广西届高三上学期教育质量诊断性联合考试理数试题含答案
上学期高三质量检测理科试题
广西省南宁二中—上学期高三质量检测数学试题（理科）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n （k ）=kn k k n P P C --)1(球的体积公式：334R V π=球的表面积公式S=4πR 2（其中R 表示球的半径）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．i i212+-= （ ）A ．i -B ．iC ．1D ．—12．已知集合N C N Z x x x M M 那么},2,1{},,2|1||{=∈≤-=等于 （ ）A ．{1，2}B ．{—1，0，3}C ．{0，3}D ．{—1，0，1}3．长方体的对角线长度是25，若长方体的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是（ ）A ．π220B ．π225C ．π50D ．π200 4．在等差数列d a a a a n 则公差中,3,8,}{231==⋅= （ ）A ．1B ．—1C ．1±D ．2± 5．已知单位向量|2|,3,b a b a +那么的夹角为π等于（ ） A ．7 B ．3C ．7D ．66．αβα//,,,,a b a 则表示直线表示平面的一个充分不必要条件是 （ ）A ．ββα⊥⊥a 且B ．b a b //且=βαC ．αα////b b 且D ．b a //且βα7．在平面直角坐标系，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥+a x y x y x 040(a 为常数)表示的平面区域面积是9，那么实数a的值是（ ）A ．223+B ．223+-C ．—5D ．18．设函数)(),0(1)6sin()(x f x x f 则>-+=ωπω的图象的一条对称轴的方程是 （ ）A ．9π=x B ．6π=x C ．3π=x D ．2π=x9．要从10名女生与5名男生中选取6名学生组成课外兴趣小组，如果按性别分层随机抽样，试问能组成课外兴趣小组的概率是 （ ）A ．615615A CB ．61535310C C C C ．61525410C C C D ．61525410A C C 10．设数列=+++=+=∞→+n n n n n n n P a a a a a a P n S n a lim ,111,1}{132212则项和的前 （ ）A ．61B ．31 C ．21 D ．1 11．已知函数)(,42)(x f x x x f 则函数-+=的值域为（ ）A ．[2，4]B ．]52,0[C ．]52,4[D ．]52,2[12．一植物园参观路径如右图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线种数共有 （ ） A ．6种 B ．8种 C ．36种 D ．48种二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
广西桂林普通高中2022届高三上学期11月教学质量检测数学理试题(Word版含答案)
2021-2022广西桂林普通高中11月高三教学质量检测理科数学考试时间120分钟，满分150分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、选择题(共12题，每题5分，共60分)1．已知集合A={x|x(x-1)<0},B={x|e x>1},则(∁R A)∩B=A.[1,+∞)B.(0,+∞)C.(0,1)D.[0,1]2．若a=(,b=,c=,则A.a>b>cB.c>a>bC.c>b>aD.a>c>b3．下列命题：①若,则对恒成立；②要得到函数的图象，只需将的图象向右平移个单位；③若锐角满足，则．其中真命题的个数是A. B. C. D.4.已知数列{a n}满足a1=1,(a n+a n+1-1)2=4a n a n+1,且a n+1>a n(n∈N*),则数列{a n}的通项公式a n=A.2nB.n2C.n+2D.3n-25．欧拉公式e iθ=cos θ+isin θ把自然对数的底数e,虚数单位i,三角函数联系在一起,充分体现了数学的和谐美,被誉为“数学中的天桥”.若复数z满足(e iπ+i)·z=i,则|z|=A.1B.C.D.6．刘徽是我国古代伟大的数学家,他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是我国宝贵的数学遗产.刘徽是世界上最早提出十进小数概念的人,他正确地提出了正负数的概念及其加减运算的法则.提出了“割圆术”,并用“割圆术”求出圆周率π约为3.14.刘徽在割圆术中提出的“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无所失矣”被视为中国古代极限观念的佳作.其中“割圆术”的第一步是求圆的内接正六边形的面积,第二步是求圆的内接正十二边形的面积,…,依次类推.若在圆内随机取一点,则该点取自该圆内接正十二边形的概率为A. B. C. D.7．圆心在，半径为的圆在轴上截得的弦长等于A. B. C. D.8．已知是函数的两个相邻的极值点，且在处的导数，则A. B. C. D.9．等差数列{a n}的前n项和为S n,且a3+a9=16,则S11=A.88B.48C.96D.17610．已知正方体ABCD-A1B1C1D1,过对角线BD1作平面α交棱AA1于点E,交棱CC1于点F,则:①平面α分正方体所得两部分的体积相等;②四边形BFD1E一定是平行四边形;③平面α与平面DBB1不可能垂直;④四边形BFD1E的面积有最大值.其中所有正确结论的序号为A.①④B.②③C.①②④D.①②③④11．在同一平面直角坐标系中,画出三个函数f(x)=sin 2x+cos2x,g(x)=sin(2x+),h(x)=cos(x-)的部分图象如图所示,则A.a为f(x)的图象,b为g(x)的图象,c为h(x)的图象B.a为h(x)的图象,b为f(x)的图象,c为g(x)的图象C.a为g(x)的图象,b为f(x)的图象,c为h(x)的图象D.a为h(x)的图象,b为g(x)的图象,c为f(x)的图象12．已知函数,,设为实数,若存在实数,使,则实数的取值范围为A. B.C. D.第II卷（非选择题）二、填空题(共4题，每题5分，共20分)13．已知平面向量a,b满足|a|=|b|=1,a⊥(a-2b),则|a+b|=.14．已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),若P(X<3)=0.8,则P(X≤1)=.15．已知长方体ABCD-A1B1C1D1内接于球O,底面ABCD是边长为2的正方形,E 为AA1的中点,OA⊥平面BDE,则球O的表面积为.16．若变量满足约束条件，则的最大值是 .三、解答题(共6题，共70分)17．(本题12分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2a cos C=2b-c.(1)求角A的大小;(2)若AB=3,AC边上的中线BD的长为,求△ABC的面积.18.(本题12分)如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC,AC1=BC1,D,E分别为棱AB,A1B1的中点.(1)求证:AB⊥平面C1DE;(2)若AB=AC=2,AA1=2,AC1=,求四棱锥C1-AA1B1B的体积.19.(本题12分)已知火龙果的甜度一般在11~20度之间,现某火龙果种植基地对在新、旧施肥方法下种植的火龙果的甜度作对比,从新、旧施肥方法下种植的火龙果中各随机抽取了100个火龙果,根据水果甜度(单位:度)进行分组,若按[11,12),[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17),[17,18),[18,19),[19,20]分组,旧施肥方法下的火龙果的甜度的频率分布直方图与新施肥方法下的火龙果的甜度的频数分布表如下所示,若规定甜度不低于15度为“超甜果”,其他为“非超甜果”.新施肥方法下的火龙果的甜度的频数分布表(1)设两种施肥方法下的火龙果的甜度相互独立,记M表示事件:“旧施肥方法下的火龙果的甜度低于15度,新施肥方法下的火龙果的甜度不低于15度”,以样本估计总体,求事件M的概率.(2)根据上述样本数据,列出2×2列联表,并判断是否有99.5%的把握认为是否为“超甜果”与施肥方法有关?(3)以样本估计总体,若从旧施肥方法下的100个火龙果中按“超甜果”与“非超甜果”的标准划分,采用分层抽样的方法抽取5个,再从这5个火龙果中随机抽取2个,设“超甜果”的个数为X,求随机变量X的分布列及数学期望.附:K2=,其中n=a+b+c+d.20．(本题12分)已知函数f(x)=ln(x+1)-ax-a(a-b+1)+1,a,b∈R.(1)当b=1时,求f(x)的单调区间;(2)若a∈(0,e),且f(x)极大值>0,求实数b的取值范围.21．(本题12分)已知椭圆E:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),点P 在椭圆E上,PF2⊥F1F2,且|PF1|=3|PF2|.(1)求椭圆E的标准方程;(2)设直线l:x=my+1(m∈R)与椭圆E相交于A,B两点,与圆x2+y2=a2相交于C,D两点,求|AB|·|CD|2的取值范围.22．(本题10分)已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处,极轴与x轴的正半轴重合,直线l的极坐标方程为ρsin(θ+)=,曲线C的参数方程是(α是参数).(1)求直线l的直角坐标方程及曲线C的普通方程;(2)求曲线C上的点到直线l的距离的最大值.参考答案一、 ABBBB CDDAC AC二、13.14.0.215.16π16.512三、17.解:(1)由余弦定理得cos C=,又 2a cos C=2b-c,∴2a·=2b-c,即b2+c2-a2=bc,∴cos A=.∵A∈(0,π),∴A=.………………………………………………………………5分(2)在△ABD中,AB=3,BD=,cos A=,由余弦定理得13=9+AD2-3AD,解得AD=4或AD=-1(舍去) .…………………………………………………9分∵BD为AC边上的中线,∴D为AC的中点,∴AC=2AD=8.∴S△ABC=AB·AC sin A=×3×8×=6.………………………………………12分18.解:(1)在三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=A1C1,BC=B1C1,AB∥A1B1,因为AC=BC,所以A1C1=B1C1,因为E为A1B1的中点,所以C1E⊥A1B1,故C1E⊥AB,因为AC1=BC1,D为AB的中点,所以AB⊥C1D,因为C1E∩C1D=C1,C1E,C1D⊂平面C1DE,所以AB⊥平面C1DE.……………………………………………………6分(2)作C1H⊥DE于点H,因为AB⊥平面C1DE,AB⊂平面AA1B1B,所以平面C1DE⊥平面AA1B1B,因为C1H⊂平面C1DE,平面C1DE∩平面AA1B1B=DE,所以C1H⊥平面AA1B1B,即C1H为四棱锥C1-AA1B1B的高.因为AB⊥平面C1DE,DE⊂平面C1DE,所以AB⊥DE,因为D,E分别为棱AB,A1B1的中点,所以AD=A1E=1,且AD∥A1E,故四边形AA1ED为平行四边形,所以DE∥AA1,且DE=AA1=2,所以AA1⊥AB,即四边形AA1B1B为矩形,因为AB=2,AA1=2,所以矩形AA1B1B的面积S=2×2=4,因为AB⊥平面C1DE,C1D⊂平面C1DE,所以AB⊥C1D,又AD=1,AC1=,所以C1D==3,因为A1B1=B1C1=A1C1=2,所以C1E=,在△C1DE中,C1D=3,C1E=,DE=2,所以C1D2+C1E2=DE2,即C1D⊥C1E,所以DE·C1H=C1D·C1E,故C1H=,所以四棱锥C1-AA1B1B的体积V=·S·C1H=×4=2.…………………………………………………12分19.(1)记A表示事件:“旧施肥方法下的火龙果的甜度低于15度”,B表示事件:“新施肥方法下的火龙果的甜度不低于15度”,则有P(M)=P(AB)=P(A)P(B).由频率分布直方图可知旧施肥方法下的火龙果的甜度低于15度的频率为(0.1+0.15×2+0.2)×1=0.6.由频数分布表可知新施肥方法下的火龙果的甜度不低于15度的频率为=0.65.故事件M的概率为0.65×0.6=0.39.…………………………………………4分(2)依题意可得到列联表K2=≈12.531>7.879,故有99.5%的把握认为是否为“超甜果”与施肥方法有关.…………………8分(3)旧施肥方法下的100个火龙果中,“非超甜果”为60个,“超甜果”为40个,按分层抽样的方法随机抽取5个,则抽取的“非超甜果”为3个,“超甜果”为2个,所以随机变量X的所有可能取值为0,1,2,P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,随机变量X的分布列为数学期望E(X)=0×+1×+2×.…………………………………………………12分20.(1)函数f(x)的定义域为(-1,+∞),当b=1时,f(x)=ln(x+1)-ax-a2+1,f'(x)=-a,………………………………………………………………………2分①当a≤0时,在(-1,+∞)上f'(x)>0,∴f(x)在(-1,+∞)上单调递增.②当a>0时,令f'(x)=0,得x=-1,∵在(-1,-1)上,f'(x)>0,在(-1,+∞)上,f'(x)<0,∴f(x)在(-1,-1)上单调递增,在(-1,+∞)上单调递减.……………………………………………………………4分综上,当a≤0时,f(x)的单调递增区间为(-1,+∞);当a>0时,f(x)的单调递增区间为(-1,-1),单调递减区间为(-1,+∞).………………………………………………6分(2)由(1)知当a∈(0,e)时,f(x)有极大值,f(x)极大值=f(-1)=-ln a+ba-a2,设g(x)=-ln x+bx-x2(x∈(0,e)),∵g(x)>0,∴-ln x+bx-x2>0,即b>+x在(0,e)上恒成立.令q(x)=+x,x∈(0,e),则q'(x)=,令p(x)=x2-ln x+1,x∈(0,e),则p'(x)=2x-,令p'(x)=0,得x=,………………………………………………………………………8分在(0,)上,p'(x)<0,在(,e)上,p'(x)>0,∴p(x)在(0,)上单调递减,在(,e)上单调递增,=p()=ln 2>0,∴p(x)极小值∴q'(x)>0,q(x)在(0,e)上单调递增,q(x)<q(e)=+e,b≥+e,∴b的取值范围为[+e,+∞).……………………………………………………12分21.解:(1)∵点P在椭圆上,∴|PF1|+|PF2|=2a.∵|PF1|=3|PF2|,∴|PF2|=,|PF1|=.∵PF2⊥F1F2,∴|PF2|2+|F1F2|2=|PF1|2,又|F1F2|=2,∴a2=2.∵c=1,b2=a2-c2,∴b2=1.∴椭圆E的标准方程为+y2=1.………………………………………………4分(2)设A(x1,y1),B(x2,y2).由,消去x,得(m2+2)y2+2my-1=0.∴Δ=8m2+8>0,y1+y2=-,y1y2=-,∴|AB|=|y1-y2|=.……………………………………………6分设圆x2+y2=2的圆心O到直线l的距离为d,则d=,∴|CD|=2=2,∴|AB|·|CD|2=4··=8(2-).∵0<,∴≤2-<2,∴4≤|AB|·|CD|2<16,∴|AB|·|CD|2的取值范围为[4,16).……………………………………………………………………12分22.(1)因为ρsin(θ+)=,所以ρ(sin θ+cos θ)=3,即ρsin θ+ρcos θ-3=0,将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入,得直线l的直角坐标方程是x+y-3=0.由得所以曲线C的普通方程是x2+(y-2)2=1.………………………………………………………………………5分(2)由(1)得曲线C是以(0,2)为圆心,1为半径的圆,又圆心(0,2)到直线l的距离d==,所以直线l与曲线C相交,故曲线C上的点到直线l的距离的最大值为1+………………………………………………………………………10分。
