第六章扭转与弯曲的强度计算
第4节 圆轴扭转时的强度计算
55 . 5 MPa [ ]
故：此阶梯形圆轴满足强度条件。
第六章 圆轴的扭转
第四节
一、强度条件
圆轴扭转时的强度计算
圆轴扭转时 的强度条件
max
T WP
[ ]
扭转强度条件同样可以用来解决三类问题： 强度校核
设计截面尺寸
确定许用载荷
第六章 圆轴的扭转 例6-2 如图所示为阶梯形圆轴，其中实心AB段直 径d1=40mm；BD段为空心部分，外径D =55mm，内 径 d =45mm。轴上A、D、C处为皮带轮，已知主动 轮C输入的外力偶矩为MC=1.8kN· ｍ，从动轮A、D 传递的外力偶矩分别为MA=0.8kN· m，MD=1kN· m， 材料的许用切应力[ ]=80MPa。试校核该轴的强度。 解：1）画扭矩图： 用截面法（或简捷方法） 可作出该阶梯形圆轴的 扭矩图如图所示。
0.8kNm
1.0kNm
第六章 圆轴的扭转 2）强度校核：由于两段轴的截面面积和扭矩值不 同，故要分别进行强度校核。
T 0 . 8 10 63 . 7 a [ ] AB段： max WP 3 ( 40 10 ) 16 d 45 0 . 818 CD段：轴的内外径之比 D 55 3 T 1 10 max Pa WP 3 3 4 ( 55 10 ) (1 0 . 818 ) 16
第六章 扭转
第六章 扭转\扭矩与扭矩图 3）绘出扭矩图如图所示。
350 ＋
－ 223
573 T图(单位：N ·m)
由图可知，最大扭矩发生在CA段轴的各横截面上,其值为
T 573N m max
目录
第六章 扭转\圆轴扭转时的应力与强度计算
6.3 圆轴扭转时的应力和强度计算
6.3.1 圆轴的扭转试验
1. 扭转试验现象与分析 图（a）所示为一圆轴，在其表面画上若干条纵向线和圆周线， 形成矩形网格。扭转变形后[图（b）]，在弹性范围内，可以观察到 以下现象：
点G的纵向线EG的倾斜角为， 即为E点处的切应变。
目录
第六章 扭转\圆轴扭转时的应力与强度计算
令G点到轴线的距离为，由几何关系知
tan
GG EG
d
dx
由于在同一横截面处 d 为一个常量，因此上式表明，横截
dx
面上任一点处的切应变与该点到圆心的距离成正比。这就是变形
1）各纵向线都倾斜了一个微小的角度，矩形网格变成了平行
四边形。 2）各圆周线的形状、大小及间距保持不变，但它们都绕轴线转
动了不同的角度。
目录
第六章 扭转\圆轴扭转时的应力与强度计算
根据以上观察到的现象，可以作出如下的假设及推断： ① 由于各圆周线的形状、大小及间距保持不变，可以假设圆 轴的横截面在扭转后仍保持为平面，各横截面象刚性平面一样绕轴 线作相对转动。这一假设称为圆轴扭转时的平面假设。 ② 由于各圆周线的间距保持不变，故知横截面上没有正应力。 ③ 由于矩形网格歪斜成了平行四边形，即左右横截面发生了 相对转动，故可推断横截面上必有切应力τ，且切应力的方向垂直于 半径。
上式就是圆轴扭转时横截面上任一点处切应力大小的计算公式。切 应力的方向则与半径垂直，并与扭矩的转向一致。
工程力学弯扭组合
Fy
Fz
A 1 B 100 300
Fy F'y
d
C
F'y Fz
1
D 300 2
2 F'z
F'z
D1 D2
上海应用技术学院
Fy Fz
A 1 B 100 300
Fy F'y
d
C
F'y
Fz
1 2
11
2 F'z
300
D
F'z
Fy M1 Fz
A
y M2
B
F'y
C
D1 D2
D
z 解：1. 外力分析
x
32 M 0.75 T 2 πd 3
2
O
x
32 1.0642 106 0.75 1 106 99.4MPa [σ ] 3 π 0.052
∴ 轴满足强度要求。
上海应用技术学院
例4 已知一单级直齿圆柱齿轮减速器输出轴，齿轮轮齿受力：14 Ft= 4053 N，Fr=1475.2 N，输出转矩T= 664669 N· mm，支 承间跨距 l=180mm，齿轮对称布置，轴的材料为 45钢，许 用应力[s ]=100 MPa。 试按第三强度理论确定该轴危险截面处的直径 d。
上海应用技术学院
㊀
x Me
–Fl
O
x
3. 应力分析 由危险截面上的s、t 分布可知： a、b点为危险点： 取单元体： a b A M O T
㊉
F
2 MesMa来自lBsM
M σM W T T sM τT Wp 2W
tT tT
b
扭转时的强度计算.
