北理工 概率论 田第10讲(2012)
北京理工大学《概率论与数理统计》课件-第4章随机变量的数字特征
北京理工大学《概率论与数理统计》分布函数能够完整地描述随机变量的统计特性，但在某些实际问题中，不需要全面考查随机变量的变化，只需知道它的随机变量的某些数字特征也就够了.评定某企业的经营能力时，只要知道该企业例如：年平均赢利水平研究水稻品种优劣时，我们关心的是稻穗的平均粒数及平均重量考察一射手的水平，既要看他的平均环数是否高，还要看他弹着点的范围是否小，即数据的波动是否小.由上面的例子看到，平均盈利水平、平均粒数、平均环数、数据的波动大小等，都是与随机变量有关的某个数值，能清晰地描述随机变量在某些方面的重要特征，这些数字特征在理论和实践上都具有重要意义.另一方面，对于一些常用的重要分布，如二项分布、泊松分布、指数分布、正态分布等，其中的参数恰好就是某些数字特征，因此，只要知道了这些数字特征，就能完全确定其具体的分布.第四章随机变量的数字特征4.1随机变量的平均取值——数学期望4.2随机变量取值平均偏离平均值的情况——方差4.3 描述两个随机变量之间的某种关系的数——协方差与相关系数4.1 数学期望一离散型随机变量的数学期望二连续型随机变量的数学期望三常见分布的数学期望四随机变量函数的数学期望五数学期望的性质六、数学期望的应用一离散型随机变量的数学期望引例射击问题设某射击手在同样的条件下,瞄准靶子相继射击90次,(命中的环数是一个随机变量).射中次数记录如下命中环数Y0 1 2 3 4 5命中次数n k 2 13 15 10 20 30频率n k/n2/90 13/90 15/90 10/90 20/90 30/90试问:该射手每次射击平均命中靶多少环?解：平均命中环数这是以频率为权的加权平均命中环数Y0 1 2 3 4 5命中次数n k2 13 15 10 20 30频率n k /n 2/90 13/90 15/90 10/90 20/90 30/900211321531042053090×+×+×+×+×+×=21315102030012345909090909090=×+×+×+×+×+×50k k n k n =⋅∑ 3.37.==射中靶的总环数射击次数平均射中环数频率随机波动随机波动“平均射中环数”的稳定值?=由频率的稳定性知：当n 很大时：频率n k /n 稳定于概率p k 稳定于50k k n k n =⋅∑50k k k p =⋅∑50k k n k n =⋅∑“平均射中环数”等于射中环数的可能值与其概率之积的累加定义1 设X 是离散型随机变量，它的概率分布是:P {X =x k }=p k , k =1,2,…如果绝对收敛,则称它为X 的数学期望或均值.记为E (X ), 即如果发散，则称X 的数学期望不存在.1k k k x p ∞=∑1()k k k E X x p ∞==∑1||k k k x p∞=∑注意：随机变量的数学期望的本质就是加权平均数，它是一个数，不再是随机变量.注1：随机变量X 的数学期望完全是由它的概率分布确定的，而不应受X 的可能取值的排列次序的影响，因此要求绝对收敛1k k k xp ∞=<+∞∑11111(1)1ln 2234212n n−+−++−→− 1111111(2)1ln 22436852−−+−−+→注2.E (X )是一个实数，而非随机变量，它是一种以概率为权的加权平均，与一般的算术平均值不同，它从本质上体现了随机变量X 取可能值的真正的平均值，也称均值.当随机变量X 取各个可能值是等概率分布时，X 的期望值与算术平均值相等.假设X 1P80 85 90 1/4 1/4 1/21()800.25850.25+900.586.25E X =×+××=X 2P80 85 901/3 1/3 1/32()85.E X =注3.数学期望E(X)完全由随机变量X的概率分布确定，若X服从某一分布，也称E(X)是这一分布的数学期望.乙射手甲射手例1.甲、乙两个射击手，他们射击的分布律如下表所示，问：甲和乙谁的技术更好?击中环数8 9 10概率0.3 0.1 0.6击中环数8 9 10概率0.2 0.5 0.3单从分布列看不出好坏，解：设甲，乙两个射击手击中的环数分别为X 1，X 2E (X 1)=8×0.3+9×0.1+10×0.6=9.3（环）E (X 2)=8×0.2+9×0.5+10×0.3=9.1（环）例2.1654年职业赌徒德.梅尔向法国数学家帕斯卡提出一个使他苦恼很久的分赌本问题：甲、乙两赌徒赌技相同，各出赌注50法郎，每局中无平局.他们约定，谁先赢三局，则得到全部100法郎的赌本.当甲赢了2局，乙赢了1局时，因故要中止赌博.现问这100法郎如何分才算公平？解：假如比赛继续进行下去，直到结束为止. 则需要2局.这时，可能的结果为：甲甲，甲乙，乙甲，乙乙即：甲赢得赌局的概率为3/4，而乙赢的概率为1/4.设：X、Y分别表示甲和乙得到的赌金数. 则分布律分别为：X0 100 P1/4 3/4Y0 100 P3/4 1/4这时，可能的结果为：甲甲，甲乙，乙甲，乙乙即：甲赢得赌局的概率为3/4，而乙赢的概率为1/4.E(X)=0×1/4+100×3/4=75E(Y)=0×3/4+100×1/4=25即甲、乙应该按照3：1的比例分配全部的赌本.例3.确定投资决策方向?某人有10万元现金,想投资于某项目,预估成功的机会为30%,可得利润8万元,失败的机会为70%,将损失2万元.若存入银行,同期间的利率为5%,问是否做此项投资?解：设X 为此项投资的利润，则存入银行的利息：故应该选择该项投资.(注：投资有风险，投资须谨慎)X 8 −2P0.3 0.7此项投资的平均利润为：E (X )=8×0.3+(−2)×0.7=1(万元)10×0.05=0.5(万元)设X 是连续型随机变量，密度函数为f (x ).问题：如何寻找一个体现随机变量平均值的量.将X 离散化.二、连续型随机变量的数学期望在数轴上取等分点：…x −2<x −1<x 0<x 1<x 2<…x k +1−x k =∆x ，k =0,±1,….，并设x k 都是f (x )的连续点.则小区间[x i ,x i+1)阴影面积近似为f (x i )∆x i1()i x x f x dx+=∫()i f x x≈∆P {x i <X ≤x i +1}定义一个离散型随机变量X *如下：其数学期望存在，且绝对收敛时，P {X *=x i }=P {x i ≤X <x i +1} ≈f (x i )∆x对于X *，当当分点越来越密，即∆x →0时，可以认为X *=x i 当且仅当x i ≤X <x i +1(*)i i ix P X x =∑(*){*}i i iE X x P X x ==∑()i i ix f x x ≈∆∑0=lim ()i i x ix f x x ∆→∆∑则其分布律为E (X *) →E (X ) *0=lim x EX EX ∆→即有：+()xf x dx∞−∞=∫定义2：设X 是连续型随机变量，其密度函数为f (x )，如果绝对收敛，则称的值为X 的数学期望，如果积分发散，则称随机变量X 的数学期望不存在.+()xf x dx ∞−∞∫+||()x f x dx∞−∞∫即+()()E X xf x dx∞−∞=∫+()xf x dx ∞−∞∫记为E (X ).注意：随机变量的数学期望的本质就是加权平均数，它是一个数，不再是随机变量.三、常见分布的数学期望1.0−1分布设随机变量X服从参数为p的0−1分布，求EX.解：X的分布律为X0 1P1−p p则：E(X)=0×P{X=0}+1×P{X=1}=P{X=1}=p概率是数学期望的特例(第五章)2.二项分布X 的分布律为P {X =k }=C n k p k (1−p )n−k ,k =0,1,…,n .