2024年广西部分重点中学数学高三上期末学业质量监测模拟试题含解析
2024年广西部分重点中学数学高三上期末学业质量监测模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有（ ）A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对2．著名的斐波那契数列{}n a ：1，1，2，3，5，8，…，满足121a a ==，21n n n a a a ++=+，*N n ∈，若2020211n n k a a -==∑，则k =( )A ．2020B ．4038C ．4039D ．4040 3．点,,A B C 是单位圆O 上不同的三点，线段OC 与线段AB 交于圆内一点M ，若,(0,0),2OC mOA nOB m n m n =+>>+=，则AOB ∠的最小值为（ ）A ．6πB ．3πC ．2πD ．23π 4．阿波罗尼斯（约公元前262~190年）证明过这样的命题：平面内到两定点距离之比为常数()0,1k k k >≠的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 与A ，B 2，当P ，A ，B 不共线时，PAB ∆的面积的最大值是（ ）A ．22B ．2C ．223D ．235．过抛物线22x py =（0p >）的焦点且倾斜角为α的直线交抛物线于两点A B ，.2AF BF =，且A 在第一象限，则cos2α=（ ）A ．55B ．35C ．79D ．2356．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的右焦点为F ，左顶点为A ，点P 椭圆上，且PF AF ⊥，若1tan 2PAF ∠=，则椭圆的离心率e 为（ ）A ．14 B ．13 C ．12 D ．237．如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y （单位：亿元）的折线图．则下列结论中表述不正．．确．的是( )A ．从2000年至2016年，该地区环境基础设施投资额逐年增加；B ．2011年该地区环境基础设施的投资额比2000年至2004年的投资总额还多；C ．2012年该地区基础设施的投资额比2004年的投资额翻了两番 ；D ．为了预测该地区2019年的环境基础设施投资额，根据2010年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为127，，…，）建立了投资额y 与时间变量t 的线性回归模型ˆ9917.5yt =+，根据该模型预测该地区2019的环境基础设施投资额为256.5亿元.8．过椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点F 的直线过C 的上顶点B ，且与椭圆C 相交于另一点A ，点A 在y 轴上的射影为A '，若34FO AA ='，O 是坐标原点，则椭圆C 的离心率为（ ） A 3B 3C ．12 D ．229．已知x ，y 满足约束条件020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为A ．1B ．2C ．3D ．410．若命题：从有2件正品和2件次品的产品中任选2件得到都是正品的概率为三分之一；命题：在边长为4的正方形内任取一点，则的概率为，则下列命题是真命题的是（ ） A ． B ． C ． D ．11．在复平面内，31i i +-复数（i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限12．已知函数()2x f x x x ln a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，关于x 的方程f （x ）＝a 存在四个不同实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（0，1）∪（1，e ） B ．10e ⎛⎫ ⎪⎝⎭， C ．11e ⎛⎫⎪⎝⎭， D ．（0，1）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届广西壮族自治区高三第一次教学质量诊断性联合数学(理)试题(解析版)
2020届广西壮族自治区高三第一次教学质量诊断性联合数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}250|32A x x x =--≥，则R C A =（ ） A ．1,23⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．12,3⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．[)1,2,3⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦D ．52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】先求解集合{}250|32A x x x =--≥再算补集即可. 【详解】易知()(){}13120|2{|}3A x x x x x x =+-≥=≤-≥或,所以123R C A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了二次不等式的求解以及补集的计算,属于基础题型.2．已知复数z 满足(3425z i i i ⋅-=+为虚数单位) ，则在复平面内复数z 对应的点的坐标为（ ） A ．21,5⎛⎫⎪⎝⎭B ．2,15⎛⎫⎪⎝⎭C ．21,5⎛⎫--⎪⎝⎭D ．2,15⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】B【解析】先求解复数z 再根据复数的几何意义求解即可. 【详解】由题意,得525z i ⋅=+.则25z i =+,其在复数平面内对应的点的坐标为2,15⎛⎫⎪⎝⎭. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了复数的基本运算与复数的几何意义,属于基础题型. 3．“38x >”是“2x >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】求解38x >再判断即可. 【详解】由38x >,得2x >；由2x >,得38x >,则38x >是2x >的充要条件. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了充要条件的判定,属于基础题型.4．已知双曲线22:4C x y k -=的焦距等于圆22:412M x y x ++=的直径，则实数k =（ ） A ．645B ．645-C ．645或645-D ．564【答案】C【解析】求出圆22:412M x y x ++=的直径再根据双曲线中的基本量关系求解即可. 【详解】圆22:412M x y x ++=化为标准方程是()22216x y ++=,其半径为4.直径为8.当0k >时,双曲线22:4C x y k -=化为标准方程2214x y kk -=,其焦距为8=, 解得645k =； 当k 0<时,双曲线22:4C x y k -=化为标准方程是2214y x k k-=--,其焦距为8=,解得645k =-.综上, 645k =或645k =-. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了圆的方程与双曲线的基本量求解,属于基础题型.5．在区间[4,12]上随机地取一个实数a ，则方程2280x ax -+=有实数根的概率为（ ）A ．14B ．23C ．13D ．12【答案】D【解析】根据∆求出a 的取值范围，结合几何概型的概念，可得结果. 【详解】因为方程2280x ax -+=有实数根， 所以2()4280a ∆=--⨯⨯≥， 解得8a ≥或8a ≤-，故方程2280x ax -+=有实数根的概率12811242p -==-.故选D. 【点睛】本题考查几何概型的应用，属基础题6．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若138a a =-，且313S =，则2a =（ ） A ．3- B ．3 C ．353-D ．3或353-【答案】D【解析】设公比为q ,利用基本量法求解即可. 【详解】设公比为q ,易知1q ≠.由133813a a S =-⎧⎨=⎩得()2113181131a a q a q q ⎧=-⎪-⎨=⎪-⎩,解得113a q =⎧⎨=⎩或125373a q ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩当113a q =⎧⎨=⎩时,213a a q ==；当125373a q ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩时,21353a a q ==-,所以23a =或2353a =-, 故选：D. 【点睛】本题主要考查了等比数列的基本量求解方法,属于中等题型. 7．某程序框图如图所示，则该程序的功能是（ ）A ．输出3(12342018)++++⋯+的值B ．输出3(12342017)+++++的值C ．输出3(12342019)+++++的值D ．输出12342018+++++的值【答案】A【解析】根据逐步计算的方法，结合判断框中的条件，可得结果. 【详解】第一次运行时，2,332k S ==+⨯； 第二次运行时，3,33233k S ==+⨯+⨯；第三次运行时，4,3323334,k S ==+⨯+⨯+⨯…， 以此类推，第2017次运行时，2018,3323332018k S ==+⨯+⨯+⋯+⨯，此时刚好不满足2018k <， 故输出3(12342018)S =+++++，则该程序的功能是“输出3(12342018)++++⋯+的值”. 故选A. 【点睛】本题考查算法应用，对这种题型，可使用逐步计算，理清思路，细心计算，属基础题. 8．某几何体的三视图如图所示，其俯视图是一圆心角为45°的扇形，则该几何体的表面积为（ ）A ．524π+B ．5122π+ C ．312π+D ．3122π+ 【答案】B【解析】根据三视图还原该几何体，可知为18个圆柱，结合长对正，高平齐，宽相等，可得长度，以及表面积概念，可得结果. 【详解】由三视图可知，该几何体是18个圆柱， 其上下底面均为18圆面， 侧面由2个矩形和1个18圆弧面构成.故其表面积21152223222312882S πππ=⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=+.故选B. 【点睛】本题考查三视图的还原，以及还原之后几何体的表面积，考验空间想象能力，对常见的几何体要熟悉，属基础题.9．近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了一系列以“限购、限外、限贷限价”为主题的房地产调控政策.各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中之一就是在规定的时间T 内完成房产供应量任务Q .已知房产供应量Q 与时间t 的函数关系如图所示，则在以下四种房产供应方案中，供应效率（单位时间的供应量）逐步提高的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据变化率的知识，结合曲线在某点处导数的几何意义，可得结果. 【详解】单位时间的供应量逐步提高时，供应量的增长 速度越来越快，图象上切线的斜率随着自变量 的增加会越来越大，则曲线是上升的，且越来越陡， 故函数的图象应一直下凹的. 故选B. 【点睛】本题考查变化率的知识，实质上是考查曲线在某点处导数的几何意义，属基础题. 10．函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的部分图象如图所示，则下列说法中错误的是（ ）A ．()f x 的最小正周期是2πB ．()f x 在1931,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．()f x 在175,1212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．直线1712x π=-是曲线()y f x =的一条对称轴 【答案】C【解析】根据图像，可得()2sin 12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用正弦函数的性质，结合整体法计算，以及对选项的排除法，可得结果. 【详解】由图可知，2A =， 该三角函数的最小正周期7233T πππ=-=， 故A 项正确； 所以21Tπω==，则()2sin()f x x ϕ=+.因为563f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎝ ⎝⎭⎭⎪，所以该函数的 一条对称轴为5736212x πππ+==， 将7,212π⎛⎫⎪⎝⎭代入2sin()y x ϕ=+， 则72()122k k ππϕπ+=+∈Z ， 解得2()12k k πϕπ=-+∈Z ，故()2sin 22sin 1212f x x k x πππ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.令22()2122k x k k πππππ--+∈Z ，得5722()1212k x k k ππππ-≤≤+∈Z ， 令1k =，则1931,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故函数()f x 在1931,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增.故B 项正确； 令322()2122k x k k πππππ+≤-≤+∈Z ， 得71922()1212k x k k ππππ+≤≤+∈Z ， 令1k =-，175,1212x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦ 故函数()f x 在175,1212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减.故C 项错误； 令()122x k k πππ-=+∈Z ，得7()12x k k ππ=+∈Z ， 令2k =-，1712x π=-故直线1712x π=-是()f x 的一条对称轴.故D 项正确.故选C. 【点睛】本题考查正弦型函数的性质，对这种问题要参照正弦函数的性质，并结合整体法解决问题，属中档题.11．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,,F F P 是C 上一点，且2PF x ⊥轴，直线1PF 与C 的另一个交点为Q ，若114PF FQ =，则C 的离心率为（ ）A ．B ．2C ．5D ．7【答案】D【解析】由题可设2,b P c a ⎛⎫⎪⎝⎭,再根据线段比例关系求得Q 的坐标,代入椭圆化简求解即可. 【详解】由2PF x ⊥轴,得22b PF a =,不妨设2,b P c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；设00(,)Q x y ,由114PF FQ =, 得2003,24c b x y a =-=-代入椭圆方程,得222291416c b a a+=.结合222b a c =-,解得7c e a ==, 故选：D 【点睛】本题主要考查了椭圆中的基本量求解方法,同时也考查了根据比例求解点的坐标,进而代入点入椭圆的方程求解的方法,属于中等题型. 12．已知二次函数()21f x ax ax =--没有零点，()()()3232g x f x ax a x ax =+-+++，若方程()0g x =只有唯一的正实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()4,0- B ．(,4)-∞-C ．()2,0-D ．