氢原子一级斯塔克效应
量子力学简答题题库
量子力学简答题题库1、什么是光电效应？光电效应有什么规律？爱因斯坦是如何解释光电效应的？答：光照射到某些物质上，引起物质的电性质发生变化，也就是光能量转换成电能。
这类光致电变的现象被人们统称为光电效应。
或光照射到金属上，引起物质的电性质发生变化。
这类光致电变的现象被人们统称为光电效应。
光电效应规律如下:① 每一种金属在产生光电效应时都存在一极限频率（或称截止频率），即照射光的频率不能低于某一临界值。
当入射光的频率低于极限频率时，无论多强的光都无法使电子逸出。
② 光电效应中产生的光电子的速度与光的频率有关，而与光强无关。
③ 光电效应的瞬时性。
实验发现，只要光的频率高于金属的极限频率，光的亮度无论强弱，光的产生都几乎是瞬时的。
④ 入射光的强度只影响光电流的强弱，即只影响在单位时间内由单位面积是逸出的光电子数目。
爱因斯坦认为：⑴电磁波能量被集中在光子身上，而不是像波那样散布在空间中，所以电子可以集中地、一次性地吸收光子能量，所以对应弛豫时间应很短，是瞬间完成的。
⑵所有同频率光子具有相同能量，光强则对应于光子的数目，光强越大，光子数目越多，所以遏止电压与光强无关，饱和电流与光强成正比。
⑶ 光子能量与其频率成正比，频率越高，对应光子能量越大，所以光电效应也容易发生，光子能量小于逸出功时，则无法激发光电子。
逸出电子的动能、光子能量和逸出功之间的关系可以表示成：hv =A +1mv 2，这就是爱因斯坦光电效应方2程。
其中，h是普朗克常数；f 是入射光子的频率。
2、写出德布罗意假设和德布罗意公式。
德布罗意假设：实物粒子具有波粒二象性。
德布罗意公式：E = =hvP = k =h3、简述波函数的统计解释，为什么说波函数可以完全描述微观体系的状态。
几率波满足的条件。
波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成比例。
因为它能根据现在的状态预知未来的状态。
①波函数应满足归一化条件；②波函数应满足有限性、连续性、单值性。
Stark效应
ˆ =H ˆ +H ˆ '= H ˆ + eεr cosθ ， L2 , Lz 都是守恒； 当加入外电场后，H (0) (0)
6
= eε ∫ R20 R21 r 3 dr ∫ Y00 * Y11 cosθdΩ
0 ∞
利用球谐函数公式
2
cosθYlm =
l 2 − m2 (l + 1) 2 − m 2 Yl +1,m + Yl −1,m = a lmYl +1,m + blm Yl −1,m (2l + 1)(2l + 3) (2l − 1)(2l + 1)
(0) (0) (0) ˆψ 21 z 21 = ∫ψ 21 *z dτ = 3a 0 。分析 ψ 21 也可看出，电子云上移，电
2
子出现在 xoy 平面以上的几率大于出现在 xoy 平面以下的几率。
(1) (1) ( 0) = E 22 = −3eεa0 看出，处于态ψ 22 的氢原子好象 同样，从 E 2
es2 用，第 n 个能级的简并度为 n ， U = − ，加入外电场后，电子 r
2
有一个附加能量，其算符表示为 r r r r ˆ ' = −D ⋅ ε H = −( − er ) ⋅ ε = eεr cosθ ,(1) 原来的球对称性被破坏,变为轴对称,
ε ,z
θ
r
r r
能级发生分裂,简并度部分消除,具体解释如下： 无外场时，体系是球对称的，即
(0) 2．赖曼线系的第一条谱线由原来的一条分裂 E 2
量子力学选择题1
