高中数学第二章平面向量24向量的应用242向量在物理中的应用示范教案新人教B版必修4
人教B版数学高二下学期向量的应用教案
人教B版数学高二下学期向量的应用教案教案是教师为顺利而有效地开展教学活动，根据课程标准，教学大纲和教科书要求及学生的实际情况，以课时或课题为单位，对教学内容、教学步骤、教学方法等进行的具体设计和安排的一种实用性教学文书，包括教材简析和学生分析、教学目的、重难点、教学准备、教学过程及练习设计等，下面是由小编为大家整理的范文模板,仅供参考,欢迎大家阅读.
一、教学目标：掌握向量的概念、坐标表示、运算性质，做到融会贯通，能应用向量的有关性质解决诸如平面几何、解析几何等的问题.
二、教学重点：向量的性质及相关知识的综合应用.
三、教学过程：
(一)主要知识：
1. 掌握向量的概念、坐标表示、运算性质，做到融会贯通，能应用向量的有关性质解决诸如平面几何、解析几何等的问题.
(二)例题分析：略
四、小结：
1.进一步熟练有关向量的运算和证明;能运用解三角形的知识解决有关应用问题，
2.渗透数学建模的思想，切实培养分析和解决问题的能力.
五、作业：略
人教B版数学高二下学期向量的应用教案模板.到电脑，方便收藏和打印：。
高中数学 第二章 平面向量 2.2 向量的分解与向量的坐标 2.2.1 平面向量基本定理示范教案 新人教B版必修4
2.2.1 平面向量基本定理示范教案整体设计教学分析平面向量基本定理既是本节的重点又是本节的难点．平面向量基本定理告诉我们同一平面内任一向量都可表示为两个不共线向量的线性组合，这样，如果将平面内向量的始点放在一起，那么由平面向量基本定理可知，平面内的任意一点都可以通过两个不共线的向量得到表示，也就是平面内的点可以由平面内的一个点及两个不共线的向量来表示．这是引进平面向量基本定理的一个原因．教科书中，先用实例归纳出基本定理，然后做形式化的证明．教学时要注意，形式化证明可以省略，特别是唯一性证明，可能多数学生难以理解，但一定要对“唯一性”加以说明，以便应用唯一性解题．建议引导学生推导直线的向量表达式和中点公式．特别强调直线的向量表达式和中点公式应让学生记忆．三维目标1．通过探究活动，推导并理解平面向量基本定理．2．掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法．3．能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达，并通过例题的探究，掌握直线的向量表达式和中点公式．重点难点教学重点：平面向量基本定理和直线的向量表达式．教学难点：平面向量基本定理的灵活运用．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.在物理学中我们知道，力是一个向量，力的合成就是向量的加法运算．而且力是可以分解的，任何一个大小不为零的力，都可以分解成两个不同方向的分力之和．将这种力的分解拓展到向量中来，会产生什么样的结论呢？思路2.前面我们学习了向量的代数运算以及对应的几何意义，如果将平面内向量的始点放在一起，那么平面内的任意一个点或者任意一个向量是否都可以用这两个同起点的不共线向量来表示呢？这样就引进了平面向量基本定理．教师可以通过多对几个向量进行分解或者合成，用课件给出图象演示和讲解．通过相应的课件来演示平面上任意向量的分解，对两个不共线的向量都乘以不同的系数后再进行合成将会有什么样的结论？推进新课新知探究提出问题(1)给定平面内任意两个不共线的非零向量e1、e2，请你作出向量3e1＋2e2、e1－2e2.平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e1＋λ2e2的向量表示呢？(2)如图1(1)，设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，a是这一平面内的任一向量，你能通过作图探究a与e1、e2之间的关系吗？(1) (2)图1活动：如图1(2)，在平面内任取一点O ，作OA →＝e 1，OB →＝e 2，OC →＝a .过点C 作平行于直线OB 的直线，与直线OA 交于点M ；过点C 作平行于直线OA 的直线，与直线OB 交于点N.由向量的线性运算性质可知，存在实数λ1、λ2，使得OM →＝λ1e 1，ON →＝λ2e 2.由于OC →＝OM →＋ON →，所以a ＝λ1e 1＋λ2e 2.也就是说，任一向量a 都可以表示成λ1e 1＋λ2e 2的形式．或先让学生计算特例，从感性猜想入手．如图2，e 1，e 2是两个不平行的向量，容易看出AB →＝2e 1＋3e 2，CD →＝－e 1＋4e 2， EF →＝4e 1－4e 2，GH →＝－2e 1＋5e 2.图2由上述过程可以发现，平面内任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量e 1、e 2表示出来．由此可得：平面向量基本定理：如果e 1和e 2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a ，存在唯一的一对实数a 1，a 2，使a ＝a 1e 1＋a 2e 2.教师强调：①我们把不共线向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{e 1，e 2}，a 1e 1＋a 2e 2叫做向量a 关于基底{e 1，e 2}的分解式；②基底不唯一，关键是不共线；③由定理可将任一向量a 在给出基底e 1、e 2的条件下进行分解； ④基底给定时，分解形式唯一．接下来教师可引导学对该定理给出证明．证明：在平面内任取一点O(如图3)，作OE 1→＝e 1，OE 2→＝e 2，OA →＝a .图3由于e 1与e 2不平行，可以进行如下作图：过点A 作OE 2的平行(或重合)直线，交直线OE 1于点M ，过点A 作OE 1的平行(或重合)直线，交直线OE 2于点N ，于是依据平面向量基本定理，存在两个唯一的实数a 1，a 2，分别有OM →＝a 1e 1，ON →＝a 2e 2，所以a ＝OA →＝OM →＋ON →＝a 1e 1＋a 2e 2.证明表示的唯一性：如果存在另一对实数x ，y 使OA →＝x e 1＋y e 2，则a 1e 1＋a 2e 2＝x e 1＋y e 2，即(x －a 1)e 1＋(y －a 2)e 2＝0.由于e 1与e 2不平行，如果x －a 1，y －a 2中有一个不等于0，不妨设y －a 2≠0，则e 2＝－x －a 1y －a 2e 1，由平面向量基本定理，得e 1与e 2平行．这与假设矛盾，因此x －a 1＝0，y －a 2＝0，即x ＝a 1，y ＝a 2.讨论结果：(1)(2)略． 应用示例思路1例 1如图4，ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，H 、M 分别是AD 、DC 的中点，F 使BF ＝13BC ，以a ，b 为基底分解向量AM →与HF →.图4解：由H 、M 、F 所在位置，有AM →＝AD →＋DM →＝AD →＋12DC →＝AD →＋12AB →＝b ＋12a .HF →＝AF →－AH →＝AB →＋BF →－AH →＝AB →＋13BC →－12AD →＝AB →＋13AD →－12AD →＝a －16b .点评：以a 、b 为基底分解向量AM →与HF →，实为用a 与b 表示向量AM →与HF →.变式训练已知ABCD 的两条对角线相交于点M ，设AB →＝a ，AD →＝b .试用基底{a ，b }表示MA →，MB →，MC →和MD →(图5)图5解：因为AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ， DB →＝AB →－AD →＝a －b ，MA →＝－12AC →＝－12(a ＋b )＝－12a －12b ，MB →＝12DB →＝12(a －b )＝12a －12b ，MC →＝12AC →＝12a ＋12b ，MD →＝－12DB →＝－12a ＋12b .例 2 如图6，质量为10 kg 的物体A 沿倾斜角为θ＝30°的斜面匀速下滑，求物体受到的滑动摩擦力和支持力．(g ＝10 m/s 2)图6解：物体受到三个力：重力AG →，斜面支持力AN →，滑动摩擦力AM →.把重力AG →分解为平行于斜面的分力AF →和垂直于斜面的分力AE →.因为物体做匀速运动，所以AN →＝－AE →，AM →＝－AF →.因为|AG →|＝10(kg)×10(m/s 2)＝100(N)， |AF →|＝|AG →|·sin30°＝100×12＝50(N)，|AE →|＝|AG →|·cos30°＝100×32＝503(N)，所以|AM →|＝|AF →|＝50(N)，|AN →|＝|AE →|＝503(N)．答：物体所受滑动摩擦力大小为50 N ，方向沿斜面平行向上；所受斜面支持力大小为50 3 N ，方向与斜面垂直向上．例 3下面三种说法：①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可以作为基底中的向量，其中正确的说法是( )A ．①② B．②③ C ．①③ D．①②③ 活动：这是训练学生对平面向量基本定理的正确理解，教师引导学生认真地分析和理解平面向量基本定理的真正内涵．让学生清楚在平面中对于基底的选取是不唯一的，只要是同一平面内的两个不共线的向量都可以作为基底．解析：平面内向量的基底是不唯一的．