【名校课堂秋九级数学上册.一元二次方程练习(新版)新人教版-课件
人教版九级上册数学.一元二次方程经典课件
人教版九级上册数学.一元二次方程实 用课件 （PPT 优秀课 件）
归纳概念
一元二次方程的解(根):
使一元二次方程左右两边相等 的未知数的值.
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例题与练习
例1 在下列方程中,属于一元二次方程的 是 (1) .
(1)本题中有哪些量？由这些量可以得到什么?
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(2)比赛队伍的数量与比赛的场次有什么关系? 如果有5个队参赛,每个队比赛几场?一共有 20场比赛吗?如果不是20场比赛,那么究竟 比赛多少场？ 1 5 4 1（0 场） 2
(3)如果有x个队参赛,一共比赛多少场呢？
1 x(x-1) 2
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第二十一章 一元二次方程 21.1 一元二次方程
复习旧知
1. 什么是方程？你能举出一 个方程的例子吗？
方程:含有未知数的等式.
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2.下列哪些方程是一元一次方程？并给出一元一
次方程的概念和一般形式.
（1）2x 1 （3） 1 1 0
x
（2）mx+n = 0
（4） x2 =1
一元一次方程的定义: 只含有一个未知数，且未知数次数是一的方程.
(1)4x2 81; (2)(3x - 2)(x+1) = 8x - 3;
4x2 81 0 3x2 7x 1 0
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例题与练习
3. 根据下列问题，列出关于x的方程,并将所 列方程化成一元二次方程的一般形式：
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【名校课堂九级数学上册小专题三求二次函数解析式(新版)新人教版-课件
求二次函数解析式类型1 已知二次函数解析式，确定各项的系数如果二次函数解析式中只有1个字母，只需要找到函数图象上1个点的坐标代入即可；如果二次函数解析式中有2个字母，则需要找到函数图象上2个点的坐标；如果二次函数解析式中有3个字母，通常需要找到函数图象上3个点的坐标．1．(泉州中考)已知抛物线y ＝a(x －3)2＋2经过点(1，－2)．(1)求a 的值；(2)若点A(m ，y 1)，B(n ，y 2)(m<n<3)都在该抛物线上，试比较y 1与y 2的大小．类型2 利用“三点式”求二次函数解析式如果已知函数图象上三点的坐标，通常设二次函数解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c.2．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，正方形OABC 的边长为2 cm ，点A ，C 分别在y 轴的负半轴和x 轴的正半轴上，抛物线经过点A ，B 和D(4，－23)．求抛物线的表达式．3．(广东模拟)如图，在平面直角坐标系中，点A ，B ，C 的坐标分别为(0，2)，(3，2)，(2，3)．(1)请在图中画出△ABC 向下平移3个单位的像△A′B ′C ′；(2)若一个二次函数的图象经过(1)中△A′B ′C ′的三个顶点，求此二次函数的关系式．类型3 利用“顶点式”求二次函数解析式如果已知二次函数顶点和图象上另一点，则设二次函数解析式为y＝a(x－h)2＋k.如果已知对称轴、最大值(最小值)或者二次函数的增减性也考虑利用“顶点式”．4．(普陀区一模)如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A(1，0)和点B，与y轴交于点C(0，6)，对称轴为直线x＝2，求二次函数解析式并写出图象最低点坐标．5．(1)任选以下三个条件中的一个，求二次函数y＝ax2＋bx＋c的解析式．①y随x的变化的部分数值规律如下表：3②有序数对(－1，0)、(1，4)、(3，0)满足y＝ax＋bx＋c；③函数y＝ax2＋bx＋c的图象的一部分(如图)．(2)直接写出二次函数y＝ax2＋bx＋c的三个性质．类型4 利用“交点式”求二次函数解析式如果已知二次函数图象与x轴的两个交点为(x1，0)，(x2，0)，那么设二次函数解析式为y＝a(x－x1)(x－x2)．6．已知一个二次函数的图象经过点A(－1，0)、B(3，0)、C(0，－3)三点；(1)求此函数解析式；(2)对于实数m ，点M(m ，－5)是否在这个二次函数的图象上？说明理由．7．已知二次函数对称轴为x ＝2，且在x 轴上截得的线段长为6，与y 轴交点为(0，－2)，求此二次函数的解析式．类型5 利用“平移规律”求二次函数解析式 已知移动后的抛物线的解析式，求移动前抛物线的解析式．可先求移动后抛物线的顶点坐标，再反向移动还原原抛物线的顶点坐标，利用a 不变求出原抛物的解析式．8．如图所示，已知抛物线C 0的解析式为y ＝x 2－2x.提示：抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的顶点坐标 (－b 2a ，4ac －b 24a )，对称轴x ＝－b 2a. (1)求抛物线C 0的顶点坐标；(2)将抛物线C 0每次向右平移2个单位，平移n 次，依次得到抛物线C 1，C 2，C 3，…，C n (n 为正整数)．①求抛物线C 1与x 轴的交点A 1，A 2的坐标；②试确定抛物线C n 的解析式．(直接写出答案，不需要解题过程)参考答案1.(1)∵抛物线y ＝a(x －3)2＋2经过点(1，－2)，∴a(1－3)2＋2＝－2.解得a ＝－1.(2)由(1)得a ＝－1<0，抛物线的开口向下，在对称轴x ＝3的左侧，y 随x 的增大而增大．∵m<n<3，∴y 1<y 2.2.