第06章弯曲应力
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材料力学(金忠谋)第六版答案第06章
弯曲应力6-1 求图示各梁在m －m 截面上A 点的正应力和危险截面上最大正应力。
题 6-1图解：（a ）m KN M m m ⋅=-5.2 m KN M ⋅=75.3max48844108.49064101064m d J x --⨯=⨯⨯==ππMPa A 37.20108.490104105.2823=⨯⨯⨯⨯=--σ （压）MPa 2.38108.4901051075.3823max =⨯⨯⨯⨯=--σ （b ）m KN M m m ⋅=-60 m KN M ⋅=5.67max488331058321210181212m bh J x --⨯=⨯⨯== MPa A 73.611058321061060823=⨯⨯⨯⨯=--σ （压） MPa 2.104105832109105.67823max =⨯⨯⨯⨯=--σ （c ）m KN M m m ⋅=-1 m KN M ⋅=1max48106.25m J x -⨯=36108.7m W x -⨯=cm y A 99.053.052.1=-=MPa A 67.38106.251099.0101823=⨯⨯⨯⨯=--σ （压） MPa 2.128106.2510183max =⨯⨯=-σ 6-2 图示为直径D ＝6 cm 的圆轴，其外伸段为空心，内径d ＝4cm ，求轴内最大正应力。
解：)1(32431απ-=D W x⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯⨯=-463)64(110326π 361002.17m -⨯=3463321021.213210632m D W x --⨯=⨯⨯==ππMPa 88.521002.17109.0631=⨯⨯=-σ MPa 26.551021.2110172.1631=⨯⨯=-σ MPa 26.55max =σ6-3 T 字形截面铸铁梁的尺寸与所受载荷如图示。
试求梁内最大拉应力与最大压应力。
已知I z =10170cm 4，h 1=，h 2=。
工程力学教学 第6章 弯曲应力
17
max
M Iz
ymax
令
Wz
Iz , ymax
上式可改写为
max
M Wz
Wz 称为抗弯截面模量，单位：m3。
上述分析是在平面假设下建立的，对于横力弯曲，由于
横截面上还有剪力，变形后截面会发生翘曲，平面假设不再
成立。当截面尺寸与梁的跨度相比很小时，翘曲很小，可按
平面假设分析吗?
整理课件
18
横力弯曲
整理课件
19
6-2
横力弯曲正应力公式
弯曲正应力
M (x) y
IZ
弹性力学精确分析表明， 当跨度 l 与横截面高度 h 之 比 l / h > 5 （细长梁）时， 纯弯曲正应力公式对于横力 弯曲近似成立。
横力弯曲最大正应力
max
Mmaxymax IZ
整理课件
M max
max
Wz
20
弯曲正应力公式适用范围 •纯弯曲或细长梁的横力弯曲
4 2
2 F
3 F
A
s max
A
s max
A
矩形截面 圆形截面 环形截面
根据强度条件可进行下述工程计算：
⑴强度校核；
⑵设计截面尺寸；
⑶确定容许荷载。
整理课件
38
利用强度条件进行工程计算时，需首先确定梁的危险截面。
⑴梁的最大正应力发生在弯矩最大、截面离中性轴最远
点处；变截面梁要综合考虑 M与IZ;脆性材料抗拉和抗压性能
一、矩形截面切应力
基本假设： ⑴截面上各点切应力与剪力同向；
12
M
M+dM
⑵距中性轴等距离各点的切应力相 等。
Fs m n Fs
材料力学第6章-弯曲应力
Chapter Six
Stresses in Bending
第六章 弯曲应力
1
背景材料
本章基本要求 6.1 弯曲正应力 6.2 弯曲切应力 6.3 梁的强度及破坏
6.4 组合变形的应力 本章内容小结