()4,2--【答案】D【解析】根据二次函数()21f x ax ax =--没有零点可求得40a <<-,再化简得()3231g x a x x =-+,再求导分析()3231g x a x x =-+的极值,利用零点存在定理求解即可. 【详解】因为二次函数()21f x ax ax =--没有零点,则0a ≠且240a a =+<,解得40a <<-.由()()()3232g x f x ax a x ax =+-+++()2323213231ax ax ax a x ax a x x =--+-+++=-+则()()()2'3632,01g x ax x x ax g =-=-=.当0a <时,()0g x =只有唯一的正实数根,所以()0g x =在(,0)-∞上没有实数根.而当2x a=时,()3231g x ax x =-+在(,0)-∞上取得最小值,所以32222310g a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,解得2a > (舍去)或2a <-.综上所述,实数a 的取值范围是()4,2--.故选：D. 【点睛】本题主要考查了利用导函数解决函数零点与极值点的问题,需要数形结合分析对应点的关系,再利用零点存在定理求解.属于难题.二、填空题13．已知向量()()1,,2,4a k b =-=-，若()3//a b a +，则实数k =__________． 【答案】2.【解析】根据向量平行的坐标公式计算即可. 【详解】由题意,得()()()331,2,45,34a b k k +=-+-=--,因为()3//a b a +. 所以()()13450k k ⨯----=,解得2k =. 故答案为：2 【点睛】本题主要考查了向量平行的坐标运算,属于基础题型.14．二项式912x ⎛ ⎝的展开式中的常数项是___________．【答案】212. 【解析】根据二项展开式的通项,令x 的指数为0求解即可. 【详解】二项式9 12xx⎛-⎪⎝⎭的展开式的通项是()9939219911122rr rrrr rrT C x C xx---+⎛⎛⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,令3902r-=,解得6r=.故二项式912xx⎛-⎪⎝⎭的展开式中的常数项是()966679121122T C-⎛⎫=-=⎪⎝⎭.故答案为：212【点睛】本题主要考查了利用二项式定理求解某特定项的问题,属于基础题型.15．已知实数,x y满足不等式组40,220,0,0,x yx yx y+-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩则11yzx+=+的最小值为__________．【答案】15.【解析】画出可行域,再利用斜率的几何意义求解11yzx+=+的最小值即可.【详解】作出不等式组表示的平面区域如阴影所示:由几何意义可知,目标函数11yzx+=+表示可行域内的点(),x y与点()1,1--组成的直线的斜率,目标函数在点()4,0C处取得最小值min011415z+==+故答案为：15【点睛】本题主要考查了线性规划中根据斜率的几何意义求解最值的问题,属于基础题型. 16．已知正三棱锥的底面边长为35为__________． 【答案】917π-. 【解析】作出对应的图像,设圆心,再利用内切圆的性质,根据直角三角形中的长度关系即可内切圆的半径.进而求得表面积. 【详解】如图,E 是底面ABC 的重心,则内切球球心O 在PE 上,OE 与O 到PN 的距离OF 都是内切球的半径.其中()()2225317PN =-=,1236013EN sin =︒⨯=,所以()221714PE =-=.设内切圆的半径为r .由PFO PEN ,得FO PO EN PN=.即117r =,解得1714r =.所以内切球的表面积为221719174442S r ππ⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭.917- 【点睛】本题主要考查了内切圆的性质与计算,需要根据立体几何中的相似与比例关系列式求解.属于中等题型.三、解答题17．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()223,2a c ac sinAcosC sinC cosA -==-.（1）求角B 的大小；（2）若ABC 的外接圆半径是3，求ABC 的周长.【答案】（1）3B π=；（27.【解析】(1)根据两角和的三角函数公式化简()2sinAcosC sinC cosA =-,进而得到2b c =,再代入223a c ac -=利用余弦定理求解cos B 即可.(2)利用正弦定理求解得4b =,根据2b c =再代入223a c ac -=求解得1a =+可. 【详解】解: （1）因为()2sinAcosC sinC cosA =-, 所以2sinAcosC sinC sinCcosA =-, 所以2sinAcosC sinCcosA sinC +=, 所以()2sin A C sinC +=, 所以2sinB sinC =. 由正弦定理,得2b c =. 因为223a c ac -=,由余弦定理,得()2222222223122222a c c a cb ac ac cosB ac ac ac ac +-+--=====又因为(0,)B π∈,所以3B π=（2）因为ABC则由正弦定理,得sin 2b B =解得4b =. 所以2c =.将2c =代入223a c ac -=中,得2122a a -=,解得1a =舍去)或1a =+.所以ABC 的周长是1427a b c ++=++=. 【点睛】本题主要考查了正余弦定理在解三角形中的运用,同时也考查了两角和的三角函数公式,属于中等题型.18．如图，在四棱锥A DBCE -中，5,4AD BD AE CE BC =====，2,// ,,DE DE BC O H =分别为,DE AB 的中点，AO CE ⊥.（1）求证://DH 平面ACE ；（2）求直线DH 与底面DBCE 所成角的大小 【答案】(1)证明见解析；(2) 45︒.【解析】(1) 取线段AC 的中点F ,连接,EF HF ,再证明四边形DEFH 为平行四边形即可.(2) 连接OB ,取OB 的中点G ,连接,HG DG 再证明HDG ∠是DH 与底面DBCE 所成的角.再利用构造直角三角形的方法求解各边长进而求得HDG ∠的大小即可. 【详解】(1)证明:取线段AC 的中点F ,连接,EF HF .因为HF 是ABC 的中位线,所以12,//2HF BC HF BC ==. 又因为2,//DE DE BC =,所以,//HF DE HF DE =. 所以四边形DEFH 为平行四边形, 所以//EF HD .因为EF ⊂平面,ACE DH ⊄平面ACE . 所以//DH 平面ACE .(2)解:连接OB ,取OB 的中点G ,连接,HG DG .易知()222211,5122OD DE AO AD OD ===-=-=,易知HG 是AOB 的中位线, 所以//HG AO 且112HG AO ==. 因为,AD AE O =为DE 中点,AO DE ⊥,又//HG AO ,所以HG DE ⊥. 因为,//AO CE HG AO ⊥,所以HG CE ⊥. 又,,DE CE E DE CE ⋂=⊂平面DBCE , 所以HG ⊥底面DBCE .所以HDG ∠是DH 与底面DBCE 所成的角.易求等腰梯形DBCE ()2222425222BC DE CE --⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以1DG =.在Rt HDG 中,由111HG tan HDG DG ∠===.得45HDG ∠=︒. 故直线DH 与底面DBCE 所成角的大小为45︒. 【点睛】本题主要考查了线面平行的证明与线面角的求解,需要根据题意构造合适的图形求解边角关系.属于中等题型.19．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点()2,0P 的直线交抛物线C 于()11,A x y 和()22,B x y 两点.（1）当124x x +=时，求直线AB 的方程；（2）若过点P 且垂直于直线AB 的直线l 与抛物线C 交于,C D 两点，记ABF 与CDF 的面积分别为12,S S ，求12S S 的最小值.【答案】（1）2x =；（2）12.【解析】(1) 设直线方程为2x my =+,联立直线与抛物线的方程,利用韦达定理求解得0m =即可.(2) 联立直线与抛物线的方程,利用韦达定理表达12,S S ,再根据基本不等式的方法求最小值即可. 【详解】解: （1）由直线AB 过定点()2,0P ,可设直线方程为2x my =+.联立224x my y x=+⎧⎨=⎩消去x ,得2480y my --=, 由韦达定理得12124,8y y m y y +==-,所以()21212122244444x x my my m y y m m m +=+++=++=⋅+=+.因为124x x +=.所以2444m +=,解得0m =. 所以直线AB 的方程为2x =. （2）由(1),知ABF 的面积为112121111222APF BPF S SSPF y PF y y y =+=⋅+⋅=⨯⨯-====因为直线CD 与直线AB 垂直,且当0m =时,直线AB 的方程为2x =,则此时直线l 的方程为0y =, 但此时直线l 与抛物线C 没有两个交点,所以不符合题意,所以0m ≠.因此,直线CD 的方程为12x y m=-+.同理,CDF 的面积2S =所以12S S ==12≥==, 当且仅当2222m m=,即21m =,亦即1m =±时等号成立. 【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系,包括联立方程利用韦达定理求解以及面积的问题和利用基本不等式求解函数最值的方法.属于难题.20．在某项娱乐活动的海选过程中评分人员需对同批次的选手进行考核并评分，并将其得分作为该选手的成绩，成绩大于等于60分的选手定为合格选手，直接参加第二轮比赛，大于等于90分的选手将直接参加竞赛选拔赛.已知成绩合格的100名参赛选手成绩的频率分布直方图如图所示，其中[)[)[]60,70,80,90,90,100的频率构成等比数列.（1）求,a b的值；（2）估计这100名参赛选手的平均成绩；（3）根据已有的经验，参加竞赛选拔赛的选手能够进入正式竞赛比赛的概率为14，假设每名选手能否通过竞赛选拔赛相互独立，现有4名选手进入竞赛选拔赛，记这4名选手在竞赛选拔赛中通过的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望.【答案】(1)0.040.02ab=⎧⎨=⎩；(2)84；(3)分布列见解析，1.【解析】(1)利用频率分布直方图的性质列式求解即可.(2) 利用频率分布直方图求平均数的方法求解即可.(3)易得随机变量X满足二项分布,再根据二项分布的分布列与数学期望求解即可. 【详解】解:(1)由题意,得()20.010.0310 1.0.01a ba b⎧+++⨯=⎨=⎩解得0.040.02 ab=⎧⎨=⎩(2)估计这100名选手的平均成绩为650.1750.3850.2950.484⨯+⨯+⨯+⨯=.(3)由题意知,1~4,4X B⎛⎫⎪⎝⎭,则X可能取值为0,1,2,3,4,所以()4411414ii iP X i C-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭=-所以X的分布列为故X 的数学期望为()1414E X =⨯=. 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的运用与二项分布的分布列与数学期望,属于中等题型. 21．已知函数()()1()xf x e aln x a R =++∈的图象在点()()0,0f 处的切线与直线210x y ++=垂直.（1）求()f x 的单调区间；（2）若当[0,)x ∈+∞时，()10f x mx --≥恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】(1) 函数()f x 的单调递增区间为(1,)-+∞，无单调减区间；(2) (,2]-∞. 【解析】(1)利用导数的几何意义求解a ,再利用导数的正负求解单调区间即可. (2) 令()()1g x f x mx =--,求导分析()g x 的单调性与最小值,再分2m ≤和2m >两种情况讨论即可. 【详解】解:(1)由已知得()'1xa f x e x =++,则()0'01f e a a =+=+. 又因为直线210x y ++=的斜率为12所以()1112a ⎛⎫⎪⎝-⎭+⨯=-,解得1a =. 所以()()1xf x e ln x =++,定义域为()1,+∞-, 所以()1'01xf x e x =+>+. 所以函数()f x 的单调递增区间为(1,)-+∞,无单调减区间.(2)令()()1g x f x mx =--.则()1'1xg x e m x =+-+令()11xh x e x =++,则()()21'1x h x e x =-+ 当0x ≥时,()211,011xe x ≥<≤+,所以()'0h x ≥.所以函数()(0)y h x x =≥为增函数. 所以()()02h x h ≥=,所以()'2g x m ≥-.①当2m ≤时,20m -≥,所以当2m ≤时,()'0g x ≥, 所以函数()(0)y g x x =≥为增函数,所以()()00g x g ≥=, 故对()0,10x f x mx ∀≥--≥成立； ②当2m >时,11m ->,由0x ≥时,1011x <≤+, ()()1''11x x g x f x m e m e m x =-=+-<+-+, 当()()0,l 1x n m ∈-,知10x e m +-<,即()'0g x <. 所以函数()()(),0,1y g x x ln m =∈-为减函数. 所以当()01x ln m <<-时,()()00g x g <=. 从而()10f x mx --<,这与题意不符. 综上,实数m 的取值范围为(,2]-∞. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义以及利用导数分析函数的单调性与最值问题,同时也考查了利用导函数求解函数恒成立的问题.属于难题. 22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为33x t y t=-⎧⎨=⎩（t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为212cos 350ρρθ++=.（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）设A 是曲线C 上任意一点，直线l 与两坐标轴的交点分别为,M N ，求22||||AM AN +最大值.【答案】（1）直线l 的普通方程为390x y -+=；曲线C 的直角坐标方程为2212350x y x +++=（2）128【解析】（1）利用加减消元可得l 的普通方程，结合222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==，可得C 的直角坐标方程.（2）根据（1）的条件，得到点M ，点N 坐标，以及使用曲线C 的参数方程，假设点A 坐标，结合辅助角公式，可得结果.【详解】 解：（1）由3,3x t y t =-⎧⎨=⎩得3(3)y x =+，即390x y -+=.故直线l 的普通方程为390x y -+=. 由212cos 350ρρθ++=， 代入222cos ,x y x ρρθ=+= 得2212350x y x +++=， 故曲线C 的直角坐标方程 为2212350x y x +++=.（2）直线:390l x y -+=与坐标轴的交点 依次为(3,0),(0,9)-，不妨设(3,0),(0,9)M N -， 曲线C 的直角坐标方程2212350x y x +++= 化为标准方程是22(6)1x y ++=， 由圆的参数方程，可设点(6cos ,sin )(02)A αααπ-+<.于是222||(3cos )sin AM αα=-++ 222||(6cos )(sin 9)AN αα=-++-所以22||||18(sin cos )128AM AN αα+=-++即22||||AM AN +1284πα⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭.所以当sin 14πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即54απ=时， 22||||AM AN +取得最大值128.【点睛】本题考查参数方程，极坐标方程，直角坐标方程的转化，以及考查两点之间的距离公式，理清思路，知晓公式，属中档题.23．（1）求不等式|4|0x x --<的解集；（2）设,(2,)a b ∈+∞，证明：()()22224488a b a b ++>+. 【答案】（1）{|2}x x >（2）证明见解析【解析】（1）由式子特点，可得0x >，根据“大于取两边，小于取中间”，可得结果. （2）根据作差比较法，化简式子，可得结果. 【详解】解：（1）由不等式|4|0x x --<， 得|4|x x -<，则0,4,x x x x >⎧⎨-<-<⎩解得2x >.故不等式|4|0x x --<的解集为{|2}x x >. （2）证明：()()()22224488a b a b++-+ 原式()22222()441688ab a b a b =+++-+原式222()4416ab a b =--+ 则()()()22224488ab a b ++-+()()2244a b =--因为2,2a b >>， 所以224,4a b >>.努力的你，未来可期!精品 所以()()22440a b -->.所以原不等式()()22224488a b a b ++>+成立.【点睛】本题考查绝对值不等式解法，还考查了利用作差比较法比较式子大小，属基础题.。
