江苏省天一中学数学竞赛班材料 2013年全国高中数学联赛江苏赛区预赛模拟训练(三)
2013年江苏高考数学模拟试卷(七)
2013年江苏高考数学模拟试卷（七）第1卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1. 设集合U ＝N ，集合M ＝{x|x 2－3x ≥0}，则∁U M ＝ ．2. 某单位有职工500人，其中青年职工150人，中年职工250人，老年职工100人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本.若样本中的青年职工为6人，则样本容量为 .3. 已知i 为虚数单位，422a iii+=+，则实数a ＝ ．4. 在平面直角坐标系xoy 中，角α的始边与x轴正半轴重合，终边在直线y =上，且0x >，则cos α ＝ ．5.已知函数()f x =，则函数(1)y f x =+的定义域为 .6. 从集合{1,2,3,4,5}中随机选取一个数记为a ，则使命题：“存在(3,3)x ∈-使关于x 的不等式220x ax ++<有解”为真命题的概率是 ．7. 已知向量(,1),(2,)a x b y z ==+，且a b ⊥．若x y 、满足不等式组220,220,2,x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩则z 的取值范围是 ． 8.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线方程y =,它的一个焦点在抛物线224y x =的准线上，则双曲线的方程为 .9. 设函数()4sin()f x x x π=-，函数()f x 在区间11[,]()22k k k Z -+∈上存在零点，则k 最小值是 .10. 数列{}n a 的各项都是整数，满足31a =-，74a =，前6项依次成等差数列，从第5项起依次成等比数列，则数列{}n a 前10项的和是 ．11. 若函数4()tan 3f x x π=+在点4(,3)33P ππ+处的切线为，直线分别交x 轴、y 轴于点A B 、，O 为坐标原点，则AOB ∆的面积为 .12. 如果圆22(2)(3)4x a y a -+--=上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a的取值范围是 ．13. 如右图放置的腰长为2的等腰三角形ABC 薄片，2ACB π∠=，沿x 轴滚动，设顶点(,)A x y 的轨迹方程为()y f x =，则()f x 其相邻两个零点间的图像与x 轴 围成的封闭图形的面积为 .14. 定义区间(,],[,),(,),[,]c d c d c d c d 的长度均为d c -，其中d c >.则满足不等式1212111,(0,0)11a a a x a x +≥>>--的x 构成的区间长度之和为 .二、解答题：本大题共6小题，共90分.15.（本小题满分14分）如图，四边形ABCD 为正方形，平面ABCD ⊥平面ABE ，BE BC =，F 为CE 的中点，且AE BE ⊥．（1）求证：//AE 平面BFD ； （2）求证：BF AC ⊥．16.（本小题满分14分）已知锐角ABC ∆中的三个内角分别为A B C 、、． （1）设BC CA CA AB ⋅=⋅，A ∠=512π,求ABC ∆中B ∠的大小；FEDCBA（2）设向量()2sin ,3s C =-,2(cos 2,2cos1)2C t C =- ,且s ∥t ,若2sin 3A =，求sin()3B π-的值．17.（本小题满分14分）如图，现有一个以AOB∠为圆心角、湖岸OA 与OB 为半径的扇形湖面AOB .现欲在弧AB 上取不同于A B 、的点C ，用渔网沿着弧AC (弧AC 在扇形AOB 的弧AB 上)、半径OC 和线段CD (其 中//CD OA )，在该扇形湖面内隔出两个养殖区域——养殖区域Ⅰ和养殖区域Ⅱ. 若1,,3OA km AOB AOC πθ=∠=∠=.（1） 用θ表示CD 的长度；（2） 求所需渔网长度(即图中弧AC 、半径OC 和线段CD 长度之和)的取值范围．18. (本小题满分16分)已知,a b 为实数，2a >，函数()|ln |a f x x b x=-+,若(1)1,(2)ln 212ef e f =+=-+. （1）求实数,a b ；（2）求函数()f x 在2[1,]e 上的取值范围；（3）若实数c d 、满足,1c d cd ≥=，求()()f c f d +的最小值．、19.（本小题满分16分）已知圆221:1C x y +=，椭圆2222:133x y C +=，四边形PQRS 为椭圆2C 的内接菱形．(1)若点(P ，试探求点S （在第一象限的内）的坐标；(2) 若点P 为椭圆上任意一点，试探讨菱形PQRS 与 圆1C 的位置关系．20.（本小题满分16分）已知数列{}n a 的前n 项和n S 恒为正值，其中121,1(1)a a a a ==-≠，且11()n n n n n a a S a a ++-=．（1）求证：数列{}nS 是等比数列；（2）若n a 与2n a +的等差中项为A ，试比较A 与1n a +的大小；（3）若2a =，m 是给定的正整数．先按如下方法构造项数为2m 的数列{}nb ：当1,2,,n m =时，21n m n b b -+=；当1,2,,2n m m m =++时，1n n n b a a +=，求数列的前n 项的和nT .第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应的答．．．．．．．．．．．．．．题区域内作答．．．．．．．A．（选修４－１：几何证明选讲）从⊙O外一点P向圆引两条切线PA PB、和割线PCD.从点A作弦AE平行于CD，连结BE交CD于F.求证：BE平分CD.B ．（选修４－２：矩阵与变换）设M 是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3 倍的伸压变换． 求逆矩阵1M -以及椭圆22149x y +=在1M -的作用下的新曲线的方程．C ．（选修４－４：坐标系与参数方程）已知曲线C 的极坐标方程是4cos()3πρθ=+．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是：3,()x t y ⎧+⎪⎪⎨⎪⎪⎩为参数，求直线与曲线C 相交弦的弦长．D ．（选修４－５：不等式选讲）设x y 、均为正实数，且111223x y +=++，求xy 的最小值.