化归思想在高中数学解题过程中的应用分析
高中数学解题中化归思想的运用
高中数学解题中化归思想的运用化归思想是高中数学解题过程中的一种重要思维方法。
它通过转化问题的表达方式，简化问题的结构，从而找到更容易理解和解决的方法。
化归思想的运用，可以大大提高解题的效率和准确性。
下面我将以2000字的篇幅，详细介绍化归思想在高中数学解题中的运用。
一、化归思想的基本概念和原理化归思想是指将一个复杂的问题转化为一个简单的问题，从而易于理解和解决。
化归有两种常见的表现形式：一是通过等价变换，将问题转化为同类问题或更简单的问题；二是通过数值代换，将问题转化为已知的问题。
化归思想的基本原理是将复杂问题拆解成简单问题，并找到各个简单问题之间的联系和规律，从而解决复杂问题。
化归思想在高中数学解题中的应用非常广泛，以下列举几个典型的例子来说明。
1. 方程求解化归思想在方程求解中经常被使用。
对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，如果我们能将其化为一个平方差的形式，例如(x+m)^2+n=0，那么就可以轻松求解出x的值。
同样，对于其他类型的方程，也可以使用化归思想，将其转化为已知的方程类型，从而求得解的值。
2. 几何图形的性质证明在几何学中，化归思想可以用于证明几何图形的性质。
对于一个三角形ABC，要证明三边的中线交于一点，可以将三边的中线延长至交于一点D，然后使用向量运算或者相似三角形的性质，证明BD=DC，从而得出结论。
3. 数列求和在数列求和中，化归思想也经常被使用。
当要求解一个等差数列的前n项和时，可以通过化归将其转化为求解一个等差数列的平方和的问题，从而得到更简单的解法。
同样，在等比数列的求和中也可以使用化归思想，将其转化为求解一个等比数列的前n项和的问题。
4. 不等式的证明在不等式证明中，化归思想也可以起到很好的作用。
要证明一个不等式的真假性，可以将其化为一个等价的不等式，然后根据该不等式的性质，通过化归运算得到结论。
同样，在不等式的证明中，也可以使用化归思想将复杂的不等式化为简单的不等式，从而更容易进行证明。
化归思想在高中数学解题过程中的应用分析
化归思想在高中数学解题过程中的应用分析高中数学是学生学习数理知识的关键阶段，也是培养学生思维能力和逻辑推理能力的重要阶段。
在数学解题过程中，化归思想起着至关重要的作用。
化归思想是一种将问题进行简化、归纳和类比的思维方式，它可以帮助学生在解题过程中找到规律，做到举一反三，提高求解问题的能力。
本文将从化归思想的概念、在高中数学解题中的应用以及化归思想对学生数学思维的培养等方面进行分析和探讨。
一、化归思想的概念化归思想是指将一个有困难的问题转化成为一个相对简单的问题，然后利用简单问题的解题方法解答复杂问题的一种思维方式。
化归思想是数学思维中的一种重要方法，它可以帮助学生把握问题的本质，从而更好地理解和解决问题。
化归思想的核心是找到问题之间的联系和规律，将复杂的问题简化成易解的问题，从而为解决问题提供了思维途径和方法。
化归思想是高中数学解题中十分重要的一环。
在学习数学的过程中，学生们往往会遇到各种各样的难题，有些问题看似复杂，但经过化归思想的分析和转化，往往可以找到解题的新思路，大大提高解题效率。
1. 几何证明在高中数学的几何学中，几何证明是一个十分重要的内容。
几何证明需要学生具备严密的逻辑推理能力和丰富的几何知识。
很多几何证明问题在表面上看似复杂，但通过化归思想可以将其简化成一些基本的几何知识和定理，从而能够更好地解决问题。
在证明一个定理时，学生可以利用化归思想将大问题分解成一系列小问题，逐个地进行推导和证明，从而逐步解决整个问题。
这种分而治之的思维方式，有助于学生更好地理解和掌握几何知识，提高学生的证明能力。
2. 代数方程解题在高中数学学习中，代数方程是一个重要的内容，学生需要具备解方程的能力。
有些代数方程问题看似复杂，需要学生有一定的数学思维和技巧才能解决。
在解决代数方程问题时，学生可以运用化归思想将问题简化，找出方程中的规律和特点，从而更好地解题。
对于一个复杂的代数方程问题，学生可以尝试将其化简成一系列简单的代数方程，逐步解决每一个小问题，最终得到整体的解答。
高中数学教学中化归思想的应用案例分析(北师大版)
高中数学教学中化归思想的应用案例分析（北师大版）引言：在高中数学教学中，化归思想是一个非常重要的数学思想。
化归思想即将一个问题转化为另一个易于解决的问题，通常是通过变形和等价转化来简化问题的解决过程。
在北师大版高中数学教材中，化归思想在各个章节和各种类型的题目中都有所体现，并且在解题过程中起到了积极的作用。
本文将以北师大版高中数学教材中的一些典型案例为例，分析化归思想在高中数学教学中的应用，并探讨化归思想对学生数学能力培养的作用。
一、化归思想在求解多项式函数的零点问题中的应用在高中数学中，求解多项式函数的零点是一个常见的问题。
化归思想在这个问题中发挥了重要的作用。
在解决一个二次多项式函数的零点问题时，可以利用化归思想将二次多项式函数表示成完全平方式，然后利用完全平方式的性质来求解零点。
