2021年中考数学总复习专题提升五 以特殊三角形为背景的探究性问题
中考数学专题复习《特殊三角形存在性问题+将军饮马问题》
特殊三角形存在性问题+将军饮马问题1.如图1，已知长方形OABC的顶点O在坐标原点，A、C分别在x、y轴的正半轴上，顶点B(8，6)，直线y= -x+b经过点A交BC于D、交y轴于点M，点P是AD的中点，直线OP交AB于点E．(1)求点D的坐标及直线OP的解析式；(2)点N是直线AD上的一动点(不与A重合)，设点N的横坐标为a，请写出△AEN的面积S和a之间的函数关系式，并请求出a为何值时S=12；(3)在x轴上有一点T(t，0)(5<t<8)，过点T作x轴的垂线，分别交直线OE、AD于点F、G，在线段AE上是否存在一点Q，使得△FGQ为等腰直角三角形，若存在，请写出点Q的坐标及相应的t的值；若不存在，请说明理由．2.如图，在平面直角坐标系中，直线y=-2x+4交坐标轴于A、B两点，过x轴负半轴上一点C作直线CD交y轴正半轴于点D，且△AOB≌△DOC．(1)OC= ，OD= ；(2)点M(-1，a)是线段CD上一点，作ON⊥OM交AB于点N，连接MN，则点N的坐标为 ；(3)若E(1，b)为直线AB上的点，P为y轴上的点，请问：直线CD上是否存在点Q，使得△EPQ是以E为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请求出此时Q点的坐标；若不存在，请说明理由．3.如图，已知：在矩形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，点P从点B出发，沿BC方向匀速运动，速度为2cm/s；与点P同时，点Q从D点出发，沿DA方向匀速运动，速度为1cm/s；过点Q作QE∥AC，交DC于点E，设运动时间为t(s)，(0<t<2)，解答下列问题：(1)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使PQ平分∠APC？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；(2)设五边形APCEQ的面积为y，求y与t的函数关系式；(3)是否存在某一时刻t，使△PQE是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．4.如图，已知直线l1经过点(5，6)，交x轴于点A(-3，0)，直线l2：y=3x交直线l1于点B．(1)求直线l1的函数表达式和点B的坐标；(2)求△AOB的面积；(3)在x轴上是否存在点C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．5.如图，直线l1经过A(6，0)、B(0，8)两点，点C从B出发沿线段BO以每秒1个单位长度的速度向点O运动，点D从A出发沿线段AB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，设运动时间为t秒(t>0)，(1)求直线l1的表达式；(2)当t= 时，BC=BD；(3)将直线l1沿x轴向右平移3个单位长度后，与x轴，y轴分别交于E、F两点，求四边形BAEF的面积；(4)在第一象限内，是否存在点P，使A、B、P三点构成等腰直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．6.如图，在平面直角坐标系中，直线AB:y=-54x+74与x轴交于点C，且点A(-1，m)，B(n，-2)．(1)求点C的坐标；(2)求原点O到直线AB的距离；(3)在x轴上是否存在一点P，使得△ACP是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．7.如图，已知函数y=x+1的图象与y轴交于点A，一次函数y=kx+b的图象经过点B(0，-1)，与x轴以及y=x+1的图象分别交于点C、D．(1)若点D的横坐标为1，求四边形AOCD的面积；(2)若点D的横坐标为1，在x轴上是否存在点P，使得以点P，C，D为顶点的三角形是直角三角形？若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．8.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，等腰直角三角形OAB的斜边OB在x轴上，∠OAB=90°，点A(3，3)．(1)求点B的坐标；(2)点P从点O出发沿x轴以每秒2个单位的速度向x轴正方向运动，设点P运动时间为t秒，求t为何值时，OP=2PB；(3)在(2)的条件下，当OP=2PB时，在第一象限内是否存在点Q，使△BPQ为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；(写出四个即可)若不存在，请说明理由．9.如图，在平面直角坐标系中A(a，0)，B(0，b)，满足a2-4a+4+|b-4|=0．(1)求A，B两点的坐标；(2)∠OBA的平分线BC与∠OAB的外角平分线AM交于点C，求点∠C的度数；(3)在平面内是否存在点P，使△ABP为等腰直角三角形．若存在，请写出点P的个数，并直接写出其中两个点的坐标；若不存在，请说明理由．10.问题探究(1)如图1，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，点E是边BC上一点，AB=EC，BE=CD，连接AE，DE，判断△AED的形状，并说明理由．(2)如图2，在△ABC中，∠C=90°，点D为边CA的延长线上一点，且AD=2BC，过点A作AE⊥AB且AE=AB，连接DE，求证：DE=AE．(3)如图3，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(3，2)，连接OA，在x轴上方是否存在一点B，使得△OAB是等腰直角三角形，若存在，请直接写出点B的坐标；若不存在，请说明理由．11.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=11cm，BC=8cm，点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿AB向点B匀速运动，同时点Q从点B出发以每秒2cm的速度沿BC向点C匀速运动，到达点C后返回点B，当有一点停止运动时，另一点也停止运动，设运动时间为t秒．(1)当t=1时，直接写出P，Q两点间的距离．(2)是否存在t，使得△BPQ是等腰三角形，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．(3)是否存在t，使得△BPQ的面积等于10cm2，若存在，请求出t的值：若不存在，请说明理由．12.如图，在平面直角坐标中，把长方形OABC沿对角线OB所在的直线折叠，点A落在点D处，OD与BC交于点E．已知OA=6，OC=3．(1)求出过点A，E的直线的函数表达式．(2)在x轴上是否存在点F，使△OBF为等腰三角形？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．13.如图，等腰直角△ABC中，BC=AC，∠ACB=90°，现将该三角形放置在平面直角坐标系中，点B坐标为(0，3)，点C坐标为(9，0)．过点A作AD⊥x轴，垂足为D．(1)求OD的长及点A的坐标；(2)取AB中点E，连接OE、DE，请你判定OE与DE的关系，并证明你的结论；(3)连接OA，已知OA=15，试探究在x轴上是否存在点Q，使△OAQ是以OA为腰的等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．14.如图，直线l1：y=x+3与过点A(3，0)的直线l2交于点C(1，m)，与x轴交于点B，CD⊥x轴于点D．(1)求点B和点C的坐标；(2)求直线l2的函数表达式；(3)在x轴上是否存在点P，使得以B、C、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．15.在平面直角坐标系xOy中，直线l过(1，3)和(3，1)两点，且与x轴，y轴分别交于A、B两点．(1)求直线l对应的函数解析式；(2)求△AOB的面积；(3)在x轴上是否存在一点C，使△ABC为等腰三角形，若存在，直接写出点C坐标；若不存在，请说明理由．16.古罗马时代，亚历山大有一个著名的学者叫海伦，一天罗马的一位将军专程跑去问海伦这样一个问题：每天从军营A出发，先到河边给马喝水，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短？海伦思考后便给出了答案，也就是现在著名的“将军饮马”问题．其实“将军饮马”实质要解决的问题是：要在直线l上找一点P使得PA+PB的值最小．(1)如图1，点A到直线l的距离AO1=2，点B到直线l的距离BO2=3，O1O2=4，要解决该最小值问题，如图2，作点A关于直线l的对称点A'，连结A'B交直线l于点P，此时P即为所求点，则PA+PB的最小值为 ；(2)如图3，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=8，∠ACB=90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是 ；(3)如图4，正方形ABCD的边长是6，点E是AD边上一动点，连接BE，过点A作AF⊥BE于点F，点P是AD边上另一动点，则PC+PF的最小值为 ．17.【情景回顾】在进行13.4《最短路径问题》的学习时，同学们从一句唐诗“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”(唐•李颀《古从军行》出发，一起研究了蕴含在其中的数学问题--“将军饮马”问题．同学们先研究了最特殊的情况，再利用所学的轴对称知识，将复杂问题转化为简单问题，找到了问题的答案，并进行了证明．下列图形分别说明了以上研究过程．证明过程如下：如图4，在直线l上另取任一点C'，连结AC'，BC'，B'C'，∵点B，B'关于直线l对称，点C，C'在l上，∴CB= ，C'B= ，∴AC+CB=AC+CB'= ．在△AC'B'中，∵AB'<AC'+C'B'，∴AC+CB<AC'+C'B'，即AC+CB最小．【问题解决】(1)请将证明过程补充完整．(直接填在横线上)(2)课堂小结时，小明所在的小组同学提出，如图1，A，B是直线/同旁的两个定点．在直线l上是否存在一点P，使PB-PA的值最大呢？请你类比“将军饮马”问题的探究过程，先说明如何确定点P的位置，再证明你的结论是正确的．(3)如图，平面直角坐标系中，M(2，2)，N(4，-1)，MN=13，P是坐标轴上的点，则|PM-PN|的最大值为 ，此时P点坐标为 ．(直接写答案)18.龙岗区八年级某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同旁有两个定点A、B，在直线l上存在点P，使得PA+PB的值最小．解法：如图1，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，则A′B与直线l的交点即为P，且PA+PB的最小值为A′B．请利用上述模型解决下列问题：(1)格点应用：如图2，边长为1的正方形网格内有两点A、B，直线l与A、B的位置如图所示，点P是直线l上一动点，则PA+PB的最小值为 ；(2)几何应用：如图3，△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=6，E是AB的中点，P是BC边上的一动点，则PA+PE的最小值为 ；(3)代数应用：代数式x2+4+6-x2+36(0≤x≤6)的最小值为 ．19.古罗马时代，亚历山大有一个著名的学者叫海伦，一天罗马的一位将军专程跑去问海伦这样一个问题：每天从军营A出发，先到河边给马喝水，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短？海伦思考后便给出了答案，也就是现在著名的“将军饮马”问题．其实“将军饮马”实质要解决的问题是：要在直线l上找一点P使得PA+PB的值最小．(1)如图1，点A到直线l的距离AO1=1，点B到直线l的距离BO2=3，O1O2=3，要解决该最小值问题，如图2，作点A关于直线l的对称点A′，连结A′B交直线l于点P，此时P即为所求点，则PA+PB的最小值为 ；(2)如图3，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=4，∠ACB=90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是 ；(3)如图4，在正△ABC中，AB=4，P、M、N分别是BC、CA、AB上的动点，①PM+MN的最小值为 ；②求PM+MN+NP的最小值．(4)如图5，正方形ABCD的边长为4，E、F分别是边AB和BC上的动点且始终满足AE=BF，连结DE、DF，求DE+DF的最小值．20.【源模：模型建立】白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河．--《古从军行》唐李欣诗中隐含着一个有趣的数学问题，我们称之为“将军饮马”问题．关键是利用轴对称变换，把直线同侧两点的折线问题转化为直线两侧的线段问题，从而解决距离和最短的一类问题．“将军饮马”问题的数学模型如图4所示：【新模1：模型应用】如图1，正方形ABCD的边长为3，点E在边AB上，且BE=1，F为对角线AC上一动点，欲使△BFE周长最小．(1)在图中确定点F的位置(要有必要的画图痕迹，不用写画法)；(2)△BFE周长的最小值为 ．【新模2：模型变式】(3)如图2，在矩形ABCD中，AB=5，AD=4，在矩形ABCD内部有一动点P，满足S△PAB=14S，矩形ABCD 则点P到A，B两点的距离和PA+PB的最小值为 ．【超模：模型拓广】(4)如图3，∠ABD=∠BDE=90°，AB=2，BD=DE=3．请构造合理的数学模型，并借助模型求x2+4+3-x2+9(x>0)的最小值．21.古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸同侧的两个军营A，B．他总是先去A营，再到河边饮马，之后，再巡查B营．他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．如图2，作B关于直线l的对称点B′，连结AB′与直线l交于点C，点C就是所求的位置．证明：如图3，在直线l上另取任一点C′，连结AC′，BC′，B′C′，∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上，∴CB= ，C′B= ，∴AC+CB=AC+CB′= ．在△AC′B′，∵AB′<AC′+C′B′，∴AC+CB<AC′+C′B′即AC+CB最小．本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决(其中C在AB′与l的交点上，即A，C，B′三点共线)．本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型．拓展应用：如图4，等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，BD平分∠ABC交AC于D，点P是BD上一个动点，点M是BC上一个动点，请在图5中画出PC+PM的值最小时P的位置．(可用三角尺)22.李明酷爱数学，勤于思考，善于反思．在学习八年级下册数学知识之后，他发现“二次根式、勾股定理、一次函数、平行四边形”都和“将军饮马”问题有关联，并且为解决“饮马位置”“最短路径长”等问题，提供了具体的数学方法．于是他撰写了一篇数学作文．请你认真阅读思考，帮助李明完成相关问题．“将军饮马”问题的探究与拓展八年级三班李明“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”(唐•李颀《古从军行》)，这句诗让我想到了有趣的“将军饮马”问题：将军从A地出发到河边l饮马，然后再到B地军营视察，怎样走路径最短？【数学模型】如图1，A，B是直线l同旁的两个定点．在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．【问题解决】作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B交l于点P，则点P即为所求．此时，PA+PB的值最小，且PA+PB=A'P+PB=A'B．【模型应用】问题1．如图2，经测量得A，B两点到河边l的距离分别为AC=300米，BD=900米，且CD=900米．请计算出“将军饮马”问题中的最短路径长．问题2．如图3，在正方形ABCD中，AB=9，点E在CD边上，且DE=2CE，点P是对角线AC上的一个动点，则PE+PD的最小值是 ．问题3．如图4，在平面直角坐标系中，点A(-2，4)，点B(4，2)．(1)请在x轴上确定一点P，使PA+PB的值最小，并求出点P的坐标；(2)请直接写出PA+PB的最小值．【模型迁移】问题4．如图5，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC=12，BD=16．点P和点E分别为BD，CD上的动点，求PE+PC的最小值．23.【模型介绍】古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸同侧的两个军营A，B．他总是先去A营，再到河边饮马，之后，再巡查B营．如图①，他时常想，怎么走才能使每天走的路程之和最短呢？大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．如图②，作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点P，连接PB，则AP+BP的和最小．请你在下列的阅读、理解、应用的过程中，完成解答．理由：如图③，在直线l上另取任一点P′，连接AP′，BP′，B′P′，∵直线l是点B，B′的对称轴，点P，P′在l上，∴PB= ，P′B= ，∴AP+PB=AP+PB′= ．