第九章_拉普拉斯变换
合集下载
第九章 拉普拉斯变换
构造函数：
⎧2π f (t)e−st ,
g(t) = ⎨ ⎩ 0,
t > 0, s > s0 t<0
拉氏变换：
p = s + iσ
傅氏变换：
∫ ∫ ∞
F (s + iσ ) = e− pt f (t)dt =
1
∞
g (t )e−iσ t dt
0
2π −∞
∞
∫ g(t) = g(k)eiktdk
−∞
∫ g(k) =
∫t f (τ )dτ → F ( p)
0
p
例1：
f (t) = A
∫∞
F ( p) = Ae− ptdt =
A,
Re p > 0
0
p
例2：
f (t) = Aeαt
∫∞
F ( p) = e− pt Aeαt dt =
A , Re p > Reα.
0
p −α
例3：
f (t) = sin ωt
sin ωt = eiωt − e−iωt
2π i R→∞
t>0
例1：
F ( p) = 1 e−α p , α > 0
p
解：
∑ f (t) = res{F ( p)e pt} = res{ 1 e(−α +t) p} = θ (t − α )
p
p=0
∫ lim 1 e(−α +t) pdp = 0, t < α
p R→∞ CR
1
p3( p +α)
=
A p3
+
B p2
+
C p
+
[学习]王忠仁信号与系统第九章拉普拉斯变换
![[学习]王忠仁信号与系统第九章拉普拉斯变换](https://img.taocdn.com/s3/m/04f3e066856a561253d36f66.png)
系统是因果性的 H(s)的收敛域位于最右边
极点的右边的右半平面。 b）如果H（s）是有理的并且是一个因果系统的系 统函数，那么
系统是稳定的 j 轴在收敛域内
X s s j F x t
例9.1：
x1 t eatu t
(a为任意实数或者复数)
不稳定： ·无傅里叶变换 ·有拉普拉斯变换
X1
s
eatu
t
estdt
esat dt
0
1 esat sa
0
s
1
a
e s a
1
只在 Re s a 0的时候收敛，换句话说就是 Re s Re a
X1
s
s
1
a
,
R1 e4s4 2 4R4e3a
收敛域
例9.2
x2 t -eatu -t
X2 s
eatu -t estdt
0 esat dt
1 esat sa
0
s
1
a
1
esa
只在 Res a 0时收敛，换句话说 Re s Re aX2s Nhomakorabeas
1
a
, R1 e4s4 2 4R4e3a跟X1 s一样，但是不同收敛域
2 3
et
5 3
e2t
u
t
当t -发散
ROCⅡ：双边信号，有傅里叶变换
xt Aetu t Be2tu t
2 3
et
u
t
5 3
e2t
u
t
0 (当t )
ROCⅢ：右边信号
xt Aetu t Be2tu t
2 3
et
5 3
e2t
极点的右边的右半平面。 b）如果H（s）是有理的并且是一个因果系统的系 统函数，那么
系统是稳定的 j 轴在收敛域内
X s s j F x t
例9.1：
x1 t eatu t
(a为任意实数或者复数)
不稳定： ·无傅里叶变换 ·有拉普拉斯变换
X1
s
eatu
t
estdt
esat dt
0
1 esat sa
0
s
1
a
e s a
1
只在 Re s a 0的时候收敛，换句话说就是 Re s Re a
X1
s
s
1
a
,
R1 e4s4 2 4R4e3a
收敛域
例9.2
x2 t -eatu -t
X2 s
eatu -t estdt
0 esat dt
1 esat sa
0
s
1
a
1
esa
只在 Res a 0时收敛，换句话说 Re s Re aX2s Nhomakorabeas
1
a
, R1 e4s4 2 4R4e3a跟X1 s一样，但是不同收敛域
2 3
et
5 3
e2t
u
t
当t -发散
ROCⅡ：双边信号，有傅里叶变换
xt Aetu t Be2tu t
2 3
et
u
t
5 3
e2t
u
t
0 (当t )
ROCⅢ：右边信号
xt Aetu t Be2tu t
2 3
et
5 3
e2t
第9章 拉普拉斯变换
特别地,当
f (0) f (0) f (0) f ( n-1) (0) 0
时,
f ( n ) (t ) s n F ( s) ℒ
可以证明
( n ) (t ) s n ℒ
证 根据分部积分公式和拉氏变换公式
b
a
u d v uv | - v d u
9.2.3 积分性质
（1）象原函数的积分性质 若 ℒ f (t ) F (s),
则
F ( s) ℒ [ 0 f (t )dt ] s t -1 F ( s ) ℒ 0 f (t )dt s
t
一般地
1 ℒ [ 0 dt 0 dt 0 f (t )dt ] s n F (s)
sin k t e - st dt
k 所以 ℒ sin k t 2 s k2
Re s 0
即
k sin kt 2 2 s k
s 同理可得 cos kt 2 2 s k
2 如 ℒ sin 2t 2 s 4 s ℒ cos 3 t 2 s 9
此线性性质根据拉氏变换的定义就可得出.
