浙江高考历年真题之概率大题(理科1)
2021高考数学理科概率大题专项练习(尖子生必做)(含离散型随机变量)
1. （本小题满分13分，（1）(5分)，（2）(8分)）在甲、乙等个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为），求：（1）甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；（2）甲、乙两单位之间的演出单位个数的分布列与期望。
2. （本题满分10分）某小区停车场的收费标准为：每车每次停车时间不超过小时免费，超过小时的部分每小时收费元（不足小时的部分按小时计算）。
现有甲乙两人独立来停车场停车（各停车一次），且两人停车时间均不超过小时。
设甲、乙两人停车时间（小时）与取车概率如表所示。
（1）求甲、乙两人所付车费相同的概率；（2）设甲、乙两人所付停车费之和为随机变量，求的分布列和数学期望。
3. 甲、乙两位同学参加诗词大会，设甲、乙两人每道题答对的概率分别为和。
假定甲、乙两位同学答题情况互不影响，且每人各次答题情况相互独立。
（1）用表示甲同学连续三次答题中答对的次数，求随机变量的分布列和数学期望。
（2）设为事件“甲、乙两人分别连续答题三次，甲同学答对的次数比乙同学答对的次数恰好多”，求事件发生的概率。
4. 从甲、乙两品种的棉花中各抽测了根棉花的纤维长度（单位：），得到如图的茎叶图，整数位为茎，小数位为叶，如的茎为，叶为。
（1）试比较甲、乙两种棉花的纤维长度的平均值的大小及方差的大小（只需写出估计的结论，不需说明理（2）将棉花按纤维长度的长短分成七个等级，分级标准如表：试分别估计甲、乙两种棉花纤维长度等级为二级的概率。
（3）为进一步检验甲种棉花的其它质量指标，现从甲种棉花中随机抽取根，记为抽取的棉花纤维长度为二级的根数，求的分布列和数学期望。
5. （本小题满分12分）某市，两所中学的学生组队参加辩论赛，中学推荐了名男生、名女生，中学推荐了名男生、名女生，两校所推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取人，女生中随机抽取人组成代表队。
高考真题 概率 (理科)
K 概率 K1 随事件的概率19．K1、K5、K6[2012·浙江卷] 已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X 为取出此3球所得分数之和．(1)求X 的分布列；(2)求X 的数学期望E (X )．19．解：(1)由题意得X 取3,4,5,6，且P (X ＝3)＝C 35C 39＝542，P (X ＝4)＝C 14·C 25C 39＝1021，P (X ＝5)＝C 24·C 15C 39＝514，P (X ＝6)＝C 34C 39＝121.所以X 的分布列为E (X )＝3·P (X ＝3)＋4·P (X ＝4)＋5·P (X ＝5)＋6·P (X ＝6)＝133.K2 古典概型15．K2[2012·重庆卷] 某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为________(用数字作答)．15.35[解析] 6节课共有A 66＝720种排法，相邻两节文化课间最多间隔1节艺术课排法分两类：(1)两节相邻文化课之间没有艺术课间隔：可将三节文化课捆绑为一个元素，然后再与另三节艺术课进行全排列，排法有A 33A 44＝144种；(2)三节文化课间都有1节艺术课间隔：有“文艺文艺文艺”与“艺文艺文艺文” 两种形式，其排法有2A 33A 33＝72种；(3)三节文化课中有两节之间有一节艺术课，而另一节文化课与前两节文化课之一无间隔，可先对文化课进行全排，然后从3节艺术课选一节放入排好的3节文化课之间，再将此4节课看作一个元素与余下的2节艺术课进行全排，其排法有：A 33C 13C 12A 33＝216种．综上可知，相邻两节文化课间最多间隔1节艺术课排法有144＋72＋216＝432种，所以课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为432720＝35.11．K2[2012·上海卷] 三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛．若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是________(结果用最简分数表示)．11.23[解析] 考查古典概率和组合问题，关键是把情况分析清楚，不要漏掉或者重复情况．所有的可能情况有C 23C 23C 23，满足条件有且仅有两人选择的项目完全相同的情况有C 23C 23C 12，由古典概率公式得P ＝C 23C 23C 12C 23C 23C 23＝23.6．K2[2012·江苏卷] 现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________．6.35[解析] 本题考查等比数列的通项公式的运用以及古典概型的求解．解题突破口为等比数列通项公式的运用．由通项公式a n ＝1×(－3)n －1得，满足条件的数有1，－3，－33，－35，－37，－39，共6个，从而所求概率为P ＝35.16．K2、K6[2012·福建卷] 受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X 1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X 2，分别求X 1，X 2的分布列；(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由．16．解：(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A .则P (A )＝2＋350＝110.(2)依题意得，X 1的分布列为X 2(3)由(2)得，E (X 1)＝1×125＋2×350＋3×910＝14350＝2.86(万元)，E (X 2)＝1.8×110＋2.9×910＝2.79(万元)．因为E (X 1)＞E (X 2)，所以应生产甲品牌轿车．7．K2、J1[2012·广东卷] 从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是( )A.49B.13C.29D.197．D [解析] 本题考查利用古典概型求解概率以及两个基本计数原理，解决本题的突破口是首先确定符合条件的两位数的所有个数，再找到个位是0的个数，利用公式求解，设个位数与十位数分别为y ，x ，则如果两位数之和是奇数，则x ，y 分别为一奇数一偶数：第一类x 为奇数，y 为偶数共有：C 15×C 15＝25；另一类x 为偶数，y 为奇数共有：C 14×C 15＝20.两类共计45个，其中个位数是0，十位数是奇数的两位数有10,30,50,70,90这5个数，所以个位数是0的概率为：P (A )＝545＝19.K3 几何概型10．K3[2012·辽宁卷] 在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C .现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32 cm 2的概率为( )A.16B.13C.23D.4510．C [解析] 本小题主要考查几何概型．解题的突破口为弄清是长度之比、面积之比还是体积之比．令AC ＝x ，CB ＝12－x ，这时的面积为S ＝x (12－x )，根据条件S ＝x (12－x )<32⇒x 2－12x＋32>0⇒0<x <4或8<x <12，矩形面积小于32 cm 2的概率P ＝4－0＋(12－8)12＝23，故而答案为C.2．E5、K3[2012·北京卷] 设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )A.π4 B.π－22C.π6 D.4－π42．D [解析] 设事件A ：点到坐标原点的距离大于2.如图1－1，P (A )＝S 2S ＝S －S 1S ＝4－π4.6．K3、B13[2012·福建卷] 如图1－1所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为(A.14B.15C.16D.176．C [解析] 本题考查几何概型的计算与求解以及定积分的计算，解决本题的关键是利用定积分求出阴影部分的面积，再利用几何概型公式求解．阴影部分的面积是：S 阴影＝⎠⎛01(x －x)d x ＝⎝⎛⎭⎫23x 32－12x 2⎪⎪ 10＝23－12＝16，利用几何概型公式得：P ＝S 阴影S 正方形＝161＝16. 8．K3[2012·湖北卷] 如图1－3所示，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是()A ．1－2π B.12－1πC.2πD.1π8．A [解析] 如下图所示，不妨设扇形的半径为2a S 1，S 2，两块阴影部分的面积分别为S 3，S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝S 扇形OAB ＝14π(2a )2＝πa 2①，而S 1＋S 3与S 2＋S 3的和恰好为一个半径为a 的圆的面积，即S 1＋S 3＋S 2＋S 3＝πa 2②. 