一、强度计算
1 强度条件： 塑性材料： 脆性材料：
Mn max WP 0.5 0.6
0.8 1.0
2 强度计算的三个方面： a、强度校核 b、截面选择 c、许可荷载确定
• 例1
• • • •
Wp
D3
1 16
4
d 90 2 2.5 0.944 D 90
4 3
•将
得
Wp
903
16
1 0.944 29400m m ，代入上式，
Mn 1.5 103 51MPa 60MPa max 9 Wp 2940010
• 所以 该轴满足强度条件。如图为一钢圆轴，两端受外力偶m的作用，已知m=2.5 ，
Mn
KN.m,直径d=60m，许用应力为60MPa。试校核该轴的强度。 由平衡条件，得 （2） 校核强度 由公式 max
• 解：（1 ）计算扭矩
M n m 2.5KN .m
Mn ，得 WP
M n M n 2.5 103 16 max 2 59MPa 60MPa 2 W p d 6 10 16
•
所以，满足强度要求。
• 例2 如图为某汽车传动轴简图，传递的最大力矩m=1.5KN.m,
• • 轴为无缝钢管，外径D=90mm，厚T=2.5mm,已知许用剪应 力 60MPa ，试校核该轴的强度。
解：1. 求扭矩Mn. 取脱离体如图(b).
M n 1.5kN.m 由平衡条件 M x 0 得： Mn •2. 强度校核 由公式 max W p •式中 Wp 是空心圆截面的抗扭截面模量
弯曲与扭转组合变形的强度计算.
外力偶矩的大小为
10 M C M D 9550 N m 360 .38N m 265
则
Ft1
2M D
Fr1 Ft1 tan 1820 N tan20 662N
Fr 2 Ft 2 tan 4290 N tan20 1561 N
MC =(FT+Ft)D/2
FT+Fd=(8+4)kN=12kN M=(FT-Fd)D/2
c)
T=(FT-Ft)D/2
=(8-4)×0.5/2kN· m=1kN· m
FT+Fd与A、B处的约束力使轴产生
弯曲变形，附加力偶M与联轴器上的 外力偶使轴产生扭转变形，因此，轴
d) 图8-4
AB发生弯扭组合变形。
(2)作内力图 如图所示，轴在两相互垂直的平面内同时受到力的作用， 所以在两个平面内都会发生弯曲变形，同时也可以作出两个相
D2
2 360.38103 N 1820 N 396
2M D 2 360.38103 Ft 2 N 4290 N D2 168
Myz Mxy
133N· m
M max Mn max 和 max Wz Wn
式中，Mmax为危险截面上的弯矩；Mn为危险截面上的扭矩；Wz 为抗弯截面系数；Wn为抗扭截面系数。 第三、第四强度理论的强度条件分别为
xd 3 2 4 2 [ ]
xd 4 2 3 2 [ ]
第二节 弯曲与扭转组合变形的强度计算
一、弯曲与扭转组合变形的概念
Y A
C
F
Z
B x
a)
Y
A MA F Z
l
B
第六章 组合变形学习指导
第六章组合变形一．内容•组合变形的概念和危险点的应力状态。
•用叠加法计算拉伸(压缩)与弯曲组合、偏心拉压、斜弯曲的应力，用平面应力分析理论计算弯扭组合的应力。
•实验内容：弯扭组合梁电测实验，复杂应力状态下应力测试技术。
二．学习目标学完本章后，学生能够：•掌握组合变形的一般求解方法。
•熟练掌握拉伸(压缩)与弯曲、斜弯曲、偏心拉压、扭转与弯曲组合变形的概念和强度计算。
•了解截面核心概念和计算。
•学会弯扭组合梁的电测实验操作步骤。
三．重点和难点重点：采用叠加原理和平面应力分析理论计算拉（压）弯组合、斜弯曲、弯扭组合的最大应力，并进行强度校核。