量子力学选择题(1)原子半径的数量级是：A．10－10cm; B.10-8m C. 10-10m D.10-13m(2)若氢原子被激发到主量子数为n的能级,当产生能级跃迁时可能发生的所有谱线总条数应为：A．n-1 B .n(n-1)/2 C .n(n+1)/2 D .n(3)氢原子光谱赖曼系和巴耳末系的系线限波长分别为：A.R/4 和R/9B.R 和R/4C.4/R 和9/RD.1/R 和4/R(4)氢原子赖曼系的线系限波数为R,则氢原子的电离电势为：A．3Rhc/4 B. Rhc C.3Rhc/4e D. Rhc/e(5)氢原子基态的电离电势和第一激发电势分别是：A．13.6V和10.2V; B –13.6V和-10.2V;C.13.6V和3.4V;D. –13.6V和-3.4V(6)根据玻尔理论,若将氢原子激发到n=5的状态,则：A.可能出现10条谱线，分别属四个线系B.可能出现9条谱线，分别属3个线系C.可能出现11条谱线，分别属5个线系D.可能出现1条谱线，属赖曼系(7)欲使处于激发态的氢原子发出Hα线，则至少需提供多少能量（eV）?A.13.6B.12.09C.10.2D.3.4(8)氢原子被激发后其电子处在第四轨道上运动,按照玻尔理论在观测时间内最多能看到几条线？A.1B.6C.4D.3(9)氢原子光谱由莱曼、巴耳末、帕邢、布喇开系…组成.为获得红外波段原子发射光谱,则轰击基态氢原子的最小动能为:A .0.66 eV B.12.09eV C.10.2eV D.12.75eV(10)用能量为12.75eV的电子去激发基态氢原子时,受激氢原子向低能级跃迁时最多可能出现几条光谱线（不考虑自旋）；A.3B.10C.1D.4(11)按照玻尔理论基态氢原子中电子绕核运动的线速度约为光速的：A.1/10倍B.1/100倍 C .1/137倍 D.1/237倍(12)已知一对正负电子绕其共同的质心转动会暂时形成类似于氢原子的结构的“正电子素”那么该“正电子素”由第一激发态跃迁时发射光谱线的波长应为：A．3R/8 B.3R/4 C.8/3R D.4/3R(13)电子偶素是由电子和正电子组成的原子，基态电离能量为：A.-3.4eVB.+3.4eVC.+6.8eVD.-6.8eV(14)根据玻尔理论可知，氦离子H e+的第一轨道半径是：(a). a0/2 (b). a0/4 (c).2a0(d). 4a0(15)假设氦原子（Z=2）的一个电子已被电离，如果还想把另一个电子电离，若以eV为单位至少需提供的能量为：A．54.4 B.-54.4 C.13.6 D.3.4(16)在H e+离子中基态电子的结合能是：A.27.2eVB.54.4eVC.19.77eVD.24.17eV(17）处于基态的氢原子被能量为12.09eV的光子激发后,其轨道半径增为原来的A．4倍 B.3倍 C.9倍 D.16倍(18)为了证实德布罗意假设,戴维孙—革末于1927年在镍单晶体上做了电子衍射实验从而证明了：A.电子的波动性和粒子性B.电子的波动性C.电子的粒子性D.所有粒子具有波粒二象性(19）如果一个原子处于某能态的时间为10-7S,原子这个能态能量的最小不确定数量级为（以焦耳为单位）：A．10-34； B.10-27； C.10-24； D.10-30(20）将一质子束缚在10-13cm的线度内,则估计其动能的量级为：A. eV;B. MeV;C. GeV,D.10-20J(21)按量子力学原理,原子状态用波函数来描述.不考虑电子自旋,对氢原子当nl确定后,对应的状态数为：A.n2;B.2n;C.l;D.2l+1(22).用波尔-索末菲(Bohr-Sommerfeld)的量子化条件得到的一维谐振子的能量为（n = 0,1,2,L）A.En=nħω .B. En=(n+1/2) ħωC. En = (n+1)ħω .D. En= 2nħω .(23). 康普顿效应证实了A.电子具有波动性.B. 光具有波动性.C.光具有粒子性.D. 电子具有粒子(24). 设ψ(x)=δ(x)，在x −x+dx 范围内找到粒子的几率为A.δ (x ）B.δ (x)dxC.δ2(x)D.δ2(x)dx(25).设ψ1(x)和ψ2(x)分别表示粒子的两个可能运动状态，则它们线性迭加的态c 1ψ1+ c 2ψ2的几率分布为(26).波函数应满足的标准条件是A.单值、正交、连续.B.归一、正交、完全性.C.