第六章弯曲应力
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材料力学06(第六章 弯曲应力)分析
F / 4 2 103 mm 134 mm
30 MPa 5493104 mm4
F 24.6 kN
因此梁的强度由截面B上的最大拉应力控制
[F] 19.2 kN
§6-3 梁横截面上的切应力•梁的切应力强度条件
Ⅰ、梁横截面上的切应力
分离体的平衡
横截面上切应力 分布规律的假设
横截面上弯曲切 应力的计算公式
二.工字形截面梁 1、腹板上的切应力
h
d
y
d
O
y b
O
' A*
y dA
FS
S
* z
Izd
S
* z
bd
2
h
d
d 2
h 2
d
2
y2
腹板与翼缘交界处
max
min
FS Izd
bd
h d
max O
中性轴处
max
FS
S
* z,m
ax
Izd
y
min
FS
bd
h
d
d
h
d
2
I z d 2
160 MPa 148 MPa
2
Ⅲ 梁的正应力强度条件
max 材料的许用弯曲正应力
中性轴为横截面对称轴的等直梁
M max
Wz
拉、压强度不相等的铸铁等脆性材料制成的梁
为充分发挥材料的强度，最合理的设计为
t,max
M max yt,max Iz
[
t]
c,max
M max yc,max Iz
Myc,max Iz
典型截面的惯性矩与抗弯截面系数 ( d D)
b
第六章__弯曲应力及剪力流的知识点
Page 4
第六章 弯曲应力
上一讲回顾（12）
•梁变形与受力假设：平面假设，单向受力假设。 y My s •正应力公式： s E E Iz M Iz s max •最大正应力： Wz Wz y S z ydA, S y zdA •静矩：
A A
•惯性矩与惯性积 ：
50
a
F l
a
a = ? [ F ] 最大.
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27
第六章 弯曲应力
配重降低最大弯矩作用分析
M
Pa Pa F P
F a
P
l
a
a
l
a
M
Fl/4 +
M
Fl/4-Pa Pa
+
Pa
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第六章 弯曲应力
弯拉（压）组合分析
A F
l 2
q
B
C
l 2
F
C
FN M max
sN
sM
y
sN sM
20 kN 20 kN
C
D
解：计算截面形心 与惯性矩
A
B
1m
3m
1m
yC 139mm I z 40.3 106 mm 4
M 图:
10kN m
20kN m
200
为校核梁的强度，需计算 B截面a点的拉应力与b点 压应力，C截面b点拉应力
a
30
y1
z
170
yC
b 30
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3. 弯矩计算 或
EI z
bd 2s max M s max W 1.14kNM 6
第六章 弯曲应力
上一讲回顾（12）
•梁变形与受力假设：平面假设，单向受力假设。 y My s •正应力公式： s E E Iz M Iz s max •最大正应力： Wz Wz y S z ydA, S y zdA •静矩：
A A
•惯性矩与惯性积 ：
50
a
F l
a
a = ? [ F ] 最大.
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第六章 弯曲应力
配重降低最大弯矩作用分析
M
Pa Pa F P
F a
P
l
a
a
l
a
M
Fl/4 +
M
Fl/4-Pa Pa
+
Pa
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第六章 弯曲应力
弯拉（压）组合分析
A F
l 2
q
B
C
l 2
F
C
FN M max
sN
sM
y
sN sM
20 kN 20 kN
C
D
解：计算截面形心 与惯性矩
A
B
1m
3m
1m
yC 139mm I z 40.3 106 mm 4
M 图:
10kN m
20kN m
200
为校核梁的强度，需计算 B截面a点的拉应力与b点 压应力，C截面b点拉应力
a
30
y1
z
170
yC
b 30
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3. 弯矩计算 或
