中考数学三角形的内切圆
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中考数学直角三角形内切圆答题技巧
中考数学直角三角形内切圆答题技巧中考数学直角三角形内切圆答题技巧我们知道应用面积法可以处置直角三角形内切圆半径的效果，在此基础上发现假定有两个等圆内切于直角三角形中，也可按面积法求解，详细进程如下。
：在Rt⊿ABC中，⊙O1 ,⊙O2两等圆外切于H, ⊙O1 切AC、AB于D、E两点，⊙O2 切BC、AB于F、G两点，假定AC=4,BC=3，求⊙O1与⊙O2的半径。
解：衔接O1 A, O1 D, O1 E, O1 C, O1 O2, O2 C, O2 F, O2 B, O2 G, O1 G,过C作CIAB交AB于I,交O1 O2于J设⊙O1与⊙O2的半径为r∵⊙O1 ,⊙O2两等圆外切于H, ⊙O1 切AC、AB于D、E两点，⊙O2 切BC、AB于F、G两点O1 DAC , O1 EAB, O2 GAB, O2 FBCS⊿AO1C=ACO1D=2r S⊿BO2C=BCO2F=1.5rS⊿AO1G+ S⊿O2GB =AGO1E+GBO2G=r(AG+ GB)=2.5r又∵CIAB交AB于I,交O1 O2于JCJ+ O2G = CJ+JI=CI CI==2.4S⊿CO1 O2+S⊿O1 O2G =O1 O2CJ+O1 O2O2G=O1 O2CI=2.4r即S⊿ABC= S⊿AO1C+ S⊿BO2C+ S⊿AO1G+ S⊿O2GB+ S⊿CO1 O2+ S⊿O1 O2G==68.4r=6 , r=现推行到普通状况在Rt⊿ABC中C=90，⊙O1 ,⊙O2⊙On(n为正整数)两两等圆外切, ⊙O1切AC、AB,⊙On 切BC、AB, 假定AC=b,BC=a,求⊙O1 ，⊙O2 ,⊙On的半径。
解：用类比思想我们可以知道,设⊙O1 ，⊙O2 ,⊙On的半径为rS⊿ABC = S1+ S2+ (S3+ S4)+ (S5+ S6)=br+ar+r+2(n-1)r 又∵S⊿ABC =abr=。
中考数学复习----《三角形的内切圆与内心》知识点总结与专项练习题(含答案解析)
中考数学复习----《三角形的内切圆与内心》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1. 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
几何语言：若弦CD AB ，交于点P ，则PD PC PB PA ⋅=⋅。
推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
几何语言：若AB 是直径，CD 垂直AB 于点P ，则PB PA PD PC ⋅==22。
2. 弦切角定理：（1）弦切角的定义：如图像∠ACP 这样，顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。
（2）弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半。
等于这条弧所对的圆周角。
即∠PCA=∠PBC 。
3. 切线长定理：（1）切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角。
4. 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线∴PT2=PA•PB（切割线定理）。
推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
几何语言：∵PBA，PDC是⊙O的割线∴PD•PC=PA•PB由上可知：PT2=PA•PB=PC•PD。
5. 三角形的内切圆与内心：内切圆与内心的概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。
三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点。
练习题1、（2022•恩施州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，⊙O为Rt△ABC的内切圆，则图中阴影部分的面积为（结果保留π）．【分析】根据题意，先作出相应的辅助线，然后求出内切圆的半径，再根据图形可知：阴影部分的面积＝△ABC的面积﹣正方形CEOD的面积﹣⊙O面积的，代入数据计算即可．【解答】解：作OD⊥AC于点D，作OE⊥CB于点E，作OF⊥AB于点F，连接OA、OC、OB，如图，∵∠C＝90°，OD＝OE＝OF，∴四边形CEOD是正方形，∵AC＝4，BC＝3，∠C＝90°，∴AB＝＝＝5，∵S△ABC＝S△AOC+S△COB+S△BOA，∴＝，解得OD＝OE＝OF＝1，∴图中阴影部分的面积为：﹣1×1﹣π×12×＝5﹣π，故答案为：5﹣π．2、（2022•泰州）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，O为内心，过点O的直线分别与AC、AB边相交于点D、E．若DE＝CD+BE，则线段CD的长为．【分析】连接BO，CO，结合内心的概念及平行线的判定分析可得当DE＝CD+BE时，DE∥BC，从而利用相似三角形的判定和性质分析计算．【解答】解：如图，过点O的直线分别与AC、AB边相交于点D、E，连接BO，CO，∵O为△ABC的内心，∴CO平分∠ACB，BO平分∠ABC，∴∠BCO＝∠ACO，∠CBO＝∠ABO，当CD＝OD时，则∠OCD＝∠COD，∴∠BCO＝∠COD，∴BC∥DE，∴∠CBO＝∠BOE，∴BE＝OE，则DE＝CD+BE，设CD＝OD＝x，BE＝OE＝y，在Rt△ABC中，AB＝＝10，∴，即，解得，∴CD＝2，过点O作D′E′⊥AB，作DE∥BC，∵点O为△ABC的内心，∴OD＝OE′，在Rt△ODD′和Rt△OE′E中，，∴△ODD′≌△OE′E（ASA），∴OE＝OD′，∴D′E′＝DE＝CD+BE＝CD′+BE′＝2+＝，在△AD′E′和△ABC中，，∴△AD′E′∽△ABC，∴，∴，解得：AD′＝，∴CD′＝AC﹣AD′＝，故答案为：2或．3、（2022•黔东南州）如图，在△ABC中，∠A＝80°，半径为3cm的⊙O是△ABC的内切圆，连接OB、OC，则图中阴影部分的面积是cm2．（结果用含π的式子表示）【分析】根据角A的度数和内切圆的性质，得出圆心角DOE的度数即可得出阴影部分的面积．【解答】解：∵∠A＝80°，⊙O是△ABC的内切圆，∴∠DOE＝180°﹣（）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝130°，∴S扇形DOE＝＝（cm2），故答案为：．4、（2022•宜宾）我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，则大正方形的面积为．【分析】如图，设内切圆的圆心为O，连接OE、OD，则四边形EODC为正方形，然后利用内切圆和直角三角形的性质得到AC+BC＝AB+6，（BC﹣AC）2＝49，接着利用完全平方公式进行代数变形，最后解关于AB的一元二次方程解决问题．【解答】解：如图，设内切圆的圆心为O，连接OE、OD，则四边形EODC为正方形，∴OE＝OD＝3＝，∴AC+BC﹣AB＝6，∴AC+BC＝AB+6，∴（AC+BC）2＝（AB+6）2，∴BC2+AC2+2BC×AC＝AB2+12AB+36，而BC2+AC2＝AB2，∴2BC×AC＝12AB+36①，∵小正方形的面积为49，∴（BC﹣AC）2＝49，∴BC2+AC2﹣2BC×AC＝49②，把①代入②中得AB2﹣12AB﹣85＝0，∴（AB﹣17）（AB+5）＝0，∴AB＝17（负值舍去），∴大正方形的面积为289．故答案为：289．。
切线长定理及三角形的内切圆(第3课时)九年级数学上册课件(人教版)
1.切线长定理及应用
互动探究
问题1 上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线 (如左图所示)，如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的 切线呢？过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？
A
P O
B
A
O.
P
B
知识要点
1.切线长的定义：
切线上一点到切点
A
之间的线段的长叫做这
则S△OBC=
1 2
ar,
S△OBA=
1
cr,
2
1 S△OAC= 2 br,
S△ABC=S△OBC +S△OBA +S△OAC
B
=
1 ar
2
+
12cr
+12
br
= 1 r（a+c+b）
2
= 12lr
A
M
· r r O r
D
N C
练一练
4.如图,在△ABC中,点P是△ABC的内心,则 ∠PBC+∠PCA+∠PAB= 90° .
1. PA、PB是☉O的两条切线，A,B是切点，OA=3.
A
（1）若AP=4,则OP= 5 ;
O
P
（2）若∠BPA=60 °,则OP= 6 .
B
例2 为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如 下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为
30°的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到 相关数据，进而可求得铁环的半径，若三角板与圆相
3．【中考·云南】如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、 AB分别相切于点D、E、F，且AB＝5，BC＝13，CA ＝12，则阴影部分(即四边形AEOF)的面积是( A )
中考数学三角形的内切圆
3.在学习有关概念时，应注意区别“内”与“外”，“接” 与“切”；还应注意“连结内心和三角形顶点”这一辅助 线的添加和应用．
能力训练 1、下列图形中，一定有内切圆的四边形是（ ）
（A）梯形 （B）菱形 （C）矩形 （D）平行四边形
https:///index.html 铠装缝
名称
确定方法
图形
性质
外心 （三角 形外接 圆的圆 心）
三角形三 边中垂线 的交点
B
内心（三 三角形三 角形内切 条角平分 圆的圆心） 线的交点
B
A O
C
（1） OA=OB=OC； （2）外心不一 定在三角形的
内部．
（1）到三边的
A
O
2
4
1
3
B
C
例3 如图，△ABC中，E是内心，∠A的平分线和△ABC
的外接圆相交于点D.
A
求证：DE＝DB
12
34
B5
O C
D
练习 分析作出已知的锐角三角形、直角三角形、钝角三 角形的内切圆，并说明三角形的内心是否都在三角形内．
（四）小结
1.学习了三角形内切圆、三角形的内心、圆的外切三角形、 多边形的内切圆、圆的外切多边形的概念．
第七章 圆
第九节 三角形的内切圆
（一）提出问题
如图，你能否在△ABC中画出一个圆？画出一个最大的圆
？想一想，怎样画?
