2017年江苏省无锡市锡山区天一中学高二下学期期中数学试卷与解析答案(理科)

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2017-2018学年江苏省无锡市锡山高级中学高二(下)期中数学试卷(理科)

2017-2018学年江苏省无锡市锡山高级中学高二（下）期中数学试卷（理科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．）1．（5分）复数z满足z（1+i）=2i（i是虚数单位），则复数z的实部与虚部之和为．2．（5分）某高中共有1200人，其中高一、高二、高三年级的人数依次成等差数列．现用分层抽样的方法从中抽取48人，那么高二年级被抽取的人数为．3．（5分）如图所示的流程图，若输入x的值为2，则输出x的值为．4．（5分）已知f（n）=1+++…+（n∈N*），用数学归纳法证明f（2n）＞时，f（2k+1）﹣f（2k）等于．5．（5分）执行算法代码“For I From 1 To50 Step 2”，共执行的循环次数为．6．（5分）若，那么z100+z50+1的值是．7．（5分）如图是甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环）的茎叶图，则甲与乙的方差和为．8．（5分）已知数据x1，x2，…，x10的均值为2，标准差为s，又知数据3x1+2，3x2+2，…，3x10+2的方差为27，则s=．9．（5分）已知复数z满足|z+1+i|=1（i是虚数单位），则|z﹣3+4i|的最大值为．10．（5分）直线和圆x2+y2=16交于A，B两点，则AB的中点坐标为．11．（5分）已知直线y=a与函数y=e x+1和的图象分别交于A，B两点，则AB的最小值为．12．（5分）如图正方形BCDE的边长为a，已知AB=BC，将直角△ABE沿BE 边折起，A点在面BCDE上的射影为D点，则翻折后的几何体中有如下描述：（1）AB与DE所成角的正切值是；（2）V B的体积是；﹣ACE（3）AB∥CD；（4）平面EAB⊥平面ADE；（5）直线BA与平面ADE所成角的正弦值为．其中正确的叙述有（写出所有正确结论的编号）．13．（5分）对大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式“分裂”：，，，…，仿此，若m3的“分裂数”中有一个是273，则m=．14．（5分）已知各项均为正数且项数为4的数列{a n}（n=1，2，3，4）的首项为1，若存在a 3，使得对于任意的a4∈（7，8），均有＜a k＜+1（k=1，2）成立，则a2的取值范围为．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（14分）在极坐标系中，设圆C：ρ=8cosθ与直线l：（ρ∈R）交于A，B两点，求以AB为直径的圆的极坐标方程和普通方程．16．（14分）（1）已知a，b，c均为实数，且a=，b=，c=，求证：a，b，c中至少有一个大于0；（2）已知a，b，c均为正数，且a+b+c=2，求证：．17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为（α为参数）．以直角坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l1的极坐标方程为ρcos（θ）=，直线l2的极坐标方程为，点M 是直线l1和直线l2的交点．（1）点P为曲线C上的动点，求点P到直线l1的距离的最大值；（2）设曲线C与直线l1交于点A、B两点，求|MA|+|MB|的值．18．（16分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=2a n+1（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}滿足，证明：数列{b n}是等差数列；（Ⅲ）证明：．19．（16分）设数列{a n}满足a n+1=a n2﹣na n+1，n∈N*．（1）当a1=2时，求a2，a3，a4，并由此猜想出数列{a n}的一个通项公式；（2）当a1≥3时，证明对所有n∈N*，有：①a n≥n+2（用数学归纳法证明）；②++…+．20．（16分）已知函数f（x）=（x＞1）．（1）当a＞0时，讨论g（x）=（x﹣1）2f'（x）的单调性；（2）当a=1时，若f（x）＞n恒成立，求满足条件的正整数n的值；（3）求证：．2017-2018学年江苏省无锡市锡山高级中学高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．）1．（5分）复数z满足z（1+i）=2i（i是虚数单位），则复数z的实部与虚部之和为2．【分析】把已知等式变形，再利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，求出z 的实部和虚部，则答案可求．【解答】解：由z（1+i）=2i，得，∴复数z的实部为1，虚部为1．∴复数z的实部与虚部之和为2．故答案为：2．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2．（5分）某高中共有1200人，其中高一、高二、高三年级的人数依次成等差数列．现用分层抽样的方法从中抽取48人，那么高二年级被抽取的人数为16．【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．【解答】解：高一、高二、高三年级的人数依次成等差数列，设分别为a﹣d，a，a+d，则a﹣d+a+a+d=3a=1200，解得a=400，若用分层抽样的方法从中抽取48人，那么高二年级被抽取的人数为，故答案为：16；【点评】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础．3．（5分）如图所示的流程图，若输入x的值为2，则输出x的值为127．【分析】根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到满足条件x＞7，计算输出x的值．【解答】解：由程序框图知：当输入x=2时，第一次循环x=22﹣3+2=3；第二次循环x=23﹣3+2=7；第三次循环x=27﹣3+2=127．满足条件x＞7，跳出循环体，输出x=127．故答案为：127．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算程序运行的结果是解答此类问题的常用方法．4．（5分）已知f（n）=1+++…+（n∈N*），用数学归纳法证明f（2n）＞时，f（2k+1）﹣f（2k）等于．【分析】首先由题目假设n=k时，代入得到f（2k）=，当n=k+1时，f（2k+1）=由已知化简即可得到结果．【解答】解：因为假设n=k时，f（2k）=，当n=k+1时，f（2k+1）=∴f（2k+1）﹣f（2k）=故答案为：【点评】此题主要考查数学归纳法的概念问题，涵盖知识点少，属于基础性题目．需要同学们对概念理解记忆．5．（5分）执行算法代码“For I From 1 To50 Step 2”，共执行的循环次数为25．【分析】阅读算法代码可知：I的取值构成等差数列，等差d=2，a1=1，a n=50，根据等差数列的通项公式可解得执行次数．【解答】解：算法代码是“For I From 1 To 50 Step 2”，I的取值构成等差数列，等差d=2，a1=1，a n=50，根据等差数列的通项公式：a n=a1+（n﹣1）d，可得：50=1+（n﹣1）×2∴可解得：n=25.5，共执行25次．故答案为：25．【点评】本题主要考查了算法代码及等差数列的通项公式的应用问题，是基础题．6．（5分）若，那么z100+z50+1的值是﹣i．【分析】求出复数z2，然后代入z100+z50+1进行复数幂的运算，即可得到答案．【解答】解：∵，∴．又∵i2=﹣1，i3=﹣i，i4=1，∴z100+z50+1=i50﹣i25+1=﹣i．故答案为：﹣i．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，复数的幂的运算，是基础题．7．（5分）如图是甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环）的茎叶图，则甲与乙的方差和为57.2．