所述，不等式f（x）＞0在[﹣2，2]上的解集为[﹣2，﹣1）∪（1，2]，故答案为：解集为[﹣2，﹣1）∪（1，2]．【点评】本题主要考察了函数奇偶性的性质，属于基础题．14．对于实数a和b，定义运算*：，设f（x）=（2x﹣1）*（x﹣1），若直线y=m与函数y=f（x）恰有三个不同的交点，则m的取值范围（0，）．【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】计算题；作图题；函数的性质及应用．【分析】化简f（x）=，作函数f（x）的图象，利用数形结合的方法求解．【解答】解：当x≤0时，2x﹣1≤x﹣1，f（x）=（2x﹣1）*（x﹣1）=（2x﹣1）2﹣（2x﹣1）（x﹣1）=（2x﹣1）x，当x＞0时，2x﹣1＞x﹣1，f（x）=（2x﹣1）*（x﹣1）=﹣x（x﹣1），故f（x）=，作函数f（x）=的图象如下，结合图象可知，m的取值范围为（0，）；故答案为：（0，）．【点评】本题考查了数形结合的思想的应用及分段函数的化简与运算．二、解答题（本大题6小题，共90分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．已知集合A={x|x2=1}，B={x|ax=1}．若B⊆A，求实数a的值．【考点】集合关系中的参数取值问题．【专题】计算题；分类讨论．【分析】已知B⊆A，分两种情况：①B=∅，②B≠∅，然后再根据子集的定义进行求解；【解答】解：显然集合A={﹣1，1}，对于集合B={x|ax=1}，当a=0时，集合B=∅，满足B⊆A，即a=0；当a≠0时，集合，而B⊆A，则，或，得a=﹣1，或a=1，综上得：实数a的值为﹣1，0，或1．【点评】此题主要考查子集的定义及其性质，此题还用到分类讨论的思想，注意B=∅，这种情况不能漏掉；16．已知函数f（x）的定义域为D，若存在x0∈D，使等式f（x0）=x0成立，则称x=x0为函数f（x）的不动点，若x=±1均为函数f（x）=的不动点．（1）求a，b的值．（2）求证：f（x）是奇函数．【考点】函数奇偶性的判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）直接利用定义把条件转化为f（﹣1）=﹣1，f（1）=1联立即可求a，b的值及f（x）的表达式；（2）根据奇函数的定义进行证明．【解答】解：（1）有题意可得：解得：；（2）由（1）知，，故f（x）=，定义域是R，设任意x，则，f（﹣x）==﹣=﹣f（x），故函数f（x）是奇函数．【点评】本题考查的知识点是函数解析式的求法，函数的奇偶性，属于基础题．17．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v（单位：千克/年）是养殖密度x （单位：尾/立方米）的函数．当x不超过4（尾/立方米）时，v的值为2（千克/年）；当4≤x≤20时，v是x的一次函数；当x达到20（尾/立方米）时，因缺氧等原因，v的值为0（千克/年）．（1）当0＜x≤20时，求函数v（x）的表达式；（2）当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．【考点】函数模型的选择与应用．【专题】应用题；综合题．【分析】（1）由题意：当0＜x≤4时，v（x）=2．当4＜x≤20时，设v（x）=ax+b，v（x）=ax+b在[4，20]是减函数，由已知得，能求出函数v（x）．（2）依题意并由（1），得f（x）=，当0≤x≤4时，f（x）为增函数，由此能求出f max（x）=f（4），由此能求出结果．【解答】解：（1）由题意：当0＜x≤4时，v（x）=2．…当4＜x≤20时，设v（x）=ax+b，显然v（x）=ax+b在[4，20]是减函数，由已知得，解得…故函数v（x）=…（2）依题意并由（1），得f（x）=，…当0≤x≤4时，f（x）为增函数，故f max（x）=f（4）=4×2=8．…当4≤x≤20时，f（x）=﹣=﹣=﹣+，f max（x）=f（10）=12.5．…所以，当0＜x≤20时，f（x）的最大值为12.5．当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值约为12.5千克/立方米．…【点评】本题考查函数表达式的求法，考查函数最大值的求法及其应用，解题时要认真审题，注意函数有生产生活中的实际应用．18．已知集合A={x|x2﹣2x﹣8＜0}，B={x|x2+2x﹣3＞0}，C={x|x2﹣3ax+2a2＜0}试求实数a 的取值范围使C⊆A∩B．【考点】一元二次不等式的解法；集合关系中的参数取值问题．【专题】计算题．【分析】先求出集合A与集合B，从而求出A∩B，讨论a的正负，根据条件C⊆A∩B建立不等关系，解之即可．【解答】解：依题意得：A={x|﹣2＜x＜4}，B={x|x＞1或x＜﹣3，}∴A∩B={x|1＜x＜4}（1）当a=0时，C=Φ，符合C⊆A∩B；（2）当a＞0时，C={x|a＜x＜2a}，要使C⊆A∩B，则，解得：1≤a≤2；（3）当a＜0时，C={x|2a＜x＜a}，∵a＜0，C∩（A∩B）=Φ，∴a＜0不符合题设．∴综合上述得：1≤a≤2或a=0．