-Lyapunov指数的计算方法
logistic映射李氏指数
logistic映射李氏指数
李氏指数（Lyapunov exponent）是一种用于描述动力系统稳定性的指标，它可以用于衡量在动力系统中微小扰动的放大程度。
李氏指数是一个数量，表示在相空间中两个非常接近的轨迹在时间演化中的分离速率。
对于一个动力系统，如果其李氏指数是正的，表明微小扰动会被放大，系统具有混沌特性；如果李氏指数是负的，表明微小扰动会趋于稳定，系统是稳定的。
逻辑映射（Logistic map）是一种常用的动力系统模型，它描
述了种群数量随时间的演化规律。
逻辑映射的公式为：x_n+1 = r * x_n * (1 - x_n)，其中x_n表示第n个时刻的种群数量，r
是一个常数，表示种群的增长率。
如果我们希望计算逻辑映射的李氏指数，可以通过以下步骤进行：
1. 选择一个初始值x_0。
2. 迭代计算逻辑映射的值：x_n+1 = r * x_n * (1 - x_n)，直到达到一定的迭代次数。
3. 在迭代过程中，记录相邻两个点之间的分离程度，比如可以计算每个点的两个邻近点之间的差值。
4. 最后，计算这些差值的平均值，然后取对数，得到李氏指数。
需要注意的是，逻辑映射是一种简单的动力系统模型，其李氏指数的计算可能相对简单。
而对于更复杂的动力系统模型，计算李氏指数可能需要更多的数值计算和近似方法。
lyapunov方程求数值解
lyapunov方程求数值解
Lyapunov方程是控制理论中的一个重要方程，用于求解线性系
统的稳定性。
Lyapunov方程的一般形式为AX + XA^T = -Q，其中A
是系统的状态矩阵，X是要求解的对称正定矩阵，Q是一个对称正定
矩阵。
Lyapunov方程的解决对于确定系统的稳定性和性能至关重要。
要求解Lyapunov方程的数值解，通常可以采用以下方法之一：
1. Schur分解法，这是一种常用的数值方法，它将状态矩阵A
分解为一个正交矩阵和一个上三角矩阵的乘积。
然后，可以将Lyapunov方程转化为一个更容易求解的形式，进而求解X的数值解。
2. 离散时间Lyapunov方程的数值解，对于离散时间系统，可
以利用迭代法或者数值线性代数方法来求解Lyapunov方程的数值解。
3. MATLAB等数学软件，许多数学软件包括MATLAB都提供了专
门用于求解Lyapunov方程的函数或工具箱，可以直接利用这些工具
来求解数值解。
无论采用哪种方法，都需要注意数值解的稳定性和精度，尤其
是在系统维度较大时。
此外，还需要对所得到的数值解进行验证，确保其满足Lyapunov方程的定义和性质。
总之，求解Lyapunov方程的数值解需要结合数值方法和专业工具，以确保得到准确可靠的结果。
不光滑混沌系统的Lyapunov指数计算
不光滑混沌系统的Lyapunov指数计算作者姓名：王欣欣指导教师：张玺麟副教授单位名称：电气自动化研究所专业名称：自动化清华大学2006年6月Computation of Lyapunov Exponents of Non-smooth Chaotic Systemsby Wang XinxinSupervisor: Associate Professor Zhang XilinTsinghua UniversityJune 2006清华大学本科毕业设计（论文）毕业设计（论文）任务书毕业设计（论文）任务书不光滑混沌系统的Lyapunov指数计算摘要混沌理论是20世纪三大科学革命之一。
从理论出现到现今，随着计算机技术的飞速前进，以及越来越多的学者关注混沌理论，混沌理论得到了巨大的发展。
其中，判断系统是否混沌的一个非常重要的指标就是Lyapunov指数。
可以比较容易的判断系统是否混沌。
首先本文介绍了混沌理论和Lyapunov指数，包括它们的定义、发展史及判断方法。
然后本文对重构相空间和Lyapunov指数进行了着重介绍，包括它们的定义，性质和算法。
本文用到的计算算法是C-C方法和Wolf方法（C-C法计算嵌入维数和延迟时间，Wolf方法计算最大Lyapunov指数），并且进行了相应的编程工作。
然后本文对Chua电路和振动系统进行了Lyapunov指数计算。
再改变参数，计算Lyapunov指数，分析出系统不同参数下的混沌性。
说明了混沌系统敏感依赖于参数和初始值。
最后总结全文，对所做工作和课题进行了展望。
关键词：Lyapunov指数，重构相空间，Chua电路，混沌，Wolf算法Computation of Lyapunov Exponents of Non-smooth Chaotic SystemsAbstractChaos theory is considered as the one of three scientific revolutions in 20th century. From the time that chaotic theory appeared to now, as the rapid development of computer technology, more and more scholars concerned about the chaos theory, and chaos theory has been so tremendous development.Where, a very important indicator to judge whether the system is chaotic is the Lyapunov exponent. It can be easier to judge whether the system is chaotic.First, this dissertation introduces chaos theory and the Lyapunov exponents, including their definition, history, and