解：设随机变量X ~b (n ,p )，求EX .0{}nk EX kP X k ==∑0(1)n k k n k n k kC p p −=−∑1!(1)!()!n k n kk n k p p k n k −=−−∑1(1)(1)1(1)!(1)(1)!()!nk n k k n np p p k n k −−−−=−−−−∑11(1)1(1)n l k l ln ln l np Cp p −=−−−−=−∑1[(1)]n np p p −=+−np=抛掷一枚均匀硬币100次，能期望得到多少次正面3.泊松分布则解：X 的分布律为设随机变量X ~π(λ)，求EX .{},0,1,2,!kP X k e k k λλ−=== 00(){}!k k k e E X kP X k k k λλ−∞∞=====∑∑11(1)!k k ek λλλ−∞−==−∑1!ii k i e i λλλ∞=−−=∑=e e λλλλ−=1!k k e k k λλ−∞==∑泊松分布的参数是λ4.几何分布解：X 的分布律为P {X =k }=q k −1p ,k =1,2,….p+q =1设随机变量X 服从参数为p 的几何分布，求EX .111(){}k k k E X kP Xk k pq∞∞−=====⋅∑∑11k k p k q∞−=⋅∑1=()kk p q ∞=′∑1=()k k p q ∞=′∑()1q p q′=−211(1)p q p=−重复掷一颗骰子平均掷多少次才能第一次出现6点设X ~U (a , b )，求E (X ).解：X 的概率密度为：X 的数学期望为：数学期望位于区间(a ,b )的中点.5.均匀分布1()0a xb f x b a<<=− 其它()()2bax a b E X xf x dx dx b a +∞−∞+===−∫∫设X 服从指数分布，求E (X ).分部积分法6.指数分布当概率密度表示为：对应的数学期望为θ.,0()0,x e x f x x λλ− >=≤ 0xxedx λλ+∞−=∫()()E X xf x dx +∞−∞=∫1λ=1,0()0,0xe xf x x θθ− > = ≤解：X 的概率密度为：设X ~N (μ,σ2)，求E (X ).解：X 的概率密度为被积函数为奇函数，故此项积分为0.7.正态分布22()21()2x f x eµσπσ−−=()()E X xf x dx +∞−∞=∫22()212x xedxµσπσ−+∞−−∞=∫221()2x t t t edtµσσµπ−=+∞−−∞+∫ 2222122t t tedt edt σµππ+∞+∞−−−∞−∞+∫∫µ=N (0,1)的密度函数积分为1.注意：不是所有的随机变量都有数学期望例如：Cauchy 分布的密度函数为但发散故其数学期望不存在.21(),(1)f x x x π=−∞<<+∞+2||||()(1)x x f x dx dx x π+∞+∞−∞−∞=+∫∫四随机变量函数的数学期望设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不是X的期望，而是X的某个函数的期望，比如说g(X)的期望. 那么应该如何计算呢？一种方法是，因为g(X)也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出来. 一旦我们知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定义把E[g(X)]计算出来.例4.某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款的方式，记该种电器的使用寿命为X (以年计)，规定：X ≤1,一台付款1500元；1<X ≤2，一台付款2000元2<X ≤3，一台付款2500元；X >3，一台付款3000元设X 服从指数分布，且平均寿命为10年，求该商店一台电器的平均收费.解：设该商店一台电器的收费为Y .要求E (Y )X 的分布函数为：1101,()0,0x e x F x x − −>=≤设该商店一台电器的收费为YX ≤1，一台付款1500元1 <X ≤2，一台付款2000元2 <X ≤3，一台付款2500元X >3，一台付款3000元1101,0()0,0x ex F x x − −>=≤P {Y =1500}=P {X ≤1}=F (1)=1−e −0.1=0.0952P {Y =2000}=P {1<X ≤2}=F (2)−F (1)=0.0861P {Y =2500}=P {2<X ≤3}=F (3)−F (2)=0.0779P {Y =3000}=P {X >3}=1−F (3)=0.7408设X 服从指数分布，且平均寿命为10年.Y 的分布律为所以该商店一台电器的平均收费，即Y 的数学期望为Y 1500 2000 2500 3000P0.0952 0.0861 0.0779 0.7408()15000.095220000.086125000.0779 30000.74082732.15E Y =×+×+×+×=使用上述方法必须先求出g(X)的分布，有时这一步骤是比较复杂的.那么是否可以不先求g(X)的分布，而只根据X的分布求E[g(X)]呢？例5.设离散型随机变量X 的概率分布如下表所示,求:Z=X 2的期望.X−11P214141E (Z )= g (0)×0.5+g (-1)×0.25+g (1)×0.25解:=0.5注:这里的.)(2x x g =(1)当X 为离散型随机变量时，分布律为P {X = x k }=p k ，k =1,2,⋯(2)当X 为连续型随机变量时，概率密度函数为f (x ).定理：设Y 是随机变量X 的函数，Y =g (X )(g 是连续函数)若级数绝对收敛，则有若积分绝对收敛，则有1()[()]()kkk E Y E g X g x p∞===∑()[()]()()E Y E g X g x f x dx+∞==∫1()k k k g x p ∞=∑()()g x f x dx+∞−∞∫该公式的重要性在于：当求E [g (X )]时，不必知道g (X )的分布，而只需知道X 的分布就可以了，这给求随机变量函数的期望带来很大方便.k k k g x p X E Y E g X g x f x dx X 1(),()[()]()(),∞=+∞−∞== ∑∫离散型连续型例6.设随机变量X~b(n, p)，Y=e aX，求E(Y).解：因为X的分布律为所以有{}(1), 0,1,...,k k n knP X k C p p k n−==−= ()E Y=(1)nak k k n knke C p p−=−∑()(1)nk a k n knkC e p p−=−∑[(1)]a npe p=+−={}nakke P X k==∑例7.设X ~U [0,π]，Y=sinX ，求E (Y ).解：因为X 的概率密度为所以有1,0()0,x f x ππ≤≤ =其他()sin ()E Y xf x dx +∞−∞=∫01sin x dx ππ⋅∫2π=定理：设Z 是随机变量X 和Y 的函数，Z =g (X,Y )(g 是连续函数),Z 是一维随机变量(1)若(X,Y )是二维离散型随机变量，概率分布为(2)若(X,Y )是二维连续型随机变量，概率密度为f (x, y )，则有这里假定上两式右边的积分或级数都绝对收敛11()[(,)](,)ijijj i E Z E g X Y g x y p∞∞====∑∑()[(,)](,)(,)E Z E g X Y g x y f x y dxdy+∞+∞−∞−∞==∫∫{,},,1,2,i j ij P X x Y y p i j ====则有几个常用的公式()[(,)](,)(,)E Z E g X Y g x y f x y dxdy+∞+∞−∞−∞==∫∫(,)EX xf x y dxdy+∞+∞−∞−∞=∫∫(,)EY yf x y dxdy+∞+∞−∞−∞=∫∫22()(,)E Y y f x y dxdy+∞+∞−∞−∞=∫∫22()(,)E X x f x y dxdy+∞+∞−∞−∞=∫∫()(,)E XY xyf x y dxdy+∞+∞−∞−∞=∫∫例8.