选修4-5第2讲不等式的证明

第2讲 不等式的证明1．基本不等式定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理2：如果a 、b 为正数，则a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理3：如果a 、b 、c 为正数，则a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n≥na 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立． 2．柯西不等式(1)设a ，b ，c ，d 均为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立．(2)若a i ，b i (i ＝1，2，…，n )为实数，则(i ＝1∑n a 2i )(i ＝1∑n b 2i )≥(i ＝1∑na ib i )2，当且仅当b 1a 1＝b 2a 2＝…＝b n a n (当a i ＝0时，约定b i ＝0，i ＝1，2，…，n )时等号成立．(3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当且仅当α，β共线时等号成立． 3．不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等．(参阅本书第六章相应内容),考点一__利用基本不等式证明不等式____________例1 设a ，b ，c 为正实数，求证：1a 3＋1b 3＋1c3＋abc ≥2 3.[证明] 因为a ，b ，c 为正实数，由均值不等式可得1a 3＋1b 3＋1c 3≥331a 3·1b 3·1c 3，即1a 3＋1b 3＋1c 3≥3abc ，当且仅当1a 3＝1b 3＝1c 3，即a ＝b ＝c 时，等号成立， 所以1a 3＋1b 3＋1c 3＋abc ≥3abc ＋abc .而3abc ＋abc ≥23abc·abc ＝23，当且仅当3abc ＝abc ，即abc ＝3时，等号成立，所以1a 3＋1b 3＋1c3＋abc ≥2 3.[规律方法] 利用基本不等式必须要找准“对应点”，明确“类比对象”，使其符合几个著名不等式的特征，注意检验等号成立的条件，特别是多次使用基本不等式时，必须使等号同时成立．1.设a >0，b >0，若3是3a 与3b 的等比中项，求证1a ＋1b≥4.证明：由3是3a 与3b 的等比中项得3a ·3b＝3，即a ＋b ＝1.要证原不等式成立，只需证a ＋b a ＋a ＋b b ≥4，即证b a ＋a b≥2.∵a >0，b >0，∴b a ＋a b ≥2b a ·a b ＝2(当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝12时，取“＝”号)，∴1a ＋1b≥4.考点二__放缩法证明不等式____________________(2015·洛阳模拟)有小于1的n (n ≥2)个正数x 1，x 2，x 3，…，x n ，且x 1＋x 2＋x 3＋…＋x n ＝1. 求证：1x 1－x 31＋1x 2－x 32＋1x 3－x 33＋…＋1x n －x 3n>4. [证明] ∵0<x i <1，∴1x i －x 3i >1x i，其中i ＝1，2，3，…，n ，∴1x 1－x 31＋1x 2－x 32＋1x 3－x 33＋…＋1x n －x 3n >1x 1＋1x 2＋1x 3＋…＋1x n ≥n n 1x 1x 2x 3…x n. ∵n x 1x 2x 3…x n ≤x 1＋x 2＋x 3＋…＋x n n ＝1n ，∴ n 1x 1x 2x 3…x n≥n ，∴1x 1－x 31＋1x 2－x 32＋1x 3－x 33＋…＋1x n －x 3n>n 2≥22＝4， ∴1x 1－x 31＋1x 2－x 32＋1x 3－x 33＋…＋1x n －x 3n>4. [规律方法] 放缩法证明不等式时，常见的放缩依据和技巧是不等式的传递性．缩小分母、扩大分子，分式值增大；缩小分子、扩大分母，分式值减小；每一次缩小其和变小，但需大于所求；每一次扩大其和变大，但需小于所求，即不能放缩不够或放缩过头．2.设n 是正整数，求证：12≤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n<1.证明：由2n ≥n ＋k >n (k ＝1，2，…，n )，得12n ≤1n ＋k <1n.当k ＝1时，12n ≤1n ＋1<1n ；当k ＝2时，12n ≤1n ＋2<1n；…当k ＝n 时，12n ≤1n ＋n <1n，∴12＝n 2n ≤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n <n n＝1. 考点三__柯西不等式____________________________(2014·高考福建卷)已知定义在R 上的函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|的最小值为a .