高三数学5月教学质量诊断性联合考试试题 理 试题
广西2021届高三数学5月教学质量诊断性结合考试试题理制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日考生注意：1.本套试卷分选择题和非选择题两局部。
满分是150分，考试时间是是120分钟。
2.在答题之前，所有考生必须用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内工程填写上清楚。
3.考生答题时，请将答案答在答题卡上。
选择题每一小题在选出答案以后，需要用2B铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内答题，超出答题区域书写之答案无效，．．．．．．．．．．．．．．在试题卷、草稿纸上答题无效．．．．．．．．．．．．．。
4.本卷命题范围：高考范围。
一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分。
在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的。
1.设集合M＝{x|4x<32}，N＝{y|y＝x＋1}，那么M∩N＝A[1，52) B.[1，5) C.∅ D.[0，52)2.复数z＝1032ii+-(i是虛数单位)，那么z的一共轭复数是A.－3－3iB.3＋3iC.151344i-- D.151344i+α＝35，且a∈(2π，π)，那么tan(a＋4π)＝A.－34B.34D.174.假设某10人一次比赛得分数据如茎叶图所示，那么这组数据的中位数是5.设实数x ，y 满足不等式组424x y y x x ⎧+≥-≤≤⎪⎨⎪⎩，那么z ＝11y x ++的最小值为 A.13 B.15 C.－13 D.－126.点(2，0)为函数f(x)＝2cos(3πx ＋φ)(|φ|<2π)图象的一个对称中心，那么实数φ＝ A.－3π B.6π D.3π D.－6π 7.假设双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点(c ，0)到渐近线的间隔 为238a c ，那么双曲线C 的离心率为B.103C.324D.4238.假设函数f(x)＝sinx ·[lg(2x ＋1)＋mx]的图象关于原点对称，那么实数m 的值是A.－lg2B.－lg 2C.－4D.－29.某几何体的三视图如下图，那么该几何体的外表积为A.22π＋12B.24π＋12C.26π＋12π＋12△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，假设b ＝1，c 3，且2sin(B ＋C)cosC ＝1－2cosAsinC ，那么△ABC 的面积是3123331211.抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，过y 轴上的一点E 作直线EF 与抛物线C 交于A ，B两点。
2020届广西来宾市高三4月教学质量诊断性联合考试数学理试题解析版
2020届广西来宾市高三4月教学质量诊断性联合考试数学（理）试题一、单选题1．设集合{}13A x x =∈-≤≤N ，{}3,B y y x x R ==∈，则A B =（ ）A ．{}0,1,2,3B ．{} 1,2,3C ．[]1,3D ．{} 1,0,3-【答案】A【解析】可以求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可． 【详解】解：因为{}13A x x =∈-≤≤N ，{}3,B y y x x R ==∈ {0A ∴=，1，2，3}，B R =， {0AB ∴=，1，2，3}．故选：A ． 【点睛】本题考查了描述法、列举法的定义，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题． 2．若复数4z i =-，则z z ⋅=（ ） A ．15 B ．16C ．17D ．18【答案】C【解析】根据题目求出复数4z i =-的共轭复数，再进行乘法运算即可. 【详解】复数4z i =-，则4z i =+，所以(4)(4)16(1)17z z i i ⋅=-+=--=． 故选：C. 【点睛】本题考查共轭复数及复数的四则运算，考查运算求解能力，属于基础题.3．总体由编号为01，02，⋯，49，50的50个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出的第4个个体的编号为( ) 附：第6行至第9行的随机数表2748 6198 7164 4148 7086 2888 8519 1620 7477 0111 1630 2404 2979 7991 9683 5125 3211 4919 7306 4916 7677 8733 9974 6732 2635 7900 3370 9160 1620 3882 7757 4950 A ．3 B ．19C ．38D ．20【答案】B【解析】根据用用随机数表法进行简单随机抽样的方法，得出结论． 【详解】解：从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，位于01至50中间，含端点，则这四个数为：41、48、28，19， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查用随机数表法进行简单随机抽样，属于基础题． 4．执行如下所示程序框图，若输出的0y =，则输入的x 为（ ）A ．3-或0B ．3-或5-C ．5-或0D ．5-或3-或0【答案】A【解析】由程序框图的功能可得输出后的分段函数y ，分类讨论即可得解. 【详解】由题意，该程序框图若输入x ，则输出y 满足3,00,05,0x x y x x x +<⎧⎪==⎨⎪+>⎩，当0x <时，要使0y =即30x +=，解得3x =-；当0x =时，0y =，满足题意；当0x >时，要使0y =即50x +=，解得5x =-，不合题意； 所以输入的x 为3-或0. 故选：A. 【点睛】本题考查了程序框图的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.5．计算()2222111121314111n ++++---+-的值为（ ）A ．()122n n ++B ．()31422n n +-+ C ．13112124n n ⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭+ D ．311212n n -+++ 【答案】C【解析】由211111()(1)1(2)22n n n n n ==-+-++，运用裂项相消求和，化简整理即可得到所求和． 【详解】 解：211111()(1)1(2)22n n n n n ==-+-++，则22221111213141(1)1n +++⋯+---+- 1111111111(1)232435112n n n n =-+-+-+⋯+-+--++ 1111(1)2212n n =+--++ 3111()4212n n =-+++． 故选：C ． 【点睛】本题考查数列求和的方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．6．双曲线2214x y -=的离心率为（ ）A ．BCD 【答案】C【解析】双曲线2214xy-=中，222222254,1,5,.ca b c a b ea==∴=+=∴==本题选择C选项.7．函数sin cosx xyx+=在区间的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】先判断()f x 的奇偶性，利用奇偶性及()f x 的特殊函数值排除选项，即可得出答案. 【详解】因为sin()cos()sin cos ()x x x xf x x x-+--+-==-，所以()f x 既不是奇函数也不是偶函数，排除A ，B ， 又因为sin()co 0)s()10(f πππππ-+--==-<-，故选:C 【点睛】本题考查函数图像的判断，一般从奇偶性，单调性，零点和函数值等方面判断，属于基础题.8．设α，β表示平面，l 表示直线，A ，B ，C 表示三个不同的点，给出下列命题：①若∈A l ，A α∈，B l ∈，B α∈，则l α⊂；②若A α∈，A β∈，B α∈，B β∈，则AB αβ=；③若l α⊄，∈A l ，则A α；④若,,A B C α∈，,,A B C β∈，则α与β重合.其中，正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】根据平面的基本性质及推论进行判断. 【详解】若∈A l ，A α∈，B l ∈，B α∈，根据公里1，得l α⊂，①正确；若A α∈，A β∈，B α∈，B β∈，则直线AB 既在平面α内，又在平面β内， 所以AB αβ=，②正确；若l α⊄，则直线l 可能与平面α相交于点A ，所以∈A l 时， A α∈，③不正确； 若,,A B C α∈，,,A B C β∈，当,,A B C 共线时，α与β可能不重合，④不正确； 故选：B. 【点睛】本题主要考查平面的性质，明确平面的基本性质及推论是求解的关键，侧重考查直观想象的核心素养.9．261(12)()x x x+-的展开式中，含2x 的项的系数是（ ） A ．40- B ．25-C ．25D ．55【答案】B【解析】写出二项式61()x x -的展开式中的通项，然后观察含2x 项有两种构成，一种是()212x +中的1与61()x x-中的二次项相乘得到，一种是()212x +中的22x 与61()x x-中的常数项相乘得到，将系数相加即可得出结果.【详解】二项式61()x x-的展开式中的通项662166()1C (1)C k kk k k k k T x x x--+=-=-，含2x 的项的系数为223366(1)2(1)25C C -+⨯-=- 故选B. 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．10．设函数()()2ln 0,0f x a x bxa b =+>>，若函数()f x 的图象在1x =处的切线与直线2e 0x y +-=垂直，则11a b+的最小值为（ ）A ．1B ．12C ．3-D ．3+【答案】D【解析】求得()f x 的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件，可得a ，b 的关系式，再由基本不等式可得所求最小值． 【详解】解：函数2()f x alnx bx =+的导数为()2af x bx x'=+， 可得函数()f x 的图象在1x =处的切线斜率为2+a b ，由切线与直线20x y e +-=垂直，可得21a b +=，(0,0)a b >>，则111122(2)()12323a b a b a b a b a b b a b +=++=++++=+，当且仅当2a bb a=即1a ==-时，取得等号，则11a b+的最小值为3+， 故选：D ． 【点睛】本题考查导数的运用：求切线的斜率，以及两直线垂直的条件和基本不等式的运用，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题． 11．下列叙述中正确的是（ ） ①集合(){},5A x y x y =+=，()(){}22,19B x y x y =-+=，则A B =∅；②若函数()243x f x ax x -=+-的定义域为R ，则实数112a <-；③函数()f x =是偶函数；④函数()()2sin ,2,2f x x x x x ππ=-∈-有5个零点.A ．①③B ．②④C ．②③④D ．①②④【答案】B【解析】①直接利用直线与圆的位置关系的应用求出结果． ②利用二次函数的性质的应用求出结果． ③利用函数的定义域求出函数的奇偶性． ④利用函数的零点和方程的根求出结果． 【详解】解：①集合{(,)|5}A x y x y =+=，{(B x =，22)|(1)9}y x y -+=，所以圆心(1,0)到直线50x y +-=的距离3d ==<，所以则A B ≠∅；故①错误． ②若函数24()3xf x ax x -=+-的定义域为R ，则230ax x +-≠， （1）0a =时，3x ≠，与题意矛盾． （2）当0a ≠时，△1120a =+<，解得112a <-， 则实数112a <-，故②正确．③函数()f x =满足290x -，解得：33x -，且0x ≠，所以()f x ==④由()()()2sin 1sin 1sin 0,0,sin 1f x x x x x x x x x =-=-+===±，(2,2)x ππ∈-，得30,,22x ππ=±±，函数()0f x =，即函数有5个零点．故④正确．故选：B ． 【点睛】本题考查的知识要点：直线与圆的位置关系，二次函数的性质，函数的奇偶性，函数的零点和方程的根，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题． 12．已知函数()()1sin 062f x x πωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭，点P ，Q ，R 是直线()0y m m =>与函数()f x 的图象自左至右的某三个相邻交点，且223PQ QR π==，则m ω+=（ ）A ．52B ．22+C ．3D ．2【答案】C【解析】根据22||||3PQ QR π==，得到周期T ，然后计算ω，利用P ，Q 的对称性，求出P 点的横坐标，代入求解即可． 【详解】解：22||||3PQ QR π==， ||3PQ π∴=，2||3QR π=， 则233T PQ QR πππ=+=+=， 即2ππω=，即2ω=，即1()sin(2)62f x x π=++， ||3PQ π=，213x x π∴-=，122266x x πππ+++=，得10x =，此时11111sin(2)sin 1626222m x ππ=++=+=+=．即123m ω+=+=，故选：C ． 【点睛】本题主要考查三角函数图象和性质的应用，根据条件求出函数的周期以及利用对称性求出P 的坐标是解决本题的关键，属于中档题．二、填空题13．已知向量()1,2a =--，()3,b m =-，其中m R ∈.若a ，b 共线，则b =________.【答案】【解析】根据平面向量的共线定理列方程求出m 的值，再计算b 的模长． 【详解】解：向量(1,2)a =--，(3,)b m =-， 若a ，b 共线，则1(2)(3)0m -⨯--⨯-=， 解得6m =-， 所以(3,6)b =--，所以2||(3)b =-=故答案为： 【点睛】本题考查了平面向量的共线定理与模长计算问题，属于基础题．