安徽六校联考高三(理数)试题
安徽省合肥市六校联盟2024届高三上学期期末数学试题含答案
合肥市普通高中六校联盟2024届高三第一学期期末考试数学试卷（答案在最后）（考试时间：120分钟满分：150分）命题学校：一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.每小题只有一个正确答案，请把正确答案涂在答题卡上）1.已知集合{1,2,3}A =，{|(1)(2)0,}B x x x x Z =+-<∈，则A B ⋃=A.{1} B.{12}， C.{0123}，，， D.{10123}-，，，，【答案】C 【解析】【详解】试题分析：集合{}{|12,}0,1B x x x Z =-<<∈=，而{1,2,3}A =，所以{}0,1,2,3A B ⋃=，故选C.【考点】集合的运算【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.2.若复数z 满足i 34i z ⋅=-，则z =（）A.1B.5C.7D.25【答案】B 【解析】【分析】利用复数四则运算，先求出z ，再计算复数的模．【详解】由题意有()()()34i i 34i 43i i i i z ---===--⋅-，故|5|z ==．故选：B ．3.已知向量()()1,3,2a m b ==- ，，且()a b b +⊥，则m =A.−8B.−6C.6D.8【答案】D 【解析】【分析】由已知向量的坐标求出a b +的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案．【详解】∵(1,),(3,2),(4,2)a m b a b m ==-∴+=- ，又()a b b +⊥，∴3×4+（﹣2）×（m﹣2）＝0，解得m＝8．故选D．【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标运算，属于基础题．4.已知空间中不过同一点的三条直线m ，n ，l ，则“m ，n ，l 在同一平面”是“m ，n ，l 两两相交”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】将两个条件相互推导，根据能否推导的结果判断充分必要条件.【详解】依题意,,m n l 是空间不过同一点的三条直线，当,,m n l 在同一平面时，可能////m n l ，故不能得出,,m n l 两两相交.当,,m n l 两两相交时，设,,m n A m l B n l C ⋂=⋂=⋂=，根据公理2可知,m n 确定一个平面α，而,B m C n αα∈⊂∈⊂，根据公理1可知，直线BC 即l ⊂α，所以,,m n l 在同一平面.综上所述，“,,m n l 在同一平面”是“,,m n l 两两相交”的必要不充分条件.故选：B【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查公理1和公理2的运用，属于中档题.5.若将函数y=2sin2x 的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图像的对称轴为A.x=26k ππ-（k ∈Z ）B.x=26k ππ+（k ∈Z ）C.x=212k ππ-（k ∈Z ）D.x=212k ππ+（k ∈Z ）【答案】B 【解析】【详解】试题分析：由题意得，将函数2sin 2y x =的图象向左平移12π个单位长度，得到2sin(2)6y x π=+，由2,62x k k Z πππ+=+∈，得,26k x k Z ππ=+∈，即平移后的函数的对称轴方程为,26k x k Z ππ=+∈，故选B ．考点：三角函数的图象与性质．【方法点晴】本题主要考查了三角函数()sin()f x A wx ϕ=+的图象与性质，着重考查了三角函数的图象变换及三角函数的对称轴方程的求解，通过将函数2sin 2y x =的图象向左平移12π个单位长度，得到函数的解析式2sin(2)6y x π=+，即可求解三角函数的性质，同时考查了学生分析问题和解答问题的能力以及推理与运算能力．6.函数y =x cos x +sin x 在区间[–π，π]的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】首先确定函数的奇偶性，然后结合函数在x π=处的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.【详解】因为()cos sin f x x x x =+，则()()cos sin f x x x x f x -=--=-，即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，据此可知选项CD 错误；且x π=时，cos sin 0y ππππ=+=-<，据此可知选项B 错误.故选：A.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．7.若2233x y x y ---<-，则（）A.ln(1)0y x -+>B.ln(1)0y x -+< C.ln ||0x y -> D.ln ||0x y -<【答案】A 【解析】【分析】将不等式变为2323x x y y ---<-，根据()23t tf t -=-的单调性知x y <，以此去判断各个选项中真数与1的大小关系，进而得到结果.【详解】由2233x y x y ---<-得：2323x x y y ---<-，令()23ttf t -=-，2x y = 为R 上的增函数，3x y -=为R 上的减函数，()f t ∴为R 上的增函数，x y ∴<，0y x ->Q ，11y x ∴-+>，()ln 10y x ∴-+>，则A 正确，B 错误；x y -Q 与1的大小不确定，故CD 无法确定.故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到,x y 的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.8.已知函数()f x 的定义域为R ，()e xy f x =+是偶函数，()3e x y f x =-是奇函数，则()f x 的最小值为（）A.eB. C. D.2e【答案】B 【解析】【分析】利用函数奇偶性的定义可求得函数()f x 的解析式，再利用基本不等式可求得()f x 的最小值.【详解】因为函数()e xy f x =+为偶函数，则()()e e x x f x f x --+=+，即()()e e x x f x f x ---=-，①又因为函数()3e xy f x =-为奇函数，则()()3e3e xx f x f x ---=-+，即()()3e 3e x x f x f x -+-=+，②联立①②可得()e 2e xxf x -=+，由基本不等式可得()e 2e x x f x -=+≥=，当且仅当e 2e x x -=时，即当1ln 22x =时，等号成立，故函数()f x 的最小值为故选：B.二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知,,a b c ∈R ，则（）A.若0a b >>，则11a b> B.若22ac bc >，则a c b c ->-C.若0a b >>，则a b>> D.若1a b <<，则11a b a b <--【答案】BC 【解析】【分析】由列举法可判断A 项错误；由不等式性质可判断BC 正确；由作差法可判断D 项错误.【详解】对于A ，若0a b >>，令2a =，1b =，则112a =，11b=，11a b <，故A 错误；对于B ，显然20c >，则a b >，则a c b c ->-，故B 正确；对于C ，因为0a b >>1=>，所以a >b >，即a >b >，故C 正确；对于D ，(1)(1)11(1)(1)(1)(1)a b a b b a b aa b a b a b -----==------，因为1a b <<，所以10a -<，10b -<，0b a ->，故0(1)(1)b a a b ->--，即11a ba b >--，故D 错误．故选：BC10.已知函数()()sin 0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A.()f x 的最小正周期为πB.1212f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 D.6f x π⎛-⎫⎪⎝⎭为奇函数【答案】ABD 【解析】【分析】首先根据函数的图象求A 的值；然后根据()03f =求ϕ的值；根据图象过点,03π⎛⎫⎪⎝⎭和32T π<求出2ω=，从而可求出函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，然后再逐个判断选项即可.【详解】由图知2A =，由()02sin 3f ϕ==，得3sin 2ϕ=，又因为02πϕ<<，所以3πϕ=，由233k πωπππ+=+得26k ω=+，又32T ππω<=，所以3ω<，所以2ω=，所以()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭.故T π=，选项A 正确；又212f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以12x π=为函数的一条对称轴，故选项B 正确；由222,232k x k k πππ-+π≤+≤+π∈Z ，得5,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，由3222,232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，得7,1212ππππ+≤≤+∈k x k k Z ，()f x 在7,212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在7,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故C 错误；2sin 22sin 2663f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦为奇函数，故D 正确.故选：ABD .11.已知直线2:0l ax by r +-=与圆222:C x y r +=，点(,)A a b ，则下列说法正确的是（）A.若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切B.若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相离C.若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离D.若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切【答案】ABD 【解析】【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为222,a b r +的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解.【详解】圆心()0,0C 到直线l 的距离2d =若点(),A a b 在圆C 上，则222a b r +=，所以2d r =，则直线l 与圆C 相切，故A 正确；若点(),A a b 在圆C 内，则222a b r +<，所以2d r =，则直线l 与圆C 相离，故B 正确；若点(),A a b 在圆C 外，则222a b r +>，所以2<d r =，则直线l 与圆C 相交，故C 错误；若点(),A a b 在直线l 上，则2220a b r +-=即222=a b r +，所以2d r =，直线l 与圆C 相切，故D 正确.故选：ABD.12.已知{}n a 是等差教列，公差d 不为零，前n 项和是n S ，若3a ，4a ，8a 成等比数列，则（）A.10a d >B.10a d < C.40dS > D.40dS <【答案】BD 【解析】【分析】由3a ，4a ，8a 成等比数列，求得153a d =-，再求得4S ，从而判断14,a d dS 与0的关系.【详解】由3a ，4a ，8a 成等比数列知，2111(3)(2)(7)a d a d a d +=++，化简得153a d =-，（0d ≠），则21503a d d =-<，故A 错误，B 正确；4152464()633S a d d d d =+=⨯-+=-，故24203dS d =-<，故C 错误，D 正确；故选：BD三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)yx b b-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是_____.