(1)求a 的值；(2)若p ，q ，r 是正实数，且满足p ＋q ＋r ＝a ，求证：p 2＋q 2＋r 2≥3. [解] (1)因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，当且仅当－1≤x ≤2时，等号成立，所以f (x )的最小值等于3，即a ＝3. (2)证明：由(1)知p ＋q ＋r ＝3，又因为p ，q ，r 是正实数，所以(p 2＋q 2＋r 2)(12＋12＋12)≥(p ×1＋q ×1＋r ×1)2＝(p ＋q ＋r )2＝9，即p 2＋q 2＋r 2≥3. [规律方法] 利用柯西不等式求最值的一般结构为：(a 21＋a 22＋…＋a 2n )≥+++）（na a a 11121 (1＋1＋…＋1)2＝n 2.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件．3.已知实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＋c ＋d ＝3，a 2＋2b 2＋3c 2＋6d 2＝5，求证：1≤a ≤2. 证明：由柯西不等式得(2b 2＋3c 2＋6d 2))613121(++≥(b ＋c ＋d )2， 即2b 2＋3c 2＋6d 2≥(b ＋c ＋d )2，由已知可得2b 2＋3c 2＋6d 2＝5－a 2，b ＋c ＋d ＝3－a ，∴5－a 2≥(3－a )2，即1≤a ≤2.当且仅当2b 12＝3c 13＝6d16，即2b ＝3c ＝6d 时等号成立．1．如果x >0，比较(x －1)2与(x ＋1)2的大小．解：(x －1)2－(x ＋1)2＝[(x －1)＋(x ＋1)][(x －1)－(x ＋1)]＝－4x .∵x >0，∴x >0，∴－4x <0，∴(x －1)2<(x ＋1)2.2．若x ，y 都是正实数，且x ＋y >2，求证：1＋x y <2和1＋yx<2中至少有一个成立．证明：假设1＋x y <2和1＋y x <2都不成立，则有1＋x y ≥2和1＋yx≥2同时成立．因为x >0且y >0，所以1＋x ≥2y ，且1＋y ≥2x .两式相加，得2＋x ＋y ≥2x ＋2y ， 所以x ＋y ≤2.这与已知条件x ＋y >2矛盾，因此1＋x y <2和1＋y x<2中至少有一个成立．3．已知△ABC 的三边长分别是a ，b ，c 且m 为正数，求证：a a ＋m ＋b b ＋m >cc ＋m.证明：要证a a ＋m ＋b b ＋m >cc ＋m，只需证a (b ＋m )(c ＋m )＋b (a ＋m )(c ＋m )－c (a ＋m )(b ＋m )>0，即证abc ＋abm ＋acm ＋am 2＋abc ＋abm ＋bcm ＋bm 2－abc －acm －bcm －cm 2>0， 即证abc ＋2abm ＋(a ＋b －c )m 2>0.由于a ，b ，c 分别是△ABC 的三边长，故有a ＋b >c . ∵m >0，∴(a ＋b －c )m 2>0，∴abc ＋2abm ＋(a ＋b －c )m 2>0是成立的，因此a a ＋m ＋b b ＋m >cc ＋m 成立．4．已知a >0，b >0，c >0，a ＋b >c .求证：a 1＋a ＋b 1＋b >c1＋c.证明：∵a >0，b >0，∴a 1＋a >a 1＋a ＋b ，b 1＋b >b 1＋a ＋b .∴a 1＋a ＋b1＋b >a ＋b 1＋a ＋b.而函数f (x )＝x 1＋x ＝1－11＋x在(0，＋∞)上递增，且a ＋b >c ，c >0，∴f (a ＋b )>f (c )，则a ＋b 1＋a ＋b >c 1＋c ，所以a 1＋a ＋b 1＋b >c1＋c，则原不等式成立．5．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)若a >0，b >0，且1a ＋1b＝ab .(1)求a 3＋b 3的最小值；(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由．解：(1)由ab ＝1a ＋1b ≥2ab，得ab ≥2，且当a ＝b ＝2时等号成立．故a 3＋b 3≥2a 3b 3≥42，且当a ＝b ＝2时等号成立． 所以a 3＋b 3的最小值为4 2.(2)由(1)知，2a ＋3b ≥26ab ≥4 3.由于43>6，从而不存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6. 6．(2015·贵州省六校第一次联考)已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：(1)1a ＋1b ＋1ab ≥8； (2)9)11)(11(≥++ba 证明：(1)∵a ＋b ＝1，a >0，b >0，∴1a ＋1b ＋1ab ＝1a ＋1b ＋a ＋b ab＝2)11(b a +＝2)(b b a a b a +++＝2)(b a a b +＋4≥4b a ×a b ＋4＝8(当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立)， ∴1a ＋1b ＋1ab≥8. (2)∵)11)(11(b a ++＝1a ＋1b ＋1ab ＋1，由(1)知1a ＋1b ＋1ab ≥8.∴)11)(11(ba ++≥9.1．