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.22.如图，一个小球从M 处投入，通过管道自上而下落A 或B 或C ．已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的．某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到A B C 、、，则分别设为123、、等奖．(1)已知获得1,2,3等奖的折扣率分别为50%,70%,90%．记随机变量ξ为获得k (k =1,2,3)等奖的折扣率，求随机变量ξ的分布列及期望()E ξ；(2)若有3人次(投入l 球为l 人次)参加促销活动，记随机变量η为获得1等奖或2等奖的人次，求(2)P η=．23．已知集合2{||1|,}A x x a a x a R =+≤+∈.（1）求A ;（2）若以a 为首项，a 为公比的等比数列前n 项和记为n S ，对于任意的n N +∈，均有n S A ∈，求a 的取值范围．。
2013年全国高中数学联赛模拟卷(1-7)(一试)附详细解答
2013年全国高中数学联赛模拟卷(1-7)(一试)附详细解答2013年全国高中数学联赛模拟卷(1)第一试(考试时间：80分钟 满分：120分)姓名：_____________考试号：______________得分：____________一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）1. 函数1cos sin 1cos sin ++-=x x x x y 的值域是___________2. 设a , b , c 为RT △ACB 的三边长, 点(m , n )在直线ax +by +c =0上. 则m 2+n 2的最小值是___________3. 若N n ∈，且92422--+n n 为正整数，则.________=n4. 掷6次骰子, 令第i 次得到的数为ia , 若存在正整数k使得61=∑=ki ia 的概率m np =，其中n m ,是互质的正整数. 则nm 76log log -= .5. 已知点P 在曲线y =e x 上，点Q 在曲线y =lnx 上，则PQ 的最小值是_______6. 已知多项式f (x )满足：222(3)2(35)61017()f x x f x x x x x R +++-+=-+∈, 则(2011)f =_________7. 四面体OABC 中, 已知∠AOB =450,∠AOC =∠BOC =300, 则二面角A －OC －B 的平面角α的余弦值是 __________8. 设向量)cos sin ,cos sin 2(),,3(θθθθβαa a x x +=+=满足对任意R x ∈和θ∈[0, π2],2||≥+βα恒成立. 则实数a 的取值范围是________________.二、解答题（本大题共3小题，第9题16分，第10、11题20分，共56分）9．设数列{}n a 满足0a N +∈,211n n n a a a +=+.求证：当1200+≤≤a n 时,n a a n-=0][. (其中[]x 表示不超过x 的最大整数)．10. 过点)3,2(作动直线l 交椭圆1422=+y x 于两个不同的点QP ,，过Q P ,作椭圆的切线，两条切线的交点为M ， ⑴ 求点M 的轨迹方程； ⑵ 设O 为坐标原点，当四边形POQM 的面积为4时，求直线l 的方程.11.若a 、b 、c R +∈，且满足22)4()(c b a b a cb a kabc++++≤++，求k 的最大值。
江苏省天一中学数学竞赛班材料2024年全国高中数学联赛江苏赛区预赛模拟训练
为了提高学生的数学竞赛水平，江苏省天一中学特设立了数学竞赛班。
在这个班级中，学生们将接受专门的数学竞赛辅导和培训，以更好地参加各类数学竞赛。
2024年，全国高中数学联赛江苏赛区进行了一场预赛模拟训练，为学生们提供了宝贵的实战经验。
下面是对这次模拟训练的详细描述。
这次预赛模拟训练分为两个部分，第一部分是选择题，第二部分是解答题。
第一部分选择题共有30道题目，每道题目4分，满分120分。
这部分的题目主要考察了学生对数学基础知识的理解和应用能力。
题目涵盖了代数、几何、数论、概率和统计等不同的数学领域。
学生们需要根据题目的要求，仔细分析并选择正确的答案。
第二部分解答题共有5道大题，每道题目20分，满分100分。
这部分的题目要求学生进行深入的思考和分析，并给出详细的解题过程和解答。
题目涵盖了数列、立体几何、函数与方程、概率论等多个数学领域。
学生们需要应用所学的知识和方法，独立解决问题，并写出清晰、准确的解答。
此次模拟训练的目的是帮助学生们熟悉竞赛题型和要求，提高他们的解题能力和答题速度。
通过这次训练，学生们能够了解自己在数学竞赛中的强项和不足，并在老师的指导下进行进一步的学习和提高。
该模拟训练的结果也被用于评选数学竞赛班的入学资格和确定学生的数学竞赛水平。
只有在这次模拟训练中表现优异的学生才有机会进入数学竞赛班，接受更高水平的数学教育和培训。
江苏省天一中学的数学竞赛班致力于培养学生的数学思维、创造力和解决问题的能力。
通过系统的数学竞赛培训，学生们能够更好地掌握数学知识和方法，提高他们的分析思考能力和解题能力。
这对于学生们提高数学成绩、参加各类数学竞赛以及进入理工类高校都有很大的帮助。
在数学竞赛班的学习过程中，学生们将不断接触到各类数学问题和挑战。
通过解决这些问题，他们能够提升自己的数学水平，并培养对数学的兴趣和热爱。
同时，数学竞赛班也会组织学生们参加各类数学竞赛，锻炼他们的竞赛技巧和应变能力。
总之，江苏省天一中学的数学竞赛班为学生们提供了一个很好的学习和竞赛平台。
全国高中数学联赛江苏赛区2013年初赛试题答案