diagnosis method.Then, this article introduces the reconstruction of phase space and Lyapunov exponents detailedly, including their definition, character and algorithms. Algorithms used in this dissertation are Wolf and CC method (CC method is used to calculate embedding dimension and delay time, Wolf is used to calculate the maximum Lyapunov exponent), and these algorithms are programmed.And then, this dissertation calculates Lyapunov exponents of Chua circuit and vibration system. Then changing the parameters, calculate the Lyapunov exponents, judge that systems with different parameters is chaotic. Illustrates the sensitivity of that chaotic systems dependent on the parameters and initial value.Finally, conclude this dissertation, prospect this thesis.Keywords: Lyapunov exponent, phase space reconstruction, Chua circuit, chaos, Wolf method目录毕业设计（论文）任务书 (I)摘要 (II)ABSTRACT (III)第一章绪论......................................................................................................................... - 1 -1.1背景和意义 (1)1.2混沌理论和相关知识 (1)1.2.1混沌的定义.......................................................................................................... - 1 -1.2.2混沌发展史.......................................................................................................... - 2 -1.2.3混沌的基本特征.................................................................................................. - 6 -1.2.4混沌的判别方法.................................................................................................. - 7 - 1.3 Lyapunov指数. (7)1.3.1 Lyapunov指数的现状......................................................................................... - 7 -1.3.2 Lyapunov指数的性质......................................................................................... - 8 - 1.4本文内容介绍.. (9)第二章相空间重构及其参数选择.................................................................................... - 11 -2.1概述. (11)2.2相空间重构相关理论 (11)2.2.1相空间重构理论的概述.....................................................................................- 11 -2.2.2 Taknes定理........................................................................................................ - 12 - 2.3重构相空间参数的求取.. (13)2.3.1求取时间延迟τ的方法 .................................................................................... - 13 -2.3.2求取嵌入维数m的方法................................................................................... - 14 -2.3.3同时求取嵌入维数m和时间延迟τ的方法（C-C法）................................ - 14 - 2.4本章小结.. (18)第三章Lyapunov指数 .................................................................................................... - 19 -3.1Lyapunov指数的定义 .. (19)3.2关于Lyapunov指数的性质 (21)3.3计算Lyapunov指数的方法 (23)3.4本章小结 (24)第四章具体算法及实现................................................................................................... - 25 -4.1微分方程求解 (25)4.2C-C算法的具体实现 (26)4.2.1子程序设计：.................................................................................................... - 27 -4.2.2主程序设计........................................................................................................ - 29 - 4.3Wolf算法的具体实现.. (31)4.4本章小结 (32)第五章不光滑系统的Lyapunov指数和分析.................................................................. - 33 -5.1 Chua电路及其Lyapunov指数计算 (33)5.1.1 Chua电路介绍................................................................................................... - 33 -5.2.2 Chua电路的化简............................................................................................... - 36 -5.3.3不同参数下Chua电路的混沌性...................................................................... - 36 - 5.2振动系统的Lyapunov指数计算 (40)5.2.1振动系统的介绍和化简.................................................................................... - 40 -5.2.2振动系统的Lyapunov指数计算...................................................................... - 42 - 5.3本章小结.. (44)第六章总结与展望........................................................................................................... - 45 -参考文献............................................................................................................................. - 47 - 致谢..................................................................................................................................... - 51 -第一章 绪论1.1背景和意义随着科技的发展，混沌理论被越来越多的人熟知，尤其是计算机技术的飞速发展，计算机求解复杂方程时，精度和速度都达到了理想要求，而且混沌理论在越来越多的领域都有涉及，所以混沌的发展是前途光明的。
关于小数据量法计算最大Lyapunov指数的讨论
关于小数据量法计算最大Lyapunov指数的讨论*陆振波蔡志明姜可宇(海军工程大学电子工程学院, 武汉430033)摘要：本文讨论了小数据量法计算最大Lyapunov指数中的相关问题。
小数据量法对嵌入维、时延和平均周期的选取均具有比较好的鲁棒性。
指出了在平均周期无法确定的情况下，不考虑限制短暂分离，仍然可以得到比较准确的计算结果。
提出了如何正确选择一段线性区域来拟合最大Lyapunov指数，并确定了线性区域的下界，最后还讨论了加性噪声对计算结果的影响。
关键词：混沌，Lyapunov指数，时间序列分析Discussion on the Method for Calculating Largest LyapunovExponents from Small Data SetsLu Zhen-bo Cai Zhi-ming Jiang Ke-yu(College of Electronic Engineering, Navy Engineering University, WuHan 430033, China)Abstract: The problems on the method for calculating largest Lyapunov exponents from small data sets are discussed. The algorithm is robust the changes in the following quantities: embedding dimension, reconstruction delay and mean period of the time series. We indicate that the algorithm is still accurate without considering temporal separation, if the mean period is unknown. A new criterion of selecting linear zone for fitting the largest Lyapunov exponents is presented. In the end, the effects of additive noise is discussed.Key Words: chaos, Lyapunov exponents, time series analysis1引言近几年来，混沌信号的诊断及其特性的描述已经广泛地应用于时间序列的分析中。
