材料力学课件第六章 弯曲应力
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材料力学第6章-弯曲应力
实心与非薄壁截面梁
a与c 点处－单向应力
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b 点处－纯剪切
32
薄壁截面梁
d
a 点处－纯剪切
c 与d 点处－单向应力
b 点处－ 与 联合作用
单辉祖,材料力学教程 33
梁的强度条件
梁的强度条件 弯曲正应力强度条件： 材料单向应力许用应力 max [ ] 弯曲切应力强度条件： 材料纯剪切许用应力 max [ ] 强度条件的应用 细长非薄壁梁 ( max max ) max [ ] 短而高梁、薄壁梁、 M 小 FS大的梁或梁段 max [ ] max [ ] 对一般薄壁梁，还应考虑 、 联合作用下的 强度问题（参见第 8 章中的强度理论） 单辉祖,材料力学教程
单辉祖,材料力学教程
28
例 3-2 已知梁段剪力FS，试分析铆钉的受力
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29
FS
F2 F1 2
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30
§4 梁的强度条件与合理强度设计
梁危险点处的应力状态 梁的强度条件
梁的合理强度设计
例题
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31
梁危险点处的应力状态
2 I z0 A y0 dA
A y0dA 0
Cy0z0－形心直角坐标系 Oyz －任意直角坐标系 二者平行
16
I z I z0 Aa2
同理得：
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I y I y0 Ab2
例 题
例 2-1 已知：F=15 kN, l=400 mm, b=120mm, d=20mm 试计算：截面 B-B 的最大拉应力t,max与压应力c,max
a与c 点处－单向应力
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b 点处－纯剪切
32
薄壁截面梁
d
a 点处－纯剪切
c 与d 点处－单向应力
b 点处－ 与 联合作用
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梁的强度条件
梁的强度条件 弯曲正应力强度条件： 材料单向应力许用应力 max [ ] 弯曲切应力强度条件： 材料纯剪切许用应力 max [ ] 强度条件的应用 细长非薄壁梁 ( max max ) max [ ] 短而高梁、薄壁梁、 M 小 FS大的梁或梁段 max [ ] max [ ] 对一般薄壁梁，还应考虑 、 联合作用下的 强度问题（参见第 8 章中的强度理论） 单辉祖,材料力学教程
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28
例 3-2 已知梁段剪力FS，试分析铆钉的受力
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29
FS
F2 F1 2
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30
§4 梁的强度条件与合理强度设计
梁危险点处的应力状态 梁的强度条件
梁的合理强度设计
例题
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31
梁危险点处的应力状态
2 I z0 A y0 dA
A y0dA 0
Cy0z0－形心直角坐标系 Oyz －任意直角坐标系 二者平行
16
I z I z0 Aa2
同理得：
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I y I y0 Ab2
例 题
例 2-1 已知：F=15 kN, l=400 mm, b=120mm, d=20mm 试计算：截面 B-B 的最大拉应力t,max与压应力c,max
材料力学6章弯曲应力
⑶胶合的梁
例题
30
§6.5 提高弯曲强度的措施
max M max [ ] W
㈠合理安排梁的受力情况
⑴合理布置支座
⑵合理布置载荷
⑶使载荷分散
33
㈡合理截面
⑴截面放置 ⑵合理的截面形状
Wz 用 A 来衡量截面形状的合理性和经济性
矩形
圆形
1 2 bh Wz 6 0.167h A bh 1 d3 W
dA
A 1
A1为侧面Pn1的面积
( M dM ) y1 M dM M dM * dA y dA sz 1 A1 A1 Iz Iz Iz * s 其中： z y1dA
A1