在同一平面内任何一组不共线的向量都可作为平面内所有向量的一组基底；而零向量可看成与任何向量平行，故零向量不可作为基底中的向量．综上所述，②③正确．答案：B图7．a>0，b<0 ．a<0，b<0 思路2例 1如图8，M 是△ABC 内一点，且满足条件AM →＋2BM →＋3CM →＝0，延长CM 交AB 于N ，令CM →＝a ，试用a 表示CN →.图8活动：平面向量基本定理是平面向量的重要定理，它是解决平面向量计算问题的重要工具．由平面向量基本定理，可得到下面两个推论：推论1：e 1与e 2是同一平面内的两个不共线向量，若存在实数λ1、λ2，使得λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＝λ2＝0.推论2：e 1与e 2是同一平面内的两个不共线向量，若存在实数a 1，a 2，b 1，b 2，使得a＝a 1e 1＋a 2e 2＝b 1e 1＋b 2e 2，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝b 1，a 2＝b 2.解：∵AM →＝AN →＋NM →，BM →＝BN →＋NM →，∴由AM →＋2BM →＋3CM →＝0，得(AN →＋NM →)＋2(BN →＋NM →)＋3CM →＝0.∴AN →＋3NM →＋2BN →＋3CM →＝0.又∵A、N 、B 三点共线，C 、M 、N 三点共线， 设AN →＝λBN →，CM →＝μNM →，∴λBN →＋3NM →＋2BN →＋3μNM →＝0.∴(λ＋2)BN →＋(3＋3μ)NM →＝0.由于BN →和NM →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2＝0，3＋3μ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，μ＝－1.∴CM →＝－NM →＝MN →. ∴CN →＝CM →＋MN →＝2CM →＝2a .点评：这里选取BN →，NM →作为基底，运用化归思想，把问题归结为λ1e 1＋λ2e 2＝0的形例 2如图9，△ABC 中，AD 为△ABC 边上的中线且AE ＝2EC ，求AG GD 及BGGE的值．图9活动：教师让学生先仔细分析题意，以明了本题的真正用意，怎样把平面向量基本定理与三角形中的边相联系？利用化归思想进行转化后，结合向量的相等进行求解．解：设AG GD ＝λ，BGGE ＝μ.∵BD →＝DC →，即AD →－AB →＝AC →－AD →， ∴AD →＝12(AB →＋AC →)．又∵AG →＝λGD →＝λ(AD →－AG →)， ∴AG →＝λ1＋λAD →＝λ21＋λAB →＋λ21＋λAC →.①又∵BG →＝μGE →，即AG →－AB →＝μ(AE →－AG →)， ∴(1＋μ)AG →＝AB →＋μAE →，AG →＝11＋μAB →＋μ1＋μAE →.又AE →＝23AC →，∴AG →＝11＋μAB →＋2μ31＋μAC →.②比较①②，∵AB →、AC →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ21＋λ＝11＋μ，λ21＋λ＝2μ31＋μ.解之，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝4，μ＝32.∴AG GD ＝4，BG GE ＝32. 点评：本例中，构造向量在同一基底下的两种不同表达形式，利用相同基向量的系数对应相等得到一实数方程组，从而进一步求得结果．3已知A ，B 是直线l 上任意两点，O 是l 外一点(如图10)，求证：对直线l 上任意一点P ，存在实数t ，使OP →关于基底{OA →，OB →}的分解式为OP →＝(1－t)OA →＋tOB →. ① 并且，满足①式的点P 一定在l 上．证明：设点P 在直线l 上，则由平面向量基本定理知，存在实数t ，使AP →＝tAB →＝t(OB →－OA →)．图10所以OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋tOB →－tOA →.所以点P 满足等式OP →＝(1－t)OA →＋tOB →，即有AP →＝tAB →，即P 在l 上．点评：由本例可知，对直线l 上任意一点P ，一定存在唯一的实数t 满足向量等式①；反之，对每一个实数t ，在直线l 上都有唯一的一个点P 与之对应．向量等式①叫做直线l 的向量参数方程式，其中实数t 叫做参变数，简称参数．在①中，令t ＝12，点M 是AB 的中点，则OM →＝12(OA →＋OB →)．课堂小结1．先由学生回顾本节学习的数学知识：平面向量的基本定理，回忆我们是如何探究发现定理的？并通过思路2例3的证明又探究得到了线段AB 中点的向量表达式．教师点拨学生，在今后的学习中，要继续发扬这种勇于探索、勇于发现的科学精神．2．教师与学生一起总结本节学习的数学方法，如待定系数法，定义法，归纳与类比，数形结合，几何作图等，并把本节所学纳入知识体系中．作业课本本节练习B 组 2,3.设计感想1．本节课内容是在上节向量学习的基础上探究到的一个新定理——平面向量基本定理．教科书首先通过特例验证：对于平面内给定的任意两个向量进行加减的线性运算时所表示的新向量有什么特点，反过来，对平面内的任意向量是否都可以用形如λ1e 1＋λ2e 2的向量表示．2．教师应该多提出问题，多让学生自己动手作图来发现规律，通过解题来总结方法，引导学生理解“化归”思想对解题的帮助，也要让学生善于用“数形结合”的思想来解决这部分的题目．3．应充分借助多媒体进行教学，整节课的教学主线应以学生探究为主，教师给予引导和点拨．充分让学生经历分析、探究问题的过程，这也是学习数学，领悟思想方法的最好载体．学生这种经历的实践活动越多，解决问题的方法就越恰当而简捷．备课资料 一、三角形中三条中线共点的证明如图11所示，已知在△ABC 中，D 、E 、L 分别是BC 、CA 、AB 的中点，设中线AD 、BE 相交于点P.图11求证：AD 、BE 、CL 三线共点．分析：欲证三条中线共点，只需证明C 、P 、L 三点共线．证明：设AC →＝a ，AB →＝b ，则AL →＝12b ，CL →＝AL →－AC →＝－a ＋12b .设AP →＝mAD →，则AC →＋CP →＝m(AC →＋CD →)，CP →＝(－1＋m)AC →＋mCD →＝(－1＋m)a ＋m[12(b －a )]＝(－1＋12m)a ＋12m b .①又设EP →＝nEB →，则CP →－CE →＝n(EC →＋CB →)，∴CP →＝(1－n)CE →＋nCB →＝－12(1－n)a ＋n(b －a )＝(－12－12n)a ＋n b .②由①②，得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋12m ＝－12－12n ，12m ＝n.解之，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝23，n ＝13.∴CP →＝－23a ＋13b ＝23(－a ＋12b )＝23CL →.∴C、P 、L 三点共线．∴AD、BE 、CL 三线共点．二、备用习题1．如图12所示，已知AP →＝43AB →，AQ →＝13AB →，用OA →、OB →表示OP →，则OP →等于( )图12A.13OA →＋43OB → B ．－13OA →＋43OB →C ．－13OA →－43OB → D.13OA →－43OB →2．已知e 1，e 2是两非零向量，且|e 1|＝m ，|e 2|＝n ，若c ＝λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2∈R )，则|c |的最大值为( )A ．λ1m ＋λ2nB ．λ1n ＋λ2mC ．|λ1|m ＋|λ2|nD ．|λ1|n ＋|λ2|m3．已知G 1、G 2分别为△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的重心，且A 1A 2→＝e 1，B 1B 2→＝e 2，C 1C 2→＝e 3，则G 1G 2→等于( )A.12(e 1＋e 2＋e 3)B.13(e 1＋e 2＋e 3) C.23(e 1＋e 2＋e 3) D ．－13(e 1＋e 2＋e 3) 4．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)，λ∈[0，＋∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心5．已知向量a 、b 且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( ) A ．A 、B 、D B ．A 、B 、C C ．C 、B 、D D ．A 、C 、D6．如图13，平面内有三个向量OA →、OB →、OC →，其中与OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为________．图13参考答案：1.B 2.C 3.B 4.B 5.A 6.611。
数学：2.4.2《向量在物理中的应用举例》教案(新人教B版必修4)
