【2014-2015学年高中数学(北师大版,必修4)课时作业2.1第二章 平面向量
备课参考高一数学北师大必修四同步练习：第2章 平面向量 含答案
11.已知a+b=2i－8j,a－b=－8i+16j,那么a·b=___________（其中i,j为两个互相垂直的单位向量）.
12.设点A（3,－4）,B（1,2）,P是直线 上的一点,且| |=2| |,则点P坐标是___________.
∴ 与 共线,又 与 有公共点A，
∴A、B、D三点共线.
（2）【解】ka+b与a+kb垂直,
即（ka+b）·（a+kb）=0
ka2+（k2+1）a·b+kb2=0
ka2+（k2+1）|a||b|coபைடு நூலகம்60°+kb2=0
3k2+13k+3=0,
解得k= .
∴（a2+b2－c2）2=2a2b2
∴ ,
∴
又a2+b2－c2＞0,a＞0,b＞0,
∴ ,
∴cosC= ,
∴∠C= .
17.【解】将二次函数y=px2+qx+r的图象按向量a=（3,－4）平移后得到的图象的解析式为:y+4=p（x－3）2+q（x－3）+r,
即y=px2+（q－6p）x+9p－3q+r－4,
【答案】 或2
三.解答题
15.【解】设 =（x,y）,
则 = + =（x+3,y+1）
= － =（x+4,y－1）
由 ⊥ ,得－（x+3）+2（y+1）=0
即x－2y+1=0①
2014-2015学年高中数学 1.4 数学归纳法课时作业 北师大版选修2-2
§4 数学归纳法课时目标 1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．1．数学归纳法是用来证明______________________的数学命题的一种方法． 2．数学归纳法的基本步骤：(1)________________________________；(2)在假设当n ＝k (k ≥1)时命题成立的前提下，推出____________________． 根据(1)(2)可以断定命题对______________都成立．一、选择题1．用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋an ＋1＝1－a n ＋21－a(a ≠1，n ∈N ＋)，在验证n ＝1时，等号左边的项是( )A ．1B ．1＋aC ．1＋a ＋a 2D ．1＋a ＋a 2＋a 32．用数学归纳法证明“2n >n 2＋1对于n ≥n 0的自然数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n 0应取( )A ．2B ．3C ．5D ．63．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N ＋)，证明不等式f (2n )>n 2时，f (2k ＋1)比f (2k)多的项数是( )A ．2k －1项B ．2k ＋1项C ．2k项 D ．以上都不对4．用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n·1·3·…·(2n ＋1)(n ∈N ＋)，从“k 到k ＋1”左端需增乘的代数式为( )A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1) C.2k ＋1k ＋1 D.2k ＋3k ＋15．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n能被x ＋y 整除”时，第一步验证n ＝1时，命题成立，第二步归纳假设应写成( )A ．假设n ＝2k ＋1(n ∈N ＋)时命题正确，再推证n ＝2k ＋3时命题正确B ．假设n ＝2k －1(k ∈N ＋)时命题正确，再推证n ＝2k ＋1时命题正确C ．假设n ＝k (k ∈N ＋)时命题正确，再推证n ＝k ＋2时命题正确D ．假设n ≤k (k ∈N ＋)时命题正确，再推证n ＝k ＋2时命题正确6．用数学归纳法证明不等式“1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n >1324(n >2)”时的过程中，由n ＝k到n ＝k ＋1时，不等式的左边( )A ．增加了一项12k ＋1B ．增加了两项12k ＋1，12k ＋1C ．增加了两项12k ＋1，12k ＋1，又减少了一项1k ＋1D ．增加了一项12k ＋1，又减少了一项1k ＋1二、填空题7．用数学归纳法证明：1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22时，则n ＝k ＋1时的左端应在n ＝k 时的左端加上____________________________．8．用数学归纳法证明：1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n－1 (n ∈N ＋)的过程如下：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．(2)假设当n ＝k 时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k－1，则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1.所以当n ＝k ＋1时等式也成立．由此可知对于任何n∈N ＋，等式都成立．上述证明的错误是________________________．9．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N ＋)．依次计算出S 1，S 2，S 3，S 4后，可猜想S n 的表达式为________________．三、解答题10．试比较2n ＋2与n 2的大小(n ∈N ＋)，并用数学归纳法证明你的结论．11．在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝a n2a n ＋1(n ＝1,2,3，…)(1)求a 2，a 3；(2)猜想数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．能力提升12．已知f (n )＝(2n ＋7)·3n＋9，存在正整数m ，使得对任意n ∈N ＋都能使m 整除f (n )，则最大的m 的值为多少？并证明之．13．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N ＋，点(n ，S n )均在函数y ＝b x＋r (b >0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图像上．(1)求r 的值；(2)当b ＝2时，记b n ＝2(log 2a n ＋1)(n ∈N ＋)，证明：对任意的n ∈N ＋，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n>n ＋1成立．1．数学归纳法在证明与正整数n 有关的等式、不等式、整除问题及数列问题中有广泛的应用．2．在证明n ＝k ＋1时的命题中，怎样变形使之出现n ＝k 时的命题的形式是解决问题的关键，要找清n ＝k ＋1时式子结构或几何量的改变．答 案知识梳理1．某些与正整数n 有关2．(1)验证：n ＝1时，命题成立 (2)当n ＝k ＋1时，命题成立 一切正整数n 作业设计1．C [当n ＝1时，a n ＋1＝a 2.∴等号左边的项是1＋a ＋a 2.]2．C [当n 取1、2、3、4时2n >n 2＋1不成立，当n ＝5时，25＝32>52＋1＝26，第一个能使2n >n 2＋1的n 值为5.]3．C [观察f (n )的表达式可知，右端分母是连续的正整数，f (2k)＝1＋12＋…＋12k ，而f (2k ＋1)＝1＋12＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k .因此f (2k ＋1)比f (2k )多了2k项．]4．B [当n ＝k 时左端为(k ＋1)(k ＋2)·…·(k ＋k )，当n ＝k ＋1时，左端为(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋1＋k －1)·(k ＋1＋k )(k ＋1＋k ＋1)，即(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋k )·(2k ＋1)(2k ＋2)．观察比较它们的变化知增乘了2k ＋12k ＋2k ＋1＝2(2k ＋1)．]5．B [因n 为正奇数，所以否定C 、D 项；当k ＝1时，2k －1＝1,2k ＋1＝3，故选B.]6．C [当n ＝k 时，左边＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k .