【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法，以及集合关系中的参数取值问题，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．19．已知二次函数f（x）=x2﹣4x﹣4在闭区间[t，t+2]（t∈R）上的最大值记为g（t），求g（t）的表达式，并求出g（t）的最小值．【考点】二次函数在闭区间上的最值．【专题】函数的性质及应用．【分析】首先不二次函数的一般式转化成顶点式，进一步求出对称轴方程，根据轴固定和区间不固定进行分类讨论，然后确定函数的单调性，进一步求出最大值和最小值．【解答】解：二次函数f（x）=x2﹣4x﹣4=（x﹣2）2﹣8开口方向向上，对称轴方程：x=2，当2＜，即t＞1时，x=t+2距离对称轴的距离比x=t的距离远，所以，当x=t+2时，g（t）=t2﹣8；当2≥，即t≤1时，x=t+2距离对称轴的距离比x=t的距离近，所以，当x=t时，g（t）=t2﹣4t﹣4；综上可得，g（t）=当t≤1时，t=0时，g（t）取小值﹣8，当t＞1时，t=2时，g（t）取小值﹣8，所以g（t）的最小值为﹣8【点评】本题考查的知识点：二次函数一般式与顶点式的转换，对称轴方程，二次函数轴固定与区间不固定之间的讨论，求二次函数的最值．20．已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）=2，任取a，b∈[﹣1，1]，a+b≠0，都有＞0成立．（1）证明函数f（x）在[﹣1，1]上是单调增函数．（2）解不等式f（x）＜f（x2）．（3）若对任意x∈[﹣1，1]，函数f（x）≤2m2﹣2am+3对所有的a∈[0，]恒成立，求m 的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质．【专题】计算题．【分析】（1）根据函数的奇偶性及已知不等式可得差的符号，由单调性的定义可作出判断；（2）根据函数的奇偶性、单调性可去掉不等式中的符号“f”，转化为具体不等式可求，注意函数定义域；（3）对所有x[﹣1，1]，f（x）≤2m2﹣2am+3成立，等价于f（x）max≤2m2﹣2am+3，由单调性易求f（x）max，从而可化为关于a的一次函数，利用一次函数的性质可得关于m的不等式组．【解答】解：（1）证明：任取x1、x2∈[﹣1，1]，且x1＜x2，又f（x）是奇函数，于是f（x1）﹣f（x2）=f（x1）+f（﹣x2）=．据已知＞0，x1﹣x2＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．∴f（x）在[﹣1，1]上是增函数．（2）f（x）＜f（x2），由函数单调性性质知，x＜x2，而﹣1≤x≤1，﹣1≤x2≤1故不等式的解集为{x|﹣1≤x＜0}．（3）对所有x[﹣1，1]，f（x）≤2m2﹣2am+3成立，等价于f（x）max≤2m2﹣2am+3，由f（x）在[﹣1，1]上的单调递增知，f（x）max=f（1）=2，所以2≤2m2﹣2am+3，即0≤2m2﹣2am+1，又对a∈[0，]恒成立，则有，解得m≤或m≥1，故实数m的取值范围为m≤或m≥1．【点评】本题主要考查函数的单调性和奇偶性的综合运用，考查恒成立问题．考查转化思想，在解题时要利用好单调性和奇偶性的定义．。
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江苏省启东中学高一数学第一学期第三次月考试题-苏教版
（指数、对数、指数函数、对数函数，考试时间：120分钟）
一、选择题（每小题5分，共60分）
1．329
8log log 的值是（ ）
A ．32
B ．1
C ．2
3 D ．2 2．化简)25lg 22(lg 25log 5
+的结果是（ ） A ．lg 51 B ．lg5 C ．lg 25
1 D ．lg 25 3．设a,b,c 都是正数，且3a =4b =6c ，那么（ ）
A ．c 1=a 1+b 1
B ．c 2=a 2+b 1
C ．c 1=a 2+b 2
D ．c 2=a 1+b
2 4．满足方程log 2x ·log x 7=log 27的正数x 为（ ）
A ．7
B ．2
C ．7或2
D ．x ≠1的正数
5．已知x=31log 131log 1
5121+，则x 的值属于区间（ ）
A ．（－2，－1）
B ．（1，2）
C ．（－3，－2）
D ．（2，3）
6．当a>1时，在同一坐标系中，函数y=a －x 与y=log a x 的图象是（ ）
7．已知y=log a (2－ax)在[0，1]上是关于x 的减函数，则a 的取值范围是（ ）
A ．（0，1）
B ．（1，2）
C ．（0，2）
D ．[)+∞,2
8．当函数f(x)=2－|x －1|－m 的图象与x 轴有交点时，实数m 的取值范围是（ ）
A ．－1≤m ＜0
B ．0≤m ≤1
C ．0＜m ≤1
D ．m ≥1
9．若0<a<b<1，则下列各式成立的是（ ）
A ．log a b>1
B ．log a b<0
C ．log a b<－1
D ．0<log a b<1
10．已知1<x<d ，令a=2)(log x d ，b=2log x d ，c=2)(log log x d d ，则（ ）
A ．a<b<c
B ．a<c<b
C ．c<a<b