EI z
bd 2s max M s max W 1.14kNM 6
第6章 弯曲应力
称为抗弯截面系数
只有一根对称轴的横截面形状: yt，max yc，max O y
O y
z
t,max
My t ,max Iz
c,max
Myc,max Iz
z
简单截面的弯曲截面系数 b h ⑴ 矩形截面
z
bh3 Iz 12 b3h Iy 12
⑵ 圆形截面
y d
Iz bh2 Wz h/2 6 Iy b2h Wy 源自/2 63()
Ⅱ .纯弯曲理论的推广 对于细长梁（ l/h > 5 ），纯弯曲时的正应力计算 公式用于横力弯曲情况，其结果仍足够精确。 F
l
M ( x) y Iz
Fl
4
max
M ( x) Wz
解：
由弯曲曲率公式 可得：
M EIz
M EI z
1
代入弯曲正应力公式：
M EIZ Ed 533.3MPa WZ WZ 2
3.正应力的正负号与弯矩 及点的坐标 y的正负号有关。实际计算中，可根 据截面上弯矩的方向，直接判断中性 轴的哪一侧产生拉应力，哪一侧产生 压应力，而不必计及M和y的正负。
三、最大弯曲正应力 有两根对称轴的横截面形状: b h
z
y y
z
max
M M Mymax I z Wz Iz y max
基本假设2:
梁内各纵向纤维无挤压 假设，纵向纤维间无正应 力。
中性层与中性轴
纵向对称面 中性层 Z 中性轴
中性层 根据变形的连续性 可知，梁弯曲时从其凹 入一侧的纵向线缩短区 到其凸出一侧的纵向线 伸长区，中间必有一层 纵向无长度改变的过渡 层，称为中性层 。 中性轴: 中性层与横截面的交 线就是中性轴。
材料力学第6章弯曲应力
图6.5
页 退出
材料力学
出版社 理工分社
例6.1如图6.6所示，矩形截面悬臂梁受集中力和集中力偶作用。试求Ⅰ—Ⅰ 截面和固定端Ⅱ—Ⅱ截面上A，B，C，D ４点处的正应力。
图6.6
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解矩形截面对中性轴的惯性矩为 对于Ⅰ—Ⅰ截面，弯矩MⅠ=20 kN·m，根据式(6.2)，各点正应力分别为
页 退出
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(1)变形几何关系 弯曲变形前和变形后的梁段分别表示于图6.4(a)和(b)。以梁横截面的对称 轴为y轴且向下为正(见图6.4(c))。以中性轴为z轴，但中性轴的位置尚待确 定。在中性轴尚未确定之前，x轴只能暂时认为是通过原点的横截面的法 线。根据弯曲平面假设，变形前相距为dx的两个横截面，变形后各自绕中性 轴相对旋转了一个角度dθ ，且仍然保持为平面。这就使得距中性层为y的纵 向纤维bb的长度变为
式中积分
是横截面对y轴和z轴的惯性积。由于y轴是横截面的对
称轴，必然有Iyz=0(见附录)。所以式(g)是自然满足的。 将式(b)代入式(e)，得
式中积分∫Ay2dA=Iz是横截面对z轴(中性轴)的惯性矩。于是式(h)改写为 式中 ——梁轴线变形后的曲率。
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材料力学
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式(6.1)表明，EIz越大，则曲率 越小，故EIz称为梁的抗弯刚度。从式 (6.1)和式(b)中消去 ，得
而对于变截面梁，虽然是等截面梁但中性轴不是横截面对称轴的梁，在计算 最大弯曲正应力时不能只注意弯矩数值最大的截面，应综合考虑My/Iz的值 (参看例6.5和例6.8)。
页 退出
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引用记号
课件：第六章 弯曲应力
A y0dA 0
同理:
Iz Iz0 a2 A I y I y0 b2 A
Page
Cy0z0－形心直角坐标系 Oyz－任意直角坐标系
二者平行
16
思考：下列计算是否正确？ 其中C是截面形心。
IZ2 IZ1 Aa2
•C
解：不正确。
z1
a
因为 Z1 不是形心轴
z2
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17
典型截面的惯性矩与抗弯截面系数 ( d D)
( y) 1 dF
b dx
l F dA
My
Iz
M Iz
y * dA
ydA Sz ( )
MSz ( )
Iz