当n ＝k ＋1时，左边＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1.] 7．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)28．没有用到归纳假设，不是数学归纳法9．S n ＝2nn ＋1解析 S 1＝1，S 2＝43，S 3＝32＝64，S 4＝85，猜想S n ＝2nn ＋1.10．证明 当n ＝1时，21＋2＝4>n 2＝1，当n ＝2时，22＋2＝6>n 2＝4，当n ＝3时，23＋2＝10>n 2＝9，当n ＝4时，24＋2＝18>n 2＝16， 由此可以猜想， 2n ＋2>n 2(n ∈N ＋)成立． 下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，左边＝21＋2＝4，右边＝1， 所以左边>右边，所以原不等式成立．当n ＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4，所以左边>右边；当n ＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9， 所以左边>右边．②假设n ＝k 时(k ≥3且k ∈N ＋)时，不等式成立，即2k ＋2>k 2，那么n ＝k ＋1时， 2k ＋1＋2＝2·2k ＋2＝2(2k ＋2)－2>2k 2－2. 要证当n ＝k ＋1时结论成立，只需证2k 2－2≥(k ＋1)2，即证k 2－2k －3≥0， 即证(k ＋1)(k －3)≥0. 又∵k ＋1>0，k －3≥0， ∴(k ＋1)(k －3)≥0.所以当n ＝k ＋1时，结论成立．由①②可知，n ∈N ＋，2n ＋2>n 2.11．解 (1)a 2＝a 12a 1＋1＝122×12＋1＝14，a 3＝a 22a 2＋1＝142×14＋1＝16.(2)猜想a n ＝12n，下面用数学归纳法证明此结论正确．证明：①当n ＝1时，结论显然成立．②假设当n ＝k (k ∈N ＋)时，结论成立，即a k ＝12k，那么a k ＋1＝a k 2a k ＋1＝12k 2×12k＋1＝12k ＋2＝12k ＋1.也就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．根据①②可知，结论对任意正整数n 都成立，即a n ＝12n.12．解 ∵f (1)＝36，f (2)＝108＝3×36，f (3)＝360＝10×36， ∴f (1)，f (2)，f (3)能被36整除，猜想f (n )能被36整除．证明：n ＝1,2时，由上得证，假设n ＝k (k ∈N ＋，k ≥2)时，f (k )＝(2k ＋7)·3k＋9能被36整除，则n ＝k ＋1时，f (k ＋1)－f (k )＝(2k ＋9)·3k ＋1－(2k ＋7)·3k＝(6k ＋27)·3k －(2k ＋7)·3k＝(4k ＋20)·3k ＝36(k ＋5)·3k －2(k ≥2)． ∴f (k ＋1)能被36整除．因此，对任意n ∈N ＋，f (n )都能被36整除． 又∵f (1)不能被大于36的数整除， ∴所求最大的m 值等于36.13．(1)解 由题意：S n ＝b n＋r ，当n ≥2时，S n －1＝b n －1＋r .所以a n ＝S n －S n －1＝b n －1(b －1)， 由于b >0且b ≠1，所以n ≥2时，{a n }是以b 为公比的等比数列． 又a 1＝b ＋r ，a 2＝b (b －1)，a 2a 1＝b ，即b b －1b ＋r＝b ，解得r ＝－1. (2)证明 当b ＝2时，由(1)知a n ＝2n －1， 因此b n ＝2n (n ∈N ＋)，所证不等式为2＋12·4＋14·…·2n ＋12n>n ＋1.①当n ＝1时，左式＝32，右式＝ 2.左式>右式，所以结论成立，②假设n ＝k (k ∈N ＋)时结论成立， 即2＋12·4＋14·…·2k ＋12k >k ＋1，则当n ＝k ＋1时， 2＋12·4＋14·…2k ＋12k ·2k ＋32k ＋1>k ＋1·2k ＋32k ＋1＝2k ＋32k ＋1. 要证当n ＝k ＋1时结论成立，只需证2k ＋32k ＋1≥k ＋2，即证2k ＋32≥k ＋1k ＋2，由基本不等式2k ＋32＝k ＋1＋k ＋22≥k ＋1k ＋2成立，故2k ＋32k ＋1≥k ＋2成立， 所以当n ＝k ＋1时，结论成立．由①②可知，n ∈N ＋时，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n>n ＋1成立．。
北师大版高一数学必修4第二章平面向量测试题及答案
一、选择题: (本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1．设点P（3，-6），Q（-5，2），R的纵坐标为-9，且P、Q、R三点共线，则R点的横坐标为（）。
A、-9B、-6C、9D、62．已知=(2,3), b=(-4,7)，则在b上的投影为（）。
A、B、C、D、3．设点A（1，2），B（3，5），将向量按向量=（-1，-1）平移后得向量为（）。
A、（2，3）B、（1，2）C、（3，4）D、（4，7）4．若(a+b+c)(b+c-a)=3bc，且sinA=sinBcosC，那么ΔABC是（）。
A、直角三角形B、等边三角形C、等腰三角形D、等腰直角三角形5．已知| |=4, |b|=3, 与b的夹角为60°，则| +b|等于（）。
A、B、C、D、6．已知O、A、B为平面上三点，点C分有向线段所成的比为2，则（）。
A、B、C、D、7．O是ΔABC所在平面上一点，且满足条件，则点O是ΔABC的（）。
A、重心B、垂心C、内心D、外心8．设、b、均为平面内任意非零向量且互不共线，则下列4个命题：(1)( ·b)2= 2·b2(2)| +b|≥| -b|(3)| +b|2=( +b)2(4)(b) -(a)b与不一定垂直。
其中真命题的个数是（）。
A、1B、2C、3D、49．在ΔABC中，A=60°，b=1，，则等于（）。
A、B、C、D、10．设、b不共线，则关于x的方程x2+b x+ =0的解的情况是（）。
A、至少有一个实数解B、至多只有一个实数解C、至多有两个实数解D、可能有无数个实数解二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，满分16分.）.2，则 =_________ 11．在等腰直角三角形ABC中，斜边AC=212．已知ABCDEF为正六边形，且AC=a，AD=b，则用a，b表示AB为______.13．有一两岸平行的河流，水速为1，速度为的小船要从河的一边驶向对岸，为使所行路程最短，小船应朝________方向行驶。
北师大版数学必修四课时作业 第2章 学业质量标准检测(B)
第二章 学业质量标准检测(B)本套检测题仅供教师参考备用，学生书中没有。
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．设向量a ＝(2,4)与向量b ＝(x,6)共线，则实数x ＝( B ) A ．2 B ．3 C ．4D ．6[解析] 由向量平行的性质，有2︰4＝x ︰6，解得x ＝3，选B ． 2．如图，a －b 等于( C )A ．2e 1－4e 2B ．－4e 1－2e 2C ．e 1－3e 2D ．3e 1－e 2[解析] a －b ＝e 1－3e 2.3．如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别是DC 、BC 的中点，那么EF →＝( D )A ．12AB →＋12AD →B ．－12AB →－12AD →C ．－12AB →＋12AD →D ．12AB →－12AD[解析] EF →＝12DB →＝12(AB →－AD →)．4．已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向量为( A ) A ．(35，－45)B ．(45，－35)C ．(－35，45)D ．(－45，35)[解析] 因为AB →＝(3，－4)，|AB →|＝5，所以与向量AB →同向的单位向量为AB →|AB →|＝(3，－4)5＝(35，－45)，选A ． 5．已知向量a 、b 满足|a |＝1，|b |＝4，且a·b ＝2，则a 与b 的夹角为( C ) A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2[解析] 设a 与b 的夹角为θ，则据向量数量积公式可得cos θ＝a·b|a ||b |，则cos θ＝21×4＝12. ∵θ∈[0，π]，∴θ＝π3.6．已知向量a 、b ，那么12(2a －4b )＋2b ＝( C )A ．a －2bB ．a －4bC ．aD ．b[解析] 12(2a －4b )＋2b ＝a －2b ＋2b ＝a ，故选C ．7．