第18课时5.5悖论

几个著名悖论—— 罗素悖论
罗素悖论是由于对集合具有辩证性认识不足造成的。
所谓集合具有辩证性质：指集合既可被看成是一个完成了的对象， 同时又具有无限扩张的可能性.也就是说它既是一种实在的对象，同 时也是一种潜在的对象，即是过程性和完成性的辩证统一
罗素本人提出了把集合分层的办法来消除这个悖论，正如塔 斯基把语言分级一样，他先给定基本集合.第一层集合包括基本集 合，以及以基本集合为元素的集合.第n层集合包括第n-1层集合， 以及以第n-1层集合为元素的集.这样，就不会发生“集合是否以 自身为元素”的问题。————此方法太繁琐。 德国数学家策梅洛首先提出公理集理论思想，该体系经他的同胞 弗伦克尔等人修改补充，成为比较严格的公理体系，常被称为ZF。
虚假悖论及诡论
虚假悖论3： “意料之外的考试悖论”
一位教授宣布，下周的某一天要进行一次‚意料之 外的考试‛，并称没有一个学生能在考试那天之前预测出 考试的日期. 一个学生站起来‚证明‛：考试不会在一周最后一天进 行，如若不然，则在倒数第二天就可以推测出来了.以此类 推，考试不可能在任何一天进行.
不论考试有否发生，这是一个尚存争议的悖论.因为‚意料 之外的考试‛是一个模糊不清的概念，只有把‚意料之外的考 试‛这个概念赋予明确的意义，就不存在所谓的悖论了.
虚假悖论及诡论
所谓虚假悖论是指没有产生真正的逻辑上的矛盾，只不过是与 当时人们的传统观念和原有理论范围中的结论相悖罢了，随着新理 论、新观念的诞生，这种悖论自动会消解.在某种意义上说，诡论 是“搅混”或者有意混淆事物的本质引发的.
虚假悖论1： 伽利略悖论
大家知道，自然数的平方数集是自然数集的部分，因此，由‚全体 大于部分‛的原则，自然数集的元数“总数”比平方数集的“总数” 多.但是，对于每一个自然数n，都有一个平方数n2与之对应，而且不同 的n所对应的n2也是不同的.于是，平方数的“总数”也不比自然数的 “总数”少.问题出现在哪里呢？这就是所谓的伽利略悖论.其实，这 是把关于有限的性质滥用到无穷的结果.后来，康托尔创建的集合论自 动消除了这个“悖论”（无穷集的本质是能同自己的真子集建立一一 对应）.
但反之，如果它是假话，那么，得出并非所有克里特人总是说谎， 即有些克里特人是说真话ubulides）把上述原始命题改述为：‚我说 的这句话是假话.‛称之为强化了的说谎者悖论.
几个著名悖论—— 说谎者悖论
说谎者悖论是自我指称导致逻辑出现问题的一个范例. 自我指称：指说话者所说的语句把自己也包含在内.这种悖论，叫 做“语义学悖论”.
悖论
悖论定义中明确一下三点： （1）悖论总是相对于某一理论而言的； （2）一个悖论可以表现为某一理论中两个互相矛盾的命题的 形式； （3）悖论也可集中地表现为肯定等价于否定的复合命题.
几个著名悖论—— 说谎者悖论
说谎者悖论的原始命题：‚一个克里特人说：‘所有的克里特 人所说的每一句话都是谎话.’‛ 如果它是真话，那么，由于说话者本人是克里特人，所以这谎话是假的， 结果得出这句话是假话，即产生了从肯定其真推出其假的矛盾.
几个著名悖论—— 理查德悖论
由于每一个自然数都能用一个英文词汇或短语去描述它，而每个 英文词汇或短语总是用有限多个英文字母组成的，其中凡重复几次出 现的字母就同时算几个字母.例如，36这个数可以描写为thirty-six （三十六）或four times nine（四乘九），第一种描写用了九个字母， 第二种用了十三个字母.描写任一给定的自然数都不止一种方法，但这 是无关紧要的. 今考虑：‚所有那些（至少有一种方法）可以用不多于100个字 母描述出来的自然数的集S”.可证S为有限集合.事实上，对于每一个英 文字母，可有26种选择，加上不选，计有27种选择.因之，充其量只有 27100种可能的描述（而且其中有些是没有意义的）.那么，由这27100 种描述也只能描述有限多个自然数，因此，S之元素的个数必为有限. 令N为全体自然数的集合，故有M=N\S≠空集（即所有那些不论怎样描 述都需要至少是101个字母的自然数的集为M），既然M是非空自然数集， M中必有一个最小的自然数（良序集之任一子集必有首元），因此，m 属于M.我们可以用下面一句话描述m：‚the least integer not describable in one hundred or fewer letters.”（不能用100个或 更少的字母描写出来的最小整数）.但是这一词组中的字母只用了55个 字母，少于100个，故m属于S，于是，另一方面又有m不属于M.，矛盾. 总之，这是用少于100个字母去描述了一个100个或更少的字母所不能 描述的自然数.