在△AP′B′中，∵AB′<AP′+P′B′，∴AP+PB<AP+P′B′，即AP+BP最小．【归纳总结】在解决上述问题的过程中，我们利用轴对称变换，把点A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决(其中点P为AB′与l的交点，即A，P，B′三点共线)．由此，可拓展为“求定直线上一动点与直线同侧两定点的距离和的最小值”问题的数学模型．【模型应用】(1)如图④，正方形ABCD的边长为4，E为AB的中点，F是AC上一动点．求EF+FB的最小值．解析：解决这个问题，可借助上面的模型，由正方形对称性可知，点B与D关于直线AC对称，连接DE交AC于点F，则EF+FB的最小值就是线段ED的长度，则EF+FB的最小值是 ．(2)如图⑤，圆柱形玻璃杯，高为14cm，底面周长为16cm，在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短路程为 cm．(3)如图⑥，在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC=60°，将△ABD沿射线BD的方向平移，得到△A′B′D′，分别连接A′C，A′D，B′C，则A′C+B′C的最小值为 ．24.早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．如图2，作B关于直线l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点C，点C就是所求的位置．证明：如图3，在直线l上另取任一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上，∴CB=CB′，C′B=C′B′，∴AC+CB=AC+ = ．在△AC′B′中，∵AB′<AC′+C′B′∴AC+CB<AC′+C′B′即AC+CB最小．本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决(其中C在AB′与l的交点上，即A、C、B′三点共线)．本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型．【简单应用】(1)如图4，在等边△ABC中，AB=6，AD⊥BC，E是AC的中点，M是AD上的一点，求EM+MC的最小值借助上面的模型，由等边三角形的轴对称性可知，B与C关于直线AD对称，连接BM，EM+MC的最小值就是线段 的长度，则EM+MC的最小值是 ；(2)如图5，在四边形ABCD中，∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，在BC，CD上分别找一点M、N当△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM= °．【拓展应用】如图6，是一个港湾，港湾两岸有A、B两个码头，∠AOB=30°，OA=1千米，OB=2千米，现有一艘货船从码头A出发，根据计划，货船应先停靠OB岸C处装货，再停靠OA岸D处装货，最后到达码头B．怎样安排两岸的装货地点，使货船行驶的水路最短？请画出最短路线并求出最短路程．25.某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同旁有两个定点A、B，在直线l上存在点P，使得PA+PB的值最小．解法：如图1，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，则A′B与直线l的交点即为P，且PA+PB的最小值为A′B．请利用上述模型解决下列问题：(1)几何应用：如图2，△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，E是AB的中点，P是BC边上的一动点，则PA+PE的最小值为 ；(2)代数应用：求代数式x2+1+3-x2+9(0≤x≤3)的最小值；(3)几何拓展：如图3，△ABC中，AC=2，∠A=30°，若在AB、AC上各取一点M、N使CM+MN的值最小，最小值是 ．参考答案1.解：(1)∵四边形OABC 为长方形，点B 的坐标为(8，6)，∴点A 的坐标为(8，0)，BC ∥x 轴．∵直线y =-x +b 经过点A ，∴0=-8+b ，∴b =8，∴直线AD 的解析式为y =-x +8．当y =6时，有-x +8=6，解得：x =2，∴点D 的坐标为(2，6)．∵点P 是AD 的中点，∴点P 的坐标为(2+82，6+02)，即(5，3)，设直线OP 的解析式为y =kx ，∴3=5k ，解得k =35，∴直线OP 的解析式为y =35x ；(2)当x =8时，y =35x =245，∴点E 的坐标为(8，245)，设点N 的坐标为(a ，-a +8)，∴S =12×245×|8-a |=125|8-a |，当a <8时，S =125|8-a |=-125a +965，当a >8时，S =125|8-a |=125a -965，∴S =-125a +965(a <8)125a -965(a >8)，当S =12时，125|8-a |=12，解得：a =3或a =13；(3)∵点T 的坐标为(t ，0)(5<t <8)，∴点F 的坐标为(t ，35t )，点G 的坐标为(t ，-t +8)．分三种情况考虑：①当∠FGQ =90°时，如图1所示．∵△FGQ 为等腰直角三角形，∴FG =GQ ，即35t -(-t +8)=8-t ，解得：t =8013，此时点Q 的坐标为(8，2413)；②当∠GFQ =90°时，如图2所示．∵△FGQ 为等腰直角三角形，∴FG =FQ ，即35t -(-t +8)=8-t ，解得：t =8013，此时点Q 的坐标为(8，4813)；③当∠FQG =90°时，过点Q 作QS ⊥FG 于点S ，如图3所示．∵△FGQ 为等腰直角三角形，∴FG =2QS ，即35t -(-t +8)=2(8-t )，解得：t =203，此时点F 的坐标为(203，4)，点G 的坐标为(203，43)，此时点Q 的坐标为(8，4+432)，即(8，83)．综上所述：在线段AE 上存在一点Q ，使得△FGQ 为等腰直角三角形，当t =8013时点Q 的坐标为(8，2413)或(8，4813)，当t =203时点Q 的坐标为(8，83)．2.解：(1)把x =0代入y =-2x +4得：y =4，∴点B (0，4)，∴OB =4，把y =0代入y =-2x +4得：x =2，∴点A (2，0)，∴OA =2，∵△AOB ≌△DOC ，∴OC =OB =4，OD =OA =2，故答案为：4，2；(2)设直线CD 对应的函数表达式为：y =kx +b ，∵OC =4，OD =2，∴C (-4，0)，D (0，2)，把C (-4，0)，D (0，2)代入y =kx +b 得-4k +b =0b =2，解得k =12b =2，∴直线CD 对应的函数表达式为y =12x +2，∴M (-1，32)，∵△AOB ≌△DOC ，∴∠OBA =∠OCD ，OB =OC ，又∵ON ⊥OM ，即∠MOD +∠BON =90°，∵∠COD =90°，即∠COM +∠MOD =90°，∴∠BON =∠COM ，∴△OBN ≌△OCM (ASA )，∴OM =ON ，分别过点M 、N 作ME ⊥x 轴于点E ，NF ⊥y 轴于点F ，∴∠OFN =∠OEM ，∵∠BON =∠COM ，OM =ON ，∴△OFN ≌△OEM (AAS )，∴OF =OE =1，FN =EM =32，∴点N 的坐标为(32，1)，故答案为：(32，1)；(3)直线CD 上存在点Q ，使△EPQ 得是以E 为直角顶点的等腰三角形．∵E (1，b )为直线AB 上的点，∴b =-2×1+4=2，∴E (1，2)，①当点P 在点B 下方时，如图，连接DE ，过点Q 作QM ⊥DE ，交DE 的延长线于M 点，∵D (0，2)，∴DE ⊥y 轴，DE =1，点M 的纵坐标为2，∠M =∠EDP =90°，∵△EPQ 是以E 为直角顶点的等腰直角三角形，∴EP =EQ ，∠PEQ =90°，∴∠QEM +∠PED =90°=∠QEM +∠EQM ，∴∠DEP =∠EQM ，∴△DEP ≌△MQE (AAS )，∴MQ =DE =1，∴Q 点的纵坐标为3，把y =3代入y =12x +2中得：x =2，∴点Q (2，3)；②当点P 在点B 上方时，如图，过E 点作EM ∥y 轴，过点Q 作QM ⊥EM 于M 点，过P 点作PN ⊥EM 交ME 的延长线于N 点．则∠M =∠N =90°，∴N 点的橫坐标为1，则PN =1，∵△EPQ 是以E 为直角顶点的等腰三角形，∴EP =EQ ，∠PEQ =90°，∴∠QEM +∠PEN =90°=∠PEN +∠NPE ，∴∠MEQ =∠NPE ，∴△EQM ≌△PEN (AAS )，∴M 点的纵坐标为1，∴Q 点的纵坐标为1，把y =1代入y =12x +2中得：x =-2，∴Q (-2，1)；综上所述，直线CD 上存在点Q ，使得△EPQ 是以E 为直角顶点的等腰直角三角形，Q 点的坐标为(2，3)或(-2，1)．3.解：(1)如图1，当PQ 平分∠APC ，有∠APQ =∠CPQ ，∵矩形ABCD 中，AB =3cm ，BC =4cm ，∴AD ∥BC ，AD =BC =4cm ，AB =CD =3cm ，∠B =90°，∴∠CPQ =∠AQP ，∴∠APQ =∠AQP =∠CPQ ，∴AP =AQ ，∴AP 2=AQ 2，由题意知：BP =2t cm ，DQ =t cm ，∴AQ =AD -DQ =(4-t )cm ，∵∠B =90°，∴AP 2=AB 2+BP 2=32+(2t )2，∴32+(2t )2=(4-t )2，解得：t 1=-4+423，t 2=-4-423，∵0<t <2，∴t =-4+423，∴当t =-4+423秒时，PQ 平分∠APC ；(2)如图2，当P 、Q 运动时间为ts 时，BP =2t cm ，DQ =t cm ，∵QE ∥AC ，∴△DQE ∽△DAC ，∴DQDA =DE DC，∴t 4=DE 3，∴DE =34t cm ，∴S △ABP =12AB •BP =12×3×2t =3t (cm 2)，S △QDE =12t ×34t =38t 2(cm 2)，∵S 矩形ABCD =AB •BC =3×4=12(cm 2)，∴y =S 五边形APCEQ =S 矩形ABCD -S △ABP -S △QDE =12-3t -38t 2(0<t <2)，∴y 与t 的函数关系式为：y =-38t 2-3t +12(0<t <2)；(3)①当∠QEP =90°，如图3，∵∠QED +∠EQD =90°，∠QED +∠EQD =90°，∴∠CEP =∠DQE ，∵∠QDE =∠ECP =90°，∴△QDE ∽△ECP ，当运动时间为ts 时，∵QD =t cm ，由(2)可知，DE =34t cm ，∴EC =DC -DE =(3-34t )cm ，∵BP =2t cm ，∴CP =(4-2t )cm ，∴QDEC =DE CP ，∴t 3-34t =34t4-2t，解得：t =2823或t =0(舍去)，∴t =2823；②当∠PQE =90°时，如图4，过点P 作线段PI ⊥AD 于点I ，∵∠EQD +∠PQI =90°，∠QED +∠EQD =90°，∴∠PQI =∠QED ，∵∠QDE =∠PIQ =90°，∴△QDE ∽△PIQ ，当运动时间为ts 时，∵QD =t cm ，由(2)可知，DE =34t cm ，∵BP =AI =2t cm ，∴QI =AD -QD -AI =4-t -2t =(4-3t )cm ，∵PI =AB =3cm ，∴PI QD =IQDE ，∴3t =4-3t34t ，解得：t =712或t =0(舍去)，∴t =712；③当∠QPE =90°，不满足题意，综上所述，t 的值为2823或712时，△PQE 是直角三角形．4.(1)解：设直线l 1的函数表达式为y =kx +b (k ≠0)．∵图象经过点(5，6)，A (-3，0)，∴5k +b =6-3k +b =0 ，解得k =34b =94 ，∴直线l 1的函数表达式为y =34x +94．联立y =34x +94y =3x，解得：x =1y =3 ，∴点B 的坐标为(1，3)；(2)解：∵A (-3，0)，B (1，3)，∴S △AOB =12×3×3=92；(3)解：∵点C 在x 轴上，∴∠BAC ≠90°，∴当△ABC 是直角三角形时，需分∠ACB =90°和∠ABC =90°两种情况．①当∠ACB =90°时，点C 在图中C 1的位置：∵点A 和点C 1均在x 轴上，∴BC 1⊥x 轴．∵B (1，3)，∴C 1(1，0)；②当∠ABC =90°时，点C 在图中C 2的位置：设C 2(m ，0)，(m >0)∵A (-3，0)，B (1，3)，C 1(1，0)，∴AC 1=4，BC 1=3，C 1C 2=m -1，AC 2=m +3，∴AB =AC 12+BC 21=42+32=5．在Rt △ABC 2中，AC 22-AB 2=BC 12，在Rt △BC 1C 2中，BC 12+C 1C 22=BC 22，∴AC 22-AB 2=BC 12+C 1C 22，即(m +3)2-52=32+(m -1)2，解得m =134，∴C 2134,0 ．综上可知，在x 轴上存在点C ，使得△ABC 是直角三角形，点C 的坐标为(1，0)或134,0．5.解：(1)设直线l 1的表达式为y =kx +b ，将A (6，0)、B (0，8)代入得：6k +b =0b =8 ，解得：k =-43b =8，∴直线l 1的表达式为y =43x +8；(2)由点A 、B 的坐标知，OA =6，OB =8，则AB =10，t 秒时，BC =t ，BD =BA -AD =10-2t ，当BC =BD 时，则t =10-2t ，解得：t =103；故答案为：103．(3)由平移可得：直线EF 的关系式为：y =43x -3 +8=-43x +12，当x =0时，y =12，F (0，12)，当y =0时，x =9，E (9，0)，四边形BAEF 的面积=S △EFO -S △ABO ，即S 四边形BAEF =12×9×12-12×6×8=30，答：四边形BAEF 的面积是30．(4)存在．当∠ABP =90°，AB =BP 时，如图所示：过点P 作PM ⊥y 轴于点M ，可证△AOB ≌△BMP (AAS )，∴AO =BM =6，BO =MP =8，∴OM =14，∴P (8，14)．当∠BAP =90°，AB =AP 时，如图所示：过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，可证△AOB ≌△PMA (AAS )，∴AO =PM =6，BO =AM =8，∴OM =14，∴P (14，6)．当∠APB =90°，BP =AP 时，如图所示：过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，PN ⊥y 轴于点N ，可证△AMP ≌△BNP (AAS )，∴AM =BM ，PM =PN ，∴6+AM =8-BN ，∴AM ==BN =1，∴OM =7=PN =PM ，∴P (7，7)，∴P (8，14)．综上，点P (8，14)或(14，6)或(7，7)．6.解：(1)令y =54x +74=0，解得：x =75，∴点C 的坐标为75,0 ；(2)由(1)知OC =75；代入点A (-1，m )，B (n ，-2)两点可得：m =54+74,-2=-54n +74，解得：m =3，n =3，∴A (-1，3)，B (3，-2)，∴S △AOC =12×75×3=2110，AC =75+1 2+32=3415，设原点O 到直线AB 的距离为d ，∴S △AOC =12×3415d =2110，解得：d =741=74141；(3)存在，理由如下：设点P 的坐标为(x ，0)，∵∠ACP 为锐角，∴△ACP 是直角三角形，而分两种情况分析：①若∠APC =90°，此时点P 的坐标为(-1，0)；②若∠PAC =90°，AC 2+AP 2=CP 2，故75+1 2+32+x +1 2+32=75-x 2，解得：x =-194，此时点P 的坐标为(-6，0)；综上所述，存在满足条件的点P 的坐标为(-1，0)或-194,0．7.解：(1)把D 坐标(1，n )代入y =x +1中得：n =2，即D (1，2)，把B (0，-1)与D (1，2)代入y =kx +b 中得：b =-1k +b =2 ，解得：k =3b =-1 ，∴直线BD 解析式为y =3x -1，对于直线y =x +1，令y =0，得到x =-1，即E (-1，0)；令x =0，得到y =1，对于直线y =3x -1，令y =0，得到x =13，即C (13，0)，则S 四边形AOCD =S △DEC -S △AEO =12×43×2-12×1×1=56；(2)存在．如图，当∠DPC =90°时，P (1，0)．当∠CDP ′=90°时，△DPC ∽△P ′PD ，∴PD 2=CP •PP ′，∴22=23×PP ′，∴PP ′=6，∴OP =OP +PP ′=1+6=7，∴P ′(7，0)．综上所述，满足条件的点P 的坐标为(1，0)或(7，0)．8.解：(1)如图1中，过点A 作AH ⊥OB 于点H ，∵A(3，3)，∴AH=OH=3，∵OA=AB，AH⊥OB，∴HB=OH=3，∴OB=6，∴B(6，0)；(2)当点P在线段OB上时，2t=2(6-2t)，∴t=2．当点P在线段OB的延长线上时，2t=2(2t-6)，∴t=6．综上所述，满足条件的t的值为2或6．(3)存在．如图2中，当P(4，0)时，满足条件的点Q的坐标为(5，1)或(6，2)或(4，2)．如图3中，当P(12，0)时，点Q的坐标为(9，3)或(12，6)或(6，6)．综上所述，满足条件的点Q的坐标为(5，1)或(6，2)或(4，2)或(9，3)或(12，6)或(6，6)．9.