设f(x)=ax^2+bx+c，其中a≠0，可以利用化归思想将f(x)表示成完全平方式，即f(x)=a(x+m)^2+n，其中m=-b/(2a)，n=c-(b^2/(4a))。
这样，求解零点问题就变成了求解完全平方式的零点问题，进而简化了求解过程。
二、化归思想在解析几何中的应用在高中数学教学中，解析几何是一个重要的内容。
化归思想在解析几何中的应用也是非常广泛的。
在解决平面几何问题时，可以利用化归思想将一些复杂的几何问题转化为简单的代数问题，然后通过代数计算来解决问题。
在求解一个三角形的面积时，可以利用向量等代数方法将面积表示成某些线段的函数，然后通过计算这些线段的长度来求解面积，这样可以简化问题的解决过程，同时也可以提高学生的计算能力。
另一个例子是在解决数学归纳法的问题时，也可以利用化归思想将一个复杂的归纳问题转化为一个简单的归纳问题。
在证明数学归纳法的基本性质时，可以利用化归思想将一个复杂的数学归纳问题转化为一个简单的数学归纳问题，然后通过简单的数学归纳来证明原问题。
化归思想在高中数学函数学习中的运用
化归思想在高中数学函数学习中的运用
化归思想是高中数学函数学习中的重要内容之一，通过运用化归思想，可以将复杂的问题化简为简单的形式，从而更容易解决问题。
在高中数学的函数学习中，化归思想主要运用在以下几个方面。
在函数的定义和性质的学习中，化归思想可以用来证明和推导函数的一些重要性质。
可以通过化归思想证明函数的奇偶性、周期性等性质，从而更深入地了解函数的特点和性质。
化归思想还可以用来求解复合函数的值域和定义域等问题，通过化归的方法，将复杂的函数化简为简单的形式，从而更易解决问题。
化归思想在函数的图像的研究中也起到了关键作用。
通过将函数进行化归，可以将其图像与标准函数进行比较，从而更加清晰地了解函数的性质和变化规律。
通过将函数进行平移、伸缩和翻转等变换，可以研究函数的平移、伸缩和翻转对其图像的影响，从而进一步深入地理解函数的性质。
在函数的应用问题中，化归思想也发挥着重要的作用。
通过将复杂的实际问题进行化归，可以将其化简为简单的数学模型，从而更轻松地求解实际问题。
在最优化问题中，可以通过将目标函数进行化归，将约束条件进行化简，从而更容易求解最优解。
化归思想在高中数学教学中的应用
化归思想在高中数学教学中的应用发布时间：2022-11-16T03:43:51.867Z 来源：《中小学教育》2022年7月第14期作者：陈礼波[导读] 化归的思想在数学学科中作为一种非常有效重要的解题思路，还是在教学中应当积极应用的基本数学思维方式。
陈礼波湖南省娄底市双峰县第一中学摘要：化归的思想在数学学科中作为一种非常有效重要的解题思路，还是在教学中应当积极应用的基本数学思维方式。
学生在学习高中阶段的数学知识时，难免会遇到不同的问题和难关，高中数学教师针对这一情况除了要让学生牢固掌握解固定模式数学题的方法，更应该通过化归思想的引入将解决数学问题有效方法向学生进行传授，进而为其后续学习奠定坚实的基础。
本文对化归思想概述先进行了分析，随后提出了几点化归思想在数学教学中的应用路径。
关键词：化归思想；高中数学教学；应用策略引言：在核心素养的背景下，数学教师在组织开展课堂教学时，不应仅仅只进行数学知识、解题技能的讲授，还应对学生数学思想进行培养和锻炼，并尽可能将其渗透到课堂整体的过程和环节之中。
在数学课堂的引入并应用化归思想，能够让学生在学习数学的过程中对自身学习的效率以及水平进行有效的提高，除此之外对其数学思维进行培养，以实现学科核心素养的最终养成目标。
一、化归思想相关概述化归思想指的是，把一个较难、繁杂的问题转化得更容易、更简便、更简单解决的问题，其中的“化归”即是一种十分重要的解题思想，又是最基本的数学思维策略之一，除此之外还是十分有效的数学思维方式之一。
化归思想方法从实质上来说，就是采用某种手段将要进行研究、解决的相关数学问题，通过一些变换使其进行转化，最终对其进行更容易解决的方法。
化归思想在数学学科中，会将复杂的问题变成简单的问题，把难解的问题变成更容易求解的问题，把未解决的问题变成已经解决的问题。
总的来说，化归思想在数学学科中可以说是无处不在的。
二、在高中数学教学中引入应用化归思想的方法分析（一）应用于基础知识教学教师将化归思想引入到高中数学的教学中之后，首先要做的是将其运用在数学基础知识的教学中，以实现对学生知识基础的有效夯实，进而促进其数学素养的形成。
化归思想在高中数学中的应用分析
化归思想在高中数学中的应用分析化归思想是数学中的一种重要思维方式和方法，它在高中数学教学中具有重要的应用价值。
通过化归思想，可以帮助学生更好地理解和掌握数学知识，提高解题能力，培养逻辑思维能力和数学思维能力。
本文将从概念理解、教学应用和案例分析三个方面对化归思想在高中数学中的应用进行深入分析。
一、概念理解化归思想是指将一个较为复杂的问题化简为一个更简单的问题，然后再逐步解决这个简单问题的过程。
在数学中，化归思想常常用于解决复杂的问题，或者化解难以理解的概念。
通过化归思想，可以使一些抽象的概念更加具体，一些复杂的问题更加简单，从而帮助学生更好地理解和掌握数学知识。