设抛物线的表达式为y ＝ax 2＋bx ＋c.由题意得A(0，－2)，B(2，－2)，因为抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过A ，B ，D 三点，将三点坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－2，16a ＋4b ＋c ＝－23，c ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝16，b ＝－13，c ＝－2.所以抛物线的表达式为y ＝16x 2－13x －2. 3.(1)图略．(2)由题意得A′，B ′，C ′的坐标分别是(0，－1)，(3，－1)，(2，0)，设过点A′、B′、C′的二次函数的关系式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，则有⎩⎪⎨⎪⎧c ＝－1，9a ＋3b ＋c ＝－1，4a ＋2b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝32，c ＝－1.∴二次函数的关系式为y ＝－12x 2＋32x －1. 4.设二次函数解析式为y ＝a(x －2)2＋k ，把A(1，0)，C(0，6)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋k ＝0，4a ＋k ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，k ＝－2.则二次函数解析式为y ＝2(x －2)2－2＝2x 2－8x ＋6，二次函数图象有最低点，即顶点坐标为(2，－2)．5.(1)答案不唯一，以选择条件③为例，由图象可知：二次函数图象的顶点坐标为(1，4)，则可设二次函数解析式为y ＝a(x －1)2＋4.∵图象经过点(－1，0)，∴当x ＝－1时，y ＝0，代入解析式，得a(－1－1)2＋4＝0，解得a ＝－1.∴二次函数的解析式为y ＝－(x －1)2＋4＝－x 2＋2x ＋3.(2)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的对称轴为x ＝1；与x 轴的交点为(－1，0)，(3，0)；与y 轴的交点为(0，3)；顶点坐标为(1，4)；当x<1时，y 随x 的增大而增大；当x>1时，y 随x 的增大而减小；当x ＝1时，二次函数有最大值y ＝4.6.(1)因为二次函数图象经过A(－1，0)、B(3，0)，所以设y ＝a(x ＋1)(x －3)．把C(0，－3)代入，得－3＝－3a.解得a ＝1.所以此函数的解析式为y ＝(x ＋1)(x －3)＝x 2－2x －3.(2)不在．因为该函数的开口向上，最小值为－4，所以点M(m ，－5)不在这个二次函数的图象上．7.∵抛物线的对称轴为x ＝2，且在x 轴上截得的线段长为6，∴抛物线与x 轴两交点为(－1，0)，(5，0)．∴设二次函数解析式为y ＝a(x ＋1)(x －5)．将点(0，－2)代入上式，得－2＝a(0＋1)(0－5)，∴a ＝25.因此二次函数解析式为y ＝25(x ＋1)(x －5)．即y ＝25x 2－85x －2. 8.(1)∵y＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，∴抛物线C 0的顶点坐标为(1，－1)．(2)①当y ＝0时，则有x 2－2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2.∴抛物线C 0与x 轴的交点坐标为(0，0)，(2，0)．∵将抛物线C 0向右平移2个单位，得到抛物线C 1，∴此时抛物线C 0与x 轴的交点(0，0)、(2，0)也随之向右平移2个单位，∴抛物线C 1与x 轴的交点A 1、A 2的坐标分别为：A 1(2，0)、A 2(4，0)．②抛物线C n 的解析式为：y ＝x 2－(4n ＋2)x ＋4n 2＋4n.。
【名校课堂】九级数学上册..二次函数练习(新版)新人教版-精
二次函数基础题知识点1 二次函数的定义1．(怀化中考)下列函数是二次函数的是( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝－2x ＋1C ．y ＝x 2＋2D ．y ＝12x －2 2．2．对于函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，有以下四种说法，其中正确的是( )A ．当b ＝0时，是二次函数B ．当c ＝0时，是二次函数C ．当a ＝0时，是一次函数D ．以上说法都不对3．圆的面积公式S ＝πR 2中，S 与R 之间的关系是( )A ．S 是R 的正比例函数B ．S 是R 的一次函数C ．S 是R 的二次函数D ．以上答案都不对4．若y ＝(a ＋2)x 2－3x ＋2是二次函数，则a 的取值范围是__________．5．已知二次函数y ＝1－3x ＋5x 2，则二次项系数a ＝________，一次项系数b ＝________，常数项c ＝________．6．已知两个变量x ，y 之间的关系式为y ＝(a －2)x 2＋(b ＋2)x －3.(1)当________时，x ，y 之间是二次函数关系；(2)当__________时，x ，y 之间是一次函数关系．7．判断函数y ＝(x －2)(3－x)是否为二次函数，若是，写出它的二次项系数、一次项系数和常数项；若不是，请说明理由．知识点2 建立二次函数模型8．国家决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分率为x ，该药品原价为18元，降价后的价格为y 元，则y 与x 的函数关系式为( )A ．y ＝36(1－x)B ．y ＝36(1＋x)C ．y ＝18(1－x)2D ．y ＝18(1＋x 2)9．已知一个直角三角形两直角边的和为10，设其中一条直角边为x ，则直角三角形的面积y 与x 之间的函数关系式是( )A ．