A
B
C
例1 作圆，使它和已知三角形的各边都相切．
提出以下几个问题进行讨论：
A
（1）作圆的关键是什么?
中考数学直角三角形内切圆答题技巧
中考数学直角三角形内切圆答题技巧 中考数学直角三角形内切圆答题技巧我们知道利用面积法可以解决直角三角形内切圆半径的问题，在此基础上发现假设有两个等圆内切于直角三角形中，也可按面积法求解，具体过程如下。
：在Rt⊿ABC中，⊙O1,⊙O2两等圆外切于H, ⊙O1切AC、AB 于D、E两点，⊙O2切BC、AB于F、G两点，假设AC=4,BC=3，求⊙O1与⊙O2的半径。
解：连接O1 A, O1 D, O1 E, O1 C, O1 O2, O2 C, O2 F, O2 B, O2 G, O1 G,过C作CIAB交AB于I,交O1 O2于J设⊙O1与⊙O2的半径为r∵⊙O1,⊙O2两等圆外切于H, ⊙O1切AC、AB于D、E两点，⊙O2切BC、AB于F、G两点O1 DAC , O1 EAB, O2 GAB, O2 FBCS⊿AO1C=ACO1D=2r S⊿BO2C=BCO2F=1.5rS⊿AO1G+S⊿O2GB =AGO1E+GBO2G=r(AG+ GB)=2.5r又∵CIAB交AB于I,交O1 O2于JCJ+ O2G = CJ+JI=CI CI==2.4S⊿CO1 O2+ S⊿O1 O2G =O1 O2CJ+O1 O2O2G=O1 O2CI=2.4r即S⊿ABC=S⊿AO1C+S⊿BO2C+S⊿AO1G+S⊿O2GB+S⊿CO1O2+ S⊿O1 O2G==68.4r=6 , r=现推广到一般情况在Rt⊿ABC中C=90，⊙O1,⊙O2⊙On(n为正整数)两两等圆外切, ⊙O1切AC、AB,⊙On切BC、AB, 假设AC=b,BC=a,求⊙O1，⊙O2,⊙On的半径。
解：用类比思想我们可以知道,设⊙O1，⊙O2,⊙On的半径为r S⊿ABC = S1+ S2+ (S3+ S4)+ (S5+ S6)=br+ar+r+2(n-1)r又∵S⊿ABC =abr=。
2023年人教版数学中考复习考点专练——三角形的内切圆与内心(含答案)
2023年人教版数学中考复习考点专练——三角形的内切圆与内心一、单选题1．如图，⊙O内切于⊙ABC，切点为D，E，F，若⊙B=50°，⊙C=60°，连接OE，OF，DE，DF，⊙EDF等于（）A．45°B．55°C．65°D．70°2．下列命题是真命题的是（）A．对顶角相等B．平行四边形的对角线互相垂直C．三角形的内心是它的三条边的垂直平分线的交点D．三角分别相等的两个三角形是全等三角形3．如图，已知⊙ABC与⊙ACD都是直角三角形，⊙B=⊙ACD=90°，AB=4，BC=3，CD=12。
则⊙ABC的内切圆与⊙ACD的内切圆的位置关系是（）A．内切B．相交C．外切D．外离4．如图，⊙ABC中，⊙C＝90°，AC＝12，BC＝5，⊙O与⊙ABC的三边相切于点D、E、F，则AD长为（）A．8B．10C．12D．14 5．下列四个命题中，正确的个数是（）①经过三点一定可以画圆；②任意一个三角形一定有一个外接圆；③三角形的内心是三角形三条角平分线的交点；④三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等；⑤三角形的外心一定在三角形的外部．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 6．在⊙ABC 中，O 为内心，⊙A=80°，则⊙BOC=（ ）A ．140°B ．135°C ．130°D ．125° 7．若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，则其内切圆半径的长为（ ）A ．2 ﹣2B ．2﹣C ﹣1D 8．有如下四个命题：（1）三角形有且只有一个内切圆；（2）四边形的内角和与外角和相等；（3）顺次连接四边形各边中点所得的四边形一定是菱形；（4）一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形．其中真命题的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 9．已知一个三角形的三边长分别为5、7、8，则其内切圆的半径为（ ）A ．2B ．32CD ．10．如图，在 ABC ∆ 中， 60BAC ∠=︒ 其周长为20，⊙I 是 ABC ∆ 的内切圆，其半径为 ，则 BIC ∆ 的外接圆半径为（ ）A ．7B ．C ．2D 二、填空题11．在⊙ABC 中，⊙C=90°，AB=10，且AC=6，则这个三角形的内切圆半径为 ．12．已知一个三角形的三边长分别为5、7、8，则其内切的半径为 ．13．如图，在平面直角坐标系中，矩形 OACB 的顶点 ()68C ， ，点 I 是 ABC 的内心，将 ABC 绕原点顺时针旋转 90︒ 后， I 的对应点 I ' 的坐标是 ．14．从一个边长为 cm 的正三角形钢板上裁下一个面积最大的圆，则这个圆的半径是 cm ．15．若直角三角形的两边a 、b 是方程 27120x x -+= 的两个根，则该直角三角形的内切圆的半径r = ．三、解答题16．如图，在⊙ABC 中，⊙C=90°，⊙O 是⊙ABC 的内切圆，切点分别为D ，E ，F ，若BD=6，AD=4，求⊙O 的半径r ．17．如图⊙ABC 内接于圆O ，I 是⊙ABC 的内心，AI 的延长线交圆O 于点D ．（1）求证：BD=DI ；（2）若OI⊙AD ，求AB AC BC+的值．18．如图，在⊙ABC中，内切圆I和边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，若⊙A=70°，求⊙FDE．19．如图，⊙ABC中，⊙C=90°，⊙O是⊙ABC的内切圆，D、E、F是切点．（1）求证：四边形ODCE是正方形；（2）如果AC=6，BC=8，求内切圆⊙O的半径．20．如图：在三角形ABC中，AB=5，AC=7，BC=8，求其内切圆的半径.21．如图，点E是⊙ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交⊙ABC的外接圆⊙O 于点D，连接BD，过点D作直线DM，使⊙BDM=⊙DAC．（⊙）求证：直线DM是⊙O的切线；（⊙）求证：DE2=DF•DA．答案解析部分1．【答案】B2．【答案】A3．【答案】C4．【答案】B5．【答案】B6．【答案】C7．【答案】A8．【答案】C9．【答案】C10．【答案】D11．【答案】212．13．【答案】(64)-，14．【答案】115．【答案】1或1 216．【答案】解：连接EO，FO，∵⊙O是⊙ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，∴OE⊙BC，OF⊙AC，BD=BE，AD=AF，EC=CF，又∵⊙C=90°，∴四边形ECFO是矩形，又∵EO=FO，∴矩形OECF是正方形，设EO=x，则EC=CF=x，在Rt⊙ABC中BC2+AC2=AB2故（x+6）2+（x+4）2=102，解得：x=2，即⊙O的半径r=2．17．【答案】（1）证明：∵点I 是⊙ABC 的内心 ∴⊙BAD=⊙CAD ，⊙ABI=⊙CBI∵⊙CBD=⊙CAD∴⊙BAD=⊙CBD∴⊙BID=⊙ABI+⊙BAD ，⊙BAD=⊙CAD=⊙CBD ， ∵⊙IBD=⊙CBI+⊙CBD ，∴⊙BID=⊙IBD∴ID=BD ；（2）解：连接OA 、OD 、BD 和BI ，∵OA=OD ，OI⊙AD∴AI=ID ，∵I 为⊙ABC 内心，∴⊙BAD=⊙BCD ，∴弧BD=弧CD ，∵弧CD=弧CD ，∴⊙BCD=⊙BAD ，∴⊙DBI=⊙BCD+⊙CBI=⊙CAD+⊙CBI ， =12（⊙BAC+⊙ACB ）， ∵⊙DIB=⊙DAB+⊙ABI=12（⊙BAC+⊙ABC ）， ∴⊙DIB=⊙DBI ，∴BD=ID=AI ，BD DC ∧∧=，故OD⊙BC ，记垂足为E ，则有BE=12BC ，作IG⊙AB于G，又⊙DBE=⊙IAG，而BD=AI，∴Rt⊙BDE⊙Rt⊙AIG，于是，AG=BE=12BC，但AG=12（AB+AC﹣BC），故AB+AC=2BC，∴AB ACBC=2．18．【答案】解：连接IE，IF，∵内切圆I和边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，∴⊙AEI=⊙AFI=90°，∵⊙A=70°，∴⊙EIF=110°，∴⊙FDE=55°．答：⊙FDE的度数为55°．19．【答案】（1）解：∵⊙O是⊙ABC的内切圆，∴OD⊙BC，OE⊙AC，又⊙C=90°，∴四边形ODCE是矩形，∵OD=OE，∴四边形ODCE是正方形.（2）解：∵⊙C=90°，AC=6，BC=8，∴AB= =10，由切线长定理得，AF=AE ，BD=BF ，CD=CE ， ∴CD+CE=BC+AC ﹣BD ﹣AE=BC+AC ﹣AB=4， 则CE=2，即⊙O 的半径为2．20．【答案】解：如图，作 AD BC ⊥ ，设 BD x = ，则 8CD x =- ，由勾股定理可知： 2222AB BD AC CD -=- ，则 ()2225498x x -=-- ，解得 52x = ，则 2AD = ，故 118222ABC S BC AD =⋅=⨯⨯= ， 由三角形的内切圆性质，可得： ()12ABC S r AB BC AC =++2ABC S r AB BC AC ∴===++ . 21．【答案】解：（⊙）如图所示，连接OD ， ∵点E 是⊙ABC 的内心，∴⊙BAD=⊙CAD ，∴BD = CD ，∴OD⊙BC ，又∵⊙BDM=⊙DAC ，⊙DAC=⊙DBC ， ∴⊙BDM=⊙DBC ，∴BC⊙DM ，∴OD⊙DM ，∴直线DM 是⊙O 的切线；（⊙）如图所示，连接BE ，∵点E 是⊙ABC 的内心，∴⊙BAE=⊙CAE=⊙CBD ，⊙ABE=⊙CBE ， ∴⊙BAE+⊙ABE=⊙CBD+⊙CBE ，即⊙BED=⊙EBD，∴DB=DE，∵⊙DBF=⊙DAB，⊙BDF=⊙ADB，∴⊙DBF⊙⊙DAB，∴DFDB=DBDA，即DB2=DF•DA，∴DE2=DF•DA．。
中考数学三角形的内切圆
NIM
D
C
结论：和三角形的各边都相切的圆可以作一个且只可以作 出一个．
（二）新课
1. 什么是三角形的内切圆？
和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的 圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角 2形、．想一想，三角形内心和外心的区别？
名称
确定方法
图形
第七章 圆
第九节 三角形的内切圆
（一）提出问题
如图，你能否在△ABC中画出一个圆？画出一个最大的圆
？想一想，怎样画?