2
背 景
材
料
F
横梁横截面上的应力如 何计算？行车移动时，这种 应力如何变化？
3
汽车在轮轴上的支 承为什么设计为叠板弹 簧的形式？这种结构有 什么优点？
3M max b 44.7 mm 2[ ] 故取 b = 45 mm
27
例6.2 欲把直径为 d 的圆木锯成承受竖直方向荷载的矩 形截面梁，若要使梁具有最大的强度，矩形的高 h 和宽 b
应成什么比例？
d b h
分析
强度最大
荷载相同时应力水平最低
max
M max W
W 为最大
建立 W 函数关系并求其极值
A
A
dA
z dx
A
1) 第一式：
FN dA
A
A
E
y dA
E
A
y dA
E
Sz 0
x
S z 0 重要结论：中性轴必定过形心
2) 第二式：
E
E
y
E M y z dA y zdA I yz A A
mn ( y ) d
z
dx dx x
mn mn ( y )d d mn d
y
m
d
y
n'
n
m'
Stresses in Bending
第六章 弯曲应力
1
背景材料
本章基本要求 6.1 弯曲正应力 6.2 弯曲切应力 6.3 梁的强度及破坏
6.4 组合变形的应力 本章内容小结
2
背 景
材
料
F
横梁横截面上的应力如 何计算？行车移动时，这种 应力如何变化？
3
汽车在轮轴上的支 承为什么设计为叠板弹 簧的形式？这种结构有 什么优点？
3M max b 44.7 mm 2[ ] 故取 b = 45 mm
27
例6.2 欲把直径为 d 的圆木锯成承受竖直方向荷载的矩 形截面梁，若要使梁具有最大的强度，矩形的高 h 和宽 b
应成什么比例？
d b h
分析
强度最大
荷载相同时应力水平最低
max
M max W
W 为最大
建立 W 函数关系并求其极值
A
A
dA
z dx
A
1) 第一式：
FN dA
A
A
E
y dA
E
A
y dA
E
Sz 0
x
S z 0 重要结论：中性轴必定过形心
2) 第二式：
E
E
y
E M y z dA y zdA I yz A A
mn ( y ) d
z
dx dx x
mn mn ( y )d d mn d
y
m
d
y
n'
n
m'
课件：第六章 弯曲应力
A y0dA 0
同理:
Iz Iz0 a2 A I y I y0 b2 A
Page
Cy0z0－形心直角坐标系 Oyz－任意直角坐标系
二者平行
16
思考：下列计算是否正确？ 其中C是截面形心。
IZ2 IZ1 Aa2
•C
解：不正确。
z1
a
因为 Z1 不是形心轴
z2
Page
17
典型截面的惯性矩与抗弯截面系数 ( d D)
( y) 1 dF
b dx
l F dA
My
Iz
M Iz
y * dA
ydA Sz ( )
MSz ( )
Iz
Sz()－面积 对中性轴 z 的静矩
l
( y) Sz ( ) dM
bIz dx
( y) FSSz ( )
I zb Page
1
2
M
M dM
y
FS
FS
y* mn
1
2
x
dx
d
l 2 0
0.002
3
x l
4(
x l
)2
dx
l l 2
0.002 1
x l
dx
0.002
3l 2
( x )2 l
l
4l 3
(
x l
)3
2 0
0.002 x
x2 l
2l
l
2 103 m 3
2
Page
29
作业
6-1 6-3 6-8 A-8
Page
30
§6-3 对称弯曲切应力
解：1. 问题分析
已知=(D+d)/2, E, 截面尺寸，可应
弯曲应力(工程力学)
t 1 QS
其中：Q为截面剪力；
z
bIz
Sz 为计算点所在作用层以下的面积对中性轴之面积矩；
Iz为整个截面对z（中性轴）轴之惯性矩；
b 为计算点处截面宽度。
2、几种常见截面的弯曲剪应力 ①工字钢截面： 腹板：
t min t max
QS t bIZ
*