设a ，b 是两个非零向量( C ) A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥b B ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得b ＝λaD ．若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a ＋b |＝|a |－|b | [解析] 本题考查向量共线的条件． 若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a 与b 方向相反． 则存在b ＝λa .反之则不然．8．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)且A (1,1)，则D 点坐标为( C )A ．(3,5)B ．(4,6)C ．(0,0)D ．(－1，－3)[解析] AD →＝BC →＝AC →－AB →＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)， 设D (x ，y )，∴AD →＝(x ，y )－(1,1)＝(x －1，y －1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝－1y －1＝－1解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝0.故D (0,0)． 9．在△ABC 中，若AB →2＝AB →·AC →＋BA →·BC →＋CA →·CB →，则△ABC 是( D ) A ．等边三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形D ．直角三角形[解析] 因为AB →2＝AB →·AC →＋BA →·BC →＋CA →·CB →＝AB →·(AC →－BC →)＋CA →·CB →＝AB →·AB →＋CA →·CB →，所以CA →·CB →＝0，即CA →⊥CB →，所以三角形为直角三角形，选D ．10．已知a ，b 均为单位向量，(2a ＋b )·(a －2b )＝－332，a 与b 的夹角为( A )A ．30°B ．45°C ．135°D ．150°[解析] ∵(2a ＋b )·(a －2b )＝2a 2－4a ·b ＋a ·b －2b 2＝－3a ·b ＝－332，∴a ·b ＝32.设夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝32， 又θ∈[0°，180°]，∴θ＝30°.11．如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC →＝ 3 BD →，|AD →|＝1，则AC →·AD →＝( D )A ．23B ．32C ．33D ． 3[解析] 本题考查了向量的运算． ∵AC →＝AB →＋BC →＝AB →＋ 3 BD →，∴AC →·AD →＝(AB →＋ 3 BD →)·AD →＝AB →·AD →＋ 3 BD →·AD →， 又∵AB ⊥AD ，∴AB →·AD →＝0，∴AC →·AD →＝ 3 BD →·AD →＝3|BD →|·|AD →|·cos ∠ADB ＝3|BD →|·cos ∠ADB ＝3·|AD →|＝ 3.12．对向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，定义一种新的运算“*”的意义为a *b ＝(x 1y 2，x 2y 1)，它仍是一个向量；则对任意的向量a ，b ，c 和任意实数λ，μ，下面命题中：①a *b ＝b *a ；②(a *b )*b ＝a *(b *b )； ③(λa )*(μb )＝(λμ)(a *b )； ④(a ＋b )*c ＝a *c ＋b *c 正确命题的个数为( B ) A ．3 B ．2 C ．1D ．0[解析] 代入验证知①②不成立，③④成立，故选B ．第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．如图，已知O 为平行四边形ABCD 内一点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则OD →＝__a ＋c －b __.(用a ，b ，c 表示)[解析] OD →＝OA →＋AD →＝OA →＋BC →＝OA →＋OC →－OB →＝a ＋c －b .14．(2018·全国卷Ⅲ)已知向量a ＝()1，2，b ＝()2，－2，c ＝()1，λ.若c ∥()2a ＋b ，则λ＝__12__.[解析] 因为2a ＋b ＝(4,2)，c ＝(1，λ)，且c ∥(2a ＋b )， 所以4×λ＝2×1，解得λ＝12.15．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为__1__，DE →·DC →的最大值为__1__.[解析] 本题考查平面向量的数量积． 建立平面直角坐标系如图：则CB →＝(0，－1)，设E (x 0,0)， 则DE →＝(x 0，－1)，∴DE →·CB →＝(x 0，－1)·(0，－1)＝1，又DC →＝(1,0)，∴DE →·DC →＝x 0，而0≤x 0≤1， ∴DE →·DC →最大值为1.16．△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论中正确的是__①④⑤__.(写出所有正确结论的编号)①a 为单位向量；②b 为单位向量；③a ⊥b ；④b ∥BC →；⑤(4a ＋b )⊥BC →. [解析] ∵等边三角形ABC 的边长为2，AB →＝2a ， ∴|AB →|＝2|a |＝2⇒|a |＝1，故①正确；∵AC →＝AB →＋BC →＝2a ＋BC →，∴BC →＝b ⇒|b |＝2，故②错误，④正确；由于AB →＝2a ，BC →＝b ⇒a 与b 夹角为120°，故③错误；又∵(4a ＋b )·BC →＝(4a ＋b )·b ＝4a·b ＋|b|2＝4×1×2×(－12)＋4＝0，∴(4a ＋b )⊥BC →，故⑤正确，因此，正确的编号是①④⑤.三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)．(1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长； (2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值．[解析] (1)由题设知AB →＝(3,5)，AC →＝(－1,1)，则AB →＋AC →＝(2,6)，AB →－AC →＝(4,4)． 所以|AB →＋AC →|＝210，|AB →－AC →|＝4 2. 故所求两条对角线的长分别为42，210. (2)由题设知OC →＝(－2，－1)， AB →－tOC →＝(3＋2t,5＋t )． 由(AB －tOC →)·OC →＝0，得 (3＋2t,5＋t )·(－2，－1)＝0， 从而5t ＝－11，所以t ＝－115.18．(本小题满分12分)已知a ，b 是两个非零向量，若a ＋3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直，试求a 与b 的夹角θ.[解析] 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋3b )·(7a －5b )＝0，(a －4b )·(7a －2b )＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 7a 2＋16a ·b －15b 2＝0，7a 2－30a ·b ＋8b 2＝0.①②由①－②得46a ·b －23b 2＝0， 即2a ·b －b 2＝0，即2a ·b ＝b 2，代入①式得a 2＝b 2，∴|a |＝|b |.∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝12b 2b 2＝12.∴a 与b 的夹角为θ＝60°.19．(本小题满分12分)已知向量m ＝(1,1)，向量n 与向量m 的夹角为3π4，且m ·n ＝－1.(1)求向量n ；(2)设向量a ＝(1,0)，向量b ＝(cos x ，sin x )，其中x ∈R ，若n ·a ＝0，试求|n ＋b |的取值范围．[解析] (1)设n ＝(x ，y )， 则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝－1，x ＋y 2·x 2＋y2＝cos 3π4＝－22，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1.∴n ＝(－1,0)或n ＝(0，－1)． (2)∵a ＝(1,0)，n ·a ＝0， ∴n ＝(0，－1)．