全国高中数学联赛江苏赛区2013年初赛试题答案班级____________ 姓名____________一、填空题：本大题共10小题，每小题7分，共70分．1．设方程22210x mx m -+-=的根大于2-，且小于4，则实数m 的范围是____________． 解：方程22210x mx m -+-=的两根为：11x m =-，21x m =+；由题设可得：1214m m ->-⎧⎨+<⎩，解之可得：13m -<<．(点评：本题易让人首先想到“根的分布”，而事实上求出根来，其法也不错！) 2．从6双不同号码的鞋中取出4只，至少配成一双的概率为____________．解：若成两双，则有26C 种取法；若成一双，则先在6双中取1双，再在剩下5双中取两双，每双各取其中1只；故概率为：21211665224121733C C C C C P C +⨯⨯⨯==． (点评：本题是极其经典的排列组合题，仅有一双的取法，必须牢记，还要会举一反三！) 3．设实数x y 、满足2430x x y -++=，则22x y +的最大值与最小值之差是____________． 解：由题意可知：点(, )x y 在圆22:(2)1C x y -+=上，22x y +表示圆C 上的点到原点距离的平方，其最大值为9，最小值为1；所以22x y +的最大值与最小值的差为8． (点评：凡与圆有关的问题，毫不外地要考虑好圆心，还有几何意义！)4．若存在正实数a b 、满足()()n n a bi a bi +=-（i 是虚数单位，*n ∈N ），则n 的最小值是_______． 解：当1, 2n =时，经过计算，不存在正实数, a b 满足()()n n a bi a bi +=-，当3n =时，取1, 2a b =()()1n n a bi a bi +=-=-，故n 的最小值是3．(点评：本题易让人首先想到“二项式展开”，从一开始，验证！整数问题的“回马枪”．) 5．若ABC ∆的三边AB BC AC 、、成等差数列，则A ∠的取值范围是____________． 解：令ABC ∆的A B C ∠∠∠、、所对的边分别为a b c 、、；则由题意可知：2a b c =+；由余弦定理可得：2222223323()4288b c a b c bc b c bcbc bc bc+-+--+==； 因为b c 、是正实数，所以1cos 2A ≥，当且仅当b c =时，等号成立； 由0A π<<，可知：03A π<≤．(点评：绝对的常规题！应该放在第1小题．)6．若数列{}n a 满足49a =，11(1)(3)0n n n n a a a a ++---=（*n ∈N ），则满足条件的1a 的所有可能值之积是____________．解：由11(1)(3)0n n n n a a a a ++---=可知：110n n a a +--=或130n n a a +-=；因为49a =，所以3a 可能是3，同理2a 可能为1，从而推知1a 可能为0；因此，符合条件的一个数列的前四项可以是0，1，3，9；故所有可能值之积为0． (点评：小题应小做，小题若大做，则上了命题人的当！) 7．已知2()942013f x x x =-+，则6030(()())n f n f n =+=∑___________．解：取值代入可知：(30)93f =，(31)60f =，(32)29f =，(33)0f =；当34, 35, , 60n = 时，()0f n <，从而有()()0f n f n +=； 所以，6030(()())2(936029)364n f n f n =+=⨯++=∑．(点评：数据大的问题，常常是“纸老虎”，分清类别第一重要，各个击破重要手段！)8．设[0, 2]x y π∈、，且满足12sin cos sin cos 2x y x y ⋅++=-，则x y +的最大值为___________．解：由12sin cos sin cos 2x y x y ⋅++=-，可得：(2sin 1)(2cos 1)0x y ++=；所以1sin 2x =-，或1cos 2y =-；所以有76x π=或116π，此时y 可以取[0, 2]π内的任意值； 或23y π=或43π，此时x 可以取[0, 2]π内的任意值； 所以x y +的最大值为：1123266πππ+=． (点评：平时难得见这类题！思维若呆板，定是要楞一会儿，别人一点拔，啊！我也会嘛！) 9．已知正四面体ABCD 的棱长为9，点P 是平面ABC 上的一个动点，满足P 到平面DAB 、DBC 、DCA 的距离成等差数列，则点P 到平面DCA 距离的最大值是____________．解：记点P 到平面D AB D BC D CA 、、的距离分别为123d d d 、、；则123d d d ++为正四面体ABCD 的高123d d d 、、成等差数列，故点P 到平面DCA 的距离的最大值为（注：此时是极端情形10d =）(点评：绝对的常规题！应该放在第2题，因为想到极端情况，还是有一点意外的！)10．将小王和小孙现在的年龄按从左到右的顺序排列得到一个四位数，这个四位数为完全平方数，再过31年，将他们俩的年龄以同样方式排列又得到一个四位数，这个数仍为完全平方数，小王 现在的年龄是____________．解：设小王现在的年龄是a ，小孙现在的年龄是b ；设a 有m 个数字，b 有n 个数字，由已知得：4m n +=；如果2m <，那么3n ≥，但在31年后，a 是2位数，合起来是5位数，这与题意不符； 由对称性，可知n 也不小于2，从而有2m n ==； 设按题中要求顺序的平方数依次为2x 和2y ，且0x y <<； 则设223131y x =+，即有()()313131101y x y x -+==⨯，所以必有：31y x -=且101y x +=，从而35x =，66y =；由21225x =知，小王现在12岁． (点评：有两个平方数，出现了“差”，x y -与x y +分解且奇偶性相同，就该现脑海中！)二、解答题：本大题共4小题，每小题20分，共80分．11．设k 为实数，06k <<，椭圆221():19x k E y -+=与椭圆222:19x E y +=交于点A 和C ，1E 的左顶点为B ，2E 的右顶点为D （如图），若四边形ABCD 是正方形，求实数k ．解：由22()19x k y -+=与2219x y +=，解得22()0x k x --=，解得：2kx =；将其代入2219x y +=中，得A 点的纵坐标为y =10分因为四边形ABCD 为正方形，根据对称性知：BD AC =，又(3, 0)B k -+，(3, 0)D ，则6BD k =-，AC =；…………………15分所以6k -=，即29(6)(6)(6)k k k -=+-，解得6k =（舍），或245k =； 所以245k =．………………………………………………………………………20分 (点评：虽然中心不在原点的椭圆不是高考内容，但是按抛物线平移规则，不算超纲！)12．如图，梯形ABCD 中，B D 、关于对角线AC 对称的点分别是''B D 、，A C 、关于对角线BD 对称的点分别是''A C 、；证明：四边形''''A B C D 是梯形．