【答案】y =.【解析】【分析】根据条件求b ，再代入双曲线的渐近线方程得出答案.【详解】由已知得222431b-=，解得b =或b =，因为0b >，所以b =.因为1a =，所以双曲线的渐近线方程为y =.【点睛】双曲线的标准方程与几何性质，往往以小题的形式考查，其难度一般较小，是高考必得分题.双曲线渐近线与双曲线标准方程中的,a b 密切相关，事实上，标准方程中化1为0，即得渐近线方程.14.已知R a ∈，函数24,2()3,2,x x f x x a x ⎧->⎪=⎨-+≤⎪⎩若3f f⎡⎤=⎣⎦，则=a ___________.【答案】2【解析】【分析】由题意结合函数的解析式得到关于a 的方程，解方程可得a 的值.【详解】()()642233f ff f a ⎡⎤=-==-+=⎣⎦，故2a =，故答案为：2.15.若3sin sin (cos cos )3αββα+=-，且(0,π),(0,π)αβ∈∈，则αβ-=________．【答案】2π3【解析】【分析】由已知，可以和差化积可得2sincos 2sin sin 22322αβαβαββα+-+-⎛⎫=- ⎪⎝⎭，从而tan2αβ-=，可求值.【详解】因为(0,π),(0,π)αβ∈∈，所以sin sin 0αβ+>，又3sin sin (cos cos )3αββα+=-，所以cos cos 0βα->，又cos y x =在()0,π上单调递减，所以βα<，则0παβ<-<，所以π022αβ-<<，由已知可得2sin cos 2sin sin 22322αβαβαββα+-+-⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则tan2αβ-=，所以π23αβ-=，所以2π3αβ-=.故答案为：2π3.16.已知90ACB ∠=︒，M 为平面ABC 外一点，M C ，点M 到ACB ∠两边,AC BC ，那么M 到平面ABC 的距离为__________．【答案】1【解析】【分析】通过空间垂直关系的转化，找到点M 在平面ABC 内的射影在ACB ∠的平分线上，利用勾股定理即可得解.【详解】作,MD ME 分别垂直于,AC BC ，MO ⊥平面ABC ，连CO ，知,CD MD CD MO ⊥⊥，=MD OD M ，MD ⊂平面MDO ，MO ⊂平面MDO ，CD \^平面MDO ，OD ⊂平面MDO ，CD OD ∴⊥，又CD DM ⊥，==MD ME M C所以1CD ==，同理1,CE =所以Rt Rt CDO CEO ，则CO 为ACB ∠平分线，45OCD ︒∴∠=，1,OD CD OC ===，又M C ，1MO ∴==．故答案为：1四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且满足()sin ()(sin sin )a c C a b A B -=+-．（1）求角B ；（2）若2b =，ABC ，求ABC 的周长．【答案】（1）π3（2）6【解析】【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理实现边角互化，求出cos B 的值即得；（2）利用三角形面积公式和余弦定理建立边的关系，整体求得a c +即得.【小问1详解】因()sin ()(sin sin )a c C a b A B -=+-，由正弦定理得，()()()a c c a b a b -=+-，化简得：222a c b ac +-=，由余弦定理得，2221cos 222a cb ac B ac ac +-===，因0πB <<，故π3B =.【小问2详解】由ABC 1πsin 23ac =4ac =，由余弦定理，22π2cos 43a c ac +-=，即：224a c ac +-=，从而，222()()316a c a c ac ac +=+-+=，则4a c +=.故ABC 的周长为：42 6.a b c ++=+=18.已知函数()()e 1,R x f x x a a =+∈．（1）若1a =，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（2）若2()f x x ≥在(0,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）2y x=（2）)2e ,∞-⎡+⎣【解析】【分析】（1）由给定条件求出()f x 的导数，进而求得切线斜率即可得解；（2）分离参数得1e x x a -≥，设1()e x x g x -=，利用导数得2max ()(2)e g x g -==，可得a 的取值范围.【小问1详解】当1a =时，()()1x f x x e =+，()()e 11x f x x '=++，则(0)2f '=，而(0)0f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x =；【小问2详解】(0,)∀∈+∞x ，由2()f x x ≥，得1ex x a -≥，设1()e xx g x -=，则2()e x x g x -'=，令2()0e x x g x -'==，得2x =，则()0,2x ∈时，()0g x '>，函数()g x 单调递增，()2,x ∈+∞时，()0g x '<，函数()g x 单调递减，故2max ()(2)e g x g -==，故2e a -≥,即实数a 的取值范围为)2e ,∞-⎡+⎣.19.如图，圆柱的轴截面ABCD 是边长为6的正方形，下底面圆的一条弦EF 交CD 于点G ，其中2DG DE DF ==，．（1）证明：平面AEF ⊥平面ABCD ；（2）判断母线BC 上是否存在点P ，使得直线PE 与平面AEF 所成的角的正弦值为45，若存在，求CP 的长；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见详解；（2）存在，4CP =.【解析】【分析】（1）将面面垂直转化为EF ⊥平面ABCD ，根据圆和圆柱的性质可证；（2）建立空间直角坐标系，利用向量可解.【小问1详解】由题意可知：在下底面圆中，CD 为直径．因为DE DF =，所以G 为弦EF 的中点，且EF CD ⊥．因为,,、EF AD AD CD D AD CD ⊥⋂=⊂平面ABCD ．所以EF ⊥平面ABCD ，因为EF ⊂平面AEF ．所以平面AEF ⊥平面ABCD ．【小问2详解】分别以下底面垂直于DG 的直线、、DG DA 为x y z 、、轴，建立空间直角坐标系如图所示．因为2DG =，底面圆半径为3，所以EG FG ==．则(0,0,6),2,0),(2,0)A E F -，设(0,6,)(06)P m m <≤．所以6),(6),()AE AF EP m =-=--=- ，设平面AEF 的一个法向量为(,,)m x y z =．由00m AE m AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得：260260y z y z ⎧+-=⎪⎨-+-=⎪⎩即：03x y z =⎧⎨=⎩令1z =则(0,3,1)m =．设直线PE 与平面AEF 所成的角为θ，所以||4sin |cos ,|5||||m EP m EP m EP θ⋅=<>==⋅ ，解得4m =，所以存在点P ，使得直线PE 与平面AEF 所成的角的正弦值为45，CP 的长为4．20.已知函数()22sin cos 1f x x x x =+-．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）将函数()f x 图象向右平移π6个单位长度得到()g x 的图象，若π22127g θ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求sin θ的值．【答案】（1）πT =（2）1114【解析】【分析】（1）利用二倍角公式及两角差的正弦公式化简，再根据正弦函数的性质计算可得；（2）由（1）可得πcos 671θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即可求出πsin 6θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再根据6si ππsin n 6θθ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦计算可得.【小问1详解】因为()22sin cos 1f x x x x =+-1cos 21x x =-+-132cos 2sin222x x ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭π2sin 26x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==.【小问2详解】将函数()f x 图象向右平移π6个单位长度得到()πππ2sin 22sin 22cos 2662g x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，则πππ22cos 22cos 21221267g θθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以πcos 671θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ2π,663θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以πsin 67θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以6s πin πππππsin sin cos cos sin 66666θθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1111727214=⨯-⨯=.21.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，2*11,2,N n n n a S a a n ==+∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设1(1)2nn n n n b a a +-=，求数列{}n b 的前n 项和n T 【答案】（1）n a n=（2）1221n n T n +=-+【解析】【分析】（1）利用1nn n a S S -=-整理可得1n n a a -=-（舍）或11n n a a --=，即可根据数列类型求出通项公式；（2）利用裂项相消法即可求出.【小问1详解】因为22n n n S a a =+，0n a >，当1n =时，11a =，当2n ≥时，2211122n n n n n n n a a a a a S S ---++=-=-，整理可得()()1110n n n n a a a a --+--=，则1n n a a -=-(舍)，或11n n a a --=，所以11n n a a --=时，{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列，所以()111n a n n =+-⨯=；【小问2详解】因为n a n =，所以()11(1)2(1)22211n n n nn n n n n b a a n n n n++--===-++，所以2324311222222222221324311n n n n T n n n ++=-+-+-++=-++ .22.已知函数()ln(1),R f x x a x a =-+∈．（1）讨论()f x 的单调性；（2）证明：对于任意正整数n ，都有11111ln(21)35212n n ++++>+-L ．【答案】22.答案见解析23.证明见详解.【解析】【分析】(1)由1()1x a f x x +-'=+，又()f x 的定义域为(1,)-+∞，讨论1a -与1-的大小关系，即可判定函数的单调性；(2)当1a =时，()f x 在()1,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，则()(0)f x f ≥，即()ln 10x x -+≥，对于任意正整数n ，令221x n =-，有()()22ln 1ln 21ln 212121n n n n ⎛⎫>+=+-- ⎪--⎝⎭，即可得证．【小问1详解】()f x 的定义域为(1,)-+∞，1()111a x a f x x x +-'=-=++，若0a ≤，当()1,x ∞∈-+，则()0f x '>，所以()f x 在()1,∞-+上单调递增；若0a >，当()1,1x a ∈--，则()0f x '<，所以()f x 在()1,1a --上单调递减；当()1,x a ∞∈-+，则()0f x '>，所以()f x ()f x 在()1,a ∞-+上单调递减；综上所述，当0a ≤时，()f x 在()1,∞-+上单调递增；当0a >时，()f x 在()1,1a --上单调递减，()f x 在()1,a ∞-+上单调递减.【小问2详解】由(1)知当1a =时，()f x 在()1,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，所以，min ()(0)0f x f ==，即当()1,x ∞∈-+时，()ln 10x x -+≥，对于任意正整数n ，令221x n =-，有()()22ln 1ln 21ln 212121n n n n ⎛⎫>+=+-- ⎪--⎝⎭，所以()()11121ln 3ln1ln 5ln 3ln 21ln 213521n n n ⎛⎫++++>-+-+++-- ⎪-⎝⎭ ，即()11121ln 213521n n ⎛⎫++++>+ ⎪-⎝⎭，即11111ln(21)35212n n ++++>+-L .【点睛】关键点点睛：本题的关键是令1a =，用已知函数的单调性构造()ln 10x x -+≥，再令221x n =-,恰当地利用对数求和进行解题．。
