2018年人教版八年级数学暑期同步提高课程 第六讲 角平分线的性质 讲义(word版 无答案)
人教版数学八年级上册18角的平分线的性质(提高)知识讲解
角的平分线的性质（提高）【学习目标】1．掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质．2．掌握角平分线的判定及角平分线的画法．3. 熟练运用角的平分线的性质解决问题．【要点梳理】要点一、角的平分线的性质角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的性质定理：若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.要点二、角的平分线的判定角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的判定：若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB要点三、角的平分线的尺规作图角平分线的尺规作图（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.（2）分别以D、E为圆心，大于12DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.（3）画射线OC.射线OC即为所求.要点四、三角形角平分线的性质三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三边的距离相等.三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示：△ABC 的内心为1P ，旁心为234,,P P P ，这四个点到△ABC 三边所在直线距离相等.【典型例题】类型一、角的平分线的性质及判定1、（2014秋•新洲区期末）如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角的平分线相交于点P ，连接AP ．（1）求证：PA 平分∠BAC 的外角∠CAM；（2）过点C 作CE⊥AP，E 是垂足，并延长CE 交BM 于点D ．求证：CE=ED ．【思路点拨】（1）过P 作PT⊥BC 于T ，PS⊥AC 于S ，PQ⊥BA 于Q ，根据角平分线性质求出PQ=PS=PT ，根据角平分线性质得出即可；（2）根据ASA 求出△AED≌△AEC 即可．【答案与解析】证明：（1）过P 作PT⊥BC 于T ，PS⊥AC 于S ，PQ⊥BA 于Q ，如图，∵在△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角的平分线相交于点P ，∴PQ=PT，PS=PT ，∴PQ=PS，∴AP 平分∠DAC，即PA 平分∠BAC 的外角∠CAM；（2）∵PA平分∠BAC的外角∠CAM，∴∠DAE=∠CAE，∵CE⊥AP，∴∠AED=∠AEC=90°，在△AED和△AEC中∴△AED≌△AEC，∴CE=ED．【总结升华】本题考查了角平分线性质和全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是能正确作出辅助线并进一步求出PQ=PS和△AED≌△AEC，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．举一反三：【变式】如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC.求证：BE＝CF.【答案】证明：∵DE⊥AE，DF⊥AC，AD是∠BAC的平分线，∴DE＝DF，∠BED＝∠DFC＝90°在Rt△BDE与Rt△CDF中，DB DC DE DF=⎧⎨=⎩，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）∴BE＝CF2、如图，AD 是△ABC 的角平分线，DF ⊥AB ，垂足为F ，DE ＝DG ，△ADG 和△AED 的面积分别为50和39，则△EDF 的面积为：（ ）A.11B.5.5C.7D.3.5【答案】 B ；【解析】解： 过D 点作DH ⊥AC 于H ，∵AD 是△ABC 的角平分线，DF ⊥AB ，DH ⊥AC∴DF ＝DH在Rt △EDF 和Rt △GDH 中DE ＝DG ，DF ＝DH∴Rt △EDF ≌Rt △GDH同理可证Rt △ADF 和Rt △ADH∴AED EDF ADG GDH S =S S S +-△△△△∴EDF ADG AED 2=S S S -△△△＝50－39＝11，∴△EDF 的面积为5.5【总结升华】本题求△EDF 的面积不方便找底和高，利用全等三角形可用已知△ADG 和△AED 的面积来表示△EDF 面积.3、（2016•湖州）如图，AB ∥CD ，BP 和CP 分别平分∠ABC 和∠DCB ，AD 过点P ，且与AB 垂直．