【分析】根据茎叶图中的数据，计算甲、乙二人的平均数与方差，求方差和即可．【解答】解：根据茎叶图知，甲的平均数是=×（87+89+90+91+93）=90，方差是=×[（87﹣90）2+（89﹣90）2+（90﹣90）2+（91﹣90）2+（93﹣90）2]=4；乙的平均数是=×（78+88+89+96+99）=90，方差是=×[（78﹣90）2+（88﹣90）2+（89﹣90）2+（96﹣90）2+（99﹣90）2]=53.2；∴甲与乙的方差和为4+53.2=57.2．故答案为：57.2．【点评】本题考查了利用茎叶图求平均数与方差的应用问题，是基础题．8．（5分）已知数据x1，x2，…，x10的均值为2，标准差为s，又知数据3x1+2，3x2+2，…，3x10+2的方差为27，则s=．【分析】由平均数、方差的性质，结合题意得9s2=27，由此能求出s．【解答】解：∵数据x1，x2，…，x10的均值为2，标准差为s，数据3x1+2，3x2+2，…，3x10+2的方差为27，∴9s2=27，解得s=．故答案为：．【点评】本题考查标准差的求法，考查均值、方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．9．（5分）已知复数z满足|z+1+i|=1（i是虚数单位），则|z﹣3+4i|的最大值为6．【分析】利用复数的几何意义，转化求解即可．【解答】解：复数z满足|z+1+i|=1（i是虚数单位），复数z表示，复平面上的点到（﹣1，﹣1）的距离为1的圆．|z﹣3+4i|的几何意义是圆上的点与（3，﹣4）的距离，所以最大值为：=6．故答案为：6．【点评】本题考查复数的几何意义，复数的模的求法，考查转化思想以及计算能力．10．（5分）直线和圆x2+y2=16交于A，B两点，则AB 的中点坐标为（3，﹣）．【分析】把直线的参数方程化为普通方程，代入圆的方程化简，利用一元二次方程根与系数的关系求得x1+x2=6，故AB的中点的横坐标为3，再由直线方程求得AB的中点的纵坐标，从而求得AB的中点坐标．【解答】解：把直线的参数方程消去参数，化为普通方程为x﹣y﹣4=0，代入圆的方程化简可得x2﹣6x+8=0．故有x1+x2=6，故AB的中点的横坐标为3，代入直线方程可得AB的中点的纵坐标为﹣，故AB的中点的坐标为（3，﹣），故答案为（3，﹣）．【点评】本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，直线和圆相交的性质，一元二次方程根与系数的关系，属于基础题．11．（5分）已知直线y=a与函数y=e x+1和的图象分别交于A，B两点，则AB的最小值为．【分析】由题意得到B（a2+1，a），A（lna﹣1，a），其中lna﹣1＜a2+1，且a＞0，表示|AB|，构造函数，确定函数的单调性，即可求出|AB|的最小值．【解答】解：∵直线y=a与函数y=e x+1和的图象分别交于A，B两点，∴B（a2+1，a），A（lna﹣1，a），其中lna﹣1＜a2+1，且a＞0，∴|AB|=a2﹣lna+2，设函数f（a）=a2﹣lna+2，f′（a）=2a﹣，a＞0，令f′（a）=0，解得a=，当f′（a）＞0，即a＞时，函数在（，+∞）单调递增，当f′（a）＜0，即0＜a＜时，函数在（0，）单调递减，故a=时，函数有最小值，最小值为f（）=，故线段AB的长度的最小值为，故答案为：，【点评】本题考查最值问题，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．12．（5分）如图正方形BCDE的边长为a，已知AB=BC，将直角△ABE沿BE 边折起，A点在面BCDE上的射影为D点，则翻折后的几何体中有如下描述：（1）AB与DE所成角的正切值是；（2）V B﹣ACE的体积是；（3）AB∥CD；（4）平面EAB⊥平面ADE；（5）直线BA与平面ADE所成角的正弦值为．其中正确的叙述有（1）（2）（4）（5）（写出所有正确结论的编号）．【分析】（1）由于BC∥DE，则∠ABC（或其补角）为AB与DE所成角；（2）V B﹣ACE 的体积是S△BCE×AD==；（3）根据CD∥BE，可知AB与CD不平行；（4）证明BE⊥平面ADE，利用面面平行的判定，可得平面EAB⊥平面ADE；（5）确定∠BAE为直线BA与平面ADE所成角，即可求解．【解答】解：由题意，AD⊥平面BCDE，AD=a，AC=a（1）由于BC∥DE，∴∠ABC（或其补角）为AB与DE所成角∵AB=，BC=a，AC=a，∴BC⊥AC，∴tan∠ABC=，故（1）正确；（2）V B﹣ACE 的体积是S△BCE×AD==，故（2）正确；（3）∵CD∥BE，∴AB与CD不平行，故（3）不正确；（4）∵AD⊥平面BCDE，BE⊂平面BCDE，∴AD⊥BE，∵BE⊥ED，AD∩ED=D，∴BE⊥平面ADE∵BE⊂平面EAB，∴平面EAB⊥平面ADE，故（4）正确；（5）∵BE⊥平面ADE，∴∠BAE为直线BA与平面ADE所成角在△BAE中，∠BEA=90°，BE=a，AB=，∴sin∠BEA=，故（5）正确故答案为：（1）（2）（4）（5）【点评】本题考查图形的翻折，考查空间线面位置关系，搞清翻折前后的变与不变是关键．13．（5分）对大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式“分裂”：，，，…，仿此，若m3的“分裂数”中有一个是273，则m=9．【分析】由题意知，n的三次方就是n个连续奇数相加，且从2开始，这些三次方的分解正好是从奇数3开始连续出现，由此规律即可找出m3的“分裂数”中有一个是2015时，m的值．【解答】解：由题意，从23到m3，正好用去从3开始的连续奇数共2+3+4+…+m=个，273是从3开始的第136个奇数当m=8时，从23到83，用去从3开始的连续奇数共=35个，当m=9时，从23到93，用去从3开始的连续奇数共=44个，故m=9．故答案为：9．【点评】本题考查归纳推理，求解的关键是根据归纳推理的原理归纳出结论，其中分析出分解式中项数及每个式子中各数据之间的变化规律是解答的关键．14．（5分）已知各项均为正数且项数为4的数列{a n}（n=1，2，3，4）的首项为1，若存在a 3，使得对于任意的a4∈（7，8），均有＜a k＜+1（k=1，2）成立，则a2的取值范围为（2，3）．【分析】通过令k=1、2时得到两个不等式组，进而联立整理可知＜a 2＜，利用a4∈（7，8）即可得结论．【解答】解：依题意，当k=1时，有＜a 2＜，即＜a 2＜，当k=2时，＜a 3＜，联立以上二式可知：2a2﹣1＜a3＜，整理得：a2＜，同理可得：＜，即a 2＞，综上所述，＜a 2＜，∵a4∈（7，8），∴2＜a2＜3，故答案为：（2，3）．【点评】本题考查数列递推式，考查转化思想，注意解题方法的积累，属于中档题．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（14分）在极坐标系中，设圆C：ρ=8cosθ与直线l：（ρ∈R）交于A，B两点，求以AB为直径的圆的极坐标方程和普通方程．【分析】圆C的直角坐标方程为x2+y2﹣8x=0，直线l的直角坐标方程为y=x，联立，得A（0，0），B（4，4），由此能求出以AB为直径的圆的普通方程和极坐标方程．【解答】解：∵圆C：ρ=8cosθ，∴ρ2=8ρcosθ，∴圆C的直角坐标方程为x2+y2﹣8x=0，∵直线l：（ρ∈R），∴直线l的直角坐标方程为y=x，联立，得A（0，0），B（4，4），∴以AB为直径的圆的圆心（2，2），半径r==2，∴以AB为直径的圆的普通方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=8．即x2+y2﹣4x﹣4y=0，∴以AB为直径的圆的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ﹣4ρsinθ=0，即．【点评】本题考查圆的极坐标方程和直角坐标方程的求法，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．16．（14分）（1）已知a，b，c均为实数，且a=，b=，c=，求证：a，b，c中至少有一个大于0；（2）已知a，b，c均为正数，且a+b+c=2，求证：．【分析】（1）用反证法，假设a，b，c都小于或等于0，推出a+b+c的值大于0，出现矛盾，从而得到假设不正确，命题得证．