安徽六校教育研究会2025届高三第二次联考数学试卷含解析
安徽六校教育研究会2025届高三第二次联考数学试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知0x >，a x =，22xb x =-，ln(1)c x =+，则（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．b c a <<2．某装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为120°，并在扇形弧上正面等距安装7个发彩色光的小灯泡且在背面用导线相连(弧的两端各一个，导线接头忽略不计)，已知扇形的半径为30厘米，则连接导线最小大致需要的长度为（ ） A ．58厘米B ．63厘米C ．69厘米D ．76厘米3．已知向量11,,2a b m ⎛⎫==⎪⎝⎭，若()()a b a b +⊥-，则实数m 的值为（ ）A ．12B ．2C．12±D ．2±4．已知双曲线2221x y a -=的一条渐近线方程是y x =，则双曲线的离心率为（）ABCD 5．复数()()2a i i --的实部与虚部相等，其中i 为虚部单位，则实数a =( ) A ．3B ．13-C ．12-D ．1-6．已知()()()[)3log 1,1,84,8,6x x f x x x ⎧+∈-⎪=⎨∈+∞⎪-⎩ 若()()120f m f x ⎡⎤--≤⎣⎦在定义域上恒成立，则m 的取值范围是（ ）A ．()0,∞+B ．[)1,2C ．[)1,+∞D ．()0,17．已知函数()cos f x x =与()sin(2)(0)g x x ϕϕπ=+<的图象有一个横坐标为3π的交点，若函数()g x 的图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的1ω倍后，得到的函数在[0,2]π有且仅有5个零点，则ω的取值范围是( )A ．2935,2424⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．2935,2424⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．2935,2424⎛⎫⎪⎝⎭D ．2935,2424⎛⎤⎥⎝⎦8．已知ABC △的面积是12,1AB =,2BC = ,则AC =（ ） A ．5B ．5或1C ．5或1D ．59．()()()cos 0,0f x A x A ωϕω=+>>的图象如图所示，()()sin g x A x ωϕ=--，若将()y f x =的图象向左平移()0a a >个单位长度后所得图象与()y g x =的图象重合，则a 可取的值的是（ ）A ．112π B ．512π C ．712π D ．11π1210．已知a ＞b ＞0，c ＞1，则下列各式成立的是（ ） A ．sin a ＞sin bB ．c a ＞c bC ．a c ＜b cD ．11c c b a--＜ 11．棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -内有一个内切球O ，过正方体中两条异面直线AB ，11A D 的中点,P Q 作直线，则该直线被球面截在球内的线段的长为（ ） A ．22B ．21-C ．2D ．112．若点(2，k)到直线5x-12y+6=0的距离是4，则k 的值是( ) A ．1B ．-3C ．1或53D ．-3或173二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023-2024学年安徽省合肥市六校联盟高三(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年安徽省合肥市六校联盟高三（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共50分。
每小题只有一个正确答案，请把正确答案涂在答题卡上）1．已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{x |（x +1）（x ﹣2）＜0，x ∈Z }，则A ∪B ＝（ ） A ．{1}B ．{1，2}C ．{0，1，2，3}D ．{﹣1，0，1，2，3}2．若复数z 满足i •z ＝3﹣4i ，则|z |＝（ ） A ．1B ．5C ．7D ．253．已知向量a →=（1，m ），b →=（3，﹣2），且（a →+b →）⊥b →，则m ＝（ ） A ．﹣8B ．﹣6C ．6D ．84．已知空间中不过同一点的三条直线m ，n ，l ，则“m ，n ，1在同一平面”是“m ，n ，1两两相交”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．若将函数y ＝2sin2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（ ）A ．x =kπ2−π6（k ∈Z ） B ．x =kπ2+π6（k ∈Z ）C ．x =kπ2−π12（k ∈Z ） D ．x =kπ2+π12（k ∈Z ） 6．函数y ＝x cos x +sin x 在区间[﹣π，π]上的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．7．若2x ﹣2y ＜3﹣x ﹣3﹣y ，则（ ） A ．ln （y ﹣x +1）＞0 B ．ln （y ﹣x +1）＜0 C ．ln |x ﹣y |＞0D ．ln |x ﹣y |＜08．已知函数f （x ）的定义域为R ，y ＝f （x ）+e x 是偶函数，y ＝f （x ）﹣3e x 是奇函数，则f （x ）的最小值为（ ） A ．eB ．2√2C ．2√3D ．2e二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9．已知a ，b ，c ∈R ，则（ ） A ．若a ＞b ＞0，则1a ＞1bB ．若ac 2＞bc 2，则a ﹣c ＞b ﹣cC ．若a ＞b ＞0，则a ＞√ab ＞bD ．若a ＜b ＜1，则a a−1＜bb−110．已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2）的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）A ．f （x ）的最小正周期为πB ．f(π12+x)=f(π12−x)C ．f （x ）在[π2，π]上单调递增D ．f(x −π6)为奇函数11．已知直线l ：ax +by ﹣r 2＝0与圆C ：x 2+y 2＝r 2，点A （a ，b ），则下列说法正确的是（ ） A ．若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切 B ．若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离C ．若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切D ．若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相离12．已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则（ ） A ．a 1d ＞0B ．a 1d ＜0C ．dS 4＞0D ．dS 4＜0三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2−y 2b2=1（b ＞0）经过点（3，4），则该双曲线的渐近线方程是 ．14．已知a ∈R ，函数f （x ）={x 2−4，x ＞2|x −3|+a ，x ≤2，若f [f （√6）]＝3，则a ＝ ．15．若sinα+sinβ=√33(cosβ−cosα)，则α﹣β的值是 ．16．已知∠ACB =90°，M 为平面ABC 外一点，MC =√3，点M 到∠ACB 两边AC ，BC 的距离均为√2，那么M 到平面ABC 的距离为 ． 四、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且满足（a ﹣c ）sin C ＝（a +b ）（sin A ﹣sin B ）． （1）求角B ；（2）若b ＝2，△ABC 的面积为√3，求△ABC 的周长． 18．（12分）已知函数f （x ）＝x （ae x +1），a ∈R ．（1）若a ＝1，求曲线y ＝f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程； （2）若f （x ）≥x 2在（0，+∞）上恒成立，求实数a 的取值范围．19．（12分）如图，圆柱的轴截面ABCD 是边长为6的正方形，下底面圆的一条弦EF 交CD 于点G ，其中DG ＝2，DE ＝DF ．（1）证明：平面AEF ⊥平面ABCD ；（2）判断母线BC 上是否存在点P ，使得直线PE 与平面AEF 所成的角的正弦值为45，若存在，求CP的长；若不存在，请说明理由．20．（12分）已知函数f(x)=2sin 2x +2√3sinxcosx −1． （1）求函数f （x ）的最小正周期；（2）将函数f （x ）图象向右平移π6个单位长度得到g （x ）的图象，若g(θ2+π12)=−27，θ∈(0，π2)，求sin θ的值．21．（12分）已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，2S n =a n 2+a n ，n ∈N +．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n =(n−1)2na n a n+1，求数列{b n }的前n 项和T n ．22．（12分）已知函数f（x）＝x﹣aln（1+x），a∈R．（1）讨论f（x）的单调性；（2）证明：对于任意正整数n，都有1+13+15+⋯+12n−1＞12ln（2n+1）．2023-2024学年安徽省合肥市六校联盟高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共50分。
安徽省“庐巢六校联盟”2025届数学高三第一学期期末统考试题含解析
安徽省“庐巢六校联盟”2025届数学高三第一学期期末统考试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,抛物线C与圆22:(3C x y +='交于M ,N 两点,若||MN =则MNF 的面积为( )AB ．38C．8D．42．双曲线2214x y -=的渐近线方程是（ ）A．y x = B．y x = C ．2x y =±D ．2y x =±3．关于x 的不等式0ax b ->的解集是(1,)+∞，则关于x 的不等式()(3)0ax b x +->的解集是（ ） A ．(,1)(3,)-∞-+∞ B ．(1,3)- C ．(1,3)D ．(,1)(3,)-∞+∞4．5(12)(1)x x ++的展开式中2x 的系数为（ ） A ．5B ．10C ．20D ．305．已知数列{}n a 是公比为2的正项等比数列，若m a 、n a 满足21024n m n a a a <<，则()21m n -+的最小值为（ ） A ．3B ．5C ．6D ．106．已知实数x 、y 满足约束条件103300x y x y y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．1-B ．2C ．7D ．87．函数()2ln xf x x x =-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8．如图，抛物线M ：28y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线M 交于A ，B 两点，若直线l 与以F 为圆心，线段OF （O 为坐标原点）长为半径的圆交于C ，D 两点，则关于AC BD ⋅值的说法正确的是（ ）A ．等于4B ．大于4C ．小于4D ．不确定9．已知函数()2ln 2xx f x ex a x=-+-（其中e 为自然对数的底数）有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．21,e e⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦B ．21,e e ⎛⎫-∞+⎪⎝⎭C ．21,e e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．21,e e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭10．sin80cos50cos140sin10︒︒︒︒+=（ ） A ．3B ．32C ．12-D ．1211．若复数211iz i=++（i 为虚数单位），则z 的共轭复数的模为（ ） A 5 B ．4C ．2D 512．若复数z 满足(23i)13i z +=，则z =（ ） A ．32i -+B ．32i +C ．32i --D ．32i -二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