连续、有限、完全性.D.单值、连续、有限.(27).有关微观实物粒子的波粒二象性的正确表述是A.波动性是由于大量的微粒分布于空间而形成的疏密波.B.微粒被看成在三维空间连续分布的某种波包.C.单个微观粒子具有波动性和粒子性.D. A, B, C 都对(28).下列哪种论述不是定态的特点A.几率密度和几率流密度矢量都不随时间变化.B.几率流密度矢量不随时间变化.C.任何力学量的平均值都不随时间变化.D.定态波函数描述的体系一定具有确定的能量(29).在一维无限深势阱中运动的粒子，其体系的A.能量是量子化的，而动量是连续变化的.B.能量和动量都是量子化的.C.能量和动量都是连续变化的.D.能量连续变化而动量是量子化的(30).线性谐振子的A.能量是量子化的,而动量是连续变化的.B.能量和动量都是量子化的.C.能量和动量都是连续变化的.D.能量连续变化而动量是量子化的.(31).在极坐标系下,氢原子体系在不同球壳内找到电子的几率为(32). 在极坐标系下,氢原子体系在不同方向上找到电子的几率为*21*212*12*12222112*1212222112*121222*********.2...ψψψψψψψψψψψψψψψψC C C C C C D C C C C C C C C C B C C A ++++++++dr r r R D rdr r R C r r R B r r R A nl nl nl nl 222222)(.)(.)(.)(.(33). F和G是厄密算符,则A.FG必为厄密算符.B.FG−GF必为厄密算符.C.i(FG+GF)必为厄密算符.D.i(FG−GF)必为厄密算符(34).一维自由粒子的运动用平面波描写,则其能量的简并度为A.1.B. 2.C. 3.D. 4.(35).若不考虑电子的自旋,氢原子能级n=3 的简并度为A. 3.B. 6.C. 9.D. 12(36).氢原子能级的特点是A.相邻两能级间距随量子数的增大而增大.B.能级的绝对值随量子数的增大而增大.C.能级随量子数的增大而减小.D.相邻两能级间距随量子数的增大而减小.(37).一维自由粒子的能量本征值A. 可取一切实数值.B.只能取不为负的一切实数.C.可取一切实数,但不能等于零.D.只能取不为正的实数.(38).体系处于ψ=C1Y11+C2Y10态中,则ψA.是体系角动量平方算符、角动量Z 分量算符的共同本征函数.B.是体系角动量平方算符的本征函数,不是角动量Z 分量算符的本征函数.C.不是体系角动量平方算符的本征函数,是角动量Z 分量算符的本征函数.D.即不是角动量平方算符的本征函数,也不是角动量Z 分量算符的本征函数.(39).幺正变换A.不改变算符的本征值,但可改变其本征矢.B.不改变算符的本征值,也不改变其本征矢.C.改变算符的本征值,但不改变其本征矢.D.即改变算符的本征值,也改变其本征矢.(40).氢原子的一级斯塔克效应中,对于n = 2 的能级由原来的一个能级分裂为A. 五个子能级.B. 四个子能级.C. 三个子能级.D. 两个子能级.(41).Stern-Gerlach 实验证实了A. 电子具有波动性.B.光具有波动性.C. 原子的能级是分立的.D. 电子具有自旋.(42).下列有关全同粒子体系论述正确的是A.氢原子中的电子与金属中的电子组成的体系是全同粒子体系.B.氢原子中的电子、质子、中子组成的体系是全同粒子体系.C.光子和电子组成的体系是全同粒子体系.D.α粒子和电子组成的体系是全同粒子体系.(43).全同粒子体系中,其哈密顿具有交换对称性,其体系的波函数A.是对称的.B.是反对称的.C.具有确定的对称性.D.不具有对称性.(44). 完全描述微观粒子运动状态的是:( )(A) 薛定谔方程(B)测不准关系(C)波函数(D) 能量(45). 完全描述微观粒子运动状态变化规律的是:( )(A)波函数(B) 测不准关系(C) 薛定谔方程(D) 能级(46). 若光子与电子的波长相等,则它们:( )(A)动量及总能量均相等(B) 动量及总能量均不相等(C)动量相等,总能量不相等(D)动量不相等,总能量相等。
