对曲线切线概念的正确理解
中学阶段对曲线切线的认识
中学阶段对曲线切线的认识杨君利通过教学我发现我们大多数人对曲线的切线认识的还不够全面，甚至还有一些错误的观点。
本文就曲线的切线给予简短的归纳和总结。
一、对圆的切线的认识首先，学生对于切线的认识，是一个循序渐进的过程。
从初中到高中，大致分为三个阶段。
第一阶段是在初中从圆的切线开始的。
由于当时对切线只是一种直观的认识，学习了圆的切线后，很多学生认为，所谓曲线的切线，就是和曲线只有一个公共点的直线。
这种认识是把对圆的切线的直观感觉进行了错误的推广。
二、对圆锥曲线的切线的认识第二阶段是在学习圆锥曲线时。
对于抛物线，其对称轴和对称轴的平行线都与这条抛物线只有一个交点，但这些直线不是抛物线的切线；对于双曲线，与双曲线的渐近线平行的直线与这条双曲线也只有一个交点，但它们也不是这条双曲线的切线。
通过圆锥曲线的学习，学生对切线的认识有了更深入的认识，知道直线与曲线只有一个交点时，直线不一定是曲线的切线。
从数的意义上来说，就是当直线的方程与二次曲线的方程联立的方程组，在消去一个坐标量后所得的方程是关于另一个坐标量的一元二次方程，并且判别式等于零时，直线才是该二次曲线的切线。
但是学生这个时候对于切线的认识还不是本质的，例如还有不少学生会认为，直线与曲线有多个交点时，直线不可能是曲线的切线；过一点作曲线的切线，最多只有两条，等等一些错误的观点。
三、学习导数后对曲线的切线的认识那么要澄清上述的一些错误观点，即第三阶段在我们学习导数后得出曲线的切线的定义：在曲线的某点A附近取点B，并使点B沿曲线不断接近点A。
这样直线AB的极限位置就是曲线在点A的切线。
这是切线在高中数学中的唯一定义，在高中数学北师大版选修2-2中就运用了这一定义，精确的定义了曲线在某点或过某点的切线。
通过定义我们知道如果是圆的切线，的确切线与圆只有一个交点。
但是求曲线的切线则不能错误的用“只有一个交点”来确定。
这就需要利用导数的几何意义：函数在某点处的导数值等于函数在该点处的切线的斜率。
对曲线切线概念的正确理解
对曲线切线概念的正确理解作者：刘明来源：《数学教学通讯·中等教育》2013年第08期摘要：负迁移会阻碍新的知识技能的形成，学生学习中经常出现的难点、错误和问题，不少是因为负迁移的规律引起的. 初中时学习的“圆的切线”概念，由于负迁移的作用，会对后来学习一般曲线切线的概念产生消极影响，本文通过具体的例子，分析学生在概念理解中出现的各种错误原因，帮助学生正确理解切线概念，形成正确的知识结构.关键词：切线；概念；理解；切线求法心理学上有个概念叫做“负迁移”，它是指过去形成的知识技能对学习新的知识技能起消极影响，阻碍新的知识技能的形成. 学生学习中经常出现的难点、错误和问题，不少是因为负迁移的规律引起的，如许多学生在学习“曲线切线”这一概念时，会受到初中所学的“圆的切线”的概念的影响，导致对曲线切线的理解存在偏差，这就是负迁移对学习的影响. 本文旨在帮助学生更好地理解切线的概念，正确求解曲线的切线方程.问题产生——这不是切线在课堂上讲解（苏教版高中《数学》选修1-1）P62练习第二题第（3）题时，题目：在下列三个图中（这里仅选取出错的第（3）题图）（如图1），直线l为曲线在点P处的切线，分别求l的斜率：有学生发出这样的疑问：学生：直线l好像不是曲线的切线？教师：为什么？学生：因为它和曲线有两个交点，在直线两旁都有图形.这位学生的观点得到许多学生的赞同，这也引发笔者的思考：学生们为什么会有这样的认识？这不是对切线的定义没有完全理解吗？要解决这个问题，看来还要从根本上解决.教师：为什么有这样的想法？学生：初中学过：直线和圆相切⇔有唯一公共点，所以切线和曲线应该只有唯一交点，而这里出现了两个，所以不是切线.溯本求源——什么是曲线的切线要想准确理解曲线切线的含义，先搞清楚它是如何定义的.1. 初中课本上切线的定义切线这一概念是在九年级“圆”中第一次学习，苏科版义务教育课程标准实验教科书《数学》九年级下册是这样给出圆的切线：直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切. 