由①－②得S 3＝S 4；又由图可知S 3＝S 扇形EOD ＋S 扇形COD －S 正方形OEDC ＝12πa 2－a 2，所以S 阴影＝πa 2－2a 2.故由几何概型概率公式可得，所求概率P ＝S 阴影S 扇形OAB＝πa 2－2a 2πa 2＝1－2π.故选A.15．C3、K3[2012·湖南卷] 函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的导函数y ＝f ′(x )的部分图象如图1－5所示，其中，P 为图象与y 轴的交点，A ，C 为图象与x 轴的两个交点，B 为图象的最低点．(1)若φ＝π6，点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，332，则ω＝________；(2)若在曲线段ABC 与x 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC 内的概率为________．15．(1)3 (2) π4[解析] 考查三角函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象与解析式，结合导数和几何概型，在陈题上有了不少的创新．作为填空题，第二问可在第一问的特殊情况下求解．(1)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)求导得，f ′(x )＝ωcos(ωx ＋φ)，把φ＝π6和点⎝⎛⎭⎫0，332代入得ωcos ⎝⎛⎭⎫0＋π6＝332解得ω＝3.(2)取特殊情况，在(1)的条件下，导函数f ′(x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6，求得A ⎝⎛⎭⎫π9，0， B ⎝⎛⎭⎫5π18，－3，C ⎝⎛⎭⎫4π9，0，故△ABC 的面积为S △ABC ＝12×3π9×3＝π2，曲线段与x 轴所围成的区域的面积S ＝－⎪⎪f (x ) 4π9π9＝－sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋π6＋sin ⎝⎛⎭⎫3π9＋π6＝2，所以该点在△ABC 内的概率为P ＝S △ABC S ＝π4.10．L1、K3[2012·陕西卷] 图1－3是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图，P 表示估计结果，则图中空白框内应填入( )图1－3A ．P ＝N 1000B ．P ＝4N1000C ．P ＝M 1000D ．P ＝4M100010．D [解析] 本题主要考查循环结构的程序框图的应用，同时要兼顾考查学习概率的模拟方法中圆周率π的模拟，通过阅读题目和所给数据可知试验了1000次，M 代表落在圆内的点的个数，根据几何概型，π4＝M 1000，对应的圆周率π为P ＝4M1 000.K4 互斥事件有一个发生的概率16．B11、B12、E3[2012·重庆卷] 设f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴．(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的极值．16．解：(1)因f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1，故f ′(x )＝a x －12x 2＋32.由于曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴，故该切线斜率为0，即f ′(1)＝0，从而a －12＋32＝0，解得a ＝－1.(2)由(1)知f (x )＝－ln x ＋12x ＋32x ＋1(x ＞0)，f ′(x )＝－1x －12x 2＋32＝3x 2－2x －12x 2＝(3x ＋1)(x －1)2x 2.令f ′(x )＝0，解得x 1＝1，x 2＝－13(因x 2＝－13不在定义域内，舍去)．当x ∈(0,1)时，f ′(x )＜0，故f (x )在(0,1)上为减函数；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，故f (x )在(1，＋∞)上为增函数． 故f (x )在x ＝1处取得极小值f (1)＝3，无极大值．K5 相互对立事件同时发生的概率16．B11、B12、E3[2012·重庆卷] 设f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴．(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的极值．16．解：(1)因f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1，故f ′(x )＝a x －12x 2＋32.由于曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴，故该切线斜率为0，即f ′(1)＝0，从而a －12＋32＝0，解得a ＝－1.(2)由(1)知f (x )＝－ln x ＋12x ＋32x ＋1(x ＞0)，f ′(x )＝－1x －12x 2＋32＝3x 2－2x －12x 2＝(3x ＋1)(x －1)2x 2.令f ′(x )＝0，解得x 1＝1，x 2＝－13(因x 2＝－13不在定义域内，舍去)．当x ∈(0,1)时，f ′(x )＜0，故f (x )在(0,1)上为减函数；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，故f (x )在(1，＋∞)上为增函数． 故f (x )在x ＝1处取得极小值f (1)＝3，无极大值． 17．K5、K6[2012·湖南卷] 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．(1)确定x ，y 的值，并求顾客一次购物的结算时间X 的分布列与数学期望；(2)若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过．．．2.5分钟的概率．(注：将频率视为概率) 17．解：(1)由已知得25＋y ＋10＝55，x ＋30＝45，所以x ＝15，y ＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，将频率视为概率得P (X ＝1)＝15100＝320，P (X ＝1.5)＝30100＝310，P (X ＝2)＝25100＝14，P (X ＝2.5)＝20100＝15，P (X ＝3)＝10100＝110.X 的分布列为X E (X )＝1×320＋1.5×310＋2×14＋2.5×15＋3×110＝1.9.(2)记A 为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”，X i (i ＝1,2)为该顾客前面第i 位顾客的结算时间，则P (A )＝P (X 1＝1且X 2＝1)＋P (X 1＝1且X 2＝1.5)＋P (X 1＝1.5且X 2＝1)．由于各顾客的结算相互独立，且X 1，X 2的分布列都与X 的分布列相同，所以P (A )＝P (X 1＝1)×P (X 2＝1)＋P (X 1＝1)×P (X 2＝1.5)＋P (X 1＝1.5)×P (X 2＝1)＝320×320＋320×310＋310×320＝980. 故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为980.17．K5、K6[2012·安徽卷] 某单位招聘面试，每次从试题库中随机调用一道试题，若调用的是A 类型试题，则使用后该试题回库，并增补一道A 类型试题和一道B 类型试题入库，此次调题工作结束；若调用的是B 类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束．试题库中现共有n ＋m 道试题，其中有n 道A 类型试题和m 道B 类型试题．以X 表示两次调题工作完成后，试题库中A 类型试题的数量．(1)求X ＝n ＋2的概率；(2)设m ＝n ，求X 的分布列和均值(数学期望)．17．解：以A i 表示第i 次调题调用到A 类型试题，i ＝1,2.(1)P (X ＝n ＋2)＝P (A 1A 2)＝nm ＋n ·n ＋1 m ＋n ＋2＝n (n ＋1)(m ＋n )(m ＋n ＋2).(2)X 的可能取值为n ，n ＋1，n ＋2.P (X ＝n )＝P (A 1 A 2)＝n n ＋n ·n n ＋n ＝14，P (X ＝n ＋1)＝P (A 1A 2)＋P (A 1A 2)＝n n ＋n ·n ＋1n ＋n ＋2＋n n ＋n ·n n ＋n ＝12， P (X ＝n ＋2)＝P (A 1A 2)＝n n ＋n ·n ＋1n ＋n ＋2＝14，从而X 的分布列是EX ＝n ×14＋(n ＋1)×12＋(n ＋2)×14＝n ＋1.15．K5、I3[2012·课标全国卷] 某一部件由三个电子元件按图1－4方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N (1000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为________．15．[答案] 38[解析] 解法一：设该部件的使用寿命超过1000小时的概率为P (A )．