设二维随机变量(X ,Y )的密度函数为求E (X ),E (Y ),E (X +Y ),E (XY ).解：21(13),02,01,(,)40,x y x y f x y +<<<< =其它()(,)E X xf x y dxdy+∞+∞−∞−∞=∫∫212001(13)4x xdx y dy =⋅+∫∫43=()(,)E Y yf x y dxdy+∞+∞−∞−∞=∫∫212001(13)4xdx y y dy +∫∫58=数学期望的性质注意：X ,Y 相互独立()()(,)E X Y x y f x y dxdy+∞+∞−∞−∞+=+∫∫(,)(,)xf x y dxdy yf x y dxdy+∞+∞+∞+∞−∞−∞−∞−∞+∫∫∫∫()()E X E Y +45473824=+=()(,)E XY xyf x y dxdy +∞+∞−∞−∞=∫∫2120011(13)22x xdx y y dy=⋅⋅+∫∫455386=⋅=()()E X E Y ⋅设X =(X 1,…, X n )为离散型随机向量，概率分布为≥ 1nnj j j j n P X =x ,,x =p ,j ,,j .11{()}1Z = g (X 1,…, X n ),若级数绝对收敛，则.<∞∑ nnnj j j j j j g x ,,x p 111()=∑ nnnn j j j jj j E Z =E g X ,,X g x ,,x p 1111()(())()设X =(X 1,…, X n )为连续型随机向量，联合密度函数为 n f x x 1(,,)Z = g (X 1,…, X n ),若积分绝对收敛，则+∞+∞−∞−∞∫∫n n ng x x f x x x x 111(,,)(,,)d d n E Z E g X X 1()=((,,))+∞+∞−∞−∞=∫∫n n ng x x f x x x x 111(,,)(,,)d d五数学期望的性质1.设C 是常数，则E (C )=C 4.设X 、Y 相互独立，则E (XY )=E (X )E (Y );2.若k 是常数，则E (kX )=kE (X )3.E (X +Y )=E (X )+E (Y )注意:由E (XY )=E (X )E (Y )不一定能推出X ,Y 独立推广(诸X i 相互独立时)推广11[]()nni i i i i i E C X C E X ===∑∑11[]()n ni i i i E X E X ===∏∏性质4 的逆命题不成立，即若E (X Y ) = E (X )E (Y )，X ,Y 不一定相互独立.反例XY p ij -1 0 1-10181818181818181810p • j838382p i•838382X Y P-1 0 1828284EX EY ==0;E XY ()=0;=E XY EX EY ()但P X Y 1{=-1,=-1}=8≠=P X P Y 23{=-1}{=-1}8××=30+2103-3+5=92X XY Y X XY Y E(3+2-+5)=3E()+2E()-E()+E(5)性质2和3×××EX EY =310+2-3+5性质4例9.设X ～N (10,4)，Y ～U [1,5]，且X 与Y 相互独立，求E (3X ＋2XY －Y ＋5).解：由已知，有E (X )＝10, E (Y )＝3.例10: 设X 1 , X 2…,X n 相互独立且都服从B (1, p ),求Z = X 1 + X 2+…+X n 的数学期望E (Z ).解:注: 由二项分布的可加性易知Z = X 1 + X 2+…+X n ～B (n, p ).EZ = E (X 1 + X 2+…+X n )= E (X 1 ) +E ( X 2)+…+E (X n )= p +p +…+p =n p求二项分布的数学期望的又一种方法.例11.（超几何分布的数学期望）设一批同类型的产品共有N 件，其中次品有M 件.今从中任取n (假定n ≤N −M )件，记这n 件中所含的次品数为X ，求E (X ).则有所以解: 引入X ＝X 1+X 2+…+X n且易知抽签模型，概率与试验次数无关例10和例11：将X 分解成数个随机变量之和，然后利用随机变量和的期望等于期望的和这一性质，此方法具有一定的意义.1,,1,2,,0,i i X i n i ==第件是次品第件不是次品iMP X N{1}==1()ni i EX E X ==∑ni i P X 1{1}==∑1ni M N ==∑nM N =为普查某种疾病，N 个人需验血.有如下两种验血方案：（1）分别化验每个人的血，共需化验N 次；（2）分组化验.每k 个人分为1组，k 个人的血混在一起化验，若结果为阴性，则只需化验一次；若为阳性，则对k 个人的血逐个化验，找出有病者，此时k 个人的血需化验k+1次.设每个人血液化验呈阳性的概率为p ，且每个人化验结果是相互独立的.试说明选择哪一方案较经济.验血方案的选择例13.六、数学期望的应用解：只需计算方案(2)所需化验次数X 的期望.。
北理工《概率论与数理统计》期末考试精选题汇总【含答案解析】 85
一.填空题1. 一盒子中有20个相同型号的产品，其中有15个一等品，其余为二等品，今从盒子中任取一个产品，则此产品为二等品的概率为 .答 案：知 识 点：古典概率的计算难度系数：12. 设A 、B 为不相容的两个随机事件，且P (A )=0.2, P (B )=0.5，则P (AB )= , ()P A B = .答 案：0, 0.7知 识 点：随机事件概率的性质难度系数：23. 一个袋子中有红球6个，白球4个，从中任取一个球，则取得红球的概率为 .答 案：知 识 点：古典概率的计算难度系数：14. 设A 、B 为互相独立的随机事件，P (A )=0.4, P (B )=0.7，则P (AB )= ,()P A B = .答 案：0.28， 0.82知 识 点：概率的公理化性质难度系数：25. 已知()()4070.B A P ,.A P =-=，则()=AB P 。
答 案：0.3知 识 点：概率性质难度系数：26. 设连续型随机变量X ~N (,2)，则P (X >)= .答 案： 知 识 点：常见的连续型随机变量的性质 难度系数：27. 若X 是连续型随机变量，则对任常数C 有()==C X P 。
答 案： 0知 识 点：连续型随机变量的性质 难度系数：28. 设随机变量X 的概率密度函数(),020,Acosx x f x π⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩；其它。
则应有=A 。
答 案：知 识 点：概率密度函数的性质 难度系数：29. 设连续型随机变量X 的分布函数为()20,1;,12;1,2.x F x Ax x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩则常数=A 。
答 案： 41知 识 点：分布函数的性质难度系数：210. 已知随机变量X 服从正态分布()110,N ，若()50.a X P =≤，则=a 。
(白)(北理工教材)Y-第1章-3动量,角动量
(2) 说明天体系统的旋转盘状结构.
v
r
O
B S
A r
[证明]
(1) 行星对太阳O 的角动量的大小为L r p rmvsin
其中 是径矢 r 与行星的动量 p 或速度 v 之间的夹角.
