人教A版高中数学必修五课件高一《正弦和余弦定理》
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人教A版必修5第1章《正弦定理和余弦定理》ppt导学课件
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
根据勾股定理知△ABC 是直角三角形． 4、 已知 a，b，c 分别为△ABC 三个内角 A，B，C 的对边，acosC＋ 3asinC－b－c ＝0. (1)求 A； (2)若 a＝2，△ABC 的面积为 3，求 b， c. 【解析】本题考查正弦定理.（1）利用正 弦定理边化角结合两角和差公式化简求 解； （2）利用三角形面积公式及余弦定理 求解. 【答案】 (1)由 acosC＋ 3asinC－b－c＝ 0 及正弦定理得
．
【解析】本题考查正弦定理 . 在三角形中【解析】本题考查正弦定理.由正弦定理， 需要考虑大边对大角，三个内角的和不能得 sin B＝ 2， 2 0 超过 180 .利用正弦定理求得∠B，根据大 ∵a>b，∴∠A>∠B. 边对大角，故∠B ＝30°，勾股定理求得 ∴∠B 只有一解．∴∠B＝45°. c. 【答案】45°.
人教（A）数学 · 必修5 对点助学PPT
【知识目标】
1、理解正弦定理和余弦定理公 式的推导过程；
正弦定理和余弦定理
【学习目标】
1、会根据正弦定理和余弦定理 解三角形（知三求一） ； 2、会利用正弦定理和余弦定理 进行边角的相互转化2 3， b＝6，
B＝60°或 120°.
a
sin A
＝
＝ ＝2R sin B sin C
b
c
(R 为△ABC 的外接圆半径)．
统一为“边”之间的关系式或“角” 【答案】由正弦定理 a ＝ b sin A sin B 之间的关系式． 3 1 1 可得 ＝ ，∴sin B＝ ， sin 60° sin B 2
【对点巩固】
故∠B＝30°或 150°.由 a>b，
根据勾股定理知△ABC 是直角三角形． 4、 已知 a，b，c 分别为△ABC 三个内角 A，B，C 的对边，acosC＋ 3asinC－b－c ＝0. (1)求 A； (2)若 a＝2，△ABC 的面积为 3，求 b， c. 【解析】本题考查正弦定理.（1）利用正 弦定理边化角结合两角和差公式化简求 解； （2）利用三角形面积公式及余弦定理 求解. 【答案】 (1)由 acosC＋ 3asinC－b－c＝ 0 及正弦定理得
．
【解析】本题考查正弦定理 . 在三角形中【解析】本题考查正弦定理.由正弦定理， 需要考虑大边对大角，三个内角的和不能得 sin B＝ 2， 2 0 超过 180 .利用正弦定理求得∠B，根据大 ∵a>b，∴∠A>∠B. 边对大角，故∠B ＝30°，勾股定理求得 ∴∠B 只有一解．∴∠B＝45°. c. 【答案】45°.
人教（A）数学 · 必修5 对点助学PPT
【知识目标】
1、理解正弦定理和余弦定理公 式的推导过程；
正弦定理和余弦定理
【学习目标】
1、会根据正弦定理和余弦定理 解三角形（知三求一） ； 2、会利用正弦定理和余弦定理 进行边角的相互转化2 3， b＝6，
B＝60°或 120°.