* Sz 距中性轴为z以外部分的面积对中性轴的静矩
18
同理： N1 M s * z Iz 顶面pr：Q=τbdx
max
3 ql 2 bh
max l 2 max h
对非薄壁细长梁：lh，σmaxτmax
∴弯曲正应力是控制梁的主要因素
29
结论：
⒈一般对非薄壁细长梁，只考虑弯曲正应 力强度即可。 ⒉要考虑弯曲正应力、弯曲剪应力的情况 ：
⑴梁的跨度较短，或在支座附近有较大 的载荷。 ⑵铆接焊接而成的工字梁。
s z ydA 0 Ayc
yc 0
1 ? ②
7
∴中性轴过形心
⒉∑My=0
A
(dA) z 0
E
A
yzdA 0
yzdA 0
A
y为对称轴 上式自然满足
8
⒊∑Mz=0
A
(dA) y M 0
第六章 弯曲应力
近似公式:
Q
hb
47
腹板切应力的近似公式
因为: (1)腹板切应力近似为均匀分布;
(2)腹板负担了绝大部分剪力。
近似公式:
Q
hb
翼缘的切应力
特点
(1) 除了有平行于剪力Q的切应力 分量外，还有与剪力Q垂直的 切应力分量；
(2) 切应力数值与腹板的切应力相比较小。 48
箱形薄壁梁
假设 : t //
My
Iz
总结
假设 平面假设，单向受力假设
综合考虑三方面
( y) y
结论
( y) E ( y)
dA0 ydA M
A
A
中性轴位置：中性轴过截面形心
❖ 中性层曲率：1 M （Iz －惯性矩）
EI z （EIz －截面弯曲刚度）
正应力公式： ( y) My
Iz
max
M Wz
（Wz －抗弯截面系数）
y2)
8
24
则，距中性层 y处的切应力公式为:
Q
[
B
(H
2
h2 )
b
h2 (
y 2 )]
Izb 8
24
切应力分布如图。
45
距中性层 y处的切应力公式为:
Q [ B (H 2 h2) b (h2 y2)]
Izb 8
24
切应力分布如图。
最大切应力发生在中性轴处
max
Q[ Izb
BH 2 8
由切应力互等定理，得
QS
* z
Izb
计算Sz*
可用公式
S
* z
A1
y1
S
* z
b( h 2
y) [y
材料力学课件第六章弯曲应力
第6章 弯曲应力
※ 梁的纯弯曲 ※ 纯弯曲时的正应力 ※ 横力弯曲时的正应力 ※ 弯曲切应力 ※ 提高弯曲强度的措施
第三章 扭 转
§6.1 梁的纯弯曲
横截面上同时存在弯矩和剪力
横力弯曲
横截面上只有弯矩并无剪力
纯弯曲
f1(M ) f2 (Q)
第三章 扭 转
aP P a
A
B
C
D
QP
x
P
a
2
h
2 4
2
b
a y
第三章 扭 转
附录 2. 惯性矩和惯性半径
一、惯性矩
z
定义：图形面积对某轴的二次矩
IzAy2dA , IyA z2dA
y
dA
z
工程中常把惯性矩表示为平面图形的
面积与某一长度平方的乘积, 即
O
y
Iz Az2i, IyAy2i
或
iy
Iy , A
iz
E E y
3. 静力学关系
M z
N A dA 0
(1 )
M yA zdA 0 (2 ) M zAy dA M (3 )
y z y
x
dA
E E y
第三章 扭 转
NxAdAAEρydA0
Sz 0
ydA 0
A
中性轴过形心
1、组合图形对某一轴的静矩等于组成它的各部分图形对同一 轴静矩的代数和，即：
n
n
Sz Aiyi , Sy Aizi
i1
i1
其中：Ai， yi， zi 分别代表第 i 个图形的面积和形心坐标， n为分割成的简单图形的个数。
※ 梁的纯弯曲 ※ 纯弯曲时的正应力 ※ 横力弯曲时的正应力 ※ 弯曲切应力 ※ 提高弯曲强度的措施
第三章 扭 转
§6.1 梁的纯弯曲
横截面上同时存在弯矩和剪力
横力弯曲
横截面上只有弯矩并无剪力
纯弯曲
f1(M ) f2 (Q)
第三章 扭 转
aP P a
A
B
C
D
QP
x
P
a
2
h
2 4
2
b
a y
第三章 扭 转
附录 2. 惯性矩和惯性半径
一、惯性矩
z
定义：图形面积对某轴的二次矩
IzAy2dA , IyA z2dA
y
dA
z
工程中常把惯性矩表示为平面图形的
面积与某一长度平方的乘积, 即
O
y
Iz Az2i, IyAy2i
或
iy
Iy , A
iz
E E y
3. 静力学关系
M z
N A dA 0
(1 )
M yA zdA 0 (2 ) M zAy dA M (3 )
y z y
x
dA
E E y
第三章 扭 转
NxAdAAEρydA0
Sz 0
ydA 0
A
中性轴过形心
1、组合图形对某一轴的静矩等于组成它的各部分图形对同一 轴静矩的代数和，即：
n
n
Sz Aiyi , Sy Aizi
i1
i1
其中：Ai， yi， zi 分别代表第 i 个图形的面积和形心坐标， n为分割成的简单图形的个数。
材料力学第六章弯曲时的变形精品PPT课件
1
(x)
(1| ww2|)32
(1| ww2|)32
M(x) EI
在规定的坐标系中,x 轴水平向右 w
M
M
为正, w轴竖直向上为正.