用 s 表示 t 时间内行星所走过的弧长, 则有
相对 绝对 牵连
dv
F外 m dt
u' v dm dt
m dv dm v u' dm
dt dt
dt
F外
d mv
dt
u'
dm dt
当分离体 相对速度
u 0
F外
m
dv dt
ma
当分离体 绝对速度
u' 0
d mv
F外 dt
空间各点对物理规律是彼此等价的。 孤立系统的质心速度不变，这正是动量守恒定律。
例4.求如图匀质软绳下落L时的速度
光滑
解： 设下落部分绳质量m
0
d[(M m) 0 mv] mgdt
mg d(mv) dt
xg d(xv)
dt
m x
xg d( xv) dt
L x
xv xg xv d( xv) dt
rvc
i
mivvi
rvi ' mi (vvc vvi ')
rvc
i
mi
vvi
[rvii ' mivvc ]
[rvi ' mivvi ']
概率论基础教程 原书第10版_(美)罗斯著
概率论基础教程原书第10版_(美)罗斯著介绍概率论是数学中的一个分支，研究随机现象的规律性及其概率的理论基础。
本文将介绍概率论的基础知识，主要参考了美国数学家罗斯的著作《概率论基础教程》的第10版。
概率论的应用非常广泛，涵盖了统计学、经济学、物理学、计算机科学等多个领域。
通过学习概率论，我们可以更好地理解和处理不确定性和随机性。
概率的定义概率可以简单地理解为某个事件发生的可能性。
在概率论中，概率是一个介于0和1之间的实数。
事件发生的概率为0意味着该事件不可能发生，而概率为1则表示该事件必定发生。
对于一个随机试验，所有可能结果的概率之和为1。
概率的计算方法在概率论中，我们可以使用不同的方法来计算概率。
一种常用的方法是古典概率计算法，适用于随机试验中所有可能结果都等可能发生的情况。
古典概率计算法的公式为：$P(A) = \\frac{n(A)}{n(S)}$，其中P(P)表示事件A发生的概率，P(P)表示事件A包含的基本事件的个数，P(P)表示样本空间中基本事件的总个数。
另一种常用的方法是频率概率计算法，适用于复杂的随机试验中。
频率概率计算法的公式为：$P(A) = \\frac{n(A)}{n}$，其中P(P)表示事件A发生的概率，P(P)表示事件A发生的次数，P表示试验总次数。
概率的性质概率具有以下几个重要的性质：1.非负性：概率值始终为非负数，即P(P)>=0。
2.完全性：样本空间的概率为1，即P(P)=1。
3.加法性：对于两个互斥事件A和B，它们的概率之和等于它们各自的概率的和，即$P(A \\cup B) = P(A) +P(B)$。
4.乘法性：对于两个独立事件A和B，它们同时发生的概率等于它们各自概率的乘积，即$P(A \\cap B) = P(A)\\times P(B)$。
条件概率条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
条件概率可以用P(P|P)来表示，读作“在B发生的条件下，A发生的概率”。
2020年【北京理工大学应用统计硕士】考研参考书及考试大纲
2020年【北京理工大学应用统计硕士】考研参考书及考试大纲大家好我是育明506马老师学院下设数学系、应用数学系、计算与系统科学系、概率与金融数学系、统计学系，并设有复杂信息数学表征分析与应用北京市重点实验室、数学研究所、应用数学所和数学实验中心。
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招生目录：分数线与录取情况：2019年，政治英语50，数学统计学75，总分3452018年，政治英语50，数学统计学75，总分3402017年，政治英语50，数学统计学75，总分3402019北理工统计学招生2人，应用统计硕士全日制招生8人，非全招生10人。
专业课参考书目:601、847：《数学分析教程》（上，下）高等教育出版社李忠方丽萍第1版。
《数学分析》（上，下）高等教育出版社陈纪修於崇华金路第2版《高等代数》（第二版，上、下册），丘维声，高等教育出版社，2002年7月432：《统计学》贾俊平、何晓群、金勇进，中国人民大学出版，第三版《概率论与数理统计教程》茆诗松、程依明（第三版）高等教育出版社复试详情：1.外语听力、口语测试外语听力50分、口语测试50分，共占复试成绩的20%；2.专业知识笔试：总分100分，时间2小时（应用统计专硕另有2小时上机考试），占复试成绩的20%；3.综合面试：总分100分，占复试成绩的60%；面试时间不少于20分钟；总成绩核算方式：考生总成绩=初试总成绩x50%+(复试成绩x5)x50%432统计学考试大纲：I考查目标全国硕士研究生入学统一考试应用统计硕士专业学位《统计学》考试是为高等院校和科研院所招收应用统计硕士生儿设置的具有选拔性质的考试科目。
自考本科《概率论与数理统计》2012年10月真题 讲解 答案.