结论： 翼缘部分tmax« 腹板上的tmax，只计算腹板上的tmax。 铅垂剪应力主要腹板承受（95~97%），且tmax≈ tmin Q 故工字钢最大剪应力 tmax ; Af
§6–1 梁的纯弯曲 §6–2 纯弯曲时的正应力 §6–3 横力弯曲时的正应力 §6–4 弯曲切应力
§6–5 提高弯曲强度的措施
§6－１ 梁的纯弯曲 1、横力弯曲 q
横截面上既有剪力Q又有 弯矩M的情况
2、横力弯曲构件横截面上的（内力）、应力 剪力Q 剪应力t 正应力s
内力
弯矩M
a A Q
P
P
目录
F
l
100 50 z50 50
4.按胶合面强度条件 计算许可载荷
Q
M
Fl
F
h F b * Q SZ 4F 3 tg t g 3 bh IZb 3bh b 12 3bht g 3 100 150 10 6 0.34 106 F 4 4 3825N 3.825kN
解：求支座反力
RA 2.5kN ; RB 10.5kN
②画弯矩图并求危面内力
拉应力及最大压应力。
P1=9kN
P2=4kN
A
1m M
C
1m 2.5kNm
B
1m
D
M C 2.5kNm(下拉、上压 )
弯曲应力clPPT教案
弯曲内力（横力弯曲时的正应力） M(kN.m) 2.5
C
B
4 y1 y2
y1 x
y2
80
2 0
120
20
C截面 B截面
MC=2.5kN·m。最大负弯矩在截面 B 上，
MB=-4kN·m。
第33页/共102页
弯曲内力（横力弯曲时的正应力） M(kN.m) 2.5
C
B
4 y1
y1 x
y2
80
2 0
120
b’
m
o’ b’ n
b'b' ( y)d
bb dx oo o'o' d
( y)d d y
d 第5页/共102页
弯曲内力（纯弯曲时的正应力） M
2、物理关系
M 中性轴（应力为零的点的连线）
E
E y
第6页/共102页
z
x
y
σdA
z
y
弯曲内力（纯弯曲时的正应力）
3、静力关系
弯曲内力（横力弯曲时的正应力） FA
FB F
Fa M
（+） x
20 φ14
30
解：1.计算抗弯截面模量 Mmax=MB=Fa
Iz
3 23 12
1.4 23 12
1.07cm4
Wz
Iz ymax
1.07 1
1.07cm3
第27页/共102页
弯曲内力（横力弯曲时的正应力）
Wz
Iz ymax
1.07 1.07cm3 1
E
A yzdA
0
☆说明：有对称轴，y 为对称轴
M
A ydA
E
A y2dA
材料力学第6章弯曲应力
页 退出
材料力学
出版社 理工分社
图6.3 依据上述分析，弯曲变形可描述为横截面绕各自中性轴的轻微转动。由于梁 上的载荷都作用于梁的纵向对称面内，所以梁的整体变形应对称于纵向对称 面，这就要求中性轴与纵向对称面垂直。
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材料力学
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6.2.2纯弯曲正应力 纯弯曲时横截面上只有正应力，全部正应力的合力应该等于该横截面上的弯 矩。由于纯弯曲时梁横截面上正应力的分布规律未知，因此，不能直接由弯 矩M来确定正应力σ 。和推导圆轴扭转剪应力计算公式相似，需要从研究构 件的变形入手，综合考虑变形几何关系、物理关系以及静力平衡关系，才能 得到纯弯曲时的正应力。
其中，A点处为最大压应力，D点处为最大拉应力，B点处为拉应力。
页 退出
材料力学
对于Ⅱ—Ⅱ截面，弯矩MⅡ=20-15×3=-25 kN·m，所以
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其中，A点处为最大拉应力，D点处为最大压应力，B点处为压应力。
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例6.2如图6.7(a)所示简支梁，由56a号工字钢制成，其截面简 化后的尺寸如图6.7(b)所示。已知集中力F=150 kN。试求梁危 险截面上的最大正应力和同一截面上翼缘与腹板交界处a 点( 见图6.7(b))的正应力。