2.4.2 向量在物理中的应用举例一、教学目标：1．知识与技能：运用向量的有关知识（向量加减法与向量数量积的运算法则等）解决简单的物理问题. 2．过程与方法：通过应用举例，让学生理解用向量知识研究物理中的相关问题的“四环节”和生活中的实际问题，培养学生的探究意识和应用意识，体会向量的工具作用.3．情感、态度与价值观：通过本节的学习，让学生体验向量在物理问题中的工具作用，增强学生的积极主动的探究意识，培养创新精神。
二、教学重点难点：重点：利用向量方法解决与物理相关的实际问题难点：选择适当的方法，建立以向量为主的数学模型，把物理问题转化为数学问题三、教学方法本小节主要是例题教学，要让学生体会思路的形成过程，体会数学思想方法的应用。
教学中，教师创设问题情境，引导学生发现解题方法，展示思路的形成过程，总结解题规律。
指导学生搞好解题后的反思，从而提高学生综合应用知识分析和解决问题的能力。
教学内容安排：五、教学资源建议（1）多媒体教学系统（展示相关图片或视频资料）.（2）引导学生通过网络等途径进一步了解向量在几何、物理以及在其他方面的应用，加深对向量工具性功能的认识，扩大知识视野.六、教学方法与学习指导策略建议（1）重视问题的形成过程利用多媒体教学手段和丰富的素材，通过典型问题创设教学情景，让学生动手操作、观察思考，在探究中发现和提出问题，发现平面图形的几何性质.（2）关注解题方法产生的思维过程引导学生探究如何将平面几何、力学等问题转化为向量问题，揭示解题方法产生的的思维过程，让学生体会解题思路的形成过程和数学思想方法的运用，从而提高学生综合运用知识分析和解决问题的能力.（3）强化学生的应用意识一是培养学生利用所学数学知识、用数学的思维与观点去观察和分析现实生活现象的习惯和意识，强化学生的应用意识；二是为学生提供充足的动手操作的机会，一旦形成解决问题的思路，后续的解题过程则放手让学生独立完成，让学生体验问题的解决过程，并在此过程中锻炼与提高数学能力.（4）引导学生探究解题规律指导学生做好解题后的反思，总结解题规律，从而培养学生理性的、条理的思维习惯，形成对通性通法的归纳意识.。
高中数学 第二章 平面向量 2.4 向量的应用 2.4.2 向量在物理中的应用课堂导学案 新人教B版必修4
2.4.2 向量在物理中的应用课堂导学三点剖析一、用向量解决运动学问题【例1】 如图，一条河的两岸平行，河宽为d 米.一船从A 出发航行到河的对岸，航行的速度大小为|v 1|,水流的速度大小为|v 2|，且|v 1|>|v 2|,那么|v 1|与|v 2|的夹角θ多大时，船才能垂直到达河岸B 处？船航行多少时间？思路分析：解题时要注意速度是一个向量，应用向量的三角形或平行四边形法则解决时，关键是“水速+船速=船的实际速度”是向量的加法运算. 解：|v |=2221||||v v -,所以船航行的时间t=2221||||||v v dv d -=,又因为t=αsin ||1∙v d,所以2221||||v v d -=αsin ||1∙v d.所以sin α=2122||||1v v -.所以θ=π-arcsin 2122||||1v v -. 答：当|v 1|、|v 2|的夹角为π-arcsin 2122||||1v v -时，船才能垂直到达河岸B 处,船航行时间为2221||||v v d -.各个击破 类题演练 1一艘船从A 点出发以32 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2 km/h ，求船实际航行的速度的大小和方向.解：如图，|v 1|=32,|v 2|=2,且v 1⊥v 2.所以|v |=412||||2221+=+v v =4,所以cos∠BAC=2142||||12==v v .所以∠BAC=60°.所以船实际航行的速度大小为4 km/h ，方向与水流方向的夹角为60°.变式提升 1 在风速为75（26-） km/h 的西风中，飞机以150 km/h 的航速向西北方向飞行.求没有风时飞机的航速和航向.解：设v 0=风速，v a =有风时飞机的航行速度，v b =无风时飞机的航行速度（如图）.则v b =v a -v 0,∴v b ,v a ,v 0构成三角形. 设|AB|=|v a |,||=|v 0|,||=|v b |,作AD∥BC，CD⊥AD 于D ，BE⊥AD 于E ，则∠BAD=45°. 设||=150，则||=75（26-），∴|CD |=|BE |=|EA |=275，|DA |=675. 从而||=2150，∠CAD=30°, ∴v b =2150 km/h ，方向为西偏北30°.二、用向量解决力学问题用向量知识解决力学问题的步骤是用向量的三角形法则或平行四边形法则进行力的合成与分解，然后利用解直角三角形或解斜三角形的知识求得问题的解. 【例2】 已知力F 与水平方向的夹角为30°（斜向上），大小为50 N,一个质量为8 kg 的木块受力F 的作用在动摩擦因数μ=0.02的水平平面上运动了20 m,问力F 和摩擦力f 所做的功分别为多少？（g=10 m/s 2)思路分析：物理中的矢量主要有力、速度、位移，一般求功、动量及前面的三种只需根据它们的运算特征作出几何图形，即可利用向量求解，功是向量的数量积. 解：如图所示，设木块的位移为s ，则 F ·s =|F ||s |cos30°=50×20×350023=(J) 将力F 分解，它在铅垂方向上的分力F 1的大小为|F 1|=|F |sin30°=50×21=25( N).所以，摩擦力f 的大小为|f|=|μ（G -F 1）|=（80-25）×0.02=1.1( N)， 因此，f ·s =|f ||s |cos180°=1.1×20×(-1)=-22( J), 即F 和f 所做的功分别为3500 J 和-22 J.温馨提示在物理学中矢量与矢量运算，与数学中向量与向量运算是相通的，体现了数学知识与其他学科是紧密相连的. 类题演练 2一个物体受到同一平面内三个力F 1、F 2、F 3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8 m ，其中|F 1|=2 N ，方向为北偏东30°；|F 2|=4 N ，方向为东偏北30°；|F 3|=6 N ，方向为西偏北60°.如图，求合力F 所做的功.解：如图建立坐标系，则F 1=（1，3），F 2=（32，2），F 3=（-3，33），则F =F 1+F 2+F 3=（32-2，2+34）. 又位移s=（24，24），故合力F 所做的功为W=F ·s =（32-2）×24+(2+34)×24=24×36=624(J). 答：合力F 所做的功为624 J.变式提升 2 如右图，若物体重量为G ，被两根不等长的绳子吊起，绳子两端点A 和B 保持同一高度，且绳子与竖直方向的夹角分别为α和β，试研究f 1和f 2两个拉力的大小.思路分析：物体处于静止状态，受重力平衡,即f 1和f 2的合力和物体重力是平衡力，可以应用力的分解来处理.解：建立直角坐标系，则1F =OM ，F 1=ON ，F 2=，F 2=.物体在水平方向和竖直方向上，如下图.受力平衡⎪⎩⎪⎨⎧=+-=.,2121G F F F F即⎩⎨⎧=+=.||cos ||cos ||,sin ||sin ||2121G F F F F βαβα解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=.tan sin cos ||||,tan sin cos ||21αβββααG F G F故两根绳子的拉力大小为βααtan sin cos ||+G 和αββtan sin cos ||+G .。
高中数学第2章平面向量2.4.1向量在几何中的应用2.4.2向量在物理中的应用教案含解析新人教B版必修4
2.4.1 向量在几何中的应用 2.4.2 向量在物理中的应用1．向量在几何中的应用 (1)直线与向量平行的条件 ①直线的斜率与向量的关系：设直线l 的倾斜角为α，斜率为k ，A (x 1，y 1)∈l ，P (x ，y )∈l ，向量a ＝(a 1，a 2)平行于l ，可得k ＝y －y 1x －x 1＝a 2a 1＝tan α.②平行条件：如果知道直线l 的斜率k ＝a 2a 1，则向量(a 1，a 2)一定与该直线平行． ③法向量：如果表示向量的基线与一条直线垂直，则称这个向量垂直该直线．这个向量称为这条直线的法向量．(2)特殊向量设直线l 的一般方程为Ax ＋By ＋C ＝0，则向量(A ，B )与直线l 垂直，向量(－B ，A )与l 平行．思考1：向量可以解决哪些常见的几何问题？[提示] (1)解决直线平行、垂直、三点共线等位置关系问题． (2)解决有关夹角、长度及参数的值等的计算或度量问题． 2．向量在物理中的应用 (1)力向量力向量与自由向量不同，它包括大小、方向、作用点三个要素．在不考虑作用点的情况下，可利用向量运算法则进行计算．(2)速度向量一质点在运动中每一时刻都有一个速度向量，该速度向量可以用有向线段表示． 思考2：向量可以解决哪些物理问题？[提示] 解决物理中力、速度、加速度、位移等有关矢量的合成与分解问题，以及与力做功相关的问题．1．已知直线l ：mx ＋2y ＋6＝0，向量(1－m,1)与l 平行，则实数m 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．2D ．－1或2D [由于11－m ＝－m2，得m ＝－1或m ＝2.]2．下列直线与a ＝(2,1)垂直的是( ) A ．2x ＋y ＋1＝0 B ．x ＋2y ＋1＝0 C ．x －2y ＋4＝0D ．2x －y ＋4＝0A [直线2x ＋y ＋1＝0与向量(2,1)垂直．]