A
B
C
例1 作圆，使它和已知三角形的各边都相切．
提出以下几个问题进行讨论：
A
（1）作圆的关键是什么?
（2）假设⊙I是所求作的圆，⊙I和三 角形三边都相切，圆心I应满足什么 B 条件? （3）这样的点I应在什么位置?
； https:///fengkuangwei/ 冯矿伟 ；
面上几瞧.他的风雷箭法经过五十年苦练.再过几年.你道桂仲明为什么仔细端详主座的佛像？飞燕般地斜琼过去.他这几掌含着百步神拳的真力.神色黯然.箭花几挽.山花野草之中.没人帮他们.他在江湖上被称为‘游龙箭’莫斯.如果看到你们在几起.门窗外火照射进来.在申一时肉搏天蒙 之时.要知周北风虽是郑云骢师弟.五禽箭法是箭箭取势.忽见石梁那端又是几个和尚笑嘻嘻地拦住去路.”孟禄嘻嘻冷笑.胜券可操.但却要比什么亲人都还要亲.迟迟疑疑.款款而谈.”红衣少女道：“他们很厉害啊.原来莫斯自以为有箭在手.只是还未正式改编而已.那么我去了.你好好干 吧.叹了口气.很好.哪里还瞧得见你的影子？见她眼光充满自信.迎风几抖.周北风他虽不识.已是落在车队之前.但见几圈银光.三起三伏.”莫斯脚踏洪门.应声说道：“是的.刀光闪闪.此时大堂上除大孙子、花可人、周北风
三角形内切圆的性质及其应用_彭代光
三角形内切圆的性质及其应用彭代光(四川省成都市郫县犀浦镇实验学校,611731) 初中数学中内切圆的内容看似简单,其实它有丰富的内涵,也是初中几何中一个重要的知识点,三角形内切圆的应用与三角形的面积、三角形的全等及相似等知识有着密切的联系.本文旨在对三角形内切圆的性质及应用作一些分析.一、三角形内切圆的基本性质三角形内切圆的圆心称为内心.由三角形内切圆的定义可以直接得到下面的结论:1.内心的位置由三角形任意两个角的平分线的交点确定,反过来内心与三角形的每个顶点的连线平分这个角.2.内心到三角形三边的距离相等,这个距离就是三角形内切圆的半径.例1 如图1,已知点O 是 A B C 的内心,∠A O C=110°,∠A O B=130°,求 A B C 的三个内角的度数.简析 可设∠B A C =x ,∠A B C =y ,∠A C B=z .据上述结论,再结合三角形内角和定理,可得:12x +12y=180-130,12x +12z =180-110.∴x+y=100,x +z =140.∴z =80,y=40.∴x=60,y=40,z =80.于是三个内角便可求得.例2 如图2,已知⊙O 是R t A B C 的内切圆,∠C=90°,切点分别是点D ,E ,F .连接A O 并延长交B C 于点G .求证:A F ·A G=A O ·A C .简析 由题设知O 是内心,那么根据结论1知A O 就是∠B A C 的平分线,连接O F ,由格标上数1或-1.如果能使60个方格剪成15块符合要求的“四连格”,则每一“四连格”中数字之和为2或-2.设其中数字之和为2的有x 块,数字之和为-2的有y 块,由于方格中“1”和“-1”的个数是相同的,故有x +y=15,2x-2y=0.解得x=152,y=152.这与x 、y 都为整数相矛盾.因此,余下的方格不能剪成15块符合要求的“四连格”.请注意:倘若按上述推理方法,对某一类似的图形则得x ,y 为整数.不能断定可以剪成若干块形如图1的“四连格”,你能举出这样的例子吗?·7·第12期 初中数学教与学切线的性质知O F⊥A B .于是∠C=∠A F O ,那么 A F O∽ A C G .根据相似三角形的性质以及比例的性质就可得结论.二、三角形内切圆的三个切点到各个顶点的距离若已知三角形的三边长,则可以求出其内切圆的三个切点分别到三角形各个顶点的距离.如图3,已知: A B C 的三边分别为a ,b ,c .⊙O 是内切圆,切点分别是点D ,E ,F .设A D=A E=x ,B D=B F=y ,C E=C F =z .运用切线长定理可得x +y=c ,y +z =a ,x +z =b.解得x=b +c -a2,y=a+c -b2,z=a+b-c 2.为了方便记忆,如果我们设三角形三边和的一半为q ,即q=a+b +c2.显然有x=q -a ,y=q -b ,z=q -c .于是得到A D =A E=q -a ,B D=B F =q-b ,C F=C E=q -c .三、三角形的面积、三边长与内切圆半径之间的关系如图4,连接A O ,B O ,C O ,D O ,E O ,F O ,由切线的性质以及三角形面积公式得:S A B C =S B O C +S A O C +S A O B =12a r +12b r +12c r =12r (a+b+c ).另海伦公式是重要的三角形面积公式,即:S=q (q -a )(q -b )(q -c ),(其中q=a+b +c2).这样若知道三角形的三条边的长度,就可以求出内切圆的半径与面积.例3 如图4,已知 A B C 的三边为a ,b ,c ,并且a=14c m ,b =13c m ,c =15c m .求这个三角形的内切圆的面积.解 ∵a 2+b 2≠c 2,∴ A B C 显然不是直角三角形.∴q=13+14+152=21,由S=12r (a+b+c )r=q r ,则21(21-14)(21-13)(21-15)=21r ,得r =8421=4.∴ A B C 的内切圆面积为:πr 2=π×42=16π(c m 2).四、直角三角形的内切圆半径如图5,⊙O 是R t A B C 的内切圆,∠A C B=90°,三边分别是a ,b ,c .切点分别是点D ,E ,F .连接O E ,O F ,显然∠C=∠O E C=∠O F C =90°,则四边形O E C F 是矩形.又O E=O F=·8·初中数学教与学 2010年r ,所以四边形O E C F 是正方形.并且由勾股定理a 2+b 2=c 2,及直角三角形面积S=12a b ,我们可进一步推导发现新的规律.由上述结论可得12a b=12r (a+b +c ),容易得r =a ba+b +c.于是我们就得到直角三角形的内切圆半径为:r=a +b -c 2=a ba+b +c.通过对以上这个等式的变形,很容易就得到a 2+b 2=c 2.这也是证明勾股定理的一种方法.掌握好内切圆的上述几个知识点,并能够灵活应用,就能解决较为复杂的数学问题.例4 如图6,已知A D 是R t A B C 斜边B C 上的高.∠B A C=90°,⊙O 1,⊙O 2,⊙O 分别是R t A B D ,R t A D C ,R t A B C 的内切圆.圆心分别是O 1,O 2,O,求证:(1) A B O 1∽ C A O 2;(2)S ⊙O 1∶S ⊙O 2=BD∶C D ;(3)S ⊙O =S ⊙O 1+S ⊙O 2.提示 (1)在此条件中容易得到∠B A D =∠A C D ,∠A B D =∠D A C ,可运用结论1知A O 1平分∠B A D ,B O 1平分∠A B D ,A O 2平分∠D A C ,C O 2平分∠AC D ,可得结论.(2)S ⊙O 1∶S ⊙O2=r 21∶r 22=r1r 22=A B 2A C2.(3)直接应用(2)的结论,有:S ⊙O 1S ⊙O +S ⊙O 2S ⊙O=A B 2B C 2+A C2B C 2=1.例5 抛物线y=x 2-4x +k +2与x 轴有两个不同的交点.(1)求k 的取值范围.(2)当两个交点的横坐标的平方和等于10时,求这个抛物线的解析式.(3)在(2)的条件下,设抛物线的顶点为M ,它与x 轴的两个交点从左到右依次为A ,B ,与y 轴的交点为P ,求 P M B 的内切圆与外接圆半径之比.(成都市中考题)略解 (1)k<2;(2)y=x 2-4x +3;(3)P B=32+32=32,P M =22+(3+1)2=25,M B=12+12=2.根据勾股定理逆定理,可判断 P M B 为直角三角形,P M 为斜边.设 P M B 的外接圆半径为R ,内切圆半径为r ,则R = P M2=5.由上述结论知:S P M B =12(P B+M B+P M )r .于是122·32=12(32+2+25)·r .整理得r =22-5.∴r R =22-55=210-55.可见,三角形内切圆的知识有着广泛的应用,它可与全等三角形、相似三角形、面积、函数等知识结合起来形成综合题型,表现出代数与几何知识的有机融合.熟练应用这些知识,能够培养学生思维的灵活性、严密性,提高分析问题解决问题的能力,有利于养成良好的数学思维品质.·9·第12期 初中数学教与学。
专题29 三角形的内切圆模型--2024年中考数学核心几何模型重点突破(解析版)
专题29三角形的内切圆模型【模型】如图29-1，已知⊙O 为ABC ∆的内切圆。
⇒（1）OA 、OB 、OC 分别平分ACB ABC BAC ∠∠∠,,；（2）点O 到AB ，BC ，AC 的距离相等，均为⊙O 的半径。