x
O
曲线向下凸时: w 0M 0
M 0
曲线向上凸时, w 0M 0w
w 0
M
M
因此, w 与 M 的正负号相同
O M 0 w 0
x
w (1 w2)32
两段梁的挠曲线方程分别为：
1 ( 0 x a)
挠曲线方程 EIw1 M1Fbl x
转角方程
EIwFb l
x2 2
C1
挠度方程 EIw1Fb lx63C1xD 1
2 (axl )
挠曲线方程 E Iw 2 M 2F b lxF (xa)
转角方程 挠度方程
E Iw 2 'F b lx 2 2F (x 2 a)2C 2 E Iw 2 F b lx 6 3 F (x 6 a )3 C 2 x D 2
转角
B
x
w挠度（
B
3、挠曲线 :梁变形后的轴线称为挠曲线 . 挠曲线方程为:
w f(x)
式中,x 为梁变形前轴线上任一点的横坐标,w 为该点的挠度. w
A
C
B
x
挠曲线
C'
w挠度（
B
转角
4、挠度与转角的关系：
tg w ' w '(x )
w
A
挠曲线
C C'
转角
B
x
w挠度
B
5、挠度和转角符号的规定
挠度:向上为正,向下为负.
转角:自x 转至切线方向,逆时针转为正,顺时针转为负.
《材料力学》课程讲解课件第六章弯曲变形
成为一条曲线，这条曲线称为挠曲线。
F
q
M
轴线
弯曲后梁的轴线 （挠曲线）
纵向对称面
2. 梁变形的度量—挠度、转角
挠曲线
转角
(1) 挠度w：截面形心在y方
y
C’
向的位移。 向上为正
w 挠度 (2)挠曲线：变形后梁的轴线
x
C
x
F
挠曲线方程： w f (x)
⑶ 转角θ：截面绕中性轴转过的角度。（挠曲线法线与y轴的
是上面求得的 B，由此引起的A端挠度w1= B·a应叠加到图
b所示悬臂梁的A端挠度w2上去才是原外伸梁的A端挠度wA ：
wA w1 w2
1 3
qa3 EI
a
2q a4
8EI
7 qa4 12 EI
例题：列出图示结构的边界条件和连续条件。
边界条件： A 0
wA 0
连续条件： B左 B右 wB左 wB右
例题：列出图示结构的边界条件和连续条件。
wA 0
解：边界条件：A 0
wC 0
wD左 wD右
连续条件：D左 D右
wB左 wB右
例题6.1 求梁的转角和挠曲线方程， w
并求最大转角、最大挠度，EI已知。 A
已知结果，先将均布载荷延长至
梁的全长；
为不改变原载荷的作用效果，
在AB 段加上集度相同、方向相 反的均布载荷。
wC1
⑵ 计算两种载荷下的wC和C 。
wC1
ql 4 8EI
C1
ql 3 6EI
wB 2
wC 2
wB 2
B2
l 2
C 2
ql 3 48EI
wC 2
ql 4 ql3 l 128EI 48EI 2
F
q
M
轴线
弯曲后梁的轴线 （挠曲线）
纵向对称面
2. 梁变形的度量—挠度、转角
挠曲线
转角
(1) 挠度w：截面形心在y方
y
C’
向的位移。 向上为正
w 挠度 (2)挠曲线：变形后梁的轴线
x
C
x
F
挠曲线方程： w f (x)
⑶ 转角θ：截面绕中性轴转过的角度。（挠曲线法线与y轴的
是上面求得的 B，由此引起的A端挠度w1= B·a应叠加到图
b所示悬臂梁的A端挠度w2上去才是原外伸梁的A端挠度wA ：
wA w1 w2
1 3
qa3 EI
a
2q a4
8EI
7 qa4 12 EI
例题：列出图示结构的边界条件和连续条件。
边界条件： A 0
wA 0
连续条件： B左 B右 wB左 wB右
例题：列出图示结构的边界条件和连续条件。
wA 0
解：边界条件：A 0
wC 0
wD左 wD右