在高中数学中，化归思想常常用于解决复杂的代数问题、几何问题以及概率问题等。
当遇到一个复杂的代数方程组时，可以通过逐步化简，将其化为一元方程，然后再逐步解决，从而得到解。
又如，在解决一个复杂的几何证明问题时，可以通过化归思想将问题化简为一个简单的几何问题，然后再逐步推导，最终得到证明。
化归思想在高中数学中的应用，为学生提供了一种重要的解题思路和方法，有助于培养学生的逻辑思维能力和数学解题能力。
二、教学应用在高中数学教学中，化归思想常常被运用到课堂教学和解题训练中。
教师可以通过丰富多样的教学方法和案例分析，引导学生运用化归思想解决实际问题，提高学生的数学思维和解题能力。
1. 课堂教学在日常的数学教学中，教师可以通过讲解和实例分析，引导学生理解化归思想的基本概念和方法。
通过引入一些生动有趣的例子，让学生在轻松愉快的氛围中掌握化归思想的应用技巧。
在解决一个复杂的代数方程时，教师可以通过引入一个贴近学生生活的例子，让学生从实际问题出发，逐步体会化归思想的应用。
通过课堂讲解和学生互动，帮助学生掌握化归思想，并能够熟练运用到实际问题的解决中。
2. 解题训练三、案例分析下面通过几个案例进行详细分析，以进一步说明化归思想在高中数学中的应用。
1. 代数方程组的解法已知方程组\[\begin{cases}x+y=8 \\x-y=2\end{cases}\]通过使用化归思想解题，可以将方程组的求解过程化简为以下几个步骤：从而得到方程组的解为 x=5，y=3。
“转化与化归”思想在高中数学解题教学中的应用
解题研究２０２３年１２月上半月㊀㊀㊀转化与化归 思想在高中数学解题教学中的应用◉哈尔滨师范大学教师教育学院㊀李㊀硕㊀㊀转化与化归 思想是高学数学中的一种重要的数学思想,运用非常广泛,尤其是一些特殊的问题,运用 转化与化归 思想解题可以提高效率,同时还可以降低问题解决的难度．因此,在数学课堂引入并应用转化与化归思想,能够让学生在学习数学及解题的过程中,加深对数学概念的理解,同时也能有效锻炼数学思维,提高学习效率,进一步发展数学核心素养．在高中数学的解题过程中,基于 转化与化归 思想的三大原则,主要运用的解题方法包括特殊与一般的转化㊁命题的等价转化,以及函数㊁方程㊁不等式之间的转化等一些常见的转化方法．１特殊与一般的转化将一般问题进行特殊化处理,可使问题的解决变得更为直接和简便,并且还能从特殊情况中寻找问题解决的常规思维;除此之外,对特殊性问题进行概括性研究,实现特殊问题一般化,也能从宏观与全局的角度把握特殊性问题的普遍规律,并能有效地解决特殊性问题．例１㊀ 蒙日圆 涉及几何学中的一个著名定理,该定理的内容为:椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上,该圆称为原椭圆的蒙日圆．若椭圆C :x ２a ＋１＋y ２a ＝１(a ＞０)的离心率为１２,则椭圆C 的蒙日圆的方程为(㊀㊀)．A．x ２＋y ２＝９㊀㊀㊀㊀㊀B ．x ２＋y ２＝７C ．x ２＋y ２＝５D．x ２＋y ２＝４分析:根据题目中的已知条件,在椭圆上,两条相互垂直的切线可以随意选择,但其交点位于与椭圆同心的圆却是唯一的,也即答案是唯一的．由此,可以通过选取一般问题的特殊情形找到一般的解题思路,不妨利用过椭圆的右顶点和上顶点的两条切线进行解题．解:因为椭圆C :x ２a ＋１＋y ２a＝１(a ＞０)的离心率为１２,所以１a ＋１＝１２,解得a ＝３．所以椭圆C 的方程为x ２４＋y ２３＝１,且椭圆C 的上顶点为A (０,３),右顶点为B (２,０),则椭圆在A ,B 两点的切线方程分别为y ＝３和x ＝２,这两条切线的交点坐标为M (２,３)．由题意可知,交点M 必在一个与椭圆C 同心的圆上,可得与椭圆C 同心的圆的半径r ＝２２＋(３)２＝７．所以椭圆C 的蒙日圆方程为x ２＋y ２＝７．故选:B ．以问题的特征为依据,对命题进行转化,将原问题转化为与之相关的㊁容易解决的新问题,这也是解决数学问题常见的转化思路,并且可以通过这种转化逐步培养识别关键信息的能力．２命题的等价转化把题目中已有的条件或者结论进行相应的转化,化难为易,是解决较难问题常用的转化手段．其主要方法包括:数与形的转化㊁正与反的转化㊁常量与变量的转化㊁图形形体及位置的转化等．例２㊀由命题 存在x ０ɪR ,使e |x －１|－m ɤ０是假命题,得m 的取值范围是(－ɕ,a ),则实数a 的值是．分析:利用转化思想可以将命题 存在x ０ɪR ,使e |x －１|－m ɤ０ 是假命题转化为 对任意x ɪR ,e|x －１|－m ＞０是真命题,由此得出m ＜e |x －１|恒成立,进而通过m 的取值范围来求a 的值．解:由命题 存在x ０ɪR ,使e |x －１|－m ɤ０是假命题,可知 对任意x ɪR ,e |x －１|－m ＞０是真命题,由此可得m 的取值范围是(－ɕ,１),而(－ɕ,a )与(－ɕ,１)为同一区间,故a ＝１．例３㊀若对于任意t ɪ[１,２],函数g (x )＝x ３＋(m ２＋２)x ２－２x 在区间(t ,３)上总不为单调函数,则实数m 的取值范围是．