logistic混沌系统的李雅普诺夫指数
logistic混沌系统的李雅普诺夫指数
对于logistic混沌系统，其李雅普诺夫指数（Lyapunov exponent）是用于描述系统混沌特性的重要参数。
具体来说，对于logistic混沌系统，其状态变量x满足以下微分方程：
dx/dt = αx(1 - x)
其中，α是一个正的常数。
通过对该微分方程进行稳定性分析，可以计算得到系统的李雅普诺夫指数。
当α小于某一临界值时，系统的解是稳定的，即系统处于稳定状态；当α大于该临界值时，系统的解变得不稳定，即系统进入混沌状态。
而该临界值与李雅普诺夫指数有关，具体计算方法可以参考相关混沌理论或数值计算方法的文献。
在实际应用中，通过计算李雅普诺夫指数可以判断系统的混沌特性，进一步应用于控制、同步等领域。
同时，也可以利用李雅普诺夫指数研究其他非线性系统，例如神经网络、化学反应等。
因此，李雅普诺夫指数对于理解混沌系统的动态行为和预测系统的长期演化具有重要意义。
李雅普诺夫指数
在计算lyapunov指数值的基础上弄清楚lyapunov指数与时间序列结构在较短的时间范围内稳定的前提条件下建立lyapunov指数一维二维及三维相空间的预测模式综合考虑各种模式的预测结果并对相空间模式的预测误差进行估计最后作出要素的气候预测
李雅普诺夫指数
ห้องสมุดไป่ตู้ 1.此指数的定义 2.此指数的划分意义 3.此指数用在混沌中，如何应用 4.此指数在其他方面的应用 5.此指数的几种计算方法
Lyapunov指数,特别是最大Lyapunov指数 即是系统混沌特性的度量特征量,对应于不 同的运行状态或故障模式,其Lyapunov指 数亦不相同,因而,可基于Lyapunov指数对 系统的 混沌状态进行识别,从而建立航空发动机状 态识别和故障诊断方法。
3.还可以用在判断混沌神经网络 4.用于围岩系统的载荷演化 还有许多方面的应用
该时间长序列是否为混沌系统,在某个方向 上是 指数辐散或辐合(膨胀或缩短),为短期 气候预测指明最大可以预报的时间尺度。 人们可以利用时间变量推出序列的关联维 数及其Lyapunov指数,揭示序列的非线性 演变特性和最大可预报的时间尺度,避免在 做气候预报时的时间尺度过大的情形。
在计算Lyapunov指数值的基础上,弄清楚 Lyapunov指数与时间序列结构在较短的时 间范围内稳定的前提条件下,建立 Lyapunov指数一维、二维及三维相空间的 预测模式,综合考虑各种模式的预测结果, 并对相空间模式的预测误差进行估计,最后 作出要素的气候预测。]
一李雅普诺夫指数的定义
李雅普诺夫指数是指在相空间中相互靠近 的两条轨线随着时间的推移，按指数分离 或聚合的平均变化速率。最大李雅普诺夫 指数定义为 其中，表示时刻最邻近两点间的距离；M 为计算总步数。
非线性地流-4-李雅普诺夫指数
1.李雅普诺夫指数
李雅普诺夫指数公式
两个系统：
xn1 f ( xn ),
yn1 f ( yn )
设其初始值微小误差 x0 ， 经y0 过一次迭代以后有：
x1 y1
f (x0 ) f ( y0 )
f (x0 ) f ( y0 ) x0 y0
x0 y0
df
dx x0
x0 y0
式中：
df lim f ( x0 ) f ( y0 )
dx x0
x0 y0
x0 y0
由第二次迭代得：
df
df df
x2 y2 dx x1 x1 y1 dx x1 dx x0 x0 y0
岔－霍夫分岔，平衡点 C1 与 C2 将失稳发展成为奇怪吸引子。 取 r = 28 时计算的结果如下。
2.奇怪吸引子-洛伦兹吸引子
洛伦兹吸引子的 指数
根据李雅普诺夫指数的含义，描述洛伦兹吸引子需 、1 、2三个指3 数，且
三个指数 之和为：
1 2
3
1 V
dV dt
(
1 b)
取参数 =10，b = 8/3，r = 28 得： 1 2 3 13.667
李亚谱诺夫指数是用来刻画混沌行为对初始条件的高度敏感性是用来度量从两个相邻初始点出发的两条轨道经过一段时间演化后他们之间的距离随时间按指数形式吸引或分离的程度
• 混沌的研究方法 ：
• 李亚普诺夫指数法：李亚谱诺夫指数是用来刻画混沌行为对 初始条件的高度敏感性，是用来度量从两个相邻初始点出发 的两条轨道，经过一段时间演化后，他们之间 的距离随时间 按指数形式吸引或分离的程度。可以区分 奇怪吸引子和其他 的吸引子。1983年，格里波基证明只 要最大李指数大于0,就 可以肯定混沌性的存在。
logistic lyapunov指数
logistic lyapunov指数
"Logistic Lyapunov指数" 是指在混沌理论和动力系统中，用于描述非线性系统稳定性和混沌性质的一种方法。
在具体的上下文中，这可能涉及到描述 Logistic 映射的 Lyapunov 指数。
Logistic 映射是一种典型的非线性动力系统，通常用于模拟种群的增长。
其表达式为：
其中，xn 是当前时刻的种群比例，r 是一个表示生殖率的参数。
Lyapunov 指数用于衡量动力系统中微小扰动的增长率，以此来判断系统的稳定性。
对于Logistic 映射，通过计算Lyapunov 指数，可以得知系统是否表现出混沌行为。