安徽省六校教育研究会高三数学2月联考试题 理(含解析)新人教A版
第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若复数221zi i=++，其中i 是虚数单位，则复数z 的模为（ ） （A ）2 （B ）22（C ）3 （D ） 22.已知命题p ：“1a =是0ax x x,+2>≥”的充分必要条件”；命题q ：“存在0x R ∈，使得20020x x +->”，下列命题正确的是（ ）(A)命题“p q ∧”是真命题 (B)命题“()p q ⌝∧”是真命题 (C)命题“()p q ∧⌝”是真命题 (D)命题“()()p q ⌝∧⌝”是真命题3.执行如图所示的程序框图．若输出15S =， 则框图中① 处可以填入（ ） (A) 4n >？ (B) 8n >？ (C) 16n >？ (D) 16n <？4.在极坐标系中，点π(2,)3和圆θρcos2=的圆心的距离为( )(A) 3 (B) 22π19+2π49+【答案】A5.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC =a ，BD =b ，则AF =（ ） (A)1142+a b (B) 1124+a b (C) 2133+a b (D) 1233+a b6.数列{}n a 的首项为3，{}n b 为等差数列且1()n n n b a a n N +=-∈*， 若32b =-,1012b =,则8a =（ ）(A) 0 (B) 3 (C) 8 (D) 11【答案】B7.某三棱椎的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中，最大的是（）（A）43（B）8 (C) 83 (D) 478.有编号分别为1，2，3，4，5的5个红球和5个黑球，从中随机取出4个，则取出球的编号互不相同的概率为（ ）（A ）521（B ）27 （C ）13（D ）8219.设1F ，2F 分别为双曲线C ：22221x y a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点，A 为双曲线的左顶点，以12F F 为直径的圆交双曲线某条渐近线于M 、N 两点，且满足120MAN ∠=︒，则该双曲线的离心率为（ ） (A)213 (B) 193 (C) 73(D) 73310.10．若实数,,,a b c d 满足222(3ln )(2)0b a a c d，则22()()a c bd 的最小值为（ ）2 (B) 2 (C) 22第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上） 11.．已知0sin ,a xdx π=⎰则二项式51a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x -的系数为 ．二项式5 1ax⎛⎫-⎪⎝⎭的展开式中3x-的系数为()()333510280C a-=⨯-=-考点：1、定积分的求法；2、二项式定理.12.如图所示，第n个图形是由正2n+边形拓展而来（1,2,n=），则第2n-个图形共有____ 个顶点．13.若不等式组50,5,02x yy kxx-+≥⎧⎪≥+⎨⎪≤≤⎩表示的平面区域是一个锐角三角形，则实数k的取值范是 .14.抛物线2(33)y x x =-≤≤绕y 轴旋转一周形成一个如图所示的旋转体,在此旋转体内水平放入一个正方体,该正方体的一个面恰好与旋转体的开口面平齐,则此正方体的棱长是 ．15.对于函数()f x ，若存在区间[],M a b =，使得{}|(),y y f x x M M =∈=，则称区间M 为函数()f x 的一个“好区间”．给出下列4个函数：①()sin f x x =；②()21xf x =-；③3()3f x x x =-；④()lg 1f x x =+．其中存在“好区间”的函数是 ． （填入所有满足条件函数的序号）三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.（本小题满分12分）已知向量33(sin ,cos ),(,)22m x x n ==，x R ∈，函数(),f x m n =⋅ （Ⅰ）求()f x 的最大值；（Ⅱ）在ABC ∆中，设角A ，B 的对边分别为,a b ，若2B A =，且26b af A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，求角C 的大小．17.（本小题满分12分）等边三角形ABC 的边长为3,点D 、E 分别是边AB 、AC 上的点,且满足AD DB =12CE EA =(如图1).将△ADE 沿DE 折起到△1A DE 的位置,使二面角1A DE B --为直二面角,连结1A B 、1AC (如图2). （Ⅰ）求证:1A D ⊥平面BCED ;（Ⅱ）在线段BC 上是否存在点P ,使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60?若存在,求出PB 的长,若不存在,请说明理由.直线1PA 与平面1A BD 所成的角1PA H ∠，设PB 的长为x ，用x 表示11,,A D A H DH ，在直角∆1A DH 中，Rt △1A DH 中,11A D =,122DH x =- ,由22211A D DH A H +=, 得222111222x x ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,解得18.（本小题满分12分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21441,,n n a S n n N *+=++∈且2514,,a a a 恰好是等比数列{}n b 的前三项． （Ⅰ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记数列{}n b 的前n 项和为n T ,若对任意的*n N ∈，3()362n T k n +≥-恒成立，求实数k 的取值范围．考点：1、等差数列;等比数列的通项公式和前n 项和.2、参变量范围的求法. 19.（本小题满分12分）生产A ，B 两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为 次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：测试指标 [)70,76[)76,82[)82,88[)88,94[]94,100元件A 8 12 40 32 8 元件B71840296（Ⅰ）试分别估计元件A 、元件B 为正品的概率；（Ⅱ）生产一件元件A ，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元；生产一件元件B ，若是正品可盈利100元，若是次品则亏损20元，在（Ⅰ）的前提下；（i ）求生产5件元件B 所获得的利润不少于300元的概率；（ii ）记X 为生产1件元件A 和1件元件B 所得的总利润，求随机变量X 的分布列和数学期望．20.（本小题满分13分）已知(),P x y 为函数1ln y x =+图象上一点，O 为坐标原点，记直线OP 的斜率()k f x =． (Ⅰ)若函数()f x 在区间1,3a a⎛⎫+⎪⎝⎭()0a >上存在极值，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）如果对任意的1x ，)22x e ，⎡∈+∞⎣，有121211()()f x f x m x x -≥-，求实数m 的取值范围．递减，故()f x 在1x =处取得极大值． ……………………3分21.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xoy 中，已知12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y G a b a b+=>>的左、右焦点，椭圆G 与抛物线24y x =-有一个公共的焦点，且过点6(. (Ⅰ)求椭圆G 的方程;(Ⅱ) 设点P 是椭圆G 在第一象限上的任一点,连接12,PF PF ,过P 点作斜率为k 的直线l ,使得l 与椭圆G 有且只有一个公共点,设直线12,PF PF 的斜率分别为1k ,2k ,试证明1211kk kk +为定值,并求出这个定值； （III ）在第(Ⅱ)问的条件下，作22F Q F P ⊥，设2F Q 交l 于点Q ， 证明:当点P 在椭圆上移动时，点Q 在某定直线上.。
2025届合肥市第一中学高三六校第一次联考数学试卷含解析
2025届合肥市第一中学高三六校第一次联考数学试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知b a bc a 0.2121()2,log 0.2,===，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．b c a <<2．下图所示函数图象经过何种变换可以得到sin 2y x =的图象（ ）A ．向左平移3π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移6π个单位 D ．向右平移6π个单位 3．在ABC ∆中，“tan tan 1B C >”是“ABC ∆为钝角三角形”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a β⊂，b αβ=，则“//a α”是“//a b ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．给出下列三个命题：①“2000,210x x x ∃∈-+≤R ”的否定；②在ABC 中，“30B ︒>”是“3cos B <的充要条件； ③将函数2cos2y x =的图象向左平移6π个单位长度，得到函数π2cos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象． 其中假命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．36．已知抛物线2:4C y x =和点()2,0D ，直线2x ty =-与抛物线C 交于不同两点A ，B ，直线BD 与抛物线C 交于另一点E ．给出以下判断：①直线OB 与直线OE 的斜率乘积为2-； ②//AE y 轴；③以BE 为直径的圆与抛物线准线相切. 其中，所有正确判断的序号是（ ） A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③7．上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图1），充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系.图2为骨笛测量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意图，图3是某骨笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计），夏至（或冬至）日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午太阳光线）的夹角等于黄赤交角.由历法理论知，黄赤交角近1万年持续减小，其正切值及对应的年代如下表： 黄赤交角 2341︒'2357︒'2413︒'2428︒'2444︒'正切值 0.439 0.4440.4500.4550.461年代公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是( ) A ．公元前2000年到公元元年 B ．公元前4000年到公元前2000年 C ．公元前6000年到公元前4000年D ．早于公元前6000年8．在区间[]1,1-上随机取一个实数k ，使直线()3y k x =+与圆221x y +=相交的概率为（ ）A ．12B ．14C ．22D ．249．定义在上的函数满足，且为奇函数，则的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．10．在直三棱柱111ABC A B C -中，己知AB BC ⊥，2AB BC ==，122CC =，则异面直线1AC 与11A B 所成的角为（ ） A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒11．设12,F F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点若双曲线上存在点P ，使1260F PF ∠=︒，且122PF PF =，则双曲线的离心率为（ ） A ．3B ．2C ．5D ．612．已知l 为抛物线24x y =的准线，抛物线上的点M 到l 的距离为d ，点P 的坐标为()4,1，则MP d +的最小值是（ ） A ．17B ．4C ．2D ．117+二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