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6.3弯曲剪应力 横力弯曲的梁横截面上既有弯矩又有剪力，因此，横截面 上既有正应力又有剪应力。弯曲剪应力分布较复杂，截面 形状不同，分布规律也不相同。下面讨论几种常用的对称 截面梁横截面上的弯曲剪应力。
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6.3.1矩形截面梁 如图6.8(a)所示矩形截面梁的任意截面上，剪力Q皆与截面的对称轴y重合( 见图6.8(a))。关于横截面上剪应力的分布规律，作以下两个假设：①横截 面上各点的剪应力的方向都平行于剪力Q；②剪应力沿截面宽度均匀分布。 在截面高度h大于宽度b的情况下，以上述假设为基础得到的解，与精确解相 比有足够的准确度。按照这两个假设，在距中性轴为y的横线pq上，各点的 剪应力 都相等，且都平行于Q。再由剪应力互等定理可知，在沿pq切出的 平行于中性层的pr平面上，也必然有与相等 的 ′，而且 ′沿截面宽 度也是均匀分布的(见图6.8(d))。
《材料力学 第2版》_顾晓勤第06章第1节 梁的计算简图
第 1 节 梁的计第算六简章图梁弯曲时内第力六和章 应梁力弯曲时内力和应力
第 1 节 梁的计第算六简章图梁弯曲时内第力六和章 应梁力弯曲时内力和应力
第 1 节 梁的计第算六简章图梁弯曲时内第力六和章 应梁力弯曲时内力和应力
第 1 节 梁的计第算六简章图梁弯曲时内第力六和章 应梁力弯曲时内力和应力
弯曲变形：当杆件受到垂直于轴线的外力作用或受 到作用面平行于轴线的外力偶作用时，杆件的轴线 会由直线变为曲线，这种变形称弯曲变形。
梁：以弯曲变形为主的杆件称作梁。
直梁：工程中常见的轴线是直线的梁。
平面弯曲：若梁的外 力及支座反力都作用 在纵向对称面内，则 梁弯曲时轴线将变成 此平面内的一条平面 曲线，该弯曲变形称 为平面弯曲。
第 1 节 梁的计算简图
第六章 梁弯曲时内力和应力
二、梁上载荷的简化
1）集中力：集中力作用在梁上的很小一段范围内， 可近似简化为作用于一点，如图所示的力 F。单位 为牛顿（N）或千牛顿（kN）。
2）分布载荷：沿梁轴线方 向、在一定长度上连续分布 的力系，如图所示的均布载
荷 q。其大小用载荷集度表
示，单位为牛顿/米（N/m） 或千牛/米（kN/m）。
3）集中力偶：作用在微小梁段上的力偶，可近似 简化为作用于一点，如图所示的力偶 M。单位为牛 顿·米（N·m）或千牛顿·米（kN·m）。
第 1 节 梁的计算简图 三、静定梁的基本形式
第六章 梁弯曲时内力和应力
静定梁：在平面弯曲情况下，作用在梁上的外力 （包括载荷和支反力）是一个平面力系。当梁上 只有三个支反力时，可由平面力系的三个静力平 衡方程将它们求出，这种梁称为静定梁。
1、悬臂梁：梁的一端自由， 另一端是固定支座。
第 1 节 梁的计算简图
第 1 节 梁的计第算六简章图梁弯曲时内第力六和章 应梁力弯曲时内力和应力
第 1 节 梁的计第算六简章图梁弯曲时内第力六和章 应梁力弯曲时内力和应力
第 1 节 梁的计第算六简章图梁弯曲时内第力六和章 应梁力弯曲时内力和应力
弯曲变形：当杆件受到垂直于轴线的外力作用或受 到作用面平行于轴线的外力偶作用时，杆件的轴线 会由直线变为曲线，这种变形称弯曲变形。
梁：以弯曲变形为主的杆件称作梁。
直梁：工程中常见的轴线是直线的梁。
平面弯曲：若梁的外 力及支座反力都作用 在纵向对称面内，则 梁弯曲时轴线将变成 此平面内的一条平面 曲线，该弯曲变形称 为平面弯曲。
第 1 节 梁的计算简图
第六章 梁弯曲时内力和应力
二、梁上载荷的简化
1）集中力：集中力作用在梁上的很小一段范围内， 可近似简化为作用于一点，如图所示的力 F。单位 为牛顿（N）或千牛顿（kN）。