难点：杆件组合变形下危险截面和危险点的确定；拉伸（压缩）和弯曲、和扭转组合时的强度校核。
四．学习建议1.无论何种形式的组合变形，首先将几组载荷分解成若干基本载荷，分别计算各基本载荷引起杆件横截面上的应力，然后进行叠加，当应力平行时，则求其代数和，否则（如正应力和切应力）将根据平面应力分析计算截面最大应力。
分析和求解组合变形习题的关键是分与合。
分，就是将同时作用的几组载荷分解成若干基本载荷，并分别计算杆件的应力。
合，则是将各基本变形引起的应力叠加起来，但不是简单的代数相加，而应是同一截面正应力或切应力矢量和，当应力平行时，则应是求其代数和，故应注意应力的方向。
这种分析方法适用于各种基本变形的组合变形，在学习时应注意分析方法和步骤，具体问题具体分析，不必强记一些计算公式。
在使用时要注意条件，如扭弯组合变形的强度条件适用于圆截面轴，虽然对非圆截面轴公式不再适用，但分析方法仍然与圆截面轴相同。
2.处理组合变形问题的方法，学习时应着意领会方法的实质，而不要只是记住有关的公式，因为组合变形问题是多种多样的，但处理原则是一致的。
如圆截面杆除承受弯扭组合变形外，同时还承受轴向拉（压）变形，按照以上处理原则，可以写出其强度条件为3.组合变形下，若危险点处为单向应力状态时，叠加只是一种代数运算；若危险点处为复杂应力状态时，叠加将是应力状态的叠加，其强度问题应使用适当的强度理论。
《汽车机械基础》第六章直梁的弯曲
灌南中专教师授课教案2018 /2019 学年第一学期课程汽车机械基础教学内容旧知复习：1.圆轴扭转的概念。
2.圆轴扭转的外力偶矩、扭矩的计算方法。
3.圆轴扭转的强度计算方法。
讲授新课：第六章材料力学基础第5节直梁的弯曲一、平面弯曲的概念1. 平面弯曲在工程实际中，把发生弯曲变形为主的构件称为梁，如跨江大桥两桥墩之间的横梁、汽车前梁等。
梁在自重和载荷的作用下会产生平面弯曲变形。
梁弯曲变形的受力特点：外力垂直于轴线或在轴线的平面内受到力偶的作用。
变形的特点：轴线在纵向对称平面内由直线弯曲成曲线。
2. 梁的基本类型根据支座对梁的约束，将梁简化为三种基本形式。
（1）简支梁梁的两端均用铰链支座约束，一端为固定铰链支座，另一端为活动铰链支座，如图6-26a所示。
（2）外伸梁简支梁的一端（或两端）伸出支座以外，如图6-26b所示。
（3）悬臂梁梁的一端为固定支座，另一端为自由端，如图6-26c所示。
3.载荷的简化作用在梁上的载荷可简化为以下三种形式。
（1）集中力集中力是将作用于梁上方的长度很短的力简化为作用于一点的力，单位为N或kN。
（2）集中力偶矩集中力偶矩是将作用于梁上方的长度很短的力偶矩简化为作用于某一截面的集中力偶矩，单位为N·m或kN·m。
（3）分布载荷分布载荷是指沿梁的长度或部分长度连续均匀分布的载荷，称为分布载荷。
单位长度上的力用q表示，称集度载荷，单位为N/m或kN/m。
二、梁弯曲变形的内力1.用截面法求梁的内力为了计算梁的强度，必须研究梁上各截面上的内力，分析内力和计算内力的方法仍旧采用截面法。
例6-8剪力和弯矩的大小、方向或转向的确定原则如下：（1）截面上剪力的大小等于此截面以左（或右）所有外力的代数和。
截面左侧的外力，向上取正号，向下取负号。
截面右侧的外力与此相反。
（2）截面上弯矩的大小等于此截面以左（或右）所有外力对该截面形心的力矩的代数和。
截面左侧的外力对截面形心的力矩顺时针转向为正，反之为负。
扭转强度计算公式
扭转强度计算公式
扭转强度是指材料可以承受持续转变外力的能力，它也是衡量材料结构强度的一个重要指标。
由于它对于确定材料性能及其结构安全性起着重要作用，因此了解扭转强度和计算其值非常重要。