分析:根据函数g (x )＝x ３＋(m ２＋２)x ２－２x 在区间(t ,３)上总不为单调函数,可以利用正难则反的转化思想先找出g (x )在(t ,３)上单调的条件,再利用补集思想求出m 的取值范围．８５２０２３年１２月上半月㊀解题研究㊀㊀㊀㊀解:求得g ᶄ(x )＝３x ２＋(m ＋４)x －２．若g (x )在(t ,３)上单调递增,则g ᶄ(x )ȡ０,即３x ２＋(m ＋４)x －２ȡ０,亦即m ＋４ȡ２x－３x 在x ɪ(t ,３)上恒成立．故m ＋４ȡ２t－３t 在t ɪ[１,２]上恒成立,则m ＋４ȡ－１,即m ȡ－５．若g (x )在(t ,３)上单调递减,则g ᶄ(x )ɤ０,即m ＋４ɤ２x－３x 在x ɪ(t ,３)上恒成立,所以m ＋４ɤ２３－９,即m ɤ－３７３．综上,符合题意的m 的取值范围为－３７３＜m ＜－５．根据命题的等价性对题目条件进行明晰化处理是解题常见的思路;对复杂问题采用正难则反的转化思想,更有利于问题得到快速解答．３函数㊁方程㊁不等式之间的转化函数与方程㊁不等式之间有着千丝万缕的关联,通过结合函数y ＝f (x )图象可以确定方程f (x )＝０,不等式f (x )＞０和f (x )＜０的解集．例４㊀若２x －２y＜３－x －３－y ,则(㊀㊀)．A．l n (y －x ＋１)＞０B ．l n (y －x ＋１)＜０C ．l n |x －y |＞０D．l n |x －y |＜０分析:由题意,可将２x －２y＜３－x －３－y 转化为２x －３－x ＜２y－３－y ,进而实现不等式与函数之间的转化,从而解得答案．解:由２x －２y ＜３－x －３－y ,得２x －３－x ＜２y －３－y ．故构造函数y ＝２x －３－x ,即y ＝２x －(１３)x．由于函数y ＝２x－(１３)x 在R 上单调递增,因此x ＜y ,即y －x ＋１＞１．所以l n (y －x ＋１)＞l n １＝０．故选择:A ．例５㊀已知函数f (x )＝e l n x ,g (x )＝１ef (x )－(x ＋１)．(e ＝２．７１８ )(１)求函数g (x )的最大值;(２)求证:１＋１２＋１３＋ ＋１n ＞l n (n ＋１)(n ɪN ＋)．分析:第(１)问要求函数g (x )的最大值,关键在于需要运用转化与划归思想,通过g ᶄ(x )得出函数g (x )单调性,即可求出g (x )的最大值．将第(１)问得出的g (x )最大值－２转化成l n x －(x ＋１)ɤ－２,即l n x ɤx －１(当且仅当x ＝１时等号成立),再利用换元法最终证明出结论．解:(１)由g (x )＝１ef (x )－(x ＋１),即g (x )＝l n x －(x ＋１),得g ᶄ(x )＝１x－１(x ＞０)．令g ᶄ(x )＞０,则０＜x ＜１;令g ᶄ(x )＜０,则x ＞１．所以,函数g (x )在区间(０,１)上单调递增,在区间(１,＋ɕ)上单调递减．故g (x )的最大值为＝g (１)＝－２．(２)证明:由(１)知x ＝１是函数g (x )的极大值点,也是最大值点,故g (x )ɤg (１)＝－２．所以l n x －(x ＋１)ɤ－２,即l n x ɤx －１(当且仅当x ＝１时等号成立)．令t ＝x －１,则有t ȡl n (t ＋１)(t ＞－１)．取t ＝１n (n ɪN ＋),则有１n ＞l n (１＋１n)＝l n(n ＋１n )．故１＞l n２,１２＞l n ３２,１３＞l n ４３,,１n＞l n(n ＋１n )．上面n 个不等式叠加,得１＋１２＋１３＋ ＋１n＞l n (２ˑ３２ˑ４３ˑ ˑn ＋１n)＝l n (n ＋１)．故１＋１２＋１３＋ ＋１n ＞l n (n ＋１)(n ɪN ＋)．在分析此类题目的过程中,利用函数㊁方程㊁不等式进行转化与化归更有利于问题的解决,因此,利用转化与划归思想不仅能让整个数学知识的体系变得更加紧密,同时也能对学生从系统性角度掌握数学知识之间的联系提供非常大的帮助．转化与化归思想所蕴含的内容丰富且深奥,为高中数学问题的解决提供了多种思路,对高中数学的学习也有极大的指导与启发作用,值得我们不断地探索与研究．因此,在解决高中数学问题的过程中,要灵活运用 转化与化归 的解题思想．有些数学问题看似复杂,但通过分析可知出题者采用的是 障眼法 ,其中有的是多余或无用的条件．同时,在高中数学课堂教学中,教师可以在解题教学过程中渗透转化与化归思想,加强学生在特殊与一般转化㊁命题的等价转化以及函数㊁方程㊁不等式之间的转化等方面的技能,逐步锻炼学生简化题目内容的能力和意识,最大程度提高解题效率．Z９５。
化归与转化思想在高考数学解题中的运用