(2013·高考新课标全国卷Ⅱ)设a 、b 、c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明：(1)ab ＋bc ＋ac ≤13 (2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥1.证明：(1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ，得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . 由题设得(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1.所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13.(2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a ＋a ≥2c ，故a 2b ＋b 2c ＋c2a ＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )，即a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c .所以a 2b ＋b 2c ＋c2a ≥1. 2．(2015·河北唐山模拟)设不等式－2<|x －1|－|x ＋2|<0的解集为M ，a ，b ∈M .(1)证明：|6131|b a +<14；(2)比较|1－4ab |与2|a －b |的大小，并说明理由．解：(1)证明：记f (x )＝|x －1|－|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧3，x ≤－2，－2x －1，－2<x <1，－3，x ≥1.由－2<－2x －1<0，解得－12<x <12，则M ＝⎝⎛⎭⎫－12，12.所以⎪⎪⎪⎪13a ＋16b ≤13|a |＋16|b |<13×12＋16×12＝14. (2)由(1)得a 2<14，b 2<14.因为|1－4ab |2－4|a －b |2＝(1－8ab ＋16a 2b 2)－4(a 2－2ab ＋b 2)＝(4a 2－1)(4b 2－1)>0， 所以|1－4ab |2>4|a －b |2， 故|1－4ab |>2|a －b |. 3．(2014·高考辽宁卷)设函数f (x )＝2|x －1|＋x －1，g (x )＝16x 2－8x ＋1.记f (x )≤1的解集为M ，g (x )≤4的解集为N . (1)求M ；(2)当x ∈M ∩N 时，证明：x 2f (x )＋x [f (x )]2≤14.解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －3，x ∈[1，＋∞），1－x ，x ∈（－∞，1）.当x ≥1时，由f (x )＝3x －3≤1得x ≤43，故1≤x ≤43；当x <1时，由f (x )＝1－x ≤1得x ≥0，故0≤x <1.所以f (x )≤1的解集为M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0≤x ≤43.(2)证明：由g (x )＝16x 2－8x ＋1≤4得16⎝⎛⎭⎫x －142≤4，解得－14≤x ≤34.因此N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－14≤x ≤34，故M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0≤x ≤34.当x ∈M ∩N 时，f (x )＝1－x ，于是x 2f (x )＋x ·[f (x )]2＝xf (x )[x ＋f (x )]＝x ·f (x )＝x (1－x )＝14－2)21(-x ≤14.4．(2015·洛阳市统考)(1)已知x ，y 都是正实数，求证：x 3＋y 3≥x 2y ＋xy 2；(2)若不等式|a －1|≥3x ＋1＋3y ＋1＋3z ＋1对满足x ＋y ＋z ＝1的一切正实数x ，y ，z 恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)证明：(x 3＋y 3)－(x 2y ＋xy 2)＝x 2(x －y )＋y 2(y －x )＝(x －y )(x 2－y 2)＝(x －y )2(x ＋y )． 又x ，y 都是正实数，∴(x －y )2≥0，x ＋y >0，即(x 3＋y 3)－(x 2y ＋xy 2)≥0，∴x 3＋y 3≥x 2y ＋xy 2. (2)根据柯西不等式有(3x ＋1＋3y ＋1＋3z ＋1)2＝(1·3x ＋1＋1·3y ＋1＋1·3z ＋1)2≤(12＋12＋12)[(3x＋1)2＋(3y＋1)2＋(3z＋1)2]＝3·[3(x＋y＋z)＋3]＝3×6＝18，∴3x＋1＋3y＋1＋3z＋1≤3 2.又∵|a－1|≥3x＋1＋3y＋1＋3z＋1恒成立，∴|a－1|≥32，∴a－1≥32或a－1≤－32，即a≥32＋1或a≤1－32，∴a的取值范围是(－∞，1－32]∪[1＋32，＋∞)．。