扭转强度的计算可以通过以下公式来实现：T=F * r / J，其中T为扭转强度，F为外力，r为外力的作用半径，J为扭转截面积矩，即材料主轴线上的横截面积。
通过上述公式可以看出，要计算扭转强度，必须先确定外力F和扭转截面积矩J的大小。
外力F是指作用在材料上的外力，可以通过实验来确定。
而扭转截面积矩J是指材料的横截面积，可以通过实验或理论计算来确定。
在实际应用中，扭转强度的计算还受到水平和垂直外力的影响，因此，在计算扭转强度时，必须考虑外力的方向和强度。
在计算扭转强度时还要考虑材料的尺寸、形状和结构，以及外力的作用点。
这些因素都会影响材料的扭转强度，因此，在计算扭转强度时，必须将这些因素考虑在内。
要计算材料扭转强度，必须先确定外力F和扭转截面积矩J，还要考虑材料尺寸、形状和结构以及外力方向和强度等因素。
通过恰当的计算，可以准确地测量出材料的扭转强度，从而为结构的安全性
提供可靠的参考。
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Tm a x WP
[ ]
其中实心轴
Wp
d3
16
0.2d 3
空心轴
Wp
D3
16
(1 4 )
( d )
D
❖ 例3 某传动轴所传递的功率P=80kW,其转速 n=580prm，直径d=55mm，材料的许可切应 力[τ]=50MPa ，试校核轴的强度。
解：传动轴的外力偶矩为：
M 9549 P 9549 80 1317.1Ngm
Me=9549 n(Pr(/kmWi)n)(N.m)
2.扭矩与扭矩图
T
x
用平行于轴线的 x
坐标表示横截面的位置，用垂直于 x 轴的坐标T表示横 截面扭矩的大小，描画出截面扭矩随截面位置变化的曲线， 称为扭矩图。
截面法求扭矩
Me
m
Me
T Me 0
T M e Me
扭矩正负规定：
m
T
Me
右手法则
T
例1 主动轮A的输入功率PA=36kW，从动轮B、C、D输出功率分别为 PB=PC=11kW，PD=14kW，轴的转速n=300r/min.试求传动轴指定截面 的扭矩，并做出扭矩图。
MB
MC
MD
T
MA
x
350N.m 700N.m
1146N.m
结论：传动轴上主动轮和从动轮的安放位置不同，轴 所承受的最大扭矩(内力)也就不同。显然，这种布局是 不合理的。
二、圆轴扭转时的应力与强度计算 1.圆轴扭转时的变形特征:
Me
Me
1)各圆周线的形状大小及圆周线之间的距离均无变化； 各圆周线绕轴线转动了不同的角度。 2)所有纵向线仍近似地为直线，只是同时倾斜了同一
解： 求AB、BC段扭矩
TAB= -5kN.m TBC= -1.8kN.m
根据切应力计算公式:
ABmax
TTAB WAB
5106 0.2 803
48.83MPa
BC max
TBC WBC
1.8 106 0.2 503
72MPa
三、 圆轴扭转强度计算 等截面圆轴扭转的强度设计准则
max
1、校核传动轴的强度；2、与同性能实心轴的重量比。
解：1、校核强度
max
T WP
T
0.2D3 (1 4 )
1.5 106
0.2
D3[1
(
D2t D
)4
]
带入数据后得：τmax＝50.33MPa<[τ]＝60MPa;强度足够
2、设计实心轴直径D1（两轴的最大工作切应力相等)
max
T WP
T ；即 0.2D13
扭转变形的特点： 受力特点：
在垂直于杆件轴线的平面内，作用了一对大小相 等，转向相反，作用平面平行的外力偶矩。 变形特点： 杆件任意两横截面都发生了绕杆件轴线的相对转动。
研究对象： 轴(以扭转变形为主的杆件）