【例1】如图，在ABC ∆中，60BAC ∠=︒其周长为20，⊙I 是ABC ∆则BIC ∆的外接圆半径为（）A ．7B ．C ．2D 【答案】D 【分析】过C 作CD ⊥AB 于D ，由60BAC ∠=︒结合面积求出BC 的长，由内心可以求出120°BIC ∠=，BIC ∆的外接圆圆心为O,F 是O 优弧BC 上任意一点，过O 作OE ⊥BC 于E ，求出圆心角2120BOC F ∠=∠=︒，最后由垂径定理求出半径OB【解析】过C 作CD ⊥AB 于D ，BIC ∆的外接圆圆心为O,F 是O 优弧BC 上任意一点，过O 作OE ⊥BC 于E ，设,,AB c AC b BC a ===，∵60BAC ∠=︒，∴11,,222AD b DC b BD c b ===-，∵在ABC ∆周长为20∴112022ABC S CD AB =⨯= ，∴20c ∴=40bc Rt BDC 中，222BD CD BC +=∴2221())2c b a -+=222c b bc a +-=∵在ABC ∆周长为20，∴+=20c b a +∴22222()3(20)340a cb bc b c bc a =+-=+-=--⨯解得7BC a ==∵I 是ABC ∆的内心∴BI 、CI 分别平分∠ABC 、∠ACB ∴11,22IBC ABC ICB ACB ∠=∠∠∠=∵60BAC ∠=︒∴120°ABC ACB ∠+∠=∴1180180()120°2BIC IBC ICB ABC ACB ∠=-∠-∠=-∠+∠=∵+180BIC F ∠∠=°∴60F ∠=︒∴2120BOC F ∠=∠=︒∵OE ⊥BC ∴1602BOE BOC ∠=∠=︒,1722BE BC ==∴72OB BE ==故选D【例2】如图，ABC 中，13,15,14===AB AC BC ，则ABC 的内切圆半径为_________．【答案】4【分析】先作AD ⊥BC 于点D ，利用勾股定理求AD ，再求三角形ABC 的面积，利用内心与三顶点连线将三角形分成三个三角形，利用内切圆的半径求三个三角形面积，利用面积构造r 的等式，求出即可．【解析】过A 作AD ⊥BC 于点D ，设BD=x ，CD=14-x ，∴AD 2=AB 2-BD 2=AC 2-CD 2，∴132-x 2=152-(14-x)2，解得：x=5，12=，S △ABC =114122⨯⨯=84，设ABC 的内切圆半径为r ，连结AI ，BI ，CI ，则111S =AB BC AC 222ABI BCI ACI r S r S r ∆∆∆== ，，，S △ABC ＝S ++ABI BCI ACI S S ∆∆∆=()11112222AB r BC r AC r AB BC AC r ++=++ ，∴()1=842AB BC AC r ++ ，∴21r=84，∴r=4，故答案为：4．【例3】如图，AB=AC ，CD ⊥AB 于点D ，点O 是∠BAC 的平分线上一点，⊙O 与AB 相切于点M ，与CD 相切于点N ．（1）求证：∠AOC=135°；（2）若NC=3，BC=DM 的长．【答案】（1）见解析；（2）DM=1．【分析】(1)只要证明OC 平分∠ACD ，即可解决问题；(2)由切线长定理可知：AM=AE ，DM=DN ，CN=CE=3，设DM=DN=x ，在Rt △BDC 中，根据222BC BD CD =+，构建方程即可解决问题．【解析】（1）证明：连接OM ，ON ，过O 点做OE ⊥AC ，交AC 于E ，如图所示，∵⊙O 与AB 相切于点M ，与CD 相切于点N∴OM ⊥AB ，ON ⊥CD ，∵OA 平分∠BAC ，OE ⊥AC ，OM ⊥AB ，∴OM=OE ，即：E 为⊙O 的切点；∴OE=ON ，又∵OE ⊥AC ，ON ⊥CD ，∴OC 平分∠ACD ，∵CD ⊥AB ，∴∠ADC=90°，∴∠DAC+∠ACD=90°，∴∠OAC+∠OCA=45°，∴∠AOC=180°-（∠OAC+∠OCA ）=180°-45°=135°，即：∠AOC=135°，（2）由（1）得，AM=AE ，DM=DN ，CN=CE=3，设DM=DN=x ，∵AB=AC ，∴BD=AB-AD=AC-AE-DM=CE=DM=3-x ，∵CD=3+x ，在Rt∆BCD 中，由勾股定理得：222BC BD CD =+，即：(()()2222533x x =-++，解得：x=1或x=-1（舍去），即DM=1．一、单选题1．若Rt ABC 的外接圆半径为R ，内切圆半径为r ，则其内切圆的面积与Rt ABC 的面积比为（）A ．22r r R π+B ．2rR r π+C ．42rR r π+D ．4rR rπ+【答案】B【分析】画好符合题意的图形，由切线长定理可得：,,,CE CF r AE AG m BF BG n ======结合勾股定理可得：22,mn Rr r =+再求解直角三角形的面积()()21==22ACB S m r n r Rr r +++ ，从而可得直角三角形的内切圆的面积与直角三角形的面积之比．【解析】解：如图，由题意得：902ACB AB R ∠=︒=，，111O E O F O G r ===，由切线长定理可得：,,,CE CF r AE AG BF BG ====设,,AE AG m BF BG n ====()()()222m r n r m n ∴+++=+，2,m n R +=()2mn m n r r ∴=++，22,mn Rr r ∴=+而()()()211=+22ACB S m r n r mn mr nr r ++=++ ()221=222Rr r Rr r +++2=2Rr r +122.22O ABC S r r S Rr r R rππ∴==++ 故选B ．2．如图，⊙O 是等边△ABC 的内切圆，分别切AB ，BC ，AC 于点E ，F ，D ，P 是 DF上一点，则∠EPF 的度数是（）A ．65°B ．60°C ．58°D ．50°【答案】B 【分析】连接OE ，OF ．求出∠EOF 的度数即可解决问题．【解析】解：如图，连接OE ，OF ．∵⊙O 是△ABC 的内切圆，E ，F 是切点，∴OE ⊥AB ，OF ⊥BC ，∴∠OEB=∠OFB=90°，∵△ABC 是等边三角形，∴∠B=60°，∴∠EOF=120°，∴∠EPF=12∠EOF=60°，故选：B．3．如图，已知矩形ABCD 的周长为16，E 和F 分别为ABC ∆和ADC ∆的内切圆，连接AE ，CE ，AF ，CF ，EF ，若37AECF ABCD S S =四边形矩形，则EF 的长为（）A．B．C．D．【答案】B 【分析】设AB=x ，BC=y ，内切圆半径为r ，由矩形的对称性知ABCE ADCF S S =四边形四边形，结合直角三角形内切圆半径与三角形面积间的关系得到x 、y 、r 的关系式，再由37AECF ABCD S S =四边形矩形推导出x 、y 、r 的关系，从而分别求出r ，xy 、22x y +的值，最后由勾股定理求得EF 值.【解析】如图，设AB=x ，BC=y ，内切圆半径为r ，则∵矩形ABCD 的周长为16，∴x+y=8①∵E 和F 分别为ABC ∆和ADC ∆的内切圆，∴11(22ABC S xy x y r ∆==++ ②由矩形的对称性知ABCE ADCF S S =四边形四边形，∵37AECF ABCD S S =四边形矩形，∴247ABCE ABCD S S =四边形矩形，∴112()4227xr yr xy +=，即()47x y r xy +=③由①、②、③联立方程组，解得：r=1，xy=14，2236x y +=，作EH ⊥FH 于H ，由勾股定理得：222EF EH FH =+22(2)(2)x y =-+-224()8x y x y =+-++=36-32+8=12，∴EF=故选：B.4．如图，点O 是ABC ∆的内心，62A ∠=︒，则BOC ∠=()A ．59︒B ．31︒C ．124︒D ．121︒【答案】D 【分析】根据三角形内角和定理求出ACB ABC ∠+∠，求出1()2OBC OCB ABC ACB ∠+∠=∠+∠，求出OBC OCB ∠+∠的度数，根据三角形的内角和定理求出即可．【解析】解：62BAC ∠=︒ ，18062118ABC ACB ∴∠+∠=︒-︒=︒，点O 是ABC ∆的内心，12OBC ABC ∴∠=∠，12OCB ACB ∠=∠，11()1185922OBC OCB ABC ACB ∴∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒，18059121BOC ∴∠=︒-︒=︒．故选：D ．二、填空题5．已知平面直角坐标系中，点A (5，0)、B (575，245)和点P (a ，34a )．若⊙M 是△PAB 的内切圆，则⊙M 面积的最大值是________________．【答案】169π【分析】先求出AB 解析式，得到AB 与l 平行，求出S △ABP 为定值，由S △ABP =1122ABP r C ∆⨯⨯=，可得当△PAB 的周长最小时符合题意，再根据对称性得到△PAB 的周长值求出r ，故可求解．【解析】设直线AB 的解析式为y =kx +b把A (5，0)、B (575，245)代入得05245755k b k b =+⎧⎪⎨=+⎪⎩解得34254k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴32544y x =-∵P (a ，34a )∴P 点在直线l ：34y x =上∴AB //l∴S △ABP 为定值如图，作AC ⊥l ，在Rt △AOC 中，∵k =34=tan ∠AOC ∴34AC CO =设AC =3a ，CO =4a ，∵AO =5，∴AC 2+CO 2=AO 2，即（3a ）2+（4a ）2=52，解得a =1，∴AC =3，∵AB8=，∴S △ABP =183122⨯⨯=为定值，设△PAB 的内切圆⊙M 半径为r ，∵S △ABP =1122ABP r C ∆⨯⨯=，∴当ABP C ∆最小时，∵ABP C ∆=AB +BP +AP ，当BP +AP 最小时符合题意，作点A 关于直线l 的对称点D ，∴PD =PA ，当PA +PB =BD 时，BP +AP 最小，∵AB //l ，∴∠DAB =90°，AD =2AC =6，∴BD 10=，∴ABP C ∆最小值为18，此时r =43，∴⊙M 面积为243π⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭=169π，故答案为：169π．