若AD=8，则点P 到BC 的距离是（ ）A ．8B ．6C ．4D ．2【思路点拨】过点P 作PE ⊥BC 于E ，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等即可推出P 到BC 的距离.【答案与解析】解：过点P 作PE ⊥BC 于E ，∵AB ∥CD ，PA ⊥AB ，∴PD ⊥CD ，∵BP 和CP 分别平分∠ABC 和∠DCB ，∴PA=PE ，PD=PE ，∴PE=PA=PD ，∵PA +PD=AD=8，∴PA=PD=4，∴PE=4．故选C ．【总结升华】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质并作辅助线是解题的关键．类型二、角的平分线的性质综合应用4、如图，P 为△ABC 的外角平分线上任一点.求证：PB ＋PC ≥AB ＋AC.【思路点拨】在BA 的延长线上取AD ＝AC ，证△PAD ≌△PAC ，从而将四条线段转化到同一个△PBD 中，利用三角形两边之和大于第三边解决问题.【答案与解析】证明：①当点P 与点A 不重合时，在BA 延长线上取一点D ，使AD ＝AC ，连接PD.∵P 为△ABC 的外角平分线上一点，∴∠1＝∠2∵在△PAD 和△PAC 中12PA PA AD AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△PAD ≌△PAC （SAS ），∴PD ＝PC∵在△PBD 中，PB ＋PD ＞BD ，BD ＝AB ＋AD∴PB ＋PC ＞AB ＋AC.②当点P 与点A 重合时，PB ＋PC ＝AB ＋AC.综上，PB ＋PC ≥AB ＋AC.【总结升华】利用角平分线的对称性，在角两边取相同的线段，通过（SAS ）构造全等三角形，从而把分散的线段集中到同一个三角形中.举一反三：【变式】（2014秋•启东市校级期中）如图，四边形ABDC 中，∠D=∠ABD=90゜，点O 为BD 的中点，且OA 平分∠BAC．（1）求证：OC 平分∠ACD；（2）求证：OA⊥OC；（3）求证：AB+CD=AC ．【答案】证明：（1）过点O作OE⊥AC于E，∵∠ABD=90゜，OA平分∠BAC，∴OB=OE，∵点O为BD的中点，∴OB=OD，∴OE=OD，∴OC平分∠ACD；（2）在Rt△ABO和Rt△AEO中，，∴Rt△ABO≌Rt△AEO（HL），∴∠AOB=∠AOE，同理求出∠COD=∠COE，∴∠AOC=∠AOE+∠COE=×180°=90°，∴OA⊥OC；（3）∵Rt△ABO≌Rt△AEO，∴AB=AE，同理可得CD=CE，∵AC=AE+CE，∴AB+CD=AC．。
2018年人教版八年级数学暑期同步提高课程第六讲角平分线的性质讲义(word版无答案)
2018 年人教版八年级数学暑期同步提升课程第六讲角均分线的性质讲义（word版无答案）第六讲角均分线的性质教课目的：1.学会用尺规作图，作一个角等于已知角，作已知角的角均分线2.能利用角均分线的性质解决简单问题3.角均分线的性质及判断定理的运用要点难点：1.角均分线的性质的运用与逆用。
2.利用角均分线结构全等三角形。
3.持续学习证明及综合法证明的格式。
知识导航：1.角均分线的画法（ 1）已知∠ AOB，求作∠ AOB 的角均分线：AM①以 O 为圆心，适合长为半径画弧，交OA 于 M，交 OB 于 N。
C1②分别以 M， N 为圆心，以大于MN 长为半径作弧，在∠AOB 的内部两弧交2O N B于点 C。
③过 O、C 两点作射线 OC，射线 OC 就是所求角的角均分线。
2．角均分线的性质及判断（1）角均分线的性质：角的均分线上的点到角的两边的距离相等。
（2）角均分线的判断：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角均分线上。
3．三角形的角均分线的性质（1）三角形的三条角均分线交于一点，这点到三边的距离相等。
（2）三角形两个外角的角均分线也交于一点，这点到三边所在的直线的距离相等。
（3）三角形外角均分线交点共有三个，因此到三角形三遍所在直线距离相等的点有 4 个。
考点 / 易错点 1角均分线是一种对称模型，一般状况下，有以下三种作协助线的方式：1．由角均分线上的一点向角的两边作垂线；2．过角均分线上的一点作角均分线的垂线，进而形成等腰三角形；1 / 83． OA=OB，这类对称的图形应用得也较为广泛。