一、扭矩与扭矩图 1.外力偶矩的计算
扭转时的内力称为扭矩。截面上的扭矩与作用在轴 上的外力偶矩组成平衡力系。扭矩求解仍然使用截面法。
解：1)由外力偶矩的计算 公式求个轮的力偶矩：
M A = 9549 PA/n =9550x36/300 =1146 N.m M B =M C = 9549 PB/n = 350 N.m M D = 9549 PD/n = 446 N.m
2)分别求1-1、2-2、3-3截面上的扭矩，即为 BC,CA,AD段轴的扭矩。
D1
3
T
0.2 max
3
1.5 106 0.2 50.3
53.03mm
3、两轴重量比
G实心轴 A1L D12 G空心轴 A2 L D 2 d 2
532 3.21 902 852
第三节 弯曲内力
一、平面弯曲的概念
角度 。
平面假设：圆轴扭转变形后各个横截面仍为 平面，而且其大小、形状以及相邻两截面之 间的距离保持不变，横截面半径仍为直线。
推断结论：
1.横截面上各点无轴向变形,故截面上无正应力。
2.横截面绕轴线发生了旋转式的相对错动，发生了
剪切变形，故横截面上有切应力存在。
3.各横截面半径不变，所以切应力方向与截面半径方 向垂直。
— 欲求应力的点到圆心的距离（mm）
I p — 截面对圆心的极惯性矩（mm4）
max
T max
IP
T IP
max
T WP
W p为抗扭截面系数( mm
3 )
M Pa
极惯性矩与抗扭截面系数表示了截面的几何性质，其大小只 与截面的形状和尺寸有关。工程上经常采用的轴有实心圆轴和空 心圆轴两种，它们的极惯性矩与抗扭截面系数按下式计算：
由 T1 + M B = 0 得:T1 = -M B =-350N.m
由 M B + M C + T2 =0
得:T2 =-M B -M C =-700N.m 由 M D -T3 = 0
得:T3 = M D = 446N.m
T
3)画扭矩图：
446N.m x
350N.m 700N.m
对于同一根轴来说，若把 主动轮A安置在轴的一端， 例如放在右端，则该轴的 扭矩图为：
n
580
工作切应力的最大值：
max
T WP
M 0.2d 3
1317.1103 0.2 553
39.58MPa [ ] 50MPa
强度足够！
❖ 例4 汽车传动轴由45＃无缝钢管制成。已知[τ]=60MPa，若 钢管的外径D＝90mm，管壁厚t=2.5mm，轴所传动的最大扭矩 T=1.5kN.m.
4.距离圆心越远的点，它的变形就越大。在剪切比 例极限内，切应力与切应变总是成正比，这就是 剪切虎克定律。
因此，各点切应力的大小与该点到圆心的距离成正比， 其分布规律如图所示 ：
根据横截面上切应力的分布规
律，又根据静力平衡条件，推
导出距圆心为 的切应力 计
算公式如下：
Tmm）
第六章 扭转与弯曲的强度计算
第一节 圆轴扭转时的内力、应力和强度计算
▪ 载荷特点：受绕轴线方向力 偶作用（力偶作用面平行于 横截面）
▪ 变形特点：横截面绕轴线 转动
▪ 内力：作用面与横截面重 合的一个力偶，称为扭矩T
T=M
正扭矩的规定：其转向与截面外法向构成右手系
工程中发生扭转变形的构件
工程中发生扭转变形的构件
实心轴:
Ip
D4
32
0.1D4
Wp
Ip
max
D 3
16
0.2D3
空心轴:
d/D
Ip
D4
32
d 4
32
D4
32
1 4
0.1D4 1 4
Wp
Ip
max
D 3
16
1 4
0.2D3 1 4
例2 如图所示,已知M1=5kNm，M2=3.2kNm，M3=1.8kNm， AB=80mm，BC=50mm。求此轴的最大切应力。