关于氢原子n=4能级的一级斯塔克效应
第 29 卷第 5 期 Vol. 29 No.5
唐山师范学院学报 Journal of Tangshan Teachers College
* * 3 3 3 * 2 R41 r 3 d r Y00 Y Y00 d = e 0 R40 R41 r 3 d r = e 0 e a 2a 3 0 0
3
=
3
0
1 4 r 18 r2 1 r 3 6 2a 24 ea 0 r e dr 3 2 32 4 96 10 3 a 0 5 16 8 3 96 16 3 a 0 64 96 5 3 a 0
0
* * * ˆ * * H 43 3 H 34 H 4 d 3 er cos 4 d 420 er cos 430 d e 0 R42 R43 r 3 d r Y20 cos Y30 d
* 5 2 *3 R42 r 3 d r Y10 Y e 0 R41 5 7 30 3
* 3 2 Y10 d e 0 R41 R42 r 3 d r 5 15
r
1 e 15 a 0 2
1 2a 3 0
1 引言
在量子力学教材及有关文献的论文中，已对 n=1，2，3 对应能级在电场中一级修正的能级分裂情况进行了研究，本文进 一步给出氢原子 n=4 能级在一级斯塔克效应中的分裂情况。我们知道在外电场的作用下，氢原子的球对称势场将受到破坏，
强电、磁场效应中的氢及类氢原子
强电、磁场效应中的氢及类氢原子强电、磁场效应是指外加的静电场、静磁场和交变电磁场的场强大到已不能作为微扰时对原子分子体系的物理和化学性质的影响。
实验表明髙激发态里德伯原子的能级特性与外场异常敏感而且复杂。
而理论研究也很困难，在弱外场下，可用微扰法求解薛定谔方程计算能级的劈裂、移动和展宽，得到与实验一致的结果。
强外场下就不能用微扰法，需要严格求解含外场的薛定谔方程，这变得很困难。
这种困难主要在于外场的静电力、洛伦兹力和核的库仑力具有各自不同的对称性。
大多数理论计算仍集中在氢原子，或以氢原子为模型的适当修正，如碱金属原子。
由于在均匀外电场中的哈密顿量在抛物坐标中变量是可分离的，相对计算容易一些。
本文简单的记述国内关于强电、磁场中氢以及类氢原子的部分研究。
一、 强电场中的氢及类氢原子高激发态里德伯原子在电场下行为主要有电离和斯塔克效应这两方面的情况。
由于氢原子和类氢离子基态s 电子波函数是球对称的它的点和分布中心和原子核是重合的。
可以证明：任意一个具有确定角动量量子数l 态的固有电偶极矩也为零。
但是每一个n ≠1的激发态，由于对l 是简并的，不同l 态线型叠加的结果使固有电偶极矩不为零。
对其他多电子原子，如碱金属原子，由于轨道贯穿和极化效应，使能级对l 的简并破坏，它们的固有电偶极矩也为零。
在均匀电场作用下，原子被计划，电子云中心不再与核重合，原子还能产生电偶极矩。
除了原子具有的固有电偶极矩d 0之外，外场诱导的电偶极矩d 1正比于场强E 。
原子具有的总电偶极矩d = d 0+ d 1，在外电场强度E 作用下产生的能级分裂为∆E e =-d *E ，这就是斯塔克效应。
关于类氢原子在强电场中的电离[1]，前人有过研究。
方法是分离变量，即恒电场下类氢原子的薛定谔方程在旋转抛物座标下形式上分离变量，得到如下联立常微分方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∈---++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∈---++044120441222222121221212χηηηβξχχξξξβξχm E d d m E d d 联立条件为Z =+21ββ。
5.2 简并情况下的微扰理论 5.3氢原子的以及斯塔克效应
ˆ ˆ ˆ ˆ H 当加入外电场后， H H ( 0) H' H ( 0) er cos ，ˆ 不再与