典型例题：3【例 1】尺规作图：请在图上作一个∠AOC，使其是已知∠AOB 的倍．（要求：写出已知、求作，保存作图2印迹，在所作图中标上必需的字母，不写作法和结论)已知：求作：【答案】已知： AOB ．求作： AOC ，使AOC 3AOB ．作图如右上所示：2【分析】第一画出∠ AOB 的角均分线，再以OB 为边，画∠ BOC=∠ BOF．【例 2】如图，在Rt△ABC 中，∠ C=90，°BD 均分∠ ABC 交 AC 于点 D， DE⊥ AB 于 E，若 AC=3 cm，则 AD +DE 为（）A． 3cm B． 4cmC． 2cm D．没法确立【答案】 A．【分析】∵ BD 均分∠ ABC，∠ C=90 °，DE ⊥AB，∴DE =DC ，∴ AD+DE=AD+DC=AC，∵ AC=3cm，∴ AD +DE =3cm．【例 3】如图，已知四边形 ABCD 中， AD∥BC，若∠ DAB 的均分线 AE 交 CD 于 E，连结 BE，且 BE 恰巧平分∠ ABC，则 AB 的长与 AD+BC 的大小关系是（）A． AB＞AD +BC B． AB＜ AD+BC C． AB=AD+BC D ．没法确立2【答案】 C．【分析】解法 1：在 AB 上截取 AF=AD ，连结 EF ，易证 AE ⊥BE，△ ADE ≌△ AFE（ SAS），因此∠ 1=∠2，又∠2+ ∠ 4=90°，∠ 1+∠ 3=90°，因此∠ 3=∠ 4，因此可证△ BCE≌△ BFE，因此 BC=BF，因此 AB=AF+BF=AD +BC；解法 2：如图，延伸 AE 交 BC 延伸线于 F ，∵ AD ∥ CB，∴∠ CBA+∠ BAD=180°，∵ BE 均分∠ CBA， AE 均分∠BAD ，∴∠ EBA+∠ BAE=90 °，∴∠ BEA=180°﹣ 90°=90°，∴ BE⊥ AF，由△ ABE≌△ FBE（ ASA），可得 BA=BF，AE=FE ，于是可证△ ADE≌△ FCE（ ASA），因此 AD=CF ，因此 AB=BC+CF =BC+AD ．【例 4】如图，在△ABC 中，∠ C=90，°AC=14， BD 均分∠ ABC，交 AC 于 D， AD =10，则点 D 到 AB 的距离为（）A．10B．4C． 7D． 6【答案】 B．【分析】解：如图，过点 D 作 DE⊥AB 于 E，∵ AC=14， AD=10 ，∴ CD =AC﹣AD =14 ﹣10=4，∵BD 均分∠ ABC，∠ C=90°，∴ DE =CD=4．【例 5】如图，在△ ABC 中， AC=CB，∠ C=90°， AD 是∠ BAC 的均分线，∠ E=90°，那么 AD 与 BE 的长度关系为。
人教版八年级数学课件-角的平分线的性质
1 2
O
C P EB
∴ △OPD≌△OPE(AAS)
∴PD＝PE（全等三角形對應邊相等）
*
角平分線的性質
定理：角平分線上的點到角的兩邊的距離相等.
用符號語言表示為：
A D
∵∠1= ∠2 PD ⊥OA ，PE ⊥OB
∴PD=PE.
C
12
P
O
EB
*
如圖，要在S區建一個貿易市場，使它到鐵路和公路 距離相等， 離公路與鐵路交叉處500米，這個集貿市場 應建在何處？（比例尺為1︰20000）
s
*
【解析】 作夾角的角平分線OC，截取OD=2.5cm ,D即為所求. O
s
D C
*
反過來，到一個角的兩邊的距離相等的點是 否一定在這個角的平分線上呢？ 已知：如圖,QD⊥OA，QE⊥OB， 點D、E為垂足，QD＝QE． 求證：點Q在∠AOB的平分線上．
*
證明: ∵ QD⊥OA，QE⊥OB ∴ ∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直的定義） 在Rt△QDO和Rt△QEO中 QO＝QO（公共邊） QD=QE ∴ Rt△QDO≌Rt△QEO（HL） ∴ ∠ QOD＝∠QOE ∴點Q在∠AOB的平分線上
O ∵△OMC≌△ONC(SSS) ∴∠AOC=∠BOC 即OC 是∠ＡＯＢ的角平分線.
A M
N
C B
*
將∠AOB對折，再折出一個直角三角形（使第一條折 痕為斜邊），然後展開，觀察兩次折疊形成的三條折痕， 你能得出什麼結論？
猜想:角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.
*
已知：OC平分∠AOB，點P在OC上，PD⊥OA於D，
12.3 角的平分線的性質
*
1.在探究作角平分線的方法和角平分線性質的過程中，掌握 角平分線的作法和角平分線的性質，發展數學直覺. 2.提高綜合運用三角形全等的有關知識的解決能力；掌握簡 單的角平分線在生產、生活中的應用.