因为三个元件的使用寿命均服从正态分布N (1 000,502)，所以元件1,2,3的使用寿命超过1 000小时的概率分别为P 1＝12，P 2＝12，P 3＝12.因为P (A )＝P 1P 2P 3＋P 3＝12×12×12＋12＝58，所以P (A )＝1－P (A )＝38. 解法二：设该部件的使用寿命超过1000小时的概率为P (A )．因为三个元件的使用寿命均服从正态分布N (1000,502)，所以元件1,2,3的使用寿命超过1000小时的概率分别为P 1＝12，P 2＝12，P 3＝12.故P (A )＝P 1P 2P 3＋P 1P 2P 3＋P 1P 2P 3＝12×⎝⎛⎭⎫1－12×12＋⎝⎛⎭⎫1－12×12×12＋12×12×12＝38. 19．K1、K5、K6[2012·浙江卷] 已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X 为取出此3球所得分数之和．(1)求X 的分布列；(2)求X 的数学期望E (X )．19．解：(1)由题意得X 取3,4,5,6，且P (X ＝3)＝C 35C 39＝542，P (X ＝4)＝C 14·C 25C 39＝1021，P (X ＝5)＝C 24·C 15C 39＝514，P (X ＝6)＝C 34C 39＝121.所以X 的分布列为E (X )＝3·P (X ＝3)＋4·P (X ＝4)＋5·P (X ＝5)＋6·P (X ＝6)＝133. K6 离散型随机变量及其分布列22．K6[2012·江苏卷] 设ξ为随机变量．从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1.(1)求概率P (ξ＝0)；(2)求ξ的分布列，并求其数学期望E (ξ)．22．解：(1)若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的1个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有8C 23对相交棱，因此P (ξ＝0)＝8C 23C 212＝8×366＝411.(2)若两条棱平行，则它们的距离为1或2，其中距离为2的共有6对，故P (ξ＝2)＝6C 212＝111，于是P (ξ＝1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝2)＝1－411－111＝611，所以随机变量ξ的分布列是因此E (x )18．K6[2012·江西卷] 如图1－4，从A 1(1,0,0)，A 2(2,0,0)，B 1(0,1,0)，B 2(0,2,0)，C 1(0,0,1)，C 2(0，0,2)这6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点O 两两相连构成一个“立体”，记该“立体”的体积为随机变量V (如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积V ＝0)．(1)求V ＝0的概率；(2)求V 的分布列及数学期望EV .18．解：(1)从6个点中随机取3个点总共有C 36＝20种取法，选取的3个点与原点在同一个平面内的取法有C 13C 34＝12种，因此V ＝0的概率为P (V ＝0)＝1220＝35. (2)V 的所有可能取值为0，16，13，23，43，因此V 的分布列为EV ＝0×35＋16×120＋13×320＋23×320＋43×120＝940.19．K6[2012·全国卷] 乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换．每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．(1)求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率； (2)ξ表示开始第4次发球时乙的得分，求ξ的期望．19．解：记A i 表示事件：第1次和第2次这两次发球，甲共得i 分，i ＝0,1,2； A 表示事件：第3次发球，甲得1分；B 表示事件：开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2.(1)B ＝A 0·A ＋A 1·A －，P (A )＝0.4，P (A 0)＝0.42＝0.16， P (A 1)＝2×0.6×0.4＝0.48，P (B )＝P (A 0·A ＋A 1·A －)＝P (A 0·A )＋P (A 1·A －)＝P (A 0)P (A )＋P (A 1)P (A －) ＝0.16×0.4＋0.48×(1－0.4) ＝0.352.(2)P (A 2)＝0.62＝0.36. ξ的可能取值为0,1,2,3. P (ξ＝0)＝P (A 2·A )＝P (A 2)P (A )＝0.36×0.4＝0.144， P (ξ＝2)＝P (B )＝0.352，P (ξ＝3)＝P (A 0·A －)＝P (A 0)P (A －)＝0.16×0.6＝0.096， P (ξ＝1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝2)－P (ξ＝3) ＝1－0.144－0.352－0.096 ＝0.408.Eξ＝0×P (ξ＝0)＋1×P (ξ＝1)＋2×P (ξ＝2)＋3×P (ξ＝3) ＝0.408＋2×0.352＋3×0.096 ＝1.400.16．B11、B12、E3[2012·重庆卷] 设f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴．(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的极值．16．解：(1)因f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1，故f ′(x )＝a x －12x 2＋32.由于曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴，故该切线斜率为0，即f ′(1)＝0，从而a －12＋32＝0，解得a ＝－1.(2)由(1)知f (x )＝－ln x ＋12x ＋32x ＋1(x ＞0)，f ′(x )＝－1x －12x 2＋32＝3x 2－2x －12x 2＝(3x ＋1)(x －1)2x 2.令f ′(x )＝0，解得x 1＝1，x 2＝－13(因x 2＝－13不在定义域内，舍去)．当x∈(0,1)时，f′(x)＜0，故f(x)在(0,1)上为减函数；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，故f(x)在(1，＋∞)上为增函数．故f(x)在x＝1处取得极小值f(1)＝3，无极大值．20．K6、K8[2012·陕西卷] 某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：(1)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；(2)X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望．20．解：设Y表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得Y的分布列如下：(1)A表示事件“A对应三种情形：①第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟；②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟；③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟．所以P(A)＝P(Y＝1)P(Y＝3)＋P(Y＝3)P(Y＝1)＋P(Y＝2)P(Y＝2)＝0.1×0.3＋0.3×0.1＋0.4×0.4＝0.22.(2)解法一：X所有可能的取值为0,1,2.X＝0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟．所以P(X＝0)＝P(Y>2)＝0.5；X＝1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超过1分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟，所以P(X＝1)＝P(Y＝1)P(Y>1)＋P(Y＝2)＝0.1×0.9＋0.4＝0.49；X＝2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以P(X＝2)＝P(Y＝1)P(Y＝1)＝0.1×0.1＝0.01.所以X的分布列为EX＝0×0.5＋1×0.49＋2解法二：X所有可能的取值为0,1,2.X＝0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，所以P(X＝0)＝P(Y>2)＝0.5；X＝2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以P(X＝2)＝P(Y＝1)P(Y＝1)＝0.1×0.1＝0.01；P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝0.49.