八年级数学12.3.2等边三角形(2)

B E
C F
B E A G A (2)
C F
A
(1)
D
D
试一试
答:∠ADG等于150.
2
成功者的摇篮
证明:∵DF=DC/2(中点定义), A1D=AD=CD(正方形各边都相等), ∴DF=A1D/2(等量代换). ∴∠DA1F=300 (在直角三角形中, 如果一条直角边等 于斜边的一半,那么它所对的锐角等于300). 又∵AD∥EF, ∴∠A1DA=∠DA1F=300 (两直线平行,内错角相等). ∴∠ADG=∠A1DA/2=150(角平分线意义).
1 ∵ ∠ ACB=90° , BC＝ 2 AB ＝
∴ ∠A＝30° ＝ °
C┓
B
证明： 的垂直平分线MN，连接 证明：作AC的垂直平分线 的垂直平分线 ，连接MC 则AM=MC，∠A= ∠1 ， 又∠A+ ∠B=900 ∠1+ ∠2=900 所以∠ 所以∠B= ∠2 A 所以MB=MC=AM 所以 1 所以MB=MC= 2 AB 所以 1 M N 又BC= 2 AB 1 所以∠ 所以∠B=600 2 从而∠ 从而∠A=300 B C
B
C
┓
你还能用其它方法证明吗? 你还能用其它方法证明吗
证法2： 证法 ：
A
证明： 由拼图可知：∵ △ABC≌△ADC， ∴ AB=AD ∵ Rt△ABC中， ∠ABC=60° ∴ ∠BAD=60°， ∴△ABD是等边三角形 又∵AC⊥BD 1 ∴BC＝DC＝ AB
2
B
C
D
证法3： 分析：从三角尺的摆拼过程中得到启发，延长BC至
A
A
B
C
D
C
B
如果一个锐角等于 “在直角三角形中,如果一个锐角等于 ° 直角三角形中 如果一个锐角等于30° 那么它所对的直角边等于斜边的一半 所对的直角边等于斜边的一半。 那么它所对的直角边等于斜边的一半。” 在直角三角形中， 在直角三角形中，如果一直角边是斜边的一 那么它所对的锐角等于30 30° 半，那么它所对的锐角等于30° A
(2) 等边三角形的判定 等边三角形的判定: 1.三边相等的三角形是等边三角形 三边相等的三角形是等边三角形. 三边相等的三角形是等边三角形 2.三个内角都等于 °的三角形是等边三角形 三个内角都等于60 的三角形是等边三角形. 三个内角都等于 3.有一个内角等于 °的等腰三角形是等边三角形 有一个内角等于60 的等腰三角形是等边三角形. 有一个内角等于
３００
Ａ A
E B D C
2（1）如图，在Rt△ABC中， ∠B=2 ∠A，AB=6cm， （ ）如图， △ 中 ， ， 3cm 则BC=________. 30° （2）如图， Rt△ABC中， ∠A= 30°，AB+BC=12cm， ）如图， △ 中 ， B 则AB= _______. 8cm C A
12.3.2 等边三角形（2） 等边三角形（ ）
含30°角的直角三角形的性质 °
A
在Rt△ABC中， △ 中 ∠C=90°若 ° Rt∠A= 30°， ∠ ° AB=a,BC=??
B
C
八年级 王成东
知识回顾:
(1).等边三角形的性质 等边三角形的性质
1.等边三角形的内角都相等 且都等于 等边三角形的内角都相等,且都等于 等边三角形的内角都相等 60 ° 2.等边三角形是轴对称图形，有三条 等边三角形是轴对称图形， 等边三角形是轴对称图形 对称轴 3.等边三角形各边上中线 高和所对角 等边三角形各边上中线,高和所对角 等边三角形各边上中线 的平分线都三线合一. 的平分线都三线合一
B D A
E
C
例2.已知:等腰三角形的底角为150,腰长为2a. 2.已知:等腰三角形的底角为15 腰长为2a. 已知 求:腰上的高. 腰上的高. 解:过C作BA延长线的垂线CD,垂足为D BA延长线的垂线CD,垂足为D 延长线的垂线CD,垂足为 已知), ∵∠B=∠ACB=150(已知), ∴∠DAC=∠B+∠ACB= 150+150=300 三角形的一个外角,等于和不相邻的两内角的和). (三角形的一个外角,等于和不相邻的两内角的和). ′ ∴CD= 1 AC= 1 ×2a=a 2 2 在直角三角形中, 如果有一个锐角等于30 (在直角三角形中, 如果有一个锐角等于300,那么它所 对的直角边等于斜边的一半). 对的直角边等于斜边的一半).