计算 Lyapunov 指数的具体方法是，通过考虑初始状态和微小扰动δ，然后迭代计算：
这里，δn 是每一步微小扰动的大小。
Lyapunov 指数就是计算微小扰动随时间的指数增长率。
在具体的数学计算中，可以通过对多个初始条件和微小扰动进行模拟，计算 Lyapunov 指数的平均值来获得更可靠的结果。
需要注意的是Lyapunov 指数通常用于描述混沌系统，而Logistic 映射在某些参数范围内表现出混沌行为。
这种方法对于研究非线性动力系统的行为和稳定性非常有用。
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-Lyapunov指数的计算方法【总结】Lyapunov 指数的计算方法非线性理论近期为了把计算LE的一些问题弄清楚，看了有7～9本书！下面以吕金虎《混沌时间序列分析及其应用》、马军海《复杂非线性系统的重构技术》为主线，把目前已有的LE计算方法做一个汇总！1. 关于连续系统Lyapunov指数的计算方法连续系统LE的计算方法主要有定义方法、Jacobian方法、QR分解方法、奇异值分解方法，或者通过求解系统的微分方程，得到微分方程解的时间序列，然后利用时间序列（即离散系统）的LE求解方法来计算得到。
关于连续系统LE的计算，主要以定义方法、Jacobian方法做主要介绍内容。
（1）定义法23定义法求解Lyapunov 指数.JPG关于定义法求解的程序，和matlab 板块的“连续系统LE 求解程序”差不多。
以Rossler 系统为例Rossler 系统微分方程定义程序function dX = Rossler_ly(t,X)% Rossler 吸引子，用来计算Lyapunov 指数% a=0.15,b=0.20,c=10.0% dx/dt = -y-z,% dy/dt = x+ay,% dz/dt = b+z(x-c),a = 0.15;b = 0.20;c = 10.0;x=X(1); y=X(2); z=X(3);% Y 的三个列向量为相互正交的单位向量Y = [X(4), X(7), X(10);X(5), X(8), X(11);X(6), X(9), X(12)];% 输出向量的初始化，必不可少dX = zeros(12,1);% Rossler 吸引子dX(1) = -y-z;dX(2) = x+a*y;dX(3) = b+z*(x-c);% Rossler 吸引子的Jacobi 矩阵Jaco = [0 -1 -1;1 a 0;z 0 x-c];dX(4:12) = Jaco*Y;求解LE代码：% 计算Rossler吸引子的Lyapunov指数clear;yinit = [1,1,1];orthmatrix = [1 0 0;0 1 0;0 0 1];a = 0.15;b = 0.20;c = 10.0;y = zeros(12,1);% 初始化输入y(1:3) = yinit;y(4:12) = orthmatrix;tstart = 0; % 时间初始值tstep = 1e-3; % 时间步长wholetimes = 1e5; % 总的循环次数steps = 10; % 每次演化的步数iteratetimes = wholetimes/steps; % 演化的次数mod = zeros(3,1);lp = zeros(3,1);% 初始化三个Lyapunov指数Lyapunov1 = zeros(iteratetimes,1); Lyapunov2 = zeros(iteratetimes,1); Lyapunov3 = zeros(iteratetimes,1);for i=1:iteratetimestspan = tstart:tstep:(tstart + tstep*steps);[T,Y] = ode45('Rossler_ly', tspan, y);% 取积分得到的最后一个时刻的值y = Y(size(Y,1),:);% 重新定义起始时刻tstart = tstart + tstep*steps;y0 = [y(4) y(7) y(10);y(5) y(8) y(11);y(6) y(9) y(12)];%正交化y0 = ThreeGS(y0);% 取三个向量的模mod(1) = sqrt(y0(:,1)'*y0(:,1));mod(2) = sqrt(y0(:,2)'*y0(:,2));mod(3) = sqrt(y0(:,3)'*y0(:,3));4y0(:,1) = y0(:,1)/mod(1);y0(:,2) = y0(:,2)/mod(2);y0(:,3) = y0(:,3)/mod(3);lp = lp+log(abs(mod));%三个Lyapunov指数Lyapunov1(i) = lp(1)/(tstart);Lyapunov2(i) = lp(2)/(tstart);Lyapunov3(i) = lp(3)/(tstart);y(4:12) = y0';end% 作Lyapunov指数谱图i = 1:iteratetimes;plot(i,Lyapunov1,i,Lyapunov2,i,Lyapunov3)程序中用到的ThreeGS程序如下：%G-S正交化function A = ThreeGS(V) % V 为3*3向量v1 = V(:,1);v2 = V(:,2);v3 = V(:,3);a1 = zeros(3,1);a2 = zeros(3,1);a3 = zeros(3,1);a1 = v1;a2 = v2-((a1'*v2)/(a1'*a1))*a1;a3 = v3-((a1'*v3)/(a1'*a1))*a1-((a2'*v3)/(a2'*a2))*a2;A = [a1,a2,a3];计算得到的Rossler系统的LE为———— 0.063231 0.092635 -9.8924Wolf文章中计算得到的Rossler系统的LE为————0.09 0 -9.77需要注意的是——定义法求解的精度有限，对有些系统的计算往往出现计果和理论值有偏差的现象。