证明：如图，B D 、关于对角线AC 对称的点分别是''B D 、，由于AC 是对称轴，轴上的点自身对称，则BD 与''B D 的交点是BD 与AC 的交点O ；………………5分 从而由对称可知：'//'BB DD ， 所以''OB OB OD OD =，同理：''OC OC OA OA =；………………10分 再由梯形可知：//AD BC ， 所以1OB OC BCOD OA AD==≠；………………………15分 从而''1''OB OC OD OA =≠，所以''//''B C A D ，且''''B C A D ≠， 所以四边形''''A B C D 是梯形．………………20分(点评：几何变换是第一次考！！！通常有四大变换：平移、旋转、对称、位似．)13．设实数a b 、满足1012a b ≤≤≤≤；证明：2()cos cos b a a b ππ-≤-． 证明：将所求不等式改写：2cos 2cos b b a a ππ+≤+；于是可设：()2cos f x x x π=+，问题转化为：“证明：()()f b f a ≤”． 求导得：()2sin f x x ππ'=-，2()cos f x x ππ''=-；当1(0, )2x ∈时，2()cos 0f x x ππ''=-<，当1(, 1)2x ∈时，2()cos 0f x x ππ''=->；所以()f x '在区间1(0, )2上是单调递减函数，在区间1(, 1)2上是单调递增函数；又因为(0)(1)2f f ''==和1()202f π'=-<，所以存在α和β，使得1012αβ<<<<，且()()0f f αβ''==； 当且仅当()x αβ∈、时，()0f x '<；……………………10分 所以函数()f x 在区间[0, ]α和[, 1]β上是单调递增函数，在区间[, ]αβ是单调递减函数；（图像见右）又因为1(0)()(1)12f f f ===，所以对于1[0, ]2x ∈，()1f x ≥；对于1[, 1]2x ∈，()1f x ≤；故当1012a b ≤≤≤≤时，()()f b f a ≤，从而原题得证．………………20分 (点评：相对于高考的内容，这道题是难题，因为平时训练题的思维没有这么深；但是，研究函数值的问题，一定要把握好函数的图像的变化情况，而要想这清楚这个， 二次求导则是自然想到的事．其实，函数就必须从“数与形”方面去思考！)14．正100边形的每个顶点染红、黄、蓝三色之一；证明：必存在四个同色点，恰为某等腰梯形的顶点．证明：记正100边形123100A A A A 的外接圆半径为r ；把顶点分为25个点集：4342414{, , , }k k k k A A A A ---，1, 2, 3, , 25k = ； 第个点集之中，4个点染成3色，至少有两点同色， 此两点为端点的劣弧长分别为23505050rr rπππ、、之一；………………………………10分 弧长为23505050rr rπππ、、，且两端同色的弧共有9种； 前10个点集之中至少存在10段此类弧， 因而总有两段弧“同种”，且均在某直径一侧，故此两段弧四个端点构成的四边形为等腰梯形．…………………………………20分 (点评：抽屉原理的关键是“造抽屉”，想到用抽屉原理还不一定能做得出不来．这道题实在太完美了，组合三大原理即抽屉原理、容斥原理、极端原理， 考到一个；组合图论思想考到了，组合染色沾到边儿．)。
2013年全国高中数学联赛江苏赛区预赛模拟训练及参考答案(三)
20XX 年全国高中数学联赛江苏赛区预赛模拟训练及参考答案（三）1、复数123,1z i z i =+=-，则复数12z z 在复平面内对应的点位于第__________象限 2、设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这5个球随机放入这5个盒子内，要求每个盒子内放一个球，记“恰有两个球的编号与盒子的编号相同”为事件A ，则事件A 发生的概率为__________ 320132013a x ++201320132a ++=4、已知32n n a =⋅，把数列{}n a 的各项排成三角形状如右图所示，记(,)A i j 表示第i 行中第j 个数，则(10,8)A =5、已知f (x )＝sin(π2＋α－x )＋cos(5π2－α－x )是偶函数，且－π2＜α＜π2，则满足条件的实数α有 个．6、甲、乙、丙三人互相传球，先由甲开始作第一次传球，则5次传球后球仍回到甲手中的不同的传球方式共有 ．7、已知(x 0，y 0)是直线x ＋y ＝2k －1与圆x 2＋y 2＝k 2＋2k －3的交点，则当x 0y 0取最小值时，实数k 的值等于 ．8、已知点M 、N 分别在大小为60°的二面角α－a －β的α、β内，又点P 到α、β的距离依次为2与3，则ΔPMN周长的最小值等于．9、S 的整数部分是 10、已知非负实数a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝1，则a 2＋b 2＋c 2＋18abc 的最大值等于__________，最小值等于____________11、定义在实数集R 上的单调函数y ＝f (x )，当x ＜0时f (x )＞1，且f (x ＋y )＝f (x )f (y )对任意实数都成立．又数列{a n }满足a 1＝f (0)，f (a n ＋1)＝1f (－2－a n )(n ∈N *)．(1)求通项a n ．(2)求使(1＋1a 1)(1＋1a 2)…(1＋1a n )≥p 2n ＋1对任意正整数n 都成立的实数p 的最大值．12345678910111213141516a a a a a a a a a a a a a a a aEA BD D12、如图。
2013年全国高中数学联赛一试模拟卷(共7套)附详细解答