∴n ＋b ＝(cos x ，sin x －1)． ∴|n ＋b |＝(cos x )2＋(sin x －1)2＝2－2sin x ＝2·1－sin x .∵－1≤sin x ≤1， ∴0≤1－sin x ≤ 2.∴0≤|n ＋b |≤2，即|n ＋b |的取值范围是[0,2]．20．(本题满分12分)在△ABC 中，设BC →·CA →＝CA →·AB →. (1)求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若|BA →＋BC →|＝2，且B ∈[π3，2π3]，求BA →·BC →的取值范围．[解析] (1)证明：∵BC →·CA →＝CA →·AB →， ∴CA →·(BC →－AB →)＝0.又AB →＋BC →＋CA →＝0则CA →＝－(AB →＋BC →)， ∴－(AB →＋BC →)·(BC →－AB →)＝0. ∴AB →2－BC →2＝0， ∴|AB →|2＝|BC →|2.∴|AB →|＝|BC →|，即△ABC 为等腰三角形． (2)解：∵B ∈[π3，2π3]，∴cos B ∈[－12，12]．设|AB →|＝|BC →|＝a .∵|BA →＋BC →|＝2，∴|BA →＋BC →|2＝4，则有a 2＋a 2＋2a 2cos B ＝4. ∴a 2＝21＋cos B ，则BA →·BC →＝a 2cos B ＝2cos B 1＋cos B ＝2－21＋cos B .又cos B ∈[－12，12]，∴BA →·BC →∈[－2，23]．21．(本小题满分12分)如图所示，在Rt △ABC 中，已知BC ＝a ，若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点，问PQ →与BC →的夹角θ取何值时，BP →·CQ →的值最大？并求出这个最大值．[解析] 解法一：∵AB →⊥AC →，∴AB →·AC →＝0.∵AP →＝－AQ →，BP →＝AP →－AB →，CQ →＝AQ →－AC →，∴BP →·CQ →＝(AP →－AB →)·(AQ →－AC →) ＝AP →·AQ →－AP →·AC →－AB →·AQ →＋AB →·AC → ＝－a 2－AP →·AC →＋AB →·AP → ＝－a 2＋AP →·(AB →－AC →)＝－a 2＋12PQ →·BC →＝－a 2＋a 2cos θ.当θ＝0°时，BP →·CQ →最大，其最大值为0.解法二：以直角顶点A 为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系．设|AB →|＝c ，|AC →|＝b ，则A (0,0)，B (c,0)，C (0，b )， 且|PQ →|＝2a ，|BC →|＝a ，设P 点的坐标为(x ，y )， 则Q (－x ，－y )．∴BP →＝(x －c ，y )，CQ →＝(－x ，－y －b )，BC →＝(－c ，b )，PQ →＝(－2x ，－2y )． ∴BP →·CQ →＝－x (x －c )－y (y ＋b )＝－x 2－y 2＋cx －by ， cos θ＝BC →·PQ→|BC →||PQ →|＝2cx －2by 2a 2＝cx －bya 2，即cx －by ＝a 2cos θ. ∴BP →·CQ →＝－a 2＋a 2cos θ.故当cos θ＝1时，即θ＝0°(PQ →与BC →同向)时，BP →·CQ →最大，其最大值为0.22．(本题满分12分)已知向量a ，b 满足|a|＝|b|＝1，|k a ＋b |＝3|a －k b |(k >0，k ∈R )． (1)求a·b 关于k 的解析式f (k )． (2)若a ∥b ，求实数k 的值． (3)求向量a 与b 夹角的最大值．[解析] (1)由已知|k a ＋b |＝3|a －k b |， 有|k a ＋b |2＝(3|a －k b |)2，k 2a 2＋2k a·b ＋b 2＝3a 2－6k a·b ＋3k 2b 2. 又因为|a |＝|b |＝1， 得8k a·b ＝2k 2＋2， 所以a·b ＝k 2＋14k ，即f (k )＝k 2＋14k (k >0)．(2)因为a ∥b ，k >0， 所以a·b ＝k 2＋14k >0，则a 与b 同向．因为|a|＝|b |＝1，所以a·b ＝1， 即k 2＋14k ＝1，整理得k 2－4k ＋1＝0，所以k ＝2±3，所以当k ＝2±3时，a ∥b .(3)设a ，b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b|a||b|＝a·b ＝k 2＋14k ＝14(k ＋1k )＝14[(k －1k )2＋2]．当k ＝1k，即k ＝1时， cos θ取最小值12.。
北师大版数学高一必修四 作业 第二章《平面向量》章末检测
(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知向量a＝(4,2)，向量b＝(x,3)，且a∥b，则x＝()A．9B．6C．5 D．3解析：∵a∥b，∴4×3－2x＝0，解得x＝6.答案：B2．下列说法正确的是()A．两个单位向量的数量积为1B．若a·b＝a·c，且a≠0，则b＝cC．AB＝OA－OBD．若b⊥c，则(a＋c)·b＝a·b解析：A中，两向量的夹角不确定，故A错；B中，若a⊥b，a⊥c，b与c反方向，则不成立，故B错；C中，应为AB＝OB－OA，故C错；D中，因为b⊥c，所以b·c＝0，所以(a＋c)·b＝a·b＋c·b＝a·b，故D正确．答案：D3．已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b与b垂直，则|a|等于()A．1 B. 2C．2 D．4解析：因为2a－b与b垂直，所以(2a－b)·b＝0，即(3，n)·(－1，n)＝－3＋n2＝0.解得n＝±3.所以a＝(1，±3)．所以|a|＝1＋(±3)2＝2.答案：C4．下列等式恒成立的是()A．AB＋BA＝0B．AB－AC＝BCC．(a·b)c＝a(b·c)D．(a＋b)·c＝a·c＋b·c解析： AB ＋BA ＝0， AB －AC ＝CB ，故选项A 、B 不正确；由平面向量数量积的运算性质知C 不正确，D 正确．答案：D5．已知A (4,6)，B ⎝⎛⎭⎫－3，32，有下列向量： ①a ＝⎝⎛⎭⎫143，3；②b ＝⎝⎛⎭⎫7，92；③c ＝⎝⎛⎭⎫－143，－3； ④d ＝(－7,9)．其中，与直线AB 平行的向量是( ) A ．①② B ．①③ C ．①②③ D ．①②③④ 解析：AB ＝⎝⎛⎭⎫－7，－92， ∵⎝⎛⎭⎫143，3＝－23⎝⎛⎭⎫－7，－92＝－23AB ， ⎝⎛⎭⎫7，92＝－⎝⎛⎭⎫－7，－92＝－AB ，⎝⎛⎭⎫－143，－3＝23AB ，∴与直线AB 平行的向量是①②③. 答案：C6．在△ABC 中，AB ＝c ， AC ＝b .若点D 满足BD ＝2DC ，则AD ＝( ) A.23b ＋13c B.53c －23b C.23b －13c D.13b ＋23c 解析：依题意有CD ＝13CB ＝13(AB －AC )＝13(c －b )．∴AD ＝AC ＋CD ＝b ＋13(c －b )＝23b ＋13c .答案：A7．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－3,4)，则向量a 在b 方向上的射影为( ) A.25 B.255 C ．－255 D ．－25解析：射影为|a |cos θ＝5×a·b |a ||b |＝5×－255＝－25.答案：D8．已知点A (1，－2)，若向量AB 与a ＝ (2,3)同向，|AB |＝213，则点B 的坐标为( )A ．(5,4)B ．(4,5)C ．(－5，－4)D ．(5，－4) 解析：由AB ＝λa ，λ>0知AB ＝(2λ，3λ)．又由|AB |＝213，得λ＝2，所以点B 的坐标为(5,4)． 答案：A9．已知向量OB ＝(2,0)， OC ＝(2,2)， CA ＝(－1，－3)，则OA 和OB 的夹角为( ) A.π4 B.5π12 C.π3 D.π12解析：由题意，得OA ＝OC ＋CA ＝(1，－1)，则|OA |＝2，|OB |＝2， OA ·OB ＝2， ∴cos 〈OA ， OB 〉＝OA ·OB |OA ||OB |＝22.又0≤〈OA ， OB 〉≤π，∴〈OA ， OB 〉＝π4.答案：A10．设向量a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝0，且a·b ＝0，|a |＝3，|c |＝4，则|b |＝( ) A ．5 B.7 C. 5 D ．7解析：由a ＋b ＋c ＝0，得c ＝－(a ＋b )，又∵a·b ＝0， ∴c 2＝[－(a ＋b )]2＝a 2＋2a·b ＋b 2＝a 2＋b 2， ∴|b |2＝|c |2－|a |2＝42－32＝7， 即|b |＝7. 