解：(1)∵a2-4a+4+|b-4|=0，∴(a-2)2+|b-4|=0，∵(a-2)2≥0，|b-4|≥0，∴a=2，b=4，∴A(2，0)，B(0，4)；(2)∵BC平分∠OBA，AM平分∠BAD，∴∠CBA=12∠OBA,∠BAM=12∠BAD，∵∠C+∠CBA=∠BAM，∠AOB=∠BAD-∠OBA，∴∠C=∠BAM-∠CBA=12∠BAD-12∠OBA=12∠AOB=12×90°=45°；(3)存在，满足条件的点共有6个，如图所示，P 1(6，2)，P 2(-2，-2)，P 3(4，6)，P 4(-4，2)，P 5(3，3)，P 6(-1，1)．10.(1)解：结论：△AED 是等腰直角三角形．理由：在△ABE 和△ECD 中，AB =EC∠B =∠C BE =CD，∴△ABE ≌△ECD (SAS )，∴AE =DE ，∠BAE =∠CED ，∵∠BAE +∠AED =90°，∴∠CED +∠AEB =90°，∴∠AED =90°，∴△AED 是等腰直角三角形；(2)证明：过点E 作EF ⊥AD 于F ，由(1)可知△EFA ≌△ACB ，∴AF =BC ，∵AD =2BC ，∴AD =2AF ，∴AF =DF ，又∵EF ⊥AD ，∴DE =AE ；(3)解：存在．分三种情况，①若点O 为直角顶点，如图3，∵A (3，2)，∴OF =3，AF =2，过点A 作AF ⊥x 轴于F ，过点B 作BE ⊥x 轴于E ，由(1)知△BEO ≌△OFA ，∴BE =OF =3，OE =AF =2，∴B (-2，3)；②若点A 为直角顶点，如图4，过点A 作AF ⊥x 轴于F ，过点B 作BE ⊥AF ，交FA 的延长线于E ，由(1)知△BEA ≌△AFO ，∴BE =OF =2，AE =PF =5，∴B (1，5)；③若点B 为直角顶点，如图5，过点B 作BE ⊥y 轴于E ，过点A 作AF ⊥BE ，交EB 的延长线于F ，由(1)知△BEO ≌△AFB ，∴BE =AF ，OE =BF ，设BE =AF =a ，则OE =2+a，∴a +2+a =3，∴a =12，∴OE =a +2=12+2=52，∴B (12，52)；综上所述，存在点B ，使得△OAB 是等腰直角三角形，点B 的坐标为(-2，3)或(1，5)或B (12，52)．11.解：(1)当t =1时，由题意可知：AP =1cm ，BQ =2cm ，∵AB =11cm ，∴PB =10cm ，∵∠B =90°，∴PQ =PB 2+BQ 2=102+22=226cm ；(2)∵∠B =90°，∴△BPQ 是等腰三角形时，只有BP =BQ ，由题意可知：BP =(11-t )cm ，∵Q 从点B 出发以每秒2cm 的速度沿BC 向点C 匀速运动，到达点C 后返回点B ，当有一点停止运动时，另一点也停止运动，∴当0≤t ≤4时，BQ =2t cm ；当4<t ≤8时，BQ =(16-2t )cm ；当8<t ≤11时，BQ =(2t -16)cm ；∵BP =BQ ，∴11-t =2t ，解得：t =113>4，故不符合题意；11-t =16-2t ，解得：t =5，符合题意；11-t =2t -16，解得：t =9，符合题意；综上所述：t =5或t =9；(3)假设存在t 使得△BPQ 的面积等于10cm 2，由(2)可知：BP =(11-t )cm ，当0≤t ≤4时，BQ =2t cm ；当4<t ≤8时，BQ =(16-2t )cm ；当8<t ≤11时，BQ =(2t -16)cm ；∴当0≤t ≤4时，12×11-t ×2t =10；解得：t =1或t =10(舍去)；当4<t ≤8时，12×11-t ×16-2t =10；，解得：t =6或t =13(舍去)；当8<t ≤11时，12×11-t ×2t -16 =10，因为Δ<0，故无解，综上所述，当t =1或t =6时△BPQ 的面积等于10cm 2．12.解：(1)∵四边形OABC 是矩形，∴OA ∥BC ，∴∠CBO =∠AOB ，根据翻折的性质可知：∠EOB =∠AOB ，∴∠EOB =∠EBO ，∴EO =EB ，设EO=EB=x，在Rt△ECO中，EO2=OC2+CE2，∴x2=32+(6-x)2，解得x=15 4，∴CE=BC-EB=6-154=94，∴E(94，3)，设直线AE的解析式为y=kx+b，∴6k+b=094k+b=3 ，解得k=-45b=245，∴直线AE的函数解析式为y=-45x+245；(2)如图，OB=32+62=35．设F(n，0)．①当OB=OF时，F(35，3)或(-35，0)；②当OB=BF时，∴OB2=BF2，∴45=9+(6-n)2，解得n=12或0(舍去)，∴F(12，0)，③当OF=BF时，∴OF2=BF2，∴n2=9+(6-n)2，解得n=15 4，∴F(154，0)，综上所述，在x轴上是存在点F，使△OBF为等腰三角形，点F的坐标为(35，3)或(-35，0)或(12，0)或(154，0)．13.(1)解：∵点B坐标为(0，3)，点C坐标为(9，0)，∴OB=3，OC=9，∵∠ACB=90°，∴∠BCO+∠ACD=90°，且∠BCO+∠OBC=90°，∴∠ACD=∠OBC，且AC=BC，∠BOC=∠ADC=90°，∴△BOC≌△CDA(AAS)，∴CD=OB=3，∴OD=OC+CD=12，AO=OC=9，∴点A的坐标(12，9)；(2)OE =DE 且OE ⊥DE ；证明：过E 作EF ⊥y 轴于F ，并交AD 于G ，则FG =OD =12且FG ⊥AD ，∵B (0，3)，A (12，9)，E 为AB 中点，∴E (6，6)，∴EF =EG =6，OF =DG =6，又∵∠EFO =∠EGD =90°，∴△EFO ≌△EGD ，且△EFO 和△EGD 都为等腰直角三角形，∴OE =DE ，∠FEO =∠GED =45°，∴∠OED =180°-∠FEO -∠GED =90°，∴OE ⊥DE ；(3)解：①当以点A 为顶角顶点时，且OA 是腰，∵AD ⊥x 轴，∴点Q 1，O 关于直线AD 对称，即：Q 1(24，0)；②当以点A 为底角顶点时，且OA 是腰，形成锐角三角形时，则OQ 2=OA =15，∴Q 2(15，0)；③当以点A 为底角顶点时，且OA 是腰，形成钝角三角形时，则OQ 3=OA =15，∴Q 3(-15，0)，综上所述：Q 的坐标为：(24，0)或(15，0)或(-15，0)．14.解：(1)在y =x +3中，令y =0，得x =-3，∴B (-3，0)．将C (1，m )代入y =x +3得m =4，∴C (1，4)；(2)设直线l 2的函数表达式为y =kx +b (k ≠0)，将C (1，4)，A (3，0)代入得，k +b =43k +b =0 ，解得k =-2b =6 ，∴直线l 2的函数表达式为y =-2x +6；(3)∵C (1，4)，CD ⊥x 轴于点D ，∴D (1，0)．又∵B (-3，0)，∴CD =4,BD =4,BC =CD 2+BD 2=42．①当点B 为等腰△BCP 的顶点，即BC =BP 时，∵BC =42,B -3,0 ，∴此时点P 的坐标为-3-42,0 或42-3,0 ；②当点P 为等腰△BCP 的顶点，即PB =PC 时，。
精品教案2021九年级数学一轮总复习课时15特殊三角形导学案含答案解析
课时15．特殊三角形【课前热身】1. （2020·泰州）如图，将分别含有30︒、45︒角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为65︒，则图中角α的度数为_______．2. 在直角三角形中，两条直角边长为5和12，则斜边长为__________.3. （2020·毕节）已知等腰三角形两边的长分别为3和7， 则此等腰三角形的周长为（ ）A ．13B ．17C ．13或17D ．13或10第1题 第4题 第5题 第6题4. 如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 为AC 边上一点，且BD=BC=AD.则∠A 等于( )A.30°B.36°C.45°D.72°5. 如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P 是BC 边上的动点，则AP 长不可能是( )A.3.5B.4.2C.5.8D.76. 如图，在△ABC 中，AB=AC ，DE ∥BC ，则下列结论中不正确的是( )A.AD=AEB.DB=ECC.∠ADE=∠CD.DE=21BC 【例题讲解】例1 如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的角平分线，DE ⊥AB 于点E ，S △ABC=7，DE=2，AB=4，则AC 长是( )A.3B.4C.5D.6例2如图，在△ABC 中，∠A=36°，AB=AC ，AB 的垂直平分线OD 交AB 于点O ，交AC 于点D ，连接BD ，下列结论错误的是( )A.∠C=2∠AB.BD 平分∠ABCC.S △BCD=S △BODD.点D 为线段AC 的黄金分割点例3如图所示，在边长为4的正三角形ABC中，AD⊥BC于点D，以AD为一边向右作正三角形ADE.(1)求△ABC的面积S；(2)判断AC，DE的位置关系，并给出证明.例4如图，在等边△ABC中，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q，求证：BP=2PQ.【中考演练】1.已知等腰三角形的一条腰长是5，底边长是6，则它底边上的高为__ __.2.如图，已知OA=a，P是射线ON上一动点(即P可在射线ON上运动)，∠AON=60°，填空：(1)当OP=__ __时，△AOP为等边三角形；(2)当OP=________时，△AOP为直角三角形.3.如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，∠ACB=61°，延长BC至E，使CE=AC，延长CB至D，使DB=AB，则∠DAE=__ ___.第2题第3题第5题4.已知直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长度是___ ____.5.如图，∠BOC=9°，点A在OB上，且OA=1，按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；…，这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n=__ __．6.在下列四个命题，①等腰三角形两腰上的中线相等；②等腰三角形两腰上的高相等；③等腰三角形两底角的平分线相等；④等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等. 其中正确的个数为( )A.1B.2C.3D.47.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，斜边AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，AE平分∠BAC，那么下列关系式中不成立的是( )A.∠B=∠CAEB.BE=2CEC.∠B=∠BAED.AC=2EC8. 等腰三角形一腰上的中线分原三角形周长为15和12两部分，则此三角形底边之长为( )A.7B.11C.7或11D.不能确定9. 已知等腰△ABC 腰AB 上的高CD 与另一腰AC 的夹角为30°，则其顶角的度数为( )A.60°B.120°C.60°或150°D.60°或120°10. 如图，在△ABC 中，AB=AC=13，BC=10，点D 为BC 的中点，DE ⊥AB ，垂足为点E ，则DE 等于( )A. 1310B. 1360C. 1315D. 1375 11．下面三角形中不是直角三角形的有( )①三角形三内角之比为1:2:3；②三角形三内角之比为3:4:5；③三角形三边长之比为3:4:5；④三角形三边之长分别为0.6，0.8，1.A.1个B.2个C.3个D.4个 第12题12. 如图，在△ABC 中，∠A=36°，AB=AC ，BD 是△ABC 的角平分线.若在边AB 上截取BE=BC ， 连接DE ，则图中等腰三角形共有( )A.2个B.3个C.4个D.5个13. 如图，已知AB=AC=AD ，且AD ∥BC ，求证：∠C=2∠D ．14. 如图，P 是等边三角形ABC 内的一点，连结PA 、PB 、PC ，以BP 为边作∠PBQ=60°，且BP=BQ ，连结CQ ．(1)观察并猜想AP 与CQ 之间的大小关系，并证明你的结论．(2)若PA:PB:PC=3:4:5，连接PQ ，试判断△PQC 的形状，并说明理由．15. 如图，等边△ABC 中，AO 是∠BAC 的角平分线，D 为AO 上一点，以CD 为一边且在CD 下方作等边△CDE ，连接BE.(1)求证：△ACD ≌△BCE ；(2)延长BE至Q，P为BQ上一点，连接CP、CQ使CP=CQ=5，若BC=8时，求PQ的长.课时15．特殊三角形【课前热身】1.140°2.133.B4.B5.D6.D【例题讲解】例1 A例2 C4（2）垂直例3 （1）3例4 见课件【中考演练】1.42.（1）a（2）2a或0.5a3.127°5或4.75.96.D7.D8.C9.D10.B11.C12.D13.见课件14.见课件15.见课件。
关于函数动点特殊三角形问题的探究——以等腰直角三角形为例
学通讯:sxjxtxc @v 〉趨研究关于函数动点特殊三角形问题的探究——以等腰直角三角形为例邓紫琳江苏省南京市扬子第一中学210048［摘要］函数动点特殊三角形问题具有函数与几何的性质特点，解析问题时可从函数、几何两大视角进行切入.文章深入剖析问题背景，以函数动点等腰直角三角形的探究为例，总结解题策略，开展教学反思.［关键词］动点；等腰直角三角形；函数;数形结合国背景综述近几年，中考数学压轴题逐步趋向 动态研究.以直角坐标系为背景，研究 函数图像中因动点形成的特殊三角形 是其中较为特殊的一类,问题融合了动 点、函数、几何特性等内容，综合性强， 备受命题人青睐.函数图像中动点形成的特殊三角 形类型较为众多，典型的有等腰三角 形、直角三角形、等腰直角三角形，以及 具有特殊关系的相似三角形、全等三角 形等.该类问题往往以直角坐标系为背 景，函数与几何相融,图像灵活多变,动 静结合，需要充分把握其中的几何特 性,利用函数知识来构建解析思路.以函数动点形成的等腰直角三角形为例，解析问题时需要把握其中的 “等腰” “直角”,结合几何推理和代数运 算进行问题转化.从几何视角分析，可 以进行等角推导、角度计算;从代数视 角分析，可结合特殊角的三角函数、勾 股定理的线段关系、斜率与角度关系进 行突破.往往该类问题的解析过程包含 了丰富的思想方法，而灵活运用数形结 合思想、分类讨论思想、方程思想、函数 思想、数学建模是解题关键本文以函数 动点与等腰直角三角形为例进行探究.国问题探究1.问题呈现问题如图1,等腰直角三角板ABC 位于平面直角坐标系的第二象限，且斜靠ft 两缺标轴上，其中A(0,2),C(-l,0), 抛物线y=aa ：2+ax-2经过点B.(1)求点3的坐标.⑵求抛物线的解析式.(3)抛物线上是否存在一点P (点B 除外)，使得AACF 为以4C 为直角边的 等腰直角三角形?如果存在，请求岀点P 的坐标;如果不存在，请说明理由. 2.思路突破上述为以直角坐标系为背景的函 数动点特殊三角形问题,题干引入等腰 直角三角板，需要充分利用其中的等腰 和直角特性，联系函数上点的坐标特点 来突破(1) 已知点人和点C 的坐标，求函数图像上点B 的坐标,可过点B 作*轴的垂 线，设垂足为D,分析后可知△ B CDWACAO.由全等性质可得BD=OC=1, CD=0A=2,于是0D=3.所以点B 的坐标为(2) 求抛物线的解析式，只需将点B 的坐标代入其中即可.代入后可得1 = 9a-3a-2,解得a=*,所以抛物线的解析式为y=丄為丄“-2.2 2(3) 该问探究抛物线上是否存在异 于点B 的点P,使得△ACP 为以4C 为直 角边的等腰直角三角形.解析时需要把 握其中的两大条件：一是点P 位于抛物 线上，二是AACP 为等腰直角三角形, 且4C 为直角边.对于其中的条件二需 作者简介:邓紫琳(1979-),本科学历，中学一级教师，从事初中教学教学与研究，曾获南京市优质课比赛二等奖.2020年14冃(中旬)<81数学教学通讯■投稿由|5 箱:***************.com＞删研究分类处理:①AC 为直角边，点C 为直角 顶点;②4 C 为直角边，点4为直角顶点. 另外，该问综合了函数与几何知识，解 析突破的视角可以有所侧重,可从函数 和几何两大视角进行突破.下面便从这 两个视角来解答该小问.(方法一：函数视角)(D 如果人c 为直 角边，且点C 为直角顶点.设直线BC 与 抛物线的另一交点为R,如图2.结合点 B 和点C 的坐标可求得直线BC 的解析式 为尸-丄"一丄，联立直线BC 和抛物线2 2的解析式后可求得R( 1 ,-1).过点R 作* 轴的垂线,垂足为M,在Rt AMCPi 中使 用勾股定理，可得CP^A/PM+MC 2 = V5~,所以CP 1=AC.又易知厶ACPi = 90。
九年级数学中考2021年复习分类压轴大题专题：三角形综合题【含答案】