点叫做切点，直线叫做圆的切线.在初中把圆的切线定义为“与圆只有一个交点的直线”，这个说法在初中阶段是适当的，由于教材中没有加以说明，也由于大多数初中数学教师或囿于《课程标准》的要求，或囿于自身的业务水平，没有做过多的解释，从而导致学生认为切线和曲线就只有一个交点，不少学生把“圆与直线的相切”推广到了“一般曲线与直线的相切”，这就是负迁移对后续学习的影响.2. 高中课本上切线的定义高等数学中定义曲线的切线（包括空间曲线）是曲线割线的极限位置的直线，在苏教版普通高中课程标准实验教科书《数学》选修1-1（选修2-2）给出了严格的定义：如图2，设Q为曲线上不同于P的一点，这时，直线PQ称为曲线的割线，随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C，当点Q无限靠近点P时，直线PQ最终就成为在点P处的最逼近曲线的直线l，这条直线l称为曲线在点P处的切线.3. 切线含义的理解我们是先通过直线与圆的相切关系，然后随着研究曲线的形状的变化，引进割线的极限状态来定义曲线的切线. 因此，对曲线的切线，我们可以这样理解：（1）采用以直代曲，无限逼近的极限思想，曲线C在P点处的切线是割线PQ的极限位置；（2）在某切点P处的切线，只与曲线在该点的小领域内的形态有关，反映的是曲线的局部特征，因此，不能强调与曲线只有一个交点；（3）图形不一定都在直线的同侧（书上的图形画得有点特殊，也导致学生的理解错误）；（4）曲线的切线定义是圆的切线的定义的推广，圆的切线只是曲线的切线的一个特例. 一般曲线切线的所有结论，对圆的切线都适用，但圆的切线结论对一般曲线的切线并不成立.评析：此题切线与曲线有唯一交点，但同时，y轴（或平行于y轴的直线）也与曲线只有一个交点，但它显然不是曲线的切线，所以说直线与曲线有唯一交点不一定是切线（要是切线的话，必须该点为切点）. 这个例子可以说明初中有关圆的切线的定义不能向一般曲线推广.2. 曲线的切线与曲线可能有许多个交点例2 求余弦函数y=cosx在点A（0，1）处的切线.评析：画出图象，我们可以发现，它和曲线有无数个交点，且都为切点. 可见，曲线的切线与曲线的交点不一定是一个、二个，还可以有无数个. 因此，只看曲线和直线的交点个数是无法判断直线与曲线相切的，但是，我们可以说，曲线的切线存在时，在该点处的某个邻域内，切线只与曲线有一个交点.3. 曲线的图象不一定位于切线的同侧通过图象我们可以看出曲线并不是在切线的一侧，而是在两侧.4. 可导性与切线的关系一般来说，曲线在某点处可导则曲线在某点处一定有切线，切线斜率也存在. 但反之，在某点的导数不存在，则过该点的切线可能存在，也可能不存在.例4 求y=在x=0处的切线.可知，在x=0处导数是不存在的，曲线的切线也不存在，因为，曲线切线是割线的极限位置的直线，而y=在x=0处定义域不是对称的，在小于0的部分函数没有定义，在高等数学中，有单侧极限和导数的定义，但对于切线来讲总是双侧极限.[⇩] 求曲线的切线方程求切线方程时，要注意是“在”还是“过”，若是“在某点处”，则该点为切点；若是“过某点处”，则该点未必是切点，先设切点，求出切线方程的通解，再代入点的坐标即可. 在高考试卷中，求切线方程，一般在第（1）问出现，难度也不大，如下面的例题.例5 （2009全国卷）曲线y=在点P（1，1）处的切线方程为________.分析：在点P处，则点P是切点. 易由点斜式求得切线方程为x+y-2=0.例6 已知曲线y=x3+，则过点P（2，4）的切线方程是________.分析：易验证，点P在该曲线上，但点P不一定是切点，所以，设切点，用通法求.解：设切点坐标为（x0，y0），由导数定义可得，则k=x，所以切线方程为y-y0= x（x-x0），因切线过点（2，4），则有4-y0= x（2-x0），又因为y0=x+，解得x0=2或-1，切线斜率是1或4，故所求切线方程。
曲线切线求法