y ＝－12x 2＋5x B ．y ＝－x 2＋10x C ．y ＝12x 2＋5x D ．y ＝x 2＋10x 10．在半径为4 cm 的圆中，挖出一个半径为x cm 的圆，剩下的圆环的面积是y cm 2，则y 与x 的函数关系为( )A ．y ＝πx 2－4B ．y ＝π(2－x)2C ．y ＝π(x 2＋4)D ．y ＝－πx 2＋16π11．某校九(1)班共有x 名学生，在毕业典礼上每两名同学都握一次手，共握手y 次，试写出y 与x 之间的函数关系式____________________，它________(填“是”或“不是”)二次函数．12．菱形的两条对角线的和为26 cm ，则菱形的面积S(cm 2)与一条对角线的长x(cm)之间的函数关系式为____________________，自变量的取值范围是___________．中档题13.下列函数中，是二次函数的有( )①y ＝1－2x 2；②y ＝1x 2；③y ＝x(1－x)；④y ＝(1－2x)(1＋2x)．⑤y ＝9x 2－（3x-1）2 A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个14．在一定条件下，若物体运动的路程s(米)与时间t (秒)的关系式为s ＝5t 2＋2t ，则当t ＝4时，该物体所经过的路程为( )A ．88米B ．68米C ．48米D ．28米15．如果二次函数y ＝x 2＋2x －7的函数值是8，那么对应的x 的值是( )A ．5B ．3C ．3或－5D ．－3或516．已知两个变量x 、y 之间的关系为y ＝(m －2)xm 2－2＋x －1，若x 、y 之间是二次函数关系，求m 的值．17．一辆汽车的行驶距离s(单位：m)与行驶时间t(单位：s)的函数关系式是s ＝9t ＋12t 2，经12 s 汽车行驶了多远？行驶380 m 需要多少时间？18．一块矩形的草地，长为8 m ，宽为6 m ，若将长和宽都增加x m ，设增加的面积为y m 2.(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)若要使草地的面积增加32 m 2，长和宽都增加多少米？19．如图，有一个长为24米的篱笆，一面利用墙(墙的最大长度a 为10米)围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB 为x 米，面积为S 平方米．(1)求S 与x 的函数关系式；(2)如果要围成面积为45平方米的花圃，A B 的长为多少米？综合题20．如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝12 mm ，BC ＝24 mm ，动点P 从点A 开始沿边AB 向B 以2 mm/s 的速度移动(不与点B 重合)，动点Q 从点B 开始沿边BC 向C 以4 mm/s 的速度移动(不与点C 重合)．如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，设运动的时间为x s ，四边形APQC 的面积为y mm 2. (1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)求自变量x 的取值范围；(3)四边形APQC 的面积能否等于172 mm 2.若能，求出运动的时间；若不能，说明理由．参考答案基础题C 2.D 3.C 4.a≠2 5. －3 1 6.(1)a≠2 (2)a ＝2且b≠－27.y ＝(x －2)(3－x)＝－x 2＋5x －6，它是二次函数，它的二次项系数为－1，一次项系数为5，常数项为－6.8.C 9.A 10.D 11.y ＝12x 2－12x 是 12.S ＝12x(26－x) 0＜x ＜26 中档题C 14.A 15.C16.根据题意，得m 2－2＝2且m －2≠0.解得m ＝－2.即m 的值为－2.17.当t ＝12时，s ＝9×12＋12×122＝180.∴经12 s 汽车行驶了180 m ．当s ＝380时，9t ＋12t 2＝380.解得t 1＝20，t 2＝－38(不合题意，舍去)．∴该汽车行驶380 m 需要20 s ．18.(1)y ＝x 2＋14x.(2)当y ＝32时，x 2＋14x ＝32.解得x 1＝2，x 2＝－16(舍去)．答：长和宽都增加2米．19.(1)S ＝x(24－3x)，即S ＝－3x 2＋24x.(2)当S ＝45时，－3x 2＋24x ＝45.解得x 1＝3，x 2＝5.又∵当x ＝3时，BC ＞10(舍去)，∴x ＝5.答：AB 的长为5米．综合题20.(1)由运动可知，AP ＝2x ，BQ ＝4x ，则y ＝12BC ·AB －12BQ ·BP ＝12×24×12－12·4x ·(12－2x)，即y ＝4x 2－24x ＋144.(2)∵0＜AP ＜AB ，0＜BQ ＜BC ，∴0<x<6.(3)当y ＝172时，4x 2－24x ＋144＝172.解得x 1＝7，x 2＝－1.又∵0<x<6，∴四边形APQC 的面积不能等于172 mm 2.。
期人教版九年级数学上册名校课堂练习21.3.2用一元二次方程解决增长率问题