所以X的分布列为EX＝0×0.5＋1×0.49＋219．I2、I4、K6、K8[2012·辽宁卷] 电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图．将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？(2)方法每次抽取1名观众，抽取3次．记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X .若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列，期望E (X )和方差D (X )．附：χ2＝n (n 11n 22－n 12n 21)2n 1＋n 2＋n ＋1n ＋，19．解：(1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而2×2列联表如下：将2×2χ2＝n (n 11n 22－n 12n 21)2n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2＝100×(30×10－45×15)275×25×45×55＝10033≈3.030. 因为3.030＜3.841，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关．(2)由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为14. 由题意X ～B ⎝⎛⎭⎫3，14，从而X 的分布列为E (X )＝np ＝3×14＝34. D (X )＝np (1－p )＝3×14×34＝916. 18．K6、B10[2012·课标全国卷] 某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n (单位：枝，n ∈N )的函数解析式；(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：以100①若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润(单位：元)，求X 的分布列、数学期望及方差；②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．18．解：(1)当日需求量n ≥16时，利润y ＝80.当日需求量n <16时，利润y ＝10n －80.所以y 关于n 的函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10n －80，n <16，80，n ≥16(n ∈N )． (2)①X 可能的取值为60,70,80，并且P (X ＝60)＝0.1，P (X ＝70)＝0.2，P (X ＝80)＝0.7.X 的分布列为X 的数学期望为EX ＝60×0.1＋70×0.2＋80×0.7＝76.X 的方差为DX ＝(60－76)2×0.1＋(70－76)2×0.2＋(80－76)2×0.7＝44.②答案一：花店一天应购进16枝玫瑰花．理由如下：若花店一天购进17枝玫瑰花，Y 表示当天的利润(单位：元)，那么Y 的分布列为Y 的数学期望为EY ＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4.Y 的方差为DY ＝(55－76.4)2×0.1＋(65－76.4)2×0.2＋(75－76.4)2×0.16＋(85－76.4)2×0.54＝112.04.由以上的计算结果可以看出，DX <DY ，即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小． 另外，虽然EX <EY ，但两者相差不大．故花店一天应购进16枝玫瑰花．答案二：花店一天应购进17枝玫瑰花．理由如下：若花店一天购进17枝玫瑰花，Y 表示当天的利润(单位：元)，那么Y 的分布列为Y 的数学期望为EY ＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4.由以上的计算结果可以看出，EX <EY ，即购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝时的平均利润．故花店一天应购进17枝玫瑰花．17．K5、K6[2012·湖南卷] 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．(1)确定x ，y 的值，并求顾客一次购物的结算时间X 的分布列与数学期望；(2)若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过．．．2.5分钟的概率．(注：将频率视为概率)17．解：(1)由已知得25＋y ＋10＝55，x ＋30＝45，所以x ＝15，y ＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，将频率视为概率得P (X ＝1)＝15100＝320，P (X ＝1.5)＝30100＝310， P (X ＝2)＝25100＝14，P (X ＝2.5)＝20100＝15， P (X ＝3)＝10100＝110. X 的分布列为X E (X )＝1×320＋1.5×310＋2×14＋2.5×15＋3×110＝1.9. (2)记A 为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”，X i (i ＝1,2)为该顾客前面第i 位顾客的结算时间，则 P (A )＝P (X 1＝1且X 2＝1)＋P (X 1＝1且X 2＝1.5)＋P (X 1＝1.5且X 2＝1)．由于各顾客的结算相互独立，且X 1，X 2的分布列都与X 的分布列相同，所以P (A )＝P (X 1＝1)×P (X 2＝1)＋P (X 1＝1)×P (X 2＝1.5)＋P (X 1＝1.5)×P (X 2＝1)＝320×320＋320×310＋310×320＝980. 故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为980. 20．K6、K7[2012·湖北卷] 根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X (单位：mm)对工期的影响如下表：0.3,0.7,0.9.求：(1)工期延误天数Y 的均值与方差；(2)在降水量X 至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．20．解：(1)由已知条件和概率的加法公式有：P (X ＜300)＝0.3，P (300≤X <700)＝P (X ＜700)－P (X ＜300)＝0.7－0.3＝0.4，P (700≤X ＜900)＝P (X ＜900)－P (X ＜700)＝0.9－0.7＝0.2.P (X ≥900)＝1－P (X ＜900)＝1－0.9＝0.1.所以Y 的分布列为于是，E (Y )＝0×0.3＋D (Y )＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8.故工期延误天数Y 的均值为3，方差为9.8.(2)由概率的加法公式，P (X ≥300)＝1－P (X ＜300)＝0.7，又P (300≤X ＜900)＝P (X ＜900)－P (X ＜300)＝0.9－0.3＝0.6.由条件概率，得P (Y ≤6|X ≥300)＝P (X ＜900|X ≥300)＝P (300≤X ＜900)P (X ≥300)＝0.60.7＝67. 故在降水量X 至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率是67. 17．I2、K6[2012·广东卷] 某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图1－4所示，其中成绩分组区间是：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．(1)求图中x 的值；(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为ξ，求ξ的数学期望．图1－417．解：(1)由题设可知(3×0.006＋0.01＋x ＋0.054)×10＝1，解之得x ＝0.018.(2)由题设可知，成绩在区间[80,90)内的人数为0.018×10×50＝9，成绩在区间[90,100]内的人数为0.006×10×50＝3，所以不低于80分的学生人数为9＋3＝12，ξ的所有可能取值为0,1,2.P (ξ＝0)＝C 29C 212＝611， P (ξ＝1)＝C 19C 13C 212＝922， P (ξ＝2)＝C 23C 212＝122. 所以ξ的数学期望E ξ＝0×611＋1×922＋2×122＝12. 17．K5、K6[2012·安徽卷] 某单位招聘面试，每次从试题库中随机调用一道试题，若调用的是A 类型试题，则使用后该试题回库，并增补一道A 类型试题和一道B 类型试题入库，此次调题工作结束；若调用的是B 类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束．