2012年10月真题讲解一、前言学员朋友们，你们好！现在，对《全国2012年10月高等教育自学考试概率论与数理统计（经管类）试题》进行必要的分析，并详细解答，供学员朋友们学习和应试参考。
三点建议：一是在听取本次串讲前，请对课本内容进行一次较全面的复习，以便取得最佳的听课效果；二是在听取本次串讲前，务必将本套试题独立地做一遍，以便了解试题考察的知识点，与以及个人对课程全部内容的掌握情况，有重点的听取本次串讲；三是，在听取串讲的过程中，对重点、难点的题目，应该反复多听几遍，探求解题规律，提高解题能力。
一点说明：本次串讲所使用的课本是2006年8月第一版。
二、考点分析1.总体印象对本套试题的总体印象是：内容比较常规，有的题目比较新鲜，个别题目难度稍大。
内容比较常规：① 概率分数偏高，共74分；统计分数只占26分，与今年7月的考题基本相同，以往考题的分数分布情况稍有不同；② 除《回归分析》仅占2分外，对课本中其他各章内容都有涉及；③几乎每道题都可以在课本上找到出处。
如果粗略的把题目难度划分为易、中、难三个等级，本套试题容易的题目约占24分，中等题目约占60分，稍偏难题目约占16分，包括计算量比较大额题目。
2.考点分布按照以往的分类方法：事件与概率约18分，一维随机变量（包括数字特征）约22分，二维随机变量（包括数字特征）约30分，大数定律4分，统计量及其分布6分，参数估计6分，假设检验12分，回归分析2分。
考点分布的柱状图如下三、试题详解选择题部分一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题纸”的相应代码涂黑。
错涂、多涂或未涂均无分。
1.已知事件A，B，A∪B的概率分别为0.5，0.4，0.6，则P（A）=A.0.1B.0.2C.0.3D.0.5[答疑编号918150101]【答案】B【解析】因为，所以，而，所以，即；又由集合的加法公式P（AB）=P（A）+P（B）-P（A∪B）=0.5+0.4-0.6=0.3，所以＝0.5－0.3＝0.2，故选择B.[快解] 用Venn图可以很快得到答案：【提示】1. 本题涉及集合的运算性质：（i）交换律：A∪B=B∪A,AB=BA；（ii）结合律：（A∪B）∪C=A∪（B∪C）,（AB）C=A（BC）；（iii）分配律：（A∪B）∩C=（A∩C）∪（B∩C），（A∩B）∪C=（A∪C）∩（B∪C）；（iv）摩根律（对偶律）,.2.本题涉及互不相容事件的概念和性质：若事件A与B不能同时发生，称事件A与B互不相容或互斥，可表示为A∩B＝，且P（A∪B）=P（A）+P（B）.3.本题略难，如果考试时遇到本试题的情况，可先跳过此题，有剩余时间再考虑。
北京理工大学《概率论与数理统计》课件-第4章
解：X 的分布函数为依题意，当x <0时，当0≤x ≤2时，当x >2时，F (x )=P (X ≤x )F (x )=P (X ≤x )=0F (x )=P (X ≤x )=P (X <0)+P (0≤X ≤x )=0+kx 2=kx 2F (x )=P (X ≤x )=1例1.一个靶子是半径为2米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该盘的面积成正比，并设射击都能中靶.以X 表示弹着点与圆心的距离，试求随机变量X 的分布函数.当0≤x ≤2时，F (x )=P (X ≤x )=kx 2另外依题意F (2)=P (X ≤2)=k.22=1所以k 14=x x F x x x 20,0(),0241,2<⎧⎪⎪=≤≤⎨⎪>⎪⎩10.80.60.40.2-0.2-2-101234解得说明，存在一个非负可积函数f (x )，使得下式成立易知x x F x x x 20,0(),0241,2<⎧⎪⎪=≤≤⎨⎪>⎪⎩x x F x f x ,02()()20⎧≤≤⎪'==⎨⎪⎩其他()()xF x f t dt-∞=⎰1.定义：设随机变量X 的分布函数为F (x )，如果存在一个非负可积函数f (x )，使对任意的实数x ，均有则称X 是连续型随机变量(Continuous Random Variable )，称f (x )是X 的概率密度函数，简称概率密度(Probability Density Function ).()()xF x f t dt-∞=⎰连续型随机变量X的分布函数F(x)和概率密度f(x)统称为X的概率分布，简称X的分布.易知此时分布函数F(x)是连续函数，即连续型随机变量的分布是连续函数.2.概率密度函数的性质（1）f (x ) ≥ 0（2）这两条性质是判定一个函数f (x )是否为某r.v.X 的概率密度函数的充要条件.f (x )xo 面积为1+()1f x dx ∞-∞=⎰（3）P (a <X ≤b )=F (b )-F (a )如 f (x )xo a b （4）()()GP X G f x dx∈=⎰()()b a f x dx f x dx -∞-∞=-⎰⎰()baf x dx =⎰()()a P X a f x dx+∞>=⎰（5）在f (x )的连续点x 处，有f (x )=F '(x )（6）设x 为f (x )的连续点，当∆x 较小，则有P (x< X ≤x+∆x )故X 的密度f (x )在x 这一点的值，恰好是X 落在区间(x ,x +∆x ]上的概率与区间长度∆x 之比.它反映了X 在x 附近单位长区间上取值的概率.x xx f t dt f x x()()+∆=≈⎰∆连续型随机变量密度函数的性质与离散型随机变量分布律的性质非常相似，但是，密度函数不是概率！（7）P (X =x 0)=F (x 0)-F (x 0-0)P (a <X ≤b )=P (a ≤X ≤b )=P (a <X <b )=P (a ≤X <b )密度函数f (x )在某点处a 的函数值f (a )，并不等于X 取值为a 的概率.但是，这个值f (a )越大，则X 在a 附近取值的概率f (a )∆x 就越大.也可以说，在某点密度曲线的函数值反映了概率集中在该点附近的程度，即X 在该点附近取值的密集程度.=0()ba f x dx=⎰=F (b )-F (a )若X 为连续型随机变量，概率密度f (x )唯一确定了分布函数F (x )；若随机变量X 的分布函数F (x )满足：(1)F (x )连续；(2)存在x 1<x 2<…<x n (n ≥0)，除这些点外，F (x )可导，且导函数F '(x )连续；令F x F x f x F x (),()()0,()''⎧=⎨'⎩当存在当不存在则f (x )必是X 的概率密度.例2.设随机变量X 的概率密度为求(1)常数k 的值；(2)X 的分布函数；(3)P (1<X <7/2).解：(1)由解得kx x f x x x ,03()2/2,340,≤<⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩其他+1()f x dx ∞-∞=⎰3403(2)2x kxdx dx =+-⎰⎰k 16=k 9124=+解:(2)当x <0时，当0≤x <3时，当3≤x <4时，020()()0612x x t x F x f t dt dt dt -∞-∞==+=⎰⎰⎰03203()()0(2)32624x xt t x F x f t dt dt dt dt x -∞-∞==++-=-+-⎰⎰⎰⎰()()0x F x f t dt -∞==⎰求（2）X 的分布函数；()()xF x f t dt-∞=⎰6,03()2/2,340,x x f x x x ≤<⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩其他当x ≥4时，所以()()1xF x f t dt -∞==⎰x x x F x x x x x 220,0/12,03()32/4,341,4<⎧⎪≤<⎪=⎨-+-≤<⎪⎪≥⎩求（2）X 的分布函数；6,03()2/2,340,x x f x x x ≤<⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩其他P X F F 7741(1)()(1)2248<<=-=72723113741(1)()(2)26248x x P X f x dx dx dx <<==+-=⎰⎰⎰求(3)P (1<X <7/2)解:(3)6,03()2/2,340,x x f x x x ≤<⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩其他在上例中，当x ∉[0,4]时，f (x )=0，所以P (X ∉[0,4])=0，为了方便，我们说X 只在[0,4]上取值.g x a x b f x ()0,()0,>≤≤⎧=⎨⎩其他我们就说X 只在[a , b ]上取值.