第2课时用一元二次方程解决增长率问题基础题知识点1平均变化率问题1．(鄂州中考)近几年，我国经济高速发展，但退休人员待遇持续偏低．为了促进社会公平，国家决定大幅增加退休人员退休金．企业退休职工李师傅2011年的月退休金为1 500元，2013年达到2 160元．设李师傅的月退休金从2011年到2013年年平均增长率为x，可列方程为()A．2 016(1－x)2＝1 500B．1 500(1＋x)2＝2 160C．1 500(1－x)2＝2 160D．1 500＋1 500(1＋x)＋1 500(1＋x)2＝2 1602．(巴中中考)某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元．已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是()A．560(1＋x)2＝315 B．560(1－x)2＝315C．560(1－2x)2＝315 D．560(1－x2)＝3153．(宜宾中考)某企业五月份的利润是25万元，预计七月份的利润将达到36万元．设平均月增长率为x，根据题意所列方程是____________________．4．(天水中考)某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，则平均每次降价的百分率为________．5．(广东中考)某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%，5月份的营业额达到633.6万元．求3月份到5月份营业额的月平均增长率．知识点2市场经济问题6．(泰安中考)某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系．每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元．要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是()A．(3＋x)(4－0.5x)＝15B．(x＋3)(4＋0.5x)＝15C．(x＋4)(3－0.5x)＝15D．(x＋1)(4－0.5x)＝157．(达州中考)新世纪百货大楼“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施．经调査，如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1 200元，则每件童装应降价多少元？设每件童装应降价x元，可列方程为______________________．8．某商店从厂家以21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价，若每件商品售价为a 元，则可卖(350－10a)件，但物价局限定每件加价不能超过进价的20%.商店计划要赚400元，需要卖出多少件商品？每件商品的售价为多少元？中档题9．(黔西南中考)某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个，如果每月的增长率x相同，则()A．50(1＋x2)＝196B．50＋50(1＋x2)＝196C．50＋50(1＋x)＋50(1＋x)2＝196D．50＋50(1＋x)＋50(1＋2x)＝19610．(兰州中考)股票每天的涨、跌幅均不能超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．已知一支股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为x ，则x 满足的方程是( )A ．(1＋x)2＝1110B ．(1＋x)2＝109C ．1＋2x ＝1110D ．1＋2x ＝10911．据报道，某省农作物秸秆的资源巨大，但合理利用量十分有限，2014年的利用率只有30%，大部分秸秆被直接焚烧了，假定该省每年产出的农作物秸秆总量不变，且合理利用量的增长率相同，要使2016年的利用率提高到60%，求每年的增长率．(取2≈1.41)12．(内蒙古中考)菜农李伟种植的某蔬菜，计划以每千克5元的价格对外批发销售．由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销，李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的价格对外批发销售．(1)求平均每次下调的百分率；(2)小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一，打九折销售；方案二，不打折，每吨优惠现金200元．试问小华选择哪种方案更优惠？请说明理由．13．(淮安中考)水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤．通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤．为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．(1)若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是________________斤(用含x 的代数式表示)；(2)销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降至多少元？综合题14.(安徽模拟)据调查，某市2013年商品房均价为7 250元/m2，2014年同比增长了8.5%，在国家的宏观调控下，预计2016年商品房均价要下调到7 200元/m2.问2015、2016两年平均每年降价的百分率是多少？若设2015、2016两年平均每年降价的百分率为x%，则所列方程为：________________________________________．参考答案基础题1.B2.B3.25(1＋x)2＝364.20%5.设3月份到5月份营业额的月平均增长率为x ，根据题意，得400×(1＋10%)(1＋x)2＝633.6.解得x 1＝0.2＝20%，x 2＝－2.2(不合题意，舍去)．答：3月份到5月份营业额的月平均增长率为20%.6.A7.(40－x)(20＋2x)＝1 2008.由题意，得(a －21)(350－10a)＝400，解得a 1＝25，a 2＝31.∵物价局限定每件加价不能超过进价的20%，∴商品的售价不超过25.2元．∴a ＝31不合题意，舍去．答：每件商品的售价为25元，需要卖出100件．中档题9.C 10.B11.设该省每年产出的农作物秸秆总量为1，合理利用量的增长率是x ，由题意，得1×30%·(1＋x)2＝1×60%.解得x 1≈0.41，x 2≈－2.41(不合题意，舍去)．