曲线切线求法摘要：1.曲线切线的基本概念2.求曲线切线的方法3.实例演示与应用正文：在数学和工程领域中，曲线切线是一个重要的概念。
切线是指在曲线上某一点，与该点处曲率相同的直线。
求曲线切线的方法有很多，本文将介绍几种常见的方法，并通过实例进行演示。
一、曲线切线的基本概念曲线切线是为了描述曲线在某一点处的局部性质而引入的概念。
在平面上，给定一条曲线C，设点P为曲线C上任意一点，点Q为曲线C上与点P 相邻的另一点，那么连接PQ的直线称为曲线C在点P处的切线。
切线的斜率等于曲线在点P处的曲率。
二、求曲线切线的方法1.斜率法求曲线切线的第一种方法是利用曲线在某一点的斜率。
对于一曲线上某点P（x，y），我们可以通过求该点前后相邻两点的斜率来得到切线的斜率。
斜率公式为：m = (y2 - y1) / (x2 - x1)其中，m为切线斜率，(x1, y1)和(x2, y2)为曲线上的两点。
2.导数法求曲线切线的另一种方法是利用曲线的导数。
对于一曲线的方程y =f(x)，我们可以求其在某一点处的导数，得到切线的斜率。
导数公式为：m = dy/dx |_(x=a)其中，m为切线斜率，a为曲线上的某一点。
3.切线方程法已知曲线方程y = f(x)，我们可以求出曲线在任意一点处的切线方程。
切线方程的一般形式为：y - y1 = m(x - x1)其中，(x1, y1)为曲线上的某一点，m为切线斜率。
三、实例演示与应用1.实例一：求圆的切线已知圆的方程为x + y = r，其中r为半径。
设圆上两点分别为A(x1, y1)和B(x2, y2)，求AB的切线方程。
解：首先求两点间的斜率m，然后利用切线方程公式得到切线方程。
2.实例二：求椭圆的切线已知椭圆的方程为x/a + y/b = 1，求椭圆上某点的切线方程。
解：求椭圆在点P处的斜率m，然后利用切线方程公式得到切线方程。
总之，求曲线切线的方法有很多，如斜率法、导数法和切线方程法等。
切线的判定和性质2
切线的判定和性质切线是数学中一个重要的概念，尤其在微积分和几何学中使用得非常广泛。
本文将讨论如何判定一条直线是否为曲线的切线以及切线的一些性质。
切线的判定判定一条直线是否为曲线的切线，有以下两种常见的方法：1. 函数导数法设曲线的方程为 y = f(x)，如果某一点 (a, f(a)) 处的函数导数f’(a) 存在且等于切线的斜率 k，则直线 y = kx + b 是曲线在点 (a, f(a)) 处的切线。
2. 函数极限法设曲线的方程为 y = f(x)，如果点 (a, f(a)) 处的函数 f(x) 在 x = a 处的极限存在且等于切线的斜率 k，则直线 y = kx + b 是曲线在点 (a, f(a)) 处的切线。
需要注意的是，以上两种方法得到的切线方程并不一定相同，因为函数在某一点处的导数和极限不一定相等。
但是当函数是可导的时候，两种方法能得到相同的结果。
切线的性质切线作为曲线的一条特殊直线，具有以下一些性质：1. 切点切点是切线与曲线相交的点，切线与曲线通常只有一个交点。
切点坐标为 (a, f(a))，其中 a 是曲线上的一点，f(a) 是曲线在点 a 处的函数值。
2. 切线的斜率切线与曲线在切点处的斜率是相等的。
切线的斜率可以通过上述判定切线的两种方法得到。
3. 切线方程切线方程可以使用点斜式或一般式表示。
点斜式为 y - f(a) = k(x - a)，其中 k 是切线的斜率。
一般式为 Ax + By + C = 0，其中 A、B、C 是切线方程的系数。
4. 切线与曲线的关系切线与曲线在切点处相切，因此切线方程所表示的直线与曲线在切点处重合。
切线与曲线在切点处的函数值相等，即切线方程与曲线方程在切点处相等。
5. 切线的几何意义切线可以看作曲线在切点处的局部近似，切线的斜率表示曲线在切点处的变化速率。
当切线的斜率为正时，曲线在切点处向上增长；当切线的斜率为负时，曲线在切点处向下增长；当切线的斜率为零时，曲线在切点处取极值。
曲线切线的定义