正交化程序可以根据上面的扩展到N*N向量，这里就不加以说明了，对matlab用户来说应该还是比较简单的！（2）Jacobian方法通过资料检索，发现论坛中用的较多的LET工具箱的算法原理就是Jacobian 方法。
基本原理就是首先求解出连续系统微分方程的近似解，然后对系统的Jacobian矩阵进行QR分解，计算Jacobian矩阵特征值的乘积，最后计算出LE和分数维。
经过计算也证明了这种方法精度较高，对目前常见的混沌系统，如Lorenz、5Henon、Duffing等的Lyapunov指数的计算精度都很高，而且程序编写有一定的规范，个人很推荐使用。
（虽然我自己要做的系统并不适用）LET工具箱可以在网络上找到，这里就不列出了！关于LET工具箱如果有问题，欢迎加入本帖讨论！Jacobian法求解Lyapunov指数.JPG对离散动力系统，或者说是非线性时间序列，往往不需要计算出所有的Lyapunov指数，通常只需计算出其最大的Lyapunov指数即可。
“1983年，格里波基证明了只要最大Lyapunov指数大于零，就可以肯定混沌的存在”。
目前常用的计算混沌序列最大Lyapunov指数的方法主要有一下几种：（1）由定义法延伸的Nicolis方法（2）Jacobian方法（3）Wolf方法（4）P－范数方法（5）小数据量方法其中以Wolf方法和小数据量方法应用最为广泛，也最为普遍。
下面对Nicolis方法、Wolf方法以及小数据量方法作一一介绍。
（1）Nicolis方法这种方法和连续系统的定义方法类似，而且目前应用很有限制，因此只对其理论进行介绍，编程应用方面就省略了Nicolis方法求最大LE.JPG（2）Wolf方法Wolf方法求最大LE.JPGWolf方法的Matlab程序如下：function lambda_1=lyapunov_wolf(data,N,m,tau,P)% 该函数用来计算时间序列的最大Lyapunov 指数--Wolf 方法% m: 嵌入维数！一般选大于等于10% tau:时间延迟！一般选与周期相当，如我选2000 % data:时间序列！可以选1000；% N:时间序列长度满足公式：M=N-(m-1)*tau=24000-(10-1)*1000=5000% P:时间序列的平均周期,选择演化相点距当前点的位置差，即若当前相点为I，则演化相点只能在|I－J|>P的相点中搜寻! P=周期=600% lambda_1: 返回最大lyapunov指数值min_point=1 ; %&&要求最少搜索到的点数MAX_CISHU=5 ; %&&最大增加搜索范围次数%FLYINGHAWK% 求最大、最小和平均相点距离6max_d = 0; %最大相点距离min_d = 1.0e+100; %最小相点距离avg_dd = 0;Y=reconstitution(data,N,m,tau); %相空间重构可将此段程序加到整个程序中，在时间循环内，可以保存时间序列的地方。
见完整程序。
M=N-(m-1)*tau; %重构相空间中相点的个数for i = 1 : (M-1)for j = i+1 : Md = 0;for k = 1 : md = d + (Y(k,i)-Y(k,j))*(Y(k,i)-Y(k,j));endd = sqrt(d);if max_d < dmax_d = d;endif min_d > dmin_d = d;endavg_dd = avg_dd + d;endendavg_d = 2*avg_dd/(M*(M-1)); %平均相点距离dlt_eps = (avg_d - min_d) * 0.02 ; %若在min_eps～max_eps中找不到演化相点时，对max_eps的放宽幅度min_eps = min_d + dlt_eps / 2 ; %演化相点与当前相点距离的最小限max_eps = min_d + 2 * dlt_eps ; %&&演化相点与当前相点距离的最大限% 从P+1～M-1个相点中找与第一个相点最近的相点位置(Loc_DK)及其最短距离DKDK = 1.0e+100; %第i个相点到其最近距离点的距离Loc_DK = 2; %第i个相点对应的最近距离点的下标for i = (P+1):(M-1) %限制短暂分离，从点P+1开始搜索d = 0;for k = 1 : md = d + (Y(k,i)-Y(k,1))*(Y(k,i)-Y(k,1));endd = sqrt(d);if (d < DK) & (d > min_eps)DK = d;Loc_DK = i;7endend% 以下计算各相点对应的李氏数保存到lmd()数组中% i 为相点序号，从1到(M-1)，也是i-1点的演化点；Loc_DK为相点i-1对应最短距离的相点位置，DK为其对应的最短距离% Loc_DK+1为Loc_DK的演化点，DK1为i点到Loc_DK+1点的距离，称为演化距离% 前i个log2（DK1/DK）的累计和用于求i点的lambda值sum_lmd = 0 ; % 存放前i个log2（DK1/DK）的累计和for i = 2 : (M-1) % 计算演化距离DK1 = 0;for k = 1 : mDK1 = DK1 + (Y(k,i)-Y(k,Loc_DK+1))*(Y(k,i)-Y(k,Loc_DK+1));endDK1 = sqrt(DK1);old_Loc_DK = Loc_DK ; % 保存原最近位置相点old_DK=DK;% 计算前i个log2（DK1/DK）的累计和以及保存i点的李氏指数 if (DK1 ~= 0)&( DK ~= 0)sum_lmd = sum_lmd + log(DK1/DK) /log(2);endlmd(i-1) = sum_lmd/(i-1); 此处可以保存不同相点i对应的李氏指数，见完整程序。