等差数列的前n项和性质3
计算等差数列的前n项和
计算等差数列的前n项和计算等差数列的前n项和是数学中的一个常见问题，对于中学生来说，掌握这个知识点可以帮助他们更好地理解数列的性质和运算规律。
在本文中，我将以实例为基础，分析和说明如何计算等差数列的前n项和，希望能够帮助中学生和他们的父母更好地掌握这一知识点。
一、等差数列的概念和性质等差数列是指数列中的每一项与它的前一项之差都相等的数列。
例如，1，3，5，7，9就是一个等差数列，公差为2。
等差数列的性质包括：公差d、首项a1、通项公式an=a1+(n-1)d等。
二、计算等差数列的前n项和的方法计算等差数列的前n项和有多种方法，下面我将分别介绍两种常用的方法。
方法一：逐项相加法这种方法适用于等差数列项数较少的情况。
具体步骤如下：1. 根据等差数列的性质，得到首项a1、公差d和项数n。
2. 将等差数列的每一项逐个相加，直到第n项。
3. 计算得到的和即为等差数列的前n项和。
例如，计算等差数列1，3，5，7，9的前3项和：a1=1，d=2，n=31+3+5=9所以，前3项和为9。
方法二：利用求和公式这种方法适用于等差数列项数较多的情况，可以通过求和公式快速计算前n项和。
具体步骤如下：1. 根据等差数列的性质，得到首项a1、公差d和项数n。
2. 利用求和公式S=n/2(a1+an)计算前n项和，其中S表示前n项和，a1表示首项，an表示第n项。
例如，计算等差数列1，3，5，7，9的前5项和：a1=1，d=2，n=5S=5/2(1+9)=25所以，前5项和为25。
三、实际应用举例等差数列的前n项和在实际应用中有着广泛的应用。
举例来说，假设小明每天存钱，第一天存1元，之后每天比前一天多存2元，问小明存了10天后一共存了多少钱？我们可以将这个问题转化为等差数列的前n项和的计算问题。
首项a1=1，公差d=2，项数n=10。
利用求和公式S=n/2(a1+an)，可以得到前10项和为S=10/2(1+19)=100。
等差数列的前n项和(3)
称为数列{an}的前n
项和，记作Sn，那么Sn－1表示什么？ an，Sn，Sn－1三者之间有什么关系？
S n S n 1 an S1
2013-8-19
( n 2) ( n 1)
利用数列前n项和Sn，求通项公式 第一步：当n＞1时，an＝Sn－Sn－1； 第二步：检验n＝1时，a1＝S1是否适合上式， 若适合，则数列{an}的通项公式是an＝Sn－Sn－1； 若不适合，则数列{an}的通项公式是
9＋17 由 S17＝S9 知图象对称轴 n＝ ＝13， 2 ∴当 n＝13 时，取得最大值 169.
2013-8-19
2. 若数列{an}的前n项和是Sn＝pn2＋qn， 那么数列{an}是等差数列吗？ 若Sn＝pn2＋qn＋r呢？ {an}是等差数列
Sn＝pn2＋qn.
2013-8-19
Sn 3. 若数列{an}为等差数列，那么数列 { } n
2013-8-19
【正解】
当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1
＝(n2＋n－1)－[(n－1)2＋(n－1)－1]＝2n； 当 n＝1 时，a1＝S1＝1.
1，n＝1 ∴an＝ 2n，n≥2
.
∵a2－a1＝4－1＝3≠2， ∴数列{an}中每一项与前一项的差不是同一个常数， ∴{an}不是等差数列.