一般地，若随机变量X 的概率密度f (x )是如下分段函数：6,03()2/2,340,x x f x x x ≤<⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩其他例3.设连续型随机变量X 的分布函数为求(1)常数C 值；(2)X 取值于(0.3,0.7)内的概率；(3)X 的密度函数.解：(1)应用连续型随机变量X 的分布函数的连续性，有所以C =1x F x Cx x x 20,0(),011,1<⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩x F F x C11(1)lim ()→-===x x f x F x 2,01()()0,<<⎧'==⎨⎩其他解：20,0(),011,1x F x x x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩(2)P (0.3<X <0.7)=F (0.7)−F (0.3)=0.72−0.32=0.4求(2)P (0.3<X <0.7);(3)X 的密度函数.(3)随机变量的分类：离散型随机变量连续型随机变量.非离散型随机变量非连续非离散型随机变量.（1）若随机变量X 的概率密度为1.均匀分布(Uniform Distribution )则称X 在[a , b ]上服从均匀分布，记为X~U [a , b ]1,()0,a x b f x b a ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩其他[,]1a b I b a =-[,][,]1,[,]()0,[,]a b a b x a b I I x x a b ∈⎧==⎨∉⎩区间[a ,b ]上的示性函数类似地，我们可以定义区间[a , b )、(a , b ]和(a , b )上的均匀分布一般地，设D 是数轴上一些不相交的区间之和，若X 的概率密度为x D f x D x D 1()0⎧∈⎪=⎨⎪∉⎩，的长度，则称X 在D 上服从均匀分布.若X ~U [a , b ]，X 的分布函数为对于满足a ≤c <d ≤b 的任意的c 、d ，有0(),1,x a x a F x a x bb a<⎧⎪-⎪=≤≤⎨-⎪⎪⎩，其他()d c P c X d b a-<≤=-例1.设公共汽车站从上午7时起每隔15分钟来一班车，如果某乘客到达此站的时间是7:00到7:30之间的均匀随机变量.试求该乘客候车时间不超过5分钟的概率.解：设该乘客于7时X 到达此站，则X 服从[0, 30]上的均匀分布令B ={候车时间不超过5分钟}1530102511130303dx dx =+=⎰⎰()(1015)(2530)P B P X P X =≤≤+≤≤1030()300x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它2.指数分布(Exponential Distribution )若随机变量X 的概率密度为其中常数λ>0，则称X 服从参数为λ的指数分布.,0()0,0x e x f x x λλ-⎧>=⎨≤⎩易求得X 的分布函数为1,0()0,0x e x F x x λ-⎧->=⎨≤⎩指数分布的另一种等价定义定义：设连续型随机变量X 的概率密度为1,0()0,0x e x f x x θθ-⎧>⎪=⎨⎪≤⎩其中θ>0为常数，则称X 服从参数为θ的指数分布.服从指数分布的随机变量X 具有以下性质：事实上无记忆性或无后效性(|)()P X s t X s P X t >+>=>(,)(|)()P X s t X s P X s t X s P X s >+>>+>=>()()P X s t P X s >+=>1()1()F s t F s -+=-()s t t s e e e λλλ-+--==1()()F t P X t =-=>1,0()0,0x e x F x x λ-⎧->=⎨≤⎩即对于任意s , t >0，有如果X 表示某仪器的工作寿命，无后效性的解释是：当仪器工作了s 小时后再能继续工作t 小时的概率等于该仪器刚开始就能工作t 小时的概率.说明该仪器的使用寿命不随使用时间的增加发生变化，或说仪器是“永葆青春”的.(|)()P X s t X s P X t >+>=>一般来说，电子元件等具备这种性质，它们本身的老化是可以忽略不计的，造成损坏的原因是意外的高电压等等.3.正态分布(Normal Distribution )若随机变量X 的概率密度为其中μ, σ均为常数，且σ>0，则称X 服从参数为μ和σ的正态分布.记作X ~N (μ, σ2)正态分布最初由高斯（Gauss ）在研究偏差理论时发现，又叫高斯分布.22()21(),2x f x e x μσσπ--=-∞<<∞X 的分布函数为22()21()2t xF x e dtμσσπ---∞=⎰N (10, 32)0-50.10.20.30.40.50.60.70.80.910510152025正态分布N(μ,σ2)密度函数图形的特点f(x)μa.正态分布的密度曲线是一条关于μ对称的钟形曲线.f(μ+c)=f(μ−c )特点是“两头小，中间大，左右对称”.b .μ决定了图形的中心位置，称为位置参数；σ决定了图形中峰的陡峭程度，称为形状参数或者刻度参数μ2μ1μ3x f (x )f (x )0xc .在x =μ处达到最大值：1()2f μπσ=d .曲线f (x )向左右伸展时，越来越贴近x 轴，即f (x )以x 轴为渐近线.当x →±∞时，f (x )→0e .x=μ±σ为f (x )的两个拐点的横坐标.说明X 落在μ附件的概率最大，或者说X 的取值在μ附件最密集.22()21(),2x f x e x μσσπ--=-∞<<∞μf (x )年降雨量、同龄人身高、在正常条件下各种产品的质量指标——如零件的尺寸；纤维的强度和张力、农作物的产量，小麦的穗长、株高、测量误差、射击目标的水平或垂直偏差、信号噪声等等，都服从或近似服从正态分布.标准正态分布(Standard Normal Distribution )μ=0，σ=1的正态分布称为标准正态分布.其密度函数和分布函数常用φ(x )和Ф(x )表示：)(x Φ)(x ϕ221(),2x x e x ϕπ-=-∞<<∞221()2t x x e dt π--∞Φ=⎰注意：Φ(0)=0.5,Φ(-x )=1-Φ(x )若X ~N (0, 1)，对任意的实数x 1，x 2(x 1< x 2)，有人们已编制了Φ(x )的函数表，可供查用.P (X≤x 1)=Φ(x 1)P (X>x 1)=1-Φ(x 1)P (x 1≤X≤x 2)=Φ(x 2)-Φ(x 1)221()2x t x e dt π--∞Φ=⎰−x x Φ(x )x4-40.40.2正态分布的计算()x μσ-=Φ对任意的实数x 1，x 2(x 1< x 2)，有211221()()()()()x x P x X x F x F x μμσσ--<≤=-=Φ-Φ222()()22()22x t xu F x e dt e du μσμσπσπ-----∞-∞==⎰⎰111()()()x P X x F x μσ-≤==Φ111()1()1()x P X x F x μσ->=-=-Φ例2.