2 相似性质
若 F ( s ) = ℒ f (t ) a 0 则 ℒ
f (at ) 1 F s a a
ℒ
-1
s F ( a ) af (at )
9.2.2 微分性质 （1）象原函数的微分性质
k - st e cos k tdt s 0
k - 2 s
- st - st k e sin k tdt e cos k t 0 0
第9章拉普拉斯变换
我们来考察
T1
x(t ) e
0 t
dt
s j 处，拉氏变换收敛的情况。
0
( 0 ) 0
e
( 0 ) t
为减函数。
减函数
T1
x(t ) e dt
( 0 )T1
t
T1
T1
x(t ) e
0 t ( 0 ) t
9.1拉普拉斯变换的导出
本小节我们通过复指数信号激励LTI系统的 分析，导出拉普拉斯正变换，并且分析拉 普拉斯变换的收敛问题。 复指数信号通过LTI系统时，利用卷积积分， 可以得到：
y(t ) h( )e
s ( t )
d
e
st
h( )e d e
s
st
将零点和极点在s平面上标记出来而形成的图称为零极点图 (Pole-zero plots)。
Im
× -2
× -1
0 1
Re
例题9.3的零极点图和收敛域
例题9.4 求信号
的拉普拉斯变换 解：
16 t 1 2t x(t ) (t ) e u (t ) e u (t ) 3 3
(t ) 1
s j
X ( s) e
0
( a ) t jt
e
dt
a0
Re{s} a
时收敛。
e
0
( s a ) t
1 dt sa
拉普拉斯变换的解析式是一个无穷积分，这个无穷积分是存在收
敛性问题的。上面的例题也告诉我们，对于某些
T1
x(t ) e
0 t
dt
s j 处，拉氏变换收敛的情况。
0
( 0 ) 0
e
( 0 ) t
为减函数。
减函数
T1
x(t ) e dt
( 0 )T1
t
T1
T1
x(t ) e
0 t ( 0 ) t
9.1拉普拉斯变换的导出
本小节我们通过复指数信号激励LTI系统的 分析，导出拉普拉斯正变换，并且分析拉 普拉斯变换的收敛问题。 复指数信号通过LTI系统时，利用卷积积分， 可以得到：
y(t ) h( )e
s ( t )
d
e
st
h( )e d e
s
st
将零点和极点在s平面上标记出来而形成的图称为零极点图 (Pole-zero plots)。
Im
× -2
× -1
0 1
Re
例题9.3的零极点图和收敛域
例题9.4 求信号
的拉普拉斯变换 解：
16 t 1 2t x(t ) (t ) e u (t ) e u (t ) 3 3
(t ) 1
s j
X ( s) e
0
( a ) t jt
e
dt
a0
Re{s} a
时收敛。
e
0
( s a ) t
1 dt sa
拉普拉斯变换的解析式是一个无穷积分，这个无穷积分是存在收
敛性问题的。上面的例题也告诉我们，对于某些
信号与系统教学课件第九章拉普拉斯变换
其他数值计算方法简介
数值逆变换方法
介绍基于数值计算的拉普拉斯逆 变换方法，如直接数值积分法、
离散化方法等。
优缺点分析
比较各种数值计算方法的优缺点， 如计算精度、计算速度、ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ用范围 等。
应用场景
根据实际需求，选择适合的数值计 算方法进行拉普拉斯逆变换求解， 并给出具体应用场景和实例。
04 拉普拉斯变换在信号处理 中的应用举例
频移性质
时域函数的频移对 应频域函数的相移 和幅度变化。
积分性质
时域函数的积分对 应频域函数的除法 运算。
拉普拉斯变换与傅里叶变换关系
01
02
03
04
拉普拉斯变换是傅里叶变换的 推广，可以处理不收敛的信号
。
傅里叶变换是拉普拉斯变换在 虚轴上的特例，即s=jω时的拉
普拉斯变换。
拉普拉斯变换提供了更广泛的 信号分析工具，适用于更复杂
信号与系统教学课件第九章拉普拉 斯变换
目录
• 拉普拉斯变换基本概念 • 拉普拉斯变换在信号与系统中的应用 • 拉普拉斯逆变换及计算方法 • 拉普拉斯变换在信号处理中的应用举
例
目录
• 拉普拉斯变换在控制系统稳定性分析 中的应用
• 总结回顾与拓展延伸
01 拉普拉斯变换基本概念
拉普拉斯变换定义
拉普拉斯变换是一种线性积分变 换，用于将时间域函数转换为复
上升时间与峰值时间
上升时间是指系统响应从某一低电平上升到高电平所需的时间，峰值时间是指系统响应达到最大值所需的时 间。上升时间和峰值时间是评价系统快速性的重要指标之一。
超调量与调节时间
超调量是指系统响应在达到稳态值之前出现的最大偏离量，调节时间是指系统响应从瞬态过程进入稳态过程 所需的时间。超调量和调节时间是评价系统准确性和稳定性的重要参数。
第九章拉普拉斯变换教育研究
1 2
d 2 (X (s)(s ds2