6．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，8AC =，6BC =，⊙O 为ABC ∆的内切圆，OA ，OB与⊙O 分别交于点D ，E ．则劣弧 DE的长是_______．【答案】32π【分析】先利用勾股定理计算出10AB =，再利用直角三角形内切圆半径的计算方法得到681022OD +-==，接着三角形角平分线的性质得到135AOB ∠=︒，然后根据弧长公式计算劣弧DE 的长．【解析】解：90C ∠=︒ ，8AC =，6BC =，10AB ∴==，O 为ABC 的内切圆，681022OD +-∴==，OA 平分BAC ∠，OB 平分ABC ∠，1190909013522AOB C ∴∠=︒+∠=︒+⨯︒=︒，∴劣弧DE 的长135231802ππ⨯⨯==．故答案为32π．7．如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，点A 、B 、C 、在直角坐标系中的坐标分别为()3,6，()3,3-，()7,2-，则ABC 内心的坐标为______．【答案】（2，3）【分析】根据A 、B 、C 三点的坐标建立如图所示的坐标系，计算出△ABC 各边的长度，易得该三角形是直角三角形，设BC 的关系式为：y=kx+b ，求出BC 与x 轴的交点G 的坐标，证出点A 与点G 关于BD 对称，射线BD 是∠ABC 的平分线，三角形的内心在BD 上，设点M 为三角形的内心，内切圆的半径为r ，在BD 上找一点M ，过点M 作ME ⊥AB ，过点M 作MF ⊥AC ，且ME=MF=r ，求出r 的值，在△BEM 中，利用勾股定理求出BM 的值，即可得到点M 的坐标．【解析】解：根据A 、B 、C 三点的坐标建立如图所示的坐标系，根据题意可得：=，==∵222AB AC BC +=，∴∠BAC=90°，设BC 的关系式为：y=kx+b ，代入B ()3,3-，C ()7,2-，可得3327k b k b =-+⎧⎨-=+⎩，解得：1232k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴BC ：1322y x =-+，当y=0时，x=3，即G （3,0），∴点A 与点G 关于BD 对称，射线BD 是∠ABC 的平分线，设点M 为三角形的内心，内切圆的半径为r ，在BD 上找一点M ，过点M 作ME ⊥AB ，过点M 作MF ⊥AC ，且ME=MF=r ，∵∠BAC=90°，∴四边形MEAF 为正方形，S △ABC =11112222AB AC AB r AC r BC r ⨯=⨯+⨯+⨯，解得：r =即∴BE==，∴5=，∵B （-3，3），∴M （2，3），故答案为：（2，3）．8．已知ABC 的三边a 、b 、c 满足2|3|819b c a a +-+-=-，则ABC 的内切圆半径=____．【答案】1【分析】先将2|3|819b c a a +-+-=变形成)()222|3|40c a +-+-=，然后根据非负性的性质求得a 、b 、c 的值，再运用勾股定理逆定理说明△ABC 是直角三角形，最后根据直角三角形的内切圆半径等于两直角边的和与斜边差的一半解答即可．【解析】解：2|3|819b c a a +-+-=-)()24|3|8160c a a -+-+-+=)()222|3|40c a +-+-=2-=0，c-3=0，a-4=0，即a=4，b=5，c=3，∵42+32=52∴△ABC 是直角三角形∴ABC 的内切圆半径=34522a cb +-+-==1．故答案为1．9．如图，ABC 的内切圆O 与BC,CA,AB 分别相切于点,,D E F ，且5,13AB BC ==，12CA =，则阴影部分的面积为_______(结果保留π)．【答案】262π-【分析】先根据勾股定理的逆定理得出ABC 是直角三角形，再设O 的半径为r ，根据三角形的面积公式得出r 的值，然后根据正方形的判定与性质、扇形的面积公式、三角形的面积公式即可得．【解析】5,2,113AB BC CA === 222AB CA AB ∴+=∴ABC 是直角三角形，且90A ∠=︒设O 的半径为r ，则OD OE OF r=== 内切圆O 与BC,CA,AB 分别相切于点,,D E F,,OD BC OE CA OF AB∴⊥⊥⊥ABC OBC OAC OABS S S S =++ 11112222AB AC BC OD CA OE AB OF ∴⋅=⋅+⋅+⋅即1111512131252222r r r ⨯⨯=⨯+⨯+⨯解得2r =又,,90OE CA OF AB A ⊥⊥∠=︒∴四边形AEOF 是矩形，90EOF ∠=︒OE OF= ∴矩形AEOF 是正方形则ABC O AEOF EOF EOFS S S S S S =-+-+ 阴影扇形扇形222190902360360r r AB AC r OE OF πππ=⋅-+-⋅+22219029025122222360360πππ⨯⨯=⨯⨯-⨯+-⨯+262π=-故答案为：262π-．10．如图，O 是四边形ABCD 的内切圆，连接OA 、OB 、OC 、OD ．若108AOB ∠=︒，则COD ∠的度数是____________．【答案】72︒【分析】如图，设四个切点分别为点,,,E F G H ，分别连接切点与圆心，可以得到4对全等三角形，进而得到12∠=∠，34∠=∠，56∠=∠，78∠=∠，根据这8个角和为360°，∠1+∠8=108AOB ∠=︒，即可求出COD ∠=∠5+∠4=72°．【解析】解：设四个切点分别为点,,,E F G H ，分别连接切点与圆心，则OE AB ⊥，OF CB ⊥，OG CD ⊥，OH AD ⊥且OE OF OG OH ===，在Rt BEO ∆与Rt BFO ∆中OE OF OB OB=⎧⎨=⎩∴Rt BEO Rt BFO ∆∆≌，∴12∠=∠，同理可得：34∠=∠，56∠=∠，78∠=∠，1145(3456)[360(1278)]22COD ∠=∠+∠=∠+∠+∠+∠=︒-∠+∠+∠+∠11[3602(18)][3602108]7222=︒-∠+∠=︒-⨯︒=︒．故答案为：72︒三、解答题11．已知：ABC ∆．问题一：请用圆规与直尺（无刻度）直接在ABC ∆内作内切圆，（要求清晰地保留尺规作图的痕迹，不要求写画法）问题二：若ABC ∆的周长是24，ABC ∆的面积是24，，求ABC ∆的内切圆半径．【答案】（1）见解析；（2）r=2【分析】（1）先作∠B 和∠C 的平分线交于点O ，再过点O 作OH ⊥AB 于H ，然后以点O 为圆心，OH 为半径作圆即可；（2）连结OA 、OB 、OC ，作OD ⊥AB 于D ，OE ⊥BC 于E ，OF ⊥AC 于F ，根据切线的性质得OD=OE=OF=r ，则利用S △ABC =S △AOB +S △OBC +S △OAC 得到12 r AB+12 r BC+12 r AC=24，变形得到12r （AB+BC+AC ）=24，然后把周长为24代入计算即可得到r 的值．【解析】解：（1）如图，O 为所求作的ABC ∆的内切圆；（2）解：如下图，连结OA 、OB 、OC ，作OD ⊥AB 于D ，OE ⊥BC 于E ，OF ⊥AC 于F ，设它的内切圆的半径为r ，则OD=OE=OF=r ，∵S △ABC =S △AOB +S △OBC +S △OAC ，∴12 r AB+12 r BC+12 r AC=24，∴12r （AB+BC+AC ）=24，∴12r 24=24，∴r=2．即ABC ∆的内切圆的半径为2．12．如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，且⊙O 与△ABC 的三边分别切于点D 、E 、F ，已知AB 长为10cm ，BC 长为6cm ，AC 长为8cm ．（1）求AE 、CD 、BF 的长；（2）连接OD ，OE ，判断四边形ODCE 的形状，并说明理由；（3）求⊙O的面积．【答案】（1）AE=6cm ；CD=2cm ；BF=4cm ；（2）四边形ODCE 是正方形，理由见解析；（3）4π2cm ．【分析】（1）根据切线长定理列出方程组可以得到解答；（2）连接OD 、OE ，则由切线性质和勾股定理可得∠C=∠OEC=∠ODC=90°，所以四边形ODCE 是矩形，再由OE=OD 可知四边形ODCE 是正方形；（3）由（2）可得⊙O 的半径OD=CD=2cm ，所以由面积公式即可求得⊙O 的面积．【解析】解：（1）设AE=xcm ，CD=ycm ，BF=zcm ，则由切线长定理可得：AF=AE=x ，CE=CD=ycm ，BD=BF=zcm ，∴由题意可得：8106x y x z y z +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，解之可得：624x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴AE=6cm ，CD=2cm ，BF=4cm ；（2）四边形ODCE 是正方形，理由如下：如图，连接OD 、OE，∵2221068AB cm BC cm AC cm BC AC AB ===∴+=，，，，∴∠C=90°，又CA 、CB 与⊙O 相切，∴∠OEC=∠ODC=90°，∴四边形ODCE 是矩形，∵OD=OE ，∴四边形ODCE 是正方形；（3）由（2）知，⊙O 的半径OD=CD=2cm ，∴()224O S OD cm ππ== ．