虚假悖论及诡论
虚假悖论2： “丢失美元悖论”
三位妇女打算到佛罗里达旅游胜地去度假.她们在 旅馆订了一个房间，收费是每人10美元，共计30美元.后来， 旅馆经理在检查客户名单时，发现自己犯了个错误，多收 了这三个人的住宿费.这三人订的房间只需要25美元.于是 他把服务员叫来，要服务员把多收的5美元还给房客.因为 无法将5美元平均还给三位女房客，于是贪便宜的服务员就 把2美元放进自己的口袋，还给三位房客每人1美元. 现在问题就来啦.开始时每位房客付了10美元，最后找 回美元.因此实际上每个人付的房费是9美元.三个人的房费 加起来就是9*3，共计27美元.如果再加上服务员贪没的2 美元，总计就是29美元.但是开始时三个女房客付出的是30 美元呀！还有1美元到哪里去了呢？
第18课时
第五章 数学证明
第五节 悖论
悖论
悖论：指看似非常明显的假命题，实际上却是真实命题；看似非常
明显的真命题，事实却是假命题.换句话说，悖论就是看似丝毫没有错 误，事实上却是存在矛盾的命题。
直观解释悖论：“故事里有多少是是非非，故事里有多少非非是是.故 事里的事，说是就是，不是也是.故事里的事，说不是就不是，是也不 是 .” 德国数学家弗兰克尔和巴—希勒尔在《集合论基础》定义悖论如下： “如果某一理论的公理看上去是真实的，它的推理规则看上去 也是有效的，但在该理论中却证明了两个互相矛盾的命题，或者证 明了这样一个复合命题，它表现为两个互相矛盾的命题的等价式.那 么，就说这个理论是包含悖论的.”
用语言分级的办法来消除语义学悖论方法： 最基本的语句是实际语句.它只谈论实际的事物，如 ‚雪是白的‛，‚狗是哺乳动物‛……而不涉及句子的真 假.比它高一级的句子是1级抽象语句，它包括了实际语句， 并且可以谈论实际语句的真假.例如‚雪是白的‛这句话是 对的，就属于1级抽象.往上，有2级、3级……n级抽象语 句.n级抽象语言包括了n-1级语言的真假.这样，就可以消 除循环判断所产生的悖论.
几个著名悖论—— 理查德悖论
理查德悖论也是语义学悖论，这种悖论的实质也是对语 言的辩证性认识不足. 所谓语言具有辩证性质，是指语言既是已经发展起来的，同 时又处于进一步的发展之中；既是稳定的，又是不稳定的； 既是精确的，又是含糊的.
语义学悖论的根源在于语言的辩证性遭到了破坏：对 立的环节被绝对地割裂开来，并片面地予以夸大，然后， 又被机械地重新联系起来，从而形成了直接的冲突，便构 成了悖论.
几个著名悖论—— 罗素悖论
罗素悖论的数学表达 ： 设 则 的要分必要条件是
解释：所有集合可以分为两类，一类是包含自身的集合， 即该集合本身也是自己的一个元素。 罗素悖论的“通俗版”，即著名的“理发师悖论”：某乡村理发师 宣布一条店规：他只给村里所有自己不刮脸的人刮脸. 问题是，理发师是否应该给自己刮脸？如果他不给自己刮脸，那么 他就属于“自己不刮脸”的那一类村民，按店规，他应该给自己刮脸； 如果他给自己刮脸，那么他属于“自己刮脸”的那一类村民，他不该 给自己刮脸.这一简明的表述使罗素悖论成为人所共知的逻辑问题，在 更广泛的范围流传.