a
sin A
＝
＝ ＝2R sin B sin C
b
c
(R 为△ABC 的外接圆半径)．
统一为“边”之间的关系式或“角” 【答案】由正弦定理 a ＝ b sin A sin B 之间的关系式． 3 1 1 可得 ＝ ，∴sin B＝ ， sin 60° sin B 2
【对点巩固】
故∠B＝30°或 150°.由 a>b，
高中数学必修五1.1正弦定理和余弦定理 课件 (共34张PPT)
两种途径 根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径： (1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角 转换．
双基自测 1．(人教A版教材习题改编)在△ABC中，A＝60° ，B＝75° ，a ＝10，则c等于( A．5 2 10 6 C. 3 )． B．10 2 D．5 6
a 解析 由A＋B＋C＝180° ，知C＝45° ，由正弦定理得： sin A ＝ c 10 c 10 6 sin C，即 3＝ 2.∴c＝ 3 . 2 2 答案 C
sin A cos B 2．在△ABC 中，若 a ＝ b ，则 B 的值为( A．30° 解析 B．45° C．60° D．90°
4． 已知两边和其中一边的对角， 解三角形时， 注意解的情况． 如 已知 a，b，A，则 A 为锐角 图形 A 为钝角或直角
关系 式 解的 个数
a＜b sin A a＝bsin A
bsin A＜a＜ b 两解
a≥b a＞b a≤b
无解
一解
一解 一解 无解
一条规律 在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大， 正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A＞B⇔a＞b⇔sin A ＞sin B. 两类问题 在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一 边，求其它边或角； (2) 已知两边及一边的对角，求其它边或 角．情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分．余 弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两 角；(2)已知三边，求各角．
正弦定理和余弦定理
基础梳理 a b c 1．正弦定理：sin A＝sin B＝sin C＝2R，其中 R 是三角形外接 圆的半径．由正弦定理可以变形为： (1)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (2)a＝ 2Rsin A ，b＝ 2Rsin B ，c＝ 2Rsin C ； a b c (3)sin A＝2R，sin B＝2R，sin C＝2R等形式，以解决不同的三 角形问题．
人教版高中数学必修五正弦定理和余弦定理课件
解的情况
A为钝角或直角
a＞b a≤b
一解 无解
a＜bsinA
无解
A为锐角
a=bsinA bsinA＜a＜b
一解 两解
a≥b
一解
思考 : 在ABC中, a x, b 2, A 450,若这个三角形有
两解,则x的取值范围是 _____2_,_2____
正弦定理的推论： =2R (R为△ABC外接圆半径） （边换角）
在已知三边和一个角的情况下：求另一个角 ㈠用余弦定理推论，解唯一,可以免去判断舍取。 ㈡用正弦定理，计算相对简单，但解不唯一，要进行 判断舍取。
练习1：在△ABC中，已知
解：
=31+18 =49
∴b=7
练习2：
在△ABC中， a 7,b 4 3, c 13 ,求△ABC的最小角。
解：
72 （4 13）2 （ 13）2 274 3
二、可以用正弦定理解决的两类三角问题： （1）知两角及一边，求其它的边和角； （2）知三角形任意两边及其中一边的对角，求其它
的边和角（注意判断解的个数）
思考：你能用正弦定理来解释为什么在三角形中越大
的角所对的边就越大吗？
分析：设△ABC的三个角所对边长分别是a、b、c，
且∠A≥∠B≥∠C，
（1）若△ABC是锐角或直角三角形 ∵正弦函数y=sinx在 [0, ]上是增函数 2
2A 2k 2B 或 2A 2k 2B(k Z)
0 A,B ，∴k 0，则A B或A+B=
故△ABC为等腰三角形或直角三角形.
2
针对性练习 1、已知△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，且 b sinB=c sinC，则△ABC的形状是
高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理(2)课件新人教a必修5
梳理
一个了三角形的边与对角的正弦之间的联系.所以正弦定理主要功能就是把 边化为对角的正弦或者反过来.简称边角互化.
思考2
什么时候适合用正弦定理进行边角互化？ 答案
尽管正弦定理给出了三角形的边与对角的正弦之间的联系， 但毕竟不是边等于对角正弦，这里还涉及到外接圆半径.故使 用时要么能消掉外接圆半径(如思考1)，要么已知外接圆半径.
由正弦定理，得sin2
A＝sin
660°，∴sin
A＝
2 2.
∵BC＝2< 6＝AC，∴A 为锐角，
∴A＝45°，∴C＝75°.
123
2.在△ABC中，若
a cos
A＝cobs
B＝cocs
C， 则△ABC是
答案
解析
A.直角三角形
B.等边三√角形
C.钝角三角形
D.等腰直角三角形
由正弦定理，知csoins AA＝csoins BB＝csoins CC， ∴tan A＝tan B＝tan C， 又∵A，B，C∈(0，π)，∴A＝B＝C，
故三角形为等边三角形.
知识点三 正弦定理在解决较为复杂的三角形问题中的作用
思考1
在△ABC中，已知acos B＝bcos A.你能把其中的边a，b化为 用角表示吗(打算怎么用上述条件)? 答案
可借助正弦定理把边化成角：2Rsin Acos B＝2Rsin Bcos A， 移项后就是一个三角恒等变换公式sin Acos B－cos Asin B＝0.