答：该省每年秸秆合理利用量的增长率约是41%.12.(1)设平均每次下调的百分率为x ，由题意，得5(1－x)2＝3.2，解得x 1＝0.2＝20%，x 2＝1.8(舍去)．答：平均每次下调的百分率为20%.(2)小华选择方案一购买更优惠，理由如下：方案一所需费用为：3.2×0.9×5 000＝14 400(元)；方案二所需费用为：3.2×5 000－200×5＝15 000(元)，∵14 400＜15 000，∴小华选择方案一购买更优惠．答：小华选择方案一更优惠．13.(1)(100＋200x) (2)设这种水果每斤的售价降价x 元，则(2－x)(100＋200x)＝300，即2x 2－3x ＋1＝0，解得x 1＝1，x 2＝12.当x ＝1时，每天的销量为300斤；当x ＝12时，每天的销量为200斤．因为为保证每天至少售出260斤，所以x 2＝12不合题意，舍去．此时每斤的售价为4－1＝3(元)．答：销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降至3元． 综合题14．7 250(1＋8.5%)·(1－x%)2＝7 200。
人教版九年级数学上册《一元二次方程》PPT优秀课件
③
①都是整式方程; ②都只含一个未知数; ③未知数的最高次数都是2.
那么这三个方程与一元一次方程的区别在哪里？ 它们有什么共同特点呢？
知识要点
一元二次方程的概念 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知
数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
一元二次方程的一般形式是 ax2+bx +c = 0(a，b，c为常数， a≠0)
想一想： 还有其他的方法吗？试说明原因. (20-x)(32-2x)=570
32-2x
32
20-x 20
归纳小结
建立一元二次方程模型的一般步骤
审
审题，弄 清已知量 与未知量 之间的关 系
设 设未知数
找
找出等量 关系
列
根据等量 关系列方 程
随堂演练
1.下列关于x的方程一定是一元二次方程的是( D )
解：当x＝－3时，左边＝9－(－3)－2＝10， 则左边≠右边， 所以－3不是方程x2－x－2＝0的解； 下面几个数同理可证. 经检验得－1，2为原方程的根.
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知识点三：建立一元二次方程模型
问题 在一块宽20m、长32m的矩形空地上，修筑三条宽相等 的小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把矩形空 地分成大小一样的六块，建成小花坛.如图要使花坛的总面积 为570m2，问小路的宽应为多少？
4.如图,在一块长12 m,宽8 m的矩形空地上,修建同样宽的两条互 相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条边平行),剩余部分栽种 花草,且栽种花草的面积为77 m2.设道路的宽为x m,则根据题意, 可列方程为 (12-x)(8-x)=77.
样的正方形，再将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的
《一元二次方程》教学PPT课件-人教版九年级上册数学
=0
②设x1=
-
b 2
+m，x2=
-
b 2
-m
(m≥0)
a
a
c
③根据韦达定理可得：x1·x2 = a
将第二步中的设定代入，求得m
④再求得x1, x2。
人教版九年级上册数学《一元二次方程》
【例题】
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方程解法 之 特殊方法 • 赋值法
1、解方程 2x²-140x+1650=0 解：第一步将方程两边同时除以a=2
方程化为：x²-70x+825=0，此时可知：- =35
设x1=35+m，x2=35-m (m≥0) 根据韦达b定理可知：x1·x2 = 825
则有：2 (35+m)(35-m)=825 a 解得：m=20
∴ 方程的解为：x1=55， x2=15。
人教版九年级上册数学《一元二次方程》
D 拓展训练 ● 推导求根公式 ● 几何意义 ● 韦达定理
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人教版九年级上册数学《一元二次方程》
基本概念 之 四种形式
【一般形式】
ax²+bx+c=0（a≠0）
【配方式】
( ) b x+ 2a
2=
b2-4ac 4a2
【变形式】
ax²+bx=0（a≠0） ax²+c=0（a≠0） ax²=0（a≠0）
【两根式】
a(x-x1)(x-x2)=0
封面 目录
5、法国的韦达（1540～1603）除推出一元方程在复数范围内恒有解外，还给出了根与 系数的关系。
人教版九年级上册数学《一元二次方程》
基本概念 之 判定条件
【判定条件】
一元二次方程成立必须同时满足三个条件： ①是整式方程，即等号两边都是整式。 方程中如果有分母，且未知数在分母上，那么这个方程就是分 式方程，不是一元二次方程； 方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是 一元二次方程（是无理方程）。 ②只含有一个未知数； ③未知数项的最高次数是2。
人教版九年级数学上册《实际问题与一元二次方程》一元二次方程PPT精品课件
当堂小练
3. 一个数字和为10的两位数,把个位与十位数字对 调后得到一个两位数,这两个两位数之积是2296, 则这个两位数是多少？
解：设这个数十位上数字为x,则个位数字为(10-x), 原数为10x+(10-x)=9x+10. 对调后得到的数为10(10-x)+x=100-9x. 依题意(9x+10)(100-9x)=2296. 解得 x1=8, x2=2. 当x=8时，这个两位数是82；当x=2时，这个两位数是28.
