【三维设计】北京联合大学附中2014年高考数学一轮复习 空间几何体单元训练 新人教A版

B．四边开 EFGH 是矩形 D． 是棱台
【答案】D 12．M 是空间直角坐标系 Oxyz 中任一点（异于 O） ，若直线 OM 与 xOy 平面，yoz 平面，zox 2 2 2 平面所成的角的余弦值分别为 p, q, r，则 p +q +r =( ) 1 A． B．1 4 C． 2 【答案】C 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题 (本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在题中横线上) 13．等腰梯形 ABCD 中，上底 CD 1 ，腰 AD CB 2 ，下底 AB 3 ，以下底所在直 线为 x 轴，则由斜二测画法画出的直观图 ABC D 的面积为__________ __ 【答案】 D．
BD BP 3 PD 3 2 3 3 ，∴ AD a .∴ DE AD sin60 ，∴ PD a . a ，又∵ DA PA1 2 AA1 5 5 5 5 PD 3 ，∴ P AC B 的大小为 PED 60 . DE
∴ tanPED
【法二】以 A 为原点， AB 为 x 轴，过 A 点与 AB 垂直的直线为 y 轴， AA1 为 z 轴，建立空间
北京联合大学附中三维设计 2014 年高考数学一轮复习单元训练：空 间几何体
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分 150 分．考试时间 120 分钟． 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题 (本大题 共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的 ) 1． 与正方体
21．如图，已知三棱锥 P—ABC 中，AP⊥PC， AC⊥BC，M 为 AB 中点，D 为 PB 中点， 且△PMB 为正三角形． (1）求证：DM∥平面 APC； (2）求证：平面 ABC⊥平面 APC； (3）若 BC=4，AB=20，求三棱锥 D-BCM 的体积．
A．
1 3
B．1 2C．3 2D．1【答案】B 4．用斜二测画法画一个水平放置的平面 图形为如下图的一个正方形，则原来图形的形状是 ( )
【答案】A 5．一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为２ｃｍ，则球的表面积是( ) ２ ２ ２ ２ A．８ ｃｍ B．１２ ｃｍ C．１６ ｃｍ D．２０ ｃｍ 【答案】D



a 2,

3a .∴ m 是平面 ,0 0 2
mn 1 PAC 的一个法向量.又平面 ABC 的一个法向量为 n 0,0,1 . cos m, n ，∴二 mn 2
面角 P AC B 的大小是 60 .
【答案】 （1 ）证明： E、F 分别是A1B、A1C的中点， EF ∥ BC ,
又EF 平面ABC, BC 平面ABC，所以EF ∥ 平面ABC
2 直三棱柱ABC A1 B1C1， BB1 平面A1 B1C1， BB1 A1 D,
又A1 D B1C , A1 D 平面BB1C1C， 而A1 D 平面A1 FD， 平面A1 FD 平面BB1C1C.
2 2
、
3 2
、
6 2
，则三棱锥 A BCD 的外接球的表面积为( C． 6
)
B． 6
D． 4 6
10．对于三条不同的直线 a、b、c，与三个不同的平面 a 、 、 ，有下述四个命题： ① // , b b // ； ③ c a , c b, a , b c ； 其中正确的有( A．①③ 【答案】D ) B．②③ C．②④ D．①④ ② a ⊥ ， a a ④ a⊥ a ，b⊥ a a ∥b；
∴
6
∴ BD 3 ．
∴ AD // 平面 CEF ． (3）由（2）知 AD // EF ， AD ED ，且 ED BD BE 1 ∴ F 到 AD 的距离等于 E 到 AD 的距离，为 1． ∴ S FAD
1 3 ． 3 1 2 2
CE 平面 ABD
a 3a 直角坐标系 A xyz ，如图所示，设 P x,0, z ，则 B a ,0,0 、 A1 0,0, a 、 C , . 2 2 ,0 1 a a 3a （Ⅰ）由 CP AB 0 得 x , ,z a,0,0 0 ，即 x a 0 ，∴ x a ，即 P 2 2 2 2
(1）求证： AD 平面 BCE ； (2）求证： AD // 平面 CEF ； (3） 求三棱锥 A CFD 的体积． 【答案】 （1）依题意： AD BD
2 ， BC 6
RtABD 中， AB 2 3 ， AD 3
BF BE 2 ． BA BD 3 ∴ AD // EF AD 在平面 CEF 外
8．将正三棱柱截去三个角（如图 1 所示 A，B，C 分别是 △GHI 三边的中点）得到几何体 如图 2，则该几何体按图 2 所示方向的侧视图（或称左视图）为( )
【答案】A 9．在三棱锥 A BCD 中，侧棱 AB、AC、AD 两两垂直， ABC 、 ACD 、 ADB 的面积 分别为 A． 2 【答案】C
∴ B1 D1 (2, 2, 0), AP (1,1, 2) ∴ B1 D1 AP 0 ，