14．在数列{}n a 中，111,2n n a a a +==+，n S 为{}n a 前n 项和，若n S =36，则n =____. 【答案】6【解析】由已知条件判断出数列是等差数列，然后由等差数列前n 项和公式计算． 【详解】因为111,2n n a a a +=-=，所以{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列， 则1(1)(1)23622n n n n S n d a n n --=+=+⨯=，解得6n =. 故答案为：6. 【点睛】本题考查等差数列的判断，等差数列的前n 项和公式．属于基础题．15．已知椭圆()222:109x y C a a +=>的右焦点为F ，点M 在C 上，点N 为线段MF 的中点，点O 为坐标原点，若24MF ON ==，则C 的离心率为________.【答案】74【解析】根据椭圆的定义以及三角形的中位线定理，求出a 的值，然后计算即可得解. 【详解】设椭圆C 的左焦点为F '，由椭圆定义得2MF MF a '+=， 即42MF a '+=（），∵O 为线段FF '的中点，N 为线段MF 的中点，由中位线的性质得24MF ON '==，代入（）式，解得4a =，故其离心率2974a e a -==. 故答案为：7.【点睛】本题考查椭圆定义的应用，以及椭圆的简单几何性质，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.16．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，13AA =，点E 在侧棱1B B 上，且1BE =．设三棱锥11D DEC -的体积为1V ，四棱锥E ABCD -的体积为2V ，则12V V 的值为_________． 【答案】32【解析】作出直观图，由棱锥的体积公式即可得1V 、2V ，即可得解. 【详解】由题意作出直观图，如图，则11111111112322332D DECE D DC D DC V V S V BC --===⋅=⨯⨯⨯⨯=△， 2114221333E ABCD ABCD V S V BE -=⋅=⨯⨯⨯==，所以1223423V V ==. 故答案为：32.【点睛】本题考查了棱锥体积的求解，考查了运算求解能力，属于基础题.三、解答题17．某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图）．已知上学所需时间的范围是[0,100]，样本数据分组为[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，(80,100]．（1）求直方图中x 的值；（2）如果上学所需时间在[60,100]的学生可申请在学校住宿，请估计该校800名新生中有多少名学生可以申请住宿． 【答案】(1) 0.0125x =．(2) 96名【解析】（1）由直方图中各个矩形的面积为1建立方程求x ．（2）计算出新生上学所需时间在[60,100]的频率，再乘上新生的总人数即可得到申请住宿的人数． 【详解】解：（1）由直方图可得到200.025200.0065200.0032201x +⨯+⨯+⨯⨯=． 所以0.0125x =．（2）由直方图可知，新生上学所需时间在[60,100]的频率为0.0032200.12⨯⨯=． 所以估计全校新生上学所需时间在[60,100]的概率为0.12． 因为8000.1296⨯=．所以800名新生中估计有96名学生可以申请住宿． 【点睛】本题考查频率分布直方图的理解与应用，理解直方图的意义是解答的关键． 18．在ABC 中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且2cos 2c B a b =+. (1)求角C ;(2)若ABC 的面积为32S =,求ab 的最小值. 【答案】(1)2π3；(2) 12. 【解析】(1)由正弦定理及已知可得2sin cos 2sin sin ,C B A B =+()2sin cos 2sin sin C B B C B =++则有，2sin cos sin 0,B C B ∴+=1,sin 0,cos .2B BC ∴≠∴=-为三角形的内角2π,.3C C ∴=又为三角形的内角(2)131sin ,.22S ab C c c ab ==∴= 222222cos ,c a b ab C a b ab =+-=++又222234a b a b ab ab ∴=++≥， 12ab ∴≥，当且仅当a b =时等号成立.故ab 的最小值为12.19．如图1，在MBC △中，MA 是BC 边上的高，3MA =，4AC =.如图2，将MBC △沿MA 进行翻折，使得二面角B MA C --为90︒，再过点B 作//BD AC ，连接AD ，CD ，MD ，且23AD =，30CAD ∠=︒.（1）求证：CD ⊥平面MAD ； （2）在线段MD 上取一点E 使13ME MD =，求直线AE 与平面MBD 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（233【解析】（1）由图1可知，MA AC ⊥，MA AB ⊥，既能推出BAC ∠为二面角B MAC --的平面角，也能得到MA ⊥平面ABC ，故MA CD ⊥；结合余弦定理和勾股定理可证得AD CD ⊥，再由线面垂直的判定定理即可得证．（2）易知3AB =3BD =；以A 为原点，AB 、AC 、AM 所在的直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，逐一写出A 、B 、D 、M 、E 的坐标；由法向量的性质求得平面MBD 的法向量n ；设直线AE 与平面MBD 所成角为θ，则sin ||||||n AEn AE θ=，利用空间向量数量积的坐标运算即可得解．【详解】（1）证明：由图1可知，MA AC ⊥，MA AB ⊥，BAC ∴∠为二面角B MA C --的平面角，即90BAC ∠=︒，AB AC A ⋂=，AB 、AC ⊂平面ABC ，MA ∴⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ， MA CD ∴⊥．在CD △中，由余弦定理知，2222cos 16122423cos304CD AC AD AC AD CAD =+-∠=+-⨯⨯︒=，2CD ∴=，由于222AC CD AD =+，AD CD ∴⊥，MAAD A =，MA 、AD ⊂平面MAD ，CD平面MAD ．（2）解：90BAC ∠=︒，30CAD ∠=︒，//BD AC ，ABD ∴为直角三角形且60BAD ∠=︒，3AB ∴=，3BD =．以A 为原点，AB 、AC 、AM 所在的直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(0A ，0，0)，(3B ，0，0)，(3D 3，0)，(0M ，0，3)，3(E 1，2)， ∴3(AE =1，2)，(3MB =0，3)-，(3MD =3，3)-，设平面MBD 的法向量为(n x =，y ，)z ，则·330·3330n MB x z n MD x y z ⎧=-=⎪⎨=+-=⎪⎩，令3x =0y =，1z =，∴(3n =，0，1)， 设直线AE 与平面MBD 所成角为θ，则3sin ||||1nAE n AE θ=== 故直线AE 与平面MBD 【点睛】本题考查空间中线与面的垂直关系、线面角的求法，熟练掌握线面垂直的判定定理与性质定理，以及利用空间向量处理线面角的方法是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．20．已知函数()()ln 1,f x x a x a R =-+∈，在()()1,1f 处的切线与x 轴平行. （1）求()f x 的单调区间；（2）若存在01x >，当()01,x x ∈时，()()212122x f x x k x -++>-恒成立，求k 的取值范围.【答案】（1）()f x 在(0,1)递增，在(1,)+∞递减；（2）k 的取值范围是(,1)-∞． 【解析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为21(1)22x lnx x k x -+->-，令21()(1)22x g x lnx x k x =-+---，(1)x >，通过讨论k 的范围，求出函数的单调区间，从而确定k 的范围即可．【详解】（1）由已知可得()f x 的定义域为(0,)+∞，1()f x a x '=-，f ∴'（1）10a =-=，解得：1a =， 1()xf x x -∴'=，令()0f x '>，解得：01x <<，令()0f x '<，解得：1x >， 故()f x 在(0,1)递增，在(1,)+∞递减；（2）不等式21()2(1)22x f x x k x -++>-可化为21(1)22x lnx x k x -+->-，令21()(1)22x g x lnx x k x =-+---，(1)x >，2(1)1()x k x g x x-+-+'=， 1x >，令2()(1)1h x x k x =-+-+，()h x 的对称轴是12kx -=， ①当112k-时，即1k -， 易知()h x 在0(1,)x 上递减，()()11h x h k ∴<=-， 若1k ，则()0h x ，()0g x ∴'，()g x ∴在0(1,)x 递减，()g x g ∴<（1）0=，不适合题意．若11k -<，则h （1）0>，∴必存在0x 使得0(1,)x x ∈时，()0g x '>，()g x ∴在0(1,)x 递增，()g x g ∴>（1）0=恒成立，适合题意．②当112k->时，即1k <-， 易知必存在0x 使得()h x 在0(1,)x 递增， ()h x h ∴>（1）10k =->，()0g x ∴'>，()g x ∴在0(1,)x 递增，()g x g ∴>（1）0=恒成立，适合题意．综上，k 的取值范围是(,1)-∞． 【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，属于较难题．21．已知过点()0,2P 的直线与抛物线2:4C x y =相交于A ，B 两点. （1）若2AP PB =，且点A 在第一象限，求直线AB 的方程；（2）若点A ，B 在直线2y =-上的射影分别为1A ，1B ，线段1A B 的中点为Q ，求证1//BQ PA .【答案】（1）122y x =+；（2）证明见解析； 【解析】（1）由题意，设过点(0,2)P 的直线l 的斜率为k ，则:2l y kx =+．然后由2AP PB =，根据定比分点的知识，可得12223x x +=，12203y y +=．将112y kx =+，222y kx =+代入最终可得到k 的值，则即可求出直线AB 的方程；（2）先联立直线l 与抛物线方程，整理得到一元二次方程，根据韦达定理有124x x k +=，128x x =-．再根据题意写出∴122(2x x BQ x +=-，22)y --，11(PA x =，4)-．再根据平行向量的坐标公式12210x y x y -=进行代入计算即可证明1//BQ PA ．【详解】（1）解：由题意，设过点(0,2)P 的直线l 的斜率为k ，则:2l y kx =+． 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．2AP PB =，∴根据定比分点的知识，有12203x x +=，12223y y +=， 1220x x ∴+=．联立224y kx x y=+⎧⎨=⎩， 消去y ，整理得2480x kx --=．解得12(x k =+，22(x k =，1222(4(0x x k k ∴+=++-=，整理，得30k =>， 解得12k =．∴直线AB 的方程为122y x =+． （2）证明：根据（1），联立直线l 与抛物线方程，得224y kx x y =+⎧⎨=⎩， 整理，得2480x kx --=． 则124x x k +=，128x x =-． 11(A x ，2)-，12(B x ，2)-．12(2x x Q +∴，2)-． ∴122(2x x BQ x +=-，22)y --，11(PA x =，4)-． 12212()(4)(2)2x x x x y +----- 2112211212124(2)22222x x x y x x x y x x x y -=++=-++=+ 222212122244x xx x x x x =+=+222(8)04xx =+-=．1//BQ PA ∴．【点睛】本题主要考查直线与抛物线的综合问题，考查了定比分点的应用，平行向量坐标公式的应用，考查了逻辑思维能力和数学运算能力．属于中档题． 22．在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），.以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为cos()6πρθ+=(1)求曲线C 的极坐标方程;(2)求直线l 与曲线C 交点的极坐标(ρ>0,0≤θ<2π).【答案】（1）4cos ρθ= （2）5(2,)36ππ【解析】试题分析：(1)首先利用22sin cos 1αα+=消去参数α，得到普通方程()2224x y -+=，再由cos ,sin x y ρθρθ==得到C 的极坐标方程；(2)首先将直线l 与曲线C 转化为直角坐标方程，联立直线l 与曲线C ，求得交点坐标，再转化为极坐标. 试题解析：因为曲线C 的参数方程为()22cos 2sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数 ，消去参数，得：()2224x y -+=，由于cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩ ，∴24cos 0ρρθ-=∴曲线C 的极坐标方程为：4cos ρθ= （2）直线:cos 6l πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭∴1:sin 22l ρθθ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭122x y ∴-=()2224y x y ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩ 解得：1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或3x y =⎧⎪⎨=⎪⎩所以交点的极坐标为：52,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭，6π⎛⎫⎪⎝⎭ 点睛：极坐标与参数方程的核心要实现三种坐标的转化，其中直角坐标方程是桥梁，对于本题的第二问就是将极坐标方程转化成普通直角坐标方程，从而求出交点坐标． 23．已知函数()223f x x x =-++. （1）求不等式()25f x x ≥+的解集；（2）若()f x 的最小值为k ，且实数a ，b ，c 满足()a b c k +=，求证：222816a b c ++≥. 【答案】（1）{|0x x 或4}x ；（2）证明见解析；【解析】（1）将()f x 写为分段函数的形式，然后根据()25f x x +，利用零点分段法解不等式即可；（2）先根据（1）得到()f x 的最小值k ，然后利用作差法证明222816a b c ++成立． 【详解】解：（1）31,1()2235,3131,3x x f x x x x x x x +>⎧⎪=-++=-+-⎨⎪--<-⎩，()25f x x +，∴31251x x x ++⎧⎨>⎩或52531x x x -++⎧⎨-⎩或31253x x x --+⎧⎨<-⎩，4x 或30x -或3x <-， 0x ∴或4x ，∴不等式的解集为{|0x x 或4}x ．（2）证明：由 （1）知，()4min f x k ==， ()4a b c k ∴+==，4416ab ac ∴+=，222222222816(44)(44)(2)(2)0a b c a ab b a ac c a b a c ∴++-=-++-+=-+-， 当且仅当22b c a ===时取等号， 222816a b c ∴++．【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，利用综合法解不等式，考查了分类讨论思想和转化思想，属于中档题．。