1.sin A∶sin B∶sin C＝ a∶；b∶c
a 2.sin
A＝sinb
B＝sinc
C＝sin
a＋b＋c A＋sin B＋sin
C＝
2R
高中数学人教A版必修5《正弦定理、余弦定理的应用》PPT
abc
大边对大角
sin A sinB sinC
b2 a 2 c2 2a c cos B
两边之和大于第三边
可能会多解
4、已知一边两角 正弦定理
abc sin A sinB sinC
a2 b2 c2 2bccos A
四、解决情境问题
10 3t
10t
2
3 1
五、小结反思 1.本节课学习了哪些主要内容？
在△ABC中, 若a 3, b 2，B 450，求A.
解：由正弦定理
a b c得
A
sin A sin B sinC
B
A B
C
3 2
A sin A 2
2
3
sin A
C
2
又a b
A 60或120
在△ABC中,若 B , a 2 3, b 2, 求 c.
6
在ABC中，若C 7 ,b 2，B ，求a.
人教版必修五第一章
正弦定理、余弦定理 的应用
C
a
b
B
c
一、问题情境
10 3t
10t
2
3 1
二、方法探究
已知在ABC中，角A, B,C所对的边分别为a,b, c,
若b 2, c 3 1, A 120，解这个三角形.
C
B
2
120 3 1
A
1、满足条件的三角形是唯一的吗？ 2、你选择应用哪个定理求解？
2.如何判别使用哪个定理？
3.如何应用两个定理解决实际的距离、角度等 问题？
12
4
三、归纳提升
正弦定理和余弦定理的适用范围
1、已知三边 余弦定理
abc sin A sinB sinC
人教A版高中数学必修五课件《1.1正弦定理和余弦定理》.pptx
B
思考2：将上述关系变式，边长c有哪几 种表示形式？由此可得什么结论？
C
b
a
A
c
B
a= b= c sin A sin B sinC
思考3：可a变形= 为b
sin A sin B
a,在si锐n角B △=AbBCs中in，A该等式是否成立？为
什么？
C
b
a
A
B D
思考4：
若∠C为钝角，a是si否n B成=立b？sin A 若∠A为钝角，a是sin否B成=立b s？in A 若∠B为钝角，a是sin否B成=立b s？in A
例2.在△ABC中，已知a=， b=，2 c3=，解三6角- 形.2
2+ 6
理论迁移 例3在△ABC中，已知a=，b=，3 B=30°7， 求边长c的值.
例4已知△ABC的周长为20，A=30°， a=7，求这个三角形的面积.
理论迁移
例5在△ABC中，角A、B、C的对边分
别为a、b、c，若AB∙AC=BA∙BC=1.
3.正弦定理不是万能的，如已知三角形 的三边长，利用正弦定理就不能求出三 个内角，因此我们还需要建立新的理论. 欲知后事如何，且听下回分解.
作业：
P10习题1.1A组：2. B组：2.
第一章解三角形
1.1正弦定理和余弦定理 1.1.2余弦定理 第一课时
问题提出 1.正弦定理的外在形式是什么？其数学 意义如何？
思考1：在△ABC中，向量Au，uCur，之AuuB间ur 有Bu什uCur 么关系？
C
b
a
A
B
思i，考使2i：⊥若,Au则uB∠ur向A为量锐i与角,,，的过Au夹uC点ur角A分A作uuBu别r单是位Buu什C向ur 么量？
高中数学人教A版必修5《1.1.2余弦定理》课件
复习回顾 正弦定理： a b c 2R
sinA sinB sinC
变形：a 2RsinA,b 2RsinB,c 2RsinC
a : b : c sinA : sinB : sinC
可以解决两类有关三角形的问题?
（1）已知两角和任一边。 AAS （2）已知两边和一边的对角。SSA
千岛湖
2.余弦定理
a2=b 2+c-22bccosA
2 22
b =c +a-2accosB
c2=a2
2
+b-2abcosC
3.由余弦定理知
cosA = b2 + c2 - a2 ， 2bc
cosB = c2 + a2 - b2 ， 2ca
cosC = a2 + b2 - c2 2ab
A90 a2b2c2
A90 a2b2c2
A
B
)450
D
C
练一练：
1、已知△ABC的三边为 1，求它的最大内角。
变一变： 解：不妨设三角形的三边分别为a=
、2、
,b=2,c=1
若 又由怎已余则弦最么知定大理三求内角边？为c∠的osAA比= 12是+22×2-2(×1:)22:1=, - —12
∴ A=120°
再练：
2、已知△ABC中AB=2、AC=3、 A= ，求BC的长。
►1Our destiny offers not the cup of despair, but the chalice of opportunity. ►So let us seize it, not in fear, but in gladness. · 命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。 因此，让我们毫无畏惧，满心愉悦地把握命运
sinA sinB sinC
变形：a 2RsinA,b 2RsinB,c 2RsinC
a : b : c sinA : sinB : sinC
可以解决两类有关三角形的问题?