设X ~N (μ,σ2)，求P (|X −μ|<k σ)的值，k =1, 2, 3.解：当k =1时当k =2时当k =3时(||)()P X k P k X k μσμσμσ-<=-<<+()()F k F k μσμσ=+--()()k k μσμμσμσσ+---=Φ-Φ()()k k =Φ-Φ-()[1()]2()1k k k =Φ--Φ=Φ-(||)2(1)10.6826P X μσ-<=Φ-=(||2)2(2)10.9544P X μσ-<=Φ-=(||3)2(3)10.9974P X μσ-<=Φ-=质量控制中的3σ原则设在正常生产的情况下，某零件的尺寸X服从正态分布N(μ,σ2)，为了在生产过程中随时检查有无系统性误差出现，人们画了一个质量控制图.每隔一定时间，对产品尺寸进行检查，测量的产品的尺寸应落在上、下控制线之内.如果超出控制线，则很有可能是生产出现了异常情况，应该暂停生产进行检查.当然也可能虚报，但虚报的可能性比较小.214y x=π因此，需要求某些随机变量的函数的分布.在某些实际问题中，我们所关心的随机变量不能直接测量得到，而它却是某个能够直接测量的随机变量的函数.例如，考察一批圆轴的截面面积Y ，我们能够直接测量的是直径X ，且当直径X 取x 值时，截面面积Y 的取值为一般地，设X、Y是两个随机变量，y=g(x)是一个已知函数，如果当X取值x时，Y取值为g(x)，则称Y是随机变量X的函数，记为Y=g(X).问题是：如何由已知的随机变量X的概率分布去求它的函数Y=g(X)的概率分布.解：求Y =(X –1)2的分布律.Y 所有可能的取值为0，1，4，而且(0)(1)0.1P Y P X ====(1)(0)(2)0.7P Y P X P X ===+==(4)(1)0.2P Y P X ===-=例1.设随机变量X 的分布律为X −10 1 2P0.20.3 0.1 0.4一、离散型随机变量X 的函数Y =g (X )的分布所以，Y 的分布律为Y0 1 4P0.10.7 0.2X−1 0 1 2 Y= (X–1)24101 P0.20.3 0.1 0.4所以，Y 的分布律为Y0 1 4P0.10.7 0.2一般地，若X 的分布律为则Y =g (X )的分布律为如果g (x k )中有一些值是相等的，则它们是Y 可能取的同一个值.此时，在Y 的分布律中，只需列出一个，然后把对应于这些相同值的概率相加，作为Y 取这个可能值的概率.X x 1 x 2 … x k …Pp 1 p 2 … p k…Y g (x 1) g (x 2)… g (x k ) …Pp 1 p 2 … p k…二、连续型随机变量X 的函数Y =g (X )的分布例2.设随机变量X 的概率密度为令求Y 的分布.解：2,01()0,x x f x <<⎧=⎨⎩其他1,1/20,1/2X Y X ≤⎧=⎨>⎩(1)P Y =(1/2)P X =≤1/2124xdx ==⎰所以Y 的分布为13(0)1(1)144P Y P Y ==-==-=Y0 1P 3/4 1/4例3.设连续型随机变量X 的概率密度函数为求Y =2X +8的概率密度.解：设X 和Y 的分布函数分别为F X (x )和F Y (y ).F Y (y )=P (Y≤y )=P (2X +8≤y )于是Y 的密度函数/8,04()0,X x x f x <<⎧=⎨⎩其它88()()22X y y P X F --=≤=()81()()22Y Y X dF y y f y f dy -==⋅故当8<y <16时，当y ≤8或y ≥16时，81()()22Y X y f y f -=⋅/8,04()0,X x x f x <<⎧=⎨⎩其它88()216X y y f --=8()02X y f -=8,816()320,Y y y f y -⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它方法：1.先求Y=g(X)分布函数F(y)；Y2.求分布函数F Y (y)的导数，即为密度函数f Y(y).关键步骤：F(y)=P(Y≤y)=P(g(X)≤y)=P(X∈D)Y。
概率论基础讲义全
概率论基础知识第一章随机事件及其概率随机事件§几个概念1、随机实验:满足下列三个条件的试验称为随机试验|;（1）试验可在相同条件下重复进行；（2）试验的可能结果不止一个，且所有可能结果是已知的；（3）每次试验哪个结果出现是未知的；随机试验以后简称为试验，并常记为E。
例如：曰：掷一骰子，观察出现的总数；E2：上抛硬币两次，观察正反面出现的情况；E3:观察某电话交换台在某段时间内接到的呼唤次数2、随机事件：在试验中可能出现也可能不出现的事情称为随机事件:常记为A，B, C例如，在E i中，A表示掷出2点”，B表示掷出偶数点”均为随机事件3、必然事件与不可能事件：每次试验必发生的事情称为必然事件，记为Q。
每次试验都不可能发生的事情称为不可能事件，记为①。
例如，在E i中，掷出不大于6点”的事件便是必然事件，而掷出大于6点”的事件便是不可能事件，以后，随机事件，必然事件和不可能事件统称为事件4、基本事件：试验中直接观察到的最简单的结果称为基本事件。
例如，在曰中，掷出1点”，掷出2点”，……，掷'出6点”均为此试验的基本事件由基本事件构成的事件称为复,例如，在E i中掷出偶数点”便是复合事件5、样本空间：从集合观点看，称构成基本事件的元素为样本点,常记为e.例如，在E i中，用数字1, 2,......,6表示掷出的点数，而由它们分别构成的单点集{1}, {2}, (6)便是E i中的基本事件。
在E2中，用H表示正面，T表示反面，此试验的样本点有(H , H),( H , T),( T, H ),( T, T),其基本事件便是{ ( H, H) }, { ( H , T) }, { (T, H ) }, { (T, T) }显然，任何事件均为某些样本点构成的集合。
例如，在E i中掷出偶数点”的事件便可表为{2, 4, 6}。
试验中所有样本点构成的集合称为样本空间。
记为Qo例如，在E i 中，Q={1 , 2, 3, 4, 5, 6}在E2 中，Q={ ( H , H),( H , T),( T, H),( T, T) }在E s 中，Q={0 , 1, 2,……}例1, 一条新建铁路共10个车站，从它们所有车票中任取一张，观察取得车票的票种此试验样本空间所有样本点的个数为N Q=P 210=90.（排列：和顺序有关，如北京至天津、天津至北京）若观察的是取得车票的票价，则该试验样本空间中所有样本点的个数为10）=452（组合）例2 .随机地将15名新生平均分配到三个班级中去，观察15名新生分配的情况。
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分析：由于M=max(X,Y)不大于 z 等价于X和Y都不大 于z，故有
P(M≤z)=P(X≤z,Y≤z) 又由于X和Y 相互独立,于是得到M=max(X,Y)的分布 函数为:
FM(z)=P(M≤z) =P(X≤z,Y≤z)
=P(X≤z)P(Y≤z)
即有 FM(z)= FX(z)FY(z)
类似地，可得N=min(X,Y)的分布函数是
例5 设X和Y相互独立，X~B(n1, p),Y~B(n2, p),求 Z=X+Y 的分布.
我们可以按照前面的方法来求解，也可以换 一种方法.
回忆二项分布直观背景, 设在一次试验中事件A 出现的概率为p.