答案：B二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上) 11．已知a ＝(1,2)，b ＝(－4,4)，c ＝(－3，－6)，且c ＝xa ＋yb (x ，y ∈R)，则x ＋y ＋xy＝________.解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x －4y ＝－3，2x ＋4y ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝0，所以x ＋y ＋xy ＝－3. 答案：－312．已知向量a ，b 满足：|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则a 与b 的夹角为________． 解析：∵a ·(b －a )＝2，|a |＝1， ∴a·b ＝3.又|b |＝6， 设a 与b 的夹角为θ， 则cos θ＝12，∴夹角为π3.答案：π313．已知a ＝(1,1)，b ＝(1,0)，c 满足a·c ＝0，且|a |＝|c |，b·c >0，则c 为________． 解析：设c ＝(x ，y )． 由a·c ＝0，得x ＋y ＝0.① 再由|a |＝|c |，得x 2＋y 2＝2.②由①②，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝－1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1.又∵b·c >0，∴x >0，∴c ＝(1，－1)． 答案：(1，－1)14．在△ABC 中，已知|AB |＝|AC |＝2，且AB ·AC ＝2，则这个三角形的形状为____________．解析：∵AB ·AC ＝|AB ||AC |cos A ＝4cos A ＝2， ∴cos A ＝12.∵0<A <π，∴A ＝π3.又由题意，得AB ＝AC ， ∴该三角形为等边三角形．答案：等边三角形三、解答题(本大题共4个小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15． (本小题满分12分)已知|a |＝2|b |＝2，且向量a 在向量b 的方向上的射影的数量为－1，求：(1)a 与b 的夹角θ； (2)(a －2b )·b . 解：(1)由题意知，|a |＝2，|b |＝1，|a |cos θ＝－1， ∴a·b ＝|a ||b |cos θ＝－|b |＝－1， ∴cos θ＝a·b |a ||b |＝－12.由于θ∈[0，π]，∴θ＝2π3即为所求．(2)(a －2b )·b ＝a·b －2b 2＝－1－2＝－3.16．(本小题满分12分)已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A (3,4)，B (0,0)，C (c,0)． (1)若AB ·AC ＝0，求c 的值； (2)若c ＝5，求cos A 的值．解：(1) AB ＝(－3，－4)， AC ＝(c －3，－4)． 由AB ·AC ＝0，可得 －3(c －3)＋16＝25－3c ＝0， 所以c ＝253.(2)∵AB ＝(－3，－4)，AC ＝(c －3，－4)＝(2，－4)，∴cos A ＝AB ·AC |AB ||AC |＝－6＋16520＝55.17．(本小题满分12分)已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)． (1)求|a ＋3b |；(2)当k 为何实数时，ka －b 与a ＋3b 平行？平行时它们是同向还是反向？ 解：(1)∵a ＋3b ＝(1,0)＋3(2,1)＝(7,3)，∴|a ＋3b |＝72＋32＝58.(2)ka －b ＝k (1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)， a ＋3b ＝(7,3)． ∵(ka －b )∥(a ＋3b )， ∴7×(－1)＝(k －2)×3.解得k ＝－13，∴ka －b ＝－13(a ＋3b )，两向量反向．18．(本小题满分14分)已知三个点A (2,1)，B (3,2)，D (－1，4)． (1)求证：AB ⊥AD ；(2)要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标以及矩形ABCD 两对角线所夹锐角的余弦值．解：(1)证明：∵A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)， ∴AB ＝(1,1)， AD ＝(－3,3)． 又∵AB ·AD ＝1×(－3)＋1×3＝0， ∴AB ⊥AD ，即AB ⊥AD .(2)∵AB ⊥AD ，四边形ABCD 为矩形， ∴AB ＝DC .设C 点坐标为(x ，y )，则DC ＝(x ＋1，y －4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝1，y －4＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝5.∴点C 坐标为(0,5)． 从而AC ＝(－2,4)， BD ＝(－4,2)，且|AC |＝25， |BD |＝25， AC ·BD ＝8＋8＝16， 设AC 与BD 的夹角为θ，则cos θ＝AC ·BD |AC ||BD |＝1620＝45.∴矩形ABCD 的两条对角线所夹锐角的余弦值为45.。
高中数学 第二章 平面向量 19 向量应用举例课时作业 北师大版必修4
解析：与直线Ax＋By＋C＝0垂直的向量为(A，B)，与直线Ax＋By＋C＝0平行的向量为(－B，A)．
3．在四边形ABCD中，若 ＋ ＝0， · ＝0，则四边形的形状为()
A．正方形B．菱形
C．矩形D．平行四边形
答案：B
解析：∵ ＋ ＝0， ＝ ，∴四边形ABCD为平行四边形．又 · ＝0，∴ ⊥ ，∴对角线互相垂直，∴四边形ABCD为菱形．
解：设 ＝a， ＝b，则 ＝a＋b， ＝ b－a.
由于 与 共线，因此存在实数m，使得 ＝m(a＋b)．
又 与 共线，因此存在实数n，使得 ＝n ＝n .
由 ＝ ＋ ＝ ＋n ，得m(a＋b)＝a＋n ，
整理得(m＋n－1)a＋ b＝0.
由于向量a，b不共线，所以有 ，
解得 ，
所以 ＝ .
同理 ＝ ，
所以 ＝ ，所以AR＝RT＝TC，
所以R，T为AC的三等分点．
12．如图所示，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体，绳子与铅垂线的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F1.
(1)判断|F1|，|F2|随角θ的变化而变化的情况；
(2)当|F1|≤2|G|时，求角θ的取值范围．
解：(1)如图所示，由力的平衡及向量加法的平行四边形法则，得－G＝F1＋F2，|F1|＝ ，
解法二(坐标法)
以CA，CB所在直线为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设| |＝| |＝a，
∴C(0,0)，A(a,0)，B(0，a)，E ，D ，
∴ ＝ ， ＝ ，
∴ · ＝－ ＋ × ＝－ ＋ ＝0，
∴ ⊥ ，即AD⊥CE.
11．如图，平行四边形ABCD中，点E，F分别是边AD，DC的中点，BE，BF与AC分别交于点R，T，证明：R，T为AC的三等分点．
北师大版数学必修四课时作业 第2章 2