3 2 123 ＝2n － 2 n＋1 260.10 分
2013-8-19
∴数列{|an|}的前 n 项和 3 2 123 －2n ＋ 2 nn≤20 Sn′＝ 3n2－123n＋1 260n>20 2 2
.12 分
• [题后感悟] 本题为非常规等差数列求和．解 题的关键首先是确定数列{an}的前20项为负数， 其次是当n>20时，用Sn－S20表示从a21到an这些 非负的项的和．本题是此类问题的一个典型例 题，类似问题都可以这样处理．
等差数列前n项和的性质
等差数列前n项和的性质及应用
密码学：等差数列 前n项和公式可用于 设计密码算法和加 密方案
计算机图形学：等差数 列前n项和公式可用于 生成等差数列曲线，用 于计算机图形学中的渲 染和动画制作
定义：等差数 列中，任意两 项的差为常数
公式： Sn=n/2*(a1+a
n)
推导：利用等 差数列的定义， 将前n项和展开，
得到 Sn=na1+n(n-
算法优化：通过减少重复计算和利用已知值来加速计算过程，从而提高了算法的效率。
应用场景：等差数列前n项和的优化算法在数学、物理、工程等领域有广泛的应用， 尤其在处理大规模数据时具有显著优势。
计算等差数列前n项和的最小 值
求解等差数列中项的近似值
判断等差数列是否存在特定性 质
优化等差数列前n项和的计算 过程
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汇报人：
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等差数列前n项和 是数列中前n个数 的和，记作Sn。
等差数列前n项和的 公式为：Sn = n/2 * (a1 + an)，其中a1为 首项，an为第n项。
等差数列前n项和 的性质包括对称性、 奇偶性、线性关系 等。
等差数列前n项和的定义：一个数列， 从第二项起，每一项与它的前一项的 差都等于同一个常数，这个数列就叫 做等差数列。
等差数列前n项和的性质1：若 m+n=p+q，则S_m+S_n=S_p+S_q。
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等差数列前n项和的公式： S_n=n/2*(2a_1+(n-1)d)，其中a_1 是首项，d是公差。
2.3.2等差数列的前n项和的性质
性质1
若数列an 是公差为d的等差数列，
2
则s n，s 2 n - s n，s3n - s 2 n ...是公差为n d的等差数列
c
（2）一个等差数列的前10项和为50，后10项和为60，则其前n 项和为 .
性质2
若数列a n 是公差为d的等差数列 s奇 s偶 s n 当项数为偶数时， n 2m时 s奇 am s 偶 - s 奇 md s 偶 am 1
性质3
当项数为奇数时， n 2m - 1时 s偶 （m 1）am s 奇 mam s奇 m s偶 m 1
s 偶 s 奇 sn (2m - 1)am
性质4
a n 和bn 的前n项和分别为Sn , Tn 若等差数列
S2 n1 an 则 T2 n1 bn
第二章 数列
2.3 等差数列前n项和的性质
知识回顾:
知识点 1 ：a n与sn的关系
a n 一般地，我们称 a1 a2 a3 ... an为数列
的前n项的和sn即有sn a1 a2 a3 ... an
s1 , n 1 注意：an sn sn 1 , n 1
二.等差数列的前n项和公式:
n(a1 an ) n(n 1) sn na1 d 2 2
注. 数列an 的前n项和s n pn qn( p, q是常数）
2
d 数列an 是等差数列，且 p 2
三.等差数列的前n项和的性质:
n(a1 an ) n(n 1) sn na1 d 2 2
性质5
a n 的前n项和分别为Sn 若等差数列
Sn 则 也是等差数列 n
n(a1 an ) 1.等差数列的前项和公式1：S n 2
等差数列前n项和的性质
想一想： 在等差数列{an}中，Sn，S2n，S3n三者之间有什么
关系？
S3n＝3(S2n－Sn)
思考2：若{an}为等差数列，那么
{Sn n
}是什么数列？
性质：数列{an}是等差数列
(2)∵an＝2n－1， ∴bn＝2n－112n＋1＝212n1－1－2n1＋1， ∴Bn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn ＝121－13＋2113－15＋2115－17＋…＋122n1－1－2n1＋1 ＝121－2n1＋1＝2nn＋1.