连续条件：D左 D右
wB左 wB右
例题6.1 求梁的转角和挠曲线方程， w
并求最大转角、最大挠度，EI已知。 A
已知结果，先将均布载荷延长至
梁的全长；
为不改变原载荷的作用效果，
在AB 段加上集度相同、方向相 反的均布载荷。
wC1
⑵ 计算两种载荷下的wC和C 。
wC1
ql 4 8EI
C1
ql 3 6EI
wB 2
wC 2
wB 2
B2
l 2
C 2
ql 3 48EI
wC 2
ql 4 ql3 l 128EI 48EI 2
材料力学第6章弯曲应力
图6.5
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材料力学
出版社 理工分社
例6.1如图6.6所示，矩形截面悬臂梁受集中力和集中力偶作用。试求Ⅰ—Ⅰ 截面和固定端Ⅱ—Ⅱ截面上A，B，C，D ４点处的正应力。
图6.6
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解矩形截面对中性轴的惯性矩为 对于Ⅰ—Ⅰ截面，弯矩MⅠ=20 kN·m，根据式(6.2)，各点正应力分别为
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(1)变形几何关系 弯曲变形前和变形后的梁段分别表示于图6.4(a)和(b)。以梁横截面的对称 轴为y轴且向下为正(见图6.4(c))。以中性轴为z轴，但中性轴的位置尚待确 定。在中性轴尚未确定之前，x轴只能暂时认为是通过原点的横截面的法 线。根据弯曲平面假设，变形前相距为dx的两个横截面，变形后各自绕中性 轴相对旋转了一个角度dθ ，且仍然保持为平面。这就使得距中性层为y的纵 向纤维bb的长度变为
式中积分
是横截面对y轴和z轴的惯性积。由于y轴是横截面的对
称轴，必然有Iyz=0(见附录)。所以式(g)是自然满足的。 将式(b)代入式(e)，得
式中积分∫Ay2dA=Iz是横截面对z轴(中性轴)的惯性矩。于是式(h)改写为 式中 ——梁轴线变形后的曲率。
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式(6.1)表明，EIz越大，则曲率 越小，故EIz称为梁的抗弯刚度。从式 (6.1)和式(b)中消去 ，得
而对于变截面梁，虽然是等截面梁但中性轴不是横截面对称轴的梁，在计算 最大弯曲正应力时不能只注意弯矩数值最大的截面，应综合考虑My/Iz的值 (参看例6.5和例6.8)。
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引用记号
材料力学第6章 弯曲变形部分课件
§6-2 挠曲线的微分方程
（ Differential equation of the deflection curve) 一、推导公式（Derivation of the formula)
1.纯弯曲时曲率与弯矩的关系（Relationship between the curvature of beam and the bending moment）
2
(4)
弯曲变形(Deflection of Beams)
Fx 2 EIw Flx C1 (3) 2
Flx Fx EIw C 1x C 2 2 6 边界条件 x 0, w 0
x 0, w 0
2 3
(4)
将边界条件代入（3）（4）两式中,可得 C1 0 梁的转角方程和挠曲线方程分别为
在简支梁中, 左右两铰支座处的
挠度 w A 和 w B 都等于0.