（2）利用综合法，直接证明不等式即可．【解答】证明：（1）假设a，b，c都不大于0即a≤0，b≤0，c≤0根据同向不等式的可加性可得a+b+c≤0①又a+b+c=x2﹣2y++y2﹣2z++z2﹣2x+=（x﹣1）2+（y﹣1）2+（z﹣1）2+π﹣3＞0与①式矛盾．所以假设不成立，即原命题的结论a，b，c中至少有一个大于0．（2）证明：∵，，．∴+（a+b+c）≥2（a+b+c），≥a+b+c，∴，当且仅当a=b=c=1时取等号．【点评】本题的考点有综合法、反证法，考查逻辑推理能力，属于中档题．17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为（α为参数）．以直角坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l1的极坐标方程为ρcos（θ）=，直线l2的极坐标方程为，点M 是直线l1和直线l2的交点．（1）点P为曲线C上的动点，求点P到直线l1的距离的最大值；（2）设曲线C与直线l1交于点A、B两点，求|MA|+|MB|的值．【分析】（1）设P（2cosα，sinα），直线l1的直角坐标方程为x+y﹣2=0，求出点P到直线l1的距离，由此能求出点P到直线l1的距离取最大值．（2）曲线C的直角坐标方程为=1．直线l2的直角坐标方程为y=x，联立，得M（1，1），由此能求出结果．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（α为参数）．点P为曲线C 上的动点，∴设P（2cosα，sinα），∵直线l1的极坐标方程为ρcos（θ）=，∴直线l1的极坐标方程为：ρcosθ+ρsinθ=，∴直线l1的直角坐标方程为x+y﹣2=0，∵点P到直线l1的距离d==，∴当sin（α+θ）=﹣1时，点P到直线l1的距离取最大值=．（2）∵曲线C的参数方程为（α为参数）．∴曲线C的直角坐标方程为=1．∵直线l2的极坐标方程为，∴直线l2的直角坐标方程为y=x，联立，得M （1，1），联立，得A （2，0），B （，），∴|MA |+|MB |=+=．【点评】本题考查点到直线的距离的最大值的求法，两线段和的求法，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．18．（16分）已知数列{a n }满足a 1=1，a n +1=2a n +1（n ∈N *）．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n }滿足，证明：数列{b n }是等差数列；（Ⅲ）证明：．【分析】（Ⅰ）整理题设递推式得a n +1+1=2（a n +1），推断出{a n +1}是等比数列，进而求得a n +1，则a n 可求．（Ⅱ）根据题设等式可推断出2[（b 1+b 2+…+b n ）﹣n ]=nb n 和2[（b 1+b 2+…+b n +b n +1）﹣（n +1）]=（n +1）b n +1．两式相减后整理求得b n +2﹣b n +1=b n +1﹣b n 进而推断出{b n }是等差数列．（Ⅲ）利用（Ⅰ）中数列{a n }的通项公式，利用不等式的传递性，推断出，进而推断出；同时利用不等式的性质推断出，进而代入证明原式．【解答】解：（Ⅰ）∵a n +1=2a n +1（n ∈N *），∴a n +1+1=2（a n +1）， ∴{a n +1}是以a 1+1=2为首项，2为公比的等比数列．∴a n+1=2n．即a n=2n﹣1∈N*）．（Ⅱ）证明：∵∴．∴2[（b1+b2+…+b n）﹣n]=nb n，①2[（b1+b2+…+b n+b n+1）﹣（n+1）]=（n+1）b n+1．②②﹣①，得2（b n+1﹣1）=（n+1）b n+1﹣nb n，即（n﹣1）b n+1﹣nb n+2=0，nb n+2﹣（n+1）b n+1+2=0．③﹣④，得nb n+2﹣2nb n+1+nb n=0，即b n+2﹣2b n+1+b n=0，∴b n+2﹣b n+1=b n+1﹣b n（n∈N*），∴{b n}是等差数列．（Ⅲ）证明：∵，k=1，2，n，∴．∵，k=1，2，…，n，∴，∴．【点评】本小题主要考查数列、不等式等基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力．19．（16分）设数列{a n}满足a n+1=a n2﹣na n+1，n∈N*．（1）当a1=2时，求a2，a3，a4，并由此猜想出数列{a n}的一个通项公式；（2）当a1≥3时，证明对所有n∈N*，有：①a n≥n+2（用数学归纳法证明）；②++…+．【分析】（1）由a1=2，a n+1=a﹣na n+1，n=1，2，3…，可求得a2=3，继而可求得a3=4，a4=5，由此猜想a n的一个通项公式：a n=n+1；（2）利用数学归纳法证明：易证①当n=1时，不等式成立；②假设当n=k时结论成立，即a k≥k+2，去推证n=k+1时，结论也成立即可．=a n（a n﹣n）+1≥2a n+1，整理可得a n+1+1≥2（a n+1），于是（3）由（2）知，a n+1≤，反复放缩，可得≤（）n+1，利用等比数列的求和公式可证得结论成立．【解答】（1）解：由a1=2，得a2=a12﹣a1+1=3；由a2=3，得a3=a22﹣2a2+1=4；由a3=4，得a4=a32﹣3a3+1=5；由此猜想a n的一个通项公式：a n=n+1…4分（2）证明：①当n=1时，a1≥3=1+2，不等式成立…6分+1=a k（a k﹣k）+1≥（k+2）（k+2②假设当n=k时结论成立，即a k≥k+2，则a k+1﹣k）+1≥k+3=（k+1）+2，即n=k+1时，结论也成立．由①和②可知，a n≥n+2…10分=a n（a n﹣n）+1≥2a n+1，（3）证明：由（2）知，a n+1即a n+1≥2（a n+1），于是于是≤，+1反复放缩，可得≤≤…=（）n+1，∴++…+）2+（）3+…+（）n+1=．【点评】本题考查数列递推关系的应用，着重考查数学归纳法的应用，考查归纳猜想、放缩法的应用及推理论证的能力，属于中档题，．20．（16分）已知函数f（x）=（x＞1）．（1）当a＞0时，讨论g（x）=（x﹣1）2f'（x）的单调性；（2）当a=1时，若f（x）＞n恒成立，求满足条件的正整数n的值；（3）求证：．【分析】（1）求得g（x）的解析式，利用导数即可判断其单调性；（2）当a=1时，若f（x）＞n恒成立，等价于f（x）min＞n成立，利用导数求得f（x）min，即得n≤3，故正整数n的值为1、2或3．（3）由（2）知，当x＞1时，f（x）＞3恒成立，即＞3，令x=1+n（n+1），得ln[1+n（n+1）]＞2﹣利用累加法化简整理即得结论成立．【解答】解：（1）f′（x）=，g（x）=ax﹣alnx﹣a﹣1，a＞0时g′（x）=a﹣=＞0，g（x）在（1，+∞）上单调递增；（2）a=1时g（x）=x﹣lnx﹣2，g（3）=3﹣ln3﹣2=ln＜0，g（4）=4﹣ln4﹣2=ln＞0，设g（b）=0，则b∈（3，4）．因为此时g（x）在（1，+∞）上单调递增可知当x∈（1，b）时，g（x）＜0；当x∈（b，+∞）时，g（x）＜0，当x∈（1，b）时，f′（x）＜0；当x∈（b，+∞）时，f′（x）＞0，当x=b时，f（x）min=f（b）=，∵g（b）=0，∴b﹣lnb﹣2=0，即lnb=b﹣2，所以f（b）=b，∵b∈（3，4），∴f（b）∈（3，4），∴n≤3，故正整数n的值为1、2或3．（3）由（2）知，当x＞1时，f（x）＞3恒成立，即＞3，1+lnx＞，lnx＞﹣1==2﹣（x＞1），令x=1+n（n+1），得ln[1+n（n+1）]＞2﹣＞2﹣=2﹣3（﹣）则ln（1+1×2）=ln3（n=1暂时不放缩）ln（1+2×3）＞2﹣3（﹣），…，ln[1+n（n+1）]＞2﹣3（﹣）．以上n个式子相加得：ln（1+1×2）+ln（1+2×3）+…+ln[1+n（n+1）]＞ln3+2（n﹣1）﹣3（﹣）＞lne+2n﹣+=2n﹣+＞2n﹣所以ln{（1+1×2）•（1+2×3）…[1+n（n+1）]}＞2n﹣，即（1+1×2）•（1+2×3）…[1+n（n+1）]＞e2n﹣．【点评】本题主要考查利用导数研究函数单调性等性质，考查分类讨论思想的运用及不等式恒成立问题的解题策略，综合性强，属难题．。