GUAN ＧＤONG JIAO YU GAO ZHONG2021年第2化归与转化思想在高考数学解题中的运用■甘肃省秦安县第二中学罗文军yxo化归与转换的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图像、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想等价转化总是将抽象转化为具体，复杂转化为简单、未知转化为已知，通过变换迅速而合理的寻找和选择问题解决的途径和方法.1．化归与转化的思想方法：解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的问题），通过新问题的求解，达到解决原问题的目的.2．化归与转化应遵循的基本原则：（1）熟悉化原则；（2）简单化原则；（3）和谐化原则；（4）直观化原则；（5）正难则反原则3．化归与转化的途径：（1）从问题的反面思考；（2）局部向整体的转化；（3）未知向已知转化；（4）固定向重组的转化；（5）抽象向具体转化；（6）个别向一般的转化；（7）数向形的转化；（8）定量向定性的转化；（9）主元向辅元的转化.以下结合一些经典试题，谈谈化归与转化思想在高三解题中的运用.题型一：化归与转化思想简单化原则的体现化归与转化思想简单化原则在解题中的体现主要有：（1）将比较代数式的大小的问题，运用同构法，通过构造函数，化归为利用函数的单调性根据自变量的大小比较函数值的大小或者根据函数值的大小比较自变量的大小；（2）将概率与统计问题化归为集合间的基本关系与基本运算问题.例1.若2a +log 2a ＝4b +2log 4b ，则（）A.a ＞2b B.a ＜2b C.a ＞b 2 D.a ＜b 2【解析】由指数幂的运算性质和对数的运算性质可得，2a +log 2a ＝4b +2log 4b ＝22b +log 2b ，又因为22b +log 2b ＜22b +log 22b ＝22b +1+log 2b ，所以2a +log 2a ＜22b +log 22b .令ｆ（ｘ）＝2x +log 2ｘ，由指数函数和对数函数性质以及函数单调性的性质可得ｆ（ｘ）在（0，+∞）上单调递增，由ｆ（a ）＜ｆ（2a ），可得a ＜2b .【评析】本题考查了指数幂和对数的运算，函数的单调性的性质，构造函数后，把问题化归与转化为根据函数单调性，由函数值的大小比较自变量的大小，体现了化归与转化思想的简单化原则.例2.设命题p ∶4x-3≤1，命题q ∶x 2-（2a+1）x +a （a +1）≤0.若劭p 是劭q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是__________.【解析】由4x-3≤1，得１２≤x ≤１，记A ＝{x │１２≤x ≤１}；由x ２-（２a+1）x+a （a+1）≤0，可得a ≤x ≤a +1，记B ＝{x │a ≤x ≤a +1}.因为劭p 是劭q 的必要不充分条件，所以q 是p 的必要不充分条件，所以p 是q 的充分不必要条件，所以A 芴B ，所以a ≤１２，a+１≥11，解得0≤a ≤１２，所以实数a 的取值范围是[0，１２].【评注】本题的解答中，先把两个命题中的不等式的解集分别用集合A 和集合B 表示，再由劭p 是劭q 是的必要不充分条件转化为p 是q 的充分不必要条件，再转化为集合A 为集合B 的真子集，解得a 的范围.题型二：化归与转化思想直观化原则的体现化归与转化思想直观化原则在解题中的体现主要有：（1）画出函数图像后，利用函数图像研究函数的性质，进而直观的解决与函数有关的问题；（2）立体几何问题中，将立体问题平面化，画出轴截面或者中截面，利用平面几何问题破解题目.例3.设a ，b ∈R ，则|“a ＞b ”是“a a ＞b b ”的（）A.充要不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充要也不必要条件【解析】构造函数ｆ（ｘ）＝x x ＝ｘ２，ｘ≥0-x ２，ｘ＜1函数图像如图1，由图像可知ｆ（ｘ）＝x x 在R 上单调递增.当a ＞b 时，ｆ（a ）＞ｆ（b ），即a a ＞b b ，a ＞b 圯a a ＞b b .当ｆ（a ）＞ｆ（b ），即a a ＞b b 时，a ＞b ，a a ＞b b 圯a ＞b ，所以a ＞b 圳a a ＞b b ，“a ＞b ”是“a a ＞b b ”的充要条件，故选C.【评注】本题是一道比较复杂的充分必要条件问题，通过观察题目，通过类比和联想，运用化归与转化思想，构造函数ｆ（ｘ）＝x x 后，画出这个函数的图像，运用图像法判断这个函数在其定义域R 上为单调递增函数，把a 和b 看成这个函数的两个自变量，a a 和b b 分别看成这个函数的函数值ｆ（a ）29数学有数和ｆ（b），由增函数的性质可以得出，ａ＞b圳a a＞b b，所以ａ＞b是a a＞b b的充分必要条件，体现了化归与转化思想的简单化和直观化原则.例4.已知某个机械零件是由两个有公共底面的圆锥组成的，且这两个圆锥有公共点的母线互相垂直，把这个机械零件打磨成球形，该球的半径最大为1，设这两个圆锥的高分别为h1，h２，则h1+h２的最小值为________．【答案】22姨.