概率数理统计Less1
概率论与数理统计公式大全
概率论与数理统计公式大全一、概率基本公式1.事件的概率：对于事件A，在随机试验中发生的次数记为n(A)，则事件A的概率为P(A)=n(A)/n，其中n为试验总次数。
2.互斥事件的概率：对于互斥事件A和B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)。
3.事件的余事件概率：设事件A为必然事件，全集的概率为P(S)=1，事件A的余事件为A'，则有P(A')=1-P(A)。
4.条件概率：对于两个事件A和B，假设事件B已经发生，事件A发生的概率记为P(A，B)，则P(A，B)=P(A∩B)/P(B)。
二、随机变量及其概率分布1.离散型随机变量：设X是一个离散型随机变量，其概率函数为P(X=k)，其中k为X的取值，概率函数满足P(X=k)≥0，且∑P(X=k)=12. 连续型随机变量：设X是一个连续型随机变量，其概率密度函数为f(x)，概率密度函数满足f(x)≥0，且∫f(x)dx = 13. 随机变量的数学期望：对于离散型随机变量X，其数学期望为E(X) = ∑k*P(X=k)；对于连续型随机变量X，其数学期望为E(X)=∫xf(x)dx。
4. 随机变量的方差：对于离散型随机变量X，其方差为Var(X) =E(X^2) - [E(X)]^2；对于连续型随机变量X，其方差为Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2三、常见的概率分布1.伯努利分布：表示一次实验成败的概率分布，概率函数为P(X=k)=p^k(1-p)^(1-k)，其中0≤p≤12.二项分布：表示n次独立重复的伯努利试验中成功次数的概率分布，概率函数为P(X=k)=C(n,k)*p^k(1-p)^(n-k)，其中C(n,k)为组合数。
3. 泊松分布：表示单位时间或单位面积内发生事件次数的概率分布，概率函数为P(X=k) = (lambda^k)/(k!)*e^(-lambda)，其中lambda为平均发生率。
4.均匀分布：表示在一个区间内取值相等的概率分布，概率密度函数为f(x)=1/(b-a)，其中[a,b]为区间。
概率论与数理统计公式整理
概率论与数理统计公式整理在现代数学中，概率论与数理统计是两个重要的分支。
其中概率论是研究随机事件发生的可能性或概率的科学。
而数理统计则是利用概率论的方法，对已经发生的随机事件进行统计分析和推断。
本文将整理概率论与数理统计中常用的公式。
一、基本概率公式1.概率：$P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}$其中，$P(A)$表示事件$A$发生的概率，$n(A)$表示事件$A$所包含的基本事件的个数，$n(S)$表示所有基本事件的个数。
2.加法原理：$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$其中，$A$和$B$是两个事件，$A\cup B$表示事件$A$和事件$B$中至少有一个发生的概率，$A\cap B$表示两个事件同时发生的概率。
3.条件概率：$P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$其中，$P(B|A)$表示在事件$A$发生的条件下，事件$B$发生的概率。
4.乘法定理：$P(A\cap B)=P(A)P(B|A)$其中，$P(A\cap B)$表示两个事件同时发生的概率，$P(B|A)$表示在事件$A$发生的条件下，事件$B$发生的概率。
二、概率分布1.离散随机变量的概率分布律：$\sum\limits_{i=1}^{+\infty}{p(x_i)}=1$其中，$p(x_i)$表示离散随机变量取值为$x_i$的概率。
2.连续随机变量的概率密度函数：$\int_{-\infty}^{+\infty}{f(x)}\mathrm{d}x=1$其中，$f(x)$表示连续随机变量在$x$处的概率密度。
3.数学期望：$E(x)=\sum\limits_{i=1}^{+\infty}{x_ip(x_i)}$或$E(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}{xf(x)}\mathrm{d}x$其中，$E(x)$表示随机变量$x$的数学期望，$p(x_i)$表示$x_i$这一离散随机变量取到的带权概率。