安徽省六校教育研究会新高三素质测试数学(理)试题
安徽省六校教育研究会新高三素质测试数学（理）试题第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合A={1,3，zi }，i 为虚数单位,B={4}，A ∪B=A 则复数z =（ ）A ．-2iB ． 2i C.-4i D.4i 2.“2x =(2,1)a x =+与向量(2,2)b x =-共线”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3. 函数)42sin()(π-=x x f 在]2,0[π上的单增区间是（ ） A ．]8,0[π B ．]2,8[ππC ．]83,0[πD ．]2,83[ππ4.在正项等比数列{n a }中，1n a +＜n a ,28466,5a a a a •=+=,则57a a =（ ） A ．56 B ．65C ．23D ．325. 某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（ ）A ．||()x f x x= B ．()2()lg1f x x x =+C ．()x x x x e e f x e e --+=-D ．221()1x f x x-=+ 6. 已知正方形ABCD 的边长为2， H 是边DA 的中点.在正方形ABCD 内部随机取一点P ，则满足|PH|<2的概率为（ ）A ．8π B ．184π+ C ．4π D ．144π+7. ,e π分别是自然对数的底和圆周率，则下列不等式不成立的是（ ） A. ()2log log 2e e ππ+> B. log log 1e e ππ> C. e e e e ππ->- D. ()3334()e e ππ+<+8.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点为F(2,0),设A 、B 为双曲线上关是是否否开始()f x 输入()()0?f x f x +-=()f x 有零点？()f x 输出结束于原点对称的两点，AF 的中点为M,BF 的中点为N,若原点O 在以线段MN 为直径的圆上，直线AB 的斜率为377，则双曲线的离心率为（ ）A ．3B ．5C ．2D ．49. 某动点在平面直角坐标系第一象限的整点上运动（含,x y 正半轴上的整点），其运动规律为(,)(1,1)m n m n →++或(,)(1,1)m n m n →+-。
安徽省合肥市普通高中六校联盟2025届高三上学期期中联考试题 数学含解析
合肥市普通高中六校联盟2024-2025学年第一学期期中联考高三年级数学试卷（答案在最后）（考试时间：120分钟满分：150分）命题学校：一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知p ：201x A x x -⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，q ：{}0B x x a =-<，若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是（）A.()2,∞+ B.2,+∞C.(),1∞- D.−∞,12.已知集合{A xy ==∣，{}Z2sin B y y x =∈=∣，则A B = （）A.{}012，， B.{}12，C.{}01，D.{}13.已知155222log 5555ca b ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，，则（）A.a b c <<B.b a c<< C.c b a<< D.a c b<<4.已知函数()y f x =是R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()f x x x =+，则当0x <时有（）A.2()f x x x =+B.2()f x x x =-+C.2()f x x x =-D.2()f x x x=--5.已知()443sincos ,0,π225θθθ-=∈，则221sin2cos cos sin θθθθ++=-（）A.2635-B.325-C.314-D.1728-6.若函数()()2lg 2f x mx mx =-+的定义域为R ，则实数m 取值范围是（）A.[)0,8 B.()8,+∞ C.()0,8 D.()(),08,-∞⋃+∞7.已知函数()f x 与()f x '的图象如图所示，则函数()ex f x y =（）A.在区间(1,2)-上是减函数B.在区间31,22⎛⎫-⎪⎝⎭上是减函数C.在区间(0,2)上是减函数D.在区间(1,1)-上是减函数8.定义：如果函数()y f x =在区间[],a b 上存在()1212,x x a x x b <<<，满足()()()'1f b f a f x b a-=-，()()()'2f b f a f x b a-=-，则称函数()y f x =是在区间[],a b 上的一个双中值函数，已知函数()3265f x x x =-是区间[]0,t 上的双中值函数，则实数t 的取值范围是A.36,55⎛⎫ ⎪⎝⎭B.26,55⎛⎫⎪⎝⎭C.23,55⎛⎫⎪⎝⎭D.61,5⎛⎫⎪⎝⎭二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.9.已知奇函数()f x 的定义域为R ，若()()2f x f x =-，则（）A.()00f =B.()f x 的图象关于直线2x =对称C.()()4f x f x =-+ D.()f x 的一个周期为410.函数()f x 满足()()f x f x '<，则正确的是（）A.(3)e (2)f f <B.e (0)(1)f f <C .2e (1)(1)f f -> D.e (1)(2)f f <11.已知0,0,21x y x y >>+=，则（）A.42x y +的最小值为22B.22log log x y +的最大值为3-C.y x xy --的最小值为1- D.22221x y x y +++的最小值为16三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数()f x 对任意x 满足()()324f x f x x --=，则()f x =______.13.若函数()()2ln 2f x x x =++，则使得()()211f x f x +<-成立的x 的取值范围是______.14.已知点A 是函数2ln y x =图象上的动点，点B 是函数22xy =图象上的动点，过B 点作x 轴的垂线，垂足为M ，则AB BM +的最小值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数π3()6sin(62cos f x x x =-+．（1）求()f x 的最小正周期和单调增区间；（2）若函数()y f x a =-在π5π[,]1212x ∈存在零点，求实数a 的取值范围．16.已知函数()()ln R mf x x m x=+∈.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1m =时，证明：当1x ≥时，()e e 0xxf x x --+≤.17.在锐角ABC V 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知sinCa b=+．（1）求角B 的值；（2）若2a =，求ABC V 的周长的取值范围．18.已知函数()22ln 2x f x x ax =+-，a ∈R .（1）若3a =，求()f x 的极值；（2）设函数()f x 在x t =处的切线方程为()y g x =，若函数()()y f x g x =-是()0,+∞上的单调增函数，求t 的值；（3）函数()f x 的图象上是否存在不同的两点，使得函数的图象在这两点处的切线重合，若存在则求出a 的取值范围，若不存在则说明理由.19.在平面直角坐标系xOy 中，利用公式x ax byy cx dy=+⎧⎨=+''⎩①（其中a ，b ，c ，d 为常数），将点s 变换为点(),P x y '''的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由a ，b ，c ，d 组成的正方形数表a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭唯一确定，我们将a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母A ，B ，…表示．（1）在平面直角坐标系xOy 中，将点()3,4P 绕原点O 按逆时针旋转3π得到点P '（到原点距离不变），求点P '的坐标；（2）如图，在平面直角坐标系xOy 中，将点s 绕原点O 按逆时针旋转α角得到点(),P x y '''（到原点距离不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵；（3）向量(),OP x y = （称为行向量形式），也可以写成x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，这种形式的向量称为列向量，线性变换坐标公式①可以表示为：x a b x y c d y '⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则称x y '⎛⎫ ⎪'⎝⎭是二阶矩阵a b c d ⎛⎫ ⎪⎝⎭与向量x y ⎛⎫⎪⎝⎭的乘积，设A 是一个二阶矩阵，m ，n是平面上的任意两个向量，求证：()A m n Am An +=+．合肥市普通高中六校联盟2024-2025学年第一学期期中联考高三年级数学试卷（考试时间：120分钟满分：150分）命题学校：一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知p ：201x A x x -⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，q ：{}0B x x a =-<，若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是（）A.()2,∞+ B.2,+∞C.(),1∞- D.−∞,1【答案】D 【解析】【分析】解不等式确定集合A ，然后由必要不充分条件得B 是A 的真子集可得结论．【详解】∵{|(2)(1)0A x x x =--≥且1}x ≠{|2x x =≥或1}x <，{}B x x a =<，又p 是q 的必要不充分条件，∴B A ，∴1a ≤，故选：D .【点睛】结论点睛：本题考查由必要不充分条件求参数，一般可根据如下规则判断：命题p 对应集合A ，命题q 对应的集合B ，则（1）p 是q 的充分条件⇔A B ⊆；（2）p 是q 的必要条件⇔A B ⊇；（3）p 是q 的充分必要条件⇔A B =；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件⇔集合,A B 之间没有包含关系．2.已知集合{A xy ==∣，{}Z2sin B y y x =∈=∣，则A B = （）A.{}012，， B.{}12，C.{}01，D.