（1）已知两角和任一边。 AAS （2）已知两边和一边的对角。SSA
千岛湖
2.余弦定理
a2=b 2+c-22bccosA
2 22
b =c +a-2accosB
c2=a2
2
+b-2abcosC
3.由余弦定理知
cosA = b2 + c2 - a2 ， 2bc
cosB = c2 + a2 - b2 ， 2ca
cosC = a2 + b2 - c2 2ab
A90 a2b2c2
A90 a2b2c2
A
B
)450
D
C
练一练：
1、已知△ABC的三边为 1，求它的最大内角。
变一变： 解：不妨设三角形的三边分别为a=
、2、
,b=2,c=1
若 又由怎已余则弦最么知定大理三求内角边？为c∠的osAA比= 12是+22×2-2(×1:)22:1=, - —12
∴ A=120°
再练：
2、已知△ABC中AB=2、AC=3、 A= ，求BC的长。
►1Our destiny offers not the cup of despair, but the chalice of opportunity. ►So let us seize it, not in fear, but in gladness. · 命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。 因此，让我们毫无畏惧，满心愉悦地把握命运
(人教版)数学必修五：1《正弦定理和余弦定理(1)》ppt课件 公开课精品课件
2
3＋1 4.
根据正弦定理，得 a＝cssiinnCA＝2ssiinn7650°°
＝ 22×3＋23 1＝ 6( 3－1)， 4
b＝cssiinnCB＝2ssiinn7455°°＝ 22×3＋221＝2( 3－1)． 4
[方法总结] (1)已知任意两角和一边，解三角形的步骤： ①由三角形内角和定理求出第三个角； ②由正弦定理公式的变形，求另外的两边． (2)注意事项： 已知内角不是特殊角时，往往先求出其正弦值，再根据以 上步骤求解．
1.正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
正弦定理的向量法证明： 证明：(向量法) 当△ABC 是锐角三角形时，如图(1)所示， 过点 A 作单位 向量 i 垂直于 AB，因为A→C＝A→B＋B→C，所以 i·A→C＝i·A→B＋i·B→C， 所以 b·cos(90°－A)＝c·cos90°＋a·cos(90°－B)，即 bsinA＝asinB， 得sianA＝sibnB.同理可得sianA＝sincC，所以sianA＝sibnB＝sincC.
1.任意三角形的内角和为________；三条边满足：两边之 和________第三边，两边之差________第三边，并且大边对 ________，小边对________．
2．直角三角形的三边长a，b，c(斜边)满足________定 理，即________．
[答案] 1.180° 大于 小于 大角 小角 2.勾股 a2 ＋b2＝c2
运用正弦定理求有关三角形的面积问题
已知在△ABC 中，c＝2 2，a>b，C＝π4，tanA·tanB ＝6，试求三角形的面积．
[分析] 本题可先求 tanA，tanB 的值，由此求出 sinA 及 sinB， 再利用正弦定理求出 a，b 及三角形的面积．
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[4分] 即2sinAcosB=sin(B+C)=sinA, 在三角形中，sinA>0,2cosB=1, ∵∠B是三角形的内角，∴B=60°.[6分]
（2）在△ABC中，由余弦定理得
b2=a2+c2-2ac·cosB =(a+c)2-2ac-2ac·cosB,[8分] 将b=,a 7+c=4代入整理，得ac=3.[10分]
1边，若abc=16，则三角形的面积为（） 2 A.B.C.D. 2 2 解析 C
2 2
8 2
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2
a b c 2 R 8, sin A sin B sin C c sin C , 8 1 1 1 S ABC ab sin C abc 16 2 2. 2 16 16
所以△ABC是等腰三角形，故选B. 方法二利用正弦定理和余弦定理 2sinAcosB=sinC可化为 即a2+c2-b2=c2,即a2-b2=0, 即a2=b2,故a=b. 所以△ABC是等腰三角形.
a 2 c2 b2 2a c, 2ac
答案B
正、余弦定理的综合应用
(12分 )在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C 【例 4】 的对边，且满足（2a-c）cosB=bcosC. (1)求角B的大小； (2)若b=,a+ 7c=4,求△ABC的面积.
（2）利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的
三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得 出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时 要注意应用A+B+C=π这个结论.