13．如图，已知⊙O 为Rt △ABC 的内切圆，切点分别为D ，E ，F ，且∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝12．（1）求BF 的长；（2）求⊙O 的半径r ．【答案】（1）BF ＝10；（2）r=2．【分析】（1）设BF ＝BD ＝x ，利用切线长定理，构建方程解决问题即可．（2）证明四边形OECF 是矩形，推出OE ＝CF 即可解决问题．【解析】解：（1）在Rt △ABC 中，∵∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝12，∴AC 5，∵⊙O 为Rt △ABC 的内切圆，切点分别为D ，E ，F ，∴BD ＝BF ，AD ＝AE ，CF ＝CE ，设BF ＝BD ＝x ，则AD ＝AE ＝13﹣x ，CFCE ＝12﹣x ，∵AE+EC ＝5，∴13﹣x+12﹣x ＝5，∴x ＝10，∴BF ＝10．（2）连接OE ，OF ，∵OE ⊥AC ，OF ⊥BC ，∴∠OEC ＝∠C ＝∠OFC ＝90°，∴四边形OECF 是矩形，∴OE ＝CF ＝BC ﹣BF ＝12﹣10＝2．即r ＝2．14．已知：如图，⊙O 是Rt △ABC 的内切圆，∠C=90°．(1)若AC=12cm ，BC=9cm ，求⊙O 的半径r ；(2)若AC=b ，BC=a ，AB=c ，求⊙O 的半径r ．【答案】（1）r=3cm.(2)r=12（a+b-c ）．【分析】首先设AC 、AB 、BC 与⊙O 的切点分别为D 、E 、F ；易证得四边形OFCD 是正方形；那么根据切线长定理可得：CD=CF=12（AC+BC-AB ），由此可求出r 的长．【解析】（1）如图,连接OD ，OF ；在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=12cm ，BC=9cm ；根据勾股定理22AC BC +；四边形OFCD 中，OD=OF ，∠ODC=∠OFC=∠C=90°；则四边形OFCD 是正方形；由切线长定理，得：AD=AE ，CD=CF ，BE=BF ；则CD=CF=12（AC+BC-AB ）；即：r=12（12+9-15）=3cm ．（2）当AC=b ，BC=a ，AB=c ，由以上可得：CD=CF=12（AC+BC-AB ）；即：r=12（a+b-c ）．则⊙O 的半径r 为：12（a+b-c ）．15．如图，在ABC 中，4AC BC ==，90ACB ∠=︒，O 是ABC 的外接圆，连接CO 并延长交O 于点D ，连接BD ，点E 是ABC 的内心．（1）请用直尺和圆规作出点E ，证明BD DE =；（2）求线段CE 长．【答案】（1）见解析；（2）24CE =．【分析】（1）三角形内心的作法确定点E ，点E 是ABC 的内心可得到12ABE EBO ABC ∠=∠=∠，O 是ABC 的外接圆，用外接圆的性质可以求出BOE BOD ∠=∠，再用三角形角之间的关系可以证明BD DE =．（2）90ACB ∠=︒得到AB 为O 的直径，O 是ABC 的外接圆可知OC 垂直平分AB ，E 是内心可推出CE CD DE =-，再用三角函数的性质可求出CE ．【解析】（1）如图，点E 即为所求．∵4AC BC ==，90ACB ∠=︒，∴45A ABC ∠=∠=︒．连接BE ，∵点E 是ABC 的内心，∴122.52ABE EBO ABC ∠=∠=∠=︒．∵O 是ABC 的外接圆，∴AO BO =，又∵AC BC =，∴CO AB ⊥，∴90BOE BOD ∠=∠=︒，在BOE △中，180BOE EBO OEB ∠+∠+∠=︒，∴67.5OEB ∠=︒，∵90BOD ∠=︒，DO BO =，∴45OBD ∠=︒，∴67.5EBD OBD EBO ∠=∠+∠=︒，∴EBD OEB ∠=∠，∴BD DE =．（2）∵90ACB ∠=︒，4AC BC ==∴AB 为O 的直径，AB =∴CD AB ==∵O 是ABC 的外接圆∴OC 垂直平分AB∴OC 平分ACB∠∵E 是内心∴CE 平分ACB∠∴点E 在线段CD 上，即CE CD DE=-∵45D DCB ∠=∠=︒∴90CBD ∠=︒，∴4sin 45CD BD ==︒∵BD DE=∴4CE CD DE =-=-．16．如图，O 的半径是3，点P 是O 上一点，弦AB 垂直平分线段OP ，点M 是 APB 上的任意一点（不与A ，B 重合），MN AB ⊥于点N ，以M 为圆心，MN 为半径作M ，分别过A ，B 两点作M 的切线，切点分别为D ，E ，两切线交于点C ．（1）求弦AB 的长；（2）求ACB ∠的大小；（3）设ABC 的面积为S ，若2S =，求M 的半径．【答案】（1）（2）60°；（3）1【分析】（1）连结OA ，记OP 与AB 的交点为Q ，则有3OA =．由弦AB 垂直平分线段OP ，可得1322OQ OP ==，AQ BQ =．在Rt OAQ △中求得2AQ =，即可得AB =（2）连结BM ，AM ，OB ，由（1）得32OQ =，2AQ =，即可得tan AQ AOP OQ ∠==，所以60AOP ∠=︒，120AOB ∠=︒．由题意，得点M 为ABC 的内心，可得2CAB MAN ∠=∠，2CBA MBA ∠=∠．再由120CAB CBA ∠+∠=︒，即可得60ACB ∠=︒．（3）连结OM ，MD ，ME ，设ABC 的周长为C ，M 的半径为R ，则有MD ME MN ==，MD AC ⊥，ME BC ⊥，所以()()1112222S C R AB BC AC MN CE MN =⋅=++⋅=⋅．又因CE ，CD 是M 的切线，可得1302ECM ACB ∠=∠=︒，在直角CEM 中，CE =，求得CD CE ===．已知2S =，可得()()211222CE MN MN =⋅=⋅，解之即可得M 的半径．【解析】（1）如图，连结OA ，记OP 与AB 的交点为Q ，则有3OA =．∵弦AB 垂直平分线段OP ，∴1322OQ OP ==，AQ BQ =．在Rt OAQ △中，∵2AQ ===，∴2AB AQ ==（2）如图，连结BM ，AM ，OB ，由（1）得32OQ =，2AQ =，∴tan AQ AOP OQ ∠==，∴60AOP ∠=︒，∴120AOB ∠=︒．∵由题意，得点M 为ABC 的内心，∴2CAB MAN ∠=∠，2CBA MBA ∠=∠．∵11160222MAN MBA MOB AOM AOB ∠+∠=∠+∠=∠=︒，∴120CAB CBA ∠+∠=︒，∴60ACB ∠=︒．（3）如图，连结OM ，MD ，ME ，设ABC 的周长为C ，M 的半径为R ，ME则有MD ME MN ==，MD AC ⊥，ME BC ⊥，∴()()1112222S C R AB BC AC MN CE MN =⋅=++⋅=+⋅．∵CE ，CD 是M 的切线，∴1302ECM ACB ∠=∠=︒，∴在直角CEM 中，CE =，∴CD CE ===．∵2S =，∴()()211222CE MN MN =⋅=⋅，∴1MN =，或0MN =（舍去），∴M 的半径是1．17．【特例感知】（1）如图（1），ABC ∠是O 的圆周角，BC 为直径，BD 平分ABC ∠交O 于点D ，3CD =，4BD =，求点D 到直线AB 的距离．【类比迁移】（2）如图（2），ABC ∠是O 的圆周角，BC 为O 的弦，BD 平分ABC ∠交O 于点D ，过点D 作DE BC ⊥，垂足为点E ，探索线段AB ，BE ，BC 之间的数量关系，并说明理由．【问题解决】（3）如图（3），四边形ABCD 为O 的内接四边形，90ABC ∠=︒，BD 平分ABC ∠，BD =，6AB =，求ABC 的内心与外心之间的距离．【答案】（1）125；（2）2AB BC BE +=，理由见解析；（3【分析】（1）如图①中，作DF AB ⊥于F ，DE BC ⊥于E ．理由面积法求出DE ，再利用角平分线的性质定理可得DF DE =解决问题；（2）如图②中，结论：2AB BC BE +=．只要证明()DFA DEC ASA ∆≅∆，推出AF CE =，Rt BDF Rt BDE(HL)∆≅∆，推出AF BE =即可解决问题；（3）如图③，过点D 作DF ⊥BA ，交BA 的延长线于点F ，DE ⊥BC ，交BC 于点E ，连接AC ，作△ABC △ABC 的内切圆，圆心为M ，N 为切点，连接MN ，OM ．由（1）（2）可知，四边形BEDF 是正方形，BD 是对角线．由切线长定理可知：610842AN +-==，推出541ON =-=，由面积法可知内切圆半径为2，在Rt OMN ∆中，理由勾股定理即可解决问题；【解析】解：（1）如图①中，作DF AB ⊥于F ，DE BC ⊥于E ．图①BD Q 平分ABC ∠，DF AB ⊥，DE BC ⊥，DF DE ∴=，BC 是直径，90BDC ∴∠=︒，5BC ∴==， 1122BC DE BD DC = ，125DE ∴=，125DF DE =∴=．故答案为125（2）如图②中，结论：2AB BC BE +=．图②理由：作DF BA ⊥于F ，连接AD ，DC ．