试题库中现共有n ＋m 道试题，其中有n 道A 类型试题和m 道B 类型试题．以X 表示两次调题工作完成后，试题库中A 类型试题的数量．(1)求X ＝n ＋2的概率；(2)设m ＝n ，求X 的分布列和均值(数学期望)．17．解：以A i 表示第i 次调题调用到A 类型试题，i ＝1,2.(1)P (X ＝n ＋2)＝P (A 1A 2)＝n m ＋n ·n ＋1 m ＋n ＋2＝n (n ＋1)(m ＋n )(m ＋n ＋2). (2)X 的可能取值为n ，n ＋1，n ＋2.P (X ＝n )＝P (A 1 A 2)＝n n ＋n ·n n ＋n ＝14， P (X ＝n ＋1)＝P (A 1A 2)＋P (A 1A 2)＝n n ＋n ·n ＋1n ＋n ＋2＋n n ＋n ·n n ＋n ＝12， P (X ＝n ＋2)＝P (A 1A 2)＝n n ＋n ·n ＋1n ＋n ＋2＝14， 从而X 的分布列是EX ＝n ×14＋(n ＋1)×12＋(n ＋2)×14＝n ＋1. 16．K2、K6[2012·福建卷] 受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X 1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X 2，分别求X 1，X 2的分布列；(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由．16．解：(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A .则P (A )＝2＋350＝110. (2)依题意得，X 1的分布列为X 2(3)由(2)得，E (X 1)＝1×125＋2×350＋3×910＝14350＝2.86(万元)， E (X 2)＝1.8×110＋2.9×910＝2.79(万元)． 因为E (X 1)＞E (X 2)，所以应生产甲品牌轿车．19．K6、K7[2012·山东卷] 现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为34，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为23，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立，假设该射手完成以上三次射击．(1)求该射手恰好命中一次的概率；(2)求该射手的总得分X 的分布列及数学期望EX .19．解：(1)记：“该射手恰好命中一次”为事件A ，“该射手射击甲靶命中”为事件B ，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C ，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D ，由题意知P (B )＝34，P (C )＝P (D )＝23， 由于A ＝B C －D －＋B －C D －＋B －C －D ，根据事件的独立性和互斥性得P (A )＝P (B C －D －＋B －C D －＋B －C －D )＝P (B C －D －)＋P (B －C D －)＋P (B －C －D )＝P (B )P (C －)P (D －)＋P (B －)P (C )P (D －)＋P (B －)P (C －)P (D )＝34×⎝⎛⎭⎫1－23×⎝⎛⎭⎫1－23＋⎝⎛⎭⎫1－34×23×⎝⎛⎭⎫1－23＋⎝⎛⎭⎫1－34×⎝⎛⎭⎫1－23×23 ＝736， (2)根据题意，X 的所有可能取值为0,1,2,3,4,5.根据事件的独立性和互斥性得P (X ＝0)＝P (B －C －D －)＝[1－P (B )][1－P (C )][1－P (D )]＝⎝⎛⎭⎫1－34×⎝⎛⎭⎫1－23×⎝⎛⎭⎫1－23 ＝136， P (X ＝1)＝P (B C －D －)＝P (B )P (C －)P (D －)＝34×⎝⎛⎭⎫1－23×⎝⎛⎭⎫1－23 ＝112， P (X ＝2)＝P (B －C D －＋B －C －D )＝P (B －C D －)＋P (B －C －D )＝⎝⎛⎭⎫1－34×23×⎝⎛⎭⎫1－23＋⎝⎛⎭⎫1－34×⎝⎛⎭⎫1－23×23＝19， P (X ＝3)＝P (BC D －＋B C －D )＝P (BC D －)＋P (B C －D )＝34×23×⎝⎛⎭⎫1－23＋34×⎝⎛⎭⎫1－23×23＝13， P (X ＝4)＝P (B －CD )＝⎝⎛⎭⎫1－34×23×23＝19， P (X ＝5)＝P (BCD )＝34×23×23＝13. 故X 的分布列为所以EX ＝0×136＋1×112＋2×19＋3×13＋4×19＋5×13＝4112. 16．K6，K7[2012·天津卷] 现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择，为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；(3)用X ，Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X －Y |，求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ.16．解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为13，去参加乙游戏的概率为23.设“这4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件A i (i ＝0,1,2,3,4)，则P (A i )＝C i 4⎝⎛⎭⎫13i ⎝⎛⎭⎫234－i . (1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率P (A 2)＝C 24⎝⎛⎭⎫132⎝⎛⎭⎫232＝827. (2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B ，则B ＝A 3∪A 4，由于A 3与A 4互斥，故P (B )＝P (A 3)＋P (A 4)＝C 34⎝⎛⎭⎫133⎝⎛⎭⎫23＋C 44⎝⎛⎭⎫134＝19. 所以，这4个人去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为19. (3)ξ的所有可能取值为0,2,4.由于A 1与A 3互斥，A 0与A 4互斥，故P (ξ＝0)＝P (A 2)＝827， P (ξ＝2)＝P (A 1)＋P (A 3)＝4081， P (ξ＝4)＝P (A 0)＋P (A 4)＝1781. 所以ξ随机变量ξ的数学期望Eξ＝0×827＋2×4081＋4×1781＝14881.19．K1、K5、K6[2012·浙江卷] 已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X 为取出此3球所得分数之和．(1)求X 的分布列；(2)求X 的数学期望E (X )．19．解：(1)由题意得X 取3,4,5,6，且P (X ＝3)＝C 35C 39＝542， P (X ＝4)＝C 14·C 25C 39＝1021， P (X ＝5)＝C 24·C 15C 39＝514， P (X ＝6)＝C 34C 39＝121. 所以X 的分布列为E (X )＝3·P (X ＝3)＋4·P (X ＝4)＋5·P (X ＝5)＋6·P (X ＝6)＝133. K7 条件概率与事件的独立性16．K6，K7[2012·天津卷] 现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择，为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率； (3)用X ，Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X －Y |，求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ.16．解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为13，去参加乙游戏的概率为23.设“这4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件A i (i ＝0,1,2,3,4)，则P (A i )＝C i 4⎝⎛⎭⎫13i ⎝⎛⎭⎫234－i . (1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率P (A 2)＝C 24⎝⎛⎭⎫132⎝⎛⎭⎫232＝827. (2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B ，则B ＝A 3∪A 4，由于A 3与A 4互斥，故P (B )＝P (A 3)＋P (A 4)＝C 34⎝⎛⎭⎫133⎝⎛⎭⎫23＋C 44⎝⎛⎭⎫134＝19.所以，这4个人去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为19. (3)ξ的所有可能取值为0,2,4.