知识迁移在△ABC中，已知2sinAcosB=
sinC，那么△ABC一定是（） A.直角三角形B.等腰三角形 C.等腰直角三角形D.正三角形 分析本题是判定三角形形状的问题，在解斜
z..x..x..k
正弦定理和余弦定理
正弦定理求三角形面积
1 1 1 S ABC ab sin C bc sin A ac sin B 2 2 2 1 abc S ABC ac sin B 2 4R
（R是三角形外接圆的半径）,并可由
此计算R。
例题分析
优化方案13页例1和例3
三角形中，这是常见的题型之一.
解析方法一因为在△ABC中，A+B+C=π ， 即C=π -（A+B），所以sinC=sin(A+B). 由2sinAcosB=sinC, 得2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB, 即sinAcosB-cosAsinB=0,即sin(A-B)=0.
又因为-π <A-B<π ,所以A-B=0,即A=B.
4.在△ABC中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c.
若B=45°，b=，a= 3 2，则C=.
75° 或15°
三角形形状的判定
在△ ABC 【例 3 】 中，a、b、c分别表示三个内角 A、B、C的对边，如果（a2+b2）sin（A-B）= （a2-b2）sin（A+B），判断三角形的形状. 利用正弦定理、余弦定理进行边角 思维启迪
∴sin2A=sin2B,由0<2A,2B<2π 得2A=2B或2A=π -2B, 即A=B或A=-B,∴△ABC为等腰或直角三角形. 2 方法二同方法一可得 2a2cosAsinB=2b2sinAcosB 由正、余弦定理,可得
2 2 2 b2 c2 a 2 2 a c b ab b a 2bc 2ac ∴a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2) 2
基础自测
2.（2010·陕西）△ABC的内角A、B、C的 对边分别为a、b、c,若c=,b=, 6°, 2 B=120 则a等于（） D A.B.2C.D. 6
3
2
解析
b c 由正弦定理得 , sin B sin C
c sin B 2 sin 120 1 sin C , b 6 2 C 30, A 180 120 30 30. a c 2.
3.在△ABC中，A=60°,a=4, B等 3b=4,则2
于（） A.45°或135°B.135° C.45°D.以上答案都不对
解析由正弦定理得
即
C
a b , sin A sin B
4 3 4 2 4 2 2 , sin B sin 60 . sin 60 sin B 4 3 2 又∵a>b,A=60°,∴B=45°.
故S ABC 1 3 3 3 ac sin B sin 60 . 2 2 4
[12分]
在求角问题中，一般都是用正、余弦定 探究提高 理将边化为角.由三角函数值求角时，要注意角的 范围.在应用余弦定理时，要注意配方这一小技 巧，通过配方，使之出现（a+b）2或（a-b）2. 将a+b或a-b作为一个整体，可以带来非常好的效果.
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互化，转化为边边关系或角角关系.
解方法一已知等式可化为 a2［sin（A-B）-sin（A+B）］
=b2［-sin（A+B）-sin(A-B)］
∴2a2cosAsinB=2b2cosBsinA 由正弦定理可知上式可化为： sin2AcosAsinB=sin2BcosBsinA
∴sinAsinB(sinAcosA-sinBcosB)=0
即(a2-b2)(a2+b2-c2)=0 ∴a=b或a2+b2=c2 ∴△ABC为等腰或直角三角形.
判断三角形形状可通过边和角两种途 探究提高 径进行判断,应根据题目条件，选用合适的策略：
（1）若用边的关系，则有：若A为锐角，则b2+c2 -a2>0;若A为直角，则b2+c2-a2=0；若A为钝角， 则b2+c2-a2<0.
(1) 用正弦定理,将边用角代换后求解. 思维启迪
(2)用余弦定理,配方出现a+b后代换,求出ac即可.
解题示范
解（1）在△ABC中，由正弦定理得： a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,
代入(2a-c)cosB=bcosC,
整理得2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB,
（2）在△ABC中，由余弦定理得
b2=a2+c2-2ac·cosB =(a+c)2-2ac-2ac·cosB,[8分] 将b=,a 7+c=4代入整理，得ac=3.[10分]
1边，若abc=16，则三角形的面积为（） 2 A.B.C.D. 2 2 解析 C
2 2
8 2
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2
a b c 2 R 8, sin A sin B sin C c sin C , 8 1 1 1 S ABC ab sin C abc 16 2 2. 2 16 16
所以△ABC是等腰三角形，故选B. 方法二利用正弦定理和余弦定理 2sinAcosB=sinC可化为 即a2+c2-b2=c2,即a2-b2=0, 即a2=b2,故a=b. 所以△ABC是等腰三角形.
a 2 c2 b2 2a c, 2ac
答案B
正、余弦定理的综合应用
(12分 )在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C 【例 4】 的对边，且满足（2a-c）cosB=bcosC. (1)求角B的大小； (2)若b=,a+ 7c=4,求△ABC的面积.