2013年全国高中数学联赛模拟卷(1)第一试(考试时间：80分钟 满分：120分)姓名：_____________考试号：______________得分：____________一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）1. 函数1cos sin 1cos sin ++-=x x x x y 的值域是___________2. 设a , b , c 为RT △ACB 的三边长, 点(m , n )在直线ax +by +c =0上. 则m 2+n 2的最小值是___________3. 若N n ∈，且92422--+n n 为正整数，则.________=n4. 掷6次骰子, 令第i 次得到的数为i a , 若存在正整数k 使得61=∑=ki i a 的概率mnp =，其中n m ,是互质的正整数. 则n m 76log log -= .4.解:当1k =时，概率为16;当2k =时,6152433=+=+=+，概率为215()6⋅； 当3k =时，6114123222=++=++=++，概率为3311(361)()10()66++⋅=⋅；当4k =时，611131122=+++=+++，概率为4411(46)()10()66+⋅=⋅；当5k =时， 611112=++++，概率为515()6⋅；当6k =时，概率为61()6；故523456561111111175()10()10()5()()(1)666666666p =+⋅+⋅+⋅+⋅+=⨯+=,即567,6n m ==,从而67log log 1m n -=.5. 已知点P 在曲线y =e x 上，点Q 在曲线y =lnx 上，则PQ 的最小值是_______6. 已知多项式f (x )满足：222(3)2(35)61017()f x x f x x x x x R +++-+=-+∈, 则(2011)f =_________.解: 解：用1x -代替原式中的x 得：222(35)2(3)6213f x x f x x x x -++++=-+解二元一次方程组得22(3)223f x x x x ++=++，所以：()23f x x =-，则(2011)4019f =．（分析得()f x 为一次多项式，可直接求()f x 解析式）7. 四面体OABC 中, 已知∠AOB =450,∠AOC =∠BOC =300, 则二面角A －OC －B 的平面角α的余弦值是__________7. 解:不妨设AC ⊥OC ⊥BC ,∠ACB =α,∠AOC =∠BOC =θ,∠AOB =β. 因)CB OC ()CA OC (OB OA +⋅+=⋅=CB CA |OC |⋅+2即αθθβcos ||||cos ||cos ||cos ||||+⋅=， 两端除以|OB ||OA |并注意到CAOBθθ==sin , 即得αθθβcos sin cos cos 22+=,将β=450,θ=300代入得αcos 414322+=, 所以,322cos -=α.8. 设向量)cos sin ,cos sin 2(),,3(θθθθβαa a x x +=+=满足对任意R x ∈和θ∈[0, π2],2||≥+恒成立. 则实数a 的取值范围是________________.二、解答题（本大题共3小题，第9题16分，第10、11题20分，共56分）9．设数列{}n a 满足0a N +∈,211n n n a a a +=+.求证：当1200+≤≤a n 时,n a a n -=0][. (其中[]x 表示不超过x 的最大整数)．10. 过点)3,2(作动直线l 交椭圆1422=+y x 于两个不同的点Q P ,，过Q P ,作椭圆的切线， 两条切线的交点为M ， ⑴ 求点M 的轨迹方程；⑵ 设O 为坐标原点，当四边形POQM 的面积为4时，求直线l 的方程.11. 若a 、b 、c R +∈，且满足22)4()(c b a b a c b a kabc++++≤++，求k 的最大值。
江苏省天一中学数学竞赛班材料：2013年全国高中数学联赛江苏赛区预赛模拟训练(二)
2013年全国高中数学联赛江苏赛区预赛模拟训练（二）班级__________姓名__________1、设集合},56|{},,1|||{2R x x x x B R x a x x A ∈+>=∈<-=，若φ=⋂B A ，则实数a 的取值范围是__________解：由题得},11|{R x a x a x A ∈+<<-=，},51|{R x x x B ∈<<=，又A B φ=，所以有11≤-a 或51≥+a ，即0a ≤或6a ≥2、从集合｛1，3，6，8｝中任取两个数相乘，积是偶数的概率是__________ 解：241516P C =-=，正面列举亦可，积是偶数情况有1,6；1,8；3,6；3,8；6,8 3、已知a 是实数，方程2(4)40x i x ai ++++=的一个实根是b （i 是虚部单位），则||a bi +的值为________解：由题：22(4)4044()0b i b ai b b a b i ++++=⇒++++=，故2244020a b b b a b =⎧++=⎧⇒⎨⎨=-+=⎩⎩所以|||22|a bi i +=-==4、设12,x x 是方程240x x +-=的两实数根，则3212510x x -+=解：由12,x x 是方程240x x +-=的两实数根得，3221111111111(4)44454,x x x x x x x x x x =⋅=-=-=+-=-222255(4)205,x x x -=--=-+则3212125105()10245102419.x x x x -+=++-=-+-=- 5、设0x >,则()4443331111x x x x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫+-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为 解：令1(2)t x t x =+≥，则44233431142,3x t t x t t x x+=-++=-所以442233(42)4242()(3)333t t t t t f t t t t t t --+-===---在[2,)+∞上单调递增，故最小值为7(2)3f =6、设{}n a 为等比数列,且每项都大于1,则201212013111lg lg lg lg i i i a a a a =+∑的值为解：当1q =时，20122120131211112012lg lg lg 2012lg lg lg i i i a a a a a a =+=⋅=∑当1q ≠时，20122012120131201312013111112013lg lg lg lg 11111lg lg ()()2012lg lg lg lg lg lg lg lg i i i i ii a a a a a a a a q a a q a a ==++=-=-=∑∑ 7、方程17sin()sin294x x π+=+的解集为解：．令sin()4x t π+=，则221780t t -+=．由于[1,1]t ∈-，故12t =，即1sin()42x π+=．其解为：(1)64k x k πππ=+-⋅-，k Z ∈．