由于A 1与A 3互斥，A 0与A 4互斥，故P (ξ＝0)＝P (A 2)＝827， P (ξ＝2)＝P (A 1)＋P (A 3)＝4081， P (ξ＝4)＝P (A 0)＋P (A 4)＝1781. 所以ξ随机变量ξ的数学期望Eξ＝0×827＋2×4081＋4×1781＝14881.s20．K6、K7[2012·湖北卷] 根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X (单位：mm)对工期的影响如下表：0.3,0.7,0.9.求：(1)工期延误天数Y 的均值与方差；(2)在降水量X 至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．20．解：(1)由已知条件和概率的加法公式有：P (X ＜300)＝0.3，P (300≤X <700)＝P (X ＜700)－P (X ＜300)＝0.7－0.3＝0.4， P (700≤X ＜900)＝P (X ＜900)－P (X ＜700)＝0.9－0.7＝0.2.P (X ≥900)＝1－P (X ＜900)＝1－0.9＝0.1.所以Y 的分布列为于是，E (Y )＝0×0.3＋D (Y )＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8.故工期延误天数Y 的均值为3，方差为9.8.(2)由概率的加法公式，P (X ≥300)＝1－P (X ＜300)＝0.7，又P (300≤X ＜900)＝P (X ＜900)－P (X ＜300)＝0.9－0.3＝0.6.由条件概率，得P (Y ≤6|X ≥300)＝P (X ＜900|X ≥300)＝P (300≤X ＜900)P (X ≥300)＝0.60.7＝67.故在降水量X 至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率是67. 19．K6、K7[2012·山东卷] 现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为34，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为23，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立，假设该射手完成以上三次射击．(1)求该射手恰好命中一次的概率；(2)求该射手的总得分X 的分布列及数学期望EX .19．解：(1)记：“该射手恰好命中一次”为事件A ，“该射手射击甲靶命中”为事件B ，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C ，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D ，由题意知P (B )＝34，P (C )＝P (D )＝23，由于A ＝B C －D －＋B －C D －＋B －C －D ，根据事件的独立性和互斥性得P (A )＝P (B C －D －＋B －C D －＋B －C －D )＝P (B C －D －)＋P (B －C D －)＋P (B －C －D )＝P (B )P (C －)P (D －)＋P (B －)P (C )P (D －)＋P (B －)P (C －)P (D )＝34×⎝⎛⎭⎫1－23×⎝⎛⎭⎫1－23＋⎝⎛⎭⎫1－34×23×⎝⎛⎭⎫1－23＋⎝⎛⎭⎫1－34×⎝⎛⎭⎫1－23×23＝736，(2)根据题意，X 的所有可能取值为0,1,2,3,4,5.根据事件的独立性和互斥性得P (X ＝0)＝P (B －C －D －)＝[1－P (B )][1－P (C )][1－P (D )]＝⎝⎛⎭⎫1－34×⎝⎛⎭⎫1－23×⎝⎛⎭⎫1－23＝136，P (X ＝1)＝P (B C －D －)＝P (B )P (C －)P (D －)＝34×⎝⎛⎭⎫1－23×⎝⎛⎭⎫1－23＝112，P (X ＝2)＝P (B －C D －＋B －C －D )＝P (B －C D －)＋P (B －C －D )＝⎝⎛⎭⎫1－34×23×⎝⎛⎭⎫1－23＋⎝⎛⎭⎫1－34×⎝⎛⎭⎫1－23×23＝19，P (X ＝3)＝P (BC D －＋B C －D )＝P (BC D －)＋P (B C －D )＝34×23×⎝⎛⎭⎫1－23＋34×⎝⎛⎭⎫1－23×23＝13，P (X ＝4)＝P (B －CD )＝⎝⎛⎭⎫1－34×23×23。
十年真题-概率-全国高考理科数学
真题2008－20.(12分)已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物.血液化验结果呈阳性的即为患病动物,呈阴性即没患病．下面是两种化验方法: 方案甲：逐个化验,直到能确定患病动物为止．方案乙：先任取3只,将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只,然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验.(I )求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；(II比表示依方案乙所需化验次数，求己的期望.2009-1 9 (1 2 分)甲、乙二人进行一次围棋比赛,约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4,各局比赛结果相互独立。
已知前2局中，甲、乙各胜1局。
(1)求甲获得这次比赛胜利的概率；(2)设£表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求£的分布列及数学期望。
2010－18( 12分)投到某杂志的稿件,先由两位初审专家进行评审.若能通过两位初审专家的评审,则予以录用;若两位初审专家都未予通过，则不予录用;若恰能通过一位初审专家的评审,则再由第三位专家进行复审,若能通过复审专家的评审,则予以录用，否则不予录用.设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5,复审的稿件能通过评审的概率为0.3.各专家独立评审.（I）求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；（II）记X表示投到该杂志的4篇稿件中被「录用的篇数，求X的分布列及期望.2 Oil- 1 9（12 分）某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测试了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：（I ）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；（II）已知用B配方生成的一件产品的利润y （单位:元）与其质量指标值t的关系式为¥= - Z 94 W / < 102,4, ; ^ 302.从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X （单位：元），求X的分布列及数学期望.（以实验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）201 2 -18.（12 分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的「价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理。
高考理科数学概率题型归纳与练习(含答案)
专题三：高考理科数学概率与数学期望一．离散型随机变量的期望(均值)和方差若离散型随机变量的分布列或概率分布如下：XX1x 2x …n xP1p2p…np 1. 其中，，则称为随机变120,1,2,...,,...1i n p i n p p p ≥=+++=1122...n n x p x p x p +++量的均值或的数学期望，记为或．X X ()E X μ数学期望 =()E X 1122...n nx p x p x p +++性质 （1）；（2）．（为常数）()E c c =()()E aX b aE X b +=+,,a b c 2. ，（其中）刻画了随机变2221122()()...()n n x p x p x p μμμ-+-++-120,1,2,...,,...1i n p i n p p p ≥=+++=量与其均值的平均偏离程度，我们将其称为离散型随机变量的方差，记为或X μX ()D X ．2σ 方差2221122()()...()n nDX x p x p x p μμμ=-+-++-2．方差公式也可用公式计算．22221()()ni i i D X x p EX EX μ==-=-∑3．随机变量的方差也称为的概率分布的方差，的方差的算术平方根称为X X X ()D X的标准差，即X σ=1.设X 是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求EX ，DX 。