1)3 )
|s1
1 2
d2(s 2) s
ds2
|s1
1 2
4 s3
|s1
2
故：
B
X
(s)s
|s0
（ss
2 1）3
|s0
2
3
2
22
X
(s)
(s
1)3
(s
1) 2
s
1
s
则： x(t) ( 3 t 2et 2tet 2et 2)u(t) 2
9.4 由零极点图对傅立叶变换进行几何求值
(2)x(t) eatu(t) X (s) 1 sa
Re{s} a Re{s} a
(3)x(t) u(t) X (s) 1 s
Re{s} 0
(4)x(t) (t) X (s) 1
Re{s}为整个s平面
拉普拉斯变换的收敛域与零极点
收敛域：Region of Convergence ( ROC )
2
2
例：已知：
X
(s)
s2 6s 5 s(s2 4s 5)
Re{s} 0 求x(t)
将X(s)进行部分分式展开：
X (s) A1 A2 A3 s s (2 j1) s (2 j1)
A1
s2 s2
6s 4s
5 5
|s0 1
A2
s2 6s 5 s[s (2 j1)]
X (s) N(s) D(s)
• N(s)和D(s)分别为分子多项式和分母多项式。
• 使N(s)=0的根为X(s) 的零点，在s平面上用“o” 表示。
• 使D(s)=0的根为X(s) 的极点，在s平面上用“×” 表示。
第九章-拉普拉斯变换
(1 0 )T
表明 1 也在收敛域内。
T
x(t )e 0t dt
11
e at , 0 t T 例1. x(t ) 其它 0,
X ( s ) e e dt e
at st 0 0
T
T
( s a )t
1 ( s a )T dt [1 e ] sa
分。ROC总是以平行于 j 轴的直线作为边界的，
ROC的边界总是与 X ( s) 的分母的根(极点)相对应。
8
(s ) N (s) 若 X ( s) 是有理函数 X ( s) M D( s ) (s )
i i i i
分子多项式的根称为零点，分母多项式的根称为极点。
将 X ( s ) 的全部零点和极点表示在S平面上，就构成了
s1 a
矢量 s1 称为零点矢量，它的长度 a
|表示 s1 a |
20
,其幅角即为 X (s1 )
X (s1 )
2. 单极点情况：
1 X ( s) , 极点 sa
j
sa
0
s1
a
s1
X ( s1 )
1 s1 a
a
s1 a
X ( s1 )
s a
at
X (s) e e dt e
0 当 a 时，
dt e
0
( a ) t jt
e
dt
] a 在 Re[s时，积分收敛：
1 X ( s) sa
的傅里叶变换存在 : x(t ) 1 at j t X ( j ) e e dt 0 a j
信号与系统教学第九章拉普拉斯变换PPT课件
80%
幂级数展开
一个解析函数可以展开为幂级数 。
复数域的微积分
01
02
03
导数
复数域函数的导数定义为 函数值的增量与自变量增 量的比值。
积分
复数域函数的积分是函数 值的累积。
微分方程
在复数域中，微分方程是 描述函数行为的一种重要 工具。
03
拉普拉斯变换的求解方法
直接法
定义法
根据拉普拉斯变换的定义， 通过积分计算得出函数的 拉普拉斯变换。
02
01
03
定义法
根据卷积的定义，通过积分计算得出函数的卷积。
表格法
利用卷积表，查表得出函数的卷积。
性质法
利用卷积的性质，简化计算过程。
04
拉普拉斯变换的性质与定理
线性性质
总结词
线性性质是指拉普拉斯变换具有类似于线性代数中的线性性质，即对于两个函 数的和与积，其拉普拉斯变换可以分别通过各自拉普拉斯变换的和与积来获得。
拉普拉斯变换在控制系统稳定性分析中的应用，有 助于设计更加稳定、可靠的控制系统，提高工程实 践中的控制效果。
信号处理中的拉普拉斯变换
在信号处理中，拉普拉斯变换 用于分析信号的频域特性。通 过将信号从时域转换到频域， 可以更好地理解信号的频率成 分和频率特性。
拉普拉斯变换在信号处理中的 应用包括：信号的频谱分析、 滤波器设计、信号调制与解调 等。
如果f(t)的拉普拉斯变换为F(s)， 那么f(at)的拉普拉斯变换为 |a|F(s/a)。
如果f(t)的拉普拉斯变换为F(s)， 那么f(t-b)的拉普拉斯变换为 e−bF(s)。
如果f(t)的拉普拉斯变换为F(s)， 那么f'(t)的拉普拉斯变换为 sF(s)-f(0)。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
L{ (t )} (t )e st dt 1
X ( s) 1
4 1 1 1 3 s 1 3 s 2 ( s 1) 2 , Re{s} 2 ( s 1)(s 2)
Im
-1
x
1 2
x
Re
请问：x(t)的傅立叶变换存在吗?