人教版八年级数学上《角的平分线的性质》知识全解
《角的平分线的性质》知识全解课标要求：理解并掌握角平分线的性质及判定知识结构：内容解析：前面已经学过角平分线的尺规作图，这为本节课学习角平分线的性质做好了铺垫；本章前面学习的全等三角形的有关知识，为本节课证明角平分线的性质创造了条件；本节课对角平分线性质的探究为今后学习图形对称、等腰三角形奠定了基础；对角平分线性质的证明为学生学会思考问题，注重书写格式，清楚地表达思考的过程提供了方法，使学生体会证明的必要性；角平分线性质的应用为证明线段相等、角相等开辟了新的途径。
1、尺规作图画角平分线（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于M，交OB于N．（2）分别以M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C．（3）画射线OC．射线OC即为所求．2、角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．图形表示：若CD平分∠ADB,点P是CD上一点PE⊥AD 于点E，PF⊥BD于点F，则PE=PF．3、角的平分线的性质推论：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．图形表示：若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE=PF，则PD平分∠ADB4、证明命题的步骤：（1）明确命题中的已知和求证；（2）根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程．重点、难点：本节课重点是：掌握角平分线的尺规作图，理解角的平分线的性质并能初步运用.难点是：（1）对角平分线性质定理中点到角两边的距离的正确理解；（2）对于性质定理的运用（学生习惯找三角形全等的方法解决问题而不注重利用刚学过的定理来解决，结果相当于对定理的重复证明）教法导引：1）利用多媒体动态显示角平分线性质的本质内容，在学生脑海中加深印象，从而对性质定理正确使用；（2）通过对比教学让学生选择简单的方法解决问题；（3）通过多媒体创设具有启发性的问题情境，使学生在积极的思维状态中进行学习.学法建议：在学习过程中，应在理解的基础上熟记角平分线的性质及判定，抓住关键词是“平分角”“到角的两边的距离相等”，解题中出现相关条件时就容易想到角平分线的性质这个知识点．。
人教版八年级上册数学课件：角平分线的性质
2、如图， ∵ DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴ BD =CD ，( 在角的平分线上的点到这个角的两边的
×
距离相等。)
A
B
D
C
人教版八年级上册数学课件：角平分 线的性 质
人教版八年级上册数学课件：角平分 线的性 质
3、∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴ DB = DC ，（
作角平分线是 最基本的尺规作 图,大家一定要 掌握噢!
人教版八年级上册数学课件：角平分 线的性 质
人教版八年级上册数学课件：角平分 线的性 质
想一想： 为什么OC是角平分线呢？
已知：OM=ON，MC=NC。
求证：OC平分∠AOB。
A
证明：在△OMC和△ONC中， Ｃ
OM=ON，
MC=NC，
OC=OC，
人教版八年级上册数学课件：角平分 线的性 质
拓展
例1：已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线， 且BD=CD,DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分别为E,F. 求证：EB=FC.
A 证明： ∵AD是∠BAC的角平分线， DE⊥AB, DF⊥AC，
∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °. E
提炼图形
已知：.AD=AB，DC=BC 求证：AC平分∠DAB
证明： 在△ACD和△ACB中
12
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
AD=AB（已知） DC=BC（已知）
CA=CA（公共边）
∴ △ACD≌ △ACB（SSS）
∴∠1=∠2（全等三角形的对应边 相等）
∴AC平分∠DAB（角平分线的定 义）
人教版八年级上册数学课件：角平分 线的性 质
F
在Rt△BDE 和 Rt△CDF中，
角的平分线的性质课件人教版数学八年级上册
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
情景导入 （1）画一画：在纸上任意画一个角，用剪刀剪下，用折纸的方法， 如何确定角的平分线?
（1）在准备好的角上标好字母A，O，B；
（2）把∠ AOB对折，使得这个角得两边重合；
A
（3）折痕就是∠AOB的角平分线.
O
B
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
情景导入
（2）下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC.将点A放在 角的定点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是 这个角的平分线.你能说明它的道理吗?
分析
在△ACD和△ACB中
AD=AB，DC=BC AC=AC
△ACD≌△ACB
∠DAC=∠BAC
AC平分∠BAD
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
三角形的三条角平分线交于一点.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
典型例题
例2：如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相 等，并且离公路与铁路的交叉处500m.这个集贸市场应建于何处（ 在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）?