X －101P95二．超几何分布对一般情形，一批产品共N 件，其中有M 件不合格品，随机取出的n 件产品中，不合格品数X 的分布如下表所示：X 012…lP0n M N Mn NC C C -11n M N Mn NC C C --22n M N Mn NC C C --…l n l M N Mn NC C C --其中min(,)l n M =一般地，若一个随机变量X 的分布列为()r n r M N MnNC C P X r C --==，其中0r =，1，2，3，…，l ，min(,)l n M =，则称X 服从超几何分布，记为(,,)X H n M N :，并将()r n r M N MnNC C P X r C --==记为(;,,)H r n M N ．1．高三（1）班的联欢会上设计了一项游戏：在一个口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同．现一次从中摸出5个球，（1）若摸到4个红球1个白球的就中一等奖，求中一等奖的概率． （2）若至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率．解：由2．2节例1可知，随机变量的概率分布如表所示：X X 012345P258423751807523751855023751380023751700237514223751从而2584807585503800700425()012345 1.66672375123751237512375123751237513E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈ 答：的数学期望约为．X 1.6667说明：一般地，根据超几何分布的定义，可以得到．0()r n r nM N Mnr Nr C C M E X n C N --===∑g g 2.在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品。
2021-2021高考浙江理科数学真题及答案详解(精校版)
2021-2021高考浙江理科数学真题及答案详解（精校版）2021年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设函数f(x)????x,x?0,?x,x?0.2若f(?)?4,则实数?=C．-2或4D．-2或2A．-4或-2 B．-4或22．把复数z的共轭复数记作z，i为虚数单位，若z?1?i,则(1?z)?z= A．3-i B．3+i C．1+3i 3．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是4．下列命题中错误的是．．D．3A．如果平面??平面?，那么平面?内一定存在直线平行于平面? B．如果平面α不垂直于平面?，那么平面?内一定不存在直线垂直于平面? C．如果平面??平面?，平面??平面?，???=l，那么l?平面? D．如果平面??平面?，那么平面?内所有直线都垂直于平面??x?2y?5＞0?5．设实数x,y满足不等式组?2x?y?7＞0,若x,y为整数，则3x?4y的最小值是?x≥0，y≥0，?A．14B．16C．17D．196．若0＜?＜?2，-??1???3＜?＜0，cos(??)?，cos(?)?，则cos(??)? 2432423B．? A．3 33 31bC．53 9D．?6 91m”是a＜或b＞的 7．若a,b为实数，则“0＜ab＜A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件1a第 - 1 - 页共 34 页C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件x2y2y22?1有公共的焦点，C1的一条渐8．已知椭圆C1:2?2?1(a＞b＞0)与双曲线C1:x?ab4近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A,B两点，若C1恰好将线段AB三等分，则2A．a?13 2B．a2?13 2C．b?1 2D．b2?29．有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率A．1 5B．2 5C．34 D 5510．设a，b，c为实数，f（x）=（x+a）(x2?bx?c),g(x)?(ax?1)(ax2?bx?1)．记集合S=xf(x)?0,x?R,T?xg(x)?0,x?R,若S，T分别为集合元素S，T的元素个数，则下列结论不可能的是．．．A．S=1且T=0 C．S=2且T=2B．S?1且T=1 D．S=2且T=3非选择题部分（共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分11．若函数f(x)?x?x?a为偶函数，则实数a? = 。
高考真题——理科数学(浙江卷)解析版(1) Word版含答案
数学理试题（浙江卷）一．选择题1、已知i 是虚数单位，则=-+-)2)(1(i iA. i +-3B. i 31+-C. i 33+-D.i +-12、设集合}043|{},2|{2≤-+=->=x x x T x x S ，则=⋃T S C R )( A. ]1,2(- B. ]4,(--∞ C. ]1,(-∞ D.),1[+∞ 答案：C 解析：如图1所示，由已知得到考点定位：此题考查集合的使用之补集和并集体，考查一元二次不等式的解法，利用数轴即可解决此题，体现数形结合思想的应用，此考点是历年来高考必考考点之一，属于简单题； 3、已知y x ,为正实数，则 A.y x yx lg lg lg lg 222+=+ B.y x y x lg lg )lg(222•=+ C.y x yx lg lg lg lg 222+=• D.y x xy lg lg )lg(222•=答案：D解析：此题中，由考点定位：此题考查对数的运算法则和同底数幂的乘法的运算法则；4、已知函数),0,0)(cos()(R A x A x f ∈>>+=ϕωϕω，则“)(x f 是奇函数”是2πϕ=的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D.既不充分也不必要条件 答案：B 解析：考点定位：充分条件的判断和三角函数的奇偶性性质知识点；5、某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是59，则 A.4=a B.5=a C. 6=a D.7=a 答案：A解析：由图可知考点定位：此题考查算法及数列的列项相消求和的方法；6、已知210cos 2sin ,=+∈αααR ，则=α2tan A.34 B. 43 C.43- D.34- 答案：C解析：由已知得到：考点定位：此题考查同角三角函数商数关系和平方关系的灵活应用，考查二倍角正切公式的应用，考查学生的运算求解水平；7、设0,P ABC ∆是边AB 上一定点，满足AB B P 410=，且对于边AB 上任一点P ，恒有C P B P PC PB 00•≥•。
2019年高考必备必考-统计与概率大题汇总_(理科解答含答案)
一对一个性化辅导教学设计任课老师：关sir统计与概率解答题好比数学题中阅读理解，文字多，需要有一定的文字理解能力和结合实际进行数据分析的能力。
文档题目分三档，A 组是必须要掌握题目，因为这道题目在高考大题中是处于基础性的地位，所以要多做，争取拿满分。
A组1、（本小题满分12分）（F37，2017全国2卷理科）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）,其频率分布直方图如下：（3）根据箱产量的频率分布直方图，对求新养殖法产量的中位数的估计值（精确到0.01）. 附：（1）0.4092；（2）有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；（3）52.352、（本小题满分12分）（B06理）传统文化就是文明演化而汇集成的一种反映民族特质和风貌的民族文化，是民族历史上各种思想文化、观念形态的总体表征. 教育部考试中心确定了2017年普通高考部分更注重传统文化考核. 某校为了了解高二年级中国数学传统文化选修课的教学效果，进行了一次阶段检测，并从中随机抽取80名同学的成绩，然后就其成绩分为E D C B A ,,,,五个等级进行数据统计如下：根据以上抽样调查数据，视频率为概率.（1）若该校高二年级共有1000名学生，试估算该校高二年级学生获得成绩为B 的人数； （2）若等级E D C B A ,,,,分别对应100分、80分、60分、40分、20分，学校要求“平均分达60分以上”为“教学达标”，请问该校高二年级此阶段教学是否达标？（3）为更深入了解教学情况，将成绩等级为B A ,的学生中，按分层抽样抽取7人，再从中任意抽取3名，求抽到成绩为A 的人数X 的分布列与数学期望.（1）150（2）59，未达标（3）9/7随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：（2）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；4、（本小题满分12分）（F32，2015全国2卷理科）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，根据用户对产品的满意度评分如下：A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79（1）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）（1）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立。