江苏省无锡市江阴四校2017-2018学年高二下学期期中考试数学(理)试题(解析版)

2017-2018学年第二学期高二期中考试数学试题（理科）一、填空题（每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上）1.复数的虚部为__________．【答案】【解析】分析：利用复数除法的运算法则化简复数为的形式，即可得到复数虚部.详解：，则复数的虚部，故答案为.点睛：本题主要考查的是复数的乘法、除法运算，属于中档题．解题时一定要注意和以及运算的准确性，否则很容易出现错误.2.用反证法证明命题“若a、b∈N，ab能被2整除，则a，b中至少有一个能被2整除”，那么反设的内容是．【答案】a、b都不能被2整除．【解析】试题分析：先写出要证明题的否定，即为所求．解：根据用反证法证明数学命题的步骤，应先假设要证命题的否定成立，而要证命题的否定为：“a，b都不能被2整除”，故答案为：a、b都不能被2整除．点评：本题主要考查用反证法证明数学命题的方法和步骤，求一个命题的否定，属于中档题．3.设复数虚数单位),的共轭复数为，则________.【答案】【解析】分析：由，可得，代入，利用复数乘法运算法则整理后，直接利用求模公式求解即可. 详解：因为，所以，，故答案为.点睛：本题主要考查的是共轭复数的概念与运算以及复数的乘法的运算，属于中档题．解题时一定要注意和4.用数学归纳法证明“对于的自然数都成立”时，第一步证明中的起始值应取_____________．【答案】5【解析】由于n=1时，;n=2时，;n=3时，,n=4时，;n=5时，.所以当时，成立5.三段论推理“①矩形是平行四边形；②正方形是矩形；③正方形是平行四边形”中的小前提是．(填写序号)【答案】②【解析】试题分析：小前提是特殊的对象，题中②正方形相对于长方形是特殊对象，因此②是小前提．考点：演绎推理．6.观察下列等式1－＝，1－＋－＝＋，1－＋－＋－＝＋＋，…据此规律，第n个等式可为________________.【答案】1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋【解析】试题分析：观察等式知：第n个等式的左边有个数相加减，奇数项为正，偶数项为负，且分子为1，分母是1到的连续正整数，等式的右边是.故答案为.考点：归纳推理.7.用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数有__________ 个【答案】【解析】分析：用组成无重复数字的五位奇数，可以看作是个空,要求个位是奇数,其它位置无条件限制,因此先从个奇数中任选个填入个位,其它个数在个位置上全排列即可.详解：要组成无重复数字的五位奇数，则个位只能排中的一个数，共有3种排法，然后还剩个数，剩余的个数可以在十位到万位个位置上全排列，共有种排法，由分步乘法计数原理得，由组成的无重复数字的五位数中奇数有个，故答案为.点睛：本题主要考查分步计数原理及位置有限制的排列问题，属于中档题.元素位置有限制的排列问题有两种方法：（1）先让特殊元素排在没限制的位置；（2）先把没限制的元素排在有限制的位置.8.设，那么______．【答案】【解析】分析：根据函数表达式含义，准确判断出与项数变化规律以及之间的关系即可得到结论.详解：，，，故答案为.点睛：项数的变化规律，是利用数学归纳法解答问题的基础，也是易错点，要使问题顺利得到解决，关键是注意两点：一是首尾两项的变化规律；二是相邻两项之间的变化规律.9.已知，则_________.【答案】【解析】分析：由组合数性质得，解方程求出，进而能求出的值.详解：，，化简得，，，解得或（舍去），，故答案为.点睛：本题主要考查组合式的运算，解答这类问题，一定注意记忆常见组合式：（1）；（2）；（3）.10.的展开式中的系数为70，则________．【答案】【解析】分析：先求出二项式展开式的通项公式,再令的幂指数等于,求得的值,即可求得展开式中的的系数,再根据的系数为70 ,求得的值.详解：的展开式中通项公式的为，令，求得，故的系数为，则，故答案为.点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.11.在数列中，，可以猜测数列通项的表达式为_________.【答案】【解析】分析：根据，，，依次由，分别求出，仔细观察，总结规律，可猜想.详解：，，，由此猜测，故答案为.点睛：归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.12.记等差数列得前项和为，利用倒序相加法的求和办法，可将表示成首项，末项与项数的一个关系式，即；类似地，记等比数列的前项积为，类比等差数列的求和方法，可将表示为首项，末项与项数的一个关系式，即公式______．【答案】【解析】分析：由等差数列类比等比数列，在运用类比推理时，通常等差数列中的求和类比等比数列中乘积，从而可得结果，.详解：在等差数列得前项和为，因为等差数列中的求和类比等比数列中的乘积，所以各项均为正的等比数列的前项积，故答案为.点睛：本题主要考查类比推理，属于中档题.类比推理问题，常见的类型有：（1）等差数列与等比数列的类比；（2）平面与空间的类比；（3）椭圆与双曲线的类比；（4）复数与实数的类比；（5）向量与实数的类比.13.已知，则__________．【答案】180【解析】，，，故答案为.【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于中档题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.14.学校将从4名男生和4名女生中选出4人分别担任辩论赛中的一、二、三、四辩手，其中男生甲不适合担任一辩手，女生乙不适合担任四辩手．现要求：如果男生甲入选，则女生乙必须入选．那么不同的组队形式有_________种．【答案】【解析】分析：分三种情况讨论，分别求出甲乙都入选、甲不入选，乙入选、甲乙都不入选,，相应的情况不同的组队形式的种数，然后求和即可得出结论.详解：若甲乙都入选，则从其余人中选出人，有种，男生甲不适合担任一辩手，女生乙不适合担任四辩手，则有种，故共有种；若甲不入选，乙入选，则从其余人中选出人，有种，女生乙不适合担任四辩手，则有种，故共有种；若甲乙都不入选，则从其余6人中选出人，有种，再全排，有种，故共有种，综上所述，共有，故答案为.点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.二、解答题（本大题共6小题，共90分。

江苏省无锡市高二下学期期中数学试卷(理科)

江苏省无锡市高二下学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分） (2017高二下·寿光期中) 已知自然数x满足3A ﹣2A =6A ，则x（）A . 3B . 5C . 4D . 62. （2分） (2016高二下·吉林期中) 在10个球中有6个红球和4个白球（各不相同），不放回地依次摸出2个球，在第一次摸出红球的条件下，第2次也摸到红球的概率为（）A .B .C .D .3. （2分）设复数z满足（1+2i）z=5i，则复数z为（）A . 2+iB . ﹣2+iC . 2﹣iD . ﹣2﹣i4. （2分） (2016高二下·宜春期末) 给出下列四个结论：①若命题，则¬p：∀x∈R，x2+x+1≥0；②“（x﹣3）（x﹣4）=0”是“x﹣3=0”的充分而不必要条件；③命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实数根”的逆否命题为：“若方程x2+x﹣m=0没有实数根，则m≤0”；④若a＞0，b＞0，a+b=4，则的最小值为1．其中正确结论的个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 45. （2分）设随机变量X等可能取值1，2，3，…，n，如果P（X＜4）=0.3，那么（）A . n=3B . n=4C . n=10D . n=96. （2分）己知正四棱锥S﹣ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE，SD所成角的余弦值为（）A .B .C .D .7. （2分）(2018·安徽模拟) 已知，若在区间（0,1）上有且只有一个极值点，则的取值范围为（）A .B .C .D .8. （2分）(2016·深圳模拟) 过点（0，2b）的直线l与双曲线C：﹣ =1（a，b＞0）的一条斜率为正值的渐近线平行，若双曲线C的右支上的点到直线l的距离恒大于b，则双曲线C的离心率的取值范围是（）A . （1，2]B . （2，+∞）C . （1，2）D . （1， ]9. （2分）已知服从正态分布N（μ，σ2）的随机变量，在区间（μ﹣σ，μ+σ），（μ﹣2σ，μ+2σ）和（μ﹣3σ，μ+3σ）内取值的概率分别为68.3%，95.4%和99.7%．某大型国有企业为10000名员工定制工作服，设员工的身高（单位：cm）服从正态分布N（173，52），则适合身高在163～178cm范围内员工穿的服装大约要定制（）A . 6830套B . 9540套C . 8185套D . 9755套10. （2分） (2016高二下·信阳期末) 甲、乙两人进行射击比赛，他们击中目标的概率分别为和（两人是否击中目标相互独立），若两人各射击2次，则两人击中目标的次数相等的概率为（）A .B .C .D .11. （2分）某种树的分枝生长规律如图所示，则预计到第6年树的分枝数为（）A . 5B . 6C . 7D . 812. （2分） (2018高二下·济宁期中) “ ”是个很神奇的数，对其进行如下计算：，，，，，如此反复运算，则第次运算的结果是（）A .B .C .D .二、填空题： (共4题；共4分)13. （1分） (2016高二下·三亚期末) 如图，用5种不同颜色给图中的A、B、C、D四个区域涂色，规定一个区域只涂一种颜色，相邻区域必须涂不同的颜色，不同的涂色方案有________种．14. （1分）命题“∃x∈R，x≤﹣1或x≥2”的否定是________．15. （1分） (2017高二上·广东月考) 已知、分别是椭圆的左、右焦点，为直线上的点，是底角为的等腰三角形，则椭圆的离心率为________．16. （1分）已知函数f（x）=|log2x|在区间[m﹣2，2m]内有定义且不是单调函数，则m的取值范围为________．三、解答题： (共6题；共65分)17. （20分）已知（2﹣ x）50=a0+a1x+a2x2+…+a50x50 ，其中a0 ， a1 ，…a50是常数，计算：（1）a0+a1+a2+…+a50；（2）a0+a2+…+a50；（3） a10；（4）（a0+a2+a4+…+a50）2﹣（a1+a3+…+a49）2．18. （10分） (2016高二上·嘉定期中) 已知数列{an}满足条件（n﹣1）an+1=（n+1）（an﹣1），且a2=6，（1）计算a1、a3、a4，请猜测数列{an}的通项公式并用数学归纳法证明；（2）设bn=an+n（n∈N*），求的值．19. （5分）(2016·韶关模拟) 已知四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，E 是BC中点，M是PD上的中点，F是PC上的动点．（Ⅰ）求证：平面AEF⊥平面PAD（Ⅱ）直线EM与平面PAD所成角的正切值为，当F是PC中点时，求二面角C﹣AF﹣E的余弦值．20. （15分）(2016·中山模拟) 现有4个人去参加娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．（1）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；（2）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；（3）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ=|X﹣Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ．21. （5分）(2018·佛山模拟) 已知直线过点，且与抛物线相交于两点，与轴交于点，其中点在第四象限，为坐标原点.(Ⅰ)当是中点时，求直线的方程；(Ⅱ)以为直径的圆交直线于点，求的值.22. （10分）设a为实数，函数f（x）=x3﹣x2﹣x+a（1）求f（x）的极值（2）曲线y=f（x）与x轴仅有一个交点，求a的取值范围．参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题： (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题： (共6题；共65分) 17-1、17-2、17-3、17-4、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、20-3、21-1、22-1、22-2、。