【解析】由题意可知，打磨后所得半径最大的球是由这两个圆锥构成的组合体的内切球，内切球的半径R=1，如图为这个组合体的轴截面示意图，圆O为内切球的轴截面，E，F，G，H分别为切点，连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，OG，OH，由题意可知AB⊥BC，AD⊥DC，AC＝h1+h2，R＝OE＝OF＝OG＝OH＝1，则S四边形ABCD＝S△AOB+S△BOC+S△COD+S△AOD，即AB×BC＝１２R×AB+１２R×BC+１２R×CD+１２R×AD＝１２R（2AB+2BC）＝R（AB+BC），所以AB×BC＝AB+BC.由基本不等式可得AB×BC＝AB+BC≥2AB×BC姨，则AB×BC≥4，当且仅当AB＝BC时等号成立．所以（h1+h2）2＝AC2＝AB2+BC2≥2AB×BC≥8，当且仅当AB＝BC时等号成立，故h1+h2的最小值为22姨.【评注】本题的解答运用了化归与转化的思想，通过研究组合体和其内切球的轴截面，把空间立体几何问题化归为平面几何问题，做到了把问题直观化的原则.题型三：化归与转化思想熟悉化原则的体现化归与转化思想熟悉化原则在解题中的体现主要有：（1）不等式题目中，把含一个参数的不等式恒成立问题，通过分离变量，化归为求函数在给定区间上的最值问题；（2）立体几何题目中，利用长方体或者正方体模型，把一些三棱锥、四棱锥和三棱柱的外接球问题化归为熟悉的长方体或者正方体的外接球问题.例5.若对任意的ｘ∈（0，+∞），ax-ln（2ｘ）≥1恒成立，则实数a的最小值是_______【解析】由已知可得，对任意的ｘ∈（0，+∞），a≥ln（2ｘ）+1ｘ恒成立，令g（ｘ）＝ln（2ｘ）+1ｘ，g′（ｘ）＝１ｘ·ｘ-ln（2ｘ）ｘ2＝1-ln（2ｘ）ｘ2，令g′（ｘ）＝0，则1-ln（2ｘ）＝0，则ｘ＝e2，当0＜ｘ＜e2时，g′（ｘ）＞0，g（ｘ）单调递增；当ｘ＞e2时，g′（ｘ）＜0，g（ｘ）单调递减，所以当ｘ＝e2时，g（ｘ）取得最大值g（ｘ）max＝g（e2）＝ln e+1e2＝4e，所以a≥4e，所以a的最小值为4e.【评注】本题的解答运用了分离变量法，分离变量后，构造函数后，把a≥g（ｘ）在（0，+∞）上恒成立等价转化为a≥[g（ｘ）]max（ｘ∈（0，+∞）），转化为求函数g（ｘ）在（0，+∞）上的最大值问题，g（ｘ）的最大值即为a的最小值，本题体现了化归与转化思想的熟悉化原则.例6.设数列{a n}的前n项为S n，a1＝1，当n≥2时，a n＝2a n S n-2S2n.（1）求数列{a n}的通项公式；（2）是否存在正数k，使（1+S1）（1+S2）…（1+S n）≥k2n+1姨对一切正整数n都成立？若存在，求k的取值范围，若不存在，请说明理由.解：（1）因为当n≥2时，a n＝2a n S n-2S2n，所以a n＝2S2n2S n-1，n≥2，所以（S n-S n-1）（2S n-1）＝2S2n，所以S n-S n-1＝-2S n S n-1，所以１S n-１S n-1＝2，n≥2，所以数列{１S n}是以１S1＝1为首项，以2为公差的等差数列，所以１S n＝1+2（n-1）＝2n-1，所以S n＝１2n-1，所以，当n≥2时，a n＝S n-S n-1＝１2n-1-１2n-３＝-2（2n-1）（2n-3），因为a1＝S1＝1，所以a n＝1，n=1-2（2n-1）（2n-3）.n≥≥2（2）设ｆ（n）＝（1+S1）（1+S2）…（1+S n）2n+1姨，则ｆ（n+1）ｆ（n）＝2n+22n+1姨2n+3姨＝4n2+8n+44n2+8n+3姨＞1，所以ｆ（n）在n∈N鄢上递增，要使ｆ（n）≥k恒成立，只需要ｆ（n）min≥k，因为ｆ（n）min＝ｆ（1）＝2３姨３，所以0＜k≤2３姨3.【评注】第（1）问运用了数列的前n项和S n与通项a n之间的关系a n＝S n-S n-1（n≥2），把a n转化为S n-S n-1，再合并同类项后运用取倒数法，再根据等差数列的定义得出数列{１S n}的通项公式，再得出数列{a n}的通项公式；第（2）问分离变量后构造函数ｆ（n），用作商法判断ｆ（n）的单调性，把不等式ｆ（n）≥k在n∈N鄢上恒成立等价转化为ｆ（n）min≥k（n∈N鄢），两问都运用到了化归与转化思想.AEBFHDGOC302021年第2GUAN ＧＤONG JIAO YU GAO ZHONG2021年第2题型四：化归与转化思想和谐化原则的体现化归与转化思想和谐化原则在解题中的体现主要有：（1）解三角形问题中利用正弦定理实现边角的互化；（2）在三角函数问题中，将形如y=a sin x+b cos x 的函数问题利用辅助角公式化归为形如y=A sin （棕x+渍）的函数问题；（3）解析几何中，将两直线垂直化归为斜率乘积为-1或者方向向量的数量积为0；（4）将形如滋＝y -b x -a形式的最值问题，转化为动直线斜率的最值问题.例7.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b -c ＝a ·cos C -c ·cos A .（1）求角A ；（2）若a ＝3，求b +2c 的最大值.