广西届高三上学期教育质量诊断性联合考试理数试题含答案
2016年广西秋季学期高三年级教育质量诊断性联合考试数学试卷理科第Ⅰ卷共60分一、选择题：本大题共12个小题;每小题5分;共60分.在每小题给出的四个选项中;只有一项是符合题目要求的.1.下列集合中;是集合{}2|5A x x x =<的真子集的是 A ．{}2,5 B ．(6,)+∞C ．(0,5)D ．(1,5)2.复数37iz i+=的实部与虚部分别为 A ．7;3- B ．7;3i -C ．7-;3D ．7-;3i3.设2log 5a =;2log 6b =;129c =;则 A ．c b a >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．a b c >>4.设向量(1,2)a =;(3,5)b =-;(4,)c x =;若a b c λ+=R λ∈;则x λ+的值为A ．112-B ．112 C ．292- D ．2925.已知tan 3α=;则2sin cos sin 3cos αααα-+等于A ．13B ．56C ．23D ．26.设x ;y 满足约束条件270,20,20,x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-≥⎩则y x 的最大值为A ．32B ．2C ．13D ．07.将函数cos(2)3y x π=+的图象向左平移6π个单位后;得到()f x 的图象;则 A ．()sin 2f x x =- B ．()f x 的图象关于3x π=-对称C ．71()32f π=D ．()f x 的图象关于(,0)12π对称8.执行如图所示的程序框图;若输入的2x =;4n =;则输出的s 等于 A ．94B ．99C ．45D ．2039.直线2y b =与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左支、右支分别交于B 、C 两点;A 为右顶点;O 为坐标原点;若AOC BOC ∠=∠;则该双曲线的离心率为A B C D 10.2015年年岁史诗大剧芈月传风靡大江南北;影响力不亚于以前的甄嬛传．某记者调查了大量芈月传的观众;发现年龄段与爱看的比例存在较好的线性相关关系;年龄在[]10,14;[]15,19;[]20,24;[]25,29;[]30,34的爱看比例分别为10%;18%;20%;30%;%t ．现用这5个年龄段的中间值x 代表年龄段;如12代表[]10,14;17代表[]15,19;根据前四个数据求得x 关于爱看比例y 的线性回归方程为( 4.68)%y kx =-;由此可推测t 的值为A ．33B ．35C ．37D ．3911.某几何体是组合体;其三视图如图所示;则该几何体的体积为 A ．1683π+ B ．3283π+ C ．168π+D ．16163π+ 12.已知定义在R 上的偶函数()f x 在[0,)+∞上递减;若不等式(ln 1)(ln 1)2(1)f ax x f ax x f -+++--≥对[]1,3x ∈恒成立;则实数a 的取值范围为A ．(2,)eB ．1[,)e+∞C ．1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．12ln 3,3e+⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 第Ⅱ卷共90分二、填空题每题5分;满分20分;将答案填在答题纸上13.7(1)x -的展开式中2x 的系数为 ．14.已知曲线C 由抛物线28y x =及其准线组成;则曲线C 与圆22(3)16x y ++=的交点的个数为 ．15.若体积为4的长方体的一个面的面积为1;且这个长方体8个顶点都在球O 的球面上;则球O 表面积的最小值为 ．16.我国南宋着名数学家秦九昭在他的着作数书九章卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段;有三斜．其小斜一十三里;中斜一十四里;大斜一十五里．里法三百步;欲知为田几何．”这道题讲的是有一个三角形沙田;三边分别为13里;14里;15里;假设1里按500米计算;则该沙田的面积为 平方千米．三、解答题 本大题共6小题;共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 本小题满分12分某体育场一角的看台共有20排;且此看台的座位是这样排列的：第一排有2个座位;从第二排起每一排比前一排多1个座位;记n a 表示第n 排的座位数． 1确定此看台共有多少个座位；2求数列{}2n n a ⋅的前20项和20S ;求2202log log 20S -的值． 18. 本小题满分12分已知某智能制作完成之后还需要依次通过三道严格的审核程序;第一道审核、第二道审核、第三道审核通过的概率分别为2532;45;45;每道程序是相互独立的;且一旦审核不通过就停止审核;每部只有三道程序都通过才能出厂销售． 1求审核过程中只通过两道程序的概率；2现有3部该智能进入审核;记这3部可以出厂销售的部数为X ;求X 的分布列及数学期望． 19. 本小题满分12分如图;在三棱柱111ABC A B C -中;侧面11ACC A 与侧面11CBB C 都是菱形;11160ACC CC B ∠=∠=︒;AC = 1求证：11AB CC ⊥；2若1AB =11A C 的中点为1D ;求二面角11C AB D --的余弦值． 20. 本小题满分12分如图;1F ;2F 为椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点;D ;E 是椭圆的两个顶点;12||F F =;||DE =;若点00(,)M x y 在椭圆C 上;则点00(,)x y N a b称为点M 的一个“椭点”．直线l 与椭圆交于A ;B 两点;A ;B 两点的“椭点”分别为P ;Q ;已知以PQ 为直径的圆经过坐标原点． 1求椭圆C 的标准方程；2试探讨AOB ∆的面积S 是否为定值 若为定值;求出该定值；若不为定值;请说明理由． 21. 本小题满分12分 已知函数21()4f x x a x=+-;()()g x f x b =+;其中a ;b 为常数． 1若1x =是函数()y xf x =的一个极值点;求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； 2若函数()f x 有2个零点;(())f g x 有6个零点;求a b +的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答;如果多做;则按所做的第一题记分.22. 本小题满分10分选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中;圆C 的方程为22((1)9x y -++=;以O 为极点;x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． 1求圆C 的极坐标方程； 2直线OP ：6πθ=R ρ∈与圆C 交于点M 、N ;求线段MN 的长．23. 本小题满分10分选修4-5：不等式选讲已知()|2||21|f x x x =+--;M 为不等式()0f x >的解集． 1求M ；2求证：当x ;y M ∈时;||15x y xy ++<．2016年广西秋季学期高三年级教育质量诊断性联合考试数学试卷文科答案 一、选择题1-5:DAACB 6-10:ABADB 11、12：AD二、填空题13.21- 14.4 15.18π 16.21三、解答题17.解：1由题可知数列{}n a 是首项为2;公差为1的等差数列; ∴211n a n n =+-=+120n ≤≤． ∴此看台的座位数为(221)202302+⨯=．2∵1220202232212S =⨯+⨯++⨯…; ∴23212022232212S =⨯+⨯++⨯…;∴2320212121204222212424212S -=++++-⨯=+--⨯…; ∴2120202S =⨯;∴2122022log log 20log 221S -==．18.解：1设“审核过程中只通过两道程序”为事件A ; 则25441()(1)32558P A =⨯⨯-=． 2每部该智能可以出厂销售的概率为2544132552⨯⨯=． 由题意可得X 可取0;1;2;3;则有311(0)(1)28P X ==-=;123113(1)(1)228P X C ==⨯⨯-=;223113(2)()(1)228P X C ==⨯⨯-=;311(3)()28P X ===;所以X 的分布列为：故13313()012388882E X =⨯+⨯+⨯+⨯=或13322⨯=． 19.1证明：连接1AC ;1CB ;则1ACC ∆和11B C C ∆皆为正三角形． 取1CC 中点O ;连接OA ;1OB ;则1CC OA ⊥;11CC OB ⊥;从而1CC ⊥平面1OAB ;11CC AB ⊥．2解：由1知;13OA OB==;又1AB =满足22211OA OB AB +=; 所以1OA OB ⊥;OA ⊥平面11B CC ．如图所示;分别以1OB ;1OC ;OA 为正方向建立空间直角坐标系;则(0,C ;1(3,0,0)B ;(0,0,3)A ;1C ;1(0,A;13)2D ; 设平面1CAB 的法向量为(,,)m xy z =;因为1(3,0,3)AB =-;(0,3)AC =-;所以330,30,x z z -=⎧⎪⎨-=⎪⎩取(1,m =-．设平面11AB D 的法向量为n ;因为13)2AD =-;113()2B D =-;同理可取(3,1,n =．则cos ,||||5m n m n m n ⋅<>===⋅⨯;因为二面角11C AB D --为钝角; 所以二面角11C AB D--的余弦值为 20.解：1由题可知2222,c a b c ==⎨⎪-=⎪⎩解得224,1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩故椭圆C 的标准方程为2214x y +=．2设11(,)A x y ;22(,)B x y ;则11(,)2x P y ;22(,)2xQ y ． 由OP OQ ⊥;即121204x x y y +=． ①当直线AB 的斜率不存在时;1121||||12S x y y =⨯-=；②当直线AB 的斜率存在时;设其直线为y kx m =+0m ≠;联立22,44,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得222(41)8440k x kmx m +++-=; 则2216(41)k m ∆=+-;21224441m x x k -=+;同理22122441m k y y k -=+;代入;整理得22412k m +=． 此时2160m ∆=>;12||||AB x x =-=;h =;∴1S =．综上;ABC ∆的面积为定值1．21.解：1∵()y xf x =341x ax =+-;∴2'12y x a =-;∴120a -=;即12a =． 又21'()8f x x x =-;∴'(1)7f =;∵(1)57f a =-=-; ∴所求切线方程为77(1)y x +=-;即714y x =-．2若函数()f x 存在2个零点;则方程214a x x=+有2个不同的实根; 设21()4h x x x =+;则21'()8h x x x =-3281x x -=;令'()0h x >;得12x >； 令'()0h x <;得0x <;102x <<;∴()h x 的极小值为1()2h ． ∵1()32h =;∴由()h x 的图象可知3a =． ∵1(1)()32h h -==;∴令(())0f g x =;得1()2g x =或()1g x =-;即1()2f x b =-或()1f x b =--;而(())f g x 有6个零点;故方程1()2f x b =-与()1f x b =--都有三个不同的解; ∴102b ->且10b -->;∴1b <-;∴2a b +<． 22.解：122((1)9x y -++=可化为22250x y y +-+-=;故其极坐标方程为2cos 2sin 50ρθρθ-+-=． 2将6πθ=代入2cos 2sin 50ρθρθ-+-=;得2250ρρ--=;∴122ρρ+=;125ρρ=-;∴12||||MN ρρ=-==．23.解：13,2,1()31,2,213,.2x x f x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=+-≤≤⎨⎪⎪-+>⎪⎩当2x <-时;由30x ->;得3x >;舍去；当1122x -≤≤时;由310x +>;得13x >-;即1132x -<≤； 当12x >时;由30x -+>;得3x <;即132x <<．综上;1(,3)3M =-．2因为x ;y M ∈;∴||3x <;||3y <; 所以<++⨯=．++≤++≤++=++⋅333315 x y xy x y xy x y xy x y x y||||||||||||||||||||。
邕衡金卷广西2023届高三一轮复习诊断性联考理科数学答案
邕衡金卷广西2023届高三一轮复习诊断性联考理科数学答案12345678101112DCCCDACBDAA1．D【解析】1i,(1i)(1222i)12 3.z zz =-=+-=+=1i 22616i 36z zz +==++故选：D 2．C3.C【解析】因为{}225A x y x ==-，2250x -≥ ，所以{}55A x x ∴-≤≤={}{}2412062B x x x x x =+-<=-<< ，则{R 6B x x =≤-ð或}2x ≥故(){}R 25A B x x =≤≤ ð，故选：C.4.C【解析】由几何体的三视图可知几何体的直观图如下：所以24432V Sh ==⨯⨯=.故选：C5.D【解析】因为()2(sin 2)()22x xx x f x f x --==--，所以()f x 是偶函数，故A，C 错误；2111sin 2(1)022f -=>-，选项B 符合函数()f x ，B 不符合.故选：D.6.A【解析】∵函数()e 2xf x ax =+，∴22e (2)e e (2)()(2)(2)x x x ax a ax a f x ax ax +-+-'==++∴12e (2)(1)0(2)a a f a --+-'-==-+，∴1a =∴22e (2)e e (1)()(2)(2)x x x x x f x x x +-+'==++()2,x ∈-+∞∴当2<1x --<时，()0f x '<，即函数()f x 在(2,1)--上单调递减，当1x >-时，()0f x '>，即函数()f x 在(1,)-+∞上单调递增，所以()f x 在1x =-处取得极小值即最小值，∴min ()(1)f x f =-，∵函数()e 2xf x x =+在()2,b -上有最小值，∴1b >-，即()1,b ∈-+∞；故选：A.7.C【解析】如图取AC 中点M ，连接EM ，取EM 的中点N .连接BN ，则有//EF BN ,则直线EF 与平面BCD 所成角可转化成求则直线BN 与平面BCD 所成角.因为2,AB BC AC ===1CC ⊥平面ABC ，E 为11AC 中点，22112EF B F B E =+=，又由等体积法N BCD B CDN V V --=可求得点N 到面BCD 的距离34d =，所以直线EF 与平面BCD 所成角的正弦值sin 8d EF θ==.8.B【解析】设圆心角l rα=，1,(0,)222l l r r α<=∈，所以222()2cos cos 11=2228rlCO l l r r r α=≈-=-，28l CO r r ≈-，所以22()88l l CD r r r r≈--=.故选：B.9.B【解析】设圆锥高为h,底面圆半径33r =，圆锥的体积为32111339h V h h π=⨯⨯=，圆柱的半径39r =，高为23h，体积为32212227381h V h h π=⨯⨯=，所以=12:2:9V V .10.D【解析】依题意可得0ω>，因为()0,x π∈，所以,666x πππωωπ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，要使函数在区间()0,π恰有三个极值点、三个零点，作出2sin =y t 的图象，容易得到则5<326ππωππ-≤，解得819<36ω≤，即19,683ω⎛⎤⎥⎝⎦∈．