2020学年高中数学 第三章导数的概念 3.1.2 瞬时变化率—导数学案 苏教版选修1-1

3.1.2 瞬时变化率—导数学习目标：1.理解导数的概念和定义及导数的几何意义．(重点) 2.理解运动在某时刻的瞬时变化率(瞬时速度)．(难点)[自 主 预 习·探 新 知]1．曲线上一点处的切线设曲线C 上的一点P ，Q 是曲线C 上的另一点，则直线PQ 称为曲线C 的割线；随着点Q 沿曲线C 向点P 运动，割线PQ 在点P 附近越来越逼近曲线C .当点Q 无限逼近点P 时，直线PQ 最终就成为在点P 处最逼近曲线的直线l ，这条直线l 称为曲线在点P 处的切线．2．瞬时速度运动物体的位移S (t )对于时间t 的导数，即v (t )＝S ′(t )． 3．瞬时加速度运动物体的速度v (t )对于时间t 的导数，即a (t )＝v ′(t )． 4．导数设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，当Δx 无限趋近于0时，比值Δy Δx＝f x 0＋Δx －f x 0Δx无限趋近于一个常数A ，则称f (x )在点x ＝x 0处可导，并称常数A 为函数f (x )在点x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)．5．导函数若函数y ＝f (x )对于区间(a ，b )内任一点都可导，则f (x )在各点的导数也随自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数称为f (x )的导函数，记作f ′(x )．6．函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．[基础自测]1．判断正误：(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数值与Δx 值的正、负无关．( ) (2)在导数的定义中，Δx ，Δy 都不可能为零．( ) (3)在导数的定义中，ΔyΔx＞0.( )【解析】 (1)√.Δx 是自变量的增量，可正可负，函数f (x )在x ＝x 0处的导数与它的正负无关． (2)×.Δy 可以为0，如常数函数． (3)×.ΔyΔx 也可能是负数或0.【答案】 (1)√ (2)× (3)×2．函数f (x )＝x 2在点(1,1)处切线的斜率是________． 【解析】 k ＝1＋Δx2－1Δx ＝2＋Δx ，当Δx →0时，k →2，故所求的切线的斜率是2.【答案】 23．一辆汽车运动的速度为v (t )＝t 2－2，则汽车在t ＝3秒时加速度为__________．【解析】 a ＝ΔvΔt＝3＋Δt2－2－9－2Δt＝6＋Δt ，当Δt →0时，a →6，故汽车的加速度为6. 【答案】 6[合 作 探 究·攻 重 难]求瞬时速度与瞬时加速度(1)一辆汽车按规律s ＝2t 22时的瞬时速度(时间单位：s ，位移单位：m)．(2)设一辆汽车在公路上做加速直线运动，其在t s 时的速度为v (t )＝t 2＋1，求汽车在t ＝1 s 时的加速度.【导学号：95902184】[思路探究] (1)设时间变化量Δt →求位移增量Δs →求平均速度Δs Δt →令Δt →0→结论.(2)设时间变化量Δt →求速度增量Δv →求平均加速度ΔvΔt →令Δt →0→结论【自主解答】 (1)设这辆车在t ＝2附近的时间变化量为Δt ，则位移的增量Δs ＝[2(2＋Δt )2＋3]－(2×22＋3)＝8Δt ＋2(Δt )2，Δs Δt ＝8＋2Δt ，当Δt →0时，ΔsΔt →8，所以这辆车在t ＝2时的瞬时速度为8 m/s.(2)设这辆车在t ＝1附近的时间变化量为Δt ，则速度的增量Δv ＝[(1＋Δt )2＋1]－(12＋1)＝(Δt )2＋2Δt ，Δv Δt ＝Δt ＋2，当Δt →0时，Δv Δt →2，所以汽车在t ＝1 s 时的加速度为2. [规律方法](1)求瞬时速度的步骤：①求位移增量Δs ＝S (t 0＋Δt )－S (t 0)； ②求平均速率v －＝ΔsΔt；③求瞬时速度：当Δt 趋近于0时，ΔsΔt趋近于v . (2)求瞬时加速度的步骤： ①求平均加速度ΔvΔt ；②令Δt →0，求瞬时加速度. [跟踪训练]1．若一物体的运动方程为S ＝7t 2＋8，则其在t ＝__________时的瞬时速度为1.【解析】 因为Δs Δt＝7t 0＋Δt2＋8－7t 20＋8Δt＝7Δt ＋14t 0，所以当Δt →0时，Δs Δt 趋近于14t 0，即14t 0＝1，t 0＝114. 【答案】 114求函数在某一点处的导数求函数y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数.【导学号：95902185】[思路探究] 方法一：先求Δy ，再求出ΔyΔx ，令Δx →0，可求f ′(1)，先求出f ′(x )，再求出f ′(x )在x＝1处的值．方法二：先求出ΔyΔx，当Δx 无限趋于0时，即可求出f ′(x )在x ＝1处的值．【自主解答】 方法一：∵Δy ＝(1＋Δx )＋11＋Δx －⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋11＝Δx －1＋11＋Δx ＝Δx －1Δx ＋1＋11＋Δx ＝Δx 21＋Δx ，∴Δy Δx ＝Δx 1＋Δx ，当Δx →0时，ΔyΔx→0，∴f ′(1)＝0. 方法二：Δy Δx＝f x ＋Δx －f xΔx＝x ＋Δx ＋1x ＋Δx －⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x Δx＝1－1x ＋Δx x，当Δx 无限趋于0时，1－1x ＋Δx x 无限趋近于1－1x2，即f ′(x )＝1－1x2，故f ′(1)＝0.函数y ＝x ＋1x 在x ＝1处的导数为1－112＝0.