0-1分布名词解释
0-1分布名词解释
0-1分布，也被称为伯努利分布或两点分布，是概率论和统计
学中常见的离散概率分布之一。
它的名称源自于其只有两个可能的
结果，分别是0和1。
在0-1分布中，每次试验只有两个可能的结果，通常用0和1
来表示。
其中，0表示失败或不发生事件，1表示成功或发生事件。
这种分布常用于描述一次试验的结果是否成功或失败的情况。
0-1分布的概率质量函数可以表示为，P(X=k) = p^k (1-
p)^(1-k)，其中，k可以取0或1，p表示成功的概率。
此外，0-1分布还具有一些重要的性质。
例如，它的均值（期
望值）为p，方差为p(1-p)。
当成功的概率p=0.5时，0-1分布呈
现最为平衡的情况。
0-1分布在实际应用中有广泛的应用。
例如，在金融领域，可
以使用0-1分布来描述某个事件是否发生，如股票涨跌、债券违约等。
在工程领域，可以使用0-1分布来表示某个设备是否正常工作。
在生物学领域，可以使用0-1分布来描述某种基因的存在与否。
总之，0-1分布是一种简单而重要的离散概率分布，适用于描述只有两个可能结果的试验，其概率质量函数可以方便地计算和应用于各种实际问题中。
概率论与数理统计：两点分布(0-1分布)
两点分布（0-1分布）教学目标：1、理解两点分布；2、了解两点分布的应用。
教学重难点：充分了解两点分布的意义基础上的应用。
一、创设情境例1 排球运动员扣球一次命中得1分，不命中得0分(不考虑其他情况). 据新华社网，里约奥运会中国女排主攻手——朱婷以0.423的扣球命中率（看作扣球一次命中的概率）高居榜首，求她扣球一次的得分的分布列.二、导入新知两点分布：其中0<p<1，q＝1－p，则称离散型随机变量X 服从参数为 p的二点分布（又称伯努利分布）．而称p=P(X=1)为成功概率。
注意：两点分布的几个特点：（1）两点分布的试验结果只有两个可能性，且其概率之和为1。
（2）由对立事件的概率求法可知，已知P(X＝0)(或P(X＝1))，便可求出P(X＝1)(或P(X＝0))。
三、两点分布的应用实际生活中有没有二点分布的例子？应用非常广泛．但凡随机试验只有两个结果,都常用0–1分布描述,如产品是否合格、新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽、系统是否正常、核算检测是否为阴性、抽取的彩券是否中奖、投篮是否命中等。
练习1：在射击的随机试验中，令X= 0表示射中，X=1表示未射中，如果射中的概率为0.8，求随机变量X的分布列。
练习2：设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则失败率p 等于（ ）A.0B. 1/2C. 1/3D.2/3思考题：我们将核酸检测对象按照10人一组进行检测，若单个样本检测结果为阳性的概率为0.0001，每个样本检测为阳性与否相互独立，用混样检测法。
那么检测结果的分布列是？ 解：设化验结果为阳性记随机变量X=1，化验结果为阴性记随机变量X=0，则分布列为：再举几个例子：1． 从某一学校随机选一学生，测量他的身高.我们可以身高看作随机变量X,x 的取值范围在[1.5，1.9] .解：设[1.5-1.7]为1，（1.7-1.9]为0，则分布列为：2.食堂排队的人数是随机变量.大于十人为1,十人以内为0,是一个两点分布。
概率论与数理统计公式
概率论与数理统计公式概率论是一门研究随机现象规律的数学学科，是现代数学的基础之一、而数理统计则是利用概率论的工具和方法，分析和处理统计数据，从而得出推断、估计、决策等信息的科学。
在概率论与数理统计的学习过程中，掌握一些重要的公式是非常关键的。
下面是一些概率论与数理统计中常用的公式：1.概率公式：-加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)-乘法公式：P(A∩B)=P(A)*P(B，A)-条件概率公式：P(A，B)=P(A∩B)/P(B)2.期望与方差公式：-期望：E(X)=∑(x*P(X=x))- 方差：Var(X) = E((X-μ)^2) = ∑((x-μ)^2 * P(X=x))3.常用概率分布及其特征：-二项分布：P(X=k)=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)-泊松分布：P(X=k)=(λ^k*e^(-λ))/k!-正态分布：f(x)=(1/(σ*√(2π)))*e^(-((x-μ)^2)/(2*σ^2))4.