Sz()－面积 对中性轴 z 的静矩
l
( y) Sz ( ) dM
bIz dx
( y) FSSz ( )
I zb Page
1
2
M
M dM
y
FS
FS
y* mn
1
2
x
dx
d
l 2 0
0.002
3
x l
4(
x l
)2
dx
l l 2
0.002 1
x l
dx
0.002
3l 2
( x )2 l
l
4l 3
(
x l
)3
2 0
0.002 x
x2 l
2l
l
2 103 m 3
2
Page
29
作业
6-1 6-3 6-8 A-8
Page
30
§6-3 对称弯曲切应力
解：1. 问题分析
已知=(D+d)/2, E, 截面尺寸，可应
材料力学第六章弯曲应力
但相应的最大弯矩值变为
Fl ql2
M max
4
8
375 kN m 13 kN m 388 kN m
而危险截面上的最大正应力变为
max
388103 N m 2342106 m3
165.7106
Pa
165.7
MPa
显然，梁的自重引起的最大正应力仅为
165.7 160 MPa 5.7 MPa
<2>. 相邻横向线mm和nn，在梁弯曲后仍为直线，只是
相对旋转了一个角度，且与弧线aa和bb保持正交。
根据表面变形情况，并设想梁的侧面上的横向线mm和 nn是梁的横截面与侧表面的交线，可作出如下推论(假设)：
平面假设 梁在纯弯曲时，其原来的横截面仍保持为平面， 只是绕垂直于弯曲平面(纵向平面)的某一轴转动，转动后 的横截面与梁弯曲后的轴线保持正交。
力的值max为
max
M ym a x Iz
M
Iz ymax
M Wz
式中，Wz为截面的几何性质，称为弯曲截面系数（对Z轴）
(section modulus in bending)，其单位为m3。
b
h d
o
z
o
z
y
y
中性轴 z 不是横截面的对称轴时(参见图c)，其横截面 上最大拉应力值和最大压应力值为
A
r
(b)
M z
y d A E
A
r
y2 d A EI z M
A
r
(c)
由于式(a)，(b)中的
E
r
不可能等于零，因而该两式要求：
1. 横截面对于中性轴 z 的静矩等于零，A y d A 0 ；显
第六章 弯曲剪应力
所 以 d m in 1 3 7m m
[例6-7]两个尺寸完全相同的矩形截面梁叠在一起承受荷载如图 所示。若材料许用应力为[]，其许可载荷[P]为多少？如将两 个梁用一根螺栓联成一体，则其许可荷载为多少？若螺栓许 用剪应力为[τ]，求螺栓的最小直径？
L
FQ
P
-PL
M
P
解：叠梁承载时，每
梁都有自己的中性层
§6-3 弯曲剪应力和强度校核
一.具有纵对称轴截面梁的剪应力
对于薄壁、高截面的梁须计算弯曲剪应力
My
Iz
q(x) x dx
P
bh
z
q(x)
M(x)
M (x)dM (x)
y
FQ
FQ dFQ
在hb的情况下
假设 1)的 ：方向F都 Q平与 行
2)沿宽度均布。
y
NI
N II
NI A*ⅠdA
M ydA M
(1)当外力偶作用在平行于形心主惯性平面的任一平 面内时,梁产生平面弯曲。
(2)当横向外力作用在平行于形心主惯性平面的平面 内，并且通过特定点时，梁发生平面弯曲。否则将 会伴随着扭转变形。但由于实体构件抗扭刚度很大
，扭转变形很小，其带来的影响可以忽略不计。
二. 开口薄壁截面的弯曲中心
对于开口薄壁截面梁，即使横向力作用于形心主惯性 平面内(非对称平面)，则梁除发生弯曲变形外，还将 发生扭转变形。
b(x)
3P
4[]h
即： b(x)min4[3P]h
P/2
P
A
C
xL
P/2 同理：若b为常量，高度h=h(x)
B W(x)1bh2(x) Px
6
2[]
h(x) 3Px 半抛物线
第六章弯曲应力
? 中性轴的位置
中性层的曲率半径r
3. 静力学关系
statics relation
M
z
FN
A dFN
σdA
A
O
x
M y
A dM y
zσdA
A
y
M z
A dM z
yσdA
A
凹入一侧的受压应力，凸出的一侧受拉应力
应用公式时，一般将 My 以绝对值代入. 根据梁变形的情况直接
按强度要求设计梁时，主要是依据梁的正应力强度条件
σmax M max [σ] Wz
一、降低梁的最大弯矩值
1.合理地布置梁的荷载
F
F
l
Fl/4
l/4
l/2 l/4
Fl/8
2.合理地设置支座位置
q
q
l
ql2/2
a
a
l
0.0214ql2
当两端支座分别向跨中移动a=0.207l 时，最大弯矩减小.