曲线切线的定义在数学中，曲线切线是指在曲线上某一点处与该点切线相切的直线。
曲线切线是微积分中的重要概念，它能够描述曲线在某一点处的局部特征，如曲线的斜率和方向等。
本文将从曲线切线的定义、切线的斜率以及切线的方向等方面进行详细讲解。
一、曲线切线的定义曲线切线是指在曲线上某一点处与该点切线相切的直线。
换句话说，曲线切线是曲线在该点处的一阶导数。
在数学中，曲线切线的定义是通过求曲线在该点处的切线斜率来确定的。
如果一个曲线在某一点处存在切线，那么这个曲线在该点处就是可导的。
二、切线的斜率切线的斜率是指切线在曲线上某一点处的斜率，它是曲线在该点处的一阶导数。
切线斜率的计算方法是通过求曲线在该点处的导数来计算的。
在图像上，切线斜率可以用斜率公式来表示，即k = (y2 - y1) / (x2 - x1)其中，(x1, y1)和(x2, y2)是曲线上的两个点，k是切线的斜率。
三、切线的方向切线的方向是切线在曲线上某一点处的方向，它是由切线斜率和曲线的方向决定的。
如果切线斜率是正的，那么切线的方向是向上的；如果切线斜率是负的，那么切线的方向是向下的。
如果切线斜率等于零，那么切线的方向是水平的。
在曲线上的某些点，切线的方向可能会发生变化。
这些点被称为拐点。
在拐点处，切线的方向会从向上或向下变为水平或向上或向下。
拐点是曲线的重要特征之一，它可以帮助我们更好地理解曲线的局部性质。
四、应用曲线切线在数学中有广泛的应用，特别是在微积分中。
曲线切线可以帮助我们求出曲线在某一点处的斜率和方向，从而更好地理解曲线的性质和特征。
曲线切线还可以应用于物理学、工程学和计算机科学等领域中，用于描述曲线在某一点处的局部特征。
总之，曲线切线是微积分中的重要概念，它可以帮助我们更好地理解曲线的局部特征。
通过学习曲线切线的定义、切线的斜率以及切线的方向等方面，我们可以更好地掌握微积分的基础知识，为更深入的学习打下坚实的基础。
三角函数的导数与曲线的切线
三角函数的导数与曲线的切线三角函数是数学中常见的函数之一，它们在解析几何、物理学、工程学等领域中都有重要的应用。
在研究三角函数的性质时，导数的概念起到了至关重要的作用。
三角函数的导数不仅帮助我们了解函数的变化率，还能够帮助我们确定函数曲线上的切线方程。
本文将详细介绍三角函数的导数与曲线的切线的相关内容。
一、正弦函数的导数与曲线的切线正弦函数是最基本的三角函数之一，由于其周期性和连续性，具有广泛的应用。
我们首先来讨论正弦函数的导数与曲线的切线。
正弦函数的导数表示了函数在每个点的斜率。
考虑正弦函数y = sin(x)，我们可以用极限的方法来求其导数。
根据导数的定义，正弦函数的导数可以表示为：dy/dx = lim┬(h→0)(sin(x+h)-sin(x))/h利用三角函数的和差化简公式，我们可以将上式变形为：dy/dx = lim┬(h→0)(2sin(h/2)cos(x+h/2))/h当h趋近于0时，我们可以将上式进一步简化为：dy/dx = cos(x)从上述推导可以看出，正弦函数的导数为余弦函数。
这意味着在正弦函数的任何点上，曲线的切线斜率都等于该点的横坐标处的余弦值。
二、余弦函数的导数与曲线的切线余弦函数是另一个常见的三角函数，它在几何学和物理学中都有广泛的应用。
接下来我们来探讨余弦函数的导数与曲线的切线。
考虑余弦函数y = cos(x)，同样可以利用导数的定义来求其导数。
根据定义，余弦函数的导数可以表示为：dy/dx = lim┬(h→0)(cos(x+h)-cos(x))/h利用三角函数的和差化简公式，我们可以将上式变形为：dy/dx = lim┬(h→0)(-2sin(h/2)sin(x+h/2))/h当h趋近于0时，我们可以将上式进一步简化为：dy/dx = -sin(x)由上述推导可知，余弦函数的导数为其自身的负值乘上-1。
即曲线上任意点的切线斜率等于该点的横坐标处的正弦值的负值。
关于切线的几个认识误区