D ．c<b<a
11．若a ∈（0，1），则方程a x =|log a x|的解的个数为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
12．已知2lg(x －2y)=lgx+lgy ，则y
x 的值为（ ） A ．1 B ．4 C ．1或4 D ．
41或4 二、填空题（每小题4分，共16分）
13．如果lg 2x+(lg3+lg5)lgx+lg3·lg5=0的两根为α、β，则αβ=___________。
14．函数y=log a [1－(2
1)x ]，x ∈(0，1)，0<a<1的值域是____________。
15．方程33
131=++-x x
的解是____________。
16．函数f(x)=a x (a>0,a ≠1)在区间[1，2]上的最大值比最小值大
2a ，则a 的值为_____。
三、解答题
17．（本题满分12分）已知lg12=a, lg72=b ，不查求lg1.8。
18．（本题满分12分）已知关于x 的方程2a 2(x
－1)－7·a x －
1+3=0有一个根是2，求a 的值和方程其余的根。
19．（本题满分12分）求y=f(x)=a x －1(a>1)的反函数f －1(x)，并证明2f －1(x)≥f －1(2x)。
20．（本题满分12分）给定函数f(x)=log a |log a x|(a>0，且a ≠1)，当f(x)>0时，求x 的取值范围。
21．（本题满分12分）若关于x 的方程（lgax ）(lgax 2)=4的所有解都大于1，求参数a 的取值范围。
22．（本题满分14分）若a,b 为不等于1的正数，且a<b ，试比较log a
b
1，log a b ，log b b 1的大小。
高一数学第一学期第三次月考解答
一、选择题
1．A 2. B 3. B 4.D 5.D 6.A 7.C 8.C 9.D 10.C 11.C 12.B
二、填空题
13．151 14. (log a 21，+∞) 15.x=－1 16. a=21或2
3 三、解答题
17．解：12=22×3，72=22×32 （……2'）
∵lg12=a ，∴2lg2+lg3=a ， （1） （……4'）
∵lg72=b ，∴3lg2+2lg3=b （2） （……6'）
解（1）、（2）得lg2=2a －b,lg3=2b －3a （……9'）
于是有lg1.8=lg18－1=lg2+2lg3－1=3b －4a －1 （……12'）
18．解：将x=2代入原方程，得2a 2－7a+3=0，解得a=
21，或a=3 （……3'） 当a=21时，原方程为2(21)2x －2－7(2
1)x －1+3=0， 解得x 1=2，x 2=1+21log 3 （……6'）
当a=3时，原方程为2·32x －2－7·3x －
1+3=0， 解得x 1=2，x 2=1－log 32 （……12'）
19．解：由y=a x －1，得x=log a (y+1)(y>－1) （……3'）
故f －
1(x)=log a (x+1)(x>－1) （……6'） 证：f －
1(2x)=log a (2x+1) (x>－2
1)，2f －1(x)=log a (x+1)2 （……9'） ∵(x+1)2=x 2+2x+1≥2x+1>0 (x>－21)，又∵a>1，∴log a (x+1)2≥log a (2x+1) 即2f －1(x)≥f －
1(2x) (……12') 20．解：当a>1时，log a |log a x| >0，|log a x| >1 （……3'）
∴log a x>1，或log a x<－1，得x>a ，或0<x<a
1；（……6'） 当0<a<1时，由log a |log a x| >0，0<|log a x| <1 （……9'） ∴－1<log a x<1，得a<x<a
1，且x ≠1 （……12'） 21．解：原方程化为2lg 2x+3lgalgx+lg 2a －4=0 （……3' ）
由于 x>1，故关于lgx 的方程应有lgx>0，（……6' ）
△=9lg 2a －8(lg 2a －4)≥0
∴ －
23lga>0 （……9'）
2
1(lg 2a －4)>0 →lga<－2 → 0<a<
100
1 （……12'） 22．解：（1）当1<a<b 时，因为log a b 1< log a a 1， log b b
1=－1，log a b>0， ∴log a b 1< log b b
1< log a b （……3'） （2）当0<a<b<1时，因为0> log a b 1> log a a 1=－1，log b b
1=－1， ∴log b b 1< log a b
1< log a b （……6'） （3）当0<a< 1< b 时，且b>a 1时，因为log a b< log a a 1=－1，log b b
1=－1， log a b 1>log a a=1，∴log a b< log b b 1< log a b
1 (……9') （4）当0<a< 1< b ，且b=a 1时，log a b= log b b 1< log a b
1 (……12') （5）当0<a< 1< b ，且b<a 1时，log b b 1< log a b< log a b 1 (……14')。