二、增大Wz
deformation geometric relationship
physical relationship
static relationship
Examine the deformation， 变
then propose the hypothesis 形
几
何
关
Distribution regularity
z
0.8a2 a2
π D12 4
2a22
0.8 1.6a22 ,a2
1.05D1
Wz4 4.57Wz1
工字形截面与框形截面类似.
2.合理的放置
W1 h W2 b
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(A） (Ｂ) (C)
（D） (Ｅ) (F)
６.2.12图示正方形截面在xy平面内纯弯曲变形时，采用（a）、(b）两种放置方式,其最大正应力分别为 和 。合理的放置方式是（)；若使 ,则 =。
6.2.1３纯弯曲的T形截面铸铁梁，如图所示。其放置方式最合理的是（)。
６.2.1４矩形截面梁在弯曲时,图示横截面上的弯矩不为零,z轴为形心轴,该截面上ａ、b、c三点正应力的关系为（）。
6．2.１7T形截面悬臂梁受力如图所示。已知截面高度h、惯性矩 和材料的弹性模量E,并测得D截面上、下边缘处的线应变 和 ，则外力偶矩 。图中Ｃ为形心。
６.２．1８Ｔ形截面梁如图所示。测得D截面上、下边缘处的纵向线应变分别是 , ，此截面中性轴位置 。图中z为形心轴。
6．2.19在6．２．14题中，ａ、b、ｃ三点切应力的关系为（)。
（A) (B） (C) （D）
6．２.20矩形截面简支木梁受载如图所示。梁AC段任一横截面上a点的切应力是。
（C） （D)
（E) (F)
６.2.3图示箱形截面梁的抗弯截面系数为（）。
（A） (B)
（C） （D）
6.2.4图示截面的抗弯截面系数为（）。
（A） (B）
(C) （D)
６．2.５用直径为d的圆形木切割出一根高h,宽b的矩形截面梁,若使梁对z轴的抗弯截面系数为最大，则ｈ/b是（)。
（A)２．０（B） (C)１.５（D）
第六章－弯曲应力()
———————————————————————————————— 作者：
———————————————————————————————— 日期:
ﻩ
第六章弯曲应力(Ⅱ）
6．2．1下列各梁中,AB段为纯弯曲的有（）。
6．２.2下列关于圆环截面几何性质的算式中正确的有（)。
（A) （B)
(Ａ) ＜ ＜ (B） ＝ <
(C) ＜ = (B） = ＝
6.2.10矩形截面简支梁分别采用图中（a）、(b)、(ｃ）三种截面尺寸，其最大正应力之比为()。
（A) (B） （C）
(Ｄ） (E) (Ｆ)
6.2.１1两根矩形截面悬臂梁的尺寸、荷载分别相同，材料分别为钢和木材。设二梁均在线弹性范围内变形,二梁C截面处的最大正应力的关系为(）,上边缘的最大线应变的关系为（）。
6.2.６悬臂梁由两根T形截面叠起来放置（略去相互之间的摩擦力),受力如图所示。任一横截面上的正应力分布规律应是()。
6．2.7圆形截面悬臂梁由圆筒B套入实心圆杆Ａ而成,略去两接触面间的摩擦力，材料弹性模量 。
(１)他们最大正应力的比 是（)。（A)Leabharlann ５/2（B)1／２（C)1/4（D）1
（2)任一横截面上正应力的分布规律是()。
(A) (B）
(C)
6.２．15工字形截面简支梁如图所示。已知截面对中性轴z的抗弯截面系数 、弹性模量E以及C截面下边缘的纵向线应变 。设梁的变形在线弹性范围内，则作用在梁上的荷载P＝。
6.2．16一直径为 的圆截面梁,另一内外直径之比 的圆环截面梁，二梁的长度、材料及受力分别相同。若使二梁的最大正应力相同,则圆截面梁和圆环截面梁的重量之比 =。
6．2.8图示梁由材料相同的上、下两部分叠合而成，不计上、下两部分间的摩擦力,并可认为上、下两部分的曲率 相同。上、下两部分梁所承受的弯矩之比 ,上下两部分梁的最大正应力之比 。