『变式探究』
1.已知在正整数数列{an}中，前 n 项和 Sn 满足： Sn＝18(an＋2)2， (1)求证：{an}是等差数列； (2)若 bn＝12an－30，求数列{bn}的前 n 项和的最小值．
则S2k 1 等于什么？ T2k 1
ak S2k 1 bk T2k 1
例4：Sn，Tn分别是等差数列{an}、{bn}的前n项的和，
且
Sn Tn
7n 2 n3
，则
a5 b5
.
『变式探究』
1.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和
Bn，且
An Bn
7n 45，则使得 n3
3.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝12，S12＞0， S13＜0. （1）求数列{an}公差d的取值范围；（2）指出 S1， S2， S3， …，S12中哪一个值最大。
4.数列{an}首项为23，公差为整数的等差数列，且第六 项为正，第七项为负. （1）求数列{an}的公差d； （2）求前n项和Sn的最大值； （3）当Sn>0时，求n的最大值；
等差数列前n项和公式的几个性质和与应用 (3)
等差数列前n项和公式的几个性质和与应用性质1：设等差数列{}n a的前n项和公式和为n S，公差为d，*m∈n.N则①()dm n m S n S m N -=-21②()mnd S S S S nm n m S n m n m n m ++=--+=+性质2：设等差数列{}n a 的前n 项和公式和为n S ，*..N k n m ∈,若k n m ..成等差数列，则k S n S m S knm,,成等差数列性质3：设等差数列{}n a 的前n 项和公式和为n S ，*....N n m q p ∈,若n m q p +=+，则qp S S n m S S qp n m --=--性质4：设等差数列{}na 的前n 项和公式和为k S①当()*2N k k n ∈=时，()12++=k k k a a k S ②当()*12N k k n ∈-=时，()121212---=k k a k S例1：如果等差数列{}n a 的前4项和是2，前9项和是-6，求其前n 项和公式。
解1：由性质1得：()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=-d n S nS d S S n 4214492149449 ()()21将9,294-==S S 代入()()2,1得：nn S n 30433072+-=解2：求1a ,d.例2：设n S 是等差数列{}n a 的前n项和，已知331S 和441S 的等比中项为551S ，331S 和441S 的等差中项为1，求等差数列{}na 的通项公式n a 。
解1：由性质1和题意知，()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=+=-=-d d S S S S d d S S 2145214523421342134453434)3()2()1( 解得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=-=d S dS d S 431541144113543又3453425S S S ⋅=⎪⎭⎫⎝⎛，即⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+d d d 4114114312，∴5120-==d d 或当d=0时，33=S ，∴*,1N n a n ∈= 当512-=d 时，52435124113=⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=S又da S 223313⨯+=，即524512331=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+a ，∴41=a故()*,512153251214N n n n a n ∈-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=例3：一等差数列前4项和是24，前5项和的差是27，求这个等差数列的通项公式。
等差数列前n项和的性质
则
S偶-
S奇=
nd 2
.
特别地, 若 m+n=2p, 则 am+an=2ap .
2.等差中项
b=
a+c 2
3.若数列 {an}是等差数列，则 d k 2d
Sk , S2k Sk , S3k S2k , S4k S3k , 也是等差数列
4.若等差数列 {an} 的前 2n-1 项和为 S2n-1, 等差数列 {bn} 的
前 2n-1 项和为 T2n-1,
则
S2n-1 T2n-1
=
an bn
.
三、判断、证明方法
1.定义法; 2.通项公式法; 3.等差中项法.
{an}为等差数列 an kn b
Sn An2 Bn
注: 三个数成等差数列, பைடு நூலகம்设为 a-d, a, a+d(或 a, a+d, a+2d) 四个数成等差数列, 可设为a-3d, a-d, a+d, a+3d.
一、概念与公式
1.定义 若数列 {an} 满足: an+1-an=d(常数), 则称 {an} 为等差数列.
2.通项公式 an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d.
3.前n项和公式
Sn=na1+
n(n-1)d 2
=
n(a1+an) 2
.