2）分布载荷：沿梁轴线方 向、在一定长度上连续分布 的力系，如图所示的均布载
荷 q。其大小用载荷集度表
示，单位为牛顿/米（N/m） 或千牛/米（kN/m）。
3）集中力偶：作用在微小梁段上的力偶，可近似 简化为作用于一点，如图所示的力偶 M。单位为牛 顿·米（N·m）或千牛顿·米（kN·m）。
第 1 节 梁的计算简图 三、静定梁的基本形式
第六章 梁弯曲时内力和应力
静定梁：在平面弯曲情况下，作用在梁上的外力 （包括载荷和支反力）是一个平面力系。当梁上 只有三个支反力时，可由平面力系的三个静力平 衡方程将它们求出，这种梁称为静定梁。
1、悬臂梁：梁的一端自由， 另一端是固定支座。
第 1 节 梁的计算简图
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单向受拉、压假设
设各纵向纤维之间互不挤压，每一根 纵向纤维均处于单向拉伸、或压缩。
材料力学
中南第大学7页土/木共建83筑页学院
7
4、几何方程
mn aa
bb mn
mn aa
bb mn
材料力学
中南第大学8页土/木共建83筑页学院
8
}
C
d
O1 dx O2
O1O2 d x d AB ( y)d
下伸；横向线与纵向线变 形后仍正交。
材料力学
中南第大学3页土/木共建83筑页学院
3
2、两个概念
中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而 纤维不受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。
中性轴：中性层与横截面的交线。
纵向对称面 中性层
中性轴
意义：中性层将梁分成两个区域：凹侧缩短受压， 凸侧伸长受拉。而中性轴上的正应力为零。 弯曲变形可看作横截面绕自己的中性轴转动。
0
M y
zsdA
A
E
AzydA
0
M z
ysdA
A
E
y2dA EIZ
A
1 M Z (b)
EIZ
由(a)(b)式得
s
Mzy
第14页/共83页
Iz
y
M
m
Mz
n
中性轴
y zs
o
dA
mn dx
s
Mzy Iz
s max
Mz Wz
M
s max
M x max Wz
MZ:横截面上的弯矩
y:到中性轴的距离 IZ:截面对中性轴的惯性矩
20
2、横力弯曲时的正应力 采用纯弯曲正应力公式，当梁的跨高比
l / h ≥ 5 时，误差 d ＜ 2 ﹪，因此，对
细长梁，无论纯弯曲还是横力弯曲，横截 面上的正应力都可用下式计算：
s My
发生转动，距中性轴等高处，变形相等。 横截面上只有正应力。
横截面
y 轴——纵对称轴 z 轴—— 中性轴
z y 坐标相同的点所在纵线
y
变形相同，因而应力相同，
所以 s = s (y)
y
材料力学
中南第大学6页土/木共建83筑页学院
6
平面假设与单向受拉、压假设
F
F
平面假设
梁弯曲变形后，其横 截面仍保持为一平面，并 仍与变形后梁的轴线垂直， 只是转了一个角度。
材料力学
中南第大学4页土/木共建83筑页学院
4
F
mn
o1
o2
m
n
F
中性层
中性层、中性轴
由连续性假设， 存 在着一层既不伸长，也不 缩短的纵向纤维层，称为 中性层。
中性轴
中性层与横截面的交 线称为中性轴。梁弯曲时， 梁横截面绕各自中性轴旋 转。
第5页/共83页
3、推论 平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴
b2h 6
d
⑵ 圆形截面
z y
Iz
Iy
πd 4 64
Wz
Wy
Iz d /2
Iy d /2
πd 3 32
材料力学
中南第大1学8土页木/共建8筑3页学院
18
D d
⑶ 空心圆截面 O
I z
Iy
π 64
D4 d4
πD 4 1 4
z
64
式中 d / D
y
Wz
Iz D/2
πD 3 32
s M
中性轴