故解集为(1),64k x x k k Z πππ⎧⎫=+-⋅-∈⎨⎬⎩⎭8、实数1210,,,x x x 满足10101114,26,i i i i x x ==-≤-≤∑∑，则1210,,,x x x 的平均值x =__________解：10101011110[(1)(2)]1210i i i x x x x ====---≤-+-≤∑∑∑所以有10101114,2612i i i i i x x x ==-=-=⇒≤≤∑∑，故=101171(1)105i i x =+-=∑9、方程1233213m n n m +⋅-+=的非负整数解(),m n = 解：方程1233213m n n m +⋅-+=变形为(23)(31)10m n -+=，因为310n +>，故230m ->所以2,23mm ≥-必为奇数，故2313110m n ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩或235312mn⎧-=⎪⎨+=⎪⎩(,)(2,2)m n ⇒=或(3,0) 10、数列{}n a 定义如下：()1221211,2,,1,2,22n n n n na a a a a n n n +++===-=++.若201122012m a >+，则正整数m 的最小值为解：由题设得：21(2)2(1)n n n n a n a na +++=+-，则有211121(2)(1)(1)(1)23n n n n n n n a n a n a na na n a a a +++-+-+=+-=--==-=所以1(1)3n n na n a -=-+，令n n b na =，则13n n b b --=，所以223(2)32n n b na a n n ==+-=-， 3223n n a n n-==-，故220113240242012m a m m =->+⇒>，所以m 最小值为402511、设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为,A B ，点P 在椭圆上且异于,A B 两点，O 为坐标原点. 若||=||AP OA ，证明：直线OP 的斜率k满足||k >解法一：设(cos ,sin )(02)P a b θθθπ≤<,(,0)A a -.由||||AP OA =，有a =，即22222cos 2cos sin 0a ab θθθ++=. ----------5分从而22222221cos 0,cos 2cos sin sin .a ab a θθθθθ-<<⎧⎨--=<⎩ ------------------------10分所以，1cos 02θ-<<，且2222sin 213cos cos b a θθθ=-->. ------------------------15分所以，sin ||cos b k a θθ== ------------------------20分 解法二：设(cos ,sin )(02)P a b θθθπ≤<.则线段OP 的中点(cos ,sin )22ab Q θθ.||=||AP OA 1AQ AQ OP k k ⇔⊥⇔⨯=-.sin sin cos 22cos AQ AQ AQ b k b ak ak a a θθθθ=⇔-=+. ------------------------10分2AQ ak ⇒≤||||AQ k k ⇔⇔> ------------------------20分 12、已知正实数b a ,满足122=+b a ，且333)1(1++=++b a m b a ，求m 的最小值． 解 令cos ,sin a b θθ==，02πθ<<，则322333)1sin (cos 1)sin sin cos )(cos sin (cos )1sin (cos 1sin cos ++++-+=++++=θθθθθθθθθθθθm ．-------------------------5分令 θθsin cos +=x ，则 ]2,1()4sin(2∈+=πθx ，且21sin c os 2-=x θθ．----------------10分 于是21)1(23)1(22)1(22)1(232)1(1)211(223332-+=+-=+-+=+-+=++--=x x x x x x x x x x x x m ． ----------------15分 因为函数21)1(23)(-+=x x f 在]2,1(上单调递减，所以)1()2(f m f <≤．因此，m 的最小值为2423)2(-=f ． ----------------------------20分13、已知四边形PQRS 是圆内接四边形，90PSR ∠=︒，过点Q 作PR 、PS 的垂线，垂足分别为点H 、K ，HK 与QS 交于点T （1）求证：Q 、H 、K 、P 四点共圆； （2）求证：QT=TS.证明：（1）由90QHP QKP ∠=∠=︒，所以Q 、H 、K 、P 四点共圆-------------------------5分 （2）因为Q 、H 、K 、P 四点共圆，所以HKS PQH ∠=∠ -------------------------10分 ∵90PSR ∠=︒，∴PR 为圆的直径，∴90PQR ∠=︒，QRH HQP ∠=∠，而QRH QSP ∠=∠ 故QRH HKS ∠=∠，TS=TK ， ------------------------15分 又90SKQ ∠=︒，∵SQK TKQ ∠=∠∴QT=TK, ∴QT=TS ------------------------20分 14、设1210,,,i i i 是1,2，…，10的一个排列，记1234910S i i i i i i =-+-++-，求S 可以取到的所有值.解：由题可知：111115,678910(12345)25S S ≥++++=≤++++-++++=且101(mod2)1(mod2)k S k =≡≡∑， …………………10分下面证明S 可以取到5到25的所有奇数.记24681013579(,,,,,,,,,)f i i i i i i i i i i 为排列24681013579,,,,,,,,,i i i i i i i i i i 对应的S ，则(1,2,5,7,9,3,4,6,8,10)7f =，(1,2,4,7,9,3,5,6,8,10)9f =，(1,2,3,7,9,4,5,6,8,10)11f = (1,2,3,6,9,4,5,7,8,10)13f =，(1,2,3,5,9,4,6,7,8,10)15f =，(1,2,3,4,9,5,6,7,8,10)17f = (1,2,3,4,8,5,6,7,9,10)19f =，(1,2,3,4,7,5,6,8,9,10)21f =，(1,2,3,4,6,5,7,8,9,10)23f =所以S 取到的值为5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25 …………………20分RPS。