第二章 §2A 级 基础巩固一、选择题1．在△ABC 中，AB →＝a ，CB →＝b ，则CA →等于( C ) A ．a ＋b B ．a －b C ．b －aD ．－a －b[解析] CA →＝CB →＋BA →＝b －AB →＝b －a ，故选C ． 2．化简(AB →－CD →)＋(BE →－DE →)的结果是( D ) A ．0 B ．AE → C ．CA →D ．AC →[解析] 原式＝AB →－CD →＋BE →－DE →＝(AB →＋BE →)－(CD →＋DE →)＝AE →－CE →＝AE →＋EC →＝AC →. 3．已知四边形ABCD 为菱形，则下列等式中成立的是( C ) A ．AB →＋BC →＝CA →B ．AB →＋AC →＝BC → C ．AC →＋BA →＝AD →D ．AC →＋AD →＝DC →[解析] AB →＋BC →＝AC →≠CA →，故A 项错.AB →＋AC →≠BC →，故B 项错.AC →＋BA →＝BA →＋AC →＝BC →＝AD →，故C 项正确.AC →＋AD →≠DC →，故D 项错．4．四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BC →＝c ，则DC →＝( A )A ．a －b ＋cB ．b －(a ＋c )C ．a ＋b ＋cD ．b －a ＋c[解析] DC →＝DB →＋BC →＝AB →－AD →＋BC →＝a －b ＋c .5．如图所示，正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →等于( D )A ．0B ．BE →C ．AD →D ．CF →[解析] 如图所示，在正六边形ABCDEF 中，CD →＝AF →，BF →＝CE →，∴BA →＋CD →＋EF →＝BA →＋AF →＋EF →＝BF →＋EF →＝CE →＋EF →＝CF →.故选D ．6．如图，P 、Q 是△ABC 的边BC 上的两点，且BP →＝QC →，则化简AB →＋AC →－AP →－AQ →的结果为( A )A ．0B ．BP →C ．PQ →D ．PC →[解析] AB →＋AC →－AP →－AQ →＝(AB →－AP →)＋(AC →－AQ →)＝PB →＋QC →＝0. 二、填空题7．若向量a 、b 方向相反，且|a |＝|b |＝1，则|a －b |＝__2__.8．如图所示，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，则OA →＋BC →＋AB →＝__OC →__.[解析] OA →＋BC →＋AB →＝OA →＋AB →＋BC →＝OC →. 三、解答题9．如图，在□ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b .(1)用a ，b 表示AC →，DB →；(2)当a ，b 满足什么条件时，a ＋b 与a －b 所在直线互相垂直？ (3)当a ，b 满足什么条件时，|a ＋b |＝|a －b |； (4)a ＋b 与a －b 有可能为相等向量吗？为什么？ [解析] (1)AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ， DB →＝AB →－AD →＝a －b .(2)由(1)知，a ＋b ＝AC →，a －b ＝DB →，a ＋b 与a －b 所在直线垂直，即AC ⊥BD ， 又∵四边形ABCD 为平行四边形，∴四边形ABCD 为菱形，即a ，b 应满足|a |＝|b |. (3)|a ＋b |＝|a －b |，即|AC →|＝|BD →|. ∵矩形的对角线相等，∴当a 与b 垂直时，满足|a ＋b |＝|a －b |.(4)不可能．因为□ABCD 的两对角线不可能平行，因此a ＋b 与a －b 不可能为共线向量，那么就不可能为相等向量了．10．如图，一物体受到两个大小均为60N 的力的作用，两力的夹角为60°且有一力方向水平，求其合力的大小及方向．[解析] 如题图，设OA →、OB →分别表示两力，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OACB ，则OC →就是合力．由已知可得△OAC 为等腰三角形且∠COA ＝30°.过A 作AD ⊥OC 于D ，则在Rt △OAD 中，|OD →|＝|OA →|cos 30°＝60×32＝303，故|OC →|＝2|OD →|＝603，即合力的大小为603N ，方向与水平方向成30°角向上．B 级 素养提升一、选择题1．若O ，E ，F 是不共线的任意三点，则以下各式成立的是( B ) A ．EF →＝OF →＋OE →B ．EF →＋OE →＝OF →C ．EF →＝FO →＋OE →D ．EF →＝FO →＋EO →[解析] 可以画出图形，然后利用三角形法则找出正确答案．如图，由图知选项A ，D 不正确；FO →＋OE →＝FE →，故选项C 不正确；EF →＋OE →＝OE →＋EF →＝OF →，故选项B 正确，故选B ．2．下列说法错误的是( D )A ．若OD →＋OE →＝OM →，则OM →－OE →＝OD →B ．若OD →＋OE →＝OM →，则OM →＋DO →＝OE →C ．若OD →＋OE →＝OM →，则OD →－EO →＝OM → D ．若OD →＋OE →＝OM →，则DO →＋EO →＝OM →[解析] 由向量的减法就是向量加法的逆运算可知：A ，B ，C 都正确．由相反向量定量知，共OD →＋OE →＝OM →，则DO →＋EO →＝－OD →－OE →＝－(OD →＋OE →)＝－OM →，故D 错误．3．在平面上有A 、B 、C ，三点，设m ＝AB →＋BC →，n ＝AB →－BC →，若m 与n 的长度恰好相等，则有( C )A ．A ，B ，C 三点必在一条直线上 B ．△ABC 必为等腰三角形且∠B 为顶角 C ．△ABC 必为直角三角形且∠B 为直角D ．△ABC 必为等腰直角三角形[解析] 以BA →，BC →为邻边作平行四边形，则m ＝AB →＋BC →＝AC →，n ＝AB →－BC →＝AB →－AD →＝DB →，由m ，n 的长度相等可知，两对角线相等，因此平行四边形一定是矩形，故选C ．4．如图，D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，则( A )A ．AD →＋BE →＋CF →＝0 B ．BD →－CF →＋DF →＝0 C ．AD →＋CE →－CF →＝0D ．BD →－BE →－FC →＝0[解析] ∵AD →＝12AB →，BE →＝12BC →，CF →＝12CA →，∴AD →＋BE →＋CF →＝12(AB →＋BC →＋CA →)＝12(AC →＋CA →)＝0.故选A ． 二、填空题5．如图，在□ABCD 中，(1)AB →＋__AD →或BC →__＝AC →； (2)AC →＋CD →＋__DO →或OB →__＝AO →； (3)AB →＋AD →＋CD →＝__AD →__； (4)__AC →__＋BA →＋DA →＝0. [解析] (1)∵AC →－AB →＝BC →＝AD →， ∴AB →＋BC →＝AB →＋AD →＝AC →；(2)AO →－(AC →＋CD →)＝AO →－AD →＝DO →＝OB →， ∴AC →＋CD →＋DO →＝AC →＋CD →＋OB →＝AO →； (3)AB →＋AD →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →； (4)∵BA →＋DA →＝CD →＋CB →＝CA →， ∴AC →＋BA →＋DA →＝0.6．长度相等的三个非零向量OA →，OB →，OC →满足OA →＋OB →＋OC →＝0，则由A ，B ，C 三点构成的△ABC 是__等边__三角形．[解析] 如图所示，作OA →，OB →的和向量OD →， ∵OA →＋OB →＋OC →＝0， ∴OA →＋OB →＝－OC →. ∴|OA →|＝|OD →|，∴△AOD 为等边三角形， ∴∠OAB ＝12∠OAD ＝30°.同理，∠OAC ＝∠OCA ＝∠OCB ＝∠OBC ＝∠OBA ＝30°， ∴∠BAC ＝∠ABC ＝∠ACB ＝60°，即△ABC 为等边三角形． 三、解答题7．如图所示，O 为△ABC 内一点，AO 交BC 于D ，BO 交CA 于E ，CO 交AB 于F ，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，EO →＝e ，DO →＝d ，FO →＝f .(1)求AC →； (2)求AD →； (3)求AD →－AB →； (4)求AB →＋CF →； (5)求BF →－BD →； (6)求DF →＋FE →＋ED →.[解析] (1)AC →＝OC →－OA →＝c －a ； (2)AD →＝OD →－OA →＝－DO →－OA →＝－d －a ；(3)AD →－AB →＝BD →＝OD →－OB →＝－DO →－OB →＝－d －b ； (4)AB →＋CF →＝OB →－OA →＋OF →－OC →＝b －a －f －c ； (5)BF →－BD →＝DF →＝OF →－OD →＝－FO →＋DO →＝d －f ； (6)DF →＋FE →＋ED →＝OF →－OD →＋OE →－OF →＋OD →－OE →＝0.8．如图，已知D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC 、AC 、AB 的中点．求证：AD →＋BE →＋CF →＝0.[证明] 由题意知：AD →＝AC →＋CD →，BE →＝BC →＋CE →，CF →＝CB →＋BF →. 由平面几何可知：EF →＝CD →，BF →＝F A →.∴AD →＋BE →＋CF →＝(AC →＋CD →)＋(BC →＋CE →)＋(CB →＋BF →) ＝(AC →＋CD →＋CE →＋BF →)＋(BC →＋CB →) ＝(AE →＋EC →＋CD →＋CE →＋BF →)＋0 ＝AE →＋CD →＋BF →＝AE →＋EF →＋F A →＝0.C 级 能力拔高设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，|BC →|2＝16，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，则|AM →|＝( C )A ．8B ．4C ．2D ．1[解析] 由|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|可知，AB →与AC →垂直，故△ABC 为直角三角形，|AM →|即斜边BC 的中线，所以|AM →|＝2.。