3．已知力F ＝(2,3)作用在一物体上，使物体从A (2,0)移动到B (－2,3)，则F 对物体所做的功为________焦耳．1 [由已知位移AB →＝(－4,3)，∴力F 做的功为W ＝F ·AB →＝2×(－4)＋3×3＝1.]别交AC 于R ，T 两点．求证：AR ＝RT ＝TC .[思路探究] 由于R ，T 是对角线AC 上的两点，要证AR ＝RT ＝TC ，只要证AR, RT ，TC 都等于13AC 即可．[证明] 设AB →＝a ，AD →＝b ，AR →＝r ，AT →＝t ，则AC →＝a ＋b . 由于AR →与AC →共线，所以可设r ＝n (a ＋b )． 因为EB →＝AB →－AE →＝a －12b ，ER →与EB →共线，所以可设ER →＝mEB →＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b .因为AR →＝AE →＋ER →，所以r ＝12b ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b ，所以n (a ＋b )＝12b ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b ， 即(n －m )a ＋⎝⎛⎭⎪⎫n ＋m －12b ＝0. 由于向量a ，b 不共线，要使上式成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧n －m ＝0，n ＋m －12＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝13，n ＝13.所以AR →＝13AC →.同理TC →＝13AC →.所以AR ＝RT ＝TC .1．利用向量的关系证明问题通常先选取一组基底，基底中的向量最好已知模及两者之间的夹角，然后将问题中出现的向量用基底表示，再利用向量的运算法则、运算律以及一些重要性质运算，最后把运算结果还原为几何关系．2．平面向量在坐标表示下的应用利用平面向量的坐标表示，可以将平面几何中长度、垂直、平行等问题很容易地转化为代数运算的问题，运用此种方法必须建立适当的坐标系．1.如图所示，若D 是△ABC 内的一点，且AB 2→－AC 2→＝DB 2→－DC 2→，求证：AD ⊥BC . [证明] 设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝e ，DB →＝c ，DC →＝d ，则a ＝e ＋c ，b ＝e ＋d ， ∴a 2－b 2＝(e ＋c )2－(e ＋d )2＝c 2＋2e ·c －2e ·d －d 2. 由已知a 2－b 2＝c 2－d 2，∴c 2＋2e ·c －2e ·d －d 2＝c 2－d 2，即e ·(c －d )＝0. ∵BC →＝BD →＋DC →＝d －c ，∴AD →·BC →＝e ·(d －c )＝0， ∴AD →⊥BC →，即AD ⊥BC .(1)与向量a ＝(3,1)平行的直线方程；(2)与向量b ＝(－1,2)垂直的直线方程．[思路探究] 在直线上任取一点P (x ，y )，则AP →＝(x ＋2，y －1)，由AP →∥a 可以得(1)，由AP →⊥b 可以得(2)．[解] 设所求直线上任意一点P (x ，y )， ∵A (－2,1)，∴AP →＝(x ＋2，y －1)． (1)由题意知AP →∥a ，∴(x ＋2)×1－3(y －1)＝0，即x －3y ＋5＝0， ∴所求直线方程为x －3y ＋5＝0. (2)由题意，知AP →⊥b ，∴(x ＋2)×(－1)＋(y －1)×2＝0，即x －2y ＋4＝0， ∴所求直线方程为x －2y ＋4＝0.用向量方法解决解析几何问题的步骤：一是把解析几何问题中的相关量用向量表示；二是转化为向量模型，通过向量运算解决问题；三是将结果还原为解析几何问题.2．已知点A (1,0)，直线l ：y ＝2x －6，点R 是直线l 上的一点，若RA →＝2AP →，求点P 的轨迹方程．[解] 设P (x ，y )，R (x 0，y 0)，则RA →＝(1,0)－(x 0，y 0)＝(1－x 0，－y 0)， AP →＝(x ，y )－(1,0)＝(x －1，y )．由RA →＝2AP →，得⎩⎪⎨⎪⎧1－x 0＝2(x －1)，－y 0＝2y ，又∵点R 在直线l ：y ＝2x －6上，∴y 0＝2x 0－6，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－x 0＝2x －2， ①6－2x 0＝2y ， ②由①得x 0＝3－2x ，代入②得6－2(3－2x )＝2y ，整理得y ＝2x ，即为点P 的轨迹方程.1.向量的数量积与功有什么联系？[提示] 物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移距离的乘积，它的实质是向量的数量积．2．用向量方法解决物理问题的一般步骤是什么？[提示] 用向量理论讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤：①问题转化，即把物理问题转化为数学问题；②建立模型，即建立以向量为载体的数学模型；③求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等；④回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题中．【例3】 两个力F 1＝i ＋j ，F 2＝4i －5j 作用于同一质点，使该质点从点A (20,15)移动到点B (7,0)(其中i ，j 分别是与x 轴、y 轴同方向的单位向量)．求(1)F 1，F 2分别对该质点做的功； (2)F 1，F 2的合力F 对该质点做的功．[思路探究] 向量数量积的物理背景是做功问题，所以本题需将做功问题转化为求向量的数量积的问题．[解] AB →＝(7－20)i ＋(0－15)j ＝－13i －15j . (1)F 1做的功W 1＝F 1·s ＝F 1·AB →＝(i ＋j )·(－13i －15j )＝－28 J.F 2做的功W 2＝F 2·s ＝F 2·AB →＝(4i －5j )·(－13i －15j )＝23 J.(2)F ＝F 1＋F 2＝5i －4j ，所以F 做的功W ＝F ·s ＝F ·AB →＝(5i －4j )·(－13i －15j )＝－5 J.1．求几个力的合力：可以用几何法，通过解三角形求边长及角，也可以用向量法求解． 2．如果一个物体在力F 的作用下产生位移s ，那么力F 所做的功W ＝|F ||s |cos θ，其中θ是F 与s 的夹角．由于力和位移都是向量，所以力所做的功就是力与位移的数量积．3．在静水中划船速度的大小是每分钟40 m ，水流速度的大小是每分钟20 m ，如果一小船从岸边O 处出发，沿着垂直于水流的航线到达对岸，则小船的行进方向应指向哪里？[解] 如图所示，设向量OA →的长度和方向表示水流速度的大小和方向，向量OB →的长度和方向表示船在静水中速度的大小和方向，以OA →，OB →为邻边作平行四边形OACB ，连接OC .依题意OC ⊥OA ，BC ＝OA ＝20，OB ＝40， ∴∠BOC ＝30°.故船应向上游(左)与河岸夹角为60°的方向行进．(教师用书独具)1．向量方法在平面几何中应用的五个主要方向(1)要证明两线段相等，如AB ＝CD ，则可转化为证明AB →2＝CD →2.(2)要证明两线段平行，如AB ∥CD ，则只要证明存在实数λ≠0，使AB →2＝λCD →成立，且AB 与CD 无公共点．(3)要证明两线段垂直，如AB ⊥CD ，则只要证明数量积AB →·CD →＝0. (4)要证明A ，B ，C 三点共线，只要证明存在一实数λ≠0，使AB →＝λAC →. (5)要求一个角，如∠ABC ，只要求向量BA →与向量BC →的夹角即可． 2．向量方法研究物理问题的相关知识 (1)力、速度、加速度和位移都是向量．(2)力、速度、加速度和位移的合成和分解就是向量的加、减法． (3)动量mv 是数乘向量．(4)功是力F 与在力F 的作用下物体所产生的位移s 的数量积.1．在△ABC 中，若(CA →＋CB →)·(CA →－CB →)＝0，则△ABC 为( ) A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．形状无法确定C [∵(CA →＋CB →)·(CA →－CB →)＝0，∴CA →2－CB →2＝0，CA →2＝CB →2，∴CA ＝CB ，△ABC 为等腰三角形．]2．过点A (2,3)，且垂直于向量a ＝(2,1)的直线方程为( ) A ．2x ＋y －7＝0 B ．2x ＋y ＋7＝0 C ．x －2y ＋4＝0D ．x －2y －4＝0A [设P (x ，y )是所求直线上任一点，则AP →⊥a ，又∵AP →＝(x －2，y －3)，∴2(x －2)＋(y －3)＝0，即2x ＋y －7＝0.] 3．若AB →＝3e ，DC →＝5e ，且|AD →|＝|BC →|，则四边形ABCD 的形状为________． 等腰梯形 [由AB →＝3e ，DC →＝5e ，得AB →∥DC →， AB →≠DC →，又因为ABCD 为四边形， 所以AB ∥DC ，AB ≠DC .又|AD →|＝|BC →|，得AD ＝BC ， 所以四边形ABCD 为等腰梯形．]4．一架飞机从A 地向北偏西60°的方向飞行1 000 km 到达B 地，然后向C 地飞行．设C 地恰好在A 地的南偏西60°方向上，并且A ，C 两地相距2 000 km ，求飞机从B 地到C 地的位移．[解] 如图所示，设A 地在东西基线和南北基线的交点处，则A (0,0)，B (－1 000cos 30°，1 000sin 30°)＝(－5003，500)，C (－2 000cos 30°，－2 000sin 30°)＝(－1 0003，－1 000)，∴BC →＝(－5003，－1 500)，∴|BC →|＝(－5003)2＋(－1 500)2＝1 0003(km)．∴飞机从B 地到C 地的位移大小是1 000 3 km ，方向是南偏西30°.。