江苏省无锡市高二下学期期中数学试卷(理科)

江苏省无锡市高二下学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)2. （2分） (2016高三上·厦门期中) 如图，某飞行器在4千米高空飞行，从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（）A . y= ﹣ xB . y= x3﹣ xC . y= x3﹣xD . y=﹣ x3+ x3. （2分）下面用“三段论”形式写出的演绎推理：因为指数函数y=ax（a＞0且a≠1）在（0，+∞）上是增函数，y=（）x是指数函数，所以y=（）x在（0，+∞）上是增函数．该结论显然是错误的，其原因是（）A . 大前提错误B . 小前提错误C . 推理形式错误D . 以上都可能4. （2分）已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足关系式f（x）=x2+3xf′（1），则f′（1）的值等于（）A .B . -C . 1D . -15. （2分）如图是解决数学问题的思维过程的流程图：图中①、②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法相匹配是（）A . ①﹣分析法，②﹣综合法B . ①﹣综合法，②﹣分析法C . ①﹣综合法，②﹣反证法D . ①﹣分析法，②﹣反证法6. （2分） (2017高二下·沈阳期末) 来自中国、英国、瑞典的乒乓球裁判各两名，执行奥运会的一号、二号和三号场地的乒乓球裁判工作，每个场地由两名来自不同国家的裁判组成，则不同的安排方案总数有（）A . 种B . 种C . 种D . 种7. （2分） (2017高二下·武汉期中) 已知函数f（x）=xlnx﹣ ax2有两个极值点，则实数a的取值范围为（）A . （﹣∞，0）B . （0，+∞）C . （0，）D . （0，1）8. （2分） (2017高二下·黄山期末) 春天来了，某学校组织学生外出踏青.4位男生和3位女生站成一排合影留念，男生甲和乙要求站在一起，3位女生不全站在一起，则不同的站法种数是（）A . 964B . 1080C . 1152D . 12969. （2分） (2016高二下·辽宁期中) 已知随机变量x服从二项分布x～B（6，），则P（x=2）=（）A .B .C .D .10. （2分） (2015高二下·广安期中) 函数的最大值为（）A .B . e2C . eD . e﹣111. （2分）设集合A={x∈Q|x＞﹣2}，则（）A . ∅∈AB . ∉AC . ∈AD . {}∈12. （2分）将1枚硬币抛2次，恰好出现1次正面的概率是（）A .B .C .D . 0二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·自贡模拟) 已知n= x3dx，则（x﹣）n的展开式中常数项为________．14. （1分）有10本不同的数学书，9本不同的语文书，8本不同的英语书，从中任取两本不同类的书，共有不同的取法________ 种．15. （1分）(2017·青浦模拟) 生产零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为0.01和p，每道工序产生废品相互独立，若经过两道工序得到的零件不是废品的概率是0.9603，则p=________．16. （1分） (2017高二下·南昌期末) 随机变量ξ的分布列如下：ξ﹣101P a b c其中a，b，c成等差数列，若Eξ= ，则Dξ的值是________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （5分） (2016高二下·通榆期中) 已知的展开式中，某一项的系数恰好是它前一项系数的2倍，是它后一项系数的倍，求该展开式中二项式系数最大的项．18. （10分） (2018高二上·哈尔滨期中) 已知椭圆的两个焦点分别为、，为椭圆的一个短轴顶点，．（1）求椭圆的标准方程；（2）若经过椭圆左焦点的直线交椭圆于、两点，为椭圆的右顶点，求面积的最大值．19. （5分）某体育彩票规定：从01至36个号中抽出7个号为一注，每注2元，某人想从01至10中选3个连续的号，从11至20中选2个连续的号，从21至30中选1个号，从31至36中选1个号组成一注，此人想把这种特殊要求的号买全，需要花多少钱?20. （10分）(2017·延边模拟) 微信是现代生活进行信息交流的重要工具，随机对使用微信的60人进行了统计，得到如下数据统计表，每天使用微信时间在两小时以上的人被定义为“微信达人”，不超过2两小时的人被定义为“非微信达人”，己知“非微信达人”与“微信达人”人数比恰为3：2．（1）确定x，y，p，q的值，并补全须率分布直方图；（2）为进一步了解使用微信对自己的日不工作和生活是否有影响，从“微信达人”和“非微信达人”60人中用分层抽样的方法确定10人，若需从这10人中随积选取3人进行问卷调查，设选取的3人中“微信达人”的人数为X，求X的分布列和数学期望．使用微信时间（单频数频率位：小时）（0，0.5]30.05（0.5，1]x p（1，1.5]90.15（1.5，2]150.25（2，2.5]180.30（2.5，3]y q合计60 1.0021. （10分）已知函数f（x）=5+lnx，g（x）= （k∈R）．（1）若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线与函数y=g（x）的图象相切，求k的值；（2）若k∈N*，且x∈（1，+∞）时，恒有f（x）＞g（x），求k的最大值．（参考数据：ln5≈1.61，ln6≈1.7918，ln（ +1）=0.8814）22. （10分） (2019高三上·沈阳月考) 司机在开机动车时使用手机是违法行为，会存在严重的安全隐患，危及自己和他人的生命. 为了研究司机开车时使用手机的情况，交警部门调查了名机动车司机，得到以下统计：在名男性司机中，开车时使用手机的有人，开车时不使用手机的有人；在名女性司机中，开车时使用手机的有人，开车时不使用手机的有人．（1）完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为开车时使用手机与司机的性别有关；开车时使用手机开车时不使用手机合计男性司机人数女性司机人数合计（2）以上述的样本数据来估计总体，现交警部门从道路上行驶的大量机动车中随机抽检3辆，记这3辆车中司机为男性且开车时使用手机的车辆数为，若每次抽检的结果都相互独立，求的分布列和数学期望．参考公式与数据：参考数据：参考公式，其中 .参考答案一、选择题 (共12题；共24分)2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分)17-1、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。

(解析版)江苏省无锡市2017-2018学年高二下学期期末数学(理)试题

无锡市普通高中2018年春学期期终教学质量抽测建议卷高二数学（理）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应．．．．．的位置上.）1. 已知复数，其中是虚数单位，则的模是__________．【答案】【解析】分析：分子分母同时乘以，化简整理，得出，再得模。