高一数学必修四作业本答案：第二章
高一数学必修四作业本答案：第二章以下是小编为大家整理的关于《高一数学必修四作业本答案：第二章》的文章，供大家学习参考！第二章平面向量2．1平面向量的实际背景及基本概念2．1．1向量的物理背景与概念2．1．2向量的几何表示（第_题）1．D.2．D.3．D.4．0.5．一个圆.6．②③.7．如：当b是零向量，而a与c不平行时，命题就不正确．8．（1）不是向量.（2）是向量，也是平行向量.（3）是向量，但不是平行向量.（4）是向量，也是平行向量．9．BE，EB，BC，CB，EC，CE，FD（共7个）._．AO，OA，AC，CA，OC，CO，DO，OD，DB，BD，OB，BO（共_个）._．（1）如图.（2）AD的大小是_m，方向是西偏北45°.2．1．3相等向量与共线向量1．D.2．D.3．D.4．①②.5．④.6．③④⑤.7．提示：由AB=DC AB=DC，AB∥DC ABCD为平行四边形AD=BC.（第8题）8．如图所示：A1B1，A2B2，A3B3.9．（1）平行四边形或梯形.（2）平行四边形.（3）菱形._．与AB相等的向量有3个（OC，FO，ED），与OA平行的向量有9个（CB，BC，DO，OD，EF，FE，DA，AD，AO）,模等于2的向量有6个（DA,AD,EB,BE,CF,FC）. _．由EH,FG分别是△ABD,△BCD的中位线，得EH∥BD，EH=_BD,且FG∥BD，FG=_BD，所以EH=FG,EH∥FG且方向相同，∴EH=FG．2．2平面向量的线性运算2．2．1向量加法运算及其几何意义1．D.2．C.3．D.4．a，b.5．①③.6．向南偏西60°走_km.7．作法：在平面内任取一点O，作OA=a,AB=b,BC=c,则OC=a+b+c，图略.8．（1）原式=（BC+CA）+(AD+DB)=BA+AB=0.（2）原式=(AF+FE)+(ED+DC)+CB=AE+EC+CB=AB.9．2≤|a+b|≤8．当a，b方向相同时，|a+b|取到值8；当a，b方向相反时，|a+b|取到最小值2._．（1）5.（2）24._．船沿与河岸成60°角且指向上游的方向前进，船实际前进的速度为33km/h． 2．2．2向量减法运算及其几何意义1．A.2．D.3．C.4．DB，DC.5．b-a.6．①②.7．（1）原式=(PM+MQ)+(NP-NQ)=PQ+QP=0.（2）原式=(BC-BD)+(CA+AD)+CD=DC+CD+CD=CD.8．CB=-b，CO=-a，OD=b-a，OB=a-b.9．由AB=DC，得OB-OA=OC-OD，则OD=a-b+c._．由AB+AC=(AD+DB)+(AE+EC)及DB+EC=0得证．_．提示：以OA,OB为邻边作OADB,则OD=OA+OB，由题设条件易知OD与OC 为相反向量，∴OA+OB+OC=OD+OC=-OC+OC=0.2．2．3向量数乘运算及其几何意义1．B.2．A.3．C.4．-_e1+_e2.5．(1-t)OA+tOB.6.③.7．AB=_a-_b，AD=_a+_b.8．由AB=AM+MB,AC=AM+MC，两式相加得出.9．由EF=EA+AB+BF与EF=ED+DC+CF两式相加得出._．AD=a+_b,AG=23a+_b,GC=_a+23b,GB=_a-_b._．ABCD是梯形．∵AD=AB+BC+CD=-_a+2b=2BC,∴AD∥BC且AD≠BC.2．3平面向量的基本定理及坐标表示2．3．1平面向量基本定理2．3．2平面向量的正交分解及坐标表示1．D.2．C.3．C.4．(-2,3),(23,2).5．1,-2.6．①③.7．λ=5．提示：BD=CD-CB=-3i+(3-λ)j，令BD=kAB(k∈R)，求解得出.8．_．提示：由已知得2_-3y=5，5y-3_=6，解得_=43,y=27.9．a=-__b-9_c．提示：令a=λ1b+λ2c，得到关于λ1,λ2的方程组，便可求解出λ1,λ2的值．_．∵a,b不共线，∴a-b≠0，假设a+b和a-b共线，则a+b=λ·(a-b)，λ∈R，有(1-λ)a+(1+λ)b=0.∵a,b不共线，∴1-λ=0，且1+λ=0，产生矛盾，命题得证．_．由已知AM=tAB（t∈R），则OM=OA+AM=OA+tAB=OA+t(OB-OA)=(1-t)OA+tOB，令λ=1-t，μ=t，则OM=λOA+μOB，且λ+μ=1(λ,μ∈R)．2．3．3平面向量的坐标运算2．3．4平面向量共线的坐标表示1．C.2．D.3．D.4．(_,-7)，1,_.5．(-2,6)6．(_,-28)7．a-b=(-8，5)，2a-3b=(-_,_)，-_a+2b=233,-5．8．AB+AC=(0,1),AB-AC=(6,-3),2AB+_AC=92,-1.9．提示：AB=(4,-1),EF=EA+AB+BF=83,-23=23AB._．3__,-2__或-3__,2__．_．（1）OP=OA+tAB=(1,2)+t(3,3)=(1+3t,2+3t)，当点P在第二象限内时，1+3t ＜0，且2+3t＞0，得-23＜t＜-_.（2）若能构成平行四边形OABP，则OP=AB，得(1+3t,2+3t)=(3,3)，即1+3t=3，且2+3t=3，但这样的实数t不存在，故点O，A，B，P不能构成平行四边形．2.4平面向量的数量积2．4．1平面向量数量积的物理背景及其含义1．C.2．C.3．C.4．-_2；-32.5．(1)0.(2)±24.(3)_0°.6．①.7．±5.8．-55；2_；_2.9．_0°._．-25．提示：△ABC为直角三角形，∠B=90°，∴AB·BC=0，BC与CA的夹角为_0°-∠C，CA与AB的夹角为_0°-∠A，再用数量积公式计算得出．_．-1_0．提示：由已知：（a+b）·（2a-b）=0，且（a-2b）·（2a+b）=0，得到a·b=-_b2，a2=58b2，则cosθ=a·b|a||b|=-1_0．2．4．2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角1．B.2．D.3．C.4．λ＞32.5．（2，3）或（-2，-3）.6．［-6,2］.7．直角三角形.提示：AB=(3,-2),AC=(4,6),则AB·AC=0,但｜AB｜≠|AC|.8．_=-_；_=-32或_=3.9.__,5_或-__,-5_._．正方形．提示：AB=DC,|AB|=|AD|,AB·AD=0._．当C=90°时，k=-23;当A=90°时，k=_3;当B=90°时，k=3±_2.2．5平面向量应用举例2．5．1平面几何中的向量方法1．C.2．B.3．A.4．3.5．a⊥b.6．②③④.7．提示：只需证明DE=_BC即可.8．(7,-8).9．由已知：CN=NA,BN=NP,∴AP=NP-NA=BN-CN=BC，同理可证：QA=BC，∴AP=QA，故P,A,Q三点共线._．连结AO,设AO=a,OB=b,则AB=a+b,OC=-b,AC=a-b,|a|=|b|=r，∴AB·AC=a2-b2=0,∴AB⊥AC._．AP=4PM．提示：设BC=a,CA=b，则可得MA=_a+b，BN=a+_b，由共线向量，令PA=mMA,BP=nBN及PA+BP=BA=a+b，解得m=45，所以AP=4PM.2．5．2向量在物理中的应用举例1．B.2．D.3．C.4．|F||s|cosθ.5．(_,-5).6．④⑤.7．示意图略,6_N.8．1_N.9．sinθ=v_-v_|v1|.（第_题）_．（1）朝与河岸成60°的角且指向上游的方向开.（2）朝与河岸垂直的方向开._．（1）由图可得：|F1|=|G|cosθ，|F2|=|G|·tanθ，当θ从0°趋向于90°时，|F1|,|F2|都逐渐增大.（2）令|F1|=|G|cosθ≤2|G|，得cosθ≥_，∴0°≤θ≤60°.（第_(1)题）_．(1)能确定．提示：设v风车，v车地，v风地分别表示风对车、车对地、风对地的相对速度，则它们的关系如图所示，其中｜v车地｜＝6m/s，则求得：|v风车|＝63m/s，|v风地|＝_m/s．(2)假设它们线性相关，则k1a1+k2a2+k3a3=0（k1,k2,k3不全为零），得(k1,0)+(k2,-k2)+(2k3,2k3)=(0,0),有k1+k2+2k3=0，且-k2+2k3=0，可得适合方程组的一组不全为零的解：k1=-4,k2=2,k3=1，所以它们线性相关.(3)假设满足条件的θ存在，则由已知有：(a+b)2=3(a-b)2，化简得，|a|2-4|a||b|cosθ+|b|2=0，令t=|a||b|，则t2-4cosθ·t+1=0，由Δ≥0得，cosθ≤-_或cosθ≥_，故0≤θ≤π3或2π3≤θ≤π时，等式成立．单元练习1．C.2．A.3．C.4．A.5．C.6．C.7．D.8．D.9．C._．B._．①②③④._．-7._．λ＞1_._．0,2._.53._.2-2._.④._.(1)-_.(2)_._．（1）(4,2).（2）-4__．提示：可求得MA·MB=5(_-2)2-8；利用cos∠AMB=MA·MB|MA|·|MB|，求出cos∠AMB的值._．（1）提示：证(a-b)·c=0.（2）k＜0,或k＞2．提示：将式子两边平方化简．_．提示：证明MN=_MC即可._．D(1,-1)；|AD|=5．提示：设D(_,y)，利用AD⊥BC，BD∥BC,列出方程组求出_,y的值.高一数学必修四作业本答案：第二章.。
