高考数学专题05+以立体几何中动态问题为背景的专题训练-

3 , 3,1 ， 2
由 AM n
3 , 3,1
0,1,
3
0 ，可得 AM
n，
2
所以 AM 与平面 DBB1所成角为 0， 即 AM / / 平面 DBB1．
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）可知平面 BB1D 的法向量为 n 0,1, 3 ．
设 BP BC ，
0,1 ，
则 P 0, 3 ,1 ， DP 1, 3 3, 1 ．
若直线
DP 与平面
DBB1成角为
，则 3
cos n, DP
n DP n DP
23 242 4 5
3， 2
解得
5 0,1 ，
4
故不存在这样的点．
4. 【山西省大同市灵丘豪洋中学
2017 届高三下学期第三次模拟考试】 如图，在棱长为 2 的正
方体 ABCD A1B1C 1D1 中， E ， F ， M ， N 分别是棱 AB ， AD ， A1B1 ， A1D1
，令
可得
，则点
到直线
的距离
，则
，令
，则
，
（当且仅当
时取
等号），故应选答案 A.
3. 【北京市海淀区 2017 届高三下学期期中考试】 如图，由直三棱柱 ABC A1B1C1和四棱锥 D BB1C1C 构成的几何体中， BAC 90 ， AB 1， BC BB1 2 ， C1D CD 5 ，平面 CC1D 平面 ACC1A1 ．
专题 5 以立体几何中动态问题为背景的专题训练
题型一 立体几何中动态问题中的距离、角度问题
1.【浙江省 2017 届高三 3 月联考】矩形 ABCD 中， AB 3 ， BC 1，将 ABC 与 ADC
沿 AC 所在的直线进行随意翻折，在翻折过程中直线
初始状态）为（
）
AD 与直线 BC 成的角范围（包含
的中点，点 P ， Q 分别在棱 DD1 ， BB1 上移动，且 DP BQ (0
2) .
（ 1）当 1 时，证明：直线 BC1 / / 平面 EFPQ ；
（ 2）是否存在 ，使面 EFPQ 与面 PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在， 求出
的值；若不存在，说明理由 .
【答案】（ 1）见解析；（2）
A. 0,
B.
6
0,
C.
3
0,D.22 Nhomakorabea0,3
【答案】 C
【解析】 初始状态直线 AD 与直线 BC 成的角为 0 ，翻折过程中当 BC BD 时 , 直线
AD 与直线 BC 成的角为直角，因此直线 AD 与直线 BC 成的角范围为 0, ，选 C. 2
2. 【 2017 届浙江省台州市高三上学期期末质量评估考试】如图，在矩形
2
1
.
2
（ 2）设平面 EFPQ 的一个法向量为 n x, y, z ，则
FE n 由{
0
x
，得 {
y
0 ，于是可取 n
FP n 0
x z 0.
, ,1 .
NM m 0
x ' y' 0
设平面 MNPQ 的一个法向量为 m x ', y ', z ' ，由 {
，得 {
，
NP m 0
x'
2 z' 0
于是可取 m
（Ⅰ）求证： AC DC1；
（Ⅱ）若 M 为 DC1 的中点，求证： AM / / 平面 DBB1；
（Ⅲ）在线段
BC 上是否存在点
P ，使直线
DP 与平面 BB1D 所成的角为
？若存在， 3
求 BP 的值，若不存在，说明理由． BC
【答案】（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）见解析；（Ⅲ）不存在这样的点．
【解析】 试题分析 : （Ⅰ）在直三棱柱 ABC A1B1C1 中，由 CC1 平面 ABC ，推得
中，
四边形
为边长为的正方形， 现将矩形
沿过点的动直线翻折， 使翻折后的点在平面
上的射影落在直线 上 , 若点在折痕上射影为，则
的最小值为（ ）
A.
B.
【答案】 A
C. D.
【解析】
由于
平面
平面直角坐标系，则
， 平面
，则
，过点
，故
三点共线 . 建立如上图所示的
的直线的方程为
，则点
到
直线
的距离
；又因
，则直线 的方程为
2,2 ,1 .
若存在 ，使面 EFPQ 与面 PQMN 所成的二面角为直二面角，则
mn
2,2 ,1 , ,1 0 ，即
显然满足 0
2.
22
1 0 ，解得
2
1
，
2
故存在
2
1
，使面 EFPQ 与面 PQMN 所成的二面角为直二面角 .
2
5. 【湖北省六校联合体 2017 届高三 4 月联考】 如图，在四棱锥中 P ABCD ， PA 平面 ABCD ， AD / / BC ， AD CD ，且 AD CD 2 ， BC 2 2 ， PA 2 .
AC CC1，
由平面 CC1D 平面 ACC1 A1 ，推得 AC 平面 CC1D ，又 C1D 平面 CC1D ，得证．（Ⅱ）
如图建立空间直角坐标系 A xyz ，写出各点坐标 , 求出平面 DBB1的法向量为 , 因为
AM n 0, 所以 AM / / 平面 DBB1．（Ⅲ）设 BP
列出方程 , 解得
所以 BB1 2,0,0 ， BD 1, 3,1 ，
设平面 DBB1的法向量为 n x, y, z ，
n 由{
BB1
0, 即{
2x 0,
n BD 0, x 3y z 0,
令 y 1，则 z 3 ， x 0 ，于是 n 0,1, 3 ，
因为 M 为 DC1 中点，所以 M 3 , 3,1 ，所以 AM 2
线线垂直；
（ 2）根据（1）的结论建立空间直角坐标系， 设点 M 的坐标， 进而可得平面 MAC ，平面 MAC
的法向量，以及 B M ，根据线面角的定义可以求得 BM与平面 MAC所成的角的正弦值 .
（ 1）求证： AB PC ； （ 2）在线段 PD 上，是否存在一点 M ，使得二面角 M AC D 的大小为 450 ，如果存 在，求 BM 与平面 MAC 所成角，如果不存在，请说明理由 . 【答案】（ 1）见解析；（2）存在， 300. 【解析】试题分析： （ 1）根据已知条件先证 AB 平面 PAC ，再根据线面垂直的性质，可证
5 0,1 ，可得结论．
4
BC ，
0,1 ，根据线面角公式
（Ⅱ）证明：在直三棱柱 ABC A1B1C1 中， AA1 平面 ABC ， 所以 AA1 AB ， AA1 AC ， 又 BAC 90 ， 所以，如图建立空间直角坐标系 A xyz ， 依据已知条件可得 A 0,0,0 ， C 0, 3,0 ， C1 2, 3,0 ， B 0,0,1 ， B1 2,0,1 ， D 1, 3,2 ，