A
B
wA 0
在悬臂梁中,固定端处的挠度 w A 和转角 A 都应等于0.
A
wB 0
B
wA 0
A 0
弯曲变形(Deflection of Beams)
例题1 图示一抗弯刚度为 EI 的悬臂梁, 在自由端受一集中力 F 作用.试求梁的挠曲线方程和转角方程, 并确定其最大挠度 wmax 和最大转角 max
EIw M ( x )dxdx C1 x C 2
二、积分常数的确定 （Evaluating the constants of integration）
1.边界条件（Boundary conditions）
2.连续条件（Continue conditions）
弯曲变形(Deflection of Beams)
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y2 z h 1 2 b
yC C zC O y
b1 z y2 2 4h 2 b S y dA h 2 (1 2 ) dy A2 0 2 b 15
y2 2hb A dA h(1 2 )dy A 0 b 3
b
第三章 扭
转
三、组合图形的静矩和形心
第6章
弯曲应力
※ 梁的纯弯曲 ※ 纯弯曲时的正应力 ※ 横力弯曲时的正应力
※ 弯曲切应力
※ 提高弯曲强度的措施
第三章 扭 转
§6.1
梁的纯弯曲
a A C
横截面上同时存在弯矩和剪力
P
P
D
a B
横力弯曲
横截面上只有弯矩并无剪力
Q
P
纯弯曲
P
x
M
Pa
f1 ( M ) f 2 (Q)
第三章 扭 转
别校核:
t max t , c max c
第三章 扭
转
P
例题1 两矩形截面梁，尺寸和材料的许 用应力均相等，但放置如图(a)、 (b)。按弯曲正应力强度条件确定 两者许可载荷之比 P1／P2＝？
A l
B
P1
P2
z
h
z
b
(a)
第三章 扭 转
(b)
解：
P
max 1
yc
270
C2 C C1
300
yC y
30
I yC I yc I yc 2.05 108 (mm 4 )
I zC
1 1 3 30 300 270 503 7.03 107 (mm 4 ) 12 12
转
第三章 扭
§6.3
横力弯曲时的正应力
y My E Iz
4 2 2
①
y
h
d③
③
h
b
（3）计算组合图形的形心惯性矩
bh3 πd 4 πh 2 d 2 I y I y1 I y2 I y3 12 64 64
第三章 扭 转
例题7
试计算T形截面的形心主惯性矩。
50
z
解：（1）确定形心及形心主惯性轴。
A1 z1 A2 z2 zc A1 A2 300 30 0 50 270 150 300 30 50 270 90(mm )
A
又
y z
2 2
2
O
y
I p 2 d A ( y2 z2 ) d A I z I y
A A
第三章 扭
转
例题4
求图示矩形对对称轴y 、z 的惯性矩。
z
解：取微分面积如图示
I y z dA
2 A
2 h 2
h
z bdz
2
h 2
dz z
bh 3 12
z
Sz y d A ,
A
Sy z d A
A
y yC C zC
dA z
分别为图形对z 轴和 y 轴的静矩。
二、形心
O y
由平面图形的形心公式:
yC
A
yd A A , zC
zd A
A
A
Sz yc , A
轴过形心
zC
Sy A
S z yC A ,
第三章 扭
S y zC A
1
EI z 抗弯刚度
My E Iz y
横截面应力分布:
第三章 扭
转
结 论:
中性轴过横截面的形心
Sz 0
中性层的曲率公式:
M EI z
1
正应力计算公式:
y My E Iz
应用条件:
max p
第三章 扭
转
附录 一、静矩
1. 静矩和形心
2 A
O
2
yc dA 2a yc dA a
2 A A
A dA
I zc a 2 A
第三章 扭 转
z
zC y b yC dA C a z
平行移轴公式：
I y I yC b A
2
zC yC y
I z I zC a A
2
I yz I yC zC abA
M max 1 Wz1
Pl 12 bh 6
A l
B
max 2
M max 2 Wz 2
P2l 2 hb 6
P1
P2
z
h
由 max 1 max 2 [ ] 得:
P1 h P2 b
第三章 扭 转
b
(a)
(b)
例题 2 已知：P=10kN，a =1.2m [σ]=10MPa，h/b =2 试：选择梁的截面尺寸。
同理可得：
y
h 2
b
hb Iz 12
第三章 扭
3
转
例题5
求图示圆平面对y 、z 的惯性矩。
z
解：由上一章可知
πd 4 2 Ip d A A 32 I p Iy Iz 又
d
C y
Iy Iz
πd 4 Iy Iz 64
第三章 扭 转
附录 一、惯性积
3. 惯性积
z y
b h2 2 a 2 4
h 2
a
y
h 2
b
第三章 扭
转
附录 一、惯性矩
2.