详解：，所以。

点睛：复数的除法运算公式。

2. 设离散型随机变量的概率分布如下：则的值为__________．【答案】【解析】分析：离散型随机变量的概率之和为 1详解：解得：。

点睛：离散型随机变量的概率之和为1，是分布列的性质。

3. 已知直线在矩阵对应的变换作用下变为直线：，则直线的方程为__________．【答案】【解析】分析：用相关点法求解，设直线上的点为直线上的点为，所以，，代入直线的方程详解：设直线上的点为直线上的点为，直线在矩阵对应的变换作用下所以：，代入直线的方程整理可得直线的方程为。

点睛：理解矩阵的计算规则和相互之间的转换。

4. 直线与圆相交的弦长为__________．【答案】【解析】试题分析：将直线化为普通方程为：，∵，∴，化为普通方程为：，即，联立得，解得，∴直线与圆相交的弦长为故答案为．将极坐标方程化为直角坐标系方程是常用方法．考点：简单曲线的极坐标方程．5. 若，，则，的大小关系是__________．【答案】【解析】分析：作差法，用，判断其符号。

详解：，所以，。

点睛：作差法是比较大小的基本方法，根式的分子有理化是解题的关键6. 求值：__________．【答案】1【解析】分析：观察通项展开式中的中的次数与中的一致。

详解：通项展开式中的，故=点睛：合并二项式的展开式，不要纠结整体的性质，抓住具体的某一项中的中的次数与中的一致，有负号时注意在上还是在上。

7. 有甲、乙、丙三项不同任务，甲需由人承担，乙、丙各需由人承担，从人中选派人承担这三项任务，不同的选法共有__________种．（用数字作答）【答案】60【解析】分析：先从5人中选4人（组合），再给4个人分派3项任务，甲需2人，乙、丙各需由人。

2017-2018年江苏省无锡市锡山高级中学高二(下)期中数学试卷(理科)和答案

江苏省无锡市高二下学期期中数学试卷(理科)

江苏省无锡市高二下学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）=（）A . 1B .C .D .2. （2分） (2017高二下·福州期末) 祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等．设A，B为两个同高的几何体，p：A，B的体积不相等，q：A，B在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，q是p的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件3. （2分）因为四边形ABCD是矩形，所以四边形ABCD的对角线相等。

以上推理的大前提是（）A . 矩形都是对边平行且相等的四边形.B . 矩形都是对角线相等的四边形C . 对边平行且相等的四边形都是矩形.D . 对角线相等的平行四边形是矩形4. （2分）对“a ， b ， c是不全相等的正数”，给出下列判断：① ；②a＞b与a＜b及a≠c中至少有一个成立；③a≠c ，b≠c ，a≠b不能同时成立.其中判断正确的个数为（）A . 0个B . 1个C . 2个D . 3个5. （2分） (2016高二下·武汉期中) f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）+f （x）≤0，对任意正数a、b，若a＜b，则必有（）A . af（b）≤bf（a）B . bf（a）≤af（b）C . af（a）≤f（b）D . bf（b）≤f（a）6. （2分）用数学归纳法证明不等式，第二步由k到k+1时不等式左边需增加（）A .B .C .D .7. （2分）设函数f（x）=（x+a）n ，其中n=6cosxdx，=-3，则f（x）的展开式中x4的系数为（）A . -360B . 360C . -60D . 608. （2分）在各项均为正数的等比数列｛an}中，,则（）A . 4B . 6C . 8D .9. （2分） (2015高二下·福州期中) 下列求导运算正确的是（）A . （）′=xB . （x•ex）′=ex+1C . （x2cosx）′=﹣2xsinxD .10. （2分）如图所示，阴影部分的面积是（）A .B .C .D .11. （2分） (2019高一上·四川期中) 已知，那么=（）A . 3B .C . 4D .12. （2分）已知f（x）=xlnx﹣ax，g（x）=x3﹣x+6，若对任意的x∈（0，+∞），2f （x）≤g′（x）+2恒成立，则实数a的取值范围为（）A . [﹣2，﹣]B . [﹣2，+∞）C . （﹣∞，﹣]D . （﹣∞，﹣2]二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）若复数z满足（i为虚数单位），则复数z=________14. （1分） (2017高三下·武邑期中) 设的展开式中的常数项等于________．15. （1分） (2015高二下·登封期中) 在圆中有“圆心与弦（非直径）的中点的连线垂直于弦所在的直线”．比上述性质，相应地：在球中有________．16. （1分）当n为正奇数时，求证xn+yn被x+y整除，当第二步假设n=2k﹣1时命题为真，进而需验证n=________ ，命题为真．三、解答题 (共6题；共50分)17. （5分）设复数z=a+i（i是虚数单位，a∈R，a＞0），且|z|=．（Ⅰ）求复数z；（Ⅱ）在复平面内，若复数+（m∈R）对应的点在第四象限，求实数m取值范围．18. （5分）(2017·西城模拟) 已知函数，其中a∈R．（Ⅰ）给出a的一个取值，使得曲线y=f（x）存在斜率为0的切线，并说明理由；（Ⅱ）若f（x）存在极小值和极大值，证明：f（x）的极小值大于极大值．19. （5分） (2018高三上·湖南月考) 已知函数（为常数）与轴有唯一的公关点．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）曲线在点处的切线斜率为，若存在不相等的正实数，满足，证明：．20. （5分） (2018高二下·惠东月考) 如图，四棱锥P-ABCD的底面为菱形，平面，PA=AB=2，E,F分别为CD,PB的中点，．（Ⅰ）求证：平面平面PAB．（Ⅱ）求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的余弦值．21. （15分） (2016高二上·上海期中) 设数列{an}的首项a1=1，前n项和Sn满足关系式：3tSn﹣（2t+3）Sn﹣1=3t（t＞0，n=2，3，4…）（1）求证：数列{an}是等比数列；（2）设数列{an}的公比为f（t），作数列{bn}，使，求数列{bn}的通项bn；（3）求和：b1b2﹣b2b3+b3b4﹣b4b5+…+b2n﹣1b2n﹣b2nb2n+1．22. （15分） (2017高二下·眉山期末) 设函数f（x）=x2+bln（x+1），其中b≠0．（1）当b=1时，求曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程；（2）讨论函数f（x）的单调性；（3）当n∈N*，且n≥2时证明不等式：ln[（ +1）（ +1）…（ +1）]+ + +…+ ＞﹣．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分) 17-1、18-1、19-1、20-1、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、22-3、。