第15页/共83页
当中性轴 z 为横截面的对称轴时 b
M
h
z
z
y
y
smax
s max
My m a x Iz
M
Iz ymax
M
Wz
根据变形来判断 最大拉压应力， 其数值相等。
称为抗弯截面系数(模量)
单位：m3 或mm3
材料力学
中南第大1学6土页木/共建8筑3页学院
16
当中性轴 z 不是横截面的对称轴时
10
（三）静力学关系
O
x s dA dA
y
FN
sdA0
A
s E E y
E y d A ESz 0
A
z 得 Sz 0 即中性轴z是形心轴。
z
M y
zs d A 0
A
y
E yz d A EI yz 0
A
Iyz 0
对称弯曲时此条件自动满足。
材料力学
中南第大1学1页土木/共建8筑3页学院
IZ
弯曲正应力沿截面高度线性分布，中性
轴上为零，距中性轴越远，数值越大。
M
smax
材料力学
中南第大1学3土页木/共建8筑3页学院
13
F
mn
F
纯弯曲时梁的正应力公式推导
mn
y
M
M z 中性轴
m
n
dA y z s
o
mn dx
o
d
y
dx
yd d y
d
s
E
E
y
(a)
FN
sdA
A
EБайду номын сангаас
A ydA
2、研究方法
平面弯曲 取纵向对称面研究
纵对称面 F2 B
对称轴
F1
F1
F2
FB
A FA
材料力学
纵向对称面
中南第大学1页土/木共建83筑页学院
1
aF A
Fa B
纯 某段梁的内力只有弯矩没 弯 有剪力时，该段梁的变形 曲 称为纯弯曲。如AB段。
FQ F F
M Fa
材料力学
横 某段梁的内力既有弯矩，又
力 弯 曲
s c,max
yt,max yc,max
O
z
y
s t,max
s t,max
Myt,max Iz
s c,max
Myc,max Iz
材料力学
中南第大1学7土页木/共建8筑3页学院
17
简单截面的抗弯截面系数
b
⑴ 矩形截面
h
bh3 I z 12
Wz
Iz h/2
bh2 6
z
y
Iy
b3h 12
Wy
Iy b/2
A
B B1
——中性层的曲率半径
B1B B1B y AB1 O1O2
材料力学
中南第大学9页土/木共建83筑页学院
9
（二）物理关系
假设：纵向纤维互不挤压。于是，任意一点均处于单项
应力状态。
sx
sx
材料力学
sx
s
E x
Ey
M 即横截面上的正应力
沿垂直于中性轴的方 向按直线规律变化。
smax
中南第大1学0土页木/共建8筑3页学院
1 4
Wy
(4) 型钢截面：参见型钢表
材料力学
中南第大1学9土页木/共建8筑3页学院
19
二、横力弯曲时梁横截面上的正应力 1、横力弯曲变形特点
横力弯曲时： ①由于切应力的存在梁的横截面发生翘曲； ②横向力还使各纵向线之间发生挤压。
平面假设和纵向线之间无挤压的假设实 际上都不再成立。
材料力学
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11
O
x
s dA dA
y
M z
ys d A M
A
s E E y
z
E y2 d A EI z M
A
z y
得 1 M
EIz
这是纯弯梁变形时中性层曲率的表达式。
EIz称为梁的抗弯刚度。
材料力学
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12
弯曲正应力计算公式
1 M
s
E
EI E
zy
s My
有剪力时，该段梁的变形称 为横力弯曲。如AB以外段。
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§6.2 平面弯曲时梁横截面上的正应力
纵向对称面 中性层
一、 纯弯曲时梁横截面 上的正应力
中性轴 （一）变形几何规律
a
c
b
d
M
a
c
b
d
1、梁的纯弯曲实验
横向线(a b、cd）变
形后仍为直线，但有转动； M 纵向线变为曲线，且上缩