∴每千克核桃应降价6元. 此时,售价为60-6=54(元) ， 54 ×100%=90%.
60
答: 该店应按原售价的九折出售.
课堂小结
增长率问题 平 均 变 化 率 问 题 降低率问题
a(1+x)2=b，其中 a 为增长前的量，x 为 增长率，2 为增长次数，b 为增长后的量.
a(1-x)2=b，其中 a 为降低前的量，x 为降低率，2 为降低次数，b 为降低 后的量.注意 1 与 x 位置不可调换.
第二十一章 一元二次方程
21.3 实际问题与一元二次方程
第1课时
学习目标
1.会分析实际问题中的数量关系并会列一元二次方程.
（重点）
2.正确分析问题中的数量关系.
（难点）
3.会找出实际问题中的相等关系并建模解决问题.
新课导入
知识回顾
1.解一元二次方程有哪些方法？
直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．
A．560(1＋x)2＝315
B．560(1－x)2＝315
C．560(1－2x)2＝315
D．560(1－x2)＝315
新课讲解
2 某商场第一季度的利润是82.75万元，其中一月份的利 润是25万元，若利润平均每月的增长率为x，则依题意 列方程为( D ) A．25(1＋x)2＝82.75 B．25＋50x＝82.75 C．25＋25(1＋x)2＝82.75 D．25[1＋(1＋x)＋(1＋x)2]＝82.75
【名校课堂秋九级数学上册..因式分解法练习(新版)新人教版-课件
因式分解法基础题知识点1 用因式分解法解一元二次方程1．方程x(x ＋2)＝0的根是( )A ．x ＝2B ．x ＝0C ．x 1＝0，x 2＝－2D ．x 1＝0，x 2＝22．(河南中考)方程(x －2)(x ＋3)＝0的解是( )A ．x ＝2B ．x ＝－3C ．x 1＝－2，x 2＝3D ．x 1＝2，x 2＝－33．一元二次方程y 2＝－6y 的解是( )A ．－6B ．0C ．6D ．0或－64．下列一元二次方程能用因式分解法解的有( )①x 2＝x ；②x 2－x ＋14＝0；③x－x 2－3＝0；④(3x＋2)2＝16.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．用因式分解法解下列方程：(1)x 2－9＝0；(2)x 2－2x ＝0；(3)x 2－32x ＝0；(4)5x 2＋20x ＋20＝0；(5)(2＋x)2－9＝0；(6)(自贡中考)3x(x －2)＝2(2－x)．知识点2 选择适当的方法解一元二次方程6．用适当的方法解方程：(1)2(x ＋1)2＝4.5；(2)(徐州中考)x2＋4x－1＝0；(3)3x2＝5x；(4)4x2＋3x－2＝0.中档题7．方程3x(x＋1)＝3x＋3的解为( )A．x＝1 B．x＝－1C．x1＝0，x2＝－1 D．x1＝1，x2＝－18．(雅安中考)已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2－4x＋3＝0的根，则该三角形的周长可以是( )A．5 B．7C．5或7 D．109．(烟台中考改编)如果x2－x－1＝(x＋1)0，那么x的值为________．10．(鞍山中考)对于实数a，b，我们定义一种运算“※”为：a※b＝a2－ab，例如：1※3＝12－1×3.若x※4＝0，则x＝________．11．(襄阳中考)若正数a是一个一元二次方程x2－5x＋m＝0的一个根，－a是一元二次方程x2＋5x－m＝0的一个根，则a的值是________．12．用因式分解法解下列方程：(1)(x＋2)2－3x－6＝0；(2)(3x＋2)2－4x2＝0；(3)10x2－4x－5＝6x2－4x＋4；(4)x2－4x＋4＝(3－2x)2.13．用适当的方法解下列方程：(1)9(x－1)2＝5；(2)6x2＋2x＝0；(3)x2－8x＋11＝0；(4)x2－1＝3x＋3；(5)(x－3)2＋x2＝9.14．已知三角形的两边长分别为3和7，第三边长是方程x(x－7)－10(x－7)＝0的一个根，求这个三角形的周长．综合题15．先阅读下列材料，然后解决后面的问题：材料：因为二次三项式：x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)，所以方程x2＋(a＋b)x＋ab＝0可以这样解：(x＋a)(x＋b)＝0，x＋a＝0或x＋b＝0，∴x1＝－a，x2＝－b.问题：(1)(铁岭中考)如果三角形的两边长分别是方程x2－8x＋15＝0的两个根，那么连接这个三角形三边的中点，得到的三角形的周长可能是( )A．5.5 B．5 C．4.5 D．