【教育资料】江苏省锡山高级中学2017—2018学年度第二学期期中考试高二数学(理)试卷(无答案)学习专用

江苏省锡山高级中学2019—2019学年度第二学期期中考试高二数学（理）2019．5一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 1．复数z 满足z (1＋i )＝2i （i 是虚数单位），则复数z 的实部与虚部之和为．2．某高中共有1200人，其中高一、高二、高三年级的人数依次成等差数列，现用分层抽样的方法从中抽取48人，那么高二年级被抽取的人数为．3．执行如图所示的流程图，若输入的x 的值为2，则输出的x 的值为． 4．已知111()1()23f n n N n *=++++∈，用数学归纳法证明(2)2n nf >时，1(2)k f +-(2)k f 等于．5．执行算法代码“For I From 1 To 50 Step 2”，共执行的循环次数为． 6．若1z i=+，那么100501z z ++的值是． 7．如图是甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环）的茎叶图，则甲与乙的方差和为．第7题第12题第3题8．已知数据1x ，2x ，…，10x 的均值为2，标准差为s ，又知数据31x ＋2，32x ＋2，…，310x ＋2的方差为27，则s ＝．9．已知复数z 满足11z i ++=（i 是虚数单位），则34z i-+的最大值为．10．若直线1122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）和圆2216x y +=交于A ，B 两点，则AB 的中点坐标为． 11．已知直线y a =与函数1x y e+=和y =A ，B 两点，则AB 的最小值为．12．如图，正方形ABCD 的边长为a ，已知AB ，将直角△ABE 沿BE 边折起，点A 在面BCDE 上的射影为D 点，则翻折后的几何体中有如下描述：①AB 与DE 所成角；②V B —ACE 的体积是216a ；③AB ∥CD ；④平面EAB ⊥平面ADE ；⑤直线BA 与平面ADE其中正确的叙述有（写出所有正确结论的编号）．13．对大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式“分裂”：3325⎧⎨⎩，373911⎧⎪⎨⎪⎩，3131541719⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，…，仿此，若m 3的“分裂数”中有一个是273，则m ＝．14．已知各项均为正数且项数为4的数列{n a }（n ＝1，2，3，4）的首项为1，若存在3a ，使得对于任意的4a ∈(7，8)212k k k a a a +++<<（k ＝1，2）成立，则2a 的取值范围为．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）在极坐标系中，设圆C ：8cos ρθ=与直线l ：4πθ=(R ρ∈)交于A ，B 两点，求以AB 为直径的圆的极坐标方程和普通方程． 16．（本题满分14分）（1）已知a ，b ，c 均为实数，且a ＝222x y π-+，b ＝223y z π-+，c ＝226z x π-+，求证：a ，b ，c 中至少有一个大于0；（2）已知a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝2，求证：2222a b c b c a++≥． 17．（本题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数)．以直角坐标系原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 1的极坐标方程为cos(ρθ)4π-=，直线l 2的极坐标方程为4πθ=，点M 是直线l 1和直线l 2的交点．（1）点P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 1的距离的最大值；（2）设曲线C 与直线l 1交于点A 、B 两点，求MA MB +的值．18．（本题满分16分）已知数列{n a }满足1a ＝1，121n n a a +=+，n N *∈．（1）求数列{n a }的通项公式；（2）若数列{n b }满足12111444(1)n n b b b b n a ---=+，n N *∈，证明：数列{n b }是等差数列；（3）证明：122311232n n a a a n na a a +-<+++<(n N *∈)．19．（本题满分16分）设数列{n a }满足211n n n a a na +=-+，n N *∈．（1）当1a ＝2时，求2a ，3a ，4a ，并由此猜想出数列{n a }的一个通项公式；（2）当1a ≥3时，证明对所有n N *∈，有：①2n a n ≥+（用数学归纳法证明）；②111a +＋211a +＋…＋1112n a ≤+．20．（本题满分16分）已知函数(1ln )()(1)1x a x f x x x +=>-．（1）当a ＞0时，讨论2()(1)()g x x f x '=-的单调性；（2）当a ＝1时，若()f x n >恒成立，求满足条件的正整数n 的值；（3）求证：522(1+12)(1+23)[1+(1)]n n n e-⨯⨯⨯⨯⨯+>．。