A
C
D
B
M
S
N
AB：500=1： 20 000 AB=
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
典型例题
要在S区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交
叉处500米，应建在何处？（比例尺 1∶20 000）
在Rt△ABC与Rt△ABD中：
A
AB=AB
C
D
BC=BD ∴ Rt△ABC ≌ Rt△ABD（HL）．
角平分线的性质PPT课件
PD⊥OA，PE⊥OB ，
∴PD=PE．
应用这个性质所具备的条件：
（1）角的平分线；
（2）点在该平分线上；
（3）垂直距离.
定理的作用：证明两条线段相等.
证明的书写格式：
∵OP 是∠AOB的平分线，
PD⊥OA,PE⊥OB，
∴PD = PE
三者缺一不可，否
则不可证明两线段
相等
5.会用角的平分线的判定解决实际问题.（难点）
6.熟练掌握角的平分线的性质和角的平分线的判定的综合运用.
情景导入
旧知回顾
判定三角形全
SSS：三边分别相等的两个三角形全等
等的基本事实
SAS：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
有哪些？
ASA：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等
AAS：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个
求证：BD＝DF.
点拨：要证BD＝DF，可考虑证两线段所在
的△BDE和△FDC全等，两个三角形中已有
一角和一边相等，只要再证DE＝CD即可，
这可由AD平分∠CAB及垂直条件证得．
证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，
∠C＝90°，∴DE＝DC.
在△BDE和△FDC中，
DE=CD ,
∠DEB=∠C,
在Rt△BDE 和 Rt△CDF中，
DE=DF，
BD=CD，
∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL).
∴ EB=FC.
F
E
B
D
C
新知探究
2.角平分线的性质的应用
如图，在Rt △ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC
于点P，若PC＝4，AB=14.
人教版八年级上册数学《角的平分线的性质》全等三角形培优说课教学复习课件
拓展点一
拓展点二
拓展点三
证明∵∠B=90°,
∴BD⊥AB.
∵AD为∠BAC的平分线,且DF⊥AC,
= ,
∴
DB=DF.
在
Rt△BDE 和 Rt△FDC 中,
= ,
∴Rt△BDE≌Rt△FDC(HL).
∴BE=CF.
拓展点一
拓展点二
拓展点三
(2)证明一个几何命题的一般步骤:
①明确命题中的已知和求证;
②根据题意,画出图形,并用数学符号表示已知和求证;
③经过分析,找出由已知推出要证结论的途径,写出证明过程.
知识点一
知识点二
知识点三
名师解读 (1)用几何符号语言表示:如图,∵点P在∠AOB的平分线上,且
PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E,∴PD=PE.
BC=DC.将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两
边放下，画一条射线AE，AE就是∠DAB的平分线.
你能说明它的道理吗?
思考： (1)角平分仪由什么构成？
E
(2)角平分仪如何使用？
(3) ∠ DAC和∠ BAC相等
的依据是什么？
B
E
如图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC.将点A放
在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，画一条射线AE，
由此PD与PE不相等.
探究三：用角的平分线的性质解决简单问题
例1 (3)如图, △ ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC
，CD＝2cm，则点D到AB的距离为 2 cm．B
E
△
练习：如图,
ABC中，∠C＝90°，BD平
分∠ABC，DE⊥AB，垂足为点E，AC=7cm
， 则AD+DE= 7 cm.
