弯曲杆的强度计算

种梁的弯曲平面与外力作用平面
相重合的弯曲称为平面弯曲。 7.3
7.4
二
1、 截面法求内力
平面弯曲内力—剪力与弯矩
问题：梁在发生平面弯曲变形时，横截面上会产生何种内力素？在 横截面上会有几种内力素同时存在？如何求出这些内力素？ 例：欲求图示简支梁任意截面1-1 上的内力。 1.截开： 在1-1截面处将梁截分为左、右两部 分，取左半部分为研究对象。
标x 表示横截面的位置，则其剪力和弯矩都可以表示为
即：
x 的函数。
VS VS ( x) M M ( x)
将其称为梁的剪力方程与弯矩方程。
列内力方程时应根据梁上载荷的分布情况分段进行，集中力（包括 支座反力）、集中力偶的作用点和分布载荷的起、止点均为分段点。
7.12
2、 剪力图与弯矩图
M=∑M左
或
M=∑M右
7.11
说明：梁内任意横截面上的弯矩数值等于该截面一侧所有外力 对该截面形心力矩的代数和。 规律：下凸外力距取正
子情境二
单跨静定梁弯曲时的内力图绘制方法
一、绘制内力图的第一种方法—内力方程法 1、内力方程、剪力方程和弯矩方程
梁横截面上的剪力与弯矩是随着截面的位置而发生变化的，以横坐
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子情境一
单跨静定梁弯曲时的内力计算
一、平面弯曲的概念与实例 弯曲是工程实际中最常见的一种基本变形。
例如：火车轮轴受力后的变形；
工厂车间里的行车受力后的变形； 还有水泥梁、公路上的桥梁等受力后的变形。
弯曲：构件在通过其轴线的面内，受到
力偶或垂直于轴线的横向外力的作用（受力 特点），杆的轴线由直线变为曲线（变形特
dV ( x) q ( x) dx
几何意义：剪力图上某点切线的斜率等于相应截面处的分布荷 载集度。
结论二：
dM ( x) V (x) dx
几何意义：弯矩图上某点切线的斜率等于相应截面处的剪力。
7.14
d 2 M ( x) q( x ) 结论三： 2 dx
几何意义：弯矩图上某点曲率的斜率等于相应截面处的分布 荷载集度。 2. 用微分关系法绘制剪力图和弯矩图 （1）某段梁若q(x)=0，即为无荷载梁段时：则V=常数，即剪力图时 一条平行于X轴的直线；M=一次函数，即M为斜率是V的斜直线。 （2）某段梁若q(x)=常数，即为均布荷载时：则V=一次函数，即剪 力是一条斜直线；M=二次函数，即弯矩图为二次抛物线。（当q<0 时，M图为向下凸的抛物线，当q>0时， M图为向上凸的抛物线） （3）当V(x)=0的截面处，则该截面上M（x）取极值：即剪力等于 零的截面上，弯矩具有极值；反之，弯矩具有极值的截面上，剪 力一定等于零。
（3）选用好的材料。
7.20
Байду номын сангаас
M ：是横截面上法向分布内力分量的合力偶矩，因在纵向对称面内且 与截面垂直，故称为截面1-1的弯矩。
7.6
2.内力符号规定：
•剪力符号:
+Q
-Q
•弯矩符号: +M
-M
7.7
3、用截面法计算指定截面上的剪力和弯矩的步骤
第一步：计算支座反力
第二步：利用假想的截面在所求内力处将梁截成两 段，取其中任意一段为研究对象
许用应力
7.19
max
Vmax S *max [ ] IZb
三、提高梁的强度的措施
一般情况下，梁的正应力强度条件
是梁弯曲强度计算的主要依据。由强度条件可知，要提高梁的弯曲 强度可以从三个方面着手： （1）合理调整梁的受力情况，以降低危险截面上的最大弯矩值。
（2）采用合理的截面形式，以提高梁的抗弯截面系数。
点）。
7.2
§7.1 平面弯曲的概念与实例 梁：变形为弯曲变形或以弯曲变形为主的杆件，工程上习惯称之为梁。 平面弯曲：工程上常见的梁， 其横截面往往有一根对称轴，对 称轴与梁轴所组成的平面，称为 纵向对称轴。当作用于梁上的所 有外力（包括横向外力、力偶、 支座反力等）和外力偶都位于纵 向对称平面内，梁变形后，轴线 将在此纵向对称平面内弯曲，这