ˆ L2 对易，L2 不再是守恒量，但L z 仍是守恒量，即外电场破坏了
z 库仑场的球对称性，但未破坏绕
轴旋转的对称性，能级简并部
分解除。
二、n 2 时体系的近似解
ˆ 1.体系的哈密顿及H ( 0 ) 的本征解 处于沿 z 方向的外电场 中的氢原子体系的哈密顿为
0
R 20 * Y00 * er cos R 21 Y11 r 2 drd
e R 20 R 21 r 3 dr Y00 * cosY11d
利用球谐函数公式
( 1) 2 m 2 2 m2 cosYm Y 1,m Y 1,m (2 1)(2 3) (2 1)(2 1) a m Y 1,m b m Y 1,m
这样，势场原来的球对称性被破坏，变为轴对称, 能级发生分裂, 简并度部分消除,具体解释如下：
无外场时，体系是球对称的，即:
ˆ H ( 0)
2 ˆ es 2 2 L2 (r ) 2 2 2r r r 2r r
ˆ ˆ ˆ H (0) 与L2 和L z 都对易，也就是L2 , L z 都是守恒量；
则有 H'13 e R 20 R 21r 3 dr Y00 * (a m Y21 b m Y01 )d 0
0
同理可得其它矩阵元也为零（, i 1,2) 。 可见矩阵元不为零的定则是: 1, m 0 。
下面计算H'12 和 H'21 ：
ˆ H '12 1 * H ' 2 d R 20 * Y00 * er cos R 21 Y10 r 2 drd
53氢原子的一级Stark效应
5.3氢原子的一级Stark效应
1 200 R20 ( r )Y00 ( , ) 2 210 R21 ( r )Y10 ( , ) 3 211 R21 ( r )Y11 ( , ) 4 211 R21 ( r )Y11 ( , )
5.3氢原子的一级Stark效应
(0) ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2 3eEa
(0) E2
(0) E2 3eEa
(0) E2
E1(0)
E1(0)
5.3氢原子的一级Stark效应
开始时是没有外电场式的能级和跃迁，后来是加外场 后的情况。原来简并的能级在外场作用下分裂为三个 能级，一个在原来的下边，一个在原来的上边。他们 之间能量差都是 3eEa 。这样，没有外电场时的一条 谱线，在外电场中分裂为三条；他们的频率一条比原 来的稍小，一条比原来的稍大，另一条相等。
a33 a44 a3 211 a4 211 (0) 24
(0) 23
（5.3.14）
v H21 H 210 dr 3eEa H12
* 200
（5.3.5）
从而久期方程可写为：
5.3氢原子的一级Stark效应
E 3eEa 0 (1) 3eEa E2 0 (1) 0 0 E2 0 0 0
(1) 2
0 0 0 0 (1) E2
（5.3.6）
5.3氢原子的一级Stark效应
下面我们就来具体讨论这个问题。 氢原子在外电场中的哈密顿量是
ˆ H ˆ H ˆ H 0
2 2 h e 2 ˆ H 2 0 2m r v v ˆ eE r eEz eEr cos H
（5.3.1） （5.3.2） （5.3.3）
五、斯塔克效应
五、斯塔克效应斯塔克效应，是指原⼦发出的谱线在电场作⽤下，出现分裂的现象。
具体地讲，就是在电场强度约为100万伏/厘⽶时，原⼦发射谱线的图案是对称的，其间隔⼤⼩与电场强度成正⽐[8]。
斯塔克效应与塞曼效应同为原⼦谱线的分裂效应，具有⾼度的相似性。
正是由于电磁现象的相关性，才引导⼈们发现了斯塔克效应。
斯塔克效应的发现 1913年，斯塔克在研究极隧射线通过强电场情况时，观察到放电管中氢谱线加宽了。
他⽴即联想到⼗⼏年前塞曼的发现，这会不会是与塞曼效应对应的⼀种电学现象？从1896年塞曼发现谱线的磁致分裂以来，科学家经常提出这样的问题：既然在磁场中原⼦发出的光谱线会分裂，在电场中会不会有类似现象？在此之前，塞曼等科学家也做过此类研究，但都失败了。