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2016-2017学年江苏省无锡市锡山区天一中学高二（下）期中数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题纸相应位置上．1．（5分）从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出2台，其中甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法种数为．2．（5分）若5把钥匙中只有两把能打开某锁，则从中任取一把钥匙能将该锁打开的概率为．3．（5分）已知绕原点逆时针旋转变换矩阵为，则其旋转角θ（θ∈[0，2π））为．4．（5分）在[﹣1，1]上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交”发生的概率为．5．（5分）由曲线4x2+y2=1变换为曲线：4x2+4y2=1，伸压变换所对应的矩阵为．6．（5分）（1+x）3+（1+x）4+…+（1+x）50的展开式中的x3的系数为．7．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1任意取点，则该点落在四棱锥B1﹣ABCD内部的概率是．8．（5分）有编号分别为1、2、3、4的四个盒子和四个小球，把小球全部放入盒子，则恰有一个空盒子的放法数为．9．（5分）从只有3张中奖的10张彩票中不放回随机逐张抽取，设X表示直至抽到中奖彩票时的次数，则P（X=4）=．10．（5分）将3个骰子全部掷出，设出现6点的骰子的个数为X，则P（X≥2）=．11．（5分）由1、2、3、4、5这五个数字组成没有重复数字的四位数，则所有这些四位数的个位数字的和为．12．（5分）已知m，n∈N*，f（x）=（1+x）m+（1+x）n展开式中x的系数为19，则当x2的系数最小时展开式中x7的系数为．13．（5分）已知（a2+1）n展开式中各项系数之和等于（x2+）5的展开式的常数项，而（a2+1）n的展开式的二项式系数最大的项的系数等于54，求a的值．14．（5分）若存在n∈N*使得（ax+1）2n和（x+a）2n+1（其中a≠0）的展开式中含x n项的系数相等，则a的最大值为．二、解答题：本大题共6题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（15分）求解以下两小题：（1）91100除以100的余数是几？（2）若（1+x）6（1﹣2x）5=a0+a1x+a2x2+…+a11x11．求：（i）a1+a2+a3+…+a11；（ii）a0+a2+a4+…+a10．16．（15分）平面内有9个点，其中有4个点共线，其它无任何三点共线；（1）过任意两点作直线，有多少条？（2）能确定多少条射线？（3）能确定多少个不同的圆？17．（15分）设AB=6，在线段AB上任取两点（端点A、B除外），将线段AB分成了三条线段，（1）若分成的三条线段的长度均为正整数，求这三条线段可以构成三角形的概率；（2）若分成的三条线段的长度均为正实数，求这三条线段可以构成三角形的概率．18．（15分）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得﹣200分）．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的许多人都发现．若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．19．（15分）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：（I）“星队”至少猜对3个成语的概率；（II）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX．20．（15分）（1）已知k、n∈N*，且k≤n，求证：；（2）设数列a0，a1，a2，…满足a0≠a1，a i﹣1+a i+1=2a i（i=1，2，3，…）．证明：对任意的正整数n，是关于x的一次式．2016-2017学年江苏省无锡市锡山区天一中学高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题纸相应位置上．1．（5分）从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出2台，其中甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法种数为20．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①、先在4台甲型电视机取出1台，有4种取法；②、再在5台乙型电视机中取出1台，有5种取法；则有4×5=20种不同的取法；故答案为：20．2．（5分）若5把钥匙中只有两把能打开某锁，则从中任取一把钥匙能将该锁打开的概率为．【解答】解：5把钥匙中只有两把能打开某锁，从中任取一把钥匙，基本事件总数n=5，能将该锁打开包含的基本事件个数m=2，∴从中任取一把钥匙能将该锁打开的概率为p=．故答案为：．3．（5分）已知绕原点逆时针旋转变换矩阵为，则其旋转角θ（θ∈[0，2π））为．【解答】解：由题意可知：=，则，则旋转角θ=，故答案为：．4．（5分）在[﹣1，1]上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交”发生的概率为．【解答】解：圆（x﹣5）2+y2=9的圆心为（5，0），半径为3．圆心到直线y=kx的距离为，要使直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交，则＜3，解得﹣＜k＜．∴在区间[﹣1，1]上随机取一个数k，使直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交相交的概率为=．故答案为：．5．（5分）由曲线4x2+y2=1变换为曲线：4x2+4y2=1，伸压变换所对应的矩阵为．【解答】解：设伸压变换所对应的矩阵为A，设P（x，y）为曲线4x2+y2=1，即（2x）2+y2=1上的任意一点，在矩阵A对应的变换下变为另一个点P'（x'，y'），则有（2x′）2+（2y′）2=1，∴，即，即=，故A=，故答案为：．6．（5分）（1+x）3+（1+x）4+…+（1+x）50的展开式中的x3的系数为47600．【解答】解：（1+x）3+（1+x）4+…+（1+x）50的展开式中的x3的系数为C33+C43+C53+…+C503=C44+C43+C53+…+C503=C514=47600，故答案为：476007．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1任意取点，则该点落在四棱锥B1﹣ABCD内部的概率是．【解答】解：由题意，本题想几何概型，由已知得到设长方体ABCD﹣A1B1C1D1的长宽高分别为a，b，c，则体积为abc，四棱锥B1﹣ABCD的体积为abc，所以由几何概型的公式得到所求概率是；故答案为：．8．（5分）有编号分别为1、2、3、4的四个盒子和四个小球，把小球全部放入盒子，则恰有一个空盒子的放法数为144．【解答】解：根据题意，四个盒子中恰有一个空盒，则这4个盒子中只有3个盒子内有小球，且放入球的盒子中小球数目只能是1、1、2．分2步进行分析：先从4个小球中任选2个放在一起，有C24种方法，然后与其余2个小球看成三组，分别放入4个盒子中的3个盒子中，有A34种放法．由分步计数原理知共有C24A34=144种不同的放法；故答案为：1449．（5分）从只有3张中奖的10张彩票中不放回随机逐张抽取，设X表示直至抽到中奖彩票时的次数，则P（X=4）=．【解答】解：从只有3张中奖的10张彩票中不放回随机逐张抽取，所有的情况为：=720，X表示直至抽到中奖彩票时的次数为4，前3次没有中奖，最后1次中奖的情况为•••=630，因此所求的概率值为：P==．故答案为：．10．（5分）将3个骰子全部掷出，设出现6点的骰子的个数为X，则P（X≥2）=．【解答】解：每个骰子出现6点的概率为，P（X≥2）=P（X=2）+P（X=3）=••+•=．故答案为：．11．（5分）由1、2、3、4、5这五个数字组成没有重复数字的四位数，则所有这些四位数的个位数字的和为360．【解答】解：根据题意，分5种情况讨论：①、当个位数字为1时，在2、3、4、5四个数中任取3个，安排在前3个数位，有A43=24种情况，即当个位数字为1时，有24个满足题意的四位数，则其个位数字的和为1×24=24，②、当个位数字为2时，同理可得有24个满足题意的四位数，则其个位数字的和为2×24=48，③、当个位数字为3时，同理可得有24个满足题意的四位数，则其个位数字的和为3×24=72，④、当个位数字为4时，同理可得有24个满足题意的四位数，则其个位数字的和为4×24=96，⑤、当个位数字为5时，同理可得有24个满足题意的四位数，则其个位数字的和为5×24=120，则所有这些四位数的个位数字的和为24+48+72+96+120=360；故答案为：360．12．（5分）已知m，n∈N*，f（x）=（1+x）m+（1+x）n展开式中x的系数为19，则当x2的系数最小时展开式中x7的系数为156．【解答】解：m，n∈N*，f（x）=（1+x）m+（1+x）n展开式中x的系数为19，∴m+n=19．则当x2的系数====n2﹣19n+171=+．∴n=10或9时，x2的系数最小为：81．∴f（x）=（1+x）9+（1+x）10．展开式中x7的系数==156．故答案为：156．13．（5分）已知（a2+1）n展开式中各项系数之和等于（x2+）5的展开式的常数项，而（a2+1）n的展开式的二项式系数最大的项的系数等于54，求a的值．【解答】解：由（x2+）5得，T r+1=C5r（x2）5﹣r（）r=（）5﹣r•C5r•x．令T r+1为常数项，则20﹣5r=0，∴r=4，∴常数项T5=C54×=16．又（a2+1）n展开式的各项系数之和等于2n．由题意得2n=16，∴n=4．由二项式系数的性质知，（a2+1）n展开式中二项式系数最大的项是中间项T3，∴C42a4=54，∴a=±．14．（5分）若存在n∈N*使得（ax+1）2n和（x+a）2n+1（其中a≠0）的展开式中含x n项的系数相等，则a的最大值为．【解答】解：设（x+a）2n+1的展开式为T r+1，则T r+1=C2n+1r x2n+1﹣r a r，令2n+1﹣r=n，得r=n+1，所以x n的系数为C2n+1n+1a n+1．由C2n+1n+1m n+1=C2nn a n，得a=是关于n的减函数，∵n∈N+，∴＜a≤，故a的最大值为，故答案为：．二、解答题：本大题共6题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（15分）求解以下两小题：（1）91100除以100的余数是几？（2）若（1+x）6（1﹣2x）5=a0+a1x+a2x2+…+a11x11．求：（i）a1+a2+a3+…+a11；（ii）a0+a2+a4+…+a10．【解答】解：（1）由91100 =（90+1）100=•90100+•9099+•9098+…+•90+•（90）0∵除了•90+•（90）0以外，其他项都能被100整除．∴9001÷100可得余数为1．故得91100除以100的余数是1．（2）令x=0，可得：a0=1．令x=1，可得：a0+a1+a2+a3+…+a11=﹣26，可得a1+a2+a3+…+a11=﹣65．令x=﹣1，可得：a0﹣a1+a2﹣a3+…﹣a11=0，相加可得a0+a2+a4+…+a10=﹣32．16．（15分）平面内有9个点，其中有4个点共线，其它无任何三点共线；（1）过任意两点作直线，有多少条？（2）能确定多少条射线？（3）能确定多少个不同的圆？【解答】解：（1）：共线中的4点任取两点构成同一直线，1条；在共线中的4点任取1点，从4个共线之外的5个点选1个点，可构成4×5=20条；在共线中的4点不取，从4个共线之外的5个点人选2个点，可构成C52=10条；故一共1+20+10=31条．（2）任取两点都有两点都有2条射线，共有A92=72条，（3）从4个共线之外的5个点人选3个，故有C53=10个圆，从共线中的4点选1个，从4个共线之外的5个点人选2个，故有C41C52=40个，从共线中的4点选2个，从4个共线之外的5个点人选1个，故有C42C51=30个，故一共10+40+30=80个，17．（15分）设AB=6，在线段AB上任取两点（端点A、B除外），将线段AB分成了三条线段，（1）若分成的三条线段的长度均为正整数，求这三条线段可以构成三角形的概率；（2）若分成的三条线段的长度均为正实数，求这三条线段可以构成三角形的概率．【解答】解：（1）若分成的三条线段的长度均为正整数，则三条线段的长度的所有可能为：1，1，4；1，2，3；1，3，2；1，4，1；2，1，3；2，2，2；2，3，1；3，1，2；3，2，1；4，1，1共10种情况，其中只有三条线段为2，2，2时能构成三角形则构成三角形的概率p=．（2）由题意知本题是一个几何概型设其中两条线段长度分别为x，y，则第三条线段长度为6﹣x﹣y，则全部结果所构成的区域为：0＜x＜6，0＜y＜6，0＜6﹣x﹣y＜6，即为0＜x＜6，0＜y＜6，0＜x+y＜6所表示的平面区域为三角形OAB；若三条线段x，y，6﹣x﹣y，能构成三角形，则还要满足，即为，所表示的平面区域为三角形DEF，由几何概型知所求的概率为：P==18．（15分）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得﹣200分）．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的许多人都发现．若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．【解答】解：（1）X可能取值有﹣200，10，20，100．则P（X=﹣200）=，P（X=10）==P（X=20）==，P（X=100）==，故分布列为：由（1）知，每盘游戏出现音乐的概率是p=+=，则至少有一盘出现音乐的概率p=1﹣．由（1）知，每盘游戏获得的分数为X的数学期望是E（X）=（﹣200）×+10×+20××100=﹣=．这说明每盘游戏平均得分是负分，由概率统计的相关知识可知：许多人经过若干盘游戏后，入最初的分数相比，分数没有增加反而会减少．19．（15分）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：（I）“星队”至少猜对3个成语的概率；（II）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX．【解答】解：（I）“星队”至少猜对3个成语包含“甲猜对1个，乙猜对2个”，“甲猜对2个，乙猜对1个”，“甲猜对2个，乙猜对2个”三个基本事件，故概率P=++=++=，（II）“星队”两轮得分之和为X可能为：0，1，2，3，4，6，则P（X=0）==，P（X=1）=2×[+]=，P（X=2）=+++=，P（X=3）=2×=，P（X=4）=2×[+]=P（X=6）==故X的分布列如下图所示：∴数学期望EX=0×+1×+2×+3×+4×+6×== 20．（15分）（1）已知k、n∈N*，且k≤n，求证：；（2）设数列a0，a1，a2，…满足a0≠a1，a i﹣1+a i+1=2a i（i=1，2，3，…）．证明：对任意的正整数n，是关于x的一次式．【解答】证明：（1）左边=，右边=，所以；（2）由题意得数列a0，a1，a2，…为等差数列，且公差为a1﹣a0≠0．则=====a0+（a1﹣a0）nx，所以对任意的正整数n，p（x）是关于x的一次式．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC.（1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。