B
C
D
定理
如果一个锐角等于 在直角三角形中,如果一个锐角等于 ° 直角三角形中 如果一个锐角等于30° 那么它所对的直角边等于斜边的一半 所对的直角边等于斜边的一半。 那么它所对的直角边等于斜边的一半。
数学式: 数学式
A
30°
∵ ∠ ACB=Rt ∠ ,∠A＝30° ∠ ＝ ° 1 ∴BC＝2 AB ＝
1.(1)如图：在Rt△ABC中∠A=300,AB+BC=12cm， 如图： 如图 △ 中 ， 则AB=_____cm
８
Ｂ
Ｃ
是等边三角形， （2）如图 △ABC是等边三角形， ）如图:△ 是等边三角形 AD⊥BC,DE⊥AB,若AB=8cm, ⊥ ⊥ 若 ４ｃｍ ２ｃｍ BD=＿＿＿， BE=____ ＿＿＿，
C D
B
A
5、等腰三角形一腰上的高线等于腰长的一半， 、等腰三角形一腰上的高线等于腰长的一半， 则此三角形的三个角的度数分别是_________ 则此三角形的三个角的度数分别是 ____________________________________ ° 30° 75° 75° 15° 15° 150° 30°、 75°、 75°或15°、15°、 150
回味无穷
结束寄语
下课了!
• 严格性之于数学家,犹如道德之于人. • 证明的规范性在于：条理清晰，因果相应,言 必有据.这是初学证明者谨记和遵循的原则.
再
见！Biblioteka D 平分∠ （3）如图， Rt△ABC中， ∠A= 30°，BD平分∠ABC， ）如图， △ 中 ° 平分 ， 且BD=16cm，则BC= 24cm . ， AD=2CD成立吗？ 成立吗？ 成立吗
3、如图，在△ABC中， ∠ACB= 90°，BA的 、如图， 中 ° 的 垂直平分线交边CB于 。 垂直平分线交边 于D。若AB=10，AC=5， ， ， 则图中等于 30°的角的个数为（ ） °的角的个数为（ B A.2 B.3 C.4 D.5
E N P O M B
要把一块三角形的土地均匀分给甲 、 乙、 丙三家农户去种植,如果∠C＝90°∠A＝ 30°,要使这三家农户所得土地的大小和 形状都相同,请你试着分一分,在图上画出 来. B
┓
C
A
试一试
2
成功者的摇篮
1.如图(1):四边形ABCD是一张正方形纸片,E,F分别是AB,CD的中点,沿着过点D 的折痕将A角翻折,使得A落在EF上(如图(2)), 折痕交AE于点G,那么∠ADG等于 多少度?你能证明你的结论吗?
用刻度尺测量含30°角的直角三角 形的斜边和短直角边，比较他们之间 的数量关系。
请将做好的三角形纸片沿一边上的高对折， 如图所示：
A A
沿 AC 对折
B
C
D
C
D
将两个含有30°的同样的三角尺如图摆 放在一起你能借助这个图形,找到Rt△ABC的 直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗?
1 BC= 2
A
D D B C B A C
7、如图，在△ABC中， AB=AC， 、如图， 中 ， 120° ∠BAC= 120°，AC的垂直平分线 交AC 的垂直平分线EF交 于点E， 于点F。求证： 于点 ，交BC于点 。求证：BF=2CF。 于点 。
A E B F C B D E A C
8、 如图，在△ABC中， ∠ACB= 90°， 、 如图， 90° 中 15° ∠B= 15°，AB的垂直平分线分别交 、AB 的垂直平分线分别交BC、 于D、E。求证：DB=2AC 、 。求证：
D，使CD=BC，连接AD． 证明：在△ABC中，∠ACB=90°， ∠BAC=30°，则∠B=60°． 延长BC至D，使CD=BC，连接AD ∵∠ACB=90°， ∴∠ACD=90°． ∵AC=AC， ∴△ABC≌△ADC（SAS）． ∴AB=AD（全等三角形的对应边相等）． ∴△ABD是等边三角形（有一个角是60°的等腰 三角形是等边三角形）． ∴BC= 1 BD= 1 AB 2 2
C D B A
E
4、 如图，上午 时，一条渔船从 出发， 、 如图，上午9时 一条渔船从A出发 出发， 海里/时的速度向正北航行 以12海里 时的速度向正北航行，11时到达 海里 时的速度向正北航行， 时到达 B处，从A、B两处望小岛 ，测得 两处望小岛C， 处 、 两处望小岛 ∠NAC=150， ∠NBC=300，若小岛周围 12.3海里内有暗礁，问该渔船继续向正北 海里内有暗礁， 海里内有暗礁 N 航行有无触礁的危险？ 航行有无触礁的危险？
6、如图，在△ABC中， AB=AC， 、如图， 中 ， 120° ∠BAC= 120°，AC的垂直平分线 交AC 的垂直平分线EF交 于点E， 于点F。求证： 于点 ，交BC于点 。求证：BF=2CF。 于点 。
C D B E A
7、 如图，在△ABC中， ∠ACB= 90°， 、 如图， 90° 中 15° ∠B= 15°，AB的垂直平分线分别交 、AB 的垂直平分线分别交BC、 于D、E。求证：DB=2AC 、 。求证：
8、 如图,在△ABC 中,AB=AC, ∠A=120°,AB的垂直平分线 MN交BC于M,交AB于N, C M 求证:CM=2BM
B N A
9、如图， ∠AOB= 30°，P是角平分线上的点， 、如图， 30° 是角平分线上的点， PM⊥OB于M，PN//OB交OA于N，若PM=1cm， ⊥ 于 ， 交 于 ， ， 2cm A 则PN=________.