6.２.9受力情况相同的三种等截面梁,分别由整块材料、两块材料并列和两块材料叠合（未粘接,并不计相互之间的摩擦力)组成，如图（a）、（ｂ）、(c)所示。若用 、 、 本别表示这三种梁中横截面上的最大正应力，下列结论中正确的为(）。
（D） (Ｅ) (F)
６.2.12图示正方形截面在xy平面内纯弯曲变形时，采用（a）、(b）两种放置方式,其最大正应力分别为 和 。合理的放置方式是（)；若使 ,则 =。
6.2.1３纯弯曲的T形截面铸铁梁，如图所示。其放置方式最合理的是（)。
６.2.1４矩形截面梁在弯曲时,图示横截面上的弯矩不为零,z轴为形心轴,该截面上ａ、b、c三点正应力的关系为（）。
6．2.１7T形截面悬臂梁受力如图所示。已知截面高度h、惯性矩 和材料的弹性模量E,并测得D截面上、下边缘处的线应变 和 ，则外力偶矩 。图中Ｃ为形心。
６.２．1８Ｔ形截面梁如图所示。测得D截面上、下边缘处的纵向线应变分别是 , ，此截面中性轴位置 。图中z为形心轴。
6．2.19在6．２．14题中，ａ、b、ｃ三点切应力的关系为（)。
（A) (B） (C) （D）
6．２.20矩形截面简支木梁受载如图所示。梁AC段任一横截面上a点的切应力是。
（C） （D)
（E) (F)
６.2.3图示箱形截面梁的抗弯截面系数为（）。
（A） (B)
（C） （D）
6.2.4图示截面的抗弯截面系数为（）。
（A） (B）
(C) （D)
６．2.５用直径为d的圆形木切割出一根高h,宽b的矩形截面梁,若使梁对z轴的抗弯截面系数为最大，则ｈ/b是（)。
（A)２．０（B） (C)１.５（D）
第六章－弯曲应力()
———————————————————————————————— 作者：
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第六章弯曲应力(Ⅱ）
6．2．1下列各梁中,AB段为纯弯曲的有（）。
6．２.2下列关于圆环截面几何性质的算式中正确的有（)。
（A) （B)
(Ａ) ＜ ＜ (B） ＝ <
(C) ＜ = (B） = ＝
6.2.10矩形截面简支梁分别采用图中（a）、(b)、(ｃ）三种截面尺寸，其最大正应力之比为()。
（A) (B） （C）
(Ｄ） (E) (Ｆ)
6.2.１1两根矩形截面悬臂梁的尺寸、荷载分别相同，材料分别为钢和木材。设二梁均在线弹性范围内变形,二梁C截面处的最大正应力的关系为(）,上边缘的最大线应变的关系为（）。
6.2.６悬臂梁由两根T形截面叠起来放置（略去相互之间的摩擦力),受力如图所示。任一横截面上的正应力分布规律应是()。
6．2.7圆形截面悬臂梁由圆筒B套入实心圆杆Ａ而成,略去两接触面间的摩擦力，材料弹性模量 。
(１)他们最大正应力的比 是（)。（A)Leabharlann ５/2（B)1／２（C)1/4（D）1
（2)任一横截面上正应力的分布规律是()。
(A) (B）
(C)
6.２．15工字形截面简支梁如图所示。已知截面对中性轴z的抗弯截面系数 、弹性模量E以及C截面下边缘的纵向线应变 。设梁的变形在线弹性范围内，则作用在梁上的荷载P＝。
6.2．16一直径为 的圆截面梁,另一内外直径之比 的圆环截面梁，二梁的长度、材料及受力分别相同。若使二梁的最大正应力相同,则圆截面梁和圆环截面梁的重量之比 =。
6．2.8图示梁由材料相同的上、下两部分叠合而成，不计上、下两部分间的摩擦力,并可认为上、下两部分的曲率 相同。上、下两部分梁所承受的弯矩之比 ,上下两部分梁的最大正应力之比 。
6.２.9受力情况相同的三种等截面梁,分别由整块材料、两块材料并列和两块材料叠合（未粘接,并不计相互之间的摩擦力)组成，如图（a）、（ｂ）、(c)所示。若用 、 、 本别表示这三种梁中横截面上的最大正应力，下列结论中正确的为(）。