惯性矩和惯性半径
z y
定义：图形面积对某轴的二次矩
dA z
I z y2 d A , I y z2 d A
A A
工程中常把惯性矩表示为平面图形的
面积与某一长度平方的乘积, 即 或
O y
O
第三章 扭
转
例题6
求图示图形对其形心轴 y 的惯性矩。
h
4 4 4 4
d
h
h
d③
h
b
第三章 扭
转
解：（1）将图形分割为三部分 （2）计算三部分对形心主惯
h 4 4 4 4
z
性轴的形心惯性矩。
h
d
②
C
bh 3 I y1 12
I y 2 I y3 πd h πd 64 4 4 πd 4 πh 2 d 2 64 64
第三章 扭 转
强度计算
max
M max M max ymax Iz W
b
Iz W 抗弯截面系数 ymax
bh3
h
z
bh 2 12 W h 6 2
d
z
W
d 4
d
64
d 3
32
2
第三章 扭
转
强度条件为：
max
M max W
对于脆性材料,由于其抗拉和抗压强度不等,则应分
长也不缩短的那层。
中性轴：中性层与横截面 的交线。
： 中性层的曲率半径。
第三章 扭
转
距中性层为 y 处的纤维 bb的 线应变：
( y) d d d
第三章 扭
y
转
2. 物理关系
再作单向受力假设：假设各纵向纤维之间互不挤压。
E E
第三章 扭 转
2 A
O
a
y
I y c z c y c z c dA
A
y y c a , z zc b
第三章 扭
转
z
I zc yc dA
2 A
z y b
zC yC dA C
y y c a , z zc b
I z y dA
2 A
zC yC a z y
( yc a ) dA
1、组合图形对某一轴的静矩等于组成它的各部分图形对同一
轴静矩的代数和，即：
S z Ai yi ,
i 1
n
S y Ai zi
i 1
n
其中：Ai， yi， zi 分别代表第 i 个图形的面积和形心坐标，
n为分割成的简单图形的个数。 2、组合图形的形心坐标
Sz yc A
第三章 扭 转
(4)形心主惯性矩 平面图形对任一形心主惯性轴的惯性矩称为形
心主惯性矩。
第三章 扭
转
附录
4. 平行移轴公式
z zC y b yC dA
2
I y z dA
A
I z y 2 dA
A
I y z y zdA
A
zC yC
C
I y c z c dA
2 A
I z c y c dA
定义：图形对一对相互垂直的轴的矩
dA z
I yz yz d A
A
如果所选的正交坐标轴中，有一个坐 标轴是对称轴，则平面图形对该对坐 标系的惯性积必等于零。
O dA
z dA
y
I yz yz d A 0
A
O
y
第三章 扭
转
二、几个主要定义
(1)主惯性轴 当平面图形对某一对正交坐标轴y0、z0的
O
y
dy
y
hb 2 4 b1 z y2 2 4h 2 b S y dA h 2 (1 2 ) dy A2 0 2 b 15
y2 2hb A dA h(1 2 )dy A 0 b 3
b
第三章 扭
转
z
Sy 2 Sz 3 yC b, zC h, A 8 A 5