【解析】（1）因为b -c ＝a ·cos C -c ·cos A ，由正弦定理可得，sin B -sin C ＝sin A cos C -sin C cos A ，所以sin B -sin C ＝sin （A -C ）所以sin （A +C ）-sin C ＝sin （A -C ），所以sin A cos C +cos A sin C -sin C ＝sin A cos C -cos A sin C ，所以cos A ＝１２，因为0＜A ＜仔，所以A ＝仔３.（2）由（1）可得，C ＝２仔３-B ，由正弦定理得，a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ，所以３sin 仔３＝b sin B ＝c sin （２仔３-B ），所以b ＝2３姨sin B ，c ＝2３姨sin （２仔３-B ），所以b +2c ＝2３姨sin B +4３姨sin （２仔３-B ）＝2３姨（2sin B +３姨cos B ）＝221姨sin （B +渍），其中tan 渍＝３姨2，渍∈（0，仔2），由B ∈（0，２仔３），存在B 使得B +渍＝仔2，所以sin （B +渍）的最大值为1，所以b+２c 的最大值为221姨.【评注】第（1）问运用正弦定理实现边转化为角，再逆用两角差的正弦公式，运用内角和定理以及诱导公式，再运用两角和的正弦公式和两角差的正弦公式，得出cos A 的值，得出角A 的值；第（2）问运用了正弦定理将关于边的最值问题化为角的最值问题，运用三角形内角和定理以及诱导公式，再运用辅助角公式，化为三角函数在给定范围上的最值问题；两问都运用了化归与转化思想，体现了和谐化原则.例8.已知函数f （ｘ）＝ｘ2ｘ-1，则f （12019）+f （22019）+f （32019）+…+f （20182019）的值为_____.【解析】由于直接计算有困难，先探求一般的规律，因为f （ｘ）＝ｘ2ｘ-1，所以f （1-ｘ）＝1-ｘ2（1-ｘ）-1＝1-ｘ1-2ｘ＝ｘ-12ｘ-1，所以f （ｘ）+f （1-ｘ）＝1，倒叙相加可得f （12019）+f （22019）+f （32019）+…+f （20182019）＝1009.【评注】本题的解答中体现了特殊问题转化为一般化，运用了化归与转化思想，先通过探究在宏观上把握问题的一般规律，再将特殊问题破解.题型五：化归与转化思想的正难则反原则在解题中的体现化归与转化思想的正难则反原则在高中数学解题中的体现主要有：（1）间接证明方法中的反证法在解题中的运用；（2）概率问题中对立事件和互斥事件的概率公式的运用.例9.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a １＝1+2姨，S 3＝9+32姨.（1）求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；（2）设b n ＝S n n（n ∈N 鄢），求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．【解析】（1）设公差为d ，由已知得ａ1＝2姨+1，3ａ1+3d ＝9+32姨姨，所以d ＝2，故a n ＝2n -1+2姨，S n ＝n （n +2姨）．（2）证明：由（1）得b n ＝S n n＝n +2姨.假设数列{b n }中存在三项b p 、b q 、b r （p 、q 、r 互不相等）成等比数列，则b 2q ＝b p b r ，即（q +2姨）2＝（p +2姨）（r +2姨），所以（q 2-pr ）+（2q -p-r ）2姨＝0.因为p ，q ，r ∈N 鄢，所以q ２-pr ＝0，2q-p-r ＝0姨，所以（p+r 2）２＝pr ，（p-r ）２＝0，所以p ＝r ，这与p ≠r 矛盾．所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列.【评注】本题的解答的第（2）问中运用了反证法，先反设假定要证的结论不成立，而设出结论的反面成立，将这个反设作为条件，运用等比数列的定义和通项公式，通过推理，得出p ＝r 与已知条件相矛盾，所以反设错误，所以要证明的结论成立，反证法归属于间接证明方法，第（2）问运用了化归与转化的思想.例10.掷一个骰子的试验，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A +B 发生的概率为____.【答案】23.【解析】掷一个骰子的试验有6种可能结果，依题意P （A ）＝26＝13，P （B ）＝46＝23，所以P （B ）＝1-P （B ）＝1-23＝13，显然A 与B 互斥，从而P （A+B ）＝P （A ）+P （B ）＝13+13＝23.【评注】先由古典概型概率公式求出事件A 和事件B 的概率，再由对立事件概率公式求出事件B 的对立事件B 的概率，再由互斥事件概率公式，把事件A+B 的概率化归为求P （A ）和P （B ）的和，运用了化归与转化思想.责任编辑徐国坚31。
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化归思想在高中数学解题过程中的应用分析作者：王再笑
来源：《速读·中旬》2017年第10期