将该试验分别独立重复n1次和n2次, 设 X 是n1次 试验中A出现的次数, 设Y 是n2次试验中A出现的次 数.
z2
e 2( 2 )2 2
例10 设X和Y是两个相互 独立的随机变量,它们都服
从N(0,1)，求Z=X+Y的概率密度 。
fZ (z) fX ( x) fY (z x)dx
1
z2
e 2( 2 )~ N (0, ( 2)2 )
可以类似地证明，若X和Y 独立,
X
~
1x
综合,有
0,
z0
FZ
(
z)
2
z
z2 / z2
2, /2
1,
0 z 1 1 z 2
1,
z2
所以
z
dx z,
0
0 z 1
fZ
(z)
1
dx
z 1
0,
2
z,
1 z 2 其它
3. M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布
设X，Y是两个相互独立的随机变量， 它们的分布函数分别为FX(x)和FY(y), 我们 来求M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布函 数.
交换积分次序
u u=z
y
z
FZ (z)
[ f (u y, y)dy]du
由概率密度与分布函数的关系, 即得Z=X+Y的概
率密度为:
fZ (z) FZ' (z)
f (z y, y)dy
由X和Y的对称性, fZ (z)又可写成
fZ (z) FZ' (z)
f (x, z x)dx
f (x, y)dxdy (x, y)z
f (z) F(z)
例8 已知X ,Y相互独立, 且均服从N (0, 2 ) ( 0),求Z X 2 Y 2的概率密度.
解: 由于
fX (x)
1
2
exp
x2
2 2
fY ( y)
1
2
exp
y2
2 2
且X,Y 相互独立, 所以
FY
(
y)
1
ey 0, y
,y 0
0
解：（1） Z =min (X，Y)的分布函数为
FZ (z) 1[1 FX (z)][1 FY (z)]
1
e(
)
z
,
z0
0,
z0
1 e( )z , z 0
FZ (z)
0,
z0
于是， Z =min (X，Y)的概率密度为
( )e( )z , z 0
1, Z 0,
X Y X Y
求Z的分布
例7 设X、Y的联合概率密度概率函数为
e(xy) , x 0, y 0
f (x, y) 0,
其他
y=x
其中，为大于0的常数。引入随机变量
1, X Y Z 0, X Y
求Z的分布
解： P(Z 1) P(X Y ) f (x, y)dxdy
2. 连续型随机变量(X, Y)函数Z = (X, Y)的分布
设已知(X, Y)的概率密度f(x, y), 求 Z = (X, Y)
的分布。
当Z为离散型随机变量时，求Z的分布律即可。
例7 设X、Y的联合概率密度概率函数为
e(xy) , x 0, y 0
f (x, y) 0,
其他
其中，为大于0的常数。引入随机变量
f
( x,
y)
1
2
2
exp
x2
2
y2
2
Z X2 Y2
设Z的分布函数和概率密度分别为 FZ (z), fZ (z).
当z 0时, FZ (z) 0 当z 0时,
FZ (z) P{Z z} P{ X 2 Y 2 z}
f ( x, y)dxdy x2 y2 z
采取极坐标变量替换
x r cos
以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式.
特别，当X和Y独立，设(X,Y)关于X,Y的边缘密度分 别为fX(x) , fY(y) , 则上述两式化为:
fZ (z) fX (z y) fY ( y)dy
fZ (z) fX (x) fY (z x)dx
这两个公式称为卷积公式 .
例10 设X和Y是两个相互 独立的随机变量,它们都服
是直线x+y =z 左下 方的半平面.
将上述积分化成累次积分,得
zy
FZ (z)
[
f (x, y)dx]dy
zy
FZ (z)
[
f (x, y)dx]dy
固定z和y,对方括号内的积分作变量
代换, 令x=u-y,得
z
FZ (z)
[ f (u y, y)du]dy
z
[ f (u y, y)dy]du
dy
y
e ( x y ) dx
x y
eydy
y exdx
0
0
0
0
ey (1 ey )dy
0
1, Z 0,
X Y X Y
求Z的分布
P(Z
1)
解： P(Z 0)
1 P(Z 1) 1
当Z= （X，Y）为连续型随机变量时，求Z的
分布函数或密度函数。
FZ(z)=P(Z z) =P{ （X，Y） z}
用与二维时完全类似的方法，可得M=max(X1,…,Xn) 的分布函数为:
FM (z) FX1 (z) …FXn (z)
N=min(X1,…,Xn)的分布函数是
FN (z) 1 [1 FX1 (z)] … [1 FXn (z)]
特别，当X1,…,Xn相互独立且具有相同分布函数 F(x)时，有
Z X1 X2 Xn 的概率分布. 解: 设每次试验成功的概率是p,全班同学一共
进行了m m1 m2 mn次独立重复试验.
则 试验成功总次数Z ~ B(m, p).
例6说明, 如果 Xi 服从二项分布B(mi, p), i=1,2, …,n. X1,…,Xn相互独立，则
Z=X1+…+Xn~B(m1+…+mp, p)
1, 0 x 1
1, 0 y 1
fX (x)
0,
其它 ,
fY (y)
0,
其它
求Z=X+Y的概率密度 .
解: 用分布函数法
FZ (z) P(Z z) P(X Y z)
f (x, y)dxdy x yz
f X (x) fY ( y)dxdy x yz
1, 0 x 1
FM(z)=[F(z)] n FN(z)=1-[1-F(z)] n
例12. 设系统L由两个相互独立的子系统L1, L2连接而 成，连接的方式分别为（1）串联；（2）并联；（3）
备用。设L1, L2的寿命分别为X，Y,他们的概率密度 分别为:
f
X
(
x)
ex , x
0, x
0
0,
ey , y 0
1, 0 y 1
fX (x)
0,
其它
fY (y)
0,
其它
FZ (z) P(Z z) f X (x) fY ( y)dxdy
x yz
当z 0, FZ (z) 0;
当0 z 1,
y
FZ (z)
z
dx
zx dy z 2 / 2;
0
0
x+y=z
x+y=z
x
1, 0 x 1
其它
于是, Z的概率密度为
f
Z
(
z)
z
2
exp
z2
2
2
,
z
0
0,
其它
我们称上述分布或概率密度为瑞利分布.
例9 设X和Y的联合密度为 f (x,y),求Z=X+Y的密度.
解: Z=X+Y的分布函数是: FZ(z)=P(Z≤z)=P(X+Y ≤ z)
f (x, y)dxdy
D
这里积分区域 D={(x, y): x+y ≤z}
从N(0,1)，求Z=X+Y的概率密度 。 解: 由卷积公式
(t)
1
t2
e2
2
fZ (z) fX ( x) fY (z x)dx
1
2
x2 (zx)2
e 2 e 2 dx
1
2
z2
e4
(x z )2
e 2 dx
1
z2
e4
2
(x z )2
1
2
1
2(
2 1
)2
e 2 dx
2
1
2
也即
0 x 1 z 1 x z
fZ (z) fX ( x) fY (z x)dx
为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域
0 x 1 0 z x 1
也即
0 x 1 z 1 x z