4(3)(临沂中考)对于实数a ，b ，定义运算“﹡”：a ﹡b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－ab （a≥b），ab －b 2（a<b ）.例如4﹡2，因为4＞2，所以4﹡2＝42－4×2＝8.若x 1，x 2是一元二次方程x 2－5x ＋6＝0的两个根，则x 1﹡x 2＝________；(4)用因式分解法解方程x 2－kx －16＝0时，得到的两根均为整数，则k 的值可以为________________________；(5)已知实数x 满足(x 2－x)2－4(x 2－x)－12＝0，则代数式x 2－x ＋1的值为________．参考答案基础题1.C2.D3.D4.C5.(1)(x ＋3)(x －3)＝0，∴x 1＝－3，x 2＝3.(2)x(x －2)＝0，∴x 1＝0，x 2＝2.(3)x(x －32)＝0，x 1＝0，x 2＝3 2.(4)(x ＋2)2＝0，x 1＝x 2＝－2.(5)(x ＋5)(x －1)＝0，x 1＝－5，x 2＝1.(6)原方程变形为3x(x －2)＋2(x －2)＝0，即(3x ＋2)(x －2)＝0，解得x 1＝－23，x 2＝2. 6.(1)(x ＋1)2＝2.25.x ＋1＝±1.5.∴x 1＝0.5，x 2＝－2.5.(2)(x ＋2)2＝5.x ＋2＝± 5.∴x 1＝－2＋5，x 2＝－2－ 5. (3)3x 2－5x ＝0.x(3x －5)＝0.x ＝0或3x －5＝0.∴x 1＝0，x 2＝533. (4)a ＝4，b ＝3，c ＝－2.b 2－4ac ＝32－4×4×(－2)＝41>0.∴x＝－3±412×4＝－3±418.∴x 1＝－3＋418，x 2＝－3－418. 中档题7.D 8.B 9.2 10.0或4 11.512.(x ＋2)2－3(x ＋2)＝0，(x ＋2)(x －1)＝0，x 1＝－2，x 2＝1.(2)(3x ＋2＋2x)(3x ＋2－2x)＝0，x 1＝－25，x 2＝－2.(3)4x 2－9＝0，(2x ＋3)(2x －3)＝0，x 1＝－32，x 2＝32.(4)(x －2)2－(3－2x)2＝0，(1－x)(3x －5)＝0，x 1＝1，x 2＝53. 13.(1)x 1＝5＋33，x 2＝3－53.(2)x 1＝0，x 2＝－13.(3)x 1＝4＋5，x 2＝4－ 5.(4)原方程可化为(x ＋1)(x －1)－3(x ＋1)＝0.∴(x＋1)(x －4)＝0.∴x＋1＝0或x －4＝0.∴x 1＝－1，x 2＝4.(5)x 1＝3，x 2＝0.14.∵方程x(x －7)－10(x －7)＝0，∴x 1＝7，x 2＝10.当x ＝10时，3＋7＝10，所以x 2＝10不合题意，舍去．∴这个三角形的周长为3＋7＋7＝17.拔高题 15．(1)A (2)1或2 (3)3或－3 (4)－15，－6，0，6，15 (5)7。
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一元二次方程
基础题 知识点1 一元二次方程的定义及一般形式
1．(山西模拟)下列方程一定是一元二次方程的是( ) A ．3x 2
＋2x
－1＝0
B ．5x 2
－6y －3＝0
C ．ax 2
－x ＋2＝0 D ．3x 2
－2x －1＝0
2．关于x 的方程ax 2
－3x ＋3＝0是一元二次方程，则a 的取值范围是( ) A ．a ＞0 B ．a ≠0 C ．a ＝1 D ．a ≥0
3．一个关于x 的一元二次方程，它的二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为－5，则这个一元二次方程是________________．
4．将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项：
(1)2y 2
＝8；
(2)2x 2
＋5＝4x ；
(3)4x(x ＋3)＝0；
知识点2 一元二次方程的根
5．下列是方程3x 2
＋x －2＝0的解的是( ) A ．x ＝－1 B ．x ＝1 C ．x ＝－2 D ．x ＝2
6．(甘孜中考)一元二次方程x 2
＋px －2＝0的一个根为2，则p 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1 D ．－2
7．下表是某同学求代数式x 2－x 的值的情况，根据表格可知方程x 2
－x ＝2的根是( )
A.x ＝－1 B ．x ＝0
C ．x ＝2
D ．x ＝－1和x ＝2
8．(兰州中考)若一元二次方程ax 2
－bx －2 015＝0有一根为x ＝－1，则a ＋b ＝________．
9．下列数值是方程x 2
－x －2＝0的根的是________． ①－1； ②0； ③1； ④2.