高二数学联赛预赛模拟训练6苏教版
2016年全国高中数学联赛江苏赛区预赛模拟训练（六）班级__________姓名__________1、直线12y x b =+是曲线ln (0)y x x =>的一条切线，则实数b ＝___________ 2、1cos290=︒___________ 3、已知实数z y x ,,满足32xyz =，4x y z ++=，则||||||x y z ++的最小值为_________4、对给定的整数m ，符号()m ϕ表示{}1,2,3中使()m m ϕ+能被3整除的唯一值，那么201020102010(21)(22)(23)ϕϕϕ-+-+-=___________5、从m 个男生，n 个女生（104m n ≥>≥）中任选2个人当组长，假设事件A 表示选出的2个人性别相同，事件B 表示选出的2个人性别不同.如果事件A 的概率和事件B 的概率相等，则(,)m n 的可能值为6、在三棱锥S A B C -中，4,7,9,5,6,8S A S B S C A B B C A C =≥≥=≤≤，则三棱锥S ABC -体积的最大值为7、不等式x (x －1)≤y (1－y )的解集中x 、y 能使x 2＋y 2≤k 成立时k 的最小值为____________．8、若方程240(0,1)x a x a a +-=>≠的所有根为12,,,k u u u ，其中k 为正整数，方程log 2a x +20(0,1)x a a -=>≠的所有根为12,,,l v v v ，其中l 为正整数，则 1212k l u u u v v v k l++++++++ 的值为 9、设集合{}{}1231,2,,15,,,S A a a a == 是S 的子集，且123(,,)a a a 满足123115,a a a ≤<<≤ 326a a -≤，那么满足条件的子集A 的个数为10、方程tan(x si n x )＝cot(x cos x )在闭区间[π4，π2]内的解的个数共有． 11、如图，已知锐角ABC ∆的三边,,BC CA AB 的中点分别为,,D E F ，在,,EF FD DE 的延长线上分别取点,,P Q R ，若AP=BQ=CR ，证明：PQR ∆的外心为ABC ∆的垂心.12、给定不增的正数列a 1≥a 2≥a 3≥…≥a 2009，若a 1＝114，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2009＝1，求证：从中可以找到7个数，其中最小的数大于最大的数的一半．13、设向量,i j 分别为直角坐标平面内x 轴、y 轴正方向上的单位向量.若(2),a x i y j =++(2)b x i y j =-+ ，且2a b -= .⑴求满足上述条件的点(,)P x y 的轨迹方程；⑵设(1,0),(2,0)A F -，问：是否存在常数(0)λλ>，使得PFA PAF λ∠=∠恒成立？证明你的结论⑴由条件2a b -= 2=，14、设m ，n 为任意正整数，试确定20102m －2009n 的最小正值．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2013年全国高中数学联赛江苏赛区预赛模拟训练（三）班级__________姓名__________1、复数123,1z i z i =+=-，则复数12z z 在复平面内对应的点位于第__________象限 解：123(3)(1)24121(1)(1)2z i i i i i z i i i ++++====+--+，故对应的点位于第一象限 2、设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这5个球随机放入这5个盒子内，要求每个盒子内放一个球，记“恰有两个球的编号与盒子的编号相同”为事件A ，则事件A 发生的概率为__________解：事件总数为55120A =，A 发生可分两步完成，首先选盒子编号与球编号相同的，共有25C 种情况，不妨设为4号与5号，则第二步需要将1,2,3号球与盒子完全装错，只有两种情况（2,3,1或3,1,2），故25552C P A ⋅==16320132013a x ++201320132a ++=解：令0x =，可得：01a =，令12x =201320132a ++=201320132a ++=改编：求12201322013a a a +++的值解：对已知等式两边求导可得：201220121220132013(12)(2)22013x a a x a x --=+++令1x =，得：12201322013a a a +++4026=-4、已知32n n a =⋅，把数列{}n a 的各项排成三角形状如右图所示，记(,)A i j 表示第i 行中第j 个数，则(10,8)A =解：各行数的个数构成一个等差数列，则前9行共有99(91)912812S ⨯-=⨯+⨯=项，∴ (10,8)A 是数列{}n a 中的第89项，∴89(10,8)32A =⋅5、已知f (x )＝sin(π2＋α－x )＋cos(5π2－α－x )是偶函数，且－π2＜α＜π2，则满足条件的实数α有 个．12345678910111213141516a a a a a a a a a a a a a a a a解：f (x ) =f (－x )，⇒cos(α－x )+sin(α+x ) =cos(α+x )+sin(α－x )，⇒cos(α+x )－cos(α－x )=sin(α+x )－sin(α－x )，⇒－sin αsin x=cos αsin x ，⇒tan α=－1，⇒α=k π－π4(k ∈Z )，－π2<α<π2，⇒k=－2，－1，0，1，2，3，共6个值．6、甲、乙、丙三人互相传球，先由甲开始作第一次传球，则5次传球后球仍回到甲手中的不同的传球方式共有 ．解：5次任意传球，第5次给甲，有24种方法，其中第4次传到甲时，第5次不可能给甲，故应减去23种方法，再加上22种方法，减去2种方法，共有24－23+22－2=10种方法． 7、已知(x 0，y 0)是直线x ＋y ＝2k －1与圆x 2＋y 2＝k 2＋2k －3的交点，则当x 0y 0取最小值时，实数k 的值等于 ．解：以y=2k －1－x 代入圆方程得：2x 2－2(2k －1)x +3k 2－6k +4=0． 