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第二章 平面向量 §1 从位移、速度、力到向量
课时目标 1．通过对物理模型和几何模型的探究，了解向量的实际背景，掌握向量的有关概念及向量的几何表示．2．掌握平行向量与相等向量的概念．
1．向量：既有________，又有______的量叫向量．
2．向量的几何表示：以A 为起点，B 为终点的向量记作________． 3．向量的有关概念：
(1)零向量：长度为____的向量叫做零向量，记作____． (2)单位向量：长度为____的向量叫做单位向量．
(3)相等向量：____________且____________的向量叫做相等向量． (4)平行向量(共线向量)：方向____________的________向量叫做平行向量，也叫共线向量． ①记法：向量a 平行于b ，记作______． ②规定：零向量与____________平行．
一、选择题
1．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 2．下列条件中能得到a ＝b 的是( )
A ．|a |＝|b |
B ．a 与b 的方向相同
C ．a ＝0，b 为任意向量
D ．a ＝0且b ＝0 3．下列说法正确的有( )
①方向相同的向量叫相等向量；②零向量的长度为0；③共线向量是在同一条直线上的向量；④零向量是没有方向的向量；⑤共线向量不一定相等；⑥平行向量方向相同．
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个 4．命题“若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ”( )
A ．总成立
B ．当a ≠0时成立
C ．当b ≠0时成立
D ．当c ≠0时成立 5．下列各命题中，正确的命题为( )
A ．两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同
B ．模为0的向量与任一向量平行
C ．向量就是有向线段
D ．|a |＝|b |⇒a ＝b
6．下列说法正确的是( )
A ．向量A
B →∥CD →就是AB →所在的直线平行于CD →
所在的直线 B ．长度相等的向量叫做相等向量 C ．零向量长度等于0
D ．共线向量是在一条直线上的向量 二、填空题
7．给出以下5个条件：①a ＝b ；②|a |＝|b |；③a 与b 的方向相反；④|a |＝0或|b |＝0；⑤a 与b 都是单位向量．其中能使a ∥b 成立的是________．(填序号)
8．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →且|AB →|＝|AD →
|，则四边形的形状为________． 9．下列各种情况中，向量的终点在平面内各构成什么图形．
①把所有单位向量移到同一起点；
②把平行于某一直线的所有单位向量移到同一起点； ③把平行于某一直线的一切向量移到同一起点． ①__________；②____________；③____________．
10．如图所示，E 、F 分别为△ABC 边AB 、AC 的中点，则与向量EF →
共线的向量有________________(将图中符合条件的向量全写出来)．
三、解答题
11．在如图的方格纸上，已知向量a ，每个小正方形的边长为1．
(1)试以B 为终点画一个向量b ，使b ＝a ；
(2)在图中画一个以A 为起点的向量c ，使|c |＝5，并说出向量c 的终点的轨迹是什么？
12．如图所示，△ABC 的三边均不相等，E 、F 、D 分别是AC 、AB 、BC 的中点．
(1)写出与EF →
共线的向量；
(2)写出与EF →
的模大小相等的向量；
(3)写出与EF →
相等的向量．
能力提升
13．如图，已知AA ′→＝BB ′→＝CC ′→
．求证：(1)△ABC ≌△A ′B ′C ′； (2)AB →＝A ′B ′→，AC →＝A ′C ′→
．
14．如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心，且OA →＝a ，OB →＝b ，OC →
＝c ． (1)与a 的模相等的向量有多少个？
(2)与a 的长度相等，方向相反的向量有哪些？ (3)与a 共线的向量有哪些？
(4)请一一列出与a ，b ，c 相等的向量．
1．向量是既有大小又有方向的量，解决向量问题时一定要从大小和方向两个方面去考虑． 2．向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．如a >b 没有意义，而|a |>|b |有意义． 3．共线向量与平行向量是同一概念，规定：零向量与任一向量都平行．
第二章 平面向量 §1 从位移、速度、力到向量
答案
知识梳理
1．大小 方向 2．AB →
3．(1)0 0 (2)1 (3)长度相等 方向相同 (4)相同或相反 非零 ①a ∥b ②任一向量
作业设计 1．D 2．D
3．A [②与⑤正确，其余都是错误的．]
4．C [当b ＝0时，不成立，因为零向量与任何向量都平行．]
5．B [由于模为0的向量是零向量，只有零向量的方向不确定，它与任一向量平行，故选B ．]
6．C [向量AB →∥CD →包含AB →所在的直线平行于CD →所在的直线和AB →所在的直线与CD →
所在的直线重合两种情况；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同；共线向量也称为平行向量，它们可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，所以A 、B 、D 均错．]
7．①③④
解析 相等向量一定是共线向量，①能使a ∥b ；方向相同或相反的向量一定是共线向量，③能使a ∥b ；零向量与任一向量平行，④成立．
8．菱形
解析 ∵AB →＝DC →
，∴AB 綊DC ∴四边形ABCD 是平行四边形， ∵|AB →|＝|AD →
|，∴四边形ABCD 是菱形．
9．①单位圆 ②相距为2的两个点 ③一条直线
10．FE →，BC →，CB →
解析 ∵E 、F 分别为△ABC 对应边的中点， ∴EF ∥BC ，
∴符合条件的向量为FE →，BC →，CB →
．
11．解 (1)根据相等向量的定义，所作向量与向量a 平行，且长度相等(作图略)． (2)由平面几何知识可知所有这样的向量c 的终点的轨迹是以A 为圆心，半径为5的圆(作图略)．
12．解 (1)因为E 、F 分别是AC 、AB 的中点，
所以EF 綊1
2BC ．又因为D 是BC 的中点，
所以与EF →共线的向量有：FE →，BD →，DB →，DC →，CD →，BC →，CB →
．
(2)与EF →模相等的向量有：FE →，BD →，DB →，DC →，CD →．
(3)与EF →相等的向量有：DB →与CD →．
13．证明 (1)∵AA ′→＝BB ′→
，
∴|AA ′→|＝|BB ′→|，且AA ′→∥BB ′→．
又∵A 不在BB ′→
上，∴AA ′∥BB ′． ∴四边形AA ′B ′B 是平行四边形． ∴|AB →|＝|A ′B ′→
|．
同理|AC →|＝|A ′C ′→|，|BC →|＝|B ′C ′→
|． ∴△ABC ≌△A ′B ′C ′．
(2)∵四边形AA ′B ′B 是平行四边形， ∴AB →∥A ′B ′→，且|AB →|＝|A ′B ′→
|． ∴AB →＝A ′B ′→．同理可证AC →＝A ′C ′→
． 14．解 (1)与a 的模相等的向量有23个．
(2)与a 的长度相等且方向相反的向量有OD →，BC →，AO →，FE →
．
(3)与a 共线的向量有EF →，BC →，OD →，FE →，CB →，DO →，AO →，DA →，AD →
．
(4)与a 相等的向量有EF →，DO →，CB →；与b 相等的向量有DC →，EO →，F A →
；与c 相等的向量有
FO →，ED →，AB →．。