斯塔克在凿孔阴极后仅⼏毫⽶处放置了第三个极板，并在这两极之间加了2万伏/厘⽶的电场，然后⽤分光计在垂直于射线的⽅向上测试，果然观察到了光谱线的分裂。
斯塔克效应对玻尔的原⼦理论起了⼀定的验证作⽤。
1914年，玻尔对斯塔克效应作了理论分析，他把斯塔克效应看成是外电场改变了电⼦在⾃由原⼦中的轨道引起的现象，从波尔原⼦模型出发，推出了氢谱线电致分裂的最⼤频率位移。
但是，计算结果与实际测量分歧甚⼤。
1916年，爱因斯坦把斯塔克效应纳⼊了量⼦⼒学的框架。
1926年，薛定谔证明这⼀效应与波动⼒学是⼀致的。
量⼦⼒学认为，原⼦或分⼦存在固有电偶极矩，在外电场作⽤下引起附加能量，造成能级分裂，裂距与电场强度成正⽐，称为⼀级斯塔克效应；不存在固有电偶极矩的原⼦或分⼦受电场作⽤，产⽣感⽣电矩，在电场中引起能级分裂，与电场强度平⽅成正⽐，称为⼆级斯塔克效应，⼀般⼆级效应⽐⼀级效应⼩得多。
对斯塔克效应的解释，被认为是早期量⼦⼒学的重⼤胜利。
[9] ⽽形态场假说则否认了量⼦⼒学的观点，认为斯塔克效应不是通过原⼦的电偶极矩产⽣的，⽽是外电场打开了原⼦内部的电场联接，对原⼦核和核外电⼦直接产⽣了作⽤。
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李思黾 刘旭 栾星
氢原子的哈密顿量
❖ 无外场时：
H p2 r L S
2m 处于沿z方向的均匀磁场中时：
其中
r
1 2m2c2r
dV dr
H
p2 2m
r L S
eB 2mc
Lz
2Sz
处于沿z方向的均匀电场中时：
H
p2 2m
r L S
eEr
cos
原子谱线的分裂
0
H
' 45
E1'
其中的矩阵元为：
H1'2
H
' 21
V
* 510
H
'520d
H
' 23
H
' 32
V
* 520
H
'530d
H1'2
H
' 21
V
* 530
H
'540d
H1'2
H
' 21
V
* 540
H
'550d
H ' e r cos
下面我们将计算 nlm
nlm 的计算过程：
nlm RnlYlm
谱线分裂现象
产生原因
精细结构 正常塞曼效应 反常塞曼效应 斯塔克效应
rLS
eB 2mc
Lz
2Sz
eB 2mc
Lz
2Sz
r
L
S
eEr cos
斯塔克效应
原子或分子处于外电场中时，谱线发生分裂的现象 叫就叫做斯塔克效应，是由德国物理学家斯塔克于 1913年首先发现的。
斯塔克在极燧射线中发现了多普勒 效应和在电场中发现了分裂的谱线 因 而获得1919年诺贝尔物理学奖。然而 斯塔克的名声很坏，他是一个种族主义者， 斯塔克 希特勒的狂热粉丝，二战结束后被德国军事法庭判处4 年苦狱 ，于1957年6月21日 在德国去世。
ea Rnl | r a | Rn' l m, m' I
I
l
' 2l
m'
1
l' m'
2l 1
l,
l
'
1
l
'
m'
2l
1 l' m'
12l 3
1
l,
l
'
1
该式表明，只有满足选择定则的矩阵元才不为零。
根据m m' 的矩阵元都为零的条件，久期方程久变为2n-1个对角的非零分块
当考虑一级微扰的能量修正后，能量的表达式为：E nk
En En1k
H’的能量本征方程为：
f
Hij' E1ij Ci1 0 i
有的书上成为久期方程，有非零解的条件为行列式为零，即：
H1'1 En1
H1' 2
H
' 21
H
' 22
En1
H1' n
H
' 2
n
0
H
' n1
H
' n
2
H
' nn
行列式和余下的零子行列式组成 的 n2 阶行列式
An An 1
0
An m
A nm
0
0
A2
A1
An m
其中
是取磁量子数为m时，角量子数l分别取 m, m 1, m 2,
,(n 1)
组成的 (n m) 阶行列的分块行列式。
在分块行列式 Anm 中，零级波函数按如下规则构成：
nmm RnmYmm
)
由公式（4）得：
P00 (cos )
1 20 0!