故选：D．11.A【解析】由题意得，点M 为PQ 中点12PQ BF BF bk k k c =-==- 22OM PQ b k k a= ，M （-4,1）224PQb b kc a ∴=-=-24bc a ∴=22416b c a ∴=，42161610e e ∴--=224e +∴=12．A【解析】方法一：构造法设()ln(1)(1)f x x x x =+->-，因为1()111xf x x x'=-=-++，当(1,0)x ∈-时，()0f x '>，当,()0x ∈+∞时()0f x '<，所以函数()ln(1)f x x x =+-在(0,)+∞单调递减，在(1,0)-上单调递增，所以()37(0)0f f <=，所以10n 07l 37-<，故37710ln ln 0.7>=-，即c a >，所以()(30)010f f -<=，所以ln +1073010<，故310e 710-<，所以1303e 1037<，故b c <，设()e ln(1)(01)xg x x x x =+-<<，则()()21e 11()+1e 11xx x g x x x x -+'=+=--,令2()e (1)+1x h x x =-，2()e (21)x h x x x '=+-，当01x <时，()0h x '<，函数2()e (1)+1x h x x =-单调递减，11x -<<时，()0h x '>，函数2()e (1)+1x h x x =-单调递增，又(0)0h =，所以当01x <<时，()0h x <，所以当01x <<时，()0g x '>，函数()e ln(1)x g x x x =+-单调递增，所以(0.3)(0)0g g >=，即0.30.3e ln 0.7>-，所以b a >故选：A.方法二：比较法解：0.3ln(10.3),0.0.310.33e a b c -==-=-，①ln ln 0.3ln(10.3)b c -=+-，令()ln(1),(0,0.3],f x x x x =+-∈则1()1011x f x x x-'=-=<--，故()f x 在(0,0.3]上单调递减，可得(0.3)(0)0f f <=，即ln ln 0b c -<，所以b c <；②0.30.3ln(10.3)b a e -=+-，令()ln(1),(0,0.3],x g x xe x x =+-∈则()()()1111'11x xxx x e g x xe e x x+--=+-=--，令()(1)(1)1x k x x x e =+--，所以2()(12)0x k x x x e '=-->，所以()k x 在(0,0.3]上单调递增，可得()(0)0k x k >>，即()0g x '>，所以()g x 在(0,0.3]上单调递增，可得(0.3)(0)0g g >=，即0b a ->，所以.b a >故.a b c <<13.1【解析】由投影的定义知，a 在b 12123cos =⨯=π.14.35【解析】不防设第一次取到新球的事件为A，第二次取到旧球的事件为B，则53)()()(==A P AB P A B P .15.2【解析】由题意得，四边形12PF QF 是矩形，由焦点三角形面积公式得212tan 1tan 4512F PF b θ∆==⨯︒=，11222F PF PF QF S S ∆∴==矩形.16.9364【解析】在ABC ∆中，设AB c =，BC a =，AC b =，由3AD DC =，则1344BD BA BC =+ ，则2221(93)16BD c a ac =++ ，22216939c a ac ac=++≥，即9256≤ac ，9364433sin 21≤==∴∆ac ac S ABC π，当且仅当c a =3时取等号．所以ABC ∆面积的最大值为9364．17.解：（1）当1,n =111112,,44S a a =-=....................................（1分）因为12.4n n S a =-①，当2n ≥时，1112.4n n S a --=-②，............................................（2分）①-②得，1122n n n n S S a a ---=-，.............................................（3分）即122n n n a a a -=-，所以12n n a a -=，2n ≥且N*n ∈，所以{}n a 是以14为首项，2为公比的等比数列．...............................（6分）（2）由（1）可得32n n a -=，32log 23n n b n -==-................................（8分）所以()2211515252222228n n n T n n n n -⎛⎫=-+=-=--⎪⎝⎭，..........................（10分）所以，当2n =或3n =时，()min 3n T =-．.....................................（12分）18.解：（1）延长DC AB E =I ，连接ME 交PB 于F ，连接FC ，...............（1分）如图，四边形MFCD 为截面α.....................（2分）ADE ∆中，//BC AD ，由12BC AD =，则C 为DE 中点，B 为AE 中点..........（3分）过M 作//MN AB 交PB 于N ，则112MN AB ==，//MN AB 12∴∆∆∴==FN MN MNF EBF BF BE :.........................（4分）2BF NF ∴=，即13BF BP =.........................（5分）F ∴为棱PB 上靠近点B 位置的三等分点..................（6分）（2）以A 为原点,AB 为x 轴,AD 为y 轴,AP 为z 轴,建立空间坐标系如图,则有:()()()()()0,0,4,2,0,0,0,4,0,2,2,0,0,0,2P B D C M ,44,0,33F ⎛⎫⎪⎝⎭......（7分）设平面PBC 的一个法向量为(),,p x y z = ,()()2,0,4,0,2,0=-=PB BC 则有·0·0p PB p BC ⎧=⎨=⎩ ,解得24020-=⎧⎨=⎩x z y ,令1=z ,则()2,0,1=p .....................（8分）设平面α的一个法向量为(),,q a b c = ,()()0,4,2,2,2,0=-=-DM CD ·0·0q DM q CD ⎧=⎨=⎩,解得420220-+=⎧⎨-+=⎩b c a b ,令1a =,则1b =,2=c ,()1,1,2=q ........................................（9分）设平面α与平面PBC 的锐二面角的平面角为θ,则cos p qp qθ⋅=⋅ ............（10分）==...................................（11分）所以平面α与平面ABC 的二面角的锐平面角的余弦值为23015...............（12分）19.解析：（1）设“甲班级在篮球、足球、羽毛球中获胜”为事件C B A ,,，“甲班级获得冠军”为事件D ，.............................................（1分）则536.0)(,548.0)(,524.0)(======C P B P A P ，..........................（2分）所以)()(BC A C B A C AB ABC P D P +++=,.................................（3分）5354)521(53)541(52531(5452535452⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯+⨯⨯=12582=（或者656.0）.....................................................（5分）（2）X 的可能取值为24,16,8,0，...........................................（6分）12524535452)()0(=⨯⨯===ABC P X P ，....................................（7分）)()8(BC A C B A C AB P X P ++==24324324358(1(1)(1)555555555125=⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯=.........................（8分）)()16(C B A C B A C B A P X P ++==24324324337(1)(1)(1)(1))555555555125=--+--+--=.....................（9分）1256531)(541)(521()()24(=---===C B A P X P ...........................（10分）所以X 的分布列为.......................（11分）期望5481256241253716125588125240)(=⨯+⨯+⨯+⨯=X E ......................（12分）20.解：（1）抛物线的准线为2px =-，当MD 与x 轴垂直时，点M 的横坐标为p ，此时=32pMF p +=.........................................................（2分）所以2p =.................................................................（3分）所以抛物线C 的方程为24y x =...............................................（4分）（2）设222231241234,,,,,,,4444y y y y P y Q y R y S y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，显然直线PQ 的斜率不为0，................................................（5分）设直线PQ ：1x my =-，与抛物线24y x =联立可得2440y my +=-，且0∆>则12.4y y =................................................................（6分）由P ，B ，R 三点共线，...................................................（7分）故BR PR k k =，∴31322233114144y y y y y y --+=-即32313114y y y y +=-+，即13141y y y --=+...............（9分）同理：由Q ，B ，S 三点共线，故BS QS k k =，∴42222244414144y y y y y y --+=-即42424114y y y y +=-+，即24241y y y --=+.............（10分）所以23141231422314211222224444444114444QR PS k k y y y y y y y y y y y y y y y y y y +=++=-----+--+==-++++-+，所以直线QR 与直线PS 的斜率之和为定值-4.......................................（12分）21．解：（1）当1a =时，函数()(ln 1)f x x x =+.()ln 2f x x '=+，................（1分）则(1)2f '=，即切线斜率为2，................（2分）又(1)1f =，.............（3分）则切线l 的方程为12(1)y x -=⨯-，即切线方程为210x y --=...................（4分）（2）∵12x x ，是方程2()f x x =的两个不等实根，212x x >，且1>0x ，20x >，则2111122222ln 0ln 0x x ax x x x ax x ⎧-+=⎨-+=⎩，即1122ln 1ln 1x ax x ax +=⎧⎨+=⎩，....................................（6分）∴12211221ln ln 2ln ln x x x x a x x x x ++-==+-，即()21211221ln ln 2xx x x x x x x ++=-，.................（7分）令21x t x =，则2t >，则12(1)ln ln 21t t x x t ++=-，令(1)ln ()1t t g t t +=-，则212ln ()(1)t t tg t t -=-'-（8分）令1()2ln h t t t t=--，则22(1)()0t h t t -'=>，则()h t 单调递增，......................（9分）∴3()(2)2ln 202h t h >=->，即()0g t '>，则()g t 单调递增，∴()(2)3ln 2g t g >=...（10分）∴12ln 23ln 2x x +>，即1228ln 3ln 22ln ex x >-=，即1228e x x >，..................（11分）则2212122x x x x +≥ （由于12x x ≠，故不取等号），∴2212216ex x +>.得证..........（12分）22.解：（Ⅰ）由⎩⎨⎧==ϕϕsin 3cos 2y x （ϕ是参数）消去参数ϕ得：22143x y+=........（2分）将θρθρsin ,cos ==y x 代入上式..........................................（3分）所以曲线C 的极坐标方程为12sin 4cos 322=+θρθρ（或θρ22sin 312+=）..（5分）（Ⅱ）∵点1(,)A ρθ，32,(),3,(32πθρπθρ++C B 在在曲线C 上，∴232221222111111ρρρ++=++OCOB OA .....................................（6分）)]32(sin 3)3(sin 3sin 3[121222πθπθθ+++++++=])cos 23sin 21(3)cos 23sin 21(3sin 3[121222θθθθθ+-++++++=..........（7分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+++++=θθθθθθθθθ22222cos 43cos sin 23sin 41cos 43cos sin 23sin 41sin 9121（8分）)cos 23sin 21sin 9(121222θθθ+++=.......................................（9分）87239121=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯=........................................................（10分）23.解：（1）解法一：由柯西不等式得：])()[(])()[())((24524524124125252121b a b a b a b a +⋅+=++.........................（3分）4)(])()[(])()[(22323245245241241=+≥+⋅+b a b a b a ..............................（4分）当a b =时，等号成立．所以原式得证........................................