样本与总体统计量公式：-样本均值：x̄=(∑x)/n-样本方差：s^2=(∑(x-x̄)^2)/(n-1)-样本标准差：s=√(s^2)5.参数估计公式：-点估计：-总体均值估计：μ的点估计为x̄-总体方差估计：σ^2的点估计为s^2-区间估计：-总体均值的置信区间：x̄±Z*(σ/√n)-总体比例的置信区间：p±Z*√((p*(1-p))/n)6.假设检验公式：-均值检验：-单样本均值检验：t=(x̄-μ0)/(s/√n)-双样本均值检验：t=(x̄1-x̄2)/√((s1^2/n1)+(s2^2/n2))-比例检验：-单样本比例检验：z=(p-p0)/√((p0*(1-p0))/n)-双样本比例检验：z=(p1-p2)/√((p*(1-p))*((1/n1)+(1/n2)))以上是概率论与数理统计中一些常用的公式，这些公式为解决问题提供了有力的工具和方法。
概率论与数理统计公式大全
概率论与数理统计公式大全概率论和数理统计作为数学的两个重要分支，被广泛应用于各个领域。
无论是在学术研究还是实际应用中，熟悉并掌握相关的公式是非常重要的。
本文将为您提供概率论与数理统计公式的大全，帮助您更好地理解和应用这两门学科。
一、概率论公式1. 概率公式- 概率的定义：P(A) = N(A) / N(S)，其中P(A)表示事件A发生的概率，N(A)代表事件A的样本点个数，N(S)表示样本空间中的样本点总数。
- 加法法则：P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)，其中P(A∪B)表示事件A或事件B发生的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
- 乘法法则：P(A∩B) = P(A) × P(B|A)，其中P(B|A)表示在事件A 发生的条件下，事件B发生的概率。
2. 条件概率公式- 条件概率的定义：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)，其中P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
- 全概率公式：P(A) = ∑[P(Bi) × P(A|Bi)]，其中Bi为样本空间的一个划分，P(Bi)表示事件Bi发生的概率，P(A|Bi)表示在事件Bi发生的条件下，事件A发生的概率。
3. 事件独立性公式- 事件A和事件B独立的定义：P(A∩B) = P(A) × P(B)，即事件A和事件B同时发生的概率等于事件A发生的概率乘以事件B发生的概率。
- 事件的相互独立：若对于任意的事件A1，A2，...，An，有P(A1∩A2∩...∩An) = P(A1) × P(A2) × ... × P(An)，则称事件A1，A2，...，An相互独立。
4. 随机变量- 随机变量的定义：随机变量X是样本空间到实数集的映射。
- 随机变量的分布函数：F(x) = P(X≤x)，表示随机变量X小于等于x的概率。
- 随机变量的概率密度函数（连续型随机变量）：f(x)是非负函数，且对于任意实数区间[a, b]，有P(a≤X≤b) = ∫[a, b]f(x)dx。
概率论与数理统计 公式
概率论与数理统计公式概率论与数理统计是现代科学与工程领域中应用最广泛的数学分支之一。
概率论与数理统计涉及众多的公式和理论，是数据分析、预测和决策的重要工具。
在此，我们将介绍概率论与数理统计中常用的公式。
1. 概率计算公式概率计算是概率论中的基础。
以下是概率的定义和概率计算公式。
定义：事件A在随机试验中出现的可能性称为概率P(A)。
公式1：若事件A和事件B相互独立，则P(A∩B)=P(A)×P(B)。
公式2：若事件A和事件B不相互独立，则P(A∩B)=P(A)×P(B|A)。
公式3：若事件A和事件B互为对立事件，则P(A)+P(B)=1 。
公式4：全概率公式：P(B)=∑P(Ai)×P(B|Ai) 。
2. 随机变量和概率分布随机变量是概率论中的重要概念。
以下是随机变量和概率分布函数的定义和公式。
定义1：在随机试验中，对每个样本点都有一个对应的实数值，则这个实数值称为随机变量X。
定义2：X的概率分布函数F(x)定义为：F(x)＝P(X≤x)。
公式5：二项分布的概率分布函数为：P(X=k)=C(n,k)p^k*q^(n-k) （其中n表示试验次数，k表示事件A 发生的次数，p表示单次事件A发生的概率，q=1-p ）。