14∆=－2k 2+8k －7≥0，⇒4－22≤k ≤4+22． 2xy=(x +y )2－(x 2+y 2)=3k 2－6k +4=3(k －1)2+1，在k=4－22时取得最小值．8、已知点M 、N 分别在大小为60°的二面角α－a －β的α、β内，又点P 到α、β的距离依次为2与3，则ΔPMN 周长的最小值等于 ．解：作P 关于α、β的对称点Q 、R ，则QR 2=42+63－2⨯4⨯6⨯cos120︒=76．故最小值=219．9、S 的整数部分是解：23k<+，<<∴取1,2,,49k =，得491.8与9之间，故8=10、已知非负实数a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝1，则a 2＋b 2＋c 2＋18abc 的最大值等于__________，最小值等于____________解：a 2+b 2+c 2+18abc=(a +b +c )2－2(ab +bc +ca )+18abc ． 但，ab +bc +ca=(ab +bc +ca )(a +b +c )≥33a 2b 2c 2·33abc=9abc ．32OP 23QREABDD∴ a 2+b 2+c 2+18abc ≤1－18abc +18abc=1(当且仅当a=b=c=13时等号成立)又由对称性，可设a ≥b ≥c ，从而a ≥13，故a 2+b 2+c 2+18abc=a 2+(1－a )2－2bc +18abc=2a 2－2a +1+2bc (9a －1)≥2a 2－2a +1=2(a －12)2+12≥12．(a=b=12，c=0时等号成立) 11、定义在实数集R 上的单调函数y ＝f (x )，当x ＜0时f (x )＞1，且f (x ＋y )＝f (x )f (y )对任意实数都成立．又数列{a n }满足a 1＝f (0)，f (a n ＋1)＝1f (－2－a n )(n ∈N *)．(1)求通项a n ．(2)求使(1＋1a 1)(1＋1a 2)…(1＋1a n )≥p 2n ＋1对任意正整数n 都成立的实数p 的最大值．解：⑴ 1︒ f (x )≠0，否则f (y )=f (x +y －x )=f (x )f (y －x )=0，矛盾． 2︒ f (x )=f (x 2)f (x2)>0．3︒ f (x )=f (x +0)=f (x )f (0)，但f (x )≠0，⇒f (0)=1．a 1=1．∴ f (a n +1)f (－2－a n )=f (a n +1－a n －2)=1=f (0)，由f (x )单调，⇒a n +1－a n －2=0，⇒a n +1=a n +2． ∴ a n =2n －1．⑵ 1+1≥p 3，⇒p ≤233．记b n =(1+1a 1)(1+1a 2)…(1+1a n )2n +1．则b n +1b n =(1+12n +1)2n +12n +3=2n +22n +12n +3>1．于是b n >b n －1>…>b 1=233．即b n +1≥2332n +3对于一切n 成立．故p max =233．12、如图。
△ABC 中，AB ＞AC ，AE 是其外接圆的切线，D 为AB 上的点，且AD=AC=AE.求证：直线DE 过△ABC 的内心.证明：设角C 的内角平分线与DE 交于点I ，连接,,AI IC CE ,由于AE 是ABC ∆外接圆的切线，故180ACB DAE ∠=-∠，……（5分）又AD AE =，故180DAE -∠ADE AED =∠+∠2AED =∠，故12ACI ACB AED ∠=∠=∠，所以A E I C 、、、四点共圆. ……（10分） IAC IEC AEC AED ∠=∠=∠-∠18018022CAE DAE-∠-∠=- ………………………………（15分）=A CAE DAE ∠=∠-∠21)(21，故AI 为角A 的角平分线， I 为ABC ∆的内心. ………………………………（20分）13、已知l 1、l 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的两条渐近线，过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F 作直线m ，使m ⊥l 1，m 与l 2的交点为P ，m 与已知椭圆的交点记作A 与B (如图所示)，求|PB ||PA |的最大值及此时椭圆的离心率．解：l 1：bx －ay=0，l 2：bx +ay=0．m ：ax +by －ac=0．(c=a 2－b 2，e=ca，0<e <1)AB EDCI∴ P (a 2c ，abc )，即P 在椭圆的右准线上．记FAAP =λ(λ>0)，则由定比分点公式得点A 坐标： x=c +λ·a 2c 1+λ；y=λ·ab c1+λ．此坐标满足椭圆方程，代入得：∴ (c 2+λa 2)2+λ2a 4=a 2c 2(1+λ)2．⇒c 4+2λa 2c 2+2λ2a 4=a 2c 2+2λa 2c 2+λ2a 2c 2． 同除以a 4：e 4+2λ2=e 2+λ2e 2．⇒λ2=e 2－e 42－e 2=e 2+1－22－e 2=3－(2－e 2+22－e 2)≤3－22(当2－e 2=2时取等号)．即e=2－2时，λmax =2－1．记t=|PB ||PA |，作椭圆的右准线，分别过A 、B 作此准线的垂线，交准线于M 、N ．由P 在此准线上，知t=|PB ||PA |=|NB ||MA |=|FB ||FA |．⇒|BF |=t |AF |，故|AB |=(1+t )|AF |，又|AB |=(t －1)|PA |，故|AF ||PA |= t －1t +1，即λ=t －1t +1，从而t －1t +1≤2－1，⇒t ≤2+1．当椭圆的离心率=2－2时，|PB ||PA |取得最大值．14、设正整数a ,b ,c 的最大公约数为1,并且abc a b=-，证明:a b -是一个完全平方数. 证: 设d b a =),(,d a a 1=,d b b 1=,其中11(,)1a b =.由于(,,)1a b c =,故有(,)1d c =.代入abc a b=-可得：1111a b d a c b c =- (2) 由(2)知,11|a b c ,又11(,)1a b =,∴ 1|a c .同理可证1|b c ,从而有11|a b c ,设11c a b k =,k 为正整数,代入(2)得11()d k a b =- (3) 由(3)知|k d ,又|k c ,∴|(,)1k d c =,∴2k =. ∴11d a b =-.∴211()a b d a b d -=-=.故成立.。