为了一目了然地表示出梁的各横截面上剪力与弯矩沿梁轴 线的分布的变化规律，可以根据剪力方程和弯矩方程分别绘 制剪力图和弯矩图。以沿梁轴线的横坐标X表示梁横截面的位 置，以纵坐标表示相应横截面上的剪力或者弯矩。
正剪力画在X轴的上方，负剪力画在X轴下方 正弯矩画在X轴的下方，负弯矩画在X轴上方
7.13
二、绘制内力图的第一种方法—微分关系法 1. 梁的载荷集度q,剪力V,弯矩M之间的微分关系 研究可知，平面弯曲梁某段上的剪力、弯矩与荷载集度之间具 有下列微分关系： 结论一：
M
FAX F1 ( x a ) M 0 得
如取右半段为研究对象，同样可以求得截面1-1上的内力 F 和 M，但
S
左、右半段求得的 F 及M 数值相等，方向（或转向）相反。
S
2、 剪力和弯矩
FS ：是横截面上切向分布内力分量的合力，因与截面1-1相切，故称
为截面1-1的剪力。
2.代替：
在左半段的1-1截面处添画内 力FS 、 M，(由平衡解释)代替右半部分
对其作用。
7.5
§7.2 平面弯曲内力—剪力与弯矩 3.平衡：整个梁是平衡的，截开后的每一部分也应平衡。 由 由
F
y
FA F1 FS 0
C
得
FS FA F1 M FAX F1 ( x a)
第三步：画出研究对象的受力图（截面上的V和M都 假设为正的方向） 第四步：建立平衡方程，解出内力。
7.8
7.9
7.10
4、简便法计算内力
1）剪力的规律
V=∑Y左
或
V=∑Y右
说明：梁内任意横截面上的剪力数值等于该截面一侧所有外力 在垂直于梁的轴线方向上的投影的代数和。 规律：顺转投影取正 2）弯矩的规律
7.15
简捷的绘制梁的剪力图和弯矩图步骤如下： 第一步：分段，即根据梁上外力及支承等情况将梁分成若干段。 第二步：根据各段梁上的荷载情况，判断其剪力图和弯矩图的大 致形状。
第三步：利用计算内里的简便方法，直接求出若干控制截面上的 V值和M值。 第四步：逐段直接绘制出梁的V图和M图。
7.16
子情境三 单跨静定梁弯曲时的强度计算
7.18
2、梁横截面上的最大剪应力
z
VS bI z
IZ : 整个截面对中性轴z轴的惯性矩；
b : 横截面在所求应力点处的宽度； SZ*: 横截面上距中性轴为 y 的横线以 外部分的面积 A*对中性轴的静矩。
注：矩形截面梁上的最大剪应力发生在中性轴上（y=0）
二、梁的强度条件 1、梁的正应力强度条件 2、梁的剪应力强度条件
7.17
根据理论推导，梁弯曲时横截面上任一点的正应力的计算公 示为： 式中：M—横截面上的弯矩； My y—所计算应力的点到中性轴z的距离；
Iz
Iz—截面对中性轴的惯性距；
梁弯曲时横截面上任一点的正应力与弯矩和该点到中性轴的 距离成正比，与截面对中性轴的惯性距成反比，正应力沿截面 高度呈线性分布；中性轴上（y=0）各点处的正应力为零；在上、 下边缘处，正应力的绝对值最大。计算正应力时，M和y均用绝 对值代入。当截面上有正弯矩时，中性轴以下部分为拉应力， 以上部分为压应力；当截面有负弯矩时，则相反。 危险截面：产生最大正应力的截面。 危险点：危险截面上的最大应力。发生在距离中性轴最远的 上、下边缘处。
一、梁横截面上的最大正应力和剪应力 1、梁横截面上的最大正应力 梁弯曲后，其纵向层一部分产生伸长变形，另一部分则产生 缩短变形，二者交界处存在既不伸长也不缩短的一层，这一层称 为中性层。如图所示，中性层与横截面的交线为截面的中性轴。 通过进一步分析，各层纵向线应变应沿截面高度为线性变化 规律，从而得出，梁弯曲时横截面上的正应力沿截面高度呈线性 规律变化