2023高考数学浙江卷概率的计算历年真题及答案
2023高考数学浙江卷概率的计算历年真题及答案一、引言概率是数学中一个非常重要的概念，也是高考数学考试内容中的重点之一。
在2023年高考数学浙江卷中，涉及了概率的计算题目，下面将为大家整理历年真题及其详细的解答过程。
二、2018年高考数学浙江卷题目1：某班级30名男同学和25名女同学参加一次足球比赛，其中某一学生的概率是0.6，那么从中随机抽出一名学生，其为男生的概率是多少？解答：根据题意，男同学的人数为30，女同学的人数为25，总人数为55。
设事件A为随机抽出的学生为男生。
所以，事件A发生的概率P(A)=男生人数/总人数=30/55≈0.545。
题目2：某班级的学生参加选修课考试，学生考试合格的概率为0.75，如果从该班级中任意选取2名学生参加考试，则恰好有1名学生合格的概率是多少？解答：设事件A为选择的2名学生中恰好有1名合格。
所以, A事件可划分为两种情况：第一名合格，第二名不合格；第一名不合格，第二名合格。
设B为第一名学生合格，C为第二名学生合格。
由题意可知，P(B)=0.75，P(C)=0.25。
根据概率的加法定理，P(A)=P(BC)+P(CB)=P(B)×P(C)+P(C)×P(B)=(0.75×0.25)+(0.25×0.75)=0.3 75。
三、2019年高考数学浙江卷题目1：在一个有33张扑克牌的标准纸牌中，随机取出两张牌，计算两张牌不同花色的概率。
解答：在一副标准纸牌中，有4种花色：梅花、方块、红桃和黑桃。
设事件A为两张牌不同花色，事件A的发生需要取到一张梅花牌和一张非梅花牌，或者一张方块牌和一张非方块牌，或者一张红桃牌和一张非红桃牌，或者一张黑桃牌和一张非黑桃牌。
根据概率的乘法定理，P(A)=P(梅花牌和非梅花牌)+P(方块牌和非方块牌)+P(红桃牌和非红桃牌)+P(黑桃牌和非黑桃牌)。
由概率的加法定理可知，P(梅花牌和非梅花牌)=P(方块牌和非方块牌)=P(红桃牌和非红桃牌)=P(黑桃牌和非黑桃牌)。
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浙江高考历年真题之概率大题(理科1)
浙江高考历年真题之概率大题
（教师版）
1、（2005年）袋子A 和B 中装有若干个均匀的红球和白球，从A 中摸出一个红球的概率是31，从B 中摸出一个红球的概率为p ．
(Ⅰ) 从A 中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止．(i )求恰好摸5次停止的概率；(ii )记5次之内(含5次)摸到红球的次数为ξ，求随机变量ξ的分布率及数学期望E ξ．
(Ⅱ) 若A 、B 两个袋子中的球数之比为12，将A 、
B 中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是25，
求p 的值．
解析：
(Ⅰ)（i ）
22
24
1218
33381
C ⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
(ii)随机变量ξ的取值为0，1，2，3，； 由n 次独立重复试验概率公式()()
1n k
k
k n
n
P k C
p p -=-，得
()5
05
132013243
P C ξ⎛⎫
==⨯-=
⎪⎝⎭； ()4
1511801133243
P C ξ⎛⎫==⨯⨯-=
⎪⎝⎭ ()2
3
25
11802133243P C ξ⎛⎫⎛⎫
==⨯⨯-=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
()3
2
3511173133243
P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（或()3280217
31243243
P ξ+⨯==-=
）
随机变量ξ的分布列是
ξ的数学期望是
32808017131
012324324324324381
E ξ=
⨯+⨯+⨯+⨯=
(Ⅱ)设袋子A 中有m 个球，则袋子B 中有2m 个球 由
1
22335
m mp
m +=
，得1330
p = 2、（2006年）甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；乙袋装有2个红球，n 个白球。
现从甲，乙两袋中各任取2个球。
(Ⅰ)若n=3，求取到的4个球全是红球的概率； (Ⅱ)若取到的4个球中至少有2个红球的概率为43，求n.
解析：
（Ⅰ）记“取到的4个球全是红球”为事件A 。
22
222245111
().
61060
C C P A C C =⋅=⋅=
（Ⅱ）记“取到的4个球至多有1个红球”为事件B ，“取到的4个球只有1个红球”为事件1
B ，“取到
的4个球全是白球”为事件2
B 。
由题意，得
31
()144
P B =-
=
1122222122224242()n a
a a C C C C C P B C C C C ++=⋅+⋅=22
n 1n 12242222n 2n 241212C C C C C C C C C C ++⋅+⋅22;3(2)(1)n n n =
++
)
(2B P =
22
n 2n 24
2
2C C C C +⋅
(1)
;
6(2)(1)
n n n n -=
++
所以
12()()()P B P B P B =+22(1);3(2)(1)6(2)(1)n n n n n n n -=
+++++1
4
=
化简，得2
71160,
n
n --=解得2n =，或3
7n =-（舍去）， 故
2
n =。
3、（2008年）一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球
和红球。
已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的
概率是52
；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白
球的概率是9
7。
（Ⅰ）若袋中共有10个球，
（i ）求白球的个数；
（ii ）从袋中任意摸出3个球,记得到白球的个
数为ξ,求随机变量ξ的数学期望ξE 。
（Ⅱ）求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1
个黑球的概率不大于107。
并指出袋中哪种颜色
的球个数最少。
解析：
（Ⅰ）解：（i ）记“从袋中任意摸出两个球，至少得
到一个白球”为事件A ，
设袋中白球的个数为x ，则
2102107
()19
x C P A C -=-=
，得到
5
x =．故白球有5个．
（ii ）随机变量ξ的取值为0，1，2，3，分布列是
ξ的数学期望：155130123121212122
E ξ=
⨯+⨯+⨯+⨯=．
（Ⅱ）证明：设袋中有n 个球，其中y 个黑球，由题意得
2
5
y n =
，
所以2y n <，21y n -≤，故1
12
y n -≤． 记“从袋中任意摸出两个球，至少有1个黑球”为事件B ，则
23()551y P B n =
+⨯-2317
55210
+⨯=≤．
所以白球的个数比黑球多，白球个数多于2
5
n ，红球的个数少于5n ．故袋中红球个数最少． 4、（2009年）在1,2,3,
,9
这9个自然数中，任取3个数．
（I ）求这3个数中恰有1个是偶数的概率；
（II ）设ξ为这3个数中两数相邻的组数（例如：若取出
的数为1,2,3，则有两组相邻的数1,2和2,3，此时
ξ的值是2）
．求随机变量ξ的分布列及其数学期望E ξ．
解析：
（Ⅰ）记“这3个数中恰有一个是偶数”为事件A ，
则
12
45
39C C 10()C 21
P A ==
．
（Ⅱ）随机变量ξ的取值为0，1，2，ξ的分布列是
所以ξ的数学期望5112
012122123
E ξ=⨯+⨯+⨯=． 5、（2010年）如图，一个小球从M 处投入，通过管道自上面下落到A 或B 或C ，已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的。
某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到A ，B ，C ，则分别设为1，2，3等奖.
（I ）已知获得1，2，3等奖的折扣率分别为50%，70%，
90%，记随机变量ξ为获得)3,2,1(=k k 等奖的折 扣率，求随机变量ξ的分布列及数学期望.ξE （II ）若有3人次（投入1球为1人次）参加促销活动，记随机变量η为获得1等奖或2等奖的人次，求
P （2=η）.
解析：
（Ⅰ）由题意得ξ的分布列为
ξ 50% 70%
90%
P
316
38
716
则3373
50%70%90%.168164
E ξ=⨯+⨯+⨯= （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，获得1等奖或2等奖的概率
为339
.16816
+= 由题意得9
(3,)16B η-，则2
21
991701(2)()(1).16164096
P C
η==-=
6、（2012年）已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分。
现从该箱中任取（无放回，且每球取到的机会均等）3个球，记随机变量X 为取出此3球所得分数之和。
（Ⅰ）求X 的分布列； （Ⅱ）求X 的数学期望()E X 。
解析：。