二、等差数列的性质
1.若 m+n=p+q(m、n、p、qN*), 则 am+an=ap+aq .
四、Sn的最值问题
1.若 a1>0, d<0 时,
满足
an≥0, an+1≤0.
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小结
2、等差数列中五个元素：a1，an，d，n， Sn知三求二．运用思想方法： 方程思想方法、整体思想方法、分类讨论 思想。
3、数列是等差数列等价于
s n An Bn
2
4、与等差数列前 n 项和相关的综 合问题（如：最值问题）
作业
课本P45练习2，P46A组第4题
24 d 3 7
13a1+13×6d<0
1 (2) ∵ Sn na1 n( n 1)d 2 1 n(12 2d ) n( n 1)d 2
2 d 24 d 3 ∴Sn有最大值. 由(1)知 7 5 12 13 13 由上得 6 即6 n 2 d 2 2
∴当n=7时,Sn取最大值49.
求等差数列前n项的最大(小)的方法
d 2 d 方法1:由Sn n (a1 )n利用二次函 2 2 数的对称轴求得最值及取得最值时的n的值.
方法2:利用an的符号①当a1>0,d<0时,数列 前面有若干项为正,此时所有正项的和为 Sn的最大值,其n的值由an≥0且an+1≤0求得. ②当a1<0,d>0时,数列前面有若干项为负, 此时所有负项的和为Sn的最小值,其n的值 由an ≤0且an+1 ≥ 0求得.
练习:已知数列{an}的通项为an=26-2n, 要使此数列的前n项和最大,则n的值为 ( C)
A.12 B.13 C.12或13 D.14
等差数列{an}前n项和的性质 例2.设等差数列的前n项和为Sn,已知 a3=12,S12>0,S13<0. (1)求公差d的取值范围; (2)指出数列{Sn}中数值最大的项,并说明 理由. a1+2d=12 解:(1)由已知得 12a1+6×11d>0
d 2 d Snn=An2+Bn
当d≠0时,Sn是常数项为零的二次函数
等差数列的前n项的最值问题 例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11, 求n取何值时,Sn取最大值. 解法1 由S3=S11得 ∴ d=－2
1 1 3 13 3 2 d 11 13 11 10 d 2 2
复习回顾
等差数列的前n项和公式:
n（a1 an ) 形式1: Sn 2
形式2:
n（n 1) Sn na1 d 2
1.将等差数列前n项和公式
看作是一个关于n的函数，这个函数 有什么特点？
n(n 1)d S n na1 2
d d 令 A , B a1 2 2
则Sn的图象如图所示 又S3=S11 所以图象的对称轴为
∴当n=7时,Sn取最大值49.
Sn
3 11 n 7 2
n 3 7 11
等差数列的前n项的最值问题 例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11, 求n取何值时,Sn取最大值. 解法3 由S3=S11得 d=－2
∴ an=13+(n-1) ×(-2)=－2n+15 15 n an 0 2 由 得 13 a 0 n1 n 2 ∴当n=7时,Sn取最大值49.
由于n为正整数,所以当n=6时Sn有最大值.
d 2 5d n (12 )n 2 2 5 12 ∴Sn图象的对称轴为 n
练习1
已知等差数列25,21,19, …的前n项和 为Sn,求使得Sn最大的序号n的值.
1、结合二次函数图象和性质求 d 2 d S n n (a1 )n 2 2 的最值.
1 Sn 13n n( n 1) ( 2) 2 2 2 n 14n ( n 7) 49
∴当n=7时,Sn取最大值49.
等差数列的前n项的最值问题 例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11, 求n取何值时,Sn取最大值. 解法2 由S3=S11得 d=－2<0
等差数列的前n项的最值问题 例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11, 求n取何值时,Sn取最大值. 解法4 由S3=S11得
a4+a5+a6+……+a11=0 而 a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8
∴a7+a8=0 又d=－2<0,a1=13>0 ∴a7>0,a8<0