9.2 拉氏变换收敛域的性质 性质1:拉氏变换收敛域的形状：
1 d k 1 k A1k [( s a ) X ( s)] |s a1 1 k 1 (k 1)! ds
( s) 2
对X(s) 进行部分分式展开：
1 A B 1 1 ( s 1)( s 2) (s 1) (s 2) ( s 1) ( s 2)
X(s) 的零极点图和ROC如图所示：
Im
e
t
1 u (t ) , s 1
L
Re{s} 1
-2
x
-1
- t
} = [x(t)e- t ]e-jt dt
-
利用傅立叶反变换：
x(t )e
t
1 F { X ( j )} 2
1
X ( j )e jt d
两边同乘以et
x(t )
1 2
X ( j )e( j ) t d
X(s)的ROC在s平面内由平行于jω轴的带状区域所组成。
Im Im s平面 Im × × LRe R L Re Re
R
Im
S-plane Re
性质2：对有理拉氏变换来说，ROC内不包括任何极 点。 性质3：如果x(t)是有限持续期，并且是绝对可积 的，那么ROC就是整个s平面。
Im
s平面
t
ROC : Re{s} 1
ROC : Re{s} 2
2 1 s 5 X ( s) s 1 s 2 ( s 1)(s 2)
Im{s} Re{s} × -1 × 2 5
ROC : 1 Re{s} 2
9.3 拉氏反变换 信号x(t)的拉氏变换为：
X( + j ) = F{x(t)e
单边实指数和复指数线性组合而成的信号，它 们的拉氏变换一定是有理函数，其收敛域是每 一项复指数分量相应的收敛域的交集。
D(s) bm s m bm1s m1 b1s b0 X ( s) N (s) an s n an1s n1 a1s a0
部分分式展开的第一步是把分母 N(s)进行因式分解， 然后区分极点的类型，选择求取待定系数的方法。
Re{s}为整个s平面
拉普拉斯变换的收敛域与零极点 收敛域：
一般把使积分 X ( s)
x(t )e st dt
收敛的s值的范
围称之为拉普拉斯变换的收敛域，简记为ROC。
Im(s)
a
Re(s)
Im S-plane
Im S-plane
-a
Re
-a
Re
零极点
只要x(t)是实指数或复指数信号的线性组合， X(s)就一定是有理的,具有如下形式：
一、假设信号x(t)的拉氏变换X(s)没有多阶极点，且
分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次（有理真分
式），那么X(s)就可以展开成如下形式：
X ( s) D( s ) D( s ) N ( s) ( s a1 )(s a2 ) ( s aM )
M Ai A1 A2 AM ( s a1 ) ( s a2 ) ( s aM ) i 1 ( s ai )
t
L
分别对 应什么 时间信 号？
Re{s} 1
Re{s} 2
Re{s} 1
1 , e u (t ) s2
2 t
L
x(t ) (e e
t
2 t
1 )u (t ) , ( s 1)(s 2)
L
例：
X ( s)
X ( s)
1 ( s 1)( s 2)
N ( s) X ( s) D( s )
• N(s)和D(s)分别为分子多项式和分母多项式。 • 使N(s)=0的根为X(s) 的零点，在s平面上用“O”表 示。 • 使D(s)=0的根为X(s) 的极点，在s平面上用“×” 表示。
例
4 1 x(t ) (t ) e t u (t ) e 2t u (t ) 3 3
性质7：如果x(t)的拉氏变换X(s)是有理的，那么它的 ROC是被极点所界定或延伸到无限远。
性质8： 如果x(t)的拉氏变换X(s)是有理的，若 x(t) 是右边信号，则其ROC在s平面上位于最右边极 点的右边；若x(t) 是左边信号，则其ROC在s平面上 位于最左边极点的左边。
例
1 X (s ) (s 1)(s 2)
第九章 拉普拉斯变换
