医学统计学 第四讲 计量资料的统计推断-抽样误差及t分布(1学时)

总体标准差
总体率
一、均数的抽样误差
总体
参 数
抽取部分观察单位
抽样误差
样本
统计推断 如：总体均数µ 如：样本均数X
总体标准差σ 总体率π 样本标准差S 样本率 P
统计量
（sampling error) ：由 于个体差异导 致的样本统计 量之间以及统 计量与总体参 数间的差别。
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从偏态分布总体中抽 样，n足够大时，样 本均数也服从正态分 布
说错的概率是5%。
5%是小概率事件，所以在实际应用中就认为
总体均数在算得的可信区间。
（2）t 分布法
应用条件: σ未知，且n较小(n≤100)时.
根据t分布的特点可知，95%的t值分布在
± t0.05/2,ν之间，即：-t0.05/2, ν ≤t≤ t0.05/2, ν
x - t 0.05/2, sx ≤ μ ≤ x + t 0.05/2, sx
（124.0±1.96×0.33）= (123.4, 124.6) 即：该地7岁男孩平均身高的95%可信区间为 （123.4cm ， 124.6cm）
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意义：
虽然不能知道某市全体7岁男孩身高均数的
确切数值，但有95%的把握说该市全体7岁男孩身
高均数在123.4 ~ 124.6cm之间，。 换句话说，做出该市全体7岁男孩身高均数在 123.4 ~ 124.6cm之间的结论，说对的概率是95%，
p= 0.05（双侧）
-t
t(0.05/2,ν)
相同自由度下 t 值越大，对应的尾侧 面积越小，即p值越小，反之亦然。
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●
t 分布的应用 1、估计总体均数的可信区间； 2、作 t 检验。
三 总体均数的估计
统计推断的任务就是用样本信息推论总体特征。参数估 计是任务之一。用样本均数估计总体均数（参数）有两 种方法。 点估计：由样本统计量 X、S、p 参数的估计 区间估计：在一定可信度下，同 时考虑抽样误差
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标准正态变量变换
随机变量X
u X m
N（m，2）
u变换
标准正态分布
N（0，12）
均数 X
N ( m , n)
2
X m u n
标准正态分布
u变换
N（0，12）
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二、t分布
均数 X
N ( m , n)
2
X m u n
标准正态分布
u变换
N（0，12）
Student t分布 自由度：n-1
187.11 ±2.045 ×42.32/(29)1/2=(171.04, 203.18)
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区别点 含 义
总体均数可信区间
参考值范围
按预先给定的概率，确定未知参数m 的可能范围。实际上一 “正常人”的解剖，生理， 次抽样算得的可信区间要么包含了总体均数，要么不包含。 生化某项指标的波动范围。 但可以说：当=0.05 时，95%CI 估计正确的概率为 0.95，估 计错误的概率小于或等于 0.05，即有 95%的可能性包含了总 体均数。 计算 公式 用途 总体均数的波动范围 未知： X t , S X * 个体值的波动范围 正态分布： X u S 偏态分布：PX~P100X 绝大多数(如 95%)观察对象 某项指标的分布范围
n
x1 x2
n
N(μ,σ2)
n n
． ． ．
中心极限定理：
n
μ x x σ x ．
3 4
． ．
xn
①样本均数服从正态分布；②样本均数的均数等于总体均数，样 5 本均数的标准差就是标准误。
●（均数）标准误的
●
计算
X n
理论值
sx
估计值
s n
●
影响因素：σ 一定时，n↑，标准误↓
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●标准误的意义：反映抽样误差的大小。标准误越
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直接作为总体参数估计值 m、、
总体均数的区间估计(interval estimation)
▲ 概念：根据样本均数，按一定的可信度（概率，1-
а）估计总体均数可能所在的一个数值范围，称为
总体均数的可信区间(confidence interval, CI)。
▲ 习惯上用总体均数的95%(或99%)可信区间，表示
①σ已知 ② σ未知但n足够大
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u分布法估计总体均数可信区间
① 已知，总体均数95%的可信区间为：
X 1.96
X
≤ 1.96
根据样本均数服从u分布,95%的样本均数u值在 ±1.96之间,即 x -μ
- 1.96 ≤
σx
x - 1.96σ x ≤μ ≤x + 1.96σ x
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u分布法估计总体均数可信区间
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例题 随机抽查某地30名40~44岁哈萨克族成年男性 的骨密度，测得其骨密度均数为187.11mg/cm2 标准差为42.32mg/cm2, 试估计骨密度总体均 数的95%可信区间。 n=30, ν=n-1=29 查表 t(0.05/2, 29)=2.045
代入公式：X±t(а/2 ,ν) ×Sx , 即：
该区间包 含总体均数m的概率为95%(或99%)，用此 范围估计总体平均数，表示100次抽样中，有 95(99) 次包含总体均数。
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总体均数的区间估计(interval estimation)
▲ 方法：根据已知条件不同,采用不同
的方法:
(1) u 分布法 (2) t 分布法
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（1）u分布法
应用条件:
② 未知，但样本例数n足够大（n>100）， 总体均数95%的可信区间可近似地表达为：
X 1.96 S X20 Nhomakorabea例题 已知抽样调查某市7岁男童200名，平均身高 为124.0cm, 标准误为0.33cm，试估计该市7岁 男孩身高总体均数的95%可信区间。 （x1.96· s x ，x1.96 · s x）即
小，抽样误差越小，用样本均数估计总体均数的可
靠性越大。
例题:随机抽取某市200名7岁男孩,其 身高均数为124.0cm,标准差为4.6cm, 试估计其抽样误差.
S 4.6 SX 0.33cm n 120
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●标准误的作用
1、反映抽样误差的大小，说明样本 均数的可靠性。通常用 x s x表示。 2、利用标准误作总体均的区间估计。 3、用标准误作假设检验。
第一节
抽样误差和总体均数估计
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统计推断 statistical inference
内容：
样本
总体
参 数
如：总体均数
抽取部分观察单位
统计推断
统计量
1. 参数估计 (estimation of parameters) 包括：点估计与 区间估计
2. 假设检验（test of hypothesis)
3
如：样本均数 样本标准差S 样本率 P
**
已知或未知但 n>100： X u X 或 X u S X **
总体均数的区间估计
* t , 也可用 t / 2, (对应于双尾概率时) ** u , 也可用 u / 2, (对应于双尾概率时)
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③ u分布是t分布的特殊形式。
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t 分布的图形（u分布是t分布的特殊形式）
t分布不是一条曲线，而是一簇曲线,自由度一定时，t 分布曲线下面积分布有一定规律。为便于使用，可根 据t值表查找。
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t 界值表（p262 附表2
）
横坐标：自由度υ 纵坐标：概率p,即曲线下尾侧阴影部分的面积; 表中 的数字：相应的 |t | 界值。
X m X m t , v n 1 SX S n
这时，对正态变量 X采取的不是 u 变换而是 t 变换了， t 值的分布为t分布。也称为student 分布。 10
t 分布的图形（u分布是t分布的特殊形式）
t 分布特征: ①以纵轴为对称轴的单峰曲线 ②t分布为一簇曲线,其形态与自由度有关。