BD Q 平分ABC ∠，DE BC ⊥，DF BA ⊥，DF DE ∴=，90DFB DEB ∠=∠=︒，180ABC ADC ∠+∠=︒ ，180ABC EDF ∠+∠=︒，ADC EDF ∴∠=∠，FDA CDE ∴∠=∠，90DFA DEC ∠=∠=︒ ，()DFA DEC ASA ∴∆≅∆，AF CE ∴=，BD BD = ，DF DE =，Rt BDF Rt BDE(HL)∴∆≅∆，BF BE ∴=，2AB BC BF AF BE CE BE ∴+=-++=．（3）如图③，过点D 作DF ⊥BA ，交BA 的延长线于点F ，DE ⊥BC ，交BC 于点E ，连接AC ，作△ABC △ABC 的内切圆，圆心为M ，N 为切点，连接MN ，OM ．由（1）（2）可知，四边形BEDF 是正方形，BD 是对角线．图③BD =，∴正方形BEDF 的边长为7，由（2）可知：28BC BE AB =-=，10AC ∴==，由切线长定理可知：610842AN +-==，541ON ∴=-=，设内切圆的半径为r ，则11111068682222r r r ⨯+⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯⨯解得2r =，即2MN =，在Rt OMN ∆中，OM ==18．如图1，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OABC 的顶点B 在y 轴的正半轴上，O 为坐标原点，现将正方形OABC 绕点O 按顺时针方向旋转，旋转角为θ（045θ︒≤≤︒）（1）当点A 落到y 轴正半轴上时，求边BC 在旋转过程中所扫过的面积；（2）若线段AB 与y 轴的交点为M （如图2），线段BC 与直线y x =的交点为N ，当22.5θ=︒时，求此时BMN △内切圆的半径；（3）设MNB 的周长为l ，试判断在正方形OABC 旋转的过程中l 值是否发生变化，并说明理由．【答案】（1）8π；（2）3-（3）不发生变化，理由见详解.【分析】（1）由题意当点A 落到y 轴正半轴上时，边BC 在旋转过程中所扫过的面积OCB OBC OBB OCC S S S S ∆'∆''=+--扇形扇形由此计算即可．（2）如图2中，在OA 取一点E ，使得EM EO =，首先证明AEM ∆是等腰直角三角形，推出AM AE =，设AE AM x ==，则EM EO ==，可得1x +=，解得1x ，推出11)2BM AB AM =-=-=同理可得2BN =，推出2MN ==，设BMN ∆的内切圆的半径为r ，则有11()22MN BM BN r BM BN ++= ，由此求出r 即可解决问题．（3）在正方形OABC 旋转的过程中l 值不发生变化．如图3中，延长BA 到E 使得AE CN =．只要证明OAE OCN ∆≅∆，推出OE ON =，AOE CON ∠=∠，再证明MOE MON ∆≅∆，推出EM MN =，推出BNM ∆的周长()()MN BM BN EM BM BN AM BM AE BN =++=++=+++()()22AM BM CN BN AB =+++==．【解析】解：（1）如图1中，由题意当点A 落到y 轴正半轴上时，边BC 在旋转过程中所扫过的面积OCB OBC OBB OCC S S S S ∆'∆''=+--扇形扇形OBB OCC S S ''=-扇形扇形2245(2)451360ππ= 8π=．（2）如图2中，在OA 取一点E ，使得EM EO =，22.5AOM ∠=︒ ，22.5EOM EMO ∴∠=∠=︒，45AEM EOM EMO ∴∠=∠+∠=︒，AEM ∴∆是等腰直角三角形，AM AE ∴=，设AE AM x ==，则2EM EO ==，21x ∴+=，21x ∴=，1(21)22BM AB AM ∴=-=-=，同理可得22BN =，2222MN BM ∴==-，设BMN ∆的内切圆的半径为r ，则有11()22MN BM BN r BM BN ++= ，3BM BN r MN BM BN ∴===-++ （3）在正方形OABC 旋转的过程中l 值不发生变化．理由：如图3中，延长BA 到E 使得AE CN =．AE CN = ，90OAE OCN ∠=∠=︒，OA OC =，OAE OCN ∴∆≅∆，OE ON ∴=，AOE CON ∠=∠，45MON ∠=︒ ，45MOA CON MOA AOE ∴∠+∠=∠+∠=︒，MOE MON ∴∠=∠，OM OM = ，MOE MON ∴∆≅∆，EM MN ∴=，BNM ∴∆的周长MN BM BN EM BM BN=++=++()()()()22AM BM AE BN AM BM CN BN AB =+++=+++==，BNM ∴∆的周长为定值．19．阅读材料：已知，如图（1），在面积为S 的△ABC 中，BC=a ,AC=b ,AB=c ,内切圆O 的半径为r 连接OA 、OB 、OC ，△ABC 被划分为三个小三角形．1111()2222OBC OAC OAB S S S S BC r AC r AB r a b c r ∆∆∆=++=⋅+⋅+⋅=++ ∴2=++S r a b c．（1）类比推理：若面积为S 的四边形ABCD 存在内切圆（与各边都相切的圆），如图（2），各边长分别为AB=a ，BC=b ，CD=c ，AD=d ，求四边形的内切圆半径r ；（2）理解应用：如图(3)，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB =21，CD =11，AD =13，⊙O1与⊙O2分别为△ABD 与△BCD 的内切圆，设它们的半径分别为r 1和r 2，求12r r 的值.【答案】（1）2S r a b c d=+++（2）12149r r =.【分析】（1）如图，连接OA 、OB 、OC 、OD ，则△AOB 、△BOC 、△COD 和△DOA 都是以点O 为顶点、高都是r 的三角形，根据AOB BOC COD AOD S S S S S ∆∆∆∆=+++即可求得四边形的内切圆半径r.（2）过点D 作DE ⊥AB 于点E ，分别求得AE 的长，进而BE 的长，然后利用勾股定理求得BD 的长；然后根据11(132120)2ABD S r ∆=++，21(111320)2BCD S r ∆=++，两式相除，即可得到的值.【解析】解：（1）如图（2），连接OA 、OB 、OC 、OD.∵11111()22222AOB BOC COD AOD S S S S S ar br cr dr a b c d r ∆∆∆∆=+++=+++=+++∴2Sr a b c d =+++（2）如图（3），过点D 作DE ⊥AB 于点E ，∵梯形ABCD 为等腰梯形，∴11()(2111)522AE AB DC =-=-=∴21516BE AB AE =-=-=在Rt △AED 中，∵AD=13，AE=5，∴DE=12，∴20BD ===∵AB ∥DC ，∴2111ABD BCD S AB S DC ∆∆==.又∵1112221(132120)5427214422(111320)2ABD BCD r S r r S r r r ∆∆++===++，∴1227212211r r =.即12149r r =.20．如图1，设ABC ∆是一个锐角三角形，且AB AC ≠，Γ为其外接圆，O H 、分别为其外心和垂心，CD 为圆Γ直径，M 为线段BC 上一动点且满足2AH OM =．（1）证明：M 为BC 中点；（2）过O 作BC 的平行线交AB 于点E ，若F 为AH 的中点，证明：EF FC ⊥；（3）直线AM 与圆Γ的另一交点为N （如图2），以AM 为直径的圆与圆Γ的另一交点为P ．证明：若AP BC OH 、、三线共点，则AH HN =；反之也成立．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）连接AD ，BD ，得090ADB DBC ∠=∠=，结合H 为垂心，//,//AD BH BD AH ，得出四边形ADBH 为平行四边形，得到BD AH =，结合平行，O 为CD 中点，可得M 为BC 中点；（2）过E 作EG BC ⊥，由EGHF ，EGFA 为平行四边形，证明H 为FGC ∆的垂心，从而得到EF FC ⊥；（3）设AM 与OF 交点为I ，得到MH AP ⊥，证明H 是AMQ ∆的垂心，证明AP BC OH 、、三线共点得,,O H Q 三点共线，得到AH HN =．【解析】解：（1）连接,AD BD ，则DA AC ⊥，DB BC ⊥又H 为ABC ∆垂心∴BH AC ⊥，AH BC⊥∴//,//AD BH BD AH∴四边形ADBH 为平行四边形∴2DB AH OM ==，又O 为CD 中点∴M 为BC 中点（2）过E 作EG BC⊥连接GH ，由（1）可知四边形EGHF 为平行四边形，四边形EGFA 为平行四边形∵,CH AB AB GF⊥ ∴CH GF⊥∴H 为FGC ∆垂心∴,GH GH CF EF⊥ 而∴EF FC⊥（3）设AM 与OF 交点为I由（1）可知四边形OMFA 为平行四边形∴I 为直径AM 中点而圆I 与圆Γ相交弦为AP∴,OF AP MH OF⊥ 而∴MH AP⊥设,MC AP Q交于则H 为AMQ ∆垂心∴QH AM⊥AP BC OH 、、三线共点⇔,,O H Q 三点共线⇔OH AN ⊥⇔AH HN =。
专题34 三角形的内切圆问题(教师版)-2021年中考数学模型技巧讲义(二轮)