九年级数学中考2021年复习分类压轴大题专题：三角形综合题1．在平面直角坐标系中，B（2，2），以OB为一边作等边△OAB（点A在x轴正半轴上）．（1）若点C是y轴上任意一点，连接AC，在直线AC上方以AC为一边作等边△ACD．①如图1，当点D落在第二象限时，连接BD，求证：AB⊥BD；②若△ABD是等腰三角形，求点C的坐标；（2）如图2，若FB是OA边上的中线，点M是FB一动点，点N是OB一动点，且OM+NM 的值最小，请在图2中画出点M、N的位置，并求出OM+NM的最小值．2．在△ABC中，AB＝AC，CD是AB边上的高，若AB＝10，BC＝．（1）求CD的长．（2）动点P在边AB上从点A出发向点B运动，速度为1个单位/秒；动点Q在边AC上，从点A出发向点C运动，速度为v个单位/秒（v＞1）．设运动的时间为t（t＞0），当点Q到点C时，两个点都停止运动．①若当v＝2时，CP＝BQ，求t的值．②若在运动过程中存在某一时刻，使CP＝BQ成立，求v关于t的函数表达式，并写出自变量t的取值范围．3．如图1，直线AB分别与x轴、y轴交于A、B两点，OC平分∠AOB交AB于点C，点D为线段AB上一点，过点D作DE∥OC交y轴于点E，已知AO＝m，BO＝n，且m、n满足n2﹣8n+16+|n﹣2m|＝0．（1）求A、B两点的坐标；（2）若点D为AB中点，求OE的长；（3）如图2，若点P（x，﹣2x+4）为直线AB在x轴下方的一点，点E是y轴的正半轴上一动点，以E为直角顶点作等腰直角△PEF，使点F在第一象限，且F点的横、纵坐标始终相等，求点P的坐标．4．在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线．动点D在直线AM上时，以CD为一边在CD 的下方作等边△CDE，连结BE．（1）若点D在线段AM上时（如图1），则AD BE（填“＞”、“＜”或“＝”），∠CAM＝度；（2）设直线BE与直线AM的交点为O．①当动点D在线段AM的延长线上时（如图2），试判断AD与BE的数量关系，并说明理由；②当动点D在直线AM上时，试判断∠AOB是否为定值？若是，请直接写出∠AOB的度数；若不是，请说明理由．5．提出问题：如图1，在直角△ABC中，∠BAC＝90°，点A正好落在直线l上，则∠1、∠2的关系为．探究问题：如图2，在直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点A正好落在直线l上，分别作BD⊥l 于点D，CE⊥l于点E，试探究线段BD、CE、DE之间的数量关系，并说明理由．解决问题：如图3，在△ABC中，∠CAB、∠CBA均为锐角，点A、B正好落在直线l上，分别以A、B为直角顶点，向△ABC外作等腰直角三角形ACE和等腰直角三角形BCF，分别过点E、F 作直线l的垂线，垂足为M、N．①试探究线段EM、AB、FN之间的数量关系，并说明理由；②若AC＝3，BC＝4，五边形EMNFC面积的最大值为．6．如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D、E分别在AC、BC上，连接AE、BD交于点O，且CD＝CE．（1）如图1，求证：AO＝BO．（2）如图2，F是BD的中点，试探讨AE与CF的位置关系．（3）如图3，F、G分别是BD、AE的中点，若AC＝，CE＝，求△CGF的面积．7．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，P是直线AC上的一点，连接BP，过点C作CD⊥BP，交直线BP于点D．（1）当点P在线段AC上时，如图①，求证：BD﹣CD＝AD；（2）当点P在直线AC上移动时，位置如图②、图③所示，线段CD，BD与AD之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．8．几何探究题（1）发现：在平面内，若AB＝a，BC＝b，其中b＞a．当点A在线段BC上时，线段AC的长取得最小值，最小值为；当点A在线段CB延长线上时，线段AC的长取得最大值，最大值为．（2）应用：点A为线段BC外一动点，如图2，分别以AB、AC为边，作等边△ABD和等边△ACE，连接CD、BE．①证明：CD＝BE；②若BC＝5，AB＝2，则线段BE长度的最大值为．（3）拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（7，0），点P为线AB外一动点，且PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°．请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标．9．如图1，平面直角坐标系xOy中，若A（0，4）、B（1，0）且以AB为直角边作等腰Rt △ABC，∠CAB＝90°，AB＝AC．（1）如图1，求C点坐标；（2）如图2，在图1中过C点作CD⊥x轴于D，连接AD，求∠ADC的度数；（3）如图3，点A在y轴上运动，以OA为直角边作等腰Rt△OAE，连接EC，交y轴于F，试问A点在运动过程中S△AOB ：S△AEF的值是否会发生变化？如果没有变化，请说明理由．10．已知，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D为BC的中点．（1）问题发现如图①，若点E、F分别是AB，AC的中点，连接DE，DF，EF，则线段DE与DF的数量关系是，线段DE与DF的位置关系是；（2）拓展探究如图②，若点E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF，连接DE，DF，EF，上述结论是否依然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）解决问题当点E，F分别为AB，CA延长线上的点，且BE＝AF＝AB＝2，连接DE，DF，EF，直接写出△DEF的面积．参考答案1．（1）①证明：∵△OAB和△ACD是等边三角形，∴BO＝AO＝AB，AC＝AD，∠OAB＝∠CAD＝60°，∴∠BAD＝∠OAC，在△ABD和△AOC中，，∴△ABD≌△AOC（SAS），∴∠ABD＝∠AOC＝90°，∴AB⊥BD；②解：存在两种情况：当点D落在第二象限时，如图1所示：作BM⊥OA于M，∵B（2，2），∴OM＝2，BM＝2，∵△OAB是等边三角形，∴AO＝2OM＝4，同①得：△ABD≌△AOC（SAS），∴BD＝OC，∠ABD＝∠OAC＝90°，若△ABD是等腰三角形，则BD＝AB，∴OC＝AB＝OA＝4，∴C（0，﹣4）；当点D落在第一象限时，如图1﹣1所示：作BM⊥OA于M，∵B（2，2），∴OM＝2，BM＝2，∵△OAB是等边三角形，∴AO＝2OM＝4，同①得：△ABD≌△AOC（SAS），∴BD＝OC，∠ABD＝∠OAC＝90°，若△ABD是等腰三角形，则BD＝AB，∴OC＝AB＝OA＝4，∴C（0，4）；综上所述，若△ABD是等腰三角形，点C的坐标为（0，﹣4）或（0，4）；（2）解：作ON'⊥AB于N'，作MN⊥OB于N，如图2所示：∵△OAB是等边三角形，ON'⊥AB，FB是OA边上的中线，∴AN'＝AB＝2，BF⊥OA，BF平分∠ABO，∵ON'⊥AB，MN⊥OB，∴MN＝MN'，∴N'和N关于BF对称，此时OM+MN的值最小，∴OM+MN＝OM+MN'＝ON，∵ON＝＝＝2，∴OM+MN＝2；即OM+NM的最小值为2．2．解：（1）如图，作AE⊥BC于点E，∵AB＝AC∴BE＝BC＝2在Rt△ABE中，AE＝＝＝4∵S＝BC•AE＝AB•CD△ABC∴CD＝＝＝8答：CD的长为8．（2）过点B作BF⊥AC于点F，当点Q在AF之间时，如图所示：＝AC•BF＝AB•CD∵S△ABC∵AB＝AC∴BF＝CD在Rt△CDP和Rt△BQF中，∵CP＝BQ，CD＝BF∴Rt△CDP≌Rt△BQF（HL）∴PD＝QF在Rt△ACD中，CD＝8，AC＝AB＝10 ∴AD＝＝6同理可得AF＝6∴PD＝AD＝AP＝6﹣t，QF＝AF﹣AQ＝6﹣2t由PD＝QF得6﹣t＝6﹣2t，解得t＝0 ∵t＞0，此种情况不符合题意，舍去；当点Q在FC之间时，如图所示：此时PD＝6﹣t，QF＝2t﹣6，由PD＝QF，得6﹣t＝2t﹣6解得t＝4综上得t的值为4．②同①可知：v＞1时，Q在AF之间不存在CP＝BQ，Q在FC之间存在CP＝BQ，Q在F点时，显然CP不等于BQ．∵运动时间为t，则AP＝t，AQ＝vt，∴PD＝6﹣t，QF＝vt﹣6，由DP＝QF，得6﹣t＝vt﹣6整理得v＝∵Q在FC之间，即AF＜AQ≤AC∴6＜vt≤10，代入v＝得6＜12﹣t≤10，解得2≤t＜6所以v＝（2≤t＜6）．3．解：（1）∵n2﹣8n+16+|n﹣2m|＝0，∴（n﹣4）2+|n﹣2m|＝0，∵（n﹣4）2≥0，|n﹣2m|≥0，∴（n﹣4）2＝0，|n﹣2m|＝0，∴m＝2，n＝4，∴点A为（2，0），点B为（0，4）；（2）延长DE交x轴于点F，延长FD到点G，使得DG＝DF，连接BG，设OE＝x，∵OC平分∠AOB，∴∠BOC＝∠AOC＝45°，∵DE∥OC，∴∠EFO＝∠FEO＝∠BEG＝∠BOC＝∠AOC＝45°，∴OE＝OF＝x，在△ADF和△BDG中，，∴△ADF≌△BDG（SAS），∴BG＝AF＝2+x，∠G＝∠AFE＝45°，∴∠G＝∠BEG＝45°，∴BG＝BE＝4﹣x，∴4﹣x＝2+x，解得：x＝1，∴OE＝1；（3）如图2，分别过点F、P作FM⊥y轴于点M，PN⊥y轴于点N，设点E为（0，m），∵点P的坐标为（x，﹣2x+4），∴PN＝x，EN＝m+2x﹣4，∵∠PEF＝90°，∴∠PEN+∠FEM＝90°，∵FM⊥y轴，∴∠MFE+∠FEM＝90°，∴∠PEN＝∠MFE，在△EFM和△PEN中，，∴△EFM≌△PEN（AAS），∴ME＝NP＝x，FM＝EN＝m+2x﹣4，∴点F为（m+2x﹣4，m+x），∵F点的横坐标与纵坐标相等，∴m+2x﹣4＝m+x，解得：x＝4，∴点P为（4，﹣4）．4．解：（1））∵△ABC与△DEC都是等边三角形∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°∴∠ACD+∠DCB＝∠DCB+∠BCE∴∠ACD＝∠BCE．在△ADC和△BEC中，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE；∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°．∵线段AM为BC边上的中线∴∠CAM＝∠BAC，∴∠CAM＝30°．故答案为：＝，30；（2）①AD＝BE，理由如下：∵△ABC和△CDE都是等边三角形∴AB＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，∵∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB，∠BCE＝∠DCE﹣∠DCB，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS）∴AD＝BE．②∠AOB是定值，∠AOB＝60°，理由如下：当点D在线段AM上时，如图1，由①知△ACD≌△BCE，则∠CBE＝∠CAD＝30°，又∠ABC＝60°，∴∠CBE+∠ABC＝60°+30°＝90°，∵△ABC是等边三角形，线段AM为BC边上的中线∴AM平分∠BAC，即，∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°．当点D在线段AM的延长线上时，如图2，∵△ABC与△DEC都是等边三角形∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°∴∠ACB+∠DCB＝∠DCB+∠DCE∴∠ACD＝∠BCE在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS）∴∠CBE＝∠CAD＝30°，同理可得：∠BAM＝30°，∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°．5．解：（1）∵∠BAC＝90°，∴∠1+∠2＝90°；故答案为：∠1+∠2＝90°；（2）DE＝CE+BD，理由如下：∵BD⊥l于点D，CE⊥l，∴∠BDA＝∠CEA＝90°，∴∠1+∠ABD＝90°，又∵∠1+∠2＝90°，∴∠2＝∠ABD，又∵AB＝AC，∠BDA＝∠AEC，∴△ABD≌△CAE（AAS）∴BD＝AE，CE＝AD，∴DE＝AD+AE＝CE+BD；（3）①AB＝EM+FN，理由如下：如图，过点C作CH⊥AB于H，∵△AEC是等腰直角三角形，∴AE＝AC，∠EAC＝90°，∵∠EAM+∠CAH＝90°，∠ACH+∠CAH＝90°，∴∠ACH＝∠EAM，又∵AE＝AC，∠EMA＝∠AHC＝90°，∴△AEM≌△CAH（AAS），∴EM＝AH，AM＝CH，同理可得：△BCH≌△FBN（AAS），∴BH＝FN，CH＝BN，∴AB＝AH+BH＝EM+FN；②∵△AEM≌△CAH，△BCH≌△FBN，∴S△AEM ＝S△CAH，S△BCH＝S△FBN，∴五边形EMNFC面积＝S△AEC +S△BCF+2S△ABC＝+2S△ABC，∵当AC⊥BC时，△ABC的最大面积为6，∴五边形EMNFC面积的最大值＝+12＝，故答案为：．6．解：（1）如图1中，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴∠CAE＝∠CBD，∵CA＝CB，∴∠CAB＝∠CBA，∴∠OAB＝∠OBA，∴OA＝OB．（2）如图2，设AE与CF的交点为M，在Rt△BCD中，点F是BD的中点，∴CF＝BF，∴∠BCF＝∠CBF，由（1）知，∠CAE＝∠CBD，∴∠BCF＝∠CAE，∴∠CAE+∠ACF＝∠BCF+∠ACF＝∠ACB＝90°，∴∠AMC＝90°，∴AE⊥CF；（3）如图3，设AE与CF的交点为M，∵AC＝，∴BC＝AC＝，∵CE＝，∴CD＝CE＝，在Rt△BCD中，根据勾股定理得，BD＝＝，∵点F是BD中点，∴CF＝DF＝BD＝，同理：EG＝AE＝，连接EF，过点F作FH⊥BC，∵∠ACB＝90°，点F是BD的中点，∴FH＝CD＝，＝CE•FH＝××＝，∴S△CEF由（2）知，AE⊥CF，＝CF•ME＝×ME＝ME，∴S△CEF∴ME＝，∴ME＝，∴GM＝EG﹣ME＝﹣＝，＝CF•GM＝××＝．∴S△CFG7．解：（1）证明：如图1，在BD上截取BE＝CD，∵∠BAC＝∠BDC＝90°，∴∠ABP+∠APB＝90°，∠ACD+∠DPC＝90°．∵∠APB＝∠DPC，∴∠ABP＝∠ACD．又AB＝AC，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴AE＝AD，∠BAE＝∠CAD．∴∠EAD＝∠EAP+∠CAD＝∠EAP+∠BAE＝90°．在Rt△AED中，DE2＝AE2+AD2＝2AD2，∴∴；（2）如图2，CD﹣BD＝AD．在CD上截取CE＝BD，连接AE，由（1）可知△ADB≌△AEC，∴AE＝AD，∠BAD＝∠CAE，∴∠EAD＝∠BAE+∠BAD＝∠BAE+∠CAE＝90°，在Rt△AED中，DE2＝AE2+AD2＝2AD2，∴DE＝AD，∴CD﹣BD＝CD﹣CE＝DE＝AD，∴CD﹣BD＝AD．如图3，CD+BD＝AD．延长DC至点E，使得CE＝BD，连接AE，∵∠BAC＝∠BDC＝90°，∴∠ABD+∠ACD＝180°，∠ACD+∠ACE＝180°，∴∠ABD＝∠ACE，在△ABD和△ACE中，，∴△ADB≌△AEC（SAS），∴AE＝AD，∠BAD＝∠CAE，∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝∠BAD+∠CAD＝90°，在Rt△AED中，DE2＝AE2+AD2＝2AD2，∴DE＝AD，∴CD+BD＝CD+CE＝DE＝AD．8．解：（1）∵当点A在线段BC上时，线段AC的长取得最小值，最小值为BC﹣AB，∵BC＝b，AB＝a，∴BC﹣AB＝b﹣a，当点A在线段CB延长线上时，线段AC的长取得最大值，最大值为BC+AB，∵BC＝b，AB＝a，∴BC+AB＝b+a，故答案为：b﹣a，b+a；（2）①CD＝BE，理由：∵△ABD与△ACE是等边三角形，∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，即∠CAD＝∠EAB，在△CAD与△EAB中，，∴△CAD≌△EAB（SAS），∴CD＝BE；②∵线段BE长的最大值＝线段CD的最大值，∴由（1）知，当线段CD的长取得最大值时，点D在CB的延长线上，∴最大值为BE＝CD＝BD+BC＝AB+BC＝5+2＝7；故答案为：7．（3）最大值为5+2；∴P（2﹣，）．如图1，连接BM，∵将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，则△APN是等腰直角三角形，∴PN＝PA＝2，BN＝AM，∵A的坐标为（2，0），点B的坐标为（7，0），∴AO＝2，OB＝7，∴AB＝5，∴线段AM长的最大值＝线段BN长的最大值，∴当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，最大值＝AB+AN，∵AN＝AP＝2，∴最大值为 5+2；如图2，过P作PE⊥x轴于E，∵△APN是等腰直角三角形，∴PE＝AE＝，∴OE＝OA﹣AE＝2﹣，∴P（2﹣，）．9．解：（1）如图①，∵A（0，4）、B（1，0），∴OA＝4，OB＝1，过点C作CG⊥y轴于G，∴∠AGC＝90°＝∠BOA，∴∠OAB+∠OBA＝90°∵∠CAB＝90°，∴∠OAB+∠GAC＝90°，∴∠OBA＝∠GAC，∵AB＝AC，∴△AOB≌△CGA（AAS），∴CG＝OA＝4，AG＝OB＝1，∴OG＝OA+AG＝5，∴C（4，5）；（2）由（1）知，OA＝4，点C（4，5），∵CD⊥x轴，∴点D（4，0），∴OD＝4，∴OA＝OD，∠OAD ＝45°，∵CD ⊥x 轴，∴CD ∥y 轴，∴∠ADC ＝∠OAD ＝45°；（3）A 点在运动过程中S △AOB ：S △AEF 的值不会发生变化，理由：设点A 的坐标为（0，a ），①当点A 在y 轴正半轴上时，连接CE 交y 轴于F ，∴点C ，E 在y 轴的两侧，即点E 在y 轴左侧，同（1）的方法得，C （a ，a +1），∵△OAE 是等腰直角三角形，∴AE ⊥OA ，∴E （﹣a ，a ），∴直线CE 的解析式为y ＝x +a +，∴F （0，a +）， ∴AF ＝a +﹣a ＝， ∵OB ＝1， ∴＝2；②当点A 在y 轴负半轴上时，同①的方法得，C （﹣a ，a ﹣1），E （a ，a ）， ∴直线CE 的解析式为y ＝x +a ﹣，∴F （0，a ﹣）， ∴AF ＝， ∴＝2．即A 点在运动过程中S △AOB ：S △AEF 的值不会发生变化．10．解：（1）结论：DE＝DF，DE⊥DF．理由：连接AD，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，BD＝CD，∴AD⊥BC，∴AD＝BD＝CD，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵AE＝EB，AF＝FC，∴DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝AB，DF＝AC，∴DE＝DF．∵∠DEA＝∠EAF＝∠DFA＝90°，∴∠EDF＝90°，∴DE⊥DF，故答案为：DE＝DF，DE⊥DF．（2）结论成立，DE＝DF；DE⊥DF．证明：如解图①，连接AD，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为BC的中点，∴，且AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝45°，在△BDE和△ADF中，∴△BDE≌△ADF（SAS），∴DE＝DF，∠BDE＝∠ADF，∵∠BDE+∠ADE＝90°，∴∠ADF+∠ADE＝90°，即∠EDF＝90°，即DE⊥DF；（3）如图③，连接AD，∵AB＝AC，∴△ABC为等腰三角形，∵∠BAC＝90°，点D为BC的中点，∴AD＝BD，AD⊥BC，∴∠DAC＝∠ABD＝45°，∴∠DAF＝∠DBE＝135°，又∵AF＝BE，∴△DAF≌△DBE（SAS），∴DF＝DE，∠FDA＝∠EDB，∴∠EDF＝∠EDB+∠FDB＝∠FDA+∠FDB＝∠ADB＝90°，∴△DEF为等腰直角三角形，∵，∴AE＝CF＝2+4＝6，在Rt△AEF中，EF2＝AF2+AE2＝22+62＝40，∴，∴．。