又 AB 2, PA

6 ， ∴ PE 2
∴ P (1,1,4)

即 PA B1 D1 .
(2）设平面 PAD 的法向量是 m ( x, y , z ) ，
3
该球表面积为
.
【答案】 12 三、解答题 (本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应 写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．如图，P—ABCD 是 正四棱锥， ABCD A1B1C1D1 是正方体，其中 AB 2, PA
6
(1）求证： PA B1 D1 ； (2）求平面 PAD 与平面 BDD1 B1 所成的锐二面角 的余弦值； 【答案】以 A1 B1 为 x 轴， A1 D1 为 y 轴， A1 A 为 z 轴建立空间直角坐标系 (1）证明:设 E 是 BD 的中点， P—ABCD 是正四棱锥， ∴ PE ABCD

AD (0, 2, 0), AP (1,1, 2)
4
∴ y 0, x 2 z 0
取 z 1 得 m (2, 0,1) ，

又平面 BDD1 B1 的法向量是 n (1,1, 0)

mn 10 ∴ cos m, n 5 m n
5
为 A1 B 的中点，也即 A1 P : PB 1 时， PC AB .
2a 3a ,0, . (Ⅱ）当 A1 P : PB 2 : 3 时， P 点的坐标是 5 5
取 m 3, 3, 2 .则



2a 3a m AP 3, 3, 2 ,0, 0 ， m AC 3, 3, 2 5 5
11．如图，若 是长方体
ABCD A1B1C1D1 被平面 EFGH 截去几何体 EFGHB1C1 后得到 A1 B1 上异于 B1 的点， F 为线段 BB1 上异于 B1 的点，且
)
的几何体，其中 E 为线段
EH / / A1 D1 ，则下列结论中不正确的是(
2
A． EH / / FG C． 是棱柱

19． 如图：C 、D 是以 AB 为直径的圆上两点，AB 2 AD 2 3 ，AC BC ，F 是 AB 上一点， 且 AF 已知 CE
1 将圆沿直径 AB 折起， 使点 C 在平面 ABD 的射影 E 在 BD 上， AB ， 3
2.
∴ CE AD CE 平面 ABD BD CE E ∴ AD 平面 BCE ． (2） RtBCE 中， CE ∴ BE 2
之当 A1 P : PB 1 时， 取 AB 的中点 D ， 连接 CD 、 ∴ CD AB . PD .∵ ABC 为正三角形， 由于 P 为 A1 B 的中点时，PD // A1 A ∵ A1 A 平面 ABC ， ∴ PD 平面 ABC ， ∴ PC AB . （Ⅱ）当 A1 P : PB 2 : 3 时，作 P 在 AB 上的射影 D . 则 PD 底面 ABC .作 D 在 AC 上的 射影 E ，连结 PE ，则 PE AC .∴ DEP 为二面角 P AC B 的平面角.又∵ PD // AA1 ， ∴
9 4
2 2
1 4 r l
14．设圆锥的母线长 为 l,底面半径为 r,满足条件“它的一个内接圆柱的侧面积等于圆锥侧 面积的 ”的情况有且只有一种,则 【答案】
3 2
．
15．如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积是
；
【答案】 8 16．四棱锥 P ABCD 的三视图如右图所示,四棱锥 P ABCD 的五个顶点都在一个球面 上， E 、 F 分别是棱 AB 、 CD 的中点，直线 EF 被球面所截 得的 线段长为 2 2 ，则
ABCD A1B1C1D1 的三条棱 AB 、CC1 、A1 D1 所在直线的距离相等的点(
)
A．有且只有 1 个 B．有且只有 2 个 C．有且只有 3 个 D．有无数个 【答案】D 2．下列命题正确的是( ) A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱。 B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱。 C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行 的几何体叫棱柱。 D．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台。 【答案】C 3．一个棱锥的三视图如图所示，则它的体积为( )