公式6：泊松分布的概率分布函数为：P(X=k)=(λ^k/k!)×e^-λ （其中λ是一个正实数）。
公式7：正态分布的概率分布函数为：f(x)=(1/√(2π)σ)×e^-(x-μ)²/(2σ²) （其中μ是分布的均值，σ²是分布的方差）。
3. 样本描述和参数估计样本描述和参数估计是数理统计中的基础。
以下是样本描述和参数估计的公式。
公式8：样本的均值：X=(x1+x2+…+xn)/n 。
公式9：样本的方差：S²=[(x1-X)²+(x2-X)²+…+(xn-X)²]/(n-1) 。
概率论与数理统计公式
概率论与数理统计公式以下是概率论与数理统计中常见的公式整理：1.基本概率公式：P(A) = n(A) / n(S)，其中A 为事件，n(A) 为事件A 发生的基数，n(S) 为样本空间的基数。
2.条件概率公式：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)，其中A 和B 为两个事件，P(A∩B) 表示事件A 和事件B 同时发生的概率，P(B) 表示事件B 发生的概率。
3.全概率公式：P(A) = ΣP(A|Bi) * P(Bi)，其中Bi 为互不相交的事件，P(Bi) 表示事件Bi 发生的概率，P(A|Bi) 表示在事件Bi 发生的条件下，事件A 发生的概率。
4.贝叶斯公式：P(Bi|A) = P(A|Bi) * P(Bi) / ΣP(A|Bj) * P(Bj)，其中Bi 为互不相交的事件，P(Bi) 表示事件Bi 发生的概率，P(A|Bi) 表示在事件Bi 发生的条件下，事件A 发生的概率，P(A|Bj) 表示在事件Bj 发生的条件下，事件A 发生的概率。
5.随机变量的期望值：E(X) = Σxi * P(xi)，其中X 为随机变量，xi 为随机变量X 取的第i 个值，P(xi) 表示X 取xi 的概率。
6.随机变量的方差：Var(X) = E((X - E(X))^2)，其中X 为随机变量，E(X) 表示X 的期望值。
7.正态分布的概率密度函数：f(x) = (1 / (σ* √(2π))) * e^(-((x-μ)^2 / (2σ^2)))，其中μ为正态分布的均值，σ为正态分布的标准差。
8.标准正态分布的概率密度函数：f(x) = (1 / √(2π)) * e^(-x^2 / 2)，其中x 为标准正态分布的随机变量。
9.两个随机变量的协方差：Cov(X,Y) = E((X - E(X)) * (Y - E(Y)))，其中X 和Y 为两个随机变量，E(X) 和E(Y) 分别表示X 和Y 的期望值。
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已拿到一个橙子，该橙子来自红色盒子的 贝叶斯原理 概率是多少？
p ( B r | F o) p( F o | B r ) p( B r ) = 2/3 p ( F o)
贝叶斯原理
Choose Box： P(B)
先验概率（prior
probability） probability）
( 2 A) p( A 2 ) ( 2 ) / p( A) 0.300
后验概率
经理对1 , 2的可信程度调整为 0.7,0.3 :
Bayes应用（三）
(2 ) 0.3 先验分布 (1 ) 0.7, 10 , } 第二次抽样结果 B {试产 个产品9个高质量
使用概率分布去描述它的未知状况，该分布称为先验分
布
经过抽样统计后，应用贝叶斯定理
获取参数的后验分布 后验分布反应人们在抽样后对参数的认识 参数估计,假设检验等都必须建立在后验分布基础上
Bayes应用（一）
例1-2 :为了提高某产品质量,公司经理考虑投资改 进设备,两下属部门提出针对该投资实施效果的两 种估计:
高斯分布 （Gaussian）
Normal 正态分布
μ：均值（mean） σ2 ：方差， σ：标准方差 β = 1/σ2 ：Precision精确度
Gaussian分布期望与方差
期望
方差
Gaussian分布的似然函数
观测值的数据集
样本：
x = (x1, . . . , xN)T
p( X x , Y y
j 1 i
L
j
)
3）条件概率（conditional probability ）： p(Y y j | X xi )
nij ci
p ( X xi , Y y j )
nij N
nij ci
ci N
p (Y y j | X xi ) p ( X xi )
i.i.d.