{}1【答案】D 【解析】【分析】根据偶次根下大于等于零，结合对数函数的单调性，可得集合A ；根据三角函数的性质可得集合B ，结合交集的运算可得答案.【详解】由题意()0.5log 210x -≥且210x ->，故0211x <-≤，解得112x <≤，故112A ⎛⎤= ⎥⎝⎦，；由1sin 1x -≤≤得22sin 2x -≤≤，故{}2,1,0,1,2B =--；综上{}1A B ⋂=.故选：D.3.已知155222log 5555ca b ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，，则（）A.a b c <<B.b a c<< C.c b a<< D.a c b<<【答案】C 【解析】【分析】化对数式为指数式判断1a >，判断(01)b ∈，，化指数式为对数式判断0c <，则答案可求.【详解】由52log 5a =，得205551a =>=；由1525b =，得50125()b ⎛⎫= ⎪⎝⎭∈，；由255c⎛⎫= ⎪⎝⎭，得25log 50c =<.∴c b a <<.故选：C .【点睛】本题考查指数式、对数式中的大小比较，一般可利用中介值01，和函数单调性进行大小比较，是基础题.4.已知函数()y f x =是R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()f x x x =+，则当0x <时有（）A.2()f x x x =+B.2()f x x x =-+C.2()f x x x =-D.2()f x x x=--【答案】B 【解析】【分析】根据函数的奇偶性，设0x <，则0x ->，()()2()f x x x -=-+-，再变形可得函数解析式.【详解】解：设0x <，则0x ->，因为当0x ≥时，2()f x x x=+()()22()f x x x x x∴-=-+-=-又函数()y f x =是R 上的奇函数()()f x f x =--∴2()f x x x∴=-+故当0x <时有2()f x x x =-+故选：B【点睛】本题考查函数的奇偶性，属于基础题.5.已知()443sincos ,0,π225θθθ-=∈，则221sin2cos cos sin θθθθ++=-（）A.2635-B.325-C.314-D.1728-【答案】A 【解析】【分析】先由平方差公式化简已知条件并结合二倍角的余弦公式得cos θ，进而得sin θ，从而结合二倍角正弦公式即可计算求解.【详解】因为()443sincos ,0,π225θθθ-=∈，所以()22223,0,πsincos sin +cos 52222θθθθθ⎛⎫⎛⎫=∈- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以()223sincos cos cos ,0,π22522θθθθθθ⎛⎫-=-=-=∈+ ⎪⎝⎭，即3cos 5θ=-，所以由()0,πθ∈得4sin 5θ==，所以22222243121sin212sin cos 26355cos cos cos sin cos sin 3553455θθθθθθθθθ⎛⎫+⨯⨯- ⎪++⎛⎫⎝⎭+=+==-- ⎪--⎝⎭⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A.6.若函数()()2lg 2f x mx mx =-+的定义域为R ，则实数m 取值范围是（）A.[)0,8 B.()8,+∞ C.()0,8 D.()(),08,-∞⋃+∞【答案】A 【解析】【分析】分析可知，220mx mx -+>在上恒成立，分0m =、0m ≠两种情况讨论，在0m =时，直接验证即可；在0m ≠时，可得出0Δ0m >⎧⎨<⎩，综合可解得实数m 的取值范围.【详解】由题意，函数()()2lg 2f x mx mx =-+的定义域为，等价于220mx mx -+>在上恒成立，若0m =，则2220mx mx -+=>在上恒成立，满足条件；若0m ≠，则2Δ80m m m >⎧⎨=-<⎩，解得08m <<.综上，实数m 的取值范围是[)0,8，故选：A ．7.已知函数()f x 与()f x '的图象如图所示，则函数()e xf x y =（）A.在区间(1,2)-上是减函数B.在区间31,22⎛⎫-⎪⎝⎭上是减函数C.在区间(0,2)上是减函数 D.在区间(1,1)-上是减函数【答案】B 【解析】【分析】求出函数y 的导数，结合图象求出函数的单调区间即可求解．【详解】因为()()e xf x f x y '-'=，由图象知，3122x -<<时，()()0f x f x '-<，又e 0x >，所以当3122x -<<时，0'<y ，即()e xf x y =在31,22⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减，当132x <<时，()()0f x f x '->，又e 0x >，所以当132x <<时，0'>y ，即()e xf x y =在1,32⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以选项A 、C 和D 错误，选项B 正确，故选：B ．8.定义：如果函数()y f x =在区间[],a b 上存在()1212,x x a x x b <<<，满足()()()'1f b f a f x b a-=-，()()()'2f b f a f x b a-=-，则称函数()y f x =是在区间[],a b 上的一个双中值函数，已知函数()3265f x x x =-是区间[]0,t 上的双中值函数，则实数t 的取值范围是A.36,55⎛⎫ ⎪⎝⎭B.26,55⎛⎫⎪⎝⎭C.23,55⎛⎫⎪⎝⎭D.61,5⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【详解】()()322612,355f x x x f x x x =-∴=-' ，∵函数()3265f x x x =-是区间[]0,t 上的双中值函数，∴区间[]0,t 上存在12120x x x x t ，（＜＜＜），满足()()21206()()5f t f f x f x t t t ''--＝＝，∴方程22126355x x t t -=-在区间[]0,t 有两个不相等的解，令221263055g x x x t t x t =--+≤ （），（＜），则()()222212612()05520560056205t t tg t t g t t t ⎧⎛⎫∆---+⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪<<⎪⎪⎪-+⎨⎪⎪-⎪⎪⎪⎪⎩＝＞＝＞＝＞，解得63 55t ＜＜，∴实数t 的取值范围是36,55⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选:A．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.9.已知奇函数()f x 的定义域为R ，若()()2f x f x =-，则（）A.()00f =B.()f x 的图象关于直线2x =对称C.()()4f x f x =-+D.()f x 的一个周期为4【答案】AD 【解析】【分析】由奇函数可得()00f =，再根据函数的周期性与对称性分别判断.【详解】由函数()f x 为奇函数，则()00f =，A 选项正确；又()()2f x f x =-，即()()11f x f x +=-，则函数()f x 关于直线1x =对称，B 选项错误；由()()2f x f x =-可知()()24f x f x -=+，即()()4f x f x =+，函数()f x 的一个周期为4，C 选项错误，D 选项正确；故选：AD.10.函数()f x 满足()()f x f x '<，则正确的是（）A.(3)e (2)f f <B.e (0)(1)f f <C.2e (1)(1)f f ->D.e (1)(2)f f <【答案】AC 【解析】【分析】根据给定条件，构造函数()()ex f x g x =，利用导数探讨单调，再比较大小即得.【详解】依题意，令函数()()e x f x g x =，求导得()()()0exf x f xg x '-=<，函数()g x 在R 上递减，对于A ，(3)(2)g g <，32(3)(2)e ef f <，则(3)e (2)f f <，A 正确；对于B ，(1)(0)g g <，(1)(0)e f f <，则(1)e (0)f f <，B 错误；对于C ，(1)(1)g g <-，(1)e (1)ef f <-，则2e (1)(1)f f ->，C 正确；对于D ，(2)(1)g g <，2(2)(1)e ef f <，则e (1)(2)f f >，D 错误.故选：AC11.已知0,0,21x y x y >>+=，则（）A.42x y +的最小值为 B.22log log x y +的最大值为3-C.y x xy --的最小值为1- D.22221x y x y +++的最小值为16【答案】ABD 【解析】【分析】根据指数运算，结合基本不等式即可判断A ；结合对数运算，利用基本不等式可判断B ；将y x xy --化为关于x 的二次函数，结合二次函数性质可判断是C ；通过变量代换，令2,1m x n y =+=+，得到26m n +=，根据“1”的巧用，将22221x y x y +++变形后，利用基本不等式，即可判断D..【详解】对于A ，由于0,0,21x y x y >>+=，故24222x y x y +=+≥==当且仅当2x y =，结合21x y +=，即11,42x y ==时，等号成立，即42x y +的最小值为，A 正确；对于B ，由于0,0x y >>，21x y +=≥18xy ≤，当且仅当11,42x y ==时，等号成立，故()22221log log log log 38x y xy +=≤=-，即22log log x y +的最大值为3-，B 正确；对于C ，又0,0,21x y x y >>+=，得12y x =-，故2(12)(12)241y x xy x x x x x x --=----=-+由于102102x x <<∴<<，而2241y x x =-+对称轴为1x =，则2241y x x =-+在1(0)2,上单调递减，在1(0)2,上无最值，C 错误；对于D ，令2,1m x n y =+=+，则|2,1x m y n =-=-，故22222288218121021x y m m n n m n x y m n m n-+-++=+=+++-++，由于0,0x y >>，故2,1m n >>，22(2)(1)256m n x y x y +=+++=++=，则()8118118212521717)6666n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当82n m m n =，结合26m n +=，即126,55m n ==时，等号成立，所以8125121061066m n m n +++-≥+-=，即22221x y x y +++的最小值为16，D 正确，故选：ABD【点睛】难点点睛：本题考查了基本不等式的应用，主要是求最值问题，难点是选项D 的判断，解答时要通过变量代换，令2,1m x n y =+=+，得到26m n +=，根据“1”的巧用，将22221x y x y +++变形后，利用基本不等式，即可求解.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数()f x 对任意x 满足()()324f x f x x --=，则()f x =______.【答案】1x +【解析】【分析】采用方程组法消去()2f x -，得出()f x 的解析式即可.【详解】因为()()324f x f x x --=①，以2x -代替x 得：()()()3242,f x f x x --=-②，3+⨯②①得：()()888,1f x x f x x =+=+.故答案为：1x +.13.若函数()()2ln 2f x x x =++，则使得()()211f x f x +<-成立的x 的取值范围是______.【答案】()2,0-【解析】【分析】由题知函数为偶函数且在[0,)+∞单调递增，由此抽象出不等式，解出即可【详解】由函数的定义域为R ,()()()()()22ln 2ln 2f x x x x x f x -=-++-=++=所以函数()f x 为偶函数当[0,)x ∈+∞时，2y x =与()ln 2y x =+为单调递增函数所以()f x 在[0,)x ∈+∞单调递增所以()()()()211211f x f x fx f x +<-⇔+<-所以()()22211211x x x x +<-⇔+<-解得：20x -<<故答案为：()2,0-14.已知点A 是函数2ln y x =图象上的动点，点B 是函数22xy =图象上的动点，过B 点作x 轴的垂线，垂足为M ，则AB BM +的最小值为______．