[中考专题]2021年浙江中考数学复习难题突破专题04：特殊三角形存
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[中考专题]2021年浙江中考数学复习难题突破专题04：特殊三角形存难题突破专题四特殊三角形存在性问题特殊三角形的存在性问题主要是指寻找合格点形成特殊三角形，如等腰三角形、直角三角形和全等三角形。
解决这个问题的关键是正确分类和讨论，避免遗漏解决方案。
等腰三角形的1型存在性问题1如图z4－1，直线y＝3x＋3交x轴于点a，交y轴于点b，过a，b两点的抛物线交x轴于另一点c(3，0)．(1)求点a，b的坐标．（2）找到抛物线对应的函数表达式图z4－1（3）抛物线的对称轴上有点Q吗△ ABQ是等腰三角形吗？如果存在，找到合格点Q的坐标；如果没有，请解释原因例题分层分析（1）如何找到主功能图像与坐标轴交点的坐标？(2)如何求抛物线对应的函数表达式？根据题意，设抛物线对应的函数表达式时，应该用哪种形式？(3)①根据抛物线对应的函数表达式求出对称轴为直线________，所以可设点q的坐标为________；②△abq是等腰三角形可分为________种情况，分别是____________________；③根据勾股定理分别列出方程即可求出点q的坐标．问题解决方法分析对于等腰三角形的分类应分三种情况．可以设一个未知数，然后用这个未知数分别表示出三角形的三边，再根据两边相等，得到三个方程，即三种情况．特别注意求出的值需检验能否构成三角形．2型直角三角形与全等三角形存在性问题图z4－22如图z4-2所示，已知直线y=kx-6和抛物线y=ax+BX+C在两点a和B相交，点a（1，-4）是抛物线的顶点，点b在x轴上．（1）找到抛物线对应的函数表达式(2)在(1)中二次函数的第二象限的图象上是否存在一点p，使△pob与△poc全等？若存在，求出点p的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如果点q是Y轴上的一个点△ ABQ是一个直角三角形，求Q点的坐标。
示例分层分析(1)已知点a的坐标可确定直线ab对应的函数表达式，进一步能求出点b的坐标．点a是抛物线的顶点，那么可以将抛物线对应的函数表达式设为________式，再代入________的坐标，依据________法可解．(2) △ ABQ是一个直角三角形，而直角三角形的顶点是不确定的，所以它用___________________________解题方法点析这个问题是一个综合性的问题。
安徽 省2021中考数学一轮专题复习：特殊三角形
中考一轮复习专题复习特殊三角形涉及本节的安徽中考考点有:(1)等腰三角形的性质和判定;(2)直角三角形的性质和判定;(3)角平分线的性质和判定;(4)线段垂直平分线的性质和判定.本部分的内容是安徽中考的必考内容之一,主要围绕着等腰三角形的性质和判定、勾股定理等进行命题,综合性高.同时线段的垂直平分线、角平分线的性质和判定也经常考查,这部分的内容单独命题的不常见,经常与其他知识综合,考查图形形状的判定、全等、相似、翻折以及动点问题.考查的题型有选择题、填空题和解答题,难度各个层次都有.预计2021年仍有这方面内容的考查,且难度在中等及以上.命题点特殊三角形的相关计算1.如图,在正方形ABCD中,点E,F将对角线AC三等分,且AC=12,点P在正方形的边上,则满足PE+PF=9的点P的个数是()A.0B.4C.6D.82.在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点,分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形,剩下的部分是如图所示的直角梯形,其中三边长分别为2,4,3,则原直角三角形纸片的斜边长是()A.10B.4√5C.10或4√5D.10或2√173.如图1,A,B分别在射线OM,ON上,且∠MON为钝角.现以线段OA,OB为斜边向∠MON的外侧作等腰直角三角形,分别是△OAP,△OBQ,点C,D,E分别是OA,OB,AB的中点.(1)求证:△PCE≌△EDQ.(2)延长PC,QD交于点R.①如图2,若∠MON=150°,求证:△ABR为等边三角形;②如图3,若△ARB∽△PEQ,求∠MON的大小和AB的值.PQ重难考点突破考点1等腰三角形的性质和判定典例1如图,在△BOD中,∠BOD=45°,OB=OD,DA⊥OB于点A,OE平分∠BOD,交AD于点F.(1)求证:OF=BD.(2)连接AE,BF.若G是线段OF的中点,连接AG.求证:△AEG为等腰直角三角形.提分训练1.如图,线段AB,BC的垂直平分线l1,l2相交于点O.若∠1=39°,则∠AOC=.2.在△ABC中,AB=AC,点D,E在边BC上,BD=CE,连接AD,AE.(1)如图1,求证:AD=AE;(2)如图2,当∠DAE=∠C=45°时,过点B作BF∥AC交AD的延长线于点F,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图2中的四个等腰三角形,使写出的每个等腰三角形的顶角都等于45°.考点2等边三角形的性质和判定典例2如图,△ABC和△ECD都是等边三角形,且点B,C,D在一条直线上,连接BE,AD,M,N分别是线段BE,AD上的两点,且BM=13BE,AN=13AD.判断△CMN的形状,并说明理由.提分训练3.如图,在边长为2的等边△ABC中,P是BC边上任意一点,过点P分别作PM⊥AB,PN⊥AC,垂足分别为M,N.(1)求证:PM+PN=√3.(2)当BP的长为何值时,四边形AMPN的面积最大?并求出最大值.考点3直角三角形的性质和判定典例3 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点P在斜边AB上,以PC为直角边作等腰Rt△PCQ, ∠PCQ=90°.求证:PB2+AP2=2CP2.提分训练4.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,CE平分∠ACD交AB于点E,则下列结论一定成立的是()A.BC=ECB.EC=BEC.BC=BED.AE=EC5.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,E是边AC上一点,连接BE.(1)如图1,若AB=4√2,BE=5,求AE的长.(2)如图2,D为线段BE延长线上一点,过点A作AF⊥BD于点F,连接CD,CF.当AF=DF时,求证:DC=BC.教材文化延伸勾股定理——“赵爽弦图”1.公元3世纪,我国数学家赵爽巧妙地利用面积关系(后人称“赵爽弦图”)证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲.“赵爽弦图”还曾经作为国际数学家大会的会标.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD.已知小正方形的边长为3,大正方形的边长为7,则每个直角三角形的周长为()A.√89+7B.√69+7C.14D.152.公元3世纪,我国数学家赵爽巧妙地利用如图1所示的图形面积关系(后人称“赵爽弦图”)证明了勾股定理,这是我国古代数学的骄傲.“赵爽弦图”还曾经作为国际数学家大会的会标.某数学探究小组仿照“赵爽弦图”也作了一个如图2的“弦图”,它由5个小图形拼成了一个大平行四边形,其中两个是全等的等腰直角三角形(△ADE和△BCG),另外两个是全等的直角三角形(△ABH和△CDF),中间是一个小正方形EFGH.已知AB=10,∠BAH=26°48',求AD的长.(参考数据:sin 26°48'≈0.45,cos 26°48'≈0.89,tan 26°48'≈0.51,√2≈1.4)微专题中点与角平分线的常见模型一、与中点有关的常见模型模型一利用中点和平行线构造全等三角形典例1在△ABC中,∠ACB=90°,AC>BC,D是AB的中点.E是线段CA的延长线上一个动点,连接DE.过点D作DF⊥DE,交BC的延长线于点F,连接EF.求证:AE2+BF2=EF2.模型二利用多个中点构造中位线典例2如图,在△ABC中,分别以AB,AC为腰向外侧作等腰Rt△ADB与等腰Rt△AEC,∠DAB=∠的值.EAC=90°,连接DC,EB相交于点O,BE=BC,且G,F分别是DB,EC的中点,求GFBC模型三在等腰三角形中,构造“三线合一”典例3在矩形ABCD中,E是AB上一点,连接DE,CE,F是CE的中点,且DE=DC.求证:AF⊥BF.模型四在直角三角形中,构造斜边上的中线典例4如图,在△ABC中,∠C=25°,点D在边BC上,且∠DAC=90°,AB=12DC,求∠BAC的度数.二、与角平分线有关的常见模型模型一构造与角有关的对称图形典例5如图,在四边形ABCD中,AB=14,CD=8,∠BAD=45°,∠BCD=90°,BD平分∠ABC,求BC的长.模型二“角平分线、平行线、等腰三角形”知二得一典例6如图,在▱ABCD中,AE平分∠BAD,交CD于点F,交BC的延长线于点E,连接BF.求证:BE=CD.提分训练1.如图,P是∠AOB的平分线OC上一点,PD⊥OB,垂足为D.若PD=2,点P到边OA的距离是()A.1B.2C.√3D.42.如图,在△ABC中,AB=6,D是AB的中点,过点D作DE∥BC,交ACDM.当AM⊥BM时,BC的长为.于点E,点M在DE上,且ME=133.如图,在▱ABCD中,按以下步骤作图:①以点A为圆心,任意长为半径作弧,MN的长为半径作弧,分别交AB,AD于点M,N;②分别以点M,N为圆心,大于12两弧相交于点P;③作射线AP交边CD于点Q.若DQ=2QC,BC=2,则▱ABCD的周长为.4.如图,E是▱ABCD的边AD的中点,连接CE并延长交BA的延长线于点F.若CD=6,求BF的长.5.如图,已知△ABC和△ECD是等腰直角三角形.CE⊥BC于点C,取BD的中点N,连接EN并延长交BC 于点M,连接AN,AM,AE.(1)直接写出:AN与EM的位置关系是,AN与EM的数量关系是.(2)请证明上述关系.6.在△ABC中,如图1,D,E分别是线段AB,AC上的点,G,F,H分别是DE,BE,BC的中点.(1)证明:∠A+∠GFH=180°.(2)若AB=AC,AD=AE,将△ADE绕点A逆时针旋转一定的角度,其他条件不变,连接BD,CE,GH,如图2.求证:△FGH是等腰三角形.答案命题点特殊三角形的相关计算1.如图,在正方形ABCD中,点E,F将对角线AC三等分,且AC=12,点P在正方形的边上,则满足PE+PF=9的点P的个数是(D)A.0B.4C.6D.8【解析】由AC=12,点E,F将对角线AC三等分,得AE=EF=FC=4.分四类情况:当点P在AB上时,作点E 关于AB的对称点G,连接FG交AB于点P,此时PE+PF的值最小.连接AG,易证∠GAF=90°,由勾股定理求得此时PE+PF=GF=√42+82=4√5<9,而点P与点A重合时,PE+PF=4+8=12>9,点P与点B重合时,PE+PF>12>9,所以在AB上满足条件的点有2个;同理,在BC,CD,DA上满足条件的点P分别有2个,所以满足条件的点P一共有8个.2.在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点,分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形,剩下的部分是如图所示的直角梯形,其中三边长分别为2,4,3,则原直角三角形纸片的斜边长是(C)A.10B.4√5C.10或4√5D.10或2√17【解析】如图1,BD=AD=4,且tan θ=12=BCAB,故BC=12AB=4,则AC=√AB2+BC2=4√5;如图2,易知FI=GI=4,tan α=34=EFFG,故EF=34FG=6,则EG=√EF2+FG2=10.综上可知,C项正确.3.如图1,A,B分别在射线OM,ON上,且∠MON为钝角.现以线段OA,OB为斜边向∠MON的外侧作等腰直角三角形,分别是△OAP,△OBQ,点C,D,E分别是OA,OB,AB的中点.(1)求证:△PCE ≌△EDQ.(2)延长PC ,QD 交于点R.①如图2,若∠MON =150°,求证:△ABR 为等边三角形;②如图3,若△ARB ∽△PEQ ,求∠MON 的大小和ABPQ 的值.解:(1)∵C ,D ,E 分别是OA ,OB ,AB 的中点,∴DE =OC ,DE ∥OC ,CE =OD ,CE ∥OD ,∴四边形ODEC 是平行四边形,∴∠OCE =∠ODE.∵△OAP ,△OBQ 是等腰直角三角形,∴∠PCO =∠QDO =90°,∴∠PCE =∠EDQ.又∵PC =12AO =OC =ED ,CE =OD =12OB =DQ ,∴△PCE ≌△EDQ (SAS).(2)①连接OR.∵PR 与QR 分别为线段OA 与OB 的中垂线,∴AR =OR =BR ,∠ARC =∠ORC ,∠ORD =∠BRD.在四边形OCRD 中,∠OCR =∠ODR =90°,∠MON =150°,∴∠CRD =30°,∴∠ARB =∠ARO +∠BRO =2∠ORC +2∠ORD =2∠CRD =60°,∴△ABR 为等边三角形.②由(1)知EQ =PE ,∠DEQ =∠CPE.∴∠PEQ =∠CED -∠CEP -∠DEQ =∠ACE -∠CEP -∠CPE =∠ACE -∠RCE =∠ACR =90°.即△PEQ 为等腰直角三角形.∵△ARB ∽△PEQ ,∴∠ARB =90°.∴在四边形OCRD 中,∠OCR =∠ODR =90°,∠CRD =12∠ARB =45°,∴∠MON =135°.此时P ,O ,B 在一条直线上,△PAB 为直角三角形且∠APB 为直角,∴AB =2PE =2×√22PQ =√2PQ ,即ABPQ =√2.重难考点突破考点1等腰三角形的性质和判定典例1如图,在△BOD中,∠BOD=45°,OB=OD,DA⊥OB于点A,OE平分∠BOD,交AD于点F.(1)求证:OF=BD.(2)连接AE,BF.若G是线段OF的中点,连接AG.求证:△AEG为等腰直角三角形.【答案】(1)∵OB=OD,OE平分∠BOD,∴OE⊥BD,DE=BE.∵DA⊥OB,∠BOD=45°,∴△AOD是等腰直角三角形,∴OA=AD.∵DA⊥OB,OE⊥BD,∴∠ADB+∠DFE=∠OFA+∠AOF=90°.∵∠DFE=∠OFA,∴∠ADB=∠AOF,在△AOF和△ADB中,{∠FAO=∠BAD, OA=AD,∠AOF=∠ADB,∴△AOF≌△ADB(ASA),∴OF=BD.(2)∵G是OF的中点,∠OAF=90°,∴AG=OG=12OF,∴∠AOG=∠OAG.∵DE=BE,DA⊥OB,∴AE=DE=12BD,∴∠ADB=∠DAE.由(1)知OF=BD,∠ADB=∠AOG,∴AE=AG,∴∠OAG=∠DAE.∵∠OAG+∠GAD=90°,∴∠DAE+∠GAD=90°,即∠EAG=90°,∴△AEG为等腰直角三角形.提分训练1.如图,线段AB,BC的垂直平分线l1,l2相交于点O.若∠1=39°,则∠AOC=78°.【解析】如图,连接BO并延长.∴OA=OB=OC,∠BDO=∠BEO=90°,∴∠DOE+∠ABC=180°.∵∠DOE+∠1=180°,∴∠ABC=∠1=39°.∵OA=OB=OC,∴∠A=∠ABO,∠OBC=∠C,∴∠ABC=∠A+∠C.∵∠AOP=∠A+∠ABO,∠COP=∠C+∠OBC,∴∠AOC=∠AOP+∠COP=∠A+∠ABC+∠C=2×39°=78°.2.在△ABC 中,AB =AC ,点D ,E 在边BC 上,BD =CE ,连接AD ,AE. (1)如图1,求证:AD =AE ;(2)如图2,当∠DAE =∠C =45°时,过点B 作BF ∥AC 交AD 的延长线于点F ,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图2中的四个等腰三角形,使写出的每个等腰三角形的顶角都等于45°.【答案】(1)∵AB =AC ,∴∠B =∠C. 在△ABD 和△ACE 中,{AB =AC,∠B =∠C,BD =CE,∴△ABD ≌△ACE (SAS),∴AD =AE.(2)满足条件的等腰三角形有△ABE ,△ACD ,△DAE ,△DBF.考点2 等边三角形的性质和判定典例2 如图,△ABC 和△ECD 都是等边三角形,且点B ,C ,D 在一条直线上,连接BE ,AD ,M ,N 分别是线段BE ,AD 上的两点,且BM =13BE ,AN =13AD.判断△CMN 的形状,并说明理由.【答案】△CMN 是等边三角形.理由:∵△ABC 和△ECD 都是等边三角形, ∴BC =AC ,EC =CD ,∠BCA =∠ECD =60°,∴∠BCA +∠ACE =∠ECD +∠ACE ,即∠BCE =∠ACD. 在△BCE 与△ACD 中,{BC =AC,∠BCE =∠ACD,CE =CD,∴△BCE ≌△ACD (SAS),∴∠MBC =∠NAC ,BE =AD. ∵BM =13BE ,AN =13AD ,∴BM =AN. 在△MBC 与△NAC 中,{BM =AN,∠MBC =∠NAC,BC =AC,∴△MBC≌△NAC(SAS),∴MC=NC,∠BCM=∠ACN.