[规律方法] 由导数的定义知，求一个函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的步骤如下： (1)求函数值的改变量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx；(3)求当Δx →0时，ΔyΔx 的值，即f ′(x 0).[跟踪训练]2．根据导数的定义求下列函数的导数： (1)求y ＝x 2在x ＝1处的导数；(2)求y ＝x 2＋1x ＋5在点P ⎝⎛⎭⎪⎫2，192处的导数．【解】 (1)∵Δy ＝(1＋Δx )2－12＝2Δx ＋(Δx )2，∴Δy Δx ＝2Δx ＋Δx2Δx＝2＋Δx ，当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx ＝2＋Δx 无限趋近于2，所以f ′(1)＝2.(2)∵Δy ＝(2＋Δx )2＋12＋Δx ＋5－⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋12＋5＝4Δx ＋(Δx )2－Δx22＋Δx，∴Δy Δx ＝4＋Δx －14＋2Δx， ∴当Δx →0时，Δy Δx →4－14＝154，故f ′(2)＝154.导数的几何意义及应用[探究问题] 1．平均变化率f x 0＋Δx －f x 0Δx的几何意义是什么？【提示】 平均变化率f x 0＋Δx －f x 0Δx的几何意义是过点P (x 0，f (x 0))和Q (x 0＋Δx ，f (x 0＋Δx ))割线的斜率．2．在探究1中，若让Δx →0，割线PQ 是如何变化的？【提示】 当点Q 沿着曲线无限接近点P ，即Δx →0时，割线PQ 有一个极限位置PT ，我们把直线PT 称为曲线在点P 处的切线．3．根据探究2的答案，导数的几何意义是什么？【提示】 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线斜率k ＝f ′(x 0)．4．我们在初中学过圆的切线，圆是一种特殊曲线，圆的切线与圆只有一个公共点，其他曲线和它的切线也只有一个公共点吗？【提示】 曲线的切线，并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以有无穷多个．求双曲线y ＝1x 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12的切线方程. 【导学号：95902186】[思路探究] 由导数的几何意义先求出斜率，再求方程.【自主解答】Δy Δx＝f2＋Δx－f2Δx＝12＋Δx－12Δx＝－122＋Δx，当Δx→0时，ΔyΔx→－14，即k＝f′(2)＝－14.所以由直线方程的点斜式知切线方程为：y－12＝－14(x－2)，即y＝－14x＋1.[规律方法]1．求曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程．即点P的坐标既适合曲线方程，又适合切线方程，若点P处的切线斜率为f′(x0)，则点P处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；如果曲线y＝f(x)在点P处的切线平行于y轴(此时导数不存在)，可由切线定义确定切线方程为x＝x0.2．若切点未知，此时需设出切点坐标，再根据导数的定义列关于切点横坐标的方程，最后求出切点坐标或切线的方程，这种情况下求出的切线方程往往不止一条．[跟踪训练]3．已知直线y＝3x＋a和曲线y＝x3相切，求实数a的值．【解】设切点为M(x0，y0)，则ΔyΔx＝x0＋Δx3－x30Δx＝3x20＋3x0(Δx)＋(Δx)2，当Δx无限趋近于0时，3x20＋3x0(Δx)＋(Δx)2无限趋近于3x20.由题意得，3x20＝3，解得x0＝1或x0＝－1.所以切点坐标为(1,1)或(－1，－1)．将点(1,1)代入直线y＝3x＋a，可得a＝－2；将点(－1，－1)代入直线y＝3x＋a，可得a＝2.综上可知，a＝－2或a＝2.[构建·体系][当堂达标·固双基]1．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则f′(x0)＝________.【解析】 ∵f x0＋Δx －f x 0Δx ＝a Δx ＋b Δx2Δx＝a ＋b ·Δx ，当Δx →0时，f x 0＋Δx －f x 0Δx→a ，∴f ′(x 0)＝a .【答案】 a2．已知曲线y ＝13x 3＋43，则以点P (2,4)为切点的切线方程是________.【导学号：95902187】【解析】 ∵Δy Δx＝13[x ＋Δx3－x 3]Δx＝x 2＋13(Δx 2)＋Δx ·x ，当Δx →0时，Δy Δx →x 2，所以f ′(x )＝x 2，∴k ＝f ′(2)＝4，∴切线方程为y －4＝4(x －2)，即y ＝4x －4. 【答案】 y ＝4x －43．设函数f (x )＝ax 3＋2，若f ′(－1)＝3，则a ＝________. 【解析】 Δy Δx＝f－1＋Δx －f －1Δx＝a －1＋Δx3＋2－a －13－2Δx＝3a －3a Δx ＋a (Δx )2当Δx →0时，ΔyΔx →3a ，所以f ′(－1)＝3a ＝3，即a ＝1.【答案】 14.如图3­1­3所示，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝x ＋5，则f (3)－f ′(3)＝__________.图3­1­3【解析】 由导数的几何意义知f ′(3)＝－1，又f (3)＝－3＋5＝2， ∴f (3)－f ′(3)＝2－(－1)＝3. 【答案】 35．以初速度v 0 (v 0＞0)做竖直上抛运动的物体，t 时刻的高度为s (t )＝v 0t －12gt 2，求物体在时刻t 0时的瞬时速度.【导学号：95902188】【解】 ∵Δs ＝v 0(t 0＋Δt )－12g (t 0＋Δt )2－v 0t 0＋12gt 20＝(v 0－gt 0)Δt －12g (Δt )2，∴Δs Δt ＝v 0－gt 0－12g Δt ，当Δt →0时，ΔsΔt→v 0－gt 0， ∴物体在时刻t 0时的瞬时速度为v 0－gt 0.。