x 的联合概率
最大化似然函数求解μ， σ2
Gaussian分布 参数的极大似然估计
μ decoupleห้องสมุดไป่ตู้ with σ2 （去耦合）
μML 、σ2ML 本身符合高斯分布
无偏估计 有偏估计， N → ∞， 偏差可以忽略
作业
1. 证明Gaussian分布的方差 2. 采用C++编写程序，实现例1-2的贝叶斯 概率计算过程。
问题：
1）拿到一个苹果的概率是多少？ 2）已拿到一个橙子，该橙子来自红色盒子的概率是多少？
General Example
Random Variable： X = { xi,i=1,….,M }, Y = {yj, j=1,…,L} Total number of instances: N trails nij : number of {X= xi, Y= yj} ci: number of {X= xi} rj: number of {Y= yj} 1）联合概率（joint probability）：p(X = xi, Y = yj) = nij /N 2）边缘概率（marginal probability ）： p( X xi )
dx p y ( y ) p x ( x) px ( g ( y)) g ' ( y) dy
概率分布函数
Cumulative distribution function
The probability that x will lie in an interval (- ∞, z) is then given by ：
调用程序分析数据集的数据
撰写应用分析报告
计算机学科应用
了解研究方向中概率统计、随机分析的应用
选定主题，撰写综述报告
参考教材
应用数理统计，华东理工大学出版社，刘剑平等著 理工科概率统计（第8版），机械工业出版社， Ronald E. Walpole 应用随机过程概率模型导论（第9版），北京邮电 大学出版社，（美）罗斯著
意见1：改进后,高质量产品占90% 意见2：改进后,高质量产品占70%
经理根据以往两部门建议情况认为：
意见1的可信度为40%
意见2的可信度为60%
小规模生产2次
试产5个，全是高质量产品 试产10个，9个高质量产品
意见1、2的可信度？
Bayes应用（二）
(2 ) 0.6 先验分布 (1 ) 0.4, 抽样结果 A {试产5个产品 全是高质量产品 , }
cov[x, y ] x , y [{x [ x])}{y [ y ]}] x , y [ xy] [ x][ y ]
Bayesian Vs. frequentist Probability
classical or frequentist interpretation probability(概率论的经典或频率解释)
In
terms of the frequencies of random, repeatable event （重复事件随机发生的频率） quantification of uncertainty（不确定性的量 化）
Bayesian view
a
经典概率
把数据（样本）看成是具有一定概率分布 的总体，所研究的对象是这个总体而不局 限于数据本身
P( z ) p( x)dx
-
z
satisfies
P ' ( x) p ( x)
连续变量的乘法、加法原理
p ( x) p ( x, y )dy p ( x, y ) p ( y | x ) p ( x )
边缘密度函数
期望（Expectations）
E[f]： 函数f(x)在概率分布 p(x)下 的期望
假设进行n次试生产，计算最后得到的
1 ,2的后验概率，即可信度
After observe fruit : p(B|F)
后验概率（posterior
If p(X, Y) = p(X)p(Y ), then p(Y |X) = p(Y )
X
,Y independent (相互独立)
概率密度（Probability Density）
连续变量 x
If the probability of a real-valued variable x falling in the interval (x, x + δx) is given by p(x)δx for δx → 0, then p(x) is called the probability density over x
discrete distribution：
continuous variables：
[ f ] p ( x) f ( x) p ( x)
x
[ f ] p ( x) f ( x)dx
多变量函数， Ex[f(x, y)] 是求x的加权平均，结果为y的函数。
Ex f ( x, y) p( x) f ( x, y) E x f | y p ( x | y ) f ( x)
p(B 1 ) 10(0.9)9 (0.1) 0.387 p(B 2 ) 10(0.7)9 (0.3) 0.121
应用Bayes公式
(1 B) 0.883 , (2 B) 0.117
后验概率 经理对1 ,2的可信程度调整为
0.88,0.12
通过迭代，可以不断修正参数的概率分布
概率统计与随机过程
宋 晖 – 2012年秋
课程简介
本课程介绍概率统计、随机过程的基本原理，介绍与计算 机学科领域相关的数学方法，说明如何应用统计方法建立 问题求解的数学模型，并将其转化为已知问题。 要求学生学习使用Matlab工具箱实现相关算法，基于取样 数据求解问题。 教学学时：48学时
高斯(Gauss,C.F.1777~1855）和勒让德
（Legendre,A.M.1752~1833）的误差分析， 正态分布和最小二乘法
将参数视为未知常量，通过估计方法决定
点估计：矩估计、极大似然估计 估计的误差考虑数据集
D 的分布获得
Bayes概率
Bayes’ theorem was used to convert a prior probability into a posterior probability by incorporating the evidence provided by the observed data 将参数视为随机变量
The probability that x will lie in an interval (a, b) is then given by ：
P( x (a, b)) p( x)dx
a
b
p ( x) 0
p( x)dx 1
随机变量函数的分布
x = g(y)
~ f ( x) f ( y) f ( g ( y))
Pattern Recognition and Machine Learning, Springer, Christopher M. Bishop
第一章 概率统计基础
1.1 基本原理
概率密度 1.1.2 期望与偏差 1.1.3贝叶斯概率 1.1.4 高斯分布