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2018年人教版八年级数学暑期同步提高课程 第六讲 角平分线的性质 讲义（word 版 无答案）1 / 8第六讲角平分线的性质教学目标：1.学会用尺规作图，作一个角等于已知角，作已知角的角平分线2.能利用角平分线的性质解决简单问题3.角平分线的性质及判定定理的运用重点难点：1.角平分线的性质的运用与逆用。
2.利用角平分线构造全等三角形。
3.继续学习证明及综合法证明的格式。
知识导航：1.角平分线的画法（1）已知∠AOB ，求作∠AOB 的角平分线： ①以 O 为圆心，适当长为半径画弧，交 OA 于 M ，交 OB 于 N 。
②分别以 M ，N 为圆心，以大于 12 MN 长为半径作弧，在∠AOB 的内部两弧交 于点 C 。
③过 O 、C 两点作射线 OC ，射线 OC 就是所求角的角平分线。
2．角平分线的性质及判定（1）角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
（2）角平分线的判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平分线上。
3．三角形的角平分线的性质（1）三角形的三条角平分线交于一点，这点到三边的距离相等。
（2）三角形两个外角的角平分线也交于一点，这点到三边所在的直线的距离相等。
（3）三角形外角平分线交点共有三个，所以到三角形三遍所在直线距离相等的点有 4 个。
考点/易错点 1角平分线是一种对称模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式：1． 由角平分线上的一点向角的两边作垂线；2． 过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形；23． OA =OB ，这种对称的图形应用得也较为普遍。
典型例题：【例 1】尺规作图：请在图上作一个∠AOC ，使其是已知∠AOB 的32倍．（要求：写出已知、求作，保留作图 痕迹，在所作图中标上必要的字母，不写作法和结论)已知：求作：【答案】已知： ∠AOB ．求作： ∠AOC ，使 ∠AOC =32∠AOB ．作图如右上所示： 【解析】首先画出∠AOB 的角平分线，再以 OB 为边，画∠BOC =∠BOF ．【例 2】如图，在 Rt △ABC 中，∠C =90°，BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D ，DE⊥AB 于 E ，若 AC =3cm ，则 AD +DE 为（）A ． 3cmB ． 4cmC ． 2cmD ． 无法确定【答案】A ．【解析】∵BD 平分∠ABC ，∠C =90°，DE ⊥AB ，∴DE =DC ，∴AD +DE =AD +DC =AC ，∵AC =3cm ，∴AD +DE =3cm ．【例 3】如图，已知四边形 ABCD 中，AD ∥BC ，若∠DAB 的平分线 AE 交 CD 于 E ，连接 BE ，且 BE 恰好平 分∠ABC ，则 AB 的长与 AD +BC 的大小关系是（） A ． AB ＞AD +BCB ． AB ＜AD +BCC ． AB =AD +BC D ． 无法确定【答案】C．【解析】解法1：在AB 上截取AF=AD，连接EF，易证AE⊥BE，△ADE≌△AFE（SAS），所以∠1=∠2，又∠2+∠4=90°，∠1+∠3=90°，所以∠3=∠4，所以可证△BCE≌△BFE，所以BC=BF，所以AB=AF+BF=AD+BC；解法2：如图，延长AE 交BC 延长线于F，∵AD∥CB，∴∠CBA+∠BAD=180°，∵BE 平分∠CBA，AE 平分∠BAD，∴∠EBA+∠BAE=90°，∴∠BEA=180°﹣90°=90°，∴BE⊥AF，由△ABE≌△FBE（ASA），可得BA=BF，AE=FE，于是可证△ADE≌△FCE（ASA），所以AD=CF，所以AB=BC+CF=BC+AD．【例4】如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=14，BD 平分∠ABC，交AC 于D，AD=10，则点D 到AB 的距离为（）A．10 B．4 C．7 D．6【答案】B．【解析】解：如图，过点D 作DE⊥AB 于E，∵AC=14，AD=10，∴CD=AC﹣AD=14﹣10=4，∵BD 平分∠ABC，∠C=90°，∴DE=CD=4．【例5】如图，在△ABC 中，AC=CB，∠C=90°，AD 是∠BAC 的平分线，∠E=90°，那么AD 与BE 的长度关系为。