知识点3 用一元二次方程刻画实际问题中的数量关系
10．(黔西南中考)某校准备修建一个面积为180平方米的矩形活动场地，它的长比宽多11米，设场地的宽为x 米，则可列方程为( )
A ．x(x －11)＝180
B ．2x ＋2(x －11)＝180
C ．x(x ＋11)＝180
D ．2x ＋2(x ＋11)＝180
11．有一根20 m 长的绳子，怎样用它围成一个面积为24 m 2
的矩形？设矩形的长为x m ，依题意可得方程
________________．
12．根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化为一般形式．
(1)正方体的表面积为36，求正方体的边长x；
(2)x支球队参加篮球赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，一共进行了30场比赛，求参赛的篮球队支数x.
中档题
13．下列方程中是关于x的一元二次方程的是( )
A．x2＋1
x2
＝0
B．ax2＋bx＋c＝0
C．(x－1)(x＋2)＝1
D．x(x－1)＝x2＋2x
14．(菏泽中考)已知关于x的一元二次方程x2＋ax＋b＝0有一个非零根－b，则a－b的值为( )
A．1 B．－1
C．0 D．－2
15．关于x的一元二次方程(a－1)x2＋x＋|a|－1＝0的一个根是0，则实数a的值为( )
A．－1 B．0 C．1 D．－1或1
16．若关于x的一元二次方程(a－2)x2－(a2－4)x＋8＝0不含一次项，则a＝________．
17．小明用30厘米的铁丝围成一斜边长等于13厘米的直角三角形，设该直角三角形的一直角边长为x厘米，则另一直角边长为________厘米．列方程得__________________．
18．(绵阳中考)关于m的一元二次方程7nm2－n2m－2＝0的一个根为2，则n2＋n－2＝________．
19.根据下面的问题列出关于x的方程，并将方程化成一般形式：
在圣诞节到来之际，九(四)班所有的同学准备送贺卡相互祝贺，所有同学送完后共送了1 980张，求九(四)班有多少名同学？
20．已知关于x的方程(m＋3)(m－3)x2＋(m＋3)x＋2＝0.
(1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？
(2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？
综合题
21．下面是一道作业题，请仔细阅读甲、乙两个同学的答案，判断一下谁的答案正确，若不正确，请给出正确的解答过程．
题目：若x 2a ＋b －2x a －b
＋3＝0是关于x 的一元二次方程，则a ，b 的值各是多少？
学生甲：根据题意，可得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝2，a －b ＝1，解得⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝1，
b ＝0.
学生乙：根据题意，可得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝2，a －b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝1，a －b ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝2，a －b ＝0，或⎩
⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝0，a －b ＝2， 解得⎩⎪⎨⎪
⎧a ＝1，b ＝0，或⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝23，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2
3，b ＝－43.
参考答案
基础题
1．D 2.B 3.2x 2
＋3x －5＝0
4.(1)移项，可得一元二次方程的一般形式：2y 2
－8＝0.其中二次项系数为2，一次项系数为0，常数项为－8.
(2)移项，合并同类项，可得一元二次方程的一般形式：2x 2
－4x ＋5＝0.其中二次项系数为2，一次项系数为－4，常数项为5.
(3)去括号，化为一般形式得4x 2
＋12x ＝0.其中二次项系数为4，一次项系数为12，常数项为0. 5.A 6.C 7.D 8.2 015 9.①④ 10.C 11.x(10－x)＝24
12.(1)6x 2＝36.一般形式为：6x 2－36＝0.(2)12x(x －1)＝30.一般形式为：12x 2－12x －30＝0或x 2
－x －60＝0.
中档题
13．C 14.A 15.A 16.－2 17.(17－x) x 2＋(17－x)2＝132
18.26
19.设九(四)班有x 名同学，根据题意得：x(x －1)＝1 980.将方程化成一般形式为：x 2
－x －1 980＝0.
20.(1)由题意得(m ＋3)(m －3)＝0且m ＋3≠0，所以m －3＝0，即m ＝3.(2)由题意得(m ＋3)(m －3)≠0，即m≠±3.
综合题
21．学生甲、乙的解答过程均不完整，完整的解答过程如下：根据题意，可得⎩⎪⎨⎪
⎧2a ＋b ＝2，a －b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝1，a －b ＝2，或⎩⎪⎨
⎪⎧2a ＋b ＝2，a －b ＝0，
或⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝0，a －b ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝2，a －b ＝2，解得⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，
b ＝－1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝23，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝－43，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4
3，b ＝－23.。