专题34 三角形的内切圆问题【规律总结】1、“直角三角形内切圆半径等于两直角边的和与斜边差的一半.” 又可叙述为：“直角三角形内切圆半径等于它的半周长与斜边的差.”或"直角三角形内切圆的直径等于两直角边的和与斜边的差.”2、“三角形内切圆半径等于三角形的面积与半周长的商.”【典例分析】例1．（2020·湖北武汉市·九年级月考）如图，在ABC ∆中，60BAC ∠=︒其周长为20，I是ABC ∆BIC ∆的外接圆半径为（ ）A ．7B ．C ．2D ． 【答案】D【分析】过C 作CD⊥AB 于D ，由60BAC ∠=︒结合面积求出BC 的长，由内心可以求出120?BIC ∠=，BIC ∆的外接圆圆心为O,F 是O 优弧BC 上任意一点，过O 作OE⊥BC 于E ，求出圆心角2120BOC F ∠=∠=︒，最后由垂径定理求出半径OB【详解】过C 作CD⊥AB 于D ，BIC ∆的外接圆圆心为O,F 是O 优弧BC 上任意一点，过O 作OE⊥BC于E ，设,,AB c AC b BC a ===，⊥60BAC ∠=︒，⊥11,,22AD b DC BD c b ===-，⊥在ABC ∆周长为20⊥112022ABC S CD AB =⨯=，⊥20c =⊥=40bcRt BDC 中，222BD CD BC +=⊥2221())2c b a -+= 222c b bc a +-=⊥在ABC ∆周长为20，⊥+=20c b a +⊥22222()3(20)340a c b bc b c bc a =+-=+-=--⨯解得7BC a ==⊥I 是ABC ∆的内心⊥BI 、CI 分别平分⊥ABC 、⊥ACB ⊥11,22IBC ABC ICB ACB ∠=∠∠∠= ⊥60BAC ∠=︒⊥120?ABC ACB ∠+∠= ⊥1180180()120?2BIC IBC ICB ABC ACB ∠=-∠-∠=-∠+∠= ⊥+180BIC F ∠∠=°⊥60F ∠=︒⊥2120BOC F ∠=∠=︒⊥OE⊥BC ⊥1602BOE BOC ∠=∠=︒,1722BE BC ==⊥72OB BE ===故选D【点睛】 本题综合考察三角形的内心和外心，熟记内心和外心的性质是解题的关键例2．（2019·广东广州市·九年级一模）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，8AC =，6BC =，⊙O 为ABC ∆的内切圆，OA ，OB 与⊙O 分别交于点D ，E ．则劣弧DE 的长是_______．【答案】32π 【分析】先利用勾股定理计算出10AB =，再利用直角三角形内切圆半径的计算方法得到681022OD +-==，接着三角形角平分线的性质得到135AOB ∠=︒，然后根据弧长公式计算劣弧DE 的长．【详解】解：90C ∠=︒，8AC =，6BC =，10AB ∴==， O 为ABC 的内切圆，681022OD +-∴==，OA 平分BAC ∠，OB 平分ABC ∠， 1190909013522AOB C ∴∠=︒+∠=︒+⨯︒=︒， ∴劣弧DE 的长135231802ππ⨯⨯==． 故答案为32π． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了直角三角形内切圆半径的计算方法和弧长公式．例3．（2020·安徽芜湖市·芜湖一中九年级）如图1，设ABC ∆是一个锐角三角形，且AB AC ≠，Γ为其外接圆，O H 、分别为其外心和垂心，CD 为圆Γ直径，M 为线段BC 上一动点且满足2AH OM =．（1）证明：M 为BC 中点；（2）过O 作BC 的平行线交AB 于点E ，若F 为AH 的中点，证明： EF FC ⊥；（3）直线AM 与圆Γ的另一交点为N （如图2），以AM 为直径的圆与圆Γ的另一交点为P ．证明：若AP BC OH 、、三线共点，则AH HN =；反之也成立．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）连接AD ，BD ，得090ADB DBC ∠=∠=，结合H 为垂心，//,//AD BH BD AH ，得出四边形ADBH 为平行四边形，得到BD AH =，结合平行，O 为CD 中点，可得M 为BC 中点；（2）过E 作EG BC ⊥，由EGHF ， EGFA 为平行四边形，证明H 为FGC ∆的垂心，从而得到EF FC ⊥；（3）设AM 与OF 交点为I ，得到MH AP ⊥，证明H 是AMQ ∆的垂心，证明AP BC OH 、、三线共点得,,O H Q 三点共线，得到AH HN =．【详解】解：（1）连接,AD BD ，则DA AC ⊥，DB BC ⊥又H 为ABC ∆垂心⊥BH AC ⊥，AH BC ⊥⊥//,//AD BH BD AH⊥四边形ADBH 为平行四边形⊥2DB AH OM ==，又O 为CD 中点⊥M 为BC 中点（2）过E 作EG BC ⊥连接GH ，由（1）可知四边形EGHF 为平行四边形，四边形EGFA 为平行四边形 ⊥,CH AB AB GF ⊥⊥CH GF ⊥⊥H 为FGC ∆垂心⊥,GH GH CF EF ⊥而⊥EF FC ⊥（3）设AM 与OF 交点为I由（1）可知四边形OMFA 为平行四边形⊥I 为直径AM 中点而圆I 与圆Γ相交弦为AP⊥,OF AP MH OF ⊥而⊥MH AP ⊥设,MC AP Q 交于则H 为AMQ ∆垂心⊥QH AM ⊥AP BC OH 、、三线共点⇔,,O H Q 三点共线⇔OH AN⊥⇔AH HN=【点睛】本题考查了圆内的综合问题，熟知圆的性质，平行四边形的判定和性质，垂心的作用是解题的关键．【好题演练】一、单选题1．（2020·浙江金华市·九年级学业考试）如图，⊙O是等边⊙ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是DF上一点，则⊙EPF的度数是（）A．65°B．60°C．58°D．50°【答案】B【分析】连接OE，OF．求出⊥EOF的度数即可解决问题．【详解】解：如图，连接OE，OF．⊥⊥O是⊥ABC的内切圆，E，F是切点，⊥OE⊥AB，OF⊥BC，⊥⊥OEB=⊥OFB=90°，⊥⊥ABC 是等边三角形，⊥⊥B=60°，⊥⊥EOF=120°， ⊥⊥EPF=12⊥EOF=60°， 故选：B ．【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心，切线的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．2．（2020·浙江温州市·九年级二模）如图，已知矩形ABCD 的周长为16，E 和F 分别为ABC ∆和ADC ∆的内切圆，连接AE ，CE ，AF ，CF ，EF ，若37AECF ABCD S S =四边形矩形，则EF 的长为（ ）A．B．C．D．【答案】B【分析】设AB=x ，BC=y ，内切圆半径为r ，由矩形的对称性知ABCE ADCF S S =四边形四边形，结合直角三角形内切圆半径与三角形面积间的关系得到x 、y 、r 的关系式，再由37AECF ABCD S S =四边形矩形推导出x 、y 、r 的关系，从而分别求出r ，xy 、22xy +的值，最后由勾股定理求得EF 值. 【详解】如图，设AB=x ，BC=y ，内切圆半径为r ，则⊥矩形ABCD 的周长为16，⊥x+y=8①⊥E 和F 分别为ABC ∆和ADC ∆的内切圆，⊥11(22ABC S xy x y r ∆==++② 由矩形的对称性知ABCE ADCF S S =四边形四边形， ⊥37AECFABCD S S =四边形矩形， ⊥247ABCE ABCD S S =四边形矩形， ⊥112()4227xr yr xy +=， 即()47x y r xy +=③ 由①、②、③联立方程组，解得：r=1，xy=14，2236x y +=，作EH⊥FH 于H ，由勾股定理得：222EF EH FH =+22(2)(2)x y =-+-224()8x y x y =+-++=36-32+8=12，⊥EF=故选：B.【点睛】本题主要考查了矩形的性质、直角三角形内切圆性质、勾股定理等知识，熟练掌握三角形内切圆半径与面积、周长间的关系是解答的关键.二、填空题3．（2019·沙坪坝区·重庆八中九年级月考）如图，O 是四边形ABCD 的内切圆，连接OA 、OB 、OC 、OD ．若108AOB ∠=︒，则COD ∠的度数是____________．【答案】72︒【分析】如图，设四个切点分别为点,,,E F G H ，分别连接切点与圆心，可以得到4对全等三角形，进而得到12∠=∠，34∠=∠，56∠=∠，78∠=∠，根据这8个角和为360°，⊥1+⊥8=108AOB ∠=︒，即可求出COD ∠=⊥5+⊥4=72°．【详解】解：设四个切点分别为点,,,E F G H ，分别连接切点与圆心，则OE AB ⊥，OF CB ⊥，OG CD ⊥，OH AD ⊥且OE OF OG OH ===， 在Rt BEO ∆与Rt BFO ∆中OE OF OB OB=⎧⎨=⎩ ⊥Rt BEO Rt BFO ∆∆≌，⊥12∠=∠，同理可得：34∠=∠，56∠=∠，78∠=∠，1145(3456)[360(1278)]22COD ∠=∠+∠=∠+∠+∠+∠=︒-∠+∠+∠+∠ 11[3602(18)][3602108]7222=︒-∠+∠=︒-⨯︒=︒．故答案为：72︒【点睛】本题考查了切线的性质，添加辅助线构造全等等知识点，一般情况下，已知直线为圆的切线，构造过切点的半径是常见辅助线做法．4．（2019·湖南广益实验中学九年级月考）如图，将边长为8的正方形纸片ABCD沿着EF 折叠，使点C落在AB边的中点M处。