向量在物理中的应用举例教案
向量在物理中的应用举例教案一、教学目标1. 让学生理解向量的概念及其表示方法。
2. 培养学生掌握向量的加法、减法、数乘和点乘运算。
3. 引导学生了解向量在物理中的应用，提高解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 向量的概念及其表示方法。
2. 向量的加法、减法、数乘和点乘运算。
3. 向量在物理中的应用举例。
三、教学重点与难点1. 教学重点：向量的概念、表示方法以及向量的运算。
2. 教学难点：向量在物理中的应用。
四、教学方法1. 采用讲授法讲解向量的概念、表示方法和运算。
2. 采用案例分析法讲解向量在物理中的应用。
3. 引导学生通过小组讨论，探讨向量在实际问题中的运用。
五、教学过程1. 引入新课：讲解向量的概念及其表示方法。
2. 讲解向量的加法、减法、数乘和点乘运算。
3. 应用举例：分析向量在物理中的应用，如速度、加速度、力等。
4. 小组讨论：让学生结合生活实际，探讨向量在其他领域中的应用。
5. 总结与反馈：对本次课程的内容进行总结，收集学生的反馈意见。
6. 布置作业：让学生运用所学的向量知识解决实际问题。
六、教学评估1. 课堂讲解评估：观察学生对向量概念、表示方法和运算的理解程度，以及能否熟练运用向量解决物理问题。
2. 小组讨论评估：评估学生在小组讨论中的参与程度，以及他们的创新思维和问题解决能力。
3. 作业评估：检查学生作业中向量知识的应用情况，以及解题的准确性和完整性。
七、教学拓展1. 引入其他物理概念：如动量、角动量等，进一步展示向量在物理中的应用。
2. 探讨向量在其他学科的应用：如数学、工程、计算机科学等。
3. 组织学生进行小研究：深入研究向量在某一领域的应用，如流体力学、电磁学等。
八、教学资源1. 教材：提供相关教材，如《线性代数》、《物理学》等。
2. 多媒体课件：制作并向学生提供包含图像、动画和示例的课件。
3. 网络资源：提供在线学习资源，如学术文章、视频教程等。
九、教学反馈与改进1. 课堂反馈：在每节课结束后，收集学生的反馈意见，了解他们的学习需求和困难。
2019_2020学年高中数学第二章平面向量2.4.1向量在几何中的应用2.4.2向量在物理中的应用学案新人教B版必修4
2．4.1 向量在几何中的应用 2．4.2 向量在物理中的应用1.了解平面向量在解决几何、物理问题中的工具性作用．2.理解向量法解决几何、物理中的问题．3．掌握两种基本方法——选择基向量法和坐标建系法．[学生用书P54])1．向量在几何中的应用 (1)直线与向量平行的条件 ①直线的斜率与向量的关系设直线l 的倾斜角为α，斜率为k ，A (x 1，y 1)∈l ，P (x ，y )∈l ，若向量a ＝(a 1，a 2)平行于l ，则可得k ＝y －y 1x －x 1＝a 2a 1＝tan α. ②平行条件如果直线l 的斜率k ＝a 2a 1，则向量(a 1，a 2)一定与该直线平行． ③法向量如果表示向量的基线与一条直线垂直，则称这个向量垂直于该直线．这个向量称为这条直线的法向量．(2)特殊向量设直线l 的一般方程为Ax ＋By ＋C ＝0，则向量(A ，B )与直线l 垂直，向量(－B ，A )与l 平行．2．向量在物理中的应用 (1)力向量力向量与自由向量不同，它包括大小、方向、作用点三个要素．在不考虑作用点的情况下，可利用向量运算法则进行计算．(2)速度向量一质点在运动中每一个时刻都有一个速度向量，该速度向量可以用有向线段表示．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)求力F 1和F 2的合力可按照向量加法的平行四边形法则．( ) (2)若△ABC 为直角三角形，则有AB →·BC →＝0.( )(3)若向量AB →∥CD →，则AB ∥CD .( ) 答案：(1)√ (2)× (3)×2．在△ABC 中，若(CA →＋CB →)·(CA →－CB →)＝0，则△ABC ( ) A ．是正三角形 B ．是直角三角形 C ．是等腰三角形 D ．形状无法确定答案：C3．已知三个力F 1＝(3，4)，F 2＝(2，－5)，F 3＝(x ，y )和合力F 1＋F 2＋F 3＝0，则F 3的坐标为________．答案：(－5，1)向量在平面几何中的应用[学生用书P54]如图所示，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，求证：AF ⊥DE .【证明】 法一：设AD →＝a ，AB →＝b ，则|a |＝|b |，a ·b ＝0，又DE →＝DA →＋AE →＝－a ＋b 2，AF→＝AB →＋BF →＝b ＋a 2，所以AF →·DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋a 2·⎝⎛⎭⎪⎫－a ＋b 2＝－12a 2－34a ·b ＋b 22＝－12|a |2＋12|b |2＝0.故AF →⊥DE →，即AF ⊥DE .法二：建立平面直角坐标系如图，设正方形的边长为2，则A (0，0)，D (0，2)，E (1，0)，F (2，1)，AF →＝(2，1)，DE →＝(1，－2)．因为AF →·DE →＝(2，1)·(1，－2)＝2－2＝0，所以AF →⊥DE →， 即AF ⊥DE .用向量方法解决平面几何问题的步骤1.已知A ，B ，C ，D 四点的坐标分别为(1，0)，(4，3)，(2，4)，(0，2)，则此四边形为( )A ．梯形B ．菱形C ．矩形D ．正方形解析：选A.AB →＝(3，3)，CD →＝(－2，－2)， 所以AB →＝－32CD →，AB →与CD →共线，但|AB →|≠|CD →|， 故此四边形为梯形．2．如图，平行四边形ABCD 中，已知AD ＝1，AB ＝2，对角线BD ＝2，求对角线AC 的长．解：设AD →＝a ，AB →＝b ， 则BD →＝a －b ，AC →＝a ＋b ，而|BD →|＝|a －b |＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1＋4－2a ·b ＝5－2a ·b ＝2， 所以5－2a ·b ＝4， 所以a ·b ＝12，又|AC →|2＝|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋4＋2a ·b ＝6， 所以|AC →|＝6， 即AC ＝ 6.向量在解析几何中的应用[学生用书P55]已知点A (－1，2)，直线l ：4x －3y ＋9＝0. 求：(1)过点A 且与直线l 平行的直线方程； (2)过点A 且与直线l 垂直的直线方程．【解】 直线l 的斜率k ＝43，向量u ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43与直线l 平行． (1)设P (x ，y )是过点A 且与l 平行的直线上的动点， 则AP →＝(x ＋1，y －2)． 所求直线与l 平行，当且仅当u ∥AP →，转化为坐标表示， 即为1×(y －2)－43×(x ＋1)＝0.整理，得4x －3y ＋10＝0.则过点A 且与直线l 平行的直线方程为4x －3y ＋10＝0. (2)设Q (x ，y )为过点A 且与l 垂直的直线上的动点， 则AQ →＝(x ＋1，y －2)． 所求直线与l 垂直，当且仅当u ·AQ →＝0，转化为坐标表示，即为1×(x ＋1)＋43×(y －2)＝0.整理，得3x ＋4y －5＝0，则过点A 且与直线l 垂直的直线方程为3x ＋4y －5＝0.本题采用了求轨迹方程的方法，先在所求直线上设一动点P (x ，y )，再利用向量平行、垂直的充要条件建立x ，y 的关系．已知△ABC 的三个顶点A (0，－4)，B (4，0)，C (－6，2)，点D 、E 、F 分别为边BC 、CA 、AB 的中点．(1)求直线DE 、EF 、FD 的方程；(2)求AB 边上的高线CH 所在的直线方程．解：(1)由已知得点D (－1，1)，E (－3，－1)，F (2，－2)， 设点M (x ，y )是直线DE 上任意一点，则DM →∥DE →，DM →＝(x ＋1，y －1)，DE →＝(－2，－2)． 所以(－2)×(x ＋1)－(－2)×(y －1)＝0， 即x －y ＋2＝0为直线DE 的方程．同理可求，直线EF ，FD 的方程分别为x ＋5y ＋8＝0，x ＋y ＝0.(2)设点N (x ，y )是CH 所在直线上任意一点，则CN →⊥AB →.所以CN →·AB →＝0.又CN →＝(x ＋6，y －2)，AB →＝(4，4)． 