∵∠BCM+∠MCA=60°,∴∠NCA+∠MCA=60°,即∠MCN=60°,∴△CMN是等边三角形.提分训练3.如图,在边长为2的等边△ABC中,P是BC边上任意一点,过点P分别作PM⊥AB,PN⊥AC,垂足分别为M,N.(1)求证:PM+PN=√3.(2)当BP的长为何值时,四边形AMPN的面积最大?并求出最大值.【答案】(1)由题意得∠PMB=∠PNC=90°,∠B=∠C=60°.在Rt△BMP中,PM=BP·sin 60°,在Rt△CNP中,PN=PC·sin 60°,∴PM+PN=(BP+PC)·sin 60°=2×√32=√3.(2)设BP=x,则PC=2-x.在Rt△BMP中,BM=BP·cos 60°=12x,PM=BP·sin 60°=√32x,∴S△BMP=12BM·PM=12×12x·√32x=√38x2;同理可得S△CNP=√38(2-x)2.又∵S△ABC=√34×22=√3,∴S四边形AMPN=S△ABC-S△BMP-S△CNP=√3−√38x2-√38(2-x)2=-√34(x-1)2+3√34,∴当BP=1时,四边形AMPN的面积最大,最大值是3√34.考点3直角三角形的性质和判定典例3如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点P在斜边AB上,以PC为直角边作等腰Rt△PCQ,∠PCQ=90°.求证:PB2+AP2=2CP2.【答案】连接BQ.∵∠ACB=90°,AC=BC,∴∠CAB=∠CBA=45°.∵△PCQ是等腰直角三角形,∴CP=CQ,∠PCQ=90°=∠ACB,PQ=√2CP,∴PQ 2=2CP 2,∴∠ACP =∠BCQ.又∵AC =BC ,CP =CQ ,∴△ACP ≌△BCQ (SAS), ∴AP =BQ ,∠CAP =∠CBQ =45°,∴∠ABQ =90°, ∴PB 2+BQ 2=PQ 2,∴PB 2+AP 2=2CP 2. 提分训练4.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,CD ⊥AB 于点D ,CE 平分∠ACD 交AB 于点E ,则下列结论一定成立的是 (C )A.BC =ECB.EC =BEC.BC =BED.AE =EC【解析】∵∠ACB =90°,CD ⊥AB ,∴∠ACD +∠BCD =90°,∠ACD +∠A =90°,∴∠BCD =∠A.∵CE 平分∠ACD ,∴∠ACE =∠DCE.又∵∠BEC =∠A +∠ACE ,∠BCE =∠BCD +∠DCE ,∴∠BEC =∠BCE ,∴BC =BE. 5.如图,在△ABC 中,∠ACB =90°,AC =BC ,E 是边AC 上一点,连接BE. (1)如图1,若AB =4√2,BE =5,求AE 的长.(2)如图2,D 为线段BE 延长线上一点,过点A 作AF ⊥BD 于点F ,连接CD ,CF.当AF =DF 时,求证:DC =BC.【答案】(1)∵∠ACB =90°,AC =BC ,∴∠BAC =∠ABC =45°. ∵AB =4√2,∴AC =BC =4√2×√22=4.在Rt △BCE 中,CE =2−BC 2=√52−42∴AE =AC -CE =4-3=1.(2)过点C 作CM ⊥CF ,交BD 于点M.∵∠ACB =∠FCM =90°,∴∠ACF =∠BCM.∵∠ACB =∠AFE =90°,∠BEC =∠AEF ,∴∠FAC =∠MBC. 在△ACF 和△BCM 中,{∠ACF =∠BCM,AC =BC,∠FAC =∠MBC,∴△ACF ≌△BCM ,∴FC =MC , ∴∠MFC =∠FMC =45°,∴∠DFC =180°-45°=135°,∠AFC =90°+45°=135°, ∴∠DFC =∠AFC.在△ACF 和△DCF 中,{AF =DF,∠AFC =∠DFC,CF =CF,∴△ACF≌△DCF,∴AC=DC.∵AC=BC,∴DC=BC.教材文化延伸勾股定理——“赵爽弦图”1.公元3世纪,我国数学家赵爽巧妙地利用面积关系(后人称“赵爽弦图”)证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲.“赵爽弦图”还曾经作为国际数学家大会的会标.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD.已知小正方形的边长为3,大正方形的边长为7,则每个直角三角形的周长为(A)A.√89+7B.√69+7C.14D.15【解析】设每个直角三角形较长直角边的长度为a,较短直角边的长度为b,由题意知每个直角三角形的面积为1×(72-32)=10,即ab=20.∵a2+b2=49,∴a2+b2+2ab=49+2ab,∴(a+b)2=89,即a+b=√89,∴每个直角三4角形的周长为√89+7.2.公元3世纪,我国数学家赵爽巧妙地利用如图1所示的图形面积关系(后人称“赵爽弦图”)证明了勾股定理,这是我国古代数学的骄傲.“赵爽弦图”还曾经作为国际数学家大会的会标.某数学探究小组仿照“赵爽弦图”也作了一个如图2的“弦图”,它由5个小图形拼成了一个大平行四边形,其中两个是全等的等腰直角三角形(△ADE和△BCG),另外两个是全等的直角三角形(△ABH和△CDF),中间是一个小正方形EFGH.已知AB=10,∠BAH=26°48',求AD的长.(参考数据:sin 26°48'≈0.45,cos 26°48'≈0.89,tan 26°48'≈0.51,√2≈1.4)【答案】在Rt△ABH中,AB=10,∠BAH=26°48',∴BH=AB·sin 26°48'≈4.5,∴AH=AB·cos 26°48'≈8.9.∵四边形EFGH是正方形,∴AH-AE=BG-BH.∵AE=BG,∴AH-AE=AE-BH,即2AE=AH+BH,∴AE=6.7.在等腰Rt△ADE中,AD=√2AE≈9.38.微专题中点与角平分线的常见模型一、与中点有关的常见模型模型一 利用中点和平行线构造全等三角形典例1 在△ABC 中,∠ACB =90°,AC >BC ,D 是AB 的中点.E 是线段CA 的延长线上一个动点,连接DE.过点D 作DF ⊥DE ,交BC 的延长线于点F ,连接EF.求证:AE 2+BF 2=EF 2.【答案】过点B 作BM ∥AC ,与ED 的延长线交于点M ,连接MF. ∴∠AED =∠BMD ,∠CBM =∠ACB =90°. ∵D 是AB 的中点,∴AD =BD.在△ADE 和△BDM 中,{∠AED =∠BMD,∠ADE =∠BDM,AD =BD,∴△ADE ≌△BDM (AAS),∴AE =BM ,DE =DM. ∵DF ⊥DE ,∴EF =MF.在Rt △BMF 中,BM 2+BF 2=MF 2,∴AE 2+BF 2=EF 2.模型二 利用多个中点构造中位线典例2 如图,在△ABC 中,分别以AB ,AC 为腰向外侧作等腰Rt △ADB 与等腰Rt △AEC ,∠DAB =∠EAC =90°,连接DC ,EB 相交于点O ,BE =BC ,且G ,F 分别是DB ,EC 的中点,求GF BC的值.【答案】取DE 的中点H ,连接GH ,FH. ∵∠DAB =∠EAC =90°,∴∠BAE =∠DAC. 在△BAE 和△DAC 中,{AB =AD,∠BAE =∠DAC,AE =AC,∴△BAE ≌△DAC (SAS),∴∠ABE =∠ADC ,BE =CD.∵∠BAD=90°,∴∠DOB=90°,即BE⊥DC.∵G是BD的中点,∴GH∥BE,GH=12BE.同理,FH∥CD,FH=12CD.∵BE=CD,BE⊥DC,∴GH=FH,GH⊥FH,∴△HGF为等腰直角三角形,∴GF=√2GH.∵GH=12BE,∴GF=√22BE.∵BE=BC,∴GFBC =√22.模型三在等腰三角形中,构造“三线合一”典例3在矩形ABCD中,E是AB上一点,连接DE,CE,F是CE的中点,且DE=DC.求证:AF⊥BF.【答案】如图,连接DF.∵DE=DC,F是CE的中点,∴DF⊥EC,∴∠DFC=90°.在矩形ABCD中,AB=DC,∠ABC=90°,∴BF=CF=EF=12EC,∴∠ABF=∠CEB.∵∠DCE=∠CEB,∴∠ABF=∠DCF,在△ABF和△DCF中,{BF=CF,∠ABF=∠DCF, AB=DC,∴△ABF≌△DCF(SAS),∴∠AFB=∠DFC=90°,∴AF⊥BF.模型四在直角三角形中,构造斜边上的中线典例4如图,在△ABC中,∠C=25°,点D在边BC上,且∠DAC=90°,AB=12DC,求∠BAC的度数.【答案】取CD的中点E,连接AE.∵∠DAC=90°,∴AE=EC=12DC.∴∠EAC=∠C=25°,∴∠AED=25°+25°=50°.又∵AB=12DC,∴AB=AE,∴∠B=∠AED=50°,∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-50°-25°=105°.二、与角平分线有关的常见模型模型一构造与角有关的对称图形典例5如图,在四边形ABCD中,AB=14,CD=8,∠BAD=45°,∠BCD=90°,BD平分∠ABC,求BC的长.【答案】过点D作DE⊥AB于点E.∵BD平分∠ABC,∴DE=CD=8.∵∠BAD=45°,DE⊥AB,∴AE=DE=8,∴BE=AB-AE=6,∴BC=BE=6.模型二“角平分线、平行线、等腰三角形”知二得一典例6如图,在▱ABCD中,AE平分∠BAD,交CD于点F,交BC的延长线于点E,连接BF.求证:BE=CD.【答案】∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AB=CD,∴∠EAD=∠E.∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠EAD,∴∠BAE=∠E,∴BA=BE.又∵AB=CD,∴BE=CD.提分训练1.如图,P是∠AOB的平分线OC上一点,PD⊥OB,垂足为D.若PD=2,则点P到边OA的距离是(B)A.1B.2C.√3D.4【解析】过点P作PE⊥OA,垂足为E.∵P是∠AOB的平分线OC上一点,PD⊥OB,PE⊥OA,∴PE=PD=2.DM.2.如图,在△ABC中,AB=6,D是AB的中点,过点D作DE∥BC,交AC于点E,点M在DE上,且ME=13当AM⊥BM时,BC的长为8.【解析】在Rt△ABM中,D是斜边AB的中点,∴DM=12AB=3.∵ME=13DM,∴ME=1,∴DE=4.∵D是AB的中点,且DE∥BC,∴DE是△ABC的中位线,∴BC=2DE=8.3.如图,在▱ABCD中,按以下步骤作图:①以点A为圆心,任意长为半径作弧,分别交AB,AD于点M,N;②分别以点M,N为圆心,大于12MN的长为半径作弧,两弧相交于点P;③作射线AP交边CD于点Q.若DQ=2QC,BC=2,则▱ABCD的周长为10.【解析】由作图知,AQ是∠BAD的平分线,∴∠BAQ=∠DAQ.又∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∴∠DQA=∠BAQ,∴∠DAQ=∠DQA,∴DQ=DA=2.∵DQ=2QC,∴QC=1,∴▱ABCD的周长为2(BC+CD)=2×5=10.4.如图,E是▱ABCD的边AD的中点,连接CE并延长交BA的延长线于点F.若CD=6,求BF的长.【答案】∵E是▱ABCD的边AD的中点,∴AE=DE.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD=6,AB∥CD,∴∠F=∠DCE.在△AEF和△DEC中,{∠F=∠DCE,∠AEF=∠DEC, AE=DE,∴△AEF≌△DEC(AAS),∴AF=CD=6,∴BF=AB+AF=12.5.如图,已知△ABC和△ECD是等腰直角三角形.CE⊥BC于点C,取BD的中点N,连接EN并延长交BC 于点M,连接AN,AM,AE.(1)直接写出:AN与EM的位置关系是AN⊥EM,AN与EM的数量关系是AN=12EM.(2)请证明上述关系.【答案】(2)∵∠DEC=∠BCE=90°,∴DE∥BC,∴∠EDN=∠NBM.又∵DN=BN,∠END=∠MNB,∴△END≌△MNB(ASA),∴MN=EN,BM=DE.∵△ABC是等腰直角三角形,∴AB=AC,∠ACB=45°.∵∠BCE=90°,∴∠ACE=45°=∠ABM.∵AB=AC,∠ABM=∠ACE,BM=CE,∴△ABM≌△ACE(SAS),∴AM=AE,∠BAM=∠CAE,∴∠BAC=∠MAE=90°.∵MN=EN,∴AN⊥EM,AN=12EM.6.在△ABC中,如图1,D,E分别是线段AB,AC上的点,G,F,H分别是DE,BE,BC的中点.(1)证明:∠A+∠GFH=180°.(2)若AB=AC,AD=AE,将△ADE绕点A逆时针旋转一定的角度,其他条件不变,连接BD,CE,GH,如图2.求证:△FGH是等腰三角形.【答案】(1)∵G,F,H分别是DE,BE,BC的中点,∴FG,FH分别是△BDE和△BCE的中位线,∴FG∥BD,FH∥CE,∴∠ABE=∠EFG,∠EFH=∠EBC+∠BHF=∠EBC+∠C,∴∠GFH=∠ABE+∠EBC+∠C=180°-∠A,∴∠A+∠GFH=180°.(2)由旋转知∠DAE=∠BAC,∴∠DAB=∠EAC.又∵AD=AE,AB=AC,∴△DAB≌△EAC(SAS),∴BD=CE.又∵FG,FH分别是△BDE和△BCE的中位线,∴FG=12BD,FH=12CE,∴FG=FH,即△FGH是等腰三角形.。
金老师教育-中考数学总复习：53创新、开放与探究型问题--知识讲解(附培优提高题练习含答案解析)
中考冲刺：创新、开放与探究型问题—知识讲解（提高）【中考展望】所谓开放探索型问题指的是有些数学问题的条件、结论或解决方法不确定或不唯一，需要根据题目的特点进行分析、探索，从而确定出符合要求的答案(一个、多个或所有答案)或探索出解决问题的多种方法．由于开放探究型问题对考查学生思维能力和创造能力有积极的作用，是近几年中考命题的一个热点．通常这类题目有以下几种类型：条件开放与探索，结论开放和探索，条件与结论都开放与探索及方案设计、命题组合型、问题开放型等．【方法点拨】由于开放探究型试题的知识覆盖面较大，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，再加上题意新颖，构思精巧，具有相当的深度和难度，所以要求同学们在复习时，首先对于基础知识一定要复习全面，并力求扎实牢靠；其次是要加强对解答这类试题的练习，注意各知识点之间的因果联系，选择合适的解题途径完成最后的解答．由于题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，但是可以从以下几个角度考虑：1．利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律．2．反演推理法（反证法），即假设结论成立,根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致．3．分类讨论法．当命题的题设和结论不唯一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果．4．类比猜想法．即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密的论证．以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时，应更注重数学思想方法的综合运用．【典型例题】类型一、探索规律1．（2020•武汉校级二模）如图，△ABC面积为1，第一次操作：分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使A1B=AB，C1B=CB，C1A=CA，顺次连接A1，B1，C1，得到△A1B1C1．第二次操作：分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使A2B1=A1B1，B2C1=B1C1，C2A1=C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，…按此规律，要使得到的三角形的面积超过2020，最少经过（）次操作．A．7 B．6 C．5 D．4【思路点拨】先根据已知条件求出△A1B1C1及△A2B2C2的面积，再根据两三角形的倍数关系求解即可．【答案】D.【解析】解：△ABC与△A1BB1底相等（AB=A1B），高为1：2（BB1=2BC），故面积比为1：2，∵△ABC面积为1，∴S△A1B1B=2．同理可得，S△C1B1C=2，S△AA1C=2，∴S△A1B1C1=S△C1B1C+S△AA1C+S△A1B1B+S△ABC=2+2+2+1=7；同理可证△A2B2C2的面积=7×△A1B1C1的面积=49，第三次操作后的面积为7×49=343，第四次操作后的面积为7×343=2401．故按此规律，要使得到的三角形的面积超过2020，最少经过4次操作．故选D．【总结升华】考查了三角形的面积，此题属规律性题目，解答此题的关键是找出相邻两次操作之间三角形面积的关系，再根据此规律求解即可．举一反三：【变式】（2020•抚顺）如图，△A1A2A3，△A4A5A5，△A7A8A9，…，△A3n﹣2A3n﹣1A3n（n为正整数）均为等边三角形，它们的边长依次为2，4，6，…，2n，顶点A3，A6，A9，…，A3n均在y轴上，点O是所有等边三角形的中心，则点A2020的坐标为 .【答案与解析】解：∵△A1A2A3为等边三角形，边长为2，点A3，A6，A9，…，A3n均在y轴上，点O是所有等边三角形的中心，∴A3的坐标为（0，3），∵2020÷3=672，∴A2020是第672个等边三角形的第3个顶点，∴点A2020的坐标为（0，×3），即点A2020的坐标为（0，4483）；故答案为：（0，4483）．类型二、条件开放型、结论开放型2．在平面直角坐标系中，等腰三角形ABC的顶点A的坐标为（2，2）．（1）若底边BC在x轴上，请写出一组满足条件的点B、点C的坐标：；（2）若底边BC的两端点分别在x轴、y轴上，请写出一组满足条件的点B、点C的坐标： .