掌握拉氏变换定义及其基本性质；
牢记常用典型信号的拉氏变换； 掌握运用拉氏变换分析LTI系统的方法； 掌握系统的典型表示方法：H(s)、h(t)、微分方程、模拟 框图、信号流图、零极点+收敛域图，以及它们之间的转换。
掌握采用单边拉氏变换对初始状态非零系统的分析方法。
L
Re{s} 2
2 Re{s} 1
x(t ) e u (t ) e
t
2 t
1 u (t ) , ( s 1)( s 2)
L
例：
s2 s 1 X ( s) 2 s 1
先转换为真分式：
Re{s} 1 求x(t)
解：
3 1 s 2 s 1 s 2 1 s 2 s2 2 X ( s) 2 1 1 s 1 s 2 1 s 2 1 s 1 s 1
Im x(t) e-1t e-0t
0
s平面 Re
T2
t
性质6：如果x(t)是双边信号，而且如果 Re{s} 0 这条线位于ROC内，那么ROC 就一定是由s平面的一条带状区域所组成， Re{s} 0 直线 位于带中。
Im
S-plane
R
Im
Re Im
L Re
R
L Re
求其可能有的所有的收敛域
Im s平面 Im s平面 Re
× × -2 -1
× × -2 -1
Re
1 X (s ) (s 1)(s 2)
Im s平面
Im
s平面
Re × × -2 -1 Re
× × -2 -1
1 X (s ) (s 1)(s 2)
Im s平面 × × -2 -1 Re × × -2 -1
X ( s)
1 A B 1 1 ( s 1)( s 2) (s 1) (s 2) ( s 1) ( s 2)
X(s) 的零极点图和ROC如图所示：
Im
e u (t )
2 t
t
1 , s 1
L
Re{s} 1
-2
x
-1
x
Re
1 , e u (t ) s2
Im
s平面
×
×
j
Re
一、求解拉氏反变换的方法 1、留数定理；（这里不讨论） √ 2、由一些熟知的拉氏变换对，利用性质，求得 未知的拉氏变换，或它们的反变换。
√ 3、对于有理形式拉氏变换，最常用的是部分分 式展开法。
二、部分分式展开法求解拉氏反变换
思路：
单个单边复指数信号的拉氏变换是一些简单的 有理函数，其收敛域也是单纯的。
j
即可从拉氏变换中恢复x(t)：
x(t )
2 j j
1
X ( s)e st ds
所有实信号x(t)可以表示成复指数信号est的加权。
• 拉氏反变换公式表明：原函数x(t)可以由它们的 像函数X(s)乘以复指数信号est后积分求得。 • 拉氏反变换公式的积分路径是：收敛域内平行于 j 虚轴的一条自下而上的直线。
故： x(t ) (t ) 3 e t u (t ) 1 et u (t ) 2 2
s 2 6s 5 Re{s} 0 求x(t) 例：已知： X (s) s( s 2 4s 5)
将X(s)进行部分分式展开：
A3 A1 A2 X (s) s s (2 j1) s (2 j1) s 2 6s 5 A1 2 |s 0 1 s 4s 5 s 2 6s 5 A2 |s 2 j1 j s[s (2 j1)]
x
Re e
t
2 t
1 , u (t ) s2
L
L
Re{s} 2
Re{s} 2
x(t ) (e e
2 t
1 )u (t ) , ( s 1)( s 2)
1 X ( s) 设： ( s 1)( s 2)
2 ( s) 1
对X(s) 进行部分分式展开：
Re
性质4：如果x(t)是右边信号，而且如果 Re{s} 0 这条线位于ROC内，那么 Re{s} 0 的全部s 值都一定在ROC内。
0
Im s平面 Re
• 性质5：如果x(t)是左边信号，而且如果 • Re{s} 0 这条线位于ROC内，那么 • Re{s} 0 的全部s值都一定在ROC内。
A3 A j
* 2
1 j1 j1 X (s) s s (2 j1) s (2 j1)
x(t ) (1 je( 2 j1)t je( 2 j1)t )u(t )