0 cos2
d 00
d (cos )00
(cos2
1)
1
1
故推出 Y00 4
由公式（1）得：
2
R50
3
a0 2
52
2
0
1!
5 0! 5 0 1!
exp
1 2
F
5
0
1, 2
0
2,
2
33
e F
1 2
4, 2,
5 2 a0 2
久期方程的矩阵表示
A5
A4
0
A3
A2
A1
0
A5
A5
A4
A3
0
A2
A1
m 分别取0，1，2，3，4对应各分块矩阵
当m =0时，分块矩阵为 A5，L的取值可以是1，2，3，4，5 矩阵的具体表示为：
E1'
H
' 21
A5
0
H1' 2
E1'
H
' 32
H
' 23
E1'
H
' 43
H
' 34
E1'
H
' 54
En1
其中矩阵元为
Hi'j
i | H ' | j
nlm | H ' | nl'm'
H
' ji
对于个矩阵元可以证明只有满足 l 1, m 0 的才不为零
证明如下：
Hi'j i | H ' | j nlm | H ' | nl'm' ea Rnl | r a | Rn' l Ylm | cos | Yl'm'
（1）Rnl
2
3
a0
2
n2
(2l
1) !
n l! n l 1!
exp
1 2
F
n
l
1,
2l
2,
（其中F为合流超几何函数）
（2） F , , z 1 z a(a 1) z2
a(a 1)
(a k 1)
2! ( 1)
k0 k ! ( 1) ( k 1)
（3） Ylm 1m
2l
nm1m Rnm1Ym1m1
nn1m
Rn n 1Y n 1 n 1
其中：m 0,1,
(n 1)
所以氢原子一级斯塔克效应中久期方程式简化为：
A1 A2 A2 Anm A(nm) A(n1) An1 An 0
这就是计算氢原子一级斯塔克效应能级修正值的简化公式，只要根据各分块行列式对 一级能量修正值，就可得到该态氢原子一级能级修正值。 下面就尝试计算n=3，4，5各能级的一级修正值。
Y00
1
4
所以推出：
500
R50Y00
2
33
5 2 a0 2
e
1 2
1 2
2
2
3
6
4
120
1
4
是高阶小量，可忽略不计
一般公式的推算
在外电场中，不计电子自旋和相对论效应，氢原子的哈密顿量为：
其中
H0
是无外电场时H氢原子H的0哈密H顿量' ，H’时电子在外电场中的势能，且 H ' e r cos
H’是一个小量，称为微扰。 是外电场的大小，H0 的本征函数和能量为：
nlm 2an2
4
1 l
l
m
m
!
!
Pl
m
cos
exp
im
Pm
（4） l
x
1 2l l!
l x2
d m lm 2 dxl m
x2 1 l
现在演示如何求 510
500 R50Y00
由公式（3）得：
Y00 10
(240(01)(00)!0)!P00 (cos ) expi 0
1
4
P00
(cos
由公式（2）得：
F
4,
2,
1
4 2
44 1 2!22 1
2
4 4 1 3!22 1
4 2 2 2
3
1 2 2 3 4
2 6 120
故推得：
R50
2
33
5 2 a0 2
e
1 2
1 2
2
2
3
6
4
120
根据以上计算有：
R50
2
33
5 2 a0 2
e
1 2
1
2
2 2
3 6
4 120
氢原子能级裂距正比于外电场，称为一级斯塔克效应。 能级n分裂数为2n-1
申老师教导我们：
n增大时，计算量的增加将与n的二次 方正相关！
今天我们就将在实践中实践这一伟大的警示！
。 教材P367第四版已经介绍了 n=2 能级由 斯塔克效应引起的能级分裂
试看我们如何计算出n=5能级的一级微扰的能量修正。