【答案】512【解析】【分析】根据抛物线的焦半径公式可将问题转化为F 到2ln y x =上一点A 的最小距离即可，根据点点距离公式，得()2214ln 2ln 4f x x x x =+-+，利用导数求解最小值即可.【详解】由于22x y =是焦点在y 轴上的抛物线，故设其焦点为10,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则12BM BF =-,所以1122AB BM AB BF AF +=+-≥-,故求F 到2ln y x =上一点A 的最小距离即可，设(),2ln A x x ，则22222112ln 4ln 2ln 24AF x x x x x ⎛⎫=+-=+-+ ⎪⎝⎭，记()2214ln 2ln 4f x x x x =+-+，则()28ln 228ln 22x x x f x x x x x+-=+-'=由于函数()228ln 2g x x x =+-在0,+∞单调递增，且()1,10x g ==，故当∈0,1时()()0,0g x f x <∴<'，因此()f x 在0,1单调递减，当∈1,+∞时()()0,0g x f x >∴>'，因此()f x 在1,+∞单调递增，故()()min 514f x f ==，因此min52AF=，故15122AB BM AF -+≥-≥，故答案为：512-四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数π3()6sin(62cos f x x x =-+．（1）求()f x 的最小正周期和单调增区间；（2）若函数()y f x a =-在π5π[,]1212x ∈存在零点，求实数a 的取值范围．【答案】（1）π，()πππ,πZ 63k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）[]0,3【解析】【分析】（1）化简函数()π3sin 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，结合三角函数的图象与性质，即可求解；（2）根据题意转化为方程πsin 263a x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭在π5π,1212x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解，以π26x -为整体，结合正弦函数图象运算求解.【小问1详解】对于函数π3313()6cos sin 6cos sin cos 62222f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()231cos 231πcos 3cos 2332cos 23sin 222226x f x x x x x x x x ⎫+⎛⎫=-+=-⨯+=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==，令πππ2π22π,Z 262k x k k -+£-£+Î，则ππππ,Z 63k xk k -+＃+，∴函数()f x 的单调递增区间为()πππ,πZ 63k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.【小问2详解】令()0y f x a =-=，即π3sin 206x a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，则πsin 263a x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∵()y f x a =-在π5π,1212x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦存在零点，则方程πsin 263a x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭在π5π,1212x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解，若π5π,1212x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，则π2π20,63x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，可得πsin 2[0,1]6x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，∴013a≤≤，得03a ≤≤故实数a 的取值范围是[]0,3．16.已知函数()()ln R mf x x m x=+∈.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1m =时，证明：当1x ≥时，()e e 0xxf x x --+≤.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数与函数单调性的关系，分类讨论即可得解；（2）构造函数()()e e xg x xf x x =--+，利用二次导数，结合函数的最值情况，证得()0g x ≤，从而得证.【小问1详解】因为()ln mf x x x=+的定义域为()0,∞+，所以()221m x mf x x x x -'=-=，当0m ≤时，()0f x '>恒成立，所以()f x 在()0,∞+上单调递增；当0m >时，令()0f x '=，得x m =，当()0,x m ∈时，()()0,f x f x '<单调递减，当(),x m ∈+∞时，()()0,f x f x '>单调递增，综上，当0m ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递增；当0m >时，()f x 在()0,m 上单调递减，在(),m +∞上单调递增.【小问2详解】当1m =时，()1ln f x x x=+，令()()e e ln e e 1xxg x xf x x x x x =--+=--++，则()ln e xg x x =-'，令()()ln e xh x g x x '==-，则()1e x h x x='-，因为1x ≥，所以11,e e 1x x≤≥>，所以当1x ≥时，()h x '1e 0xx=-<恒成立，所以()h x 在[)1,+∞上单调递减，即()ln e xg x x =-'在[)1,+∞上单调递减，所以()()1e 0g x g '≤-'=<，所以()g x 在[)1,+∞上单调递减，所以()()10g x g ≤=，即()e e 0xxf x x --+≤.【点睛】结论点睛：恒成立问题：（1）()0f x >恒成立()min 0f x ⇔>；()0f x <恒成立()max 0f x ⇔<．（2）()f x a >恒成立()min f x a ⇔>；()f x a <恒成立()max f x a ⇔<．（3）()()f x g x >恒成立()()min 0f x g x ⇔->⎡⎤⎣⎦；()()f x g x <恒成立()()max 0f x g x ⇔-<⎡⎤⎣⎦；（4）1x M ∀∈，2x N ∀∈，()()()()1212min max f x g x f x g x >⇔>．17.在锐角ABC V 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知sinCa b=+．（1）求角B 的值；（2）若2a =，求ABC V 的周长的取值范围．【答案】（1）π6（2）(32++【解析】【分析】（1）根据正弦定理得到222a c b +-=，再利用余弦定理求出π6B =；（2）根据正弦定理得到13sin cos ,sin sin A Ab c A A+==，从而得到1tan b c A +=++，求出ππ,32⎛⎫∈ ⎪⎝⎭A ，得到10,tan 3A ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，(1b c +∈+，从而求出周长的取值范围.【小问1详解】sinC a b =+，由正弦定理得：ca b =+，即222a c b +-=，由余弦定理得：222cos 222a cb B ac ac +-===，因为()0,πB ∈，所以π6B =；【小问2详解】锐角ABC V 中，2a =，π6B =，由正弦定理得：2πsin sin sin 6b cAC ==，故π2sin 12sin cos 6,sin sin sin sin A C A A b c A A A A⎛⎫+ ⎪+⎝⎭====，则11cos 11cos sin tan tan A A A b c AA A+++++===1tan A =+因为锐角ABC V 中，π6B =，则π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，πππ0,62C A ⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭，解得：ππ,32⎛⎫∈⎪⎝⎭A ，故)tan A ∈+∞，10,tan 3A ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，(11,13tan A ⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭，故(1b c +∈+，(32a b c ++∈++所以三角形周长的取值范围是(32++.【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值18.已知函数()22ln 2x f x x ax =+-，a ∈R .（1）若3a =，求()f x 的极值；（2）设函数()f x 在x t =处的切线方程为()y g x =，若函数()()y f x g x =-是()0,+∞上的单调增函数，求t 的值；（3）函数()f x 的图象上是否存在不同的两点，使得函数的图象在这两点处的切线重合，若存在则求出a 的取值范围，若不存在则说明理由.【答案】（1）()f x 的极大值为()512f =-，极小值为()22ln 24f =-（2（3）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）令()0f x '=，列极值表，即可求得()f x 的极值；（2）求出切线方程，设()()()h x f x g x =-，转化为()0h x '≥在()0,∞+恒成立，再由基本不等式成立可得答案；（3）假设存在符合题意的直线，设两个切点分别为()()11,t f t ，()()22,t f t ，分别代入切线方程和()f x 整理得22112122ln022t t t -+=，设212t m =，转化为12ln 0m m m -+=，设()12ln m m m m ϕ=-+，由导数判断出单调性可得答案.【小问1详解】当3a =时，()212ln 32f x x x x =+-，则()()()1223x x f x x x x--=='+-，令()0f x '=，解得：=1或=2，列表如下：x()01，1()12，2()2+∞，()f x '+-+()f x 单调递增极大单调递减极小单调递增值值由表可知，当=1时，()f x 的极大值为()512f =-，当=2时，()f x 的极小值为()22ln 24f =-；【小问2详解】因为()2f x x a x'=+-，所以()2'=+-f t t a t ，所以x t =处切线方程为()()2212ln 02y t a x t t t at t t ⎛⎫=+--++->⎪⎝⎭，整理得：()2212ln 22y g x t a x t t ⎛⎫==+-+--⎪⎝⎭，设()()()h x f x g x =-，则：()()()221212ln 2ln 222h x f x g x x x t x t t t ⎛⎫=-=+-+-++ ⎪⎝⎭，由题意可知，()220h x x t x t ⎛⎫=+-+≥ ⎪⎝⎭'在()0+∞，恒成立.因为()222h x x t t x t t ⎛⎫⎛⎫=+-+≥+ ⎪ ⎝⎭⎝'⎪⎭，当且仅当x =时，等号成立，所以应有20t t ⎛⎫+≥⎪⎝⎭，而0t >，2t t +≥，所以只有2t t=即t =时，2+=t t即20t t ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭成立，所以t =.【小问3详解】由（2）可知，曲线=op 在()0x t t =>处切线方程为：2212ln 22y t a x t t t ⎛⎫=+-+-- ⎪⎝⎭，假设存在符合题意的直线，设两个切点分别为()()11,t f t ，()()22,t f t ，则：121222112222112ln 22ln 222t a t a t t t t t t ⎧+-=+-⎪⎪⎨⎪--=--⎪⎩①②，由①式可得：122t t =，代入②式，则：2112111222ln 2ln 2t t t t -=-，整理得：22112122ln 022t t t -+=，设212t m =，则12ln 0m m m -+=，设()12ln m m m m ϕ=-+，则()()22212110m m m m mϕ--=--=≤'，所以()m ϕ单调递减，因为()10ϕ=，所以()0m ϕ=的解为1t =.