关于切线的几个认识误区误区一：曲线上某一点处附近的曲线一定在该点处切线的同一侧．错因分析：学生比较熟悉圆、椭圆、双曲线、抛物线等圆锥曲线的切线，这些曲线在某一点处附近的曲线确实都在该点处切线的同一侧，学生往往通过类比，认为误区一的结论是正确的，这种先入为主的错误认识影响了对切线概念的正确理解．解析：由曲线在某一点处的切线的定义可知，曲线在某一点处的切线是通过该点的割线的极限位置，切线既可以位于切点处曲线的一侧，也可以穿过切点处的曲线．例1：函数3()f x x =，导函数 2()3f x x '=，(0)0f '=，在点（0，0）处的切线为00(0)y x -=⨯-，即0y =.误区二：函数在某一点处的导数不存在，则在该点处的切线不存在．错因分析：学生一般是通过求导来求曲线在某一点处的切线的斜率．在某一点处导数存在，说明在该点处切线存在，学生容易类比出在某一点处的导数不存在就判定在该点处的切线不存在．解析：曲线在某一点处的导数不存在，既可能是曲线在该点处的左右割线的极限不同，也可能是在该点处的切线与Y 轴平行或重合．前者导致切线不存在，而后者是可以存在切线的. 例2：函数13()f x x =，导函数 233211()33f x x x -'==，(0)f '不存在，但在点（0，0）处的切线为0x =.（与例1是互为反函数）例3：函数()f x x =，导函数1,0()1,0x f x x >⎧'=⎨-<⎩，(0)f '不存在，在点（0，0）处的切线也不存在.误区三：经过曲线上的一点作曲线的切线只有一条．错因分析：同误区一．解析：经过曲线上的一点作曲线的切线时，该点可能是切点，也可能不是切点．例4：函数3()3f x x x =-，导函数2()33f x x '=-，令2()330f x x '=-=，解得1x =±，极值点为（－1，2）和（1，2）.(据此可画函数的草图)现在求过点（2，2）的切线：一方面，以（2，2）为切点：2(2)3239f '=⨯-=，切线为29(2)y x -=-；另一方面，以（－1，2）为切点的切线为2(1)(1)y f x '-=-⨯+ 即2y =，此切线也过点（2，2）.。
关于切线的分析
对于曲线切线的分析湖北李捷曲线的切线是反映切点处曲线局部特征的重要直线，在教学中我们常常发现，由于学生受圆的切线的概念的影响。
对曲线的切线概念理解往往存在偏差，另一方面，一般教材对曲线的可导处的切线都有介绍，但是对于不可导点处的切线，一般都较少涉及，因此对曲线切线的理解往往发生遗漏。
本文就切线的定义以及切线的理解进行了简单的介绍，以便帮助学生更好的理解和把握切线的概念，准确分析曲线的切线。
一。
切线的定义切线第一次出现平面几何有关圆的知识的部分，初中把切线定义为“与曲线只有一个交点的直线”。
这个定义在初中阶段是恰当的，但是也给高中阶段进一步学习曲线的切线带来了一定的错误影响。
下面给出曲线的切线的定义：给定曲线，点M,N为曲线上的两点，MN为曲线的割线，当N沿曲线趋于M时，割线MN的极限位置MT称为曲线在点M处的切线。
由切线的定义我们看出，曲线在点处的切线只与曲线在该点的小领域内的形态有关。
曲线的切线定义是圆的切线的定义的推广，圆的切线只是曲线的切线的一个特例。
一般曲线切线的所有结论包括性质、求法等，对圆的切线都适用，但圆的切线结论对一般曲线的切线并不成立。
二。
关于切线的理解高中阶段，课本中已经明确了这个概念，但现阶段要同学们掌握切线的内涵是有一定难度的。
下面我们通过几个简单的例子来说明在理解曲线的切线时，同学们容易出现的几个问题。
首先，同学们容易通过直线与曲线的交点的个数来判断切线，对这种错误认识，我们可以通过下面的例子来说明。
例1 在点处的切线。
我们知道此时曲线在处的切线不存在。
但是我们可以找到很多条过（0，0）点且与曲线只有一个交点的直线。
例2 在点处的切线。
此时曲线的切线存在。
通过上面的例子，我们容易知道直线是曲线在处的切线；同时（y轴）也是与曲线有一个交点，但它显然不是切线。
通过这个例子可以说明初中关于圆的切线的定义是不能向一般曲线上推广。
例3 在（，1）点处的切线。
此时曲线的切线是存在的。