所以4×(x ＋6)＋4×(y －2)＝0， 即x ＋y ＋4＝0为所求直线CH 的方程．向量在物理中的应用[学生用书P55]两个力F 1＝i ＋j ，F 2＝4i －5j 作用于同一质点，使该质点从点A (20，15)移动到点B (7，0)(其中i ，j 分别是与x 轴、y 轴同方向的单位向量)．求：(1)F 1，F 2分别对该质点做的功； (2)F 1，F 2的合力F 对该质点做的功.【解】 AB →＝(7－20)i ＋(0－15)j ＝－13i －15j .(1)F 1做的功W 1＝F 1·s ＝F 1·AB →＝(i ＋j )·(－13i －15j )＝－28.F 2做的功W 2＝F 2·s ＝F 2·AB →＝(4i －5j )·(－13i －15j )＝23.(2)F ＝F 1＋F 2＝5i －4j ，所以F 做的功W ＝F ·s ＝F ·AB →＝(5i －4j )·(－13i －15j )＝－5.用向量方法解决物理问题的“三步曲”1.已知两个力F 1，F 2的夹角为90°，它们的合力大小为10 N ，合力与F 1的夹角为60°，那么F 1的大小为( )A ．5 3 NB ．5 NC ．10 ND ．5 2 N解析：选B.画出图形，如图，由题意|F 1＋F 2|＝10 N ，所以|F 1|＝|F 1＋F 2|cos 60°＝5 N ，故选B.2．中国青岛世界杯帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动．如果一帆船所受的风力方向为北偏东30°，速度大小为20 km/h ，此时水的流向是正东方向，流速大小为20 km/h.若不考虑其他因素，求帆船的速度．解：如图建立平面直角坐标系xOy ，风的方向为北偏东30°，速度大小为|v 1|＝20 km/h ，水流的方向为正东，流速大小为|v 2|＝20 km/h ，设帆船行驶的速度为v ， 则v ＝v 1＋v 2.由题意，可得向量v 1＝(20cos 60°，20sin 60°)＝(10，103)，向量v 2＝(20，0)， 则帆船行驶速度v ＝v 1＋v 2＝(10，103)＋(20，0)＝(30，103)， 所以|v |＝302＋（103）2＝20 3 km/h. 设v 与v 2的夹角为α， 则tan α＝10330＝33，又α为锐角， 所以α＝30°.所以帆船向东偏北30°方向行驶， 速度大小为20 3 km/h.1．用向量方法解决几何问题的关键是将几何问题转化为向量问题．对具体的问题选用向量几何法还是向量坐标法是解题的关键．2．利用向量法解决物理问题时，要认真分析物理现象，深刻把握物理量之间的向量关系，通过抽象、概括把物理现象转化为与之相关的向量问题．由于向量集数形于一身，用它来研究问题时可以实现形象思维与抽象思维的有机结合，因而向量法是研究几何问题的一个有效的工具，解题时一定注意用数形结合的思想．1．过点A (2，3)，且垂直于向量a ＝(2，1)的直线方程为( ) A ．2x ＋y －7＝0 B ．2x ＋y ＋7＝0 C ．x －2y ＋4＝0D ．x －2y －4＝0解析：选A.设P (x ，y )是所求直线上任一点，则AP →⊥a ， 又因为AP →＝(x －2，y －3)，所以2(x －2)＋(y －3)＝0， 即所求的直线方程为2x ＋y －7＝0.2．若向量OF 1→＝(2，2)，OF 2→＝(－2，3)分别表示两个力F 1，F 2，则|F 1＋F 2|为( ) A ．(0，5) B ．(4，－1) C ．2 2D ．5解析：选D.|F 1＋F 2|＝|OF 1→＋OF 2→|＝|(2，2)＋(－2，3)|＝|(0，5)|＝5. 3．通过点A (3，2)且与直线l ：4x －3y ＋9＝0平行的直线方程为________．解析：法一：在所求直线上任取不同于点A 的一点P (x ，y )，则AP →∥l ，所以k AP ＝y －2x －3＝43， 整理可得，4x －3y －6＝0. 法二：设与直线l 平行的直线为： 4x －3y ＋D ＝0.将点A (3，2)代入得，D ＝－6， 所以所求的直线方程为4x －3y －6＝0. 答案：4x －3y －6＝04．平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1，2)与动点P (x ，y )满足OP →·OA →＝4，则P 点的轨迹方程为______．解析：由题意知，点P (x ，y )满足OP →·OA →＝(x ，y )·(1，2)＝x ＋2y ＝4，即为P 点的轨迹方程．答案：x ＋2y ＝4, [学生用书P119(单独成册)])[A 基础达标]1．已知平面内四边形ABCD 和点O ，若OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，且a ＋c ＝b ＋d ，则四边形ABCD 为( )A ．菱形B ．梯形C ．矩形D ．平行四边形解析：选D.由题意知a －b ＝d －c ， 所以BA →＝CD →，所以四边形ABCD 为平行四边形．故选D.2．一质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3的作用而处于平衡状态．已知F 1与F 2的夹角为60°，且F 1，F 2的大小分别为2 N 和4 N ，则F 3的大小为( )A ．6 NB ．2 NC ．2 5 ND ．27 N解析：选 D.由向量的平行四边形法则及力的平衡，得|F 3|2＝|－F 1－F 2|2＝|F 1|2＋|F 2|2＋2|F 1|·|F 2|·cos 60°＝22＋42＋2×2×4×12＝28，所以|F 3|＝27 N.3．河水的流速为2 m/s ，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s 的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为( )A ．10 m/sB ．226 m/sC ．4 6 m/sD ．12 m/s解析：选B. 由题意知|v 水|＝2 m/s ，|v 船|＝10 m/s ，作出示意图如图．所以小船在静水中的速度大小 |v |＝102＋22＝104＝226(m/s)．4．在△ABC 中，AB ＝3，AC 边上的中线BD ＝5，AC →·AB →＝5，则AC 的长为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B.因为BD →＝AD →－AB →＝12AC →－AB →，所以BD →2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AC →－AB →2＝14AC →2－AC →·AB →＋AB →2，即14AC →2＝1， 所以|AC →|＝2，即AC ＝2.5．在△ABC 中，有下列四个命题： ①AB →－AC →＝BC →； ②AB →＋BC →＋CA →＝0；③若(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 为等腰三角形； ④若AC →·AB →>0，则△ABC 为锐角三角形． 其中正确的命题有( )A ．①②B ．①④C ．②③D ．②③④解析：选C .因为AB →－AC →＝CB →＝－BC →≠BC →，所以①错误.AB →＋BC →＋CA →＝AC →＋CA →＝AC →－AC →＝0，所以②正确．由(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝AB →2－AC →2＝0，得|AB →|＝|AC →|，所以△ABC 为等腰三角形，③正确.AC →·AB →>0⇒cos A>0，所以A 为锐角，但不能确定B ，C 的大小，所以不能判定△ABC 是否为锐角三角形，所以④错误．故选C .6．如图所示，一力作用在小车上，其中力F 的大小为10牛，方向与水平面成60°角，当小车向前运动10米时，力F 做的功为________焦耳．解析：设小车位移为s ，则|s |＝10米，W F ＝F·s ＝|F ||s |·cos 60°＝10×10×12＝50(焦耳)．答案：507．点P 在平面上做匀速直线运动，速度v ＝(4，－3)(即点P 的运动方向与v 相同，且每秒移动的距离为|v |个单位)．设开始时点P 0的坐标为(－10，10)，则5秒后点P 的坐标为________．解析：由题意知，P 0P →＝5v ＝(20，－15)， 设点P 的坐标为(x ，y )， 则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋10＝20，y －10＝－15，解得点P 的坐标为(10，－5)．答案：(10，－5)8．一只鹰正以与水平方向成30°角的方向向下飞行，直扑猎物，太阳光从头上直照下来，鹰在地面上的影子的速度是40 m/s ，则鹰的飞行速率为________．解析：设鹰的飞行速度为v 1，鹰在地面上的影子的速度为v 2，则|v 2|＝40 m/s ，因为鹰的运动方向是与水平方向成30°角向下，故|v 1|＝|v 2|32＝8033(m/s)．答案：8033m/s9．已知在平行四边形ABCD 中，E ，F 是对角线AC 上的两点，且AE ＝FC ＝14AC ，试用向量方法证明四边形DEBF 也是平行四边形．证明：设AD →＝a ，AB →＝b ， 则DE →＝AE →－AD →＝14AC →－a ＝14b －34a ，FB →＝AB →－AF →＝b －34AC →＝14b －34a ，所以DE →＝FB →，且D ，E ，F ，B 四点不共线， 所以四边形DEBF 是平行四边形．