即2112t =，解得1t =，此时2112t t t ===，所以不存在符合题意的两点，使得函数的图象在这两点处的切线重合.【点睛】本题考查导数与函数的单调性与极值，切线问题，转化与化归能力，准确计算是关键，第三问转化为函数与方程的关系是难点，是较难的题目.19.在平面直角坐标系xOy 中，利用公式x ax by y cx dy =+⎧⎨=+''⎩①（其中a ，b ，c ，d 为常数），将点s 变换为点(),P x y '''的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由a ，b ，c ，d 组成的正方形数表a b c d ⎛⎫ ⎪⎝⎭唯一确定，我们将a b c d ⎛⎫ ⎪⎝⎭称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母A ，B ，…表示．（1）在平面直角坐标系xOy 中，将点()3,4P 绕原点O 按逆时针旋转3π得到点P '（到原点距离不变），求点P '的坐标；（2）如图，在平面直角坐标系xOy 中，将点s 绕原点O 按逆时针旋转α角得到点(),P x y '''（到原点距离不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵；（3）向量(),OP x y = （称为行向量形式），也可以写成x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，这种形式的向量称为列向量，线性变换坐标公式①可以表示为：x a b x y c d y '⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则称x y '⎛⎫ ⎪'⎝⎭是二阶矩阵a b c d ⎛⎫ ⎪⎝⎭与向量x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭的乘积，设A 是一个二阶矩阵，m ，n 是平面上的任意两个向量，求证：()A m n Am An +=+ ．【答案】（1）333,222P ⎛'-+ ⎝⎭（2）cos sin sin cos x x y y x y αααα=-'=+'⎧⎨⎩，cos sin sin cos αααα-⎛⎫ ⎪⎝⎭（3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用三角函数的定义得到旋转之前的cos θ和sin θ，再由两角和的正弦、余弦公式得到点P '的坐标；（2）利用三角函数的定义得到旋转之前的cos θ和sin θ，再由两角和的正弦、余弦公式得到点P '的坐标，再根据变换公式的定义得到变换公式及与之对应的二阶矩阵；（3）根据定义分别计算()A m n + 、 Am 、 An ，证明()A m n Am An +=+ 即可.【小问1详解】可求得5OP OP ='=，设POx θ∠=，则3cos 5θ=，4sin 5θ=，设点(),P x y '''，3POx πθ∠=+，故135cos 5cos sin 3222x πθθθ⎛⎫⎛⎫'=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭15sin 5sin cos 23222y πθθθ⎛⎫⎛⎫'=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以3222P ⎛'-+ ⎝⎭.【小问2详解】设OP OP r ='=，POx θ∠=，则cos x r θ=，sin y r θ=，P Ox θα∠'=+，故()cos cos cos sin sin cos sin x r r r x y θαθαθααα'=+=-=-()sin sin cos cos sin sin cos y r r r x y θαθαθααα'=+=+=+所以坐标变换公式为cos sin sin cos x x y y x y αααα=-'=+'⎧⎨⎩，该变换所对应的二阶矩阵为cos sin sin cos αααα-⎛⎫ ⎪⎝⎭【小问3详解】设矩阵a b A c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭，向量11x m y ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，22x n y ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，则1212x x m n y y +⎛⎫+= ⎪+⎝⎭ ．()()()()()121212121212a x x b y y x x a b A m n c x x d y y y y c d ⎛⎫++++⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，对应变换公式为：()()()()12121212x a x x b y y y c x x d y y ⎧=+++⎪⎨=+++''⎪⎩，111111x ax by a b Am y cx dy c d +⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，222222x ax by a b An y cx dy c d +⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以()()()()1212112212121122a x x b y y ax by ax by Am An c x x d y y cx dy cx dy ⎛⎫+++++⎛⎫⎛⎫+==+= ⎪ ⎪ ⎪+++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 故对应变换公式同样为()()()()12121212x a x x b y y y c x x d y y ⎧=+++⎪⎨=+++''⎪⎩所以()A m n Am An +=+ 得证.【点睛】方法点睛：利用三角函数的定义解题：（1）角α的顶点与坐标原点重合；（2）角的始边与x 轴正半轴重合；在角α的终边上任取一点(,)P x y ，该点到原点的距离r =则：sin y r α=；cos x r α=；tan y x α=.。
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一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1．设全集 U＝R，集合 A x x 3 ， B x x 6 ，则集合 U A B ( ) A．x 3 x 6 B．x 3 x 6 C．x 3 x 6 D．x 3 x 6
11．定义在
R
上的奇函数
f
(x)
，当
x
0
时，
f
(x)
1 log
x
1 (x
2
3
,x 1), x
1, 0,1
则关于
x
的函
数 F (x) f (x) a(0 a 1) 的所有零点之和为（ ）
A．1 2a
B． 0
C． 2a 2
D．
1 2
a
1
12．设 ABC 的内角 A, B,C 所对边的长分别为 a,b, c ，则下列命题正确的是（ ）
数学试题（理）第 2页 共 4 页
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．已知向量 a＝(2，m)，b＝(－1，2)，若 a⊥b，则 b 在向量 c a b 上的投影为________．
4x y 1 0
14．若实数
x，y
满足约束条件
y 1
则 z＝ln y－ln x 的最小值是________．
数学试题（理）第 3页 共 4 页
19. （本小题满分 12 分）为调查人们在购物时的支付习惯，某超市对随机抽取的 600 名顾 客的支付方式进行了统计，数据如下表所示：
(x 6)2 y2 1上的动点，则 PQ 的最小值为（ ）
A． 21 1
B．
2
5 5
C． 2 5
D． 2 5 1
9．已知函数 f (x) 3 2sin x cosx 2 3 cos2 x( 0) 在区间 , 2 内没有极值点，
则 的取值范围为（ ）
A．
5 12
,
11 24
B．
Pn1(an1,0) ,Q1(a1, b1) 、Q2 (a2 , b2 ) …… Qn (an , bn ) ，若记 PnQn Pn1 的面积为 cn ,求数列 cn
的前 n 项和Tn .
18.（本小题满分 12 分）如图所示，直三棱柱 ABC-A′B′C′的侧棱长为 4，AB BC，且 AB＝BC＝4， 点 D，E 分别是棱 AB，BC 上的动点，且 AD＝BE. （Ⅰ）求证：无论 D 在何处，总有 B′C⊥C′D； （Ⅱ）当三棱锥 B-DB′E 的体积取最大值时，求二面角 D-B′E-A′ 的余弦值．
A．－1－i
B．1＋i
C．－1＋i
D．1－i
4．若
sin(
4
)
5 5
，那么
cos(
4
)
的值为(
)
A．
25 5
B．
2
5 5
C．
5 5
D．
5 5
5．设
a
1
24
,
b
1 5
0.2
,
c
log
1 3
6
则(
)
A． a b c
B． c b a
C． c a b
D． b a c
6．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半径为
安徽六校教育研究会 2019 届高三第二次联考
数学试题（理）
注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上，写在本试卷上无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
（1）若
a2
b2
c2
，则 C
2
；
（2）
若 ab c2 ，则 C
3
；
（3）若 a3
b3
c3 ，则 C
2
；
（4）
若 2ab (a b)c ，则 C
2
；
（5）若
a2 b2
c2
2a2b2 ，则 C
3
.
A．（1）（2）（3） B．（1）（2）（5）
C．（1）（3）（4） D．（1）（3）（5）
r
的圆，若该几何体的体积为
9 8
，
则它的表面积是( )
A．
9 2
B． 9
C．
45 4
D．
54 4
数学试题（理）第 1页 共 4 页
7．若执行如图所示的程序框图，输入 x1 1, x2 2, x3 3, x 2 ，则
输出的数等于（ ） A． 1 3 B． 2 3 C．1
D． 2
8．已知抛物线 y2 2 px( p 0) 上一点 (5,t) 到焦点的距离为 6 ， P、Q 分别为抛物线与圆
满足
BA
BC
， ABC
2
，点
P
在底面
ABC
的射
影为
AC
的中点，且该三棱锥的体积为
19 6
，当其外接球的表面积最小时，P
到底面
ABC
的
距离为
.
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17-21 题为必考 题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。 17．(本小题满分 12 分) 已知{an}是各项均为正数的等比数列，且 a1+a2 =3,a3 a2 2 ，
等差数列{bn}的前 n 项和为 Sn ，且 b3 5,S4 16 . （Ⅰ）求数列 {an } 、 {bn } 的通项公式； （Ⅱ）如图，在平面直角坐标系中，有点 P1(a1, 0) 、 P2 (a2 , 0) …… Pn (an , 0) 、
x y 4
15．已知双曲线
x a
2 2
y2 b2
1(a
0, b 0) 的左、右焦点分别为 F1、F2 ，直线 MN
过 F2 ，且
与双曲线右支交于 M、N
两点，若 cos F1MN
cos F1F2M
，
F1M F1N
1 2
，则双曲线的两
条渐近线的倾斜角分别为
和
.
16．三棱锥
P
ABC
中，底面
ABC
2．某工厂生产的 A，B，C 三种不同型号的产品数量之比为 2∶3∶5，为研究这三种产品的
质量，现用分层抽样的方法从该工厂生产的 A，B，C 三种产品中抽出样本容量为 n 的样
本，若样本中 A 型产品有 10 件，则 n 的值为( )
A．15
B．25
C．50
D．60
3．若复数 z 满足 zi＝1＋i，则 z 的共轭复数是( )
0,
1 2
C．
0,
5 24
5 12
,
11 24
D．
0,5 12Fra bibliotek11 24
,
1 2
10．某地举办科技博览会，有 3 个场馆，现将 24 个志愿者名额分配给这 3 个场馆，要求每
个场馆至少有一个名额且各场馆名额互不相同的分配方法共有（ ）种
A． 222
B． 253
C． 276
D． 284