（5分）解法二：212525213325252121))((b a a b a b a b a +++=++..................................（1分）232321252521223232)(a b a a b a -+++=.........................................（2分）232326262232322)(b a b a b a -++≥............................................（3分）当a b =时，等号成立.....................................................（4分）即≥++))((2525b a b a 4)(22323=+=b a ....................................（5分）（2）解法一：由22323=+b a 及2()4a b ab +≤.................................（6分）]3))[(()()(2212122121212121212121b a b a b a a b a b a -++=-+⋅+=.................（7分）]43)[()(22121221212121）（b a b a b a +-+⋅+≥4232121）（b a +≥............................................................（8分）当1a b ==时，等号成立...................................................（9分）所以2≤+b a .........................................................（10分）解法二：因为22323=+b a 所以：)(4)(8)(23233212132121b a b a b a +-+=-+................................（6分）2323232121234433ba b b a ab a --+++=221212121212121212121))((3))((3)(3)(3b a b a b a b a b a b a b a -+-=-+-=-+-=.......（7分）又0,0a b >>，所以:0))((3221212121≤-+-b a b a .................................................（8分）8)(32121≤+b a 当1a b ==时，等号成立.................................（9分）所以，2≤+b a ......................................................（10分）。
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2016年广西秋季学期高三年级教育质量诊断性联合考试数学试卷（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列集合中，是集合{}2|5A x x x =<的真子集的是（） A ．{}2,5 B ．(6,)+∞C ．(0,5)D ．(1,5)2.复数37iz i+=的实部与虚部分别为（） A ．7，3- B ．7，3i -C ．7-,3D ．7-,3i3.设2log 5a =，2log 6b =，129c =，则（）A ．c b a >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．a b c >>4.设向量(1,2)a =r ，(3,5)b =-r ，(4,)c x =r，若a b c λ+=r r r （R λ∈），则x λ+的值为（）A ．112-B ．112C ．292-D ．2925.已知tan 3α=，则2sin cos sin 3cos αααα-+等于（）A ．13B ．56C ．23D ．26.设x ，y 满足约束条件270,20,20,x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-≥⎩则y x 的最大值为（）A ．32B ．2C ．13D ．07.将函数cos(2)3y x π=+的图象向左平移6π个单位后，得到()f x 的图象，则（）A ．()sin 2f x x =-B ．()f x 的图象关于3x π=-对称C ．71()32f π=D ．()f x 的图象关于(,0)12π对称8.执行如图所示的程序框图，若输入的2x =，4n =，则输出的s 等于（） A ．94B ．99C ．45D ．2039.直线2y b =与双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左支、右支分别交于B 、C 两点，A 为右顶点，O 为坐标原点，若AOC BOC ∠=∠，则该双曲线的离心率为（）A B C D 年年岁史诗大剧《芈月传》风靡大江南北，影响力不亚于以前的《甄嬛传》．某记者调查了大量《芈月传》的观众，发现年龄段与爱看的比例存在较好的线性相关关系，年龄在[]10,14，[]15,19，[]20,24，[]25,29，[]30,34的爱看比例分别为10%，18%，20%，30%，%t ．现用这5个年龄段的中间值x 代表年龄段，如12代表[]10,14，17代表[]15,19，根据前四个数据求得x 关于爱看比例y 的线性回归方程为$( 4.68)%y kx =-，由此可推测t 的值为（） A ．33B ．35C ．37D ．3911.某几何体是组合体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（） A ．1683π+ B ．3283π+ C ．168π+ D ．16163π+ 12.已知定义在R 上的偶函数()f x 在[0,)+∞上递减，若不等式(ln 1)(ln 1)2(1)f ax x f ax x f -+++--≥对[]1,3x ∈恒成立，则实数a 的取值范围为（）A ．(2,)eB ．1[,)e+∞C ．1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．12ln 3,3e +⎡⎤⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.7(1)x -的展开式中2x 的系数为．14.已知曲线C 由抛物线28y x =及其准线组成，则曲线C 与圆22(3)16x y ++=的交点的个数为．15.若体积为4的长方体的一个面的面积为1，且这个长方体8个顶点都在球O 的球面上，则球O 表面积的最小值为．16.我国南宋着名数学家秦九昭在他的着作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜．其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步，欲知为田几何．”这道题讲的是有一个三角形沙田，三边分别为13里，14里，15里，假设1里按500米计算，则该沙田的面积为平方千米．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）某体育场一角的看台共有20排，且此看台的座位是这样排列的：第一排有2个座位，从第二排起每一排比前一排多1个座位，记n a 表示第n 排的座位数． （1）确定此看台共有多少个座位；（2）求数列{}2n n a ⋅的前20项和20S ，求2202log log 20S -的值． 18.（本小题满分12分）已知某智能手机制作完成之后还需要依次通过三道严格的审核程序，第一道审核、第二道审核、第三道审核通过的概率分别为2532，45，45，每道程序是相互独立的，且一旦审核不通过就停止审核，每部手机只有三道程序都通过才能出厂销售． （1）求审核过程中只通过两道程序的概率；（2）现有3部该智能手机进入审核，记这3部手机可以出厂销售的部数为X ，求X 的分布列及数学期望．19.（本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A 与侧面11CBB C 都是菱形，11160ACC CC B ∠=∠=︒，AC =． （1）求证：11AB CC ⊥；（2）若1AB =，11A C 的中点为1D ，求二面角11C AB D --的余弦值． 20.（本小题满分12分）如图，1F ，2F 为椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，D ，E 是椭圆的两个顶点，12||F F =，||DE =，若点00(,)M x y 在椭圆C 上，则点00(,)x y N a b称为点M 的一个“椭点”．直线l 与椭圆交于A ，B 两点，A ，B 两点的“椭点”分别为P ，Q ，已知以PQ 为直径的圆经过坐标原点． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）试探讨AOB ∆的面积S 是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．21.（本小题满分12分）已知函数21()4f x x a x=+-，()()g x f x b =+，其中a ，b 为常数． （1）若1x =是函数()y xf x =的一个极值点，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）若函数()f x 有2个零点，(())f g x 有6个零点，求a b +的取值范围． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22((1)9x y -++=，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆C 的极坐标方程； （2）直线OP ：6πθ=（R ρ∈）与圆C 交于点M 、N ，求线段MN 的长．23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知()|2||21|f x x x =+--，M 为不等式()0f x >的解集． （1）求M ；（2）求证：当x ，y M ∈时，||15x y xy ++<．2016年广西秋季学期高三年级教育质量诊断性联合考试数学试卷（文科）答案 一、选择题1-5:DAACB 6-10:ABADB 11、12：AD 二、填空题21-418π三、解答题17.解：（1）由题可知数列{}n a 是首项为2，公差为1的等差数列， ∴211n a n n =+-=+（120n ≤≤）． ∴此看台的座位数为(221)202302+⨯=． （2）∵1220202232212S =⨯+⨯++⨯…， ∴23212022232212S =⨯+⨯++⨯…，∴2320212121204222212424212S -=++++-⨯=+--⨯…， ∴2120202S =⨯，∴2122022log log 20log 221S -==．18.解：（1）设“审核过程中只通过两道程序”为事件A ， 则25441()(1)32558P A =⨯⨯-=． （2）每部该智能手机可以出厂销售的概率为2544132552⨯⨯=． 由题意可得X 可取0，1，2，3，则有311(0)(1)28P X ==-=，123113(1)(1)228P X C ==⨯⨯-=，223113(2)()(1)228P X C ==⨯⨯-=，311(3)()28P X ===，所以X 的分布列为：故()012388882E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（或322⨯=）．19.（1）证明：连接1AC ，1CB ，则1ACC ∆和11B CC ∆皆为正三角形．取1CC 中点O ，连接OA ，1OB ，则1CC OA ⊥，11CC OB ⊥，从而1CC ⊥平面1OAB ，11CC AB ⊥． （2）解：由（1）知，13OA OB ==，又1AB =满足22211OA OB AB +=，所以1OA OB ⊥，OA ⊥平面11BC C ．如图所示，分别以1OB ，1OC ，OA 为正方向建立空间直角坐标系， 则(0,C ，1(3,0,0)B ，(0,0,3)A ，1C，1(0,A ，13)2D ， 设平面1CAB 的法向量为(,,)m x y z =u r ，因为1(3,0,3)AB =-u u u r ，(0,3)AC =-u u ur，所以330,30,x z z -=⎧⎪⎨-=⎪⎩取(1,m =u r ．设平面11AB D 的法向量为n r，因为13)2AD =-u u u u r，113()2B D =-u u u u r ，同理可取n =r．则cos ,||||m n m n m n ⋅<>===⋅u r ru r r u r r ，因为二面角11C AB D --为钝角， 所以二面角11C AB D --的余弦值为20.解：（1）由题可知2222,c a b c ==⎨⎪-=⎪⎩解得224,1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩故椭圆C 的标准方程为2214x y +=．（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则11(,)2x P y ，22(,)2xQ y ． 由OP OQ ⊥，即121204x x y y +=．（*） ①当直线AB 的斜率不存在时，1121||||12S x y y =⨯-=；②当直线AB 的斜率存在时，设其直线为y kx m =+（0m ≠），联立22,44,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得222(41)8440k x kmx m +++-=， 则2216(41)k m ∆=+-，21224441m x x k -=+，同理22122441m k y y k -=+，代入（*），整理得22412k m +=． 此时2160m ∆=>，12||||AB x x =-=，h =，∴1S =．综上，ABC ∆的面积为定值1．21.解：（1）∵()y xf x =341x ax =+-，∴2'12y x a =-，∴120a -=，即12a =． 又21'()8f x x x =-，∴'(1)7f =，∵(1)57f a =-=-， ∴所求切线方程为77(1)y x +=-，即714y x =-．（2）若函数()f x 存在2个零点，则方程214a x x =+有2个不同的实根，设21()4h x x x =+，则21'()8h x x x =-3281x x -=，令'()0h x >，得12x >； 令'()0h x <，得0x <，102x <<，∴()h x 的极小值为1()2h ． ∵1()32h =，∴由()h x 的图象可知3a =．∵1(1)()32h h -==，∴令(())0f g x =，得1()2g x =或()1g x =-，即1()2f x b =-或()1f x b =--，而(())f g x 有6个零点，故方程1()2f x b =-与()1f x b =--都有三个不同的解，∴102b ->且10b -->，∴1b <-，∴2a b +<． 22.解：（1）22((1)9x y ++=可化为22250x y y +-+-=，故其极坐标方程为2cos 2sin 50ρθρθ-+-=． （2）将6πθ=代入2cos 2sin 50ρθρθ-+-=，得2250ρρ--=，∴122ρρ+=，125ρρ=-，∴12||||MN ρρ=-==．23.解：（1）3,2,1()31,2,213,.2x x f x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=+-≤≤⎨⎪⎪-+>⎪⎩当2x <-时，由30x ->，得3x >，舍去；当1122x -≤≤时，由310x +>，得13x >-，即1132x -<≤；当12x >时，由30x -+>，得3x <，即132x <<．综上，1(,3)3M =-．（2）因为x ，y M ∈，∴||3x <，||3y <，所以||||||||||||||||||||x y xy x y xy x y xy x y x y ++≤++≤++=++⋅333315<++⨯=．。