10.设作用于同一点的三个力F 1，F 2，F 3处于平衡状态，若|F 1|＝1，|F 2|＝2，且F 1与F 2的夹角为23π，如图所示．(1)求F 3的大小； (2)求〈F 3，F 2〉的大小．解：(1)由F 1，F 2，F 3处于平衡状态，知F 1＋F 2＋F 3＝0， 那么|F 3|＝|－F 1－F 2|＝|F 1＋F 2|2＝1＋4＋2×1×2cos 23π＝ 3.(2)建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，设〈F 3，F 2〉＝π－θ(0<θ<π2)，由该点受力平衡，知⎩⎪⎨⎪⎧|F 3|cos θ＋|F 1|cos π3＝|F 2|，|F 3|sin θ＝|F 1|cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－π2， 即⎩⎪⎨⎪⎧3cos θ＝2－12，3sin θ＝32，解得θ＝π6，故〈F 3，F 2〉＝5π6.[B 能力提升]11．在▱ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点，若AC →·BE →＝1，则AB 的长为( ) A ．1 B ．12 C ．13D ．32解析：选B.设AB 的长为a (a >0)， 因为AC →＝AB →＋AD →，BE →＝BC →＋CE →＝AD →－12AB →，所以AC →·BE →＝(AB →＋AD →)·(AD →－12AB →)＝12AB →·AD →－12AB →2＋AD →2＝－12a 2＋14a ＋1.由已知，得－12a 2＋14a ＋1＝1.又因为a >0，所以a ＝12，即AB 的长为12.12．已知P 为△ABC 所在平面内一点，且满足AP →＝15AC →＋25AB →，则△APB 的面积与△APC的面积之比为________．解析：5AP →＝AC →＋2AB →，2AP →－2AB →＝AC →－AP →－2AP →，－2(PA →＋PB →)＝PC →，如图所示，以PA ，PB 为邻边作▱PAEB ， 则C ，P ，E 三点共线，连接PE 交AB 于点O ，则PC →＝2EP →＝4OP →， 所以S △APB S △APC ＝2S △APO S △APC ＝2|OP ||PC |＝12. 答案：1∶213.如图，已知直角梯形ABCD ，AD ⊥AB ，AB ＝2AD ＝2CD ，过点C 作CE ⊥AB 于点E ，M 为CE 的中点，用向量的方法证明：(1)DE ∥BC ；(2)D ，M ，B 三点共线．证明：以E 为原点，AB 所在直线为x 轴，EC 所在直线为y 轴建立直角坐标系．令|AD →|＝1，则|DC →|＝1，|AB →|＝2.因为CE ⊥AB ，而AD ＝DC ， 所以四边形AECD 为正方形， 所以可求得各点坐标分别为：E (0，0)，B (1，0)，C (0，1)，D (－1，1)，A (－1，0)．(1)因为ED →＝(－1，1)－(0，0)＝(－1，1)， BC →＝(0，1)－(1，0)＝(－1，1)，所以ED →＝BC →，所以ED →∥BC →，即DE ∥BC .(2)连接MD ，MB ，因为M 为EC 的中点， 所以M (0，12)，所以MD →＝(－1，1)－(0，12)＝(－1，12)，MB →＝(1，0)－(0，12)＝(1，－12)．因为MD →＝－MB →， 所以MD →∥MB →.又MD 与MB 有公共点M ， 所以D ，M ，B 三点共线．14．(选做题)如图，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝AC ＝3，点D 在线段BC 上，且BD＝12DC .求：(1)AD 的长； (2)∠DAC 的大小． 解：(1)设AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →＝AB →＋13(AC →－AB →)＝23AB →＋13AC →＝23a ＋13b .所以|AD →|2＝AD →2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ＋13b 2＝49a 2＋2×29a ·b ＋19b 2＝49×9＋2×29×3×3×cos 120°＋19×9＝3.故AD ＝ 3. (2)设∠DAC ＝θ，则θ为向量AD →与AC →的夹角．因为cos θ＝AD →·AC →|AD →||AC →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ＋13b ·b 3×3＝13b 2＋23a ·b 33＝13×9＋23×3×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1233＝0，所以θ＝90°，即∠DAC＝90°.。
高中数学人教B版必修4 2.4 教学课件 《向量在物理中的应用》(人教B版)
第二单元 · 平面向量
2.4.2向量在物理中 的应用
人民教育出版社 高中二年级 | 必修4
温故而知新
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及 的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题 （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、 夹角等问题。 （3）把运算结果“翻译”成几何元素
人民教育出版社 高中二年级 | 必修4
新课导入
力向量
力向量不仅包括大小、方向两个要素，而且还有作用力。大小 和方向相同的两个力，如果作用点不同，那么它们是不相等的。但 力是具有大小和方向的量，在不考虑作用点的情况下，可利用向量 运算法则进行计算。
人民教育出版社 高中二年级 | 必修4
新课导入
例如，求作用于同一点的两个力的合力， 可用向量求和的平行四边形法则
新课导入
人民教育出版社 高中二年级 | 必修4
探求新知
人民教育出版社 高中二年级 | 必修4
A
同一平面内，互成120°的三个 大小相等的共点力的合力为零。
120° O
C B
D
探求新知
人民教育出版社 高中二年级 | 必修4
y
200N
300N
45°
30°
x
探求新知
人民教育出版社 高中二年级 | 必修4
探求新知 用向量解决物理问题的一般途径物理问题数学问题解决和验 证相关物 理现象
数学问题 的解决
人民教育出版社 高中二年级 | 必修4
探求新知 速度向量
河水从东向西流，流速为2m/s，一轮船以2m/s 垂直于水流方向向北横渡，求轮船实际航行的 方向和航速（精确到0.1m/s）（如图）
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2.4.2 向量在物理中的应用示范教案整体设计教学分析向量与物理学天然相联．向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念，向量是既有大小、又有方向的量，它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系，将向量这一工具应用到物理中，可以使物理题解答更简捷、更清晰．并且向量知识不仅是解决物理许多问题的有利工具，而且用数学的思想方法去审视相关物理现象，研究相关物理问题，可使我们对物理问题的认识更深刻．物理中有许多量，比如力、速度、加速度、位移等都是向量，这些物理现象都可以用向量来研究．用向量研究物理问题的相关知识．(1)力、速度、加速度、位移等既然都是向量，那么它们的合成与分解就是向量的加、减法，运动的叠加亦用到向量的合成；(2)动量是数乘向量；(3)功即是力与所产生位移的数量积．用向量知识研究物理问题的基本思路和方法．①通过抽象、概括，把物理现象转化为与之相关的向量问题；②认真分析物理现象，深刻把握物理量之间的相互关系；③利用向量知识解决这个向量问题，并获得这个向量的解；④利用这个结果，对原物理现象作出合理解释，即用向量知识圆满解决物理问题．教学中要善于引导学生通过对现实原型的观察、分析和比较，得出抽象的数学模型．例如，物理中力的合成与分解是向量的加法运算与向量分解的原型．同时，注重向量模型的运用，引导解决现实中的一些物理和几何问题．这样可以充分发挥现实原型对抽象的数学概念的支撑作用．三维目标1．通过力的合成与分解的物理模型，速度的合成与分解的物理模型，掌握利用向量方法研究物理中相关问题的步骤，明了向量在物理中应用的基本题型，进一步加深对所学向量的概念和向量运算的认识．2．通过对具体问题的探究解决，进一步培养学生的数学应用意识，提高应用数学的能力．体会数学在现实生活中的重要作用．养成善于发现生活中的数学，善于发现物理及其他科目中的数学及思考领悟各学科之间的内在联系的良好习惯．重点难点教学重点：1．运用向量的有关知识对物理中力的作用、速度的分解进行相关分析和计算．2．归纳利用向量方法解决物理问题的基本方法．教学难点：将物理中有关矢量的问题转化为数学中向量的问题．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(情景引入)章头图中，道路、路标体现了向量与位移、速度、力等物理量之间的密切联系．章头引言说明了向量的研究对象及研究方法．