【思路点拨】（1）首先由BC在x轴上，在等腰△ABC中，即可过顶点A作AD⊥BC交BC于D，根据三线合一的性质，可得BD=CD，即B，C关于点D对称，则可求得满足条件的点B、点C的坐标；（2）连接OA，由等腰三角形ABC的顶点A的坐标为（2，2），易证得△AOB≌△AOC，则可知OB=OC，继而可得满足条件的点B、点C的坐标．【答案与解析】解：（1）∵BC在x轴上，在等腰△ABC中，过顶点A作AD⊥BC交BC于D，∵顶点A的坐标为（2，2），∴D的坐标为（2，0），在等腰△ABC中，有BD=CD，∴B，C关于点D对称，∴一组满足条件的点B、点C的坐标为：B（0，0），C（4，0）；（2）连接OA，∵等腰三角形ABC的顶点A的坐标为（2，2），∴∠AOC=∠AOB=45°，∴当OB=OC时，在△AOB与△AOC中，OB=OCAOB=AOC OA=OA⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△AOB≌△AOC，∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形，∴一组满足条件的点B、点C的坐标：（0，1），（1，0）．【总结升华】此题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．举一反三：【变式】在平面直角坐标系中，等腰三角形ABC的顶点A的坐标为(2，2)．(1)若底边BC在x轴上，请写出一组满足条件的点B，点C的坐标：________________；设点B，点C的坐标分别为(m，0)，(n，0)，你认为m，n应满足怎样的条件？(2)若底边BC的两个端点分别在x轴，y轴上，请写出一组满足条件的点B，点C的坐标：______________；设点B，点C的坐标分别为(m，0)，(0，n)，你认为m，n应满足怎样的条件?【答案】解：可以通过等腰三角形的作法来探求符合题意的条件：由于AB＝AC，故点B和点C在以A为圆心的同一个圆上．(1)如图(a)，作AE⊥x轴于E，以大于AE的长度为半径画弧，与x轴的交点即为符合题意的点B和点C．易知E(2，0)为线段BC的中点，故CE＝EB，即n－2＝2－m；如：点B(0，0)，点C(4，0)；m+n＝4且m ≠n．(2)类似于(1)作OA，与两条坐标轴分别交于B1，B2，C1，C2，显然当A，B，C三点不共线时这样确定的点B，C均符合题意．如：点B(1，0)，点C(0，1)，或点B(3，0)，点C(0，1)；m＝n，且m，n不为0和4；或m+n＝4．类型三、条件和结论都开放的问题3．如图(1)，四边形ABCD中，AD与BC不平行，现给出三个条件：①∠CAB＝∠DBA，②AC＝BD，③AD＝BC．请你从上述三个条件中选择两个条件，使得加上这两个条件后能够推出ABCD是等腰梯形，并加以证明(只需证明一种情况)．【思路点拨】有两种方法，第一种是：①∠CAB=∠DBA，②AC=BD；第二种是：②AC=BD，③AD=BC，均可利用等腰梯形的判定方法进行验证．【答案与解析】解：第一种选择：①∠CAB＝∠DBA，②AC＝BD．证明：由△ACB≌△BDA，可得AD＝BC，∠ABC＝∠BAD．如图(2)作DE∥BC交AB于点E，则∠DEA＝∠CBA．∴∠DAE＝∠DEA，AD＝ED＝BC．由ED＝BC及DE∥BC知，四边形DEBC是平行四边形，所以AB∥CD．∵ AD与．BC不平行，∴四边形ABCD是等腰梯形．第二种选择：②AC＝BD，③AD＝BC．证明：如图(3)，延长AD、BC相交于点E．由△DAB≌△CBA，可得∠DAB＝∠CBA，∴EA＝EB．由AD＝BC，可得DE＝CE，∠EDC＝∠ECD．再由三角形内角和定理可得∠EDC＝∠EAB，∴DC∥AB．∵AD与BC不平行，∴四边形ABCD是等腰梯形．【总结升华】此题一道开放性的题目，主要考查学生对等腰梯形的判定的掌握情况．举一反三：【高清课堂：创新、开放与探究型问题例3】【变式】如图，ABCD是一张矩形纸片，AD=BC=1,AB=CD=5．在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，得到△MNK．（1）若∠1=70°，求∠MNK的度数．（2）△MNK的面积能否小于12？若能，求出此时∠1的度数；若不能，试说明理由．（3）如何折叠能够使△MNK的面积最大？请你利用备用图探究可能出现的情况，求出最大值．（备用图）【答案】解：（1）∵ABCD是矩形，∴AM∥DN．∴∠KNM=∠1．∵∠1=70°，∴∠KNM=∠KMN=70°．（2）不能．过M点作ME⊥DN，垂足为E，则ME=AD=1．∵∠KNM=∠KMN，∴MK=NK，又MK≥ME，∴NK≥1．∴△MNK的面积=NK•ME≥．∴△MNK的面积不可能小于．（3）分两种情况：情况一：将矩形纸片对折，使点B与D重合，此时点K也与D重合．MK=MD=x，则AM=5﹣x．由勾股定理得12+（5﹣x）2=x2，解得x=2.6．∴MD=ND=2.6．S△MNK=S△MND==1.3．情况二：将矩形纸片沿对角线AC对折，此时折痕即为AC．MK=AK=CK=x，则DK=5-x．同理可得MK=NK=2.6．∵MD=1∴S△MNK=S△MND==1.3．△MNK的面积最大值为1.3．类型四、动态探究型4．如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角板的一边交CD于点F．另一边交CB的延长线于点G．（1）求证：EF=EG；（2）如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立．请说明理由：（3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若AB=a、BC=b，求EFEG的值．【思路点拨】（1）由∠GEB+∠BEF=90°，∠DEF+∠BEF=90°，可得∠DEF=∠GEB，又由正方形的性质，可利用SAS证得Rt△FED≌Rt△GEB，则问题得证；（2）首先点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为H、I，然后利用SAS证得Rt△FEI≌Rt△GEH，则问题得证；（3）首先过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为M、N，易证EM∥AB，EN∥AD，则可证得△CEN∽△CAD，△CEM∽△CAB，又由有两角对应相等的三角形相似，证得△GME∽△FNE，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．【答案与解析】解：（1）证明：∵∠GEB+∠BEF=90°，∠DEF+∠BEF=90°，∴∠DEF=∠GEB，又∵ED=BE，∴Rt △FED ≌Rt △GEB ， ∴EF=EG ；（2）成立．证明：如图，过点E 分别作BC 、CD 的垂线，垂足分别为H 、I ，则EH=EI ，∠HEI =90°，∵∠GEH+∠HEF=90°，∠IEF+∠HEF =90°， ∴∠IEF=∠GEH ， ∴Rt △FEI ≌Rt △GEH ， ∴EF=EG ；（3）解：如图，过点E 分别作BC 、CD 的垂线，垂足分别为M 、N ，则∠MEN=90°， ∴EM ∥AB ，EN ∥AD ．∴△CEN ∽△CAD ，△CEM ∽△CAB ，∴,NE CE EM CEAD CA AB CA ==， ∴NE EM AD AB =，即NE AD b EM AB a==， ∵∠IEF+∠FEM=∠GEM+∠FEM=90°， ∴∠GEM=∠FEN ， ∵∠GME=∠FNE=90°， ∴△GME ∽△FNE ，∴EF ENEG EM =， ∴EF bEG a=． 【总结升华】此题考查了正方形、矩形的性质，以及全等三角形与相似三角形的判定与性质．此题综合性较强，注意数形结合思想的应用．举一反三：【变式1】已知：如图(a)，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm／s；连接PQ．若设运动的时间为t(s)(0＜t＜2)，解答下列问题：(1)当t为何值时，PQ∥BC?(2)设△AQP的面积为y(cm2)，求y与t之间的函数关系式；(3)是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t 的值．若不存在，说明理由；(4)如图(b)，连接PC，并把△POC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQP′C为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．【答案】解：(1)在Rt△ABC中，AB＝5．由题意知AP＝5-t，AQ＝2t．若PQ∥BC，则△APQ∽△ABC．∴AQ AP AC AB=．∴2545t t-=．解得107t=．(2)过点P作PH⊥AC于H，如图(c)．∵△APH∽△ABC，∴PH AP BC AB=．∴535PH t-=．解得335PH t=-．∴211132(3)32255y AQ PH t t t t =⨯⨯=⨯⨯-=-+． (3)若PQ 把△ABC 周长平分，则AP+AQ ＝BP+BC+CQ ．∴(5-t)+2t ＝t+3+(4-2t)． 解得t ＝1．若PQ 把△ABC 面积平分， 则12APQ ABC S S =△△，即23335t t -+=． ∵t ＝1代入上述方程不成立，∴不存在这一时刻t ，使线段PQ 把Rt △ACB 的周长和面积同时平分． (4)过点P 作PM ⊥AC 于M ，PN ⊥BC 于N ，如图(d)． 若四边形PQP ′C 是菱形，那么PQ ＝PC ． ∵PM ⊥AC 于M ，∴QM ＝CM ．∵PN ⊥BC 于N ，易知△PBN ∽△ABC ．∴PN BP AC AB =，∴45PN t=．解得45tPN =．∴QM ＝CM ＝45t．∴442455t t t ++=． 解得109t =．∴当109t =时，四边形PQP ′C 是菱形．此时37353PM t =-=，4859CM t ==．在Rt △PMC 中，PC ===∴菱形PQP ′C ． 举一反三：【高清课堂：创新、开放与探究型问题 例4】【变式2】如图，点D ，E 在△ABC 的边BC 上，连接AD ，AE. ①AB＝AC ；②AD＝AE ；③BD＝CE.以此三个等式中的两个作为命题的题设，另一个作为命题的结论，构成三个命题：①②⇒③；①③⇒②；②③⇒①.（1）以上三个命题是真命题的为（直接作答） ； （2）请选择一个真命题进行证明（先写出所选命题，然后证明）.【答案】 解：（1）三个都是真命题；（2）解法一 ①②⇒③如图,过点A 作AD ⊥BC 于点F . ∵AB ＝AC , ∴BF ＝CF . ∵AD ＝AE , ∴DF ＝EF . ∴BD ＝CE .解法二 ①③⇒②∵AB ＝AC ,∴∠ABD ＝∠ACE . ∵BD ＝CE ,∴△ABD ≌△ACE (SAS ). ∴AD ＝AE .解法三 ②③⇒①∵AD ＝AE ,∴∠ADE ＝∠AED , 即∠ADB ＝∠AEC ∵BD ＝CE ,∴△ABD ≌△ACE (SAS ). ∴AB ＝AC类型五、创新型5．先阅读下列材料，然后解答问题：从A B C ，，三张卡片中选两张，有三种不同选法，抽象成数学问题就是从3个元素中选取2个元素组合，记作2332C 321⨯==⨯．一般地，从m 个元素中选取n 个元素组合，记作：E DCB A(1)(1)C (1)321n m m m m n n n --+=-⨯⨯⨯例从7个元素中选5个元素，共有5776543C 2154321⨯⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯种不同的选法．问题：从某学习小组10人中选取3人参加活动，不同的选法共有 种． 【思路点拨】本题需要学生读懂m 个元素中选取n 个元素的计算规则，然后针对具体的从10人中选取3人参加的计算．【答案与解析】由给出的公式可知从10个人中取3个人参加活动，有3101098C 120321⨯⨯==⨯⨯种不同的选法．【总结升华】本题构思精妙、情境新颖.从试题的情境来看，本题以初中数学中的整数的乘除运算等基本运算为素材，以高中数学中组合数的定义及其计算公式为背景，展示给学生的是一个全新的问题，试题具有较大的自由度和思维空间，考查了阅读理解、知识迁移等多种数学能力，体现了主动探究精神，呈现出研究性学习的特点，从而进一步考查了学生自学高中数学知识的能力．从试题的解答来看，直接以组合数的定义及其计算公式为背景的试题在各种复习资料和模拟试题中从未见过，解决这个问题没有现成的“套路”和“招式”，需要学生自主学习组合数的定义及其计算公式的定义，综合运用多种数学思想方法，才能解决问题．中考冲刺：创新、开放与探究型问题—巩固练习（提高）【巩固练习】 一、选择题1.（2020•重庆校级二模）下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有1个空心小圆圈，第②个图形中一共有6个空心小圆圈，第③个图形中一共有13个空心小圆圈，…，按此规律排列，则第⑦个图形中空心圆圈的个数为（ ）A．61 B．63 C．76 D．782．如图，直角三角形纸片ABC中，AB=3，AC=4，D为斜边BC中点，第1次将纸片折叠，使点A与点D 重合，折痕与AD交与点P1；设P1D的中点为D1，第2次将纸片折叠，使点A与点D1重合，折痕与AD交于点P2；设P2D1的中点为D2，第3次将纸片折叠，使点A与点D2重合，折痕与AD交于点P3；…；设P n﹣1D n﹣2的中点为D n﹣1，第n次将纸片折叠，使点A与点D n﹣1重合，折痕与AD交于点P n（n＞2），则AP6的长为（）A．512532⨯B．69352⨯C．614532⨯D．711352⨯3．下面两个多位数1248624…、6248624…，都是按照如下方法得到的：将第一位数字乘以2，若积为一位数，将其写在第2位上，若积为两位数，则将其个位数字写在第2位．对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字……，后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的．当第1位数字是3时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前100位的所有数字之和是( ) A．495 B．497 C．501 D．503二、填空题4.（2020•合肥校级三模）如图，一个3×2的矩形（即长为3，宽为2）可以用两种不同方式分割成3或6个边长是正整数的小正方形，即：小正方形的个数最多是6个，最少是3个．（1）一个5×2的矩形用不同的方式分割后，小正方形的个数可以是个，最少是个；（2）一个7×2的矩形用不同的方式分割后，小正方形的个数最多是个，最少是个；（3）一个（2n+1）×2的矩形用不同的方式分割后，小正方形的个数最多是个；最少是个．（n 是正整数）5. 一园林设计师要使用长度为4L的材料建造如图1所示的花圃，该花圃是由四个形状、大小完全一样的扇环面组成，每个扇环面如图2所示，它是以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过O点的两条直线段围成，为使得绿化效果最佳，还须使得扇环面积最大．(1)使图①花圃面积为最大时R －r 的值为 ，以及此时花圃面积为 ，其中R 、r 分别为大圆和小圆的半径；(2)若L ＝160 m ，r ＝10 m ，使图面积为最大时的θ值为 ．6．如图所示，已知△ABC 的面积1ABC S =△，在图(a)中，若11112AA BB CC AB BC CA ===，则11114A B C S =△； 在图(b)中，若22213AA BB CC AB BC CA ===，则222A B C 13S =△；在图(c)，若33314AA BB CC AB BC CA ===，则333716A B C S =△．…按此规律，若88819AA BB CC AB BC CA ===，则888A B C S =△________．三、解答题7．（2020•丹东模拟）已知，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与点B 、C 重合），∠BAC=90°，AB=AC ，∠DAE=90°，AD=AE ，连接CE ．（l ）如图1，当点D 在线段BC 上时，求证：①BD ⊥CE ，②CE=BC ﹣CD ；（2）如图2，当点D 在线段BC 的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CE 、BC 、CD 三条线段之间的关系；（3）如图3，当点O 在线段BC 的反向延长线上时，且点A 、E 分别在直线BC 的两侧，点F 是DE 的中点，连接AF 、CF ，其他条件不变，请判断△ACF 的形状，并说明理由．8.如图(a)、(b)、(c)，在△ABC中，分别以AB，AC为边，向△ABC外作正三角形、正四边形、正五边形，BE，CD相交于点O．(1)①如图(a)，求证：△ADC≌△ABE；②探究：图(a)中，∠BOC＝________；图(b)中，∠BOC＝________；图(c)中，∠BOC＝________；(2)如图(d)，已知：AB，AD是以AB为边向△ABC外所作正n边形的一组邻边；AC，AE是以AC为边向△ABC外所作正n边形的一组邻边．BE，CD的延长相交于点O．①猜想：图(d)中，∠BOC＝________________；(用含n的式子表示)②根据图(d)证明你的猜想．9. 如图(a)，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°， AD＝9，BC＝12，AB＝a，在线段BC上任取一点P(P 不与B，C重合)，连接DP，作射线．PE⊥DP，PE与直线AB交于点E．(1)试确定CP＝3时，点E的位置；(2)若设CP＝x(x＞0)，BE＝y(y＞0)，试写出y关于自变量x的函数关系式；(3)若在线段BC上能找到不同的两点P1，P2，使按上述作法得到的点E都与点A重合，试求出此时a的取值范围．10. 点A，B分别是两条平行线m，n上任意两点，在直线n上找一点C，使BC＝k·AB．连接AC，在直线AC上任取一点E，作∠BEF＝∠ABC，EF交直线m于点F．