362018年人教版八年级数学暑期同步提高课程 第六讲 角平分线的性质 讲义（word 版 无答案）37 / 8⎨ ⎩ ⎨ ⎩【答案】AD =2BE【解析】理由是：延长 AC ，BE 交于 O ，∵∠C =∠AEB =90°，∠CDA =∠EDB ，∴由三角形内角和定理得：∠1=∠3，∵∠ACD =∠BCO =90°，⎧∠1 = ∠3 在△ACD 和△BCO 中， ⎪ AC = BC ⎪∠ACD = ∠BCO ，∴△ACD ≌△BCO （ASA ），∴AD =BO ，∵AD 平分∠CAB ，∴∠1=∠2，∵∠AEB =∠AEO =90°，⎧∠1 = ∠2 在△AEO 和△AEB 中， ⎪ AE = AE ⎪∠AEO = ∠AEB ，∴△AEO ≌△AEB （ASA ），∴OE =BE ，∴BO =2BE ，∴AD =2BE ，【例 6】为了加快灾后重建的步伐，我市某镇要在三条公路围成的一块平地上修建一个砂石场，如图，要使这个砂石场到三条公路的距离相等，则可供选择的地址（）A ． 仅有一处B ． 有四处C ． 有七处D ． 有无数处【答案】 A ．【解析】利用角平分线性质定理：角的平分线上的点，到这个角的两边的距离相等．又要求砂石场建在三条 公路围成的一块平地上，所以是三个内角平分线的交点一个，外角的平分线的交点三个．满足条件的点有一 个，三角形内部：三个内角平分线交点一个．三角形外部，外角的角平分线三个（不合题意）．38课堂检测：1. 下列结论错误的是（ ）A ．到已知角两边距离相等的点在同一直线上B ．一射线上有一点到已知角两边的距离相等这条射线平分已知角C ．到角两边距离相等的一个点与这个角的顶点的连线不平分这个角D ．角内有两点各自到角的两边的距离相等，经过这两点的直线平分这个角2.如图，∠AOB 和一条定长线段 a ，在∠AOB 内找一点 P ，使 P 到 OA ，OB 的距离都等于 a ，作法如下：（1）作 OB 的垂线段 NH ，使 NH =a ，H 为垂足．（2）过 N 作 NM ∥OB ．（3）作∠AOB 的平分线 OP ，与 NM 交于 P ．（4）点 P 即为所求． 其中（3）的依据是（） A ． 平行线之间的距离处处相等B ． 到角的两边距离相等的点在角的平分线上C ． 角的平分线上的点到角的两边的距离相等D ． 到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上3.如图，△ ABC 的三边 AB ，BC ，CA 长分别是 20，30，40，其三条角平分线将△ ABC 分为三个三角形，则 S △ ABO ：S △ BCO ：S △ CAO 等于（ ）A ．1：1：1B ．1：2：3C ．2：3：4D ．3：4：54. 如图，AD 、AE 分别是△ABC 中∠A 内角的平分线和外角平分线，则∠DAE =度．5.已知线段 a 和直角∠α：（1）用尺规作△ ABC ，使得∠C =∠α，BC =a ，AB =2a （保留作图痕迹，不写画法）；（2）用尺规作△ ABC 的中线 CD 和角平分线 CE （保留作图痕迹，不写画法）；2018年人教版八年级数学暑期同步提高课程 第六讲 角平分线的性质 讲义（word 版 无答案） 39 / 8课后作业：1.如图，已知点 P 到 AE 、AD 、BC 的距离相等，下列说法：①点 P 在∠BAC 的平分线上；②点 P 在∠CBE 的平分线上；③点 P 在∠BCD 的平分线上；④点 P 在∠BAC ，∠CBE ，∠BCD 的平分线的交点上．其中正确的是（ ）A ．①②③④B ．①②③C ．④D ．②③2.两条平行线 a 、b 被第三条直线 c 所截得的同旁内角的平分线的交点到直线 c 的距离是 2cm ，则 a 、b 之间 的距离是（ ）A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．6cm3.如图，AD 是△ ABC 的角平分线，若 AB =10，AC =8，则 S △ ABD ：S △ ADC =（ ）A ．1：1B ．4：5C ．5：4D ．16：254.已知 AB ∥CD ，AD ⊥DC ，AE ⊥BC 于点 E ，∠DAC =35°，AD =AE ，∠B 为（）A ．50°B ．60°C ．70°D ．80°5．如图，G 是线段 AB 上一点，AC 和 DG 相交于点 E ．请先作出∠ABC 的平分线BF ，交 AC 于点 F ；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法与证明）然后证明当：AD ∥BC ，AD =BC ，∠ABC =2∠ADG 时，DE =BF ．6.如图①，OP 是∠AOB 的平分线，请你利用该图形画一对以 OP 所在直线为对称轴的全等三角形．请你参考 这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图②，在△ABC 中，∠ACB 是直角，∠B =60°，AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，AD 、CE相交于点 F ．请你判断并写出 FE 与 FD 之间的数量关系；（2）如图③，在△ABC 中，如果∠ACB 不是直角，而（1）中的其它条件不变，请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．7.如图，△ABC 中，D 为BC 的中点，DE⊥BC 交∠BAC 的平分线AE 于点E，EF⊥AB 于F，EG⊥AG 交AC 的延长线于G．求证：BF=CG．8.如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CE⊥AB 于点E，点D 是AB 上一点，且AD=AC，作DG∥BC，DG 交AC 于点G，交CE 于点F，求证：（1）AF 平分∠CAB；（2）FC=FD．40。