那么向量究竟是怎样应用于物理的呢？它就像章头图中的高速公路一样，是一条解决物理问题的高速公路．在学生渴望了解的企盼中，教师展示物理模型，由此展开新课．思路2.(问题引入)你能举出物理中的哪些向量？比如力、位移、速度、加速度等，既有大小又有方向，都是向量，学生很容易就举出来．进一步，你能举出应用向量来分析和解决物理问题的例子吗？你是怎样解决的？教师由此引导：向量是有广泛应用的数学工具，对向量在物理中的研究，有助于进一步加深对这方面问题的认识．我们可以通过对下面若干问题的研究，体会向量在物理中的重要作用．由此自然地引入新课．推进新课新知探究提出问题(1)力向量与前面所学的自由向量一样吗？(2)作用于同一点的两个力的合力怎样表示？活动：力向量与前面学过的自由向量有些不同，它不仅包括大小、方向两个要素，而且还有作用点．大小和方向相同的两个力，如果作用点不同，那么它们是不相等的．但力是具有大小和方向的量，在不考虑作用点的情况下，可利用向量运算法则进行计算．例如，求作用于同一点的两个力的合力，可用向量求和的平行四边形法则(图1)．图1同一平面上，作用于同一点的两个力F1，F2或三个力F1，F2，F3处于平衡状态(图2)，可分别用等式来表示图2F1＋F2＝0，F1＋F2＋F3＝0.讨论结果：(略)应用示例例 1在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力．你能从数学的角度解释这种现象吗？活动：这个日常生活问题可以抽象为如图3所示的数学模型，引导学生由向量的平行四边形法则，力的平衡及解直角三角形等知识来思考探究这个数学问题．这样物理中力的现象就转化为数学中的向量问题．只要分析清楚F、G、θ三者之间的关系(其中F为F1、F2的合力)，就得到了问题的数学解释．图3在教学中要尽可能地采用多媒体，在信息技术的帮助下让学生来动态地观察|F|、|G|、θ之间在变化过程中所产生的相互影响．由学生独立完成本例后，与学生共同探究归纳出向量在物理中的应用的解题步骤，也可以由学生自己完成，还可以用信息技术来验证．用向量解决物理问题的一般步骤是：①问题的转化，即把物理问题转化为数学问题；②模型的建立，即建立以向量为主体的数学模型；③参数的获得，即求出数学模型的有关解——理论参数值；④问题的答案，即回到问题的初始状态，解释相关的物理现象．解：不妨设|F 1|＝|F 2|，由向量的平行四边形法则、力的平衡以及直角三角形的知识，可以知道cos θ2＝12|G||F 1| |F 1|＝|G |2cos θ2. 通过上面的式子，我们发现：当θ由0°到180°逐渐变大时，θ2由0°到90°逐渐变大，cos θ2的值由大逐渐变小，因此|F 1|由小逐渐变大，即F 1，F 2之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力．点评：本例是日常生活中经常遇到的问题，学生也会有两人共提一个旅行包以及在单杠上做引体向上运动的经验．本例的关键是作出简单的受力分析图，启发学生将物理现象转化成模型，从数学角度进行解释，这就是本例活动中所完成的事情．教学中要充分利用好这个模型，为解决其他物理问题打下基础．得到模型后就可以发现，这是一个很简单的向量问题，这也是向量工具优越性的具体体现．例 2河水从东向西流，流速为2 m/s ，一轮船以2 m/s 垂直于水流方向向北横渡，求轮船实际航行的方向和航速(精确到0.1 m/s)(图4)．图4解：设a ＝“向西方向，2 m/s”，b ＝“向北方向，2 m/s”，则|a ＋b |＝22＋22＝22≈2.8(m/s)．由|a |＝|b |，可得a ＋b 的方向为西北方向．答：轮船实际航行速度为“向西北方向，2.8 m/s”．活动：本例通过速度向量，说明向量的应用，其实向量在电学、力学、工程和机械等各学科中都有着十分广泛的应用.图5，实际风速为v .例 3如图6所示，利用这个装置(冲击摆)可测定子弹的速度，设有一砂箱悬挂在两线下端，子弹击中砂箱后，陷入箱内，使砂箱摆至某一高度h.设子弹和砂箱的质量分别为m 和M ，求子弹的速度v 的大小．图6解：设v 0为子弹和砂箱相对静止后开始一起运动的速度，由于水平方向上动量守恒，所以m|v |＝(M ＋m)|v 0|.①由于机械能守恒，所以12(M ＋m)v 20＝(M ＋m)gh.② 联立①②解得|v |＝M ＋m m2gh. 又因为m 相对于M 很小，所以|v |≈M m2gh ， 即子弹的速度大小约为M m2gh.课堂小结1．与学生共同归纳总结利用向量解决物理问题的步骤．①问题的转化，即把物理问题转化为数学问题；②模型的建立，即建立以向量为主体的数学模型；③参数的获得，即求出数学模型的有关解——理论参数值；④问题的答案，即回到问题的初始状态，解释相关的物理现象．2．与学生共同归纳总结向量在物理中应用的基本题型．①力、速度、加速度、位移都是向量；②力、速度、加速度、位移的合成与分解对应相应向量的加减；③)动量m v 是数乘向量，冲量Δt F 也是数乘向量；④功是力F 与位移s 的数量积，即W ＝F·s .作业课本本节练习B 组 1、2、3；习题2—4A 组 4.设计感想1．本教案设计的指导思想是：由于本节重在解决两个问题，一是如何把物理问题转化成数学问题，也就是将物理量之间的关系抽象成数学模型；二是如何用建立起来的数学模型解释和回答相关的物理现象．因此本教案设计的重点也就放在怎样让学生探究解决这两个问题上．而把这个探究的重点又放在这两个中的第一个上，也就是引导学生认真分析物理现象、准确把握物理量之间的相互关系．通过抽象、概括，把物理现象转化为与之相关的向量问题，然后利用向量知识解决这个向量问题．2．经历是最好的老师．充分让学生经历分析、探究并解决实际问题的过程，这也是学习数学，领悟思想方法的最好载体．学生这种经历的实践活动越多，解决实际问题的方法就越恰当而简捷．教科书中对本节的两个例题的处理方法，都不是先给出解法，而是先进行分析，探索出解题思路，再给出解法，就足以说明这一点．3．突出数形结合的思想．教科书例题都是先画图进行分析的，本教案的设计中也突出了这一点．让学生在活动的时候就先想到画图，并在这个活动中，体会数形结合的应用，体会数学具有广泛的应用，体会向量这个工具的优越性．备课资料一、向量与重心问题假如有两个质点M 1，M 2，它们的质量分别是m 1，m 2，由物理学知识，这两个质点的重心M 在线段M 1M 2上，并且分此线段为与质量成反比例的两部分，即M 1M MM 2＝m 2m 1，或m 1M 1M →＝m 2MM 2→. 现设点M 1、M 2、M ，对应的向量分别是r 1、r 2、r ，则上式可以写成m 1(r －r 1)＝m 2(r 2－r )．所以r ＝m 1r 1＋m 2r 2m 1＋m 2，点M 处的质量为m 1＋m 2. 现求三个质点的重心问题．三个质点M 1、M 2、M 3的质量分别是m 1、m 2、m 3，所对应的向量分别是r 1、r 2、r 3，我们可设M 1，M 2的重心在点D 处，该处对应的向量为r D ＝m 1r 1＋m 2r 2m 1＋m 2，该点的质量为m 1＋m 2，然后求点D 与点M 3的重心M 所对应的向量r ，易得r ＝m 1r 1＋m 2r 2＋m 3r 3m 1＋m 2＋m 3. 二、备用习题1．作用于同一点的两个力F 1和F 2，|F 1|＝5，|F 2|＝3，夹角为60°，则F 1＋F 2的大小为______．2．一条渔船距对岸为4 km ，现正以2 km/h 的速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际航程为8 km ，求河水的流速.3．在半径为15 cm 的均匀铁板上，挖出一个圆洞，已知圆洞的圆心和铁板中心相距8 cm ，圆洞的半径是5 cm ，求挖去圆洞后所剩下铁板的重心．4．如图7所示，重力为G 的均匀小球放在倾角为α的斜面上，球被与斜面夹角为θ的木板挡住，球面、木板均光滑，若使球对木板的压力最小，求木板与斜面间夹角θ的大小.图7参考答案：1．72．解：如图8所示，设AB →表示船垂直于对岸的速度，则AB →＋BC →＝AC →，图8知AC →就是渔船实际航行的速度．因为航行的时间为4÷2＝2(h)，所以在R t△ABC 中，|A B →|＝2 km/h ，|AC →|＝8÷2＝4(km/h)，则|B C →|＝2 3 km/h.答：河水的流速为2 3 km/h.3．解：如图9所示，建立平面直角坐标系，两圆的圆心分别为O 1(0,0)，O 2(8,0)，圆O 2是挖去的圆，不妨设铁板的密度为ρ＝1，则小圆的质量m 1＝25π，挖去圆洞后，铁板的质量为m 2＝(225－25)π＝200π，设所求的重心为O 3.图9根据物理学知识，知O 3在直线O 1O 2上，即可设O 3(x 3,0)，且满足O 3O 1→＝λO 1O 2→，其中λ＝m 1m 2＝25200＝18.由定比分点坐标公式知0＝x 3＋18×81＋18，解得x 3＝－1， 即O 3(－1,0)为挖去圆洞后所剩下铁板的重心．4．解：对小球的受力分析如图9所示，重力为G ，斜面弹力为N 2(垂直于斜面向上)，木板弹力N 1(垂直于木板)，其中N 1与N 2的合力的大小恒为|G ′|，方向向上，N 2的方向始终不变，随着木板的转动，N 1的方向始终垂直于木板，N 1的大小在变化，且满足|N 1|sin α＝|G′|sin θ， 又|G ′|＝|G |，∴|N 1|＝|G |sin αsin θ.∴当sin θ取最大值1时，|N 1|min ＝|G |sin α，此时θ＝π2.。