(1)如图(a)，当k＝1时，探究线段EF与EB的关系，并加以说明；说明：①如果你经过反复探索没有解决问题，请写出探索过程(要求至少写三步)；②在完成①之后，可以自己添加条件(添加的条件限定为∠ABC为特殊角)，在图(b)中补全图形，完成证明．(2)如图(c)，若∠ABC＝90°，k≠l，探究线段EF与EB的关系，并说明理由．【答案与解析】一、选择题1.【答案】A；【解析】∵第①个图形中空心小圆圈个数为：4×1﹣3+1×0=1个；第②个图形中空心小圆圈个数为：4×2﹣4+2×1=6个；第③个图形中空心小圆圈个数为：4×3﹣5+3×2=13个；…∴第⑦个图形中空心圆圈的个数为：4×7﹣9+7×6=61个；2.【答案】A；【解析】由题意得，AD=12BC=52，AD1=AD﹣DD1=158，AD2=25532⨯，AD3=37532⨯，AD n=21532nn+⨯，故AP 1=54，AP 2=1516，AP 3=26532⨯…APn=12532n n-⨯， 故可得AP 6=512532⨯.故选A.3.【答案】A ；【解析】根据题意，当第1位数字是3时，按操作要求得到的数字是3624862486248…，从第2位数字起每隔四位数重复一次6248，因为(100-1)被4整除得24余3，所以这个多位数前100位的所有数字之间和是3+(6+2+4)+(6+2+4+8)×24＝495，答案选A ． 二、填空题 4.【答案】（1）4；10；（2）5；14；（3）4n+2；n+2．【解析】 （1）一个5×2的矩形最少可分成4个正方形，最多可分成10个正方形； （2）一个7×2的矩形最少可分成5个正方形，最多可分成14个正方形；（3）第一个图形：是一个3×2的矩形，最少可分成1+2个正方形，最多可分成1×4+2个正方形； 第二个图形：是一个5×2的矩形，最少可分成2+2个正方形，最多可分成2×4+2个正方形； 第三个图形：是一个7×2的矩形，最少可分成3+2个正方形，最多可分成3×4+2个正方形； …第n 个图形：是一个（2n+1）×2的矩形，最多可分成n ×4+2=4n+2个正方形，最少可分成n+2个正方形． 故答案为：（1）4；10；（2）5；14；（3）4n+2；n+2．5.【答案】（1）R －r 的值为4L ，以及此时花圃面积为24L ； （2）θ值为240π．【解析】要使花圃面积最大，则必定要求扇环面积最大．设扇环的圆心角为θ，面积为S ，根据题意得：2()180180R rL R r θπθπ=++- ()2()180R r R r πθ+=+-，∴180[2()]()L R r R r θπ--=+∴2222()360360360R r S R r θπθππθ=-=-22180[2()]()360()L R r R r R r ππ--=-+1[2()]()2L R r R r =--- 21()()2R r L R r =--+-22()416L L R r ⎡⎤=---+⎢⎥⎣⎦．∵02L R r <-<， ∴S 在4LR r -=时取最大值为216L ．∴花圃面积最大时R －r 的值为4L，最大面积为224164L L ⨯=．(2)∵当4LR r -=时，S 取大值， ∴1604044L R r -===(m)，40401050R r =+=+=(m)，∴180[2()]180(160240)240()60L R r R r θπππ---⨯===+．6.【答案】1927． 【解析】3331-3=4416A B C S =⨯⨯△…三、解答题 7．【答案与解析】（1）证明：如图1中，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE ， 在△ABD 和△ACE 中，，∴△ABD≌△ACE，∴∠ABD=∠ACE=45°，BD=CE，∴∠ACB+∠ACE=90°∴∠ECB=90°，∴BD⊥CE，CE=BC﹣CD．（2）如图2中，结论：CE=BC+CD，理由如下：∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE，∴CE=BC+CD．（3）如图3中，结论：△ACF是等腰三角形．理由如下：∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE，∴∠ABD=∠ACE，∵∠ABC=∠ACB=45°，∴∠ACE=∠ABD=135°，∴∠DCE=90°，又∵点F是DE中点，∴AF=CF=DE，∴△ACF是等腰三角形．8．【答案与解析】(1)证法一：∵△ABD与△ACE均为等边三角形，∴AD＝AB，AC＝AE，且∠BAD＝∠CAE＝60°．∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，即∠DAC＝∠BAE．∴△ADC≌△ABE．证法二：∵△ABD与△ACE均为等边三角形，∴AD＝AB，AC＝AE，且∠BAD＝∠CAE＝60°．∴△ADC可由△ABE绕着点A按顺时针方向旋转60°得到．∴△ABE≌△ADC．②120°，90°，72°．(2)①360n°．②证法一：依题意，知∠BAD和∠CAE都是正n边形的内角，AB＝AD，AE＝AC，∴∠BAD＝∠CAE＝(2)180nn-°．∴∠BAD－∠DAE＝∠CAE－∠DAE，即∠BAE＝∠DAC．∴△ABE≌△ADC．∴∠ABE＝∠ADC．∵∠ADC+∠ODA＝180°，∴∠ABO+∠ODA＝180°．∴∠ABO+∠ODA+∠DAB+∠BOC＝360°．∴∠BOC+∠DAB＝180°．∴∠BOC＝180°－∠DAB＝(2)180360 180nn n--=°°°．证法二：延长BA交CO于F，证∠BOC＝∠DAF＝180°-∠BAD．证法三：连接CE．证∠BOC＝180°－∠CAE．9．【答案与解析】解：(1)作DF⊥BC，F为垂足．当CP＝3时，四边形ADFB是矩形，则CF＝3．∴点P与点F重合．又∵BF⊥FD，∴此时点E与点B重合．(2)(i)当点P 在BF 上(不与B ，F 重合)时，(见图(a))∵∠EPB+∠DPF ＝90°，∠EPB+∠PEB ＝90°，∴∠DPF ＝∠PEB ．∴Rt △PEB ∽△ARt △DPF ． ∴BE FP BP FD=． ① 又∵ BE ＝y ，BP ＝12-x ，FP ＝x-3，FD ＝a ，代入①式，得312y x x a-=- ∴1(12)(3)y x x a=--，整理， 得21(1536)(312)y x x x a =-+<< ② (ii)当点P 在CF 上（不与C ，F 重合）时，（见上图(b))同理可求得BE FP BP FD =． 由FP ＝3-x 得21(1536)(03)y x x x a=-+<<． ∴ 221(1536)(03)1(1536)(312).x x x a y x x a⎧--+<<⎪⎪=⎨⎪--+<<⎪⎩ (3)解法一：当点E 与A 重合时，y ＝EB ＝a ，此时点P 在线段BF 上． 由②式得21(1536)a x x a =--+． 整理得2215360x x a -++=． ③∵在线段BC 上能找到两个不同的点P 1与P 2满足条件，∴方程③有两个不相等的正实根．∴△＝(-15)2－4×(36+a 2)＞0．解得2814a <． 又∵a ＞0， ∴902a <<． 解法二：当点E 与A 重合时，∵∠APD ＝90°，∴点P 在以AD 为直径的圆上．设圆心为M ，则M 为AD 的中点． ∵在线段BC 上能找到两个不同的点P 1与P 2满足条件，∴线段BC 与⊙M 相交．即圆心M 到BC 的距离d 满足02AD d <<． ④ 又∵AD ∥BC ，∴d ＝a ． ∴由④式得902a <<．10．【答案与解析】解：(1)EF＝EB．证明：如图(d)，以E为圆心，EA为半径画弧交直线m于点M，连接EM．∴EM＝EA，∴∠EMA＝∠EAM．∵BC＝k·AB，k＝1，∴BC＝AB．∴∠CAB＝∠ACB．∵m∥n，∴∠MAC＝∠ACB，∠FAB＝∠ABC．∴∠MAC＝∠CAB．∴∠CAB＝∠EMA．∵∠BEF＝∠ABC，∴∠BEF＝∠FAB．∵∠AHF＝∠EHB，∴∠AFE＝∠ABE．∴△AEB≌△MEF．∴EF＝EB．探索思路：如上图(a)，∵BC＝k·AB，k＝1，∴BC＝AB．∴∠CAB＝∠ACB．∵m∥n，∴∠MAC＝∠ACB．添加条件：∠ABC＝90°．证明：如图(e)，在直线m上截取AM＝AB，连接ME．∵ BC＝k·AB，k＝1，∴ BC＝AB．∵∠ABC＝90°，∴∠CAB＝∠ACB＝45°．∵ m∥n，∴∠MAE＝∠ACB＝∠CAB＝45°，∠FAB＝90°．∵ AE＝AE，∴△MAE∽△BAE．∴ EM＝EB，∠AME＝∠ABE．∵∠BEF＝∠ABC＝90°，∴∠FAB+∠BEF＝180°．又∵∠ABE+∠EFA＝180°，∴∠EMF＝∠EFA．∴ EM＝EF．∴ EF＝EB．(2)EF＝1k EB．说明：如图(f)，过点E作EM⊥m，EN⊥AB，垂足为M，N．∴∠EMF＝∠ENA＝∠ENB＝90°．∵ m∥n，∠ABC＝90°，∴∠MAB＝90°．∴四边形MENA为矩形．∴ ME＝NA，∠MEN＝90°．∵∠BEF＝∠ABC＝90°．∴∠MEF＝∠NEB．∴△MEF∽△NEB．∴ME EF EN EB=，∴AN EF EN EB=在Rt△ANE和Rt△ABC中，tanEN BCBAC kAN AB∠===，∴1EF EBk=．。
(2021年整理)浙教八上数学专题提升三特殊三角形的探究性问题
浙教八上数学专题提升三特殊三角形的探究性问题
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专题提升五以特殊三角形为背景的探究性问题热点解读特殊三角形的探究问题，主要会把复杂图形分解出等腰三角形、直角三角形，找相互之间的共性，从而揭示数量关系，同时又要用运动变换的思想分析问题，抓住一些不变的图形和不变的量、等量关系．以特殊三角形为背景的探究性问题是中考热点题型．母题呈现(2017·绍兴模拟)如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC 上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.(1)求∠F的度数；(2)若CD＝2，求DF的长．对点训练1．如图，在平面直角坐标系xOy中，A(0，2)，B(0，6)，动点C在直线y ＝x上．若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是()第1题图A．2 B．3 C．4 D．5 2．(2017·营口)如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D在BC 上，BD＝3，DC＝1，点P是AB上的动点，则PC＋PD的最小值为()第2题图A．4 B．5 C．6 D．7 3．(2016·长春)感知：如图1，AD平分∠BAC，∠B＋∠C＝180°，∠B＝90°，易知：DB＝DC.探究：如图2，AD平分∠BAC，∠ABD＋∠ACD＝180°，∠ABD<90°，求证：DB＝DC.应用：如图3，四边形ABCD中，∠B＝45°，∠C＝135°，DB＝DC＝a，则AB－AC＝________(用含a的代数式表示)．第3题图4．(2016·孝感)感知：如图1，点E在正方形ABCD的边BC上，BF⊥AE 于点F，DG⊥AE于点G，可知△ADG≌△BAF.(不要求证明)拓展：如图2，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，点E、F在∠MAN 内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB＝AC，∠1＝∠2＝∠BAC，求证：△ABE≌△CAF.应用：如图3，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AB＞BC.点D在边BC 上，CD＝2BD，点E、F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC.若△ABC的面积为9，则△ABE与△CDF的面积之和为.第4题图5．如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AC＝12cm，点E从点A出发沿AB以每秒1cm的速度向点B运动，同时点D从点C出发沿CA以每秒2cm的速度向点A运动，运动时间为t秒(0＜t＜6)，过点D作DF⊥BC于点F.(1)试用含t的式子表示AE、AD的长；(2)如图1，在D、E运动的过程中，四边形AEFD是平行四边形，请说明理由；(3)如图2，连结DE，当t为何值时，△DEF为直角三角形？(4)如图3，将△ADE沿DE翻折得到△A′DE，试问当t为何值时，四边形AEA′D为菱形？第5题图6．(2017·大连)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D，E 分别在AC，BC上(点D与点A，C不重合)，且∠DEC＝∠A，将△DCE绕点D逆时针旋转90°得到△DC′E′.当△DC′E′的斜边、直角边与AB分别相交于点P，Q(点P与点Q不重合)时，设CD＝x，PQ＝y.(1)求证：∠ADP＝∠DEC；(2)求y关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围．第6题图参考答案专题提升五 以特殊三角形为背景的探究性问题【母题呈现】(1)∵△ABC 是等边三角形，∴∠B ＝60°.∵DE ∥AB ，∴∠EDC ＝∠B ＝60°.∵EF ⊥DE ，∴∠DEF ＝90°.∴∠F ＝90°－∠EDC ＝30°.(2)∵∠ACB ＝60°，∠EDC ＝60°，∴△EDC 是等边三角形．∴ED ＝DC ＝2.∵∠DEF ＝90°，∠F ＝30°，∴DF ＝2DE ＝4.【对点训练】1.B 2.B3．探究：如图2中，作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，∵DA 平分∠BAC ，∴DE ＝DF ，∵∠B ＋∠ACD ＝180°，∠ACD ＋∠FCD ＝180°，∴∠B ＝∠FCD ，在△DFC 和△DEB 中，∵∠F ＝∠DEB ，∠FCD ＝∠B ，DF ＝DE ，∴△DFC ≌△DEB ，∴DC ＝DB. 应用：如图3，连结AD ，作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，∵∠B ＋∠ACD ＝180°，∠ACD ＋∠FCD ＝180°，∴∠B ＝∠FCD ，在△DFC 和△DEB 中，∵∠F ＝∠DEB ，∠FCD ＝∠B ，DC ＝DB ，∴△DFC ≌△DEB ，∴DF ＝DE ，CF ＝BE ，在Rt △ADF 和Rt △ADE 中，∵AD ＝AD ，DE ＝DF ，∴△ADF ≌△ADE ，∴AF ＝AE ，∴AB －AC ＝(AE ＋BE )－(AF －CF )＝2BE ，在Rt △DEB 中，∵∠DEB ＝90°，∠B ＝∠EDB ＝45°，BD ＝a ，∴BE ＝22a ，∴AB －AC ＝2a.故答案为：2a.第3题图4．拓展：∵∠1＝∠2，∴∠BEA ＝∠AFC ，∵∠1＝∠ABE ＋∠BAE ，∠BAE ＋∠DAC ＝∠BAC ，∠1＝∠BAC ，∴∠BAC ＝∠ABE ＋∠BAE ，∴∠DAC＝∠ABE ，∴⎩⎨⎧∠AEB ＝∠AFC ，∠ABE ＝∠DAC ，AB ＝AC ，∴△ABE ≌△CAF (AAS )． 应用：∵在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，CD ＝2BD ，∴△ABD 与△ADC 等高，底边比值为1∶2，∴△ABD 与△ADC 的面积比为1∶2，∵△ABC 的面积为9，∴△ABD与△ADC 面积分别为3，6；∵∠1＝∠2，∴∠BEA ＝∠AFC ，∵∠1＝∠ABE ＋∠BAE ，∠BAE ＋∠DAC ＝∠BAC ，∠1＝∠BAC ，∴∠BAC ＝∠ABE ＋∠BAE ，∴∠DAC ＝∠ABE ，∴⎩⎨⎧∠AEB ＝∠AFC ，∠ABE ＝∠DAC ，AB ＝AC ，∴△ABE ≌△CAF (AAS )，∴△ABE 与△CAF 面积相等，∴△ABE 与△CDF 的面积之和为△ADC 的面积，∴△ABE 与△CDF 的面积之和为6，故答案为：6.5．(1)AE ＝tcm ，AD ＝(12－2t )cm. (2)∵DF ⊥BC ，∠C ＝30°，∴DF ＝12CD ＝12×2t ＝t.∵AE ＝t ，∴DF ＝AE.∵∠ABC ＝90°，DF ⊥BC ，∴DF ∥AE.∴四边形AEFD 是平行四边形． (3)①显然∠DFE ＜90°.②如图1，当∠EDF＝90°时，四边形EBFD 为矩形，此时AE ＝12AD ，∴t ＝12(12－2t )．∴t ＝3.③如图2，当∠DEF ＝90°时，此时∠ADE ＝90°，∴∠AED ＝90°－∠A ＝30°.∴AD ＝12AE.∴12－2t ＝12t.∴t ＝245.综上：当t ＝3秒或t ＝245秒时，△DEF 为直角三角形． (4)如图3，若四边形AEA′D 为菱形，则AE ＝AD.∴t ＝12－2t.∴t ＝4.∴当t ＝4时，四边形AEA′D 为菱形．第5题图6．(1)如图1，∵∠EDE ′＝∠C ＝90°，∴∠ADP ＋∠CDE ＝90°，∠CDE ＋∠DEC ＝90°，∴∠ADP ＝∠DEC. (2)如图1，当C′E′与AB 相交于Q 时，即65＜x ≤127时，过P 作MN ∥DC′，设∠B ＝α，∴MN ⊥AC ，四边形DC′MN 是矩形，∴PM ＝PQ·cos α＝45y ，PN ＝43×12(3－x )，∴23(3－x )＋45y ＝x ，∴y ＝2512x －52，当DC′交AB 于Q 时，即127＜x ＜3时，如图2，作PM ⊥AC 于M ，PN ⊥DQ 于N ，则四边形PMDN 是矩形，∴PN ＝DM ，∵DM ＝12(3－x )，PN ＝PQ·sinα＝35y，∴12(3－x)＝35y，∴y＝－56x＋52.综上所述，y＝⎩⎪⎨⎪⎧－56x＋52⎝ ⎛⎭⎪⎫127<x<3，2512x－52⎝⎛⎭⎪⎫65<x≤127.第6题图赠送励志修身名言警句可怕的敌人，就是没有坚强的信念。
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