摘要：在高中阶段的数学学习过程当中，总是有怎么解也解答不完的题目，因此，深刻准确的了解和掌握数学解题方法和思想是非常重要的，不仅能够帮助学生更好的学好数学，还能够一学多用，将数学解题方法和思想应用于其他学科的学习当中。
通过总结和整理日常数学学科的学习过程和内容，在解答数学问题的过程中能够应用达到的数学思想和方法主要就是等价转化、函数以及数形结合等，而这些数学方法和思想追根究底都是归化思想。
基于此，本文针对化归思想在高中数学解题过程中的应用展开分析和讨论。
关键词：高中数学；化归思想；解题过程；解题分析
一、前言
在高中的数学学习当中，学生会遇到形式多样的数学难题，而想要更好的解决这些数学问题最关键的就是掌握准确的数学解题思想和方法。
在数学学习的过程当中有数不完练习题，因此，只有正确掌握相关的数学解题思想和方法，因为只有这样才能够更加顺利的去解决数学难题。
归化思想是数学思想当中非常关键和重要的解题思想。
二、化归思想在高中数学解题过程中的应用分析
（一）化归思想在不等式解题中的应用
在高中数学的学习当中个，不等式属于较为基础性的知识，同样也是高考考试当中比较关键的得分题。
在高考当中通常情况下都是运用函数方程等相关的知识对不等式进行解答，这些相关联的知识点构成了比较复杂化的问题。
例如：解不等式[4x2-10x-3
先去掉绝对值号，再找它的等价组并求各不等式的解，然后取它们的交集即可。
去掉绝对值号得[-3
∴原不等式等价于不等式组
[-304x2-10x-602（x-3）（2x+1）52-12
∴原不等式的解集为[x-12
解含绝对值的不等式，关键是要把它化为不含绝对值的不等式，然后把不等式等价转化为不等式组，变成求不等式组的解，通过归化思想对本题进行转化和求解，能够帮助学生更好的掌握不等式知识点。
（二）化归思想在函数解题中的应用
在高中数学函数的学习当中，函数能够体现当前世界当中两个不同变量之间的关系，在解题过程中学生应该借助变化与运动的观点，对存在的关系进行探讨和分析，有效排除数学问题当中所存在的非数学因素，将数学本身所具有的特征更加抽象化。
例如：已知二次函数[y=f（x）（x∈R）]的图像是一条开口向下且对称轴为[x=3]的抛物线，试比较大小：①[f（6）]与[f（4）]；②[f（2）]与[f（15）]。
解：①∵[y=f（x）]的图像开口向下，且对称轴是[x=3]，∴[x≥3]时，[f（x）]为减函数，又6>4>3，∴[f（6）f（4）]，即[f（15）>f（2）]。
这道题考查的就是学生的对函数单调性的化归和转化的能力，这同样也是高考当中非常容易考查的重点之一。
（三）化归思想在等差数列解题中的应用
一直以来，数列都是高考当中必考的数学内容，因此，学生在学习的过程当中应该对其加以重视。
随着等差数列和等比数列等基本知识的不断学习，常常需要前项和前n项和，得出一系列的通项公式是解决这类问题的关键。
依靠递推公式获得数列的通项公式也是近年来高考数学题中经常出现的。
在实际的实践过程中也可以发现类似的练习，不仅类型丰富，同时，解决问题的方法也比较灵活，深入分析可以发现，递推数列的通项公式类似的问题往往可以转化为等差数列（等比数列），它反映了数学的化归思想。
例如：等比数列同时满足下列三个条件：①[a1+a6=11]；②[a3·a4=329]；③三个数[23a2，a23，a4+49]成等差数列。
试求数列[an]的通项公式。
【解析】[a1·a6=a3·a4]，[a1+a6=61a1·a6=329⇒a1=13a6=323q=2或a1=323a6=13q=12]
又∵[23a2，a23，a4+49]成等差数列，∴[2a23=23a2+a4+49]……①
当[a1=13]时，[a2=a1q=23⇒a3=43，a4=83]代入①
∴[2（43）2=23×23+83+49]（成立），∴[an=a1qn-1=13·2n-1]。
当[a1=323q=12]时，不成立。
∴[an=a1qn-1=13·2n-1]。
这样不仅能够将不等式的左边进行化简，还能够将右边的不等式进行快捷的计算和求和。
三、高中生掌握化归思想解决数学难题的方法以及对策
（一）深入挖掘数学教材内容
教材仅仅是学生学习理论知识的主要来源，更是能够提升学生自身各项能力的关键路径，是能够激发学生具有较强数学思想的重要工具。
因此，学生应该更加深入的挖掘数学教材当中的内容，这样不仅能够促进学生学习能力的提升，还能够发现教材当中所包含的数学思想和方法等。
（二）加强学生自身变式练习
学生应该在日常的学习过程中学会灵活的变化和准确的掌握，之后在对这些问题进行深刻的讨论，最终获得解答难题的方法和策略。
四、结语
综上所述，随着我国新课程改革的不断深入和发展，在高中数学的学习中越来越重视学生对数学思想的培养和训练，在数学解题过程当中，学生不仅仅要掌握相关的理论知识，还应该掌握相应的数学思想。
在高中数学的学习当中，归化思想占据极为重要的地位，学生应该在日常的数学学习当中正确应用归化思想，进而能够帮助学生了解和解决更多的数学难题，促进学生能够真正的学好数学这门学科。
参考文献：
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