（2）利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的
三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得 出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时 要注意应用A+B+C=π这个结论.
知识迁移在△ABC中，已知2sinAcosB=
sinC，那么△ABC一定是（） A.直角三角形B.等腰三角形 C.等腰直角三角形D.正三角形 分析本题是判定三角形形状的问题，在解斜
z..x..x..k
正弦定理和余弦定理
正弦定理求三角形面积
1 1 1 S ABC ab sin C bc sin A ac sin B 2 2 2 1 abc S ABC ac sin B 2 4R
（R是三角形外接圆的半径）,并可由
此计算R。
例题分析
优化方案13页例1和例3
三角形中，这是常见的题型之一.
解析方法一因为在△ABC中，A+B+C=π ， 即C=π -（A+B），所以sinC=sin(A+B). 由2sinAcosB=sinC, 得2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB, 即sinAcosB-cosAsinB=0,即sin(A-B)=0.
又因为-π <A-B<π ,所以A-B=0,即A=B.
4.在△ABC中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c.
若B=45°，b=，a= 3 2，则C=.
75° 或15°
三角形形状的判定
在△ ABC 【例 3 】 中，a、b、c分别表示三个内角 A、B、C的对边，如果（a2+b2）sin（A-B）= （a2-b2）sin（A+B），判断三角形的形状. 利用正弦定理、余弦定理进行边角 思维启迪
∴sin2A=sin2B,由0<2A,2B<2π 得2A=2B或2A=π -2B, 即A=B或A=-B,∴△ABC为等腰或直角三角形. 2 方法二同方法一可得 2a2cosAsinB=2b2sinAcosB 由正、余弦定理,可得
2 2 2 b2 c2 a 2 2 a c b ab b a 2bc 2ac ∴a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2) 2
基础自测
2.（2010·陕西）△ABC的内角A、B、C的 对边分别为a、b、c,若c=,b=, 6°, 2 B=120 则a等于（） D A.B.2C.D. 6
3
2
解析
b c 由正弦定理得 , sin B sin C
c sin B 2 sin 120 1 sin C , b 6 2 C 30, A 180 120 30 30. a c 2.
3.在△ABC中，A=60°,a=4, B等 3b=4,则2
于（） A.45°或135°B.135° C.45°D.以上答案都不对
解析由正弦定理得
即
C
a b , sin A sin B
4 3 4 2 4 2 2 , sin B sin 60 . sin 60 sin B 4 3 2 又∵a>b,A=60°,∴B=45°.
故S ABC 1 3 3 3 ac sin B sin 60 . 2 2 4
[12分]
在求角问题中，一般都是用正、余弦定 探究提高 理将边化为角.由三角函数值求角时，要注意角的 范围.在应用余弦定理时，要注意配方这一小技 巧，通过配方，使之出现（a+b）2或（a-b）2. 将a+b或a-b作为一个整体，可以带来非常好的效果.
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互化，转化为边边关系或角角关系.
解方法一已知等式可化为 a2［sin（A-B）-sin（A+B）］
=b2［-sin（A+B）-sin(A-B)］
∴2a2cosAsinB=2b2cosBsinA 由正弦定理可知上式可化为： sin2AcosAsinB=sin2BcosBsinA
∴sinAsinB(sinAcosA-sinBcosB)=0
即(a2-b2)(a2+b2-c2)=0 ∴a=b或a2+b2=c2 ∴△ABC为等腰或直角三角形.
判断三角形形状可通过边和角两种途 探究提高 径进行判断,应根据题目条件，选用合适的策略：
（1）若用边的关系，则有：若A为锐角，则b2+c2 -a2>0;若A为直角，则b2+c2-a2=0；若A为钝角， 则b2+c2-a2<0.
(1) 用正弦定理,将边用角代换后求解. 思维启迪
(2)用余弦定理